Fábio Henrique Moreira dos Anjos
Gravidade Entrópica e o Problema da
Matéria Escura
ORIENTADOR: Carlos Enrique Navia Ojeda
Niterói-RJ 2014
A599 Anjos, Fábio Henrique Moreira dos
Gravidade entrópica e o problema da matéria escura; orientador: Carlos Enrique Navia Ojeda –- Niterói, 2014. 115 p. : il.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, 2014.
Bibliografia: p. 107-115.
1.GRAVIDADE ENTRÓPICA. 2.MATÉRIA ESCURA. 3.COSMOLOGIA. 4.TERMODINÂMICA. 5.MECÂNICA NEWTONIANA MODIFICADA. I. Navia Ojeda, Carlos Enrique, Orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física, Instituição responsável. III.Título.
Fábio Henrique Moreira dos Anjos
Gravidade Entrópica e o Problema da
Matéria Escura
Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Física da Uni-versidade Federal Fluminense, como requisito para obtenção do título de Mestre em Física.
Orientador:
Carlos Enrique Navia Ojeda
Niterói-RJ 2014
Agradecimentos
A Deus pelo suporte sempiterno. Agradeço pelo apoio e encorajamento de minha família. Pela companhia e interesse dos meus ilustres colegas estudan-tes de física da UFF, pelo apoio técnico dos funcionários e professores, por meu orientador.
Sumário
0.1 O problema da matéria escura . . . 15
0.2 A expansão do Universo . . . 19 1 Conceitos-Chave 21 1.1 Tópicos de Termodinâmica . . . 21 1.1.1 Entropia . . . 21 1.1.2 Força Entrópica . . . 24 1.1.3 Equipartição da Energia . . . 24 1.1.4 Temperatura de Debye . . . 26 1.2 O Efeito Unruh . . . 26 1.3 Princípio Holográfico . . . 29 1.4 Relação de Tully-Fisher . . . 32 2 Gravidade Entrópica 37 2.1 Gravidade Emergente . . . 37 2.2 Gravidade Entrópica . . . 38 2.2.1 Proposta de Padmanabhan . . . 38 2.2.2 O Modelo de Verlinde . . . 38 2.2.3 As equações de Einstein . . . 42
2.3 Conexão entre Gravidade Entrópica e MOND (Modified New-tonian dynamics) . . . 44
2.4 O Início Empírico da MOND . . . 45
2.4.1 MOND - Modified Newtonian Dynamics (modificações da dinâmica de Newton) . . . 45
2.4.2 Evidências Experimentais . . . 48
2.5 Críticas à MOND . . . 50
3 Cosmologia 68 3.1 Interpretação da aceleração do Universo como força entrópica 68 3.2 Cosmologia e MOND . . . 71
4 Matéria Escura MONDiana 78 4.1 Aplicação: Estimativas da razão entre massa escura e massa
bariônica em galáxias espirais . . . 82
5 Conclusões 88 Appendices 92 A O Efeito Unruh com Mais Detalhes 93 A.1 Introdução . . . 93
A.2 Campo escalar livre no espaço-tempo de Minkowski . . . 94
A.3 Quantização do campo . . . 96
A.4 Coeficientes de Bogoliubov . . . 97
A.5 Aceleração constante na relatividade especial . . . 98
A.6 Efeito Unruh em duas dimensões . . . 100 B Modelo de Universo Plano em Expansão 104
Lista de Figuras
1 Curva de rotação de galáxias obtida teoricamente [5, seção 10.1.6]. O crescimento linear da velocidade com o raio repre-senta o centro da galáxia que se movimenta como um disco rígido, mas a partir de uma certa distância do centro galático teoricamente a velocidade deveria diminuir aproximadamente de acordo com 1/√R. . . 16 2 Curva de rotação de galáxias típica obtida através de
observa-ção [6] . . . 17 3 Curva de rotação da galáxia M33, as bolas amarelas
represen-tam os valores obervados e a linha segmentada corresponde à curva de rotação esperada teoricamente, [2]. A imagem da galáxia está na mesma escala do gráfico. . . 17 1.1 No lado esquerdo temos um observador inecial no vácuo, este
só observa as flutuações do vácuo quântico (criação e aniqui-lação de pares de partícula e antipartícula). No lado direito temos um observador acelerado no vácuo, pelo efeito Unruh este detecta um banho termíco de radiação de corpo negro. . . 29 1.2 Toda a informação física no interior da tela holográfica pode
ser contida na sua superfície. 1 bit de informação para cada 7.10−66cm2. . . . 32
1.3 Gráfico em escala logarítmica da massa das galáxias em função da velocidade assintótica. Cada ponto representa uma galáxia e a reta é o ajuste de curva (1.39) com inclinação 4 [53]. Vf
é a velocidade assintótica em km/s e Md é a massa bariônica
das galáxias dada em múltiplos de massas solares. . . 36 2.1 Partícula de massa m se aproximando da superfície holográfica
com temperatura T e entropia S; toda a informação física do interior da tela holográfica se encontra na sua superfície. . . . 39
2.2 Uma massa m se aproximando de uma superfície holográfica esférica, à essa superfíce está associada uma temperatura T e N bits de informação do sistema físico contido em seu interior
cuja massa é M . . . 41
2.3 Curvas de rotação de galáxias obtidas teoricamente pelo mo-delo de Milgrom, v é a velocidade dada em termos de uni-dades da velocidade assintótica v∞, s ≡ r/h onde h é um comprimento característico da galáxia usado como unidade e ξ ≡ v∞2/a0h [51]. . . 48
2.4 Curvas de rotação de diversas galáxias; as bolas pretas são os dados coletados e as curvas sólidas são as curvas ajustadas usando o modelo da MOND [6] . . . 52
2.5 Continuação da figura 2.4. Em especial, observe no gráfico superior esquerdo como a modelagem da MOND segue a forma em "degrau"da curva de rotação observada. . . 53
2.6 Ajuste de curva usando a MOND para galáxias do tipo LSB. As bolas sólidas são os dados observacionais, linhas sólidas mostram as curvas obtidas usando MOND, as linhas trace-jadas são as curvas de rotação Newtoniana e as pontilhadas representam a curva de rotação Newtoniana do gás das galá-xias [69]. . . 54
2.7 As bolas são os dados observacionais, as linhas sólida e ponti-lhada representam dois ajustes diferentes de curvas usando a MOND [6] . . . 55
2.8 continuação da figura 2.7 . . . 56
2.9 O raio na vertical é dado em kpc e a velocidade na vertical é dada em km/s. As bolas são os dados observacionais, a linha sólida é o ajuste da MOND e as linhas tracejada e pontilhada são as curvas de rotação Newtoniana do disco luminoso da galáxia e do seu gás respectivamente [70]. . . 57
2.10 Continuação da fugura 2.9. . . 58
2.11 Continuação da fugura 2.10. . . 59
2.12 Continuação da fugura 2.11. . . 60
2.13 Continuação da fugura 2.12. . . 61
2.14 Gráfico logaritmo da luminosidade em função da velocidade assintótica de rotação Vrot para diversas galáxias. Os pontos do gráfico representam diferentes galáxias e a reta sólida é o ajuste de curva usando MOND [70]. . . 62
2.15 Gráfico da massa das galáxias, em termos de massas solares M , em função da velocidade assintótica Vf. As bolas e
qua-drados são os dados observacionais com suas respectivas bar-ras de erros. Percebe-se claramente que o ajuste da MOND é muito mais preciso que ajuste do modelo padrão ΛCDM [73]. No caso do modelo ΛCDM, para que o ajuste de curva seja possível, é necessário assumir que, somente uma fração da matéria bariônica total (Mb) foi detectada, e usa-se a relação
Mb = fbMvir, onde Mvir é a massa bariônica detectada e fb é
um parâmetro. . . 63 2.16 Gráfico logarítimico entre a massa observada e a massa
infe-rida pela dinâmica Newtoniana. Cada ponto representa um aglomerado de galáxias. Se as duas quantidades fossem iguais os pontos do gráfico estariam sobre a reta mas o que se observa é que a massa inferida pela dinâmica é em torno de 5 vezes a massa observada [77]. . . 64 2.17 Gráfico logarítimico entre a massa observada e a massa
in-ferida pela dinâmica da MOND. Cada ponto representa um aglomerado de galáxias. Aqui, a massa inferida pela dinâmica é em torno de 2 a 3 vezes a massa observada mas há uma maior imprecisão na distribuição [77]. . . 65 2.18 Cada ponto representa uma galáxia. V é a velocidade
assin-tótica da galáxia observada e Vb é a velocidade teórica obtida
usando lei de Newton da gravidade. A razão (V /Vb)2 dá uma
noção da discrepância de massa, isto é, se (V /Vb)2 = 1 então a
galáxia não apresenta matéria escura, e se (V /Vb)2 > 1
signi-fica que há discrepancia entre a massa obsevada e a massa in-ferida pela dinâmica Newtoniana. O gráfico de cima é (V /Vb)2
em função da aceleração centrípeta observada a = V2/r. Já
o gráfico de baixo apresenta (V /Vb)2 em função da aceleração
Newtoniana gN = Vb2/r. Observe que os sistemas galáticos só
começam a apresentar discrepância de massa para acelerações em torno ou abaixo de 10−10m/s2 que é basicamente o valor
