A MOND dada pela relação (2.28) não é considerada uma teoria mas sim uma proposta fenomenológica para explicar a rotação de galáxias sem a necessi- dade de invocar matéria escura, mas existem alguns problemas conceituais relacionados à ela. Por exemplo, a MOND conforme dada por [66] viola o princípio de equivalência forte no regime da MOND, a saber, que observa- ções de sistemas locais são afetadas pelas acelerações dos sistemas como um todo, isto significa que na hipótese da MOND se um sistema local tem o seu centro de massa acelerado por a a0 (fora do regime da MOND) mesmo
que as acelerações no interior do sistema sejam menores que a0 a Física no
interior do sistema deve ser também fora do regime da MOND. Apesar disso a MOND não contradiz o princípio de equivalência forte dentro do sistema solar, conforme pode ser verificado na figura 2.19, na escala dos planetas a MOND está no regime Newtoniano e portanto fecha muito bem com o princípio de equivalência, os desvios desse princípio são esperados em escalas galáticas ou superiores onde a aceleração típica é a ao.
Outra questão é que ela viola a terceira lei de Newton, para ver isto sejam as massas m e M à distância r, pela 2.28 a força que M exerce sobre m é
Fm = mam = mg (m) N µ −1 am a0 , (2.40) e a força de m sobre M , FM = M aM = M g (M ) N µ −1 aM a0 . (2.41)
Se a terceira lei de Newton é satisfeita então Fm = FM mas isto leva a
mGM r2 µ −1 am a0 = MGm r2 µ −1 aM a0 , (2.42)
o que leva a µ am a0 = µ aM a0 . (2.43)
Mas isto significaria que a função µ(a/a0) é constante e já não haveria mais
a aproximação da MOND. Portanto, pela hipótese da MOND a terceira lei de Newton é violada no regime de baixas acelerações. A violação dessa lei já é conhecida em sistemas magnéticos (sistemas clássicos em atuam forças magnéticas) , por exemplo ver [79, 80, 81], portanto, em princípio a violação da terceira lei de Newton pela MOND não é tão problemática.
O problema da matéria escura e energia escura, combinado com o estudo de cosmologia, são as principais motivações que fomentam a busca por teorias alternativas da gravitação. A idéia não é substituir as teorias existentes mas sim expandí-las onde estas teorias bem estabelicidas falham para explicar os dados observacionais. Portanto, o primeiro requisito para uma teoria emer- gente da gravitação, por exemplo, é se aproximar do limite Newtoniano no caso de baixas velocidades ou relativista no caso de altas velocidades e campos gravitacionais fortes. O que os estudos feitos pela ótica da MOND mostra- ram é que provavelmente deve existir um novo regime, a saber, o de baixas acelerações no qual a dinâmica Newtoniana deve ser modificada. O quão baixa deve ser essa aceleração é ditada pela constante a0 ≈ 1, 2.10−8cm/s2,
efetivamente existe uma correlação entre a discrepância de massa (ou matéria escura) e a aceleração típica de sistemas nas escalas astronômicas. Em [82] temos um apanhado de dados de aceleração e massa escura para centenas de galáxias, a correlação entre massa escura e aceleração fica evidente nas figuras 2.18 e 2.19, isto é, quanto menor a aceleração do sistema, maior é a discrepância entre as massas inferidas pela luminosidade e pela dinâmica.
Apesar dos problemas é inegável sua eficácia para explicar os dados de galáxias, isto indica que a MOND deve uma aproximação de uma teoria mais abrangente que inclua tanto a relatividade geral quanto a aproximação da MOND no regime de baixas acelerações.
Figura 2.4: Curvas de rotação de diversas galáxias; as bolas pretas são os dados coletados e as curvas sólidas são as curvas ajustadas usando o modelo da MOND [6]
Figura 2.5: Continuação da figura 2.4. Em especial, observe no gráfico supe- rior esquerdo como a modelagem da MOND segue a forma em "degrau"da curva de rotação observada.
Figura 2.6: Ajuste de curva usando a MOND para galáxias do tipo LSB. As bolas sólidas são os dados observacionais, linhas sólidas mostram as curvas obtidas usando MOND, as linhas tracejadas são as curvas de rotação New- toniana e as pontilhadas representam a curva de rotação Newtoniana do gás das galáxias [69].
