Estudo das reações de transferência de um e dois nêutrons no sistema 18O + 28Si à 84 MeV

(1)

Universidade Federal Fluminense

Instituto de f´ısica

Coordenac

¸˜

ao do Curso de P´

os-Graduac

¸˜

ao em F´ısica

Tese de Doutorado

Estudo das rea¸

c˜

oes de transferˆ

encia

de um e dois nˆ

eutrons no sistema

18

_{O +}

28

_{Si `}

_{a 84 MeV}

´

Erica Nunes Cardozo

Niter´oi Agosto de 2018

(2)

Universidade Federal Fluminense

Instituto de F´ısica

Coordenac

¸˜

ao do Curso de P´

os-Graduac

¸˜

ao em F´ısica

Estudo das rea¸

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oes de transferˆ

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de um e dois nˆ

eutrons no sistema

18

_{O +}

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_{Si `}

_{a 84 MeV}

´

Erica Nunes Cardozo

Tese realizada sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr. J´esus Lub´ıan R´ıos, apre-sentada ao Departamento de F´ısica,

em complemento aos requisitos

para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.

(3)

0123424647891244 6861240 171862148741714884 !"#! $%&'( $)*+,-,./0*12)/345(6 //0674+,/+)6/*()89(6/+(/7*)56:(*;521)/+(/4</(/+,16/5;47*,56 5,/6167(<)/='>/?%'@1/A/'B/C(D/E/0*12)/345(6/$)*+,-,/F/G(646 H4I1)5/J1,6./,*1(57)+,*K/317(*L1./%M='K //=B%/NK/O/1PK //Q(6(/R+,47,*)+,STU51V(*61+)+(/W(+(*)P/WP4<15(56(./317(*L1. %M='K X>YO/Z77NOEE+[K+,1K,*\E=MK%%BM]E^^_WK%M='K+K==`'`=]=a=] //=K/J()8b,/+(/7*)56:(*;521)K/%K/J()8b,/542P()*K/`K c<NP174+(/(6N(27*,62LN12)K/BK/W)7,*/(6N(27*,62LN12,K/dK ^*,+48b,/157(P(274)PK/YK/Qe74P,/YYK/H4I1)5/J1,6.G(646. ,*1(57)+,*K/YYYK/U51V(*61+)+(/W(+(*)P/WP4<15(56(K/Y5671747,/+( We612)K //////////////////////////////////////$XX/T

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Universidade Federal Fluminense

Instituto de F´ısica

Coordenac

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ao do Curso de P´

os-Graduac

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ao em F´ısica

Estudo das rea¸

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oes de transferˆ

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de um e dois nˆ

eutrons no sistema

18

_{O +}

28

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_{a 84 MeV}

´

Erica Nunes Cardozo

Comiss˜ao Examinadora:

Prof. Dr. J´esus Lub´ıan R´ıos (Orientador-UFF) Prof. Dr. Djalma Rosa Mendes Junior (UFF)

Prof. Dr. Luiz Felipe Alvahydo de Ulhoa Canto (UFF, UFRJ) Prof. Dr. Sergio Babosa Duarte (CBPF)

Prof. Dr. Valdir Guimar˜aes (USP)

Prof. Dr. Lucas Sigaud (Suplente - UFF)

Prof. Dr. Rodrigo Pican¸co Negreiros (Suplente - UFF) Prof. Dr. Rubens Lichtenthaler (Suplente - USP)

(5)

Dedicat´

oria

Ao meu pai Elias e ao meu irmão Wellington e em memória à minha mãe Maria das Gra¸cas.

(6)

Agradecimentos

Eu, ´Erica Nunes Cardozo, agrade¸co primeiramente a Deus por estar sempre ao meu lado, me dando for¸cas nos momentos dif´ıceis e me encorajando a sempre seguir em frente. Muito obrigada, meu Deus!

Agrade¸co a minha fam´ılia: ao meu pai Elias e ao meu irmão Wellington que sempre me apoiaram em minhas decisões. A minha querida falecida mãe Maria das Gra¸cas, que esteve me apoiando até a metade desse doutorado. Sem o seus conselhos e apoio, minha mãe, eu não teria chegado onde estou agora. Muito obrigada !

Ao professor Jes´us Lubi´an, pelo seus ensinamentos e por toda confian¸ca depositada em mim ao longo desses anos.

Agrade¸co também a todos os meu amigos do grupo de F´ısica Nuclear, pelas discussões sobre os assuntos de pesquisa e também pelos cafés na hora do descanso. Um agradeci-mento especial ao meu amigo Jonas Leonardo, pelo incentivo, apoio e discussões sobre F´ısica e sobre a vida. Agrade¸co também aos amigos que não são da F´ısica, que sempre me deram palavras de incentivo e momentos de descontra¸cão.