2.19 O mesmo gráfico da figura 2.18 mas com o eixo vertical em escala logaritmica para incluir acelerações típicas de objetos do sistema solar. Os símbolos são: '=Mercúrio; ♀=Vênus; ⊕=Terra; ♂=Marte; X=Júpiter; Y=Saturno; Z=Urano; [=Ne-tuno; Pionner 11; Pionner 10; centenas de galáxias; Observe que os planetas estão bem dentro do regime de acelerações mçuito maiores que ao, ou seja, a MOND não apresenta
dis-crepância com respeito à descrição Newtoniana e Einsteniana da gravidade. [82]. . . 67 3.1 Distribuição de temperatura da radiação cósmica de fundo. As
temperaturas variam em torno de ±200µK e a temperatura média é de ¯T = 2, 725K [89, sec. 9.1]. As regiões vermelhas e amareladas representam temperaturas acima da média e as regiões em azul representam temperaturas abaixo da média. Credit: NASA / WMAP Science Team (http://wmap.gsfc.nasa-.gov/media/121238/index.html). . . 75 3.2 Espectro de potência angular da radiação cósmica de fundo
obtido pelo WMAP [96]. No gráfico, TT é uma notação usada em [96] para representar o gráfico da (3.26) em termos de l, o duplo TT é para lembrar que a (3.26) dá uma média quadrática de flutuação de temperatura. . . 76 3.3 Espectro de potência angular da RCF obtido usando neutrinos
estéreis de 11eV mais a MOND (curva sólida), os pontos com barras de erros reperesentam os dados observacionais, a curva pontilhada é o ajuste de curva obtido pelo modelo ΛCDM. Observe que os ajustes de curva da ΛCDM e dos neutrinos estéreis praticamente coincidem. [92]. . . 77
5.1 Gráfico da seção de choque (em cm2) em função da massa (em GeV /c2). A linha azul escuro e sua faixa azul claro
re-presentam as regiões de varredura do LUX, que deram nega-tivo. As outras linhas representam experimentos anteriores que deram negativo: XENON100 (linha vermelha), ZEPLIN-III (linha rosa), CDMS II (linha verde), Edelweiss II (linha amarelo escuro). Até 2015 espera-se fazer uma varredura com seção de choque menor [108]. Como o gráfico mostra, o LUX e o XENON100 são os que apresentaram maior precisão com as seções de choque e maior amplitude de detecção de massa. Toda a área acima da curva azul deu negativo quanto a detec-ção de matéria escura, isto exclue quase todos os experimentos anteriores. . . 91 A.1 . . . 99
Lista de Tabelas
4.1 Coluna 1: código da galáxia; Coluna 2: velocidade assintótica da galáxia em km/s; Coluna 3: massa estelar em unidades de 1010M
massas solares, onde M = 1, 9886.1030kg é a massa
do Sol; Coluna 4: massa de gás em unidades de 1010M ;
Co-luna 5: parâmetro de escala da galáxia dado em kpc (kilo Parsec), onde 1kpc = 3, 08568.1019m; Coluna 6: raio máximo
em kpc onde ainda há dados observacionais; Coluna 7: refe-rências de onde foram obtidos os valores do raio máximo a partir das curvas de rotação das galáxias. . . 86 4.2 Coluna 1: Código da galáxia; Coluna 2: razão entre massa
es-cura e massa bariônica calculada usando lei de Newton da gra-vidade; Coluna 3: razão entre massa escura e massa bariônica calculado usando matéria escura MONDiana. Dos resultados da amostra de galáxias acima vemos que, a interpretação de matéria escura MONDiana é razoável e está dentro dos valores esperados, ou seja, se mostra uma interpretação possível. . . . 87
Resumo
Um problema que temos na Física contemporânea é a discrepância entre a massa total observada no Universo e a massa total prevista pela Lei da gra-vidade de Newton ou de Einstein. Existem dois caminhos propostos para tentar explicar esse desvio da previsão teórica: i) existe uma distribuição de matéria não observada que gera os efeitos gravitacionais observados, a cha-mada matéria escura; ii) em determinado regime a lei da gravidade deve ser modificada para produzir os efeitos observados, são chamadas no geral de modificações da lei da gravidade de Newton ou de Einstein. Atualmente a proposta da existência da matéria escura é a mais aceita pela comunidade cientifica. Porém, mesmo após grandes investimentos ainda não foi obser-vada de forma direta. Isso abre espaçõ à segunda proposta e neste trabalho mostramos que a modificação da lei de gravidade, mais especificamente atra-vés da gravidade entrópica, é possível deduzir a lei empírica de Tully-Fisher, muito bem estabelecida e que domina a dinâmica das galáxias, além de pre-servar a relatividade geral de forma particular. A gravidade entrópica é um modelo que descreve a gravidade como uma força entrópica, a gravidade não seria uma interação fundamental mediada por uma partícula de calibre (gráviton), mas um processo emergente, uma consequência probabilística da tendência de sistemas físicos em aumentar a sua entropia. A proposta utiliza as leis de informação embutidas no princípio holográfico e a termodinâmica. Atualmente é uma nova linha de pesquisa muito ativa. Nesta dissertação são estudadas as consequências desse modelo, sempre atrelado com os dados observacionais.
Abstract
A problem that we have in contemporary physics is the mass discrepancy in the total universe between what is observed and what is inferred by Eins-tein’s or Newton’s law of gravity. There are two proposed ways that try to explain this deviation from theoretical prevision: i) there is a matter dis-tribution not observed wich generates the observed gravitational effects, it’s the so called dark matter; ii) in determined regime the law of gravity must be modified to produce the observed effects, in general these are called mo-difications of Newton’s or Einstein’s laws of gravity. Nowadays the proposed existence of dark matter is the most accepted by scientific the community. Yet even after great investment there’s no direct observation of such matter, this substantiate the second proposal. In this work we show a modification of gravity, the entropic gravity, from which it’s possible to deduce the empirical Tully-Fisher law, a well established law in galaxy dynamics, and it still pre-serves general relativity in particular. The entropic gravity is a model wich describes gravity as an entropic force, in this scenario gravity is not a fun-damental interaction mediated through a gauge particle (graviton), instead it’s an emergent fenomenon, a consequence from the probabilistic tendency for physical systems to raise their entropy. This proposal utilizes the laws of information embedded in the holographic principle and thermodynamics. It’s a very active new line of research. In this dissertation We show the concequences from this model, always in conjunction with observed data.
Introdução
0.1
O problema da matéria escura
Em sistemas de galáxias e grupos de galáxias observa-se que existe uma dis-crepância entre a massa inferida pela luminosidade e a massa inferida pela dinâmica do sistema, isto é, o campo gravitacional gerado pela massa obser-vada não é suficiente para explicar os movimentos dos corpos nesses sistemas galáticos e de grupos de galáxias. Quem primeiro observou isso foi Fritz Zwicky [1], um astrônomo suíço, que em 1937 publicou um estudo sobre o aglomerado de Coma, comparando a massa inferida pela luminosidade e a massa calculada pela dinâmica1 do sistema ele observou que há uma grande
discrepância nos valores de massa obtidos por esses dois métodos, ou seja, a massa inferida pela dinâmica é muito maior que a massa inferida pela lu-minosidade (a lulu-minosidade de uma galáxia é proporcional à sua massa). Em sistemas galáticos esperava-se que, na curva de rotação (velocidade de órbita vs distância ao centro da galáxia), a velocidade de órbita para distân-cias longe do centro galático diminuísse de acordo com a lei de Newton da gravitação [2], veja figura 1,
v(r) = r
GM (r)
r , (1)
onde v(r) é a velocidade de órbita em função do raio r, G é a constante universal da gravitação e M (r) é a massa da galáxia contida dentro do raio r, mas o que se observa é que a velocidade tende a ficar constante! Veja figura 2. Quem primeiro apontou isso foi Vera Rubin et al. [3] em 1960 no estudo da curva de rotação de galáxias, através da observação do efeito Doppler da luz vinda de diferentes partes das galáxias. Mesmo observações feitas através do efeito Doppler da luz para gases girando ao redor de galáxias a distâncias bem maiores do que a parte luminosa delas, a velocidade continua constante,
1A massa inferida pela dinâmica foi calculada usando o teorema do virial que, no caso de
aglomerados de galáxias, relaciona a massa total com a velocidade média dos constituintes do aglomerado e seu diâmetro.