Figura 2.7: As bolas são os dados observacionais, as linhas sólida e pontilhada representam dois ajustes diferentes de curvas usando a MOND [6]
Figura 2.9: O raio na vertical é dado em kpc e a velocidade na vertical é dada em km/s. As bolas são os dados observacionais, a linha sólida é o ajuste da MOND e as linhas tracejada e pontilhada são as curvas de rotação Newtoniana do disco luminoso da galáxia e do seu gás respectivamente [70].
Figura 2.14: Gráfico logaritmo da luminosidade em função da velocidade assintótica de rotação Vrot para diversas galáxias. Os pontos do gráfico re-
presentam diferentes galáxias e a reta sólida é o ajuste de curva usando MOND [70].
Figura 2.15: Gráfico da massa das galáxias, em termos de massas solares M ,
em função da velocidade assintótica Vf. As bolas e quadrados são os dados
observacionais com suas respectivas barras de erros. Percebe-se claramente que o ajuste da MOND é muito mais preciso que ajuste do modelo padrão ΛCDM [73]. No caso do modelo ΛCDM, para que o ajuste de curva seja possível, é necessário assumir que, somente uma fração da matéria bariônica total (Mb) foi detectada, e usa-se a relação Mb = fbMvir, onde Mviré a massa
Figura 2.16: Gráfico logarítimico entre a massa observada e a massa inferida pela dinâmica Newtoniana. Cada ponto representa um aglomerado de ga- láxias. Se as duas quantidades fossem iguais os pontos do gráfico estariam sobre a reta mas o que se observa é que a massa inferida pela dinâmica é em torno de 5 vezes a massa observada [77].
Figura 2.17: Gráfico logarítimico entre a massa observada e a massa inferida pela dinâmica da MOND. Cada ponto representa um aglomerado de galáxias. Aqui, a massa inferida pela dinâmica é em torno de 2 a 3 vezes a massa observada mas há uma maior imprecisão na distribuição [77].
Figura 2.18: Cada ponto representa uma galáxia. V é a velocidade assintótica da galáxia observada e Vb é a velocidade teórica obtida usando lei de Newton
da gravidade. A razão (V /Vb)2 dá uma noção da discrepância de massa, isto é,
se (V /Vb)2 = 1 então a galáxia não apresenta matéria escura, e se (V /Vb)2 > 1
significa que há discrepancia entre a massa obsevada e a massa inferida pela dinâmica Newtoniana. O gráfico de cima é (V /Vb)2 em função da aceleração
centrípeta observada a = V2/r. Já o gráfico de baixo apresenta (V /Vb)2
em função da aceleração Newtoniana gN = Vb2/r. Observe que os sistemas
galáticos só começam a apresentar discrepância de massa para acelerações em torno ou abaixo de 10−10m/s2 que é basicamente o valor da constante a0
Figura 2.19: O mesmo gráfico da figura 2.18 mas com o eixo vertical em es- cala logaritmica para incluir acelerações típicas de objetos do sistema solar. Os símbolos são: '=Mercúrio; ♀=Vênus; ⊕=Terra; ♂=Marte; X=Júpiter; Y=Saturno; Z=Urano; [=Netuno; Pionner 11; Pionner 10; centenas de ga- láxias; Observe que os planetas estão bem dentro do regime de acelerações mçuito maiores que ao, ou seja, a MOND não apresenta discrepância com
Capítulo 3
Cosmologia
Neste capítulo apresento uma proposta dada por [83] para interpretar a ace- leração do Universo como devido á variação de entropia da superfície ho- lográfica do horizonte de expansão do Universo. Em seguida é dada uma aplicação da MOND à cosmologia, em particular mostra-se que é possível gerar o espectro da radiação cósmica de fundo usando MOND e neutrinos estéreis.