A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) e ao Cnpq pelo suporte financeiro.

(7)

Resumo

Neste trabalho, estudaremos as caracter´ısticas single-particle dos estados do 29_Si

me-diante o estudo da transferência de um nêutron na rea¸cão28_Si(18_O,17_O)29_{Si e os efeitos da}

for¸ca de emparelhamento na transferência de dois nêutrons na rea¸cão 28Si(18O,16O)30Si, a uma energia de bombardeamento de 84 MeV. Cálculos de canais de rea¸cão acopla-dos (CRC) e aproxima¸cão de Born de canais acoplados (CCBA) foram realizados para os mecanismos simultâneo (direto) e sequencial, respectivamente. As informa¸cões espec-troscópicas foram obtidas através do cálculo de modelo de camadas obtidos através do código NuShellX [1] com diferentes intera¸cões tanto no alvo quanto no projétil. Trabalhos recentes [2–6] mostraram que a correla¸cão de pares entre os dois nêutrons transferidos é de grande importância no processo da transferência, favorecendo o mecanismo direto. Porém, os resultados deste trabalho mostram que existe uma competi¸cão entre o meca-nismo direto e sequencial no estado fundamental do núcleo residual30_{Si e que o mecanismo}

sequencial domina no primeiro estado excitado (2+_{) do} 30_{Si. Esses resultados s˜}_ao

seme-lhantes ao encontrado recentemente na rea¸cão 64Ni(18O,16O)66Ni [7]. Isso mostra que as excita¸cões coletivas interferem na correla¸cão de pares.

(8)

Abstract

In this work, we study the single-particle feature of the wave function of 29_{Si states}

using the one-neutron transfer reaction28_Si(18_O,17_O)29_{Si and the effects of the paring}

cor-relation between two neutrons in the two-neutron transfer reaction 28Si(18O,16O)30Si, at 84 MeV bombarding energy. Coupled reaction channel (CRC) and coupled channel Born approximation (CCBA) calculations were performed for the simultaneous (direct) and sequential mechanisms, respectively. The spectroscopic informations were obtained using the NuShellX code [1] with different interactions on both the target and the projectile. Recent works [2–6] showed that the pairing correlations between the two-neutron trans-ferred are of great importance in the transfer process favouring the direct mechanism. However, the results of this work show that there is a competition between the direct and sequential mechanisms in the ground state of 30Si residual nucleus and that sequential mechanism dominates in the first excited state of 30_{Si. These results are similar to those}

found recently in 64_Ni(18_O,16_O)66_{Ni reaction [7]. Thus, the collective excitations interfere}

(9)

Sum´

ario

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas viii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 No¸c˜oes do Experimento 7

3 Formula¸c˜ao te´orica 14

3.1 Modelos nucleares . . . 14

3.2 O modelo de camadas . . . 14

3.3 Modelos coletivos . . . 20

3.3.1 Modelo vibracional . . . 20

3.3.2 Modelo rotacional . . . 21

3.4 Probabilidade de transi¸c˜ao eletromagn´etica . . . 24

3.5 Intera¸c˜ao nucleon-nucleon . . . 27

3.6 Potencial double-folding . . . 29

3.7 Potencial de S˜ao Paulo . . . 33

3.8 Teoria quˆantica do espalhamento . . . 36

3.9 Canais acoplados (CC) e canais de rea¸c˜ao acoplados (CRC) . . . 47

3.10 Aproxima¸c˜ao de Born de ondas distorcidas (DWBA) e de canais acoplados (CCBA) . . . 54

(10)

4 Rea¸c˜ao de transferˆencia 65

4.1 Transferˆencia direta ou de um passo . . . 68

4.1.1 Modelo de cluster . . . 72

4.1.2 Modelo de cluster microsc´opico . . . 74

4.1.3 Modelo de coordenadas independentes . . . 74

4.2 Transferˆencia sequencial ou de dois passos . . . 76

5 Transferência de um nêutron na rea¸cão 28_Si(18_O,17_O)29_Si ₇₉ 6 Transferência de dois nêutrons na rea¸cão 28_Si(18_O,16_O)30_Si ₉₀ 6.1 28Si(t,p)30Si à 10.5, 12.1 e 18 MeV . . . 97

6.2 28_Si(18_O,16_O)30_{Si `}_{a 56 MeV . . . 101}

6.3 28_Si(18_O,16_O)30_{Si `}_{a 84 MeV . . . 105}

6.3.1 Cluster microsc´opico . . . 111

(11)

Lista de Figuras

1.1 Carta de nucl´ıdeos mostrando a distribui¸cão dos núcleos estáveis (verde) e

inst´aveis (amarelo). . . 2

2.1 Foto do MAGNEX situado en INFN-LNS, Catania, Itália