R
v
Figura 1: Curva de rotação de galáxias obtida teoricamente [5, seção 10.1.6]. O crescimento linear da velocidade com o raio representa o centro da galáxia que se movimenta como um disco rígido, mas a partir de uma certa distância do centro galático teoricamente a velocidade deveria diminuir aproximada-mente de acordo com 1/√R.
em alguns casos continua aumentando assintoticamente para determinado valor [4], veja figura 3.
Como explicar esses dados? Pelas leis de Newton esses corpos distantes do centro galático deveriam escapar de suas órbitas. Nesse caso, estamos lidando com um problema a baixas velocidades e campo gravitacional fraco, o que entra no limite clássico da teoria de Einstein. Até o momento ainda não foi encontrada uma resposta para esse problema na relatividade geral de Einstein.
Uma tentativa de resolver esse problema é postular a existência de matéria escura. Essa matéria geraria o campo gravitacional necessário para manter galáxias e sistemas de galáxias coesas mas que não interage com a luz. Logo, não podemos ver a matéria escura. A estimativa média é de que existe 5 vezes mais matéria escura do que matéria comum bariônica [7]. Os candida-tos para matéria escura são: WIMPS (weakly-interacting massive particles), axions, espécies de neutrinos pesados não observados (ou neutrinos estéreis), MACHOS (MAssive Compact Halo Objects), entre outros candidatos. Para uma lista completa de candidatos à matéria escura veja [2, 7, 8, 9, 10, 11].
O primeiro candidato a matéria escura foi o MACHO que é basicamente matéria bariônica fria (os bárions são formados por quarks, como os nêutrons e prótons) que emite pouca ou nenhuma luz, como estrelas de nêutrons,
bu-R
v
Figura 2: Curva de rotação de galáxias típica obtida através de observação [6]
.
Figura 3: Curva de rotação da galáxia M33, as bolas amarelas representam os valores obervados e a linha segmentada corresponde à curva de rotação esperada teoricamente, [2]. A imagem da galáxia está na mesma escala do gráfico.
racos negros, estrelas anãs marrons, planetas massivos, entre outros. Atu-almente os MACHOS estão praticamente descartados. Diversos grupos ten-taram observá-los através do efeito de micro-lentes gravitacionais mas nada foi encontrado [12, 13]. Ainda há o problema da nucleosíntese primordial (é a quantidade de núcleos atómicos leves que foram produzidos no big bang, como o deutério e hélio), pela teoria padrão da nuclesíntese primordial a quantidade de matéria bariônica produzida é insuficiente para explicar toda a matéria escura, isto é, se o Universo fosse constituído somente pela maté-ria bariônica e energia escura não é possível gera o espectro de potência da radiação côsmica de fundo [14, 15].
No presente, o candidato mais aceito para matéria escura são os WIMPS, que seriam partículas "exóticas", isto é, não bariônicas previstas pela su-persimetria, que é uma extensão do modelo padrão de Física de partícu-las. Estes, supostamente, só interagiriam com a matéria comum bariônica através da força fraca e gravitacional. Existem diversos grupos tentando detectar WIMPS que ocasionalmente passem pela Terra (o grupo LUX por exemplo) ou produzí-los em aceleradores de partículas, como o LHC. A ma-téria escura ainda pode ser dividida em dois grandes grupos: mama-téria escura "quente"(HDM - Hot Dark Matter) que são partículas ultrarelativísticas, como por exemplo espécies de neutrinos não detectados, e matéria escura "fria"(CDM - Cold Dark Matter) que são partículas não relativísticas. Exem-plos desse grupo são WIMPS, MACHOS e axions.
Atualmente, o modelo mais aceito para descrever a matéria escura é o modelo padrão ΛCDM que usa a teoria da relatividade geral com uma cons-tante cosmológica Λ, que está associada à densidade de energia escura no Universo, combinada com matéria escura fria (CDM). No caso de galáxias, a idéia é considerar um halo de matéria escura que fica em torno da galáxia, são necessários no mínimo três parâmetros para descrever o halo de matéria escura: o seu raio, a velocidade de rotação e a sua densidade [16].
Outra forma de atacar o problema é considerar que em determinado re-gime as leis de Newton da gravidade ou de Einstein devem ser modificadas para produzir os efeitos observados, são chamadas no geral de modificações da lei da gravidade. Existem diversas propostas de modificação da gravidade: algumas propoem modificar a lei clássica de Newton da gravidade, sendo um dos modelos que tem recebido mais atenção atualmente a MOND ou Modi-fied Newtoninan Dynamics (modificações das leis de Newton da dinâmica) proposta por Milgrom em 1983. Entre as propostas de modificação das equa-ções de campo de Einstein temos as teorias f(R) que faz uma modificação da
Lagrangiana de Einstein-Hilbert, S[g] ≡ Z Ld4x = c4 16πG Z R√−gd4x, (2) para a forma S[g] = c 4 16πG Z f (R)√−gd4x, (3)
em que o escalar de Ricci R é substituído por uma função f(R).
Entre as modificações da lei da gravidade temos as propostas de gravi-dade emergente em que a força da gravigravi-dade e o próprio espaço-tempo são conceitos que emergem de uma teoria microscópica mais fundamental, são teorias de gravidade quântica. Em particular, existe um ramo que busca deduzir a gravidade como uma força entrópica, isto é, usando conceitos de termodinâmica e em especial o princípio do aumento da entropia.
O presente trabalho tem como foco investigar teorias de gravidade entró-pica. O capítulo 1 apresenta os conceitos, hipóteses e observações necessárias para desenvolver no capítulo 2 o modelo de gravidade entrópica e mostrar que este incorpora a MOND. O capítulo 3 é uma breve aplicação de gra-vidade entrópica à cosmologia. O capítulo 4 apresenta um indicativo de uma dualidade entre a MOND e a matéria escura não bariônica, denominada MONDian dark matter. A MOND funciona muito bem na escala de galáxias mas tem dificuldades de explicar aglomerados de galáxias, porém, com a in-corporação de neutrinos estéreis (candidato à matéria escura HDM previsto pela supersimetria) é possível formular uma cosmologia com a MOND que de certa forma é equivalente à ΛCDM. Esse modelo, por exemplo, consegue explicar o espectro da radiação côsmica de fundo.
0.2
A expansão do Universo
Vale aqui ressaltar um pouco a questão do problema da energia escura, pois em diversos modelos que tentam explicar a matéria escura aparecem certos indícios de conexão entre o problema de matéria escura e energia escura. Através da observação de supernovas do tipo Ia, hoje em dia é bem aceito que o Universo se encontra em expansão acelerada [17]. Na relatividade geral um Universo em expansão possui uma constante cosmológica Λ que representa uma distribuição uniforme de energia em todo o Universo, é essa energia que é responsável pela expansão do Universo, chamada de energia escura. Pela teoria de Einstein não é possível obter pista do que seja essa energia escura que faz o Universo expandir aceleradamente. E uma propriedade diferente é que ela deve ter pressão negativa. As estimativas para a distribuição de
energia escura, matéria escura e matéria comum são: ∼ 70% de energia escura, ∼ 25% de matéria escura e ∼ 5% de matéria comum [18, 19, 20, 21, 22, 23].
Capítulo 1
Conceitos-Chave
1.1
Tópicos de Termodinâmica
1.1.1
Entropia
Uma abordagem moderna sobre a definição de entropia pode ser dada por[24]: Considere um sistema termodinâmico caracterizado por diversos vínculos in-ternos, postula-se a existência de uma função S das variáveis extensivas, definida para todos os estados de equilíbrio termodinâmico, tal que, se um vínculo interno do sistema é removido as variáveis extensivas assumem os va-lores que maximizam S, de acordo com os vínculos restantes. S é a entropia do sistema (do grego transformação [25]) e é uma função que contém toda a informação termodinâmica do sistema [26].
Teorema de Clausius: Para um sistema que é submetido a um processo, quer seja reversível ou irreversível, vale a desigualdade de Clausius [27],
I δQ
T ≤ 0, (1.1)
onde δQ é o diferencial inexato do calor fornecido ao sistema e T a tempe-ratura absoluta. Observe que para processos reversíveis só vale a igualdade acima,
I δQ
T = 0 (processos reversíveis). (1.2) Pelo estudo de cálculo sabemos que a integral acima define uma função no espaço de coordenadas termodinâmicas a menos de uma constante, Clausius definiu essa função como S, a entropia do sistema. Digamos que o sistema
esteja inicialmente no estado inicial i e por um processo reversível passe para o estado final f , temos
Z f
i
δQ
T ≡ Sf − Si = ∆S. (1.3)
S é uma função de estado termodinâmico, sua unidade é [energia]/[temperatura absoluta]. Para um processo infinitesimal tem-se
dS = δQ
T , (1.4)
onde δQ é a quantidade de calor infinitesimal fornecida ao sistema em um processo reversível na temperatura T .