3.1
Interpretação da aceleração do Universo como
força entrópica
Atualmente é bem aceito que o Universo está em expansão acelerada [17, 84, 85]. Um Universo em expansão, que seja homogêneo e isotrópico, pode ser descrito pela métrica de FRW (Friedmann-Robertson-Walker),
ds2 = −c2dt2+ a(t) dx2 + dy2 + dz2 , (3.1) onde a(t) é o fator de escala do espaço que depende do tempo.
Utilizando esta métrica e as equações de campo de Einstein para um ten- sor energia-momento de um fluido perfeito obtem-se a equação de Friedmann- Lemaître (para uma descrição mais detalhada de como são obtidas as equa- ções abaixo veja o apêndice B)
H2 ≡ ˙a a
2
= 8πG
3 ρ, (3.2)
onde c ≡ 1, a(t0) ≡ 1 para t0 = tempo presente e ρ é a densidade de energia
que faz o Universo expandir. Para um Universo dominado pela energia escura a proposta mais aceita para ρ é
ρ(t) = ρ(t0)a(t)−3(1+ω), (3.3)
onde P é a pressão e −1 = ω = P/ρc2 é a equação de estado com pressão
negativa. A descrição dada acima não dá nenhuma informação do que seja a energia escura além da suposição de ser um fluido perfeito e homogêneo que permeia todo o espaço com a propriedade de ter pressão negativa.
A integral de (3.2) resulta em
a(t) = a(t0)eHt = eHt, (3.4)
onde H ≡ q
Λ
3 (aqui Λ é a constante cosmológica). A aceleração da escala
do Universo é dada pela segunda derivada do fator de escala do espaço, no tempo presente t = t0 temos
¨
a(t0) = H2. (3.5)
Agora considere duas galáxias à distância d0uma da outra no tempo atual
t0, no tempo t > t0 a distância entre elas será,
d(t) = a(t)d0, (3.6)
e a velocidade de recessão é
v = ˙d(t) = d0˙a(t) = d0a(t)H =
d(t)
a(t)a(t)H = d(t)H. (3.7) A (3.7) dá uma relação entre a velocidade de recessão das galáxias e sua distância, é a famosa lei de Hubble e H é a constante de Hubble. Quanto mais distante as galáxias se encontram maior é a velocidade de recessão.
A aceleração fica ¨
d(t) = ˙v = H ˙d(t) = H(Hd(t)) = H2d(t). (3.8) Olhando para a (3.7) vemos que quando a distância é de d(t) ≥ Hc a veloci- dade de recessão é igual ou maior que c, ou seja, os objetos estão se afastando com velocidade igual ou maior que a da luz. Em princípio, não há problema com respeito a isso pois a relatividade geral não impõe limite para a taxa com que o próprio espaço possa se expandir. Seja um observador, por exemplo a Terra (lembrando que nesse modelo não existe observador privilegiado, cada ponto do espaço é o seu centro de expansão), e considere objetos que estejam à distância c/H, com isso temos uma superfície esférica de raio
RH =
c
Sabendo que a velocidade da luz é constante e igual a c e que nenhum objeto com massa pode atingir essa velocidade, qualquer coisa que esteja dentro dessa superfície esférica não pode escapar para o seu exterior pois a velocidade com que ela se expande é c, isto é, o que se encontra em seu interior não pode ter relação causal com o seu exterior. Efetivamente a superfície esférica de raio RH atua como um horizonte, é o chamado horizonte do Universo cujo raio
é o chamado raio de Hubble RH. Substituindo na (3.8) obtemos a aceleração
do horizonte do Universo,
aH = cH. (3.10)
Usando o princípio holográfico Smoot et al. [83] propuseram que ao hori- zonte do Universo, que pode conter toda a informação física em seu interior, seja associada uma entropia S e uma temperatura T . Seja aH a aceleração
de expansão do horizonte do Universo, pelo efeito Unruh temos
aH =
2πckB
~ T. (3.11)
Para que a aceleração aH coincida com o valor atual cH, isto é aH = cH,
devemos assumir que T = ~H
kB2π ∼ 3x10
−30
K.
Pelo princípio holográfico a entropia S do horizonte do Universo é pro- porcional à sua área, isto é,
S = kBc 3 G~ A 4 = kbc3 G~π c H 2 . (3.12)
Um aumento ∆RH no raio aumentaria a entropia por
∆S = kBc 3 G~ 2π c H ∆RH. (3.13)
Desse ponto de vista, pelo princípio de maximização da entropia, há uma força entrópica atuando no horizonte do Universo no sentido de expandí-lo.