Para calcular a variação da entropia em processos irreversíveis dum estado inicial i a um estado final f , basta encontrar um processo reversível que leve o sistema de i a f e usar a (1.3).
Agora considere, por exemplo, o espaço de coordenadas termodinâmicas P-V, onde P é a pressão e V é o volume, e dois estados A e B do sistema e seja um processo reversível R e outro Irreversível I, que levam de A em B.
P
V
I
R
A
B
O caminho fechado I + R define um processo irreversível, pois I é irre-versível, pelo teorema de Clausius temos
I R+I = Z B A δQ T I + Z A B δQ T R = Z B A δQ T I − (SB− SA) ≤ 0, (1.5) o que equivale a Z B A δQ T ≤ ∆S, (1.6)
onde a desigualdade vale para processos irreversíveis e a igualdade para pro-cessos reversíveis. E na forma diferencial temos
δQ
T ≤ dS. (1.7)
Para um sistema que passa por um processo adiabático temos δQ = 0 e isto implica que ∆S ≥ 0, ou seja, a entropia de um sistema isolado termica-mente nunca diminui, ou aumenta para processos irreversíveis ou permanece constante em processos reversíveis.
A segunda lei da termodinâmica pode ser enunciada em termos da entro-pia: a entropia do Universo nunca diminui, em um sistema fechado, isto é, que pode trocar calor e trabalho com seu exterior mas que tem seu número de partículas fixo, a entropia pode até diminuir, mas a custa do aumento pro-porcional de entropia em outro lugar, isto é, a entropia total sempre aumenta (∆S ≥ 0).
A terceira lei da termodinâmica diz que no zero absoluto de temperatura a entropia é nula.
Da mecânica estatística temos que
S = kBln (Ω) , (1.8)
onde kB é a constante fundamental de Boltzmann e Ω é o número de
microes-tados acessíveis ao sistema com dada energia E fixa. Existe um postulado em mecânica estatística [28] que diz que cada microestado acessível do sistema termodinâmico é igualmente provável de ocorrer, e que um macroestado ter-modinâmico com mais microestados é mais provável do que um com menos
microestados. Portanto, o macroestado mais provável que o sistema pode se encontrar é aquele que maximiza o número de microestados acessíveis Ω, e este fato é consistente com a relação (1.8) em que a entropia S é maximizada conforme a segunda lei da termodinâmica.
1.1.2
Força Entrópica
Da primeira lei da termodinâmica,dU = δQ − δW, (1.9)
onde U é a energia interna do sistema e W o trabalho que o sistema realizou, e usando δW = F.dx e a equação (1.4) temos que
F = TdS dx − dU dx. (1.10) No caso de d U = 0 temos F = TdS dx, (1.11)
que é a força devida à varição de entropia em função da variação da coorde-nada de posição, esta é chamada de força entrópica.
1.1.3
Equipartição da Energia
O teorema da equipartição da energia é válido no limite clássico, isto é, temperaturas elevadas, e cujo Hamiltoniano do sistema tenha dependência quadrática nas coordenadas generalizadas q e p do sistema. A energia deve ser da forma
E =X
i
Aiq2i + Bip2i, (1.12)
com A e B constantes. Em princípio é possível fazer uma transformação de coordenadas generalizadas para tornar a expressão da energia na forma acima (para o caso clássico).
Considere a função de partição (ensenble canônico) q
q =X i exp −Ei kBT , (1.13)
onde Ei é a energia do estado i e T é a temperatura dos sistema. No limite clássico temos q = Z exp −E kBT dx1dx2...dp1dp2..., (1.14)
em que E depende das coordenads de posição xi e momento pi.
Se a energia tem a forma (1.12) a função de partição q pode ser reescrita na forma q = Y i Z exp −Aiq 2 i kBT dqi ! . Y i Z exp −Bip 2 i kBT dpi ! , (1.15)
em que o resultado de cada integral é da forma
Z exp −Cx 2 kBT dx = πkBT C 12 . (1.16)
em que C é uma constante.
Do ensenble canônico podemos calcular a energia interna do sistema
U = kBT2
d(ln(q))
dT , (1.17)
mas como q é um produtório de termos proporcionais a T1/2 a energia interna
será uma soma de termos do tipo
kBT2 d dTln πkBT C 12 = 1 2kBT, (1.18) e portanto, para cada grau de liberdade do sistema (cada coordenada de posição e momento generalizado) está associado uma energia média 12KBT .
Essa é a equipartição da energia que é distribuída igualmente entre os graus de liberdade do sistema, digamos que o sistema tenha N graus de liberdade, então a energia interna é dada por U = N12kBT . E lembrando que isto só
vale para o caso em que a Hamiltoniana tenha uma dependência quadrática nos graus de liberdade e no limite clássico de altas temperaturas. Quando digo altas temperaturas significa que a energia kBT associada a cada grau
de liberdade deve ser muito maior que a diferença de energias dos níveis quânticos do sistema.
1.1.4
Temperatura de Debye
No estudo do calor específico de sólidos temos o modelo de Dulong-Petit que trata os constituintes do sólido como osciladores harmônicos que não interagem entre si, o resultado é calor específico constante,
cv = 3R. (1.19)
e a energia interna dos sistema é
U = 3N kBT, (1.20)
onde N é o número de constituintes do sólido.
Mas para temperaturas baixas sabe-se experimentalmente que o calor específico tende a zero. Para contornar esse problema Debye assumiu um modelo de sólidos que considera a propagação de fónons na rede do sólido. Pelo modelo de Debye, a energia interna é
U = 3N kBT D
TD T
, (1.21)
onde TD é a temperatura de Debye que depende de cada sólido e
D(TD T ) = 3 T TD 3Z TD/T 0 x3 exp(x) − 1dx, (1.22)
é a função de Debye. Para T >> TD temos que D(TD/T ) → 1 e nesse limite
recuperamos a lei de Dulong-Petit e para T << TD temos D(TD/T ) → 4π
4
5 T TD.
Efetivamente, pela teoria de Debye a temperatura T deve ser multiplicada pela função de Debye D(TD/T ) no cálculo da energia interna U e do calor
específico, onde TD é a temperatura de Debye característica para cada sólido.
1.2
O Efeito Unruh
O efeito Unruh é um resultado da teoria quântica de campos[29] que prevê que no espaço de Minkowski sem partículas um detector de partículas uni-formemente acelerado iria detectar, no seu referencial, um banho térmico de radiação de corpo negro (radiação térmica), em que a temperatura dessa radiação de corpo negro é proporcional à aceleração do observador. Essa ra-diação está associada à flutuação do vácuo quântico. Esse efeito foi descrito
inicialmente por Fulling [30] e proposto por Paul Davies [31] sob a influên-cia do trabalho de Hawking para descrever a radiação de partículas por um buraco negro, a chamada radiação Hawking [32]. Em 1976 Bill Unruh apre-sentou uma relação direta entre a aceleração do observador e a temperatura de radiação de corpo negro do vácuo [33].
Em teoria quântica de campos a definição de vácuo é aquela em que todos os campos se encontram no nível fundamental de energia, os campos sempre apresentam flutuações quânticas que se traduzem em criação e destruição de pares de partícula e antipartícula. Portanto, a definição de vácuo mais mo-derna é bem diferente da definição clássica de vazio absoluto, ao invés disso, o vácuo é populado de partículas que são criadas e destruídas rapidamente.
O estado de vácuo, no espaço de Minkowski, do observador inercial é de-finido como aquele em que o operador número de partículas ˆNIn tem valor
médio igual a zero. Mas o operador número de partículas depende das coor-denadas que são usadas, ou seja, depende do referencial em que é calculado. A idéia central para se encontrar o efeito Unruh é calcular o operador número de partículas ˆNIn nas coordenadas do observador inercial e
calcu-lar o operador número de partículas ˆNAc nas coordenadas dum observador
acelerado, para se calcular ˆNAc é usado o sistema de coordenadas de Rindler
que descreve o movimento de referenciais acelerados no espaço de Minkowski. As coordenadas de Rindler são definidas de forma que, observadores acele-rados no espaço de Minkowski (que descrevem hipérbolas) se encontram em repouso no referencial das coordenadas de Rindler.
O operador número de partículas pode ser escrito como função dos opera-dores de criação (a†) e destruição (a) na forma N = a†a, mas os operadores a e a†dependem do referencial escolhido. No caso de partículas livres denota-se ake a
†
k onde o índice "k"representa os estados linearmente independentes do
sistema, ou seja, para cada estado k linearmente independente está associado um operador de criação e destruição.
Considere o caso de um referencial inercial com operadores a(i)k e a†k(i) associados e um outro referencial acelerado com respeito ao primeiro com operadores a(a)k e a†k(a) associados (os operadores a(i)k e a†k(i) com marcação (i ) se referem ao referencial inercial e os operadores a(a)k e a†k(a) com mar-cação (a) se referem ao referencial acelerado) . É possível mostrar que os operadores de criação e destruição no referencial inercial podem ser escritos como combinação linear dos operadores de criação e destruição do referencial acelerado, ou seja,
a(i)n =X k αn,ka (a) k + β ∗ n,ka † k (a) , (1.23) a†n(i) =X k α∗n,ka(a)k − βn,k∗ a†k(a). (1.24)
Onde os coeficientes αn,k e βn,k são chamados de coeficientes de Bogolubov
e as (1.23) e (2.2) são as transformações de Bogolubov.
Por definição, a atuação do operador número de partículas ˆNIn do
obser-vador inercial no estado de vácuo |0iInresulta no número médio de partículas igual a zero, isto é,
h0|InNˆIn, |0iIn = 0 (1.25)
mas ao aplicar o operador número de partículas ˆNAc do observador acelerado
no mesmo estado de vácuo resulta em um número de partículas diferente de zero, isto é,
h0|InNˆAc|0iIn 6= 0, (1.26)
isso acontece porque, conforme as relações (1.23) o operador ˆNAcé dado como
uma combinação linear de operadores de criação e destruição do referencial inercial. É deduzido em [29, 33] que a (2.4) resulta em uma distribuição de radiação de corpo negro a temperatura T,
T = ~ 2πckB a, (1.27)
onde h é constante de Planck, kBé constante de Boltzmann, c é velocidade da
luz e a é a aceleração do referencial acelerado (para ver os cálculos detalhados [29]).
Então, um observador inercial no espaço de Minkowski sem partículas observaria somente as flutuações quânticas do vácuo, mas um observador uniformemente acelerado iria detectar, segundo a teoria quântiva de campos, no vácuo, um banho térmico de radiação de corpo negro. Com isto é possível associar à aceleração uniforme uma temperatura (T ∝ a). O conceito de partícula é dependente do referencial considerado. Na figura (1.1) temos uma representação pictórica desse efeito.
Não existe observação experimental direta do efeito Unruh, mas diversas propostas de experimentos estão dadas [29, 34, 35, 36, 37]. A principal difi-culdade é a necessidade de uma grande aceleração para que a temperatura
Figura 1.1: No lado esquerdo temos um observador inecial no vácuo, este só observa as flutuações do vácuo quântico (criação e aniquilação de pares de partícula e antipartícula). No lado direito temos um observador acelerado no vácuo, pelo efeito Unruh este detecta um banho termíco de radiação de corpo negro.
possa ser observável. Por exemplo, para uma temperatura de 1K é necessá-rio uma aceleração de 2, 4x1020m/s2, portanto o efeito Unruh é praticamente
inobservável para objetos macroscópicos no laboratório. Por exemplo, um aparato experimental que fosse construído para medir essa temperatura, e que tivesse a massa de 1kg, sofreria uma força descomunal de 2, 4x1020N ,
certamente esse aparato seria pulverizado antes que qualquer medida fosse re-alizada. Experimentos práticos devem envolver partículas elementares, como por exemplo a aceleração de elétrons em anel magnético [37].
1.3
Princípio Holográfico
Com base no trabalho de Bekenstein sobre o limite superior para a razão entre entropia e energia para sistemas fechados [38], Leonard Susskind [39] e Gerard ´t Hooft [40] propuseram, separadamente, que toda a Física contida num determinado volume do espaço pode ser descrita pela informação contida na sua superfície, assim como uma imagem holográfica é gerada a partir de um filme bidimensional.
O princípio holográfico surge do problema da termodinâmica de buracos negros. Um buraco negro clássico é caracterizado por uma massa, momento angular e carga, é um sistema com estado bem definido e portanto tem entropia igual a zero. Agora considere um sistema com uma dada entropia, se
ele for engolido por um buraco negro, toda a informação desse sistema será perdida ao atravessar o horizonte de eventos (nem mesmo a luz consegue sair de um buraco negro, e portanto, efetivamente para quem está fora do horizonte do buraco negro não é possível acessar a informação em seu interior) e a área do buraco negro aumenta, já que a área do horizonte é proporcional à massa do buraco negro. Se isso for verdade então a entropia do Universo terá diminuído e a segunda lei da termodinâmica terá sido violada. Existe um resultado que mostra que a área do horizonte de eventos de um buraco negro não diminui [41], só pode permanecer constante ou aumentar. Com isso é possível associar a entropia à área do buraco negro, cálculos diretos mostram o seguinte resultado para a entropia do buraco negro [42],
SBN =
kBc3
4G~A, (1.28)
onde kB é a constante de Boltzman, c é a velocidade da luz, G a constante
de Newton da gravitação, ~ a constante de Planck dividida por 2π e A é a área do horizonte de eventos do buraco negro. Sabendo que lP ≡
p
~G/c3 é o comprimento de Planck, mas
SBN = kB 4 A lP2 . (1.29)
O termo A/lP2 indica que a entropia do buraco negro é proporcional a um
quarto do número de células de área lP2 de Planck contidas no horizonte do
buraco negro.
Com a entropia do buraco negro definida, J. D. Bekenstein [43] e colabo-radores estabeleceram a segunda lei da termodinâmica generalizada em que a soma da entropia de sistemas comuns com a entropia dos buracos negros deve permanecer constante ou crescer, com isso a segunda lei da termodinâmica é preservada.
Da mecânica estatística, no ensenble microcanônico, sabemos que
S = kBln (Ω) , (1.30)
onde Ω é o número de microestados acessíveis ao sistema. Então, se o buraco negro tem entropia, logo deve estar associado a ele um determinado número de microestados acessíveis a esse sistema. Mas como a informação no interior do buraco negro não pode ser recuperada e como a entropia é proporcional à área do horizonte de eventos, os microestados devem estar associados à superfície do buraco negro (são microestados de superfície do buraco negro)
[44]. Em termos de informação, o número de microestados acessíveis Ω pode ser dado por [44]
Ω = 2n (1.31)
onde n é o número de bits necessários para descrever o sistema (0 ou 1). E portanto, para o buraco negro
n = SBN kBln(2)
= A 4.ln(2)lP2
(1.32)
é o numero de bits necessário para descrever os possíveis estados da superfície do buraco negro.
Agora considere um volume esférico do espaço, temos a seguinte questão, quanto de matéria, ou informação física, pode ser contida dentro desse vo-lume? Existe algum limite? Suponha que matéria seja adicionada dentro do volume. Vai chegar um ponto em que, devido à alta densidade de matéria e energia, ocorrerá um colapso gravitacional e a criação de um buraco negro. Continuando com o fluxo de matéria para dentro da esfera a área do hori-zonte do buraco negro vai crescer até tomar a área da casca esférica, se mais massa for adicionada, a área do horizonte de eventos irá exceder a área da casca esférica e portanto, o máximo de matéria que pode ser colocada dentro do volume esférico é equivalente à massa de um buraco negro com área do horizonte igual à área da superfície da esfera [42, p. 10]. E como a entropia do buraco negro é SBN, para que a segunda lei da termodinâmica não seja
violada, a saber, de que a entropia sempre cresce ou permanece constante, então a entropia da matéria SM durante o processo de formação do buraco
negro não deve exceder a entropia SBN do buraco negro [42, 45], isto é
SM ≤ SBN. (1.33)
Desta desigualdade vemos que a entropia do buraco negro é a entropia má-xima que pode ser contida dentro de um volume esférico com área superficial A. E como a entropia está associada à informação física, pela desigualdade acima temos que a informação física máxima que pode ser contida dentro do volume esférico é dada pela (1.32). Isso é chamado de limite esférico da entropia [42, 44].
O limite esférico da entropia só é válido para superfícies esféricas mas existe uma generalização para regiões do espaço-tempo, é o limite covariante
0
0
1
1 1
0 0
1
1
0 0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
Figura 1.2: Toda a informação física no interior da tela holográfica pode ser contida na sua superfície. 1 bit de informação para cada 7.10−66cm2.
da entropia [42, p. 19-36] [46] que estabelece que a entropia é limitada para determinados volumes do espaço-tempo.