A força entrópica é F = − dE dRH = −T dS dRH = − ~H kB2π kBc3 G~ 2π c H = −c 4 G, (3.14) e a pressão P = F A = − c4/G 4π Hc2 = − c2H2 4πG. (3.15)
A interpretação aqui é que o Universo expande devido à força entrópica gerada pela variação da entropia associada ao horizonte do Universo.
3.2
Cosmologia e MOND
A MOND não é relativista nem covariante, logo é necessário uma versão relativística da MOND para poder abranger a área de cosmologia e lentes gravitacionias. Uma tentativa nesse sentido é a TeVeS (Tensor-Vector-Scalar theory) que substitui a métrica gµν por uma métrica efetiva ˆgµν que é função
da métrica comum gµν e de mais dois campos, um escalar φ e outro tensorial
Uµ tal que [78]
ˆ
gµν ≡ e−2φgµν+ e−2φ− e2φ UµUν. (3.16)
Essa métrica efetiva é utilizada na ação
ˆ S = c 4 16πG Z p−ˆg ˆRd4x, (3.17)
que pode ser escrita na forma
ˆ S =
Z
Lg+ Lφ+ LUµ , (3.18)
que é a soma da Lagrangiana de Hilbert-Einstein (Lg = −16πG1 R
√
−g) mais as Lagrangianas Lφ e LUµ em função de φ e Uµ, as expressões dessas duas
Lagrangianas estão em [78]. Com a ação definida acima é possível recuperar a MOND no regime não relativístico, mas no regime de altas acelerações (para acelerações a a0) ela não recupera a equação de Einstein exatamente [86]
mas somente como aproximação. A TeVeS consegue descrever o efeito de lente gravitacional [78] mas ainda não há estudo profundo sobre formação de estruturas em escala cosmológica.
Outra tentativa de tornar a MOND covariante é a Bimetric MOND ou BIMOND. Nesse caso a teoria introduz duas métricas, a métrica comum gµν
e a métrica auxiliar ˆgµν, a ação de Hilbert-Einstein é substituída pela ação
SBIM ON D = − 1 16πG Z h β√gR + αpg ˆˆR − 2(gˆg)1/4a20Mid4x, (3.19)
onde α e β são constantes, g = (√g)2 e ˆg = (√g)ˆ 2, R e ˆR é o tensor de Ricci
dado em termos da métrica gµν e ˆgµν e suas derivadas até segunda ordem
respectivamente, e M é função das duas métricas e suas derivadas. M é ajustado de forma que a MOND seja recuperada no regime não relativístico e que tende para a equação de Einstein no limite a0 → 0. Essa teoria ainda
está em estágios preliminares mas já se obteve o efeito de lente gravitacional. Para mais detalhes veja [86].
A TeVeS, que é uma forma de relativizar a MOND, aplicada em cosmo- logia consegue simular com boa precisão o espectro da radiação cósmica de
fundo (RCF), desde que assuma a existência de neutrinos estéreis de massa 11eV para compensar a matéria escura [87, 88].