O princípio holográfico é que toda a Física tridimensional dentro de uma região do espaço pode ser descrita em termos da informação contida na super-fície que engloba a região [40, 42, 44, 45], sendo necessário 1 bit de informação por elemento de área δA = 4ln(2)lP2 ≈ 7.10−66cm2 [40, p. 8]. Veja figura
1.2.
1.4
Relação de Tully-Fisher
Da lei de Newton da gravitação são derivadas as Leis de Kepler, em especial temos
V = r
GM
R (1.34)
onde V é a velocidade de rotação de uma massa de teste, G é a constante universal da gravitação, M é a massa que gera o campo gravitacional e R é a distância da massa M à massa de teste. Uma generalização da Lei de Kepler para galáxias é dada no estudo de mecânica da astronomia [47, cap.11]
V = r
KGM
R (1.35)
em que K depende da distribuição de massa no interior da esfera de raio R, por exemplo, se a distribuição é simétrica temos K = 1. Então, espera-se que para distâncias R longe do centro duma galáxia a velocidade diminua aproximadamente conforme a Lei de Kepler. Esse modelo teórico prevê uma curva de rotação conforme a figura (0.1).
Mas observações feitas revelaram que na verdade a velocidade de rotação fica praticamente constante para R longe do centro da galáxia, independen-temente da distância R ao centro da galáxia! Uma curva de rotação típica tem a forma geral da figura (0.1) ou (3)
Em 1977 Tully e Fisher, usando diversas fontes de dados, apresentaram uma relação entre a luminosidade de galáxias espirais e sua velocidade de rotação assintótica [48], lembrando que, a velocidade de rotação assíntótica de uma galáxia corresponde ao valor da velocidade de órbita V em torno da galáxia para distâncias R ao centro da galáxia em que V independe de R (veja figura 2). E como a luminosidade é diretamente proporcional à massa então a massa observável de galáxias espirais é diretamente proporcional à velocidade de rotação assintótica.
Existe uma boa correlação entre a luminosidade de galáxias espirais e o tamanho do intervalo da banda espectral do hidrogênio (H) neutro [48].
Há uma relação entre o tamanho da banda espectral de H neutro na galáxia e a velocidade de rotação máxima da galáxia: Se a galáxia fosse estática a banda espectral de H neutro apresentaria sua forma característica, mas como a galáxia está em rotação, a luz das estrelas que estão se afastando do observador (no movimento de rotação em torno do centro da galáxia) sofre um desvio para o vermelho e, a luz das estrelas que estão se aproximando sofre desvio para o azul. Assim, a banda espectral de H neutro da galáxia sofre um alargamento devido à contribuição do desvio para o vermelho e para o azul das estrelas que estão se aproximando e se afastando respectivamente. O valor desse alargamento é tanto maior quanto maior for a velocidade de
rotação da galáxia (o desvio do comprimento de onda da luz é proporcional à velocidade da sua fonte), é daí que advem a relação entre a largura da banda espectral de H neutro e a velocidade de rotação das estrelas na borda da galáxia. Observe que para essas medidas serem feitas o eixo de rotação da galáxia precisa ter aproximadamente um ângulo em torno de 45 graus ou maior, com respeito à linha de visão do observador, caso contrário, o alargamento da banda espectral é muito pequeno para ser observado. No caso extremo das velocidades das estrelas serem perpendiculares à linha de visão, não seria possível obervar o desvio nos comprimentos de luz.
Se L é a luminosidade absoluta da galáxia e V é a velocidade de rotação assintótica dela, Tully e Fisher encontraram a seguinte relação aproximada [5, 47, 48, 49]
L ∝ V4. (1.36)
Agora, a luminosidade é proporcional à massa da galáxia [50, 51] (M ∝ L), logo
M ∝ V4. (1.37)
A equação acima é uma relação experimental, e esta não pode ser dedu-zida usando lei de Newton ou a teoria da relatividade geral de Einstein.
Inicialmente a relação de Tully-Fisher apresentava desvios significativos com respetio à equação (1.36) para galáxias anãs, em que o expoente de V variava entre 2,5 a 4 para diferentes galáxias. Isto combinado às incer-tezas das medidas pois é necessário medir a luminosidade da galáxia e sua velocidade de rotação assintótica independetemente [52]. Outro problema é determinar a razão Υ∗ entre a massa e a luminosidade da galáxia para que
a relação (1.37) seja estabelecida. Basicamente a (1.36) apresentava certos desvios para galáxias com predominância de gás.
Apesar dos problemas de precisão apresentados acima a relação de Tully-Fisher ficou bem estabelecida através da seguinte consideração: Além da massa deduzida a partir da luminosidade, que corresponde à massa das es-trelas que compõem a galáxia, soma-se a massa do gás da galáxia. Com isso é obtida a relação de Tully-Fisher bariônica,
Mb ∝ V4, (1.38)
em que Mb ≡ M∗ + Mg é a soma da massa de estrelas M∗ que compõem
a galáxia e a massa de gás Mg. A massa composta de estrelas é dada pela
dados precisos mostrou o seguinte resultado,
Mb = 50V4, (1.39)
em que a massa da galáxia Mb é dada em múltiplos da massa solar M e
a velocidade assintótica V é dada em km/s. O resultado (1.39) pode ser resumido no gráfico (1.3). Mais ajustes de curvas de velocidade assintótica e massa bariônica são dados em [54](um estudo com mais de 200 galáxias), [55] e [50].
A relação de Tully-Fisher serve para estimar distâncias no caso de galá-xias onde a massa inferida pela luminosidade é muito maior do que a massa gasosa, medindo a velocidade de rotação assintótica da galáxia calcula-se a sua massa através da 1.39 e conhecendo a massa é possível estimar a lumi-nosidade intrínseca da galáxia pela relação L = Υ∗M . Daí basta conhecer
a luminosidade relativa da galáxia e inferir sua distância. Esse método de inferir distâncias é usado em escalas de ≈ 106Kpc = 1M pc, nessa faixa de
dis-tâncias, além do método descrito aqui, usa-se também a detecção de explosão de supernovas. A lei de Hubble é uma lei empírica que relaciona velocidade de recessão e distância de objetos a determinado observador, ela é derivada dos dados Observacionais. Dependendo da escala de distâncias a construção da lei de Hubble requer o uso de vários marcadores de distância. Na faixa de Mpc o único marcador é a lei de Tully-Fisher. Já para escalas maiores a esta, utiliza-se como marcadores de distância as supernovas do tipo Ia (vela padrão). Assim, a relação de Tully-Fisher também foi usada para calcular a constante de Hubble dando o resultado em torno de 80 km/s/Mpc [48, 56].
Figura 1.3: Gráfico em escala logarítmica da massa das galáxias em função da velocidade assintótica. Cada ponto representa uma galáxia e a reta é o ajuste de curva (1.39) com inclinação 4 [53]. Vf é a velocidade assintótica em
km/s e Md é a massa bariônica das galáxias dada em múltiplos de massas
Capítulo 2
Gravidade Entrópica
2.1
Gravidade Emergente
A idéia de gravidade emergente foi primeiramente proposta em 1967 por An-drei Sakharov [57]. Neste trabalho, a gravidade, e o próprio espaço-tempo, seriam manifestações macroscópicas de uma teoria microscópica mais fun-damental. Os cálculos em teoria quântica de campos são realizados num espaço de Lorentz, sem gravidade. Nesse caso, o escalar de Ricci é R = 0. O que Sakharov fez foi considerar a Lagrangiana para o vácuo,e introduzir uma pequena perturbação nessa Lagrangiana L como função de R em torno de R = 0, tal que
L0 = L(R = 0) + AR + BR2+ ..., (2.1)
onde L0 é a Lagrangiana não perturbada (espaço-tempo plano) e, A e B são
constantes. Em seguida, ele compara essa Lagrangiana perturbada com a Lagrangiana de Einstein [58] L(R) =√g −Λ − R 16πG + ... , (2.2)
onde g ≡ det(gµν). Logo, termos da constante cosmológica e da Lagrangiana
de Einstein-Hilbert e correções de ordem superior para R estariam contidas nessa perturbação da Lagrangiana do vácuo da teoria quântica de campos. Nesse sentido, Sakharov interpreta a gravidade como efeito de flutuações quânticas do vácuo, a gravidade seria emergente a partir da teoria quântica de campos.
A partir desse trabalho inicial surgiram diversas outras propostas de gra-vidade emergente.
2.2
Gravidade Entrópica
Gravidade entrópica é um ramo da gravidade emergente em que as equações de gravidade são deduzidas usando termodinâmica, em especial o conceito de entropia.