A RCF é radiação eletromagnética na faixa de microondas que permeia todo o espaço, ou seja, um telescópio de microondas detectaria essa radiação em qualquer direção que fosse apontado, o seu espectro de radiação é igual ao da radiação de corpo negro [89]. Instrumentos obsevarcionais, como o sa- télite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) ou o COBE (Cosmic Background Explorer), fizeram uma varredura da temperatura da RCF em toda a esfera celeste, essa distribuição de temperatura pode ser vista na fi- gura 3.1. O importante da RCF não é sua distribuição de temperatura em si, mas sim as variações de temperatura δT com respeito à média hT i, define-se
δT
T (θ, φ) ≡
T (θ, φ) − hT i
hT i . (3.20) Como δT é função das coordenadas esféricas θ e φ da esfera celeste, pode-se fazer uma expansão em harmônicos esféricos,
δT T (θ, φ) = ∞ X l=0 l X m=−l almYlm(θ, φ), (3.21)
onde Ylm são os harmônicos esféricos e alm os coeficientes da expansão dados
por, alm = Z Ylm∗(θ, φ) δT T (θ, φ)dΩ. (3.22) Em seguida, é definida a chamada função de correlação C(Φ),
C(Φ) ≡ δT T (θ, φ) δT T (θ 0 , φ0) , (3.23)
onde Φ é o ângulo subentendido entre as coordenadas (θ, φ) e (θ0, φ0). Por- tanto, C(Φ) é obtido tomando a média de δTT (θ, φ) δT
T (θ
0, φ0) sobre todas
as duplas de pontos na esfera celeste cuja separação angular seja Φ. A função de correlação C(Φ) dá a média quadrática relativa da variação de tempera- tura, se C(Φ) fosse completamente conhecida para todos os valores de Φ, então seria possível obter uma descrição estatística completa das flutuações de temperatura [89]. Sob a hipótese de isotropia, da (3.21) e (3.22) pode-se mostrar que, pelas propriedades dos harmônicos esféricos,
C(Φ) = 1 4π ∞ X l=0 (2l + 1)ClPl(cosΦ), (3.24)
onde Pl são os polinômios de Legendre e os coeficientes Cl são chamados de
momentos de multipolo dados por,
Cl = 1 2l + 1 l X m=−l |alm|2. (3.25)
Resultados típicos de observações da RCF são dadas na forma
(∆T )2 ≡ l(l + 1) 2π ClhT i
2
, (3.26)
que é o espectro angular da RCF e dá noção da variação quadrática da tem- peratura em termos dos multipolos. O último resultado obtido pelo WMAP pode ser visto na figura 3.2.
Pela teoria do big bang o Universo em estágios iniciais era essencialmente composto por um gás primordial de fótons e partículas carregadas mais a matéria escura [89, cap.9], nesse estágio os fótons estão acoplados à matéria através do efeito Compton. A medida que o Universo foi se expandindo o livre percurso médio de colisão dos fótons com a matéria carregada foi aumentando até que, esse livre percurso médio acaba ficando praticamente igual ao diâmetro do Universo. Nesse momento os fótons primordiais já não interagem com as partículas, essa é a fase de desacoplamento dos fótons (que coincide com a fase de recombinação da matéria, onde as partículas carregadas se unem para formar os átomos). São esses fótons primordiais desacoplados que compõem a RCF.
Portanto, o espectro de potência angular da RCF dada na figura 3.2 re- presenta o estágio final do gás primordial do big bang, o formato do gráfico e seus picos refletem anisotropias nesse gás primordial, essas anisotropias são responsáveis pela formação de estruturas cosmológicas [47]. Através da observação do espectro de potência angular da RCF e comparação com mo- delos cosmológicos é possível tirar informações como: qual a curvatura do Universo, a quantidade de energia escura, a quantidade de matéria bariônica e matéria escura e etc1 [47, 90, 91].
Em [92] foi observado que, se a matéria escura for composta por neutrinos estéreis de massa 11eV é possível gerar a curva de potência angular da RCF, veja a figura 3.3. E também, foi observado em [93] que, para um grupo de 30 aglomerados de galáxias, esses mesmos neutrinos estéreis de 11eV seriam suficientes para compensar a matéria escura necessária nesses aglomerados usando a MOND. No modelo ΛCDM (Λ Cold Dark Matter) o neutrino es- téril é descartado como candidato à matéria escura porque ele faz parte do
1O site http://lambda.gsfc.nasa.gov/toolbox/tb_camb_form.cfm apresenta uma simu-
grupo HDM (Hot Dark Matter) que são partículas ultrarelativísticas que impossibilitariam a formação de estruturas galáticas [93].