2.2.1
Proposta de Padmanabhan
Motivado pelo Efeito Unruh e suas consequências, isto é, que observadores acelerados no vácuo (ou observadores de Rindler) associam ao espaço um banho térmico de corpo negro à uma temperatura T (a), Padmanabhan, em 2008, propõe uma analogia entre o espaço-tempo e um corpo macroscópico no limite termodinâmico. O argumento dele é que se ao espaço-tempo pode ser associada uma temperatura T para cada evento, então o espaço-tempo deve ter uma estrutura com graus de liberdade microscópicos e por consequência deve existir uma entropia Sg associada ao espaço-tempo [47, 59]. Ou seja,
segundo Padmanabhan, deve existir um sistema termodinâmico descrito por variáveis microscópicas, onde as quantidades macroscópicas associadas des-crevem o próprio espaço-tempo.
Em termodinâmica não é necessário ter conhecimento da dinâmica mi-croscópica para se descrever a evolução mami-croscópica de sistemas físicos com grande número de graus de liberdade, da mesma forma, se ao espaço-tempo estão associados graus de liberdade intrínsecos microscópicos, então este pode ser descrito como um sistema termodinâmico macroscópico sem que se tenha um conhecimento da dinâmica microscópica, ou seja, sem o conhecimento de uma teoria quântica da gravidade.
Em [60], Padmanabhan procede interpretando as equações de campo da gravidade via termodinâmica associando a cada evento do espaço-tempo um observador acelerado, que observa uma temperatura T (a) do vácuo. Em seguida, postulando uma forma para a entropia do campo gravitacional [60, p. 67] e somando à entropia da matéria, a condição de extremização da entropia total leva às equações de campo da gravidade de Einstein. Para mais detalhes vide [60].
2.2.2
O Modelo de Verlinde
Em trabalhos feitos por Jacbson [61, 1995] e Padmanabhan [60, 2008], eles mostraram aspectos termodinâmicos da relatividade geral de Einstein. E em um trabalho publicado por Erik Verlinde [62], fazendo uso do efeito Unruh, da força entrópica e do princípio holográfico, propõe que a lei da gravidade de Newton pode ser interpretada como uma força entrópica, nesse sentido a
gravidade iria emergir devido à variação de entropia associada à informação contida numa tela holográfica. A seguir será descrito com Verlinde chega à uma descrição da gravidade usando os conceitos-chave apresentados no capítulo 1.
A Segunda Lei de Newton
Considere uma partícula de massa m se aproximando de uma superfície holo-gráfica (lembrando que, uma superfície holoholo-gráfica é uma superfície fechada em que toda informação física em seu interior está contida na sua superfí-cie). A superfície holográfica separa a região do espaço já emergido1, onde a partícula se encontra, e a região cuja informação física está toda contida na sua superfície. Está subentendido uma dinâmica microscópica na superfície, e portanto estão associados uma temperatura T e entropia S, veja a figura (2.1).
T
S
m
x
elemento de
superfície holoǵrafica
Figura 2.1: Partícula de massa m se aproximando da superfície holográfica com temperatura T e entropia S; toda a informação física do interior da tela holográfica se encontra na sua superfície.
Para lidar com o problema da violação da segunda Lei da termodinâmica por buracos negros clássicos, Bekenstein [38, 43, 63] propôs que quando uma partícula de massa m se encontra a uma distância de um comprimento de
1O espaço emergido é a região externa à superfície holográfica, ou seja, essa região
onda de Compton (∆xC = mc~ ) do horizonte do buraco negro, a variação da
entropia é
∆S = 2πkB. (2.3)
Motivado motivado pela proposta de Bekenstein, Verlinde postulou que o mesmo se aplica para uma superfície holográfica que não seja o horizonte de um buraco negro, isto é, quando a partícula de massa m se encontra à distância de um comprimento de onda de Compton da superfície holográfica, a variação da entropia nessa superfície holográfica é dada pela (5.3). Depois, generalizou considerando que para distâncias pequenas a partir da superfí-cie holográfica (alguns múltiplos do comprimento de onda de Compton) a variação de entropia é proporcional à distância, isto é,
∆S = 2πkB
mc
~ ∆x. (2.4)
Pela segunda Lei da termodinâmica temos o princípio do aumento de en-tropia. Se a partícula de massa m, ao se aproximar da superfície holográfica, aumenta a entropia por um valor ∆S, então, estará associado ao movimento da partícula na proximidade da superfície uma força de origem entrópica. A força entrópica é definida por
F = T∆S
∆x. (2.5)
Agora, considere o efeito Unruh, que associa aceleração a uma tempera-tura T ,
T = ~ 2πkBc
a. (2.6)
Tomando T como a temperatura da superfície holográfica e a aceleração a da partícula de massa m, usando 2.4, 2.5 e 2.6 obtemos
F = ma, (2.7)
que tem exatamente a forma da segunda lei de Newton. O resultado acima dá a relação entre a aceleração da partícula de massa m devido à força F , de ori-gem entrópica, associada à temperatura e variação de entropia na superfície holográfica.
A lei da gravidade de Newton
Considere uma superfície holográfica esférica de raio R, a região exterior já é espaço emergido e o interior é descrito pela informação contida na superfície, veja figura 2.2. Pelo princípio holográfico o número de bits N de informação no interior da esfera é proporcional à sua área A = 4πR2, isto é,
N = αA, (2.8)
onde α é uma constante de proporcionalidade.
A informação contida na superfície descreve a Física no interior da esfera, e portanto existe uma dinâmica microscópica da informação nessa superfície, a cada bit posso associar uma energia. Sendo E a energia total do sistema Verlinde propôs a equipartição da energia sobre os bits de informação [62], isto é, a cada bit (grau de liberdade) está associado uma energia média kBT /2
tal que
E = 1
2N kBT, (2.9) onde T é a temperatura média da superfície holográfica. A energia total E também pode ser dada em termos da massa total M do sistema descrito na superfície holográfica usando a equação
E = M c2. (2.10)
R
M
m
T,N
Figura 2.2: Uma massa m se aproximando de uma superfície holográfica esférica, à essa superfíce está associada uma temperatura T e N bits de informação do sistema físico contido em seu interior cuja massa é M .
Agora, quero determinar a força F que uma partícula de massa m sofre quando se encontra próxima à superfície holográfica (algumas unidades de
comprimento de Compton de distância). Pelas (2.8), (2.9) e (2.10) é possível obter a temperatura T em termos da massa emergente M e da área A da superfície
T = 2M c
2
kBαA
. (2.11)
Usando o postulado de variação de entropia (2.4) na definição de força en-trópica obtém-se F = c 3 ~α M m R2 . (2.12) Assumindo que, α ≡ c3 ~G, isto é, N = c3 ~GA = A l2 P
onde lP2 é a área de Planck, obtemos
F = GM m
R2 , (2.13)
onde F é a força entrópica atuando sobre a partícula de massa m próxima à esfera holográfica de raio R, M é a massa emergente do interior da superfície holográfica e G é a constante de proporcionalidade entre a área A e o número de bits N . Compreendido os significados de cada termo, a relação acima assume a mesma forma que a lei de Newton da gravitação.
2.2.3
As equações de Einstein
Aqui faço uma breve descrição das deduções das equações de Einstein, para mais detalhes vide bibliografia indicada. Verlinde não é o primeiro a deduzir as equações de Einstein via termodinâmica, um artigo famoso é o de Ted Jacbson [61] (1995) que, usando a relação fundamental da termodinâmica (δQ = T dS) e a proporcionalidade entre entropia e área de horizontes, ele deduz as equações de Einstein e sugere que elas sejam interpretadas como equações de estado. Verlinde [62, p 19] apresentou um esboço de como dedu-zir as equações de Einstein usando argumentos parecidos com que ele usou para deduzir a lei de Newton da gravidade. Partindo da generalização do potencial Newtoniano para a relatividade geral (φ) dado em termos do ve-tor de killing global do tipo tempo Vα, o que subentende um espaço-tempo
estático,
φ = 1
2log (−V
aV
a) , (2.14)
ele divide o espaço-tempo em superfícies com φ constante e considera essas superfícies como telas holográficas, e ele escolhe o vetor de Killing Vα de
forma a relacionar essse vetor com os gradientes de temperatura e entropia [62].
Dada a quadri-velocidade e a quadri-aceleração a fórmula do efeito Unruh é generalizada para a linguagem tensorial [62, p 18]
T = ~ 2πe
φNb∇
bφ, (2.15)
onde Nb é vetor normal à superfície com φ = constante. E igualmente, o postulado de variação da entropia quando uma partícula de massa m se aproxima da tela holográfica é generalizado para tensores
∇aS = −2π
m ~
Na. (2.16)
Seja uma distribuição de massa estática M dentro da superfície holográ-fica S (volume tridimensional) fechada com φ constante. Assumindo que a energia associada à massa M está distribuída uniformemente sobre os bits de informação na tela holográfica, pela equipartição da energia, temos que cada bit carrega uma energia de 12T (com kB = 1) e a massa total é dada por
M = 1 2
Z
S
T dN, (2.17)
onde a densidade de bits na tela holográfica é
dN = dA G~, (2.18) (com c=1). Substituindo (2.15) e (2.18) em (2.17) obtêm-se M = 1 4πG Z S eφ∇φ.d ~A, (2.19)
que é a definição da massa de Komar. A partir desse ponto, Verlinde segue aproximadamente os passos de Jacobson para deduzir as equações de Eins-tein. A (2.17) (reescrita em termos do vetor de Killing Va) é igualada à
expressão de massa total dada em termos da integral do tensor de energia-momento Tab, o que leva a uma igualdade entre duas integrais de volume (Σ)
tensoriais, 2 Z σ Tab− 1 2T gab naVbdV = 1 4πG Z σ RabnaVbdV, (2.20)
em que na é quadri-vetor normal à superfície S e R
ab é tensor de Ricci. A
Em 1995 Jacobson publicou seu artigo pioneiro "Thermodynamics of Spa-cetime: The Einstein Equation of State"sobre gravidade entrópica [61]. A idéia central é interpretar a equação de Einstein da relatividade geral como uma equação de estado termodinâmico, para isso é considerado uma obser-vador acelerado em cada ponto do espaço-tempo e a respectiva temperatura de Unruh associada, a entropia é postulada como sendo proporcional à área do horizonte associado ao observador acelerado (fazendo analogia ao estudo da entropia de buracos negros por Hawking-Bekenstein). Para deduzir a equação de Einstein, Jacobson fez uso da equação termodinâmica δQ = T dS interpretando o fluxo de calor δQ como a energia associada à matéria que atravessa o horizonte do observador acelerado [61].
2.3
Conexão entre Gravidade Entrópica e MOND
(Modified Newtonian dynamics)
Para obter a lei da gravidade Newtoniana Verlinde fez uso da lei de equi-partição de energia, mas é bem sabido que essa lei deixa de valer para sóli-dos a baixas temperaturas, mais especificamente, a temperaturas abaixo de T ~ωD/KB onde ωD é a frequência de Debye que é a frequência máxima
de vibração dos átomos no sólido. Portanto, considere o caso em que a tela holográfica se encontra a uma temperatura T tal que T ~ωD/kB, onde
nesse caso ωD representa a frequência de oscilação máxima das partículas na
tela holográfica [64, 65].
Pelo modelo de Debye a equipartição de energia deve ser corrigida por um fator D(y) tal que
E = 1
2N kBT D(y), (2.21) onde y ≡ ~ωD
kBT =
2πcωD
a , em que usei a relação entre temperatura e aceleração
através do efeito Unruh. D(y) é definido por
D(y) ≡ 1 y Z y 0 z ez− 1dz, (2.22)
que é a função de Debye que tem as seguintes propriedades: D(y) = 1 para y 1 e D(y) = π6y2 para y 1.
Usando agora 2.21 nos cálculos de Verlinde temos que
F = T∆S ∆x = 2E kBN D(y) .2πkB mc ~ = 4πmcE ~N D(y) , (2.23)
onde usei a definição de força entrópica e a hipótese de Verlinde sobre a variação da entropia na superfície holográfica quando uma partícula de massa m se aproxima dela. Usando novamente as relações E = M c2 para a massa
M contida na superfície holográfica de área A e N = AcG~3 para o número de bits na superfície holográfica, obtenho
F = 4πGmM
AD(y) . (2.24)
Como F = ma e A = 4πR2 a equação pode ser reescrita
aD(y) = GM
R2 . (2.25)
No caso em que a 2πcωD temos que D(y) = 1 e recuperamos a lei
de Newton da gravidade, agora no caso em que a 2πcωD temos D(y) =
πa/12cωD, o que leva à equação
a2 12cωD π = GM R2 . (2.26) Definindo a0 = 12cωD/π temos a2 a0 = GM R2 . (2.27)
A equação (2.27) é exatamente a famosa relação da Modificação da Lei de Newton (MOND) proposta por Milgrom em 1983 para tentar resolver o problema da matéria escura, em especial lidando com o problema da curva de rotação de galáxias. Observe que, da (2.27) temos que a =
√ a0GM
R , que
difere da relação obtida pela Lei de Newton da gravidade aN ewton = GMR .
Através da (2.27) é possível deduzir a relação de Tully-Fisher e gerar curvas de rotação para modelos de galáxias compatíveis com as observações. Na próxima seção a MOND será apresentada do ponto de vista empírico.
2.4
O Início Empírico da MOND
2.4.1
MOND - Modified Newtonian Dynamics
(modifi-cações da dinâmica de Newton)
Uma tentativa de resolver o problema da matéria escura foi procurar modifi-car a lei de Newton da gravitação na escala de galáixas e sistemas de galáxias. Em 1983 Milgrom propôs a MOND [51, 66, 67], que é uma modificação da lei da gravidade de Newton para acelerações próximas ou abaixo do valor a0,
que é um parâmetro arbitrário a ser fixado através dos dados observacionais das curvas de rotação de galáxias. a0 acaba sendo uma aceleração típica
de galáxias que apresentam matéria escura [66]. Milgrom propôs a seguinte relação:
µ a a0
~a = ~gN, (2.28)
onde ~a é a aceleração do corpo, ~gN é o vetor de aceleração gravitacional
Newtoniano calculado classicamente e µ(a/a0) é uma função com as seguintes
características: µ a a0 → 1 para a a0, (2.29) e µ a a0 → a a0 para a a0, (2.30)
ou seja, para acelerações muito maiores que a0 temos a equação Newtoniana
da gravidade mas para acelerações muito menores que a0 temos
a2 a0 = gN. (2.31) Já no regime a ≈ a0 a função µ a a0
deve se comportar como uma função de transição entre as (2.29) e (2.30). A forma dessa função de transição é escolhida de forma a se ajustar aos dados observacionais (por exemplo, no ajuste de curvas de rotação de galáxias).
a0 seria um novo parâmetro de aceleração em que se as acelerações
carac-terísticas do sistema são muito maiores que a0 temos a dinâmica Newtoniana,
mas para acelerações inferiores a a0 teríamos a lei de Newton da gravidade
modificada. O valor da constante a0 foi determinado usando dados de
galá-xias cujas curvas de rotação e massa são muito bem determinados vide [6], seu valor aproximado é a0 = (1, 2 ± 0, 3)10−8cm/s2.
Considere um corpo de teste numa órbita circular em torno de uma massa M , à distância r e velocidade orbital v(r) tal que a aceleração centrípeta seja muito pequena comparada a a0. A aceleração é a = v
2
r e o campo
gravitacional Newtoniano gN = GMr2 . Substituindo em (2.31) temos
v4
a0r2
= GM
⇒ v4 = a
0GM . (2.33)
Que é a relação de Tully-Fisher bariônica. Se a massa de gás da galáxia puder ser ignorada, usando a relação entre luminosidade e massa (M ∝ L) obtemos,
L ∝ v4, (2.34) que é a relação de Tully-Fisher básica (conforme foi visto no capítulo “Relação de Tully-Fisher”). Observe que é possível obter a relação de Tully-Fisher pela lei da gravidade de Newton, igualando a aceleração centrípeta à aceleração gravitacional temos,
v2
r = GM
r2 . (2.35)
Agora, definindo a densidade de brilho superficial Σ dada por
Σ ≡ L
πr2, (2.36)
onde L é a luminosidade da galáxia. A (2.35) pode ser reescrita como
v4 = G2M2πΣ L = π M2 L2 ΣL = Υ∗ 2 ΣL, (2.37)
onde Υ∗ ≡ M/L é a razão entre a massa e a luminosidade da galáxia e é
apro-ximadamente constante. O problema é que existem duas classes de galáxias em termos da luminosidade [68]: galáxias com alto brilho superficial ΣHSB
(da sigla em inglês HSB ou high surface brightness) e galáxias com baixo brilho superficial ΣLSB (da sigla em inglês LSB ou low surface brightness ).
Pela (2.37) isto implicaria em duas relações de Tully-Fisher distintas mas o que se observa é que só há uma relação de Tully-Fisher (conforme visto no capítulo sobre Tully-Fisher), já pela MOND só é obtida uma única relação de Tully-Fisher universal e exata.
Para modelar a MOND no caso de galáxias é necessário considerar a fórmula geral (2.28) em que a velocidade de órbita v é função do raio r ao centro galático, a aceleração é a = vr2 e gN é o campo gravitacional clássico
Newtoniano calculado para o caso de distribuição de massa galática. No geral gN pode ser dado na forma [51]
gN(r) =
GM