Em [92, 94] foi proposto que, assumindo os neutrinos estéreis como maté- ria escura e que o valor de ao na teoria da MOND é independente do tempo,
sabendo que acelerações típicas no gás primordial são algumas centenas de vezes maiores que ao [92], então na época da recombinação as partículas se
encontravam no regime de aceleração Newtoniana e os neutrinos estéreis fa- riam sua parte na geração do espectro de potência angular. Na escala de aglomerados de galáxias a MOND mais os neutrinos estéreis estariam encar- regados de gerar essas estruturas. E por fim, na escala de galáxias somente a MOND seria suficiente para gerar as estruturas galáticas (lembrando que já vimos que na escala de galáxias a MOND consegue emular essas estruturas sem uso de matéria escura). Em resumo, usando a MOND mais os neutrinos estéreis como matéria escura é possível explicar o espectro de potência an- gular da RCF mais a formação de estruturas tanto na escala de aglomerados de galáxias quanto na escala de galáxias.
Os problemas que temos com essa proposta são que, assim como todos os candidatos à matéria escura, ainda não foram observados diretamente os neutrinos estéreis, mas existem grupos dedicados a isso, temos como exem- plo o telescópio XMM-Newton da ESA que deu um indicativo de observa- ção indireta de neutrinos estéreis em Junho de 2014 [95], mas ainda não há uma confirmação sólida. A modelagem da MOND mais neutrinos estéreis na escala de aglomerados de galáxias ainda é limitada a algumas dezenas de exemplos[93], e ainda não é clara como se daria a formação de galáxias usando o esquema da MOND, provavelmente é necessária uma formulação relativística, como a TeVeS ou BIMOND por exemplo, mas ainda não há um estudo em específico para isto.
Figura 3.1: Distribuição de temperatura da radiação cósmica de fundo. As temperaturas variam em torno de ±200µK e a temperatura média é de
¯
T = 2, 725K [89, sec. 9.1]. As regiões vermelhas e amareladas repre- sentam temperaturas acima da média e as regiões em azul representam temperaturas abaixo da média. Credit: NASA / WMAP Science Team (http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/121238/index.html).
Figura 3.2: Espectro de potência angular da radiação cósmica de fundo ob- tido pelo WMAP [96]. No gráfico, TT é uma notação usada em [96] para representar o gráfico da (3.26) em termos de l, o duplo TT é para lembrar que a (3.26) dá uma média quadrática de flutuação de temperatura.
The data of the CMB as measured by the WMAP satellite year five data release (filled circles, Dunkley et al. 2008) and the ACBAR 2008 (Reichardt et al. 2008) data release (triangles).
Angus G W MNRAS 2009;394:527-532
© 2009 The Author. Journal compilation © 2009 RAS
Figura 3.3: Espectro de potência angular da RCF obtido usando neutrinos estéreis de 11eV mais a MOND (curva sólida), os pontos com barras de erros reperesentam os dados observacionais, a curva pontilhada é o ajuste de curva obtido pelo modelo ΛCDM. Observe que os ajustes de curva da ΛCDM e dos neutrinos estéreis praticamente coincidem. [92].
Capítulo 4
Matéria Escura MONDiana
O modelo padrão para explicar a matéria escura é o ΛCDM que funciona muito bem em escalas cosmológicas e de aglomerados de galáxias, já na escala de galáxias o ΛCDM geralmente precisa de muitos ajustes finos para cada galáxia em específico. Por outro lado temos a MOND que funciona muito bem em escala galática. O modelo de MOND propõe que
a = ( aN , a a0, √ aNa0 , a a0, (4.1)
onde aN ≡ GMr2 é a aceleração gravitacional Newtoniana e a0 é um novo
parâmetro tal que para acelerações muito maiores que a0 temos a gravidade
Newtoniana, e para acelerações muito abaixo de a0 temos a lei da gravidade
modificada.
Uma pergunta natural neste contexto é: qual das duas teorias é a cor- reta? Talvez seja melhor se perguntar qual está mais próxima de descrever a realidade, ou ainda, será que uma exclui a outra? O problema de matéria escura pode ser abordado modificando a equação de Einstein
Gµν ≡ Rµν−
1
2gµνR = Λgµν + 8πGTµν. (4.2) Por um lado pode-se tentar mudar o termo de matéria e energia
Tµν → Tµν+ TµνDM, (4.3)
onde TDM
µν representa a fonte de matéria escura, isto corresponde à adição
de matéria escura. Por outro lado poderia ser tentado modificar o termo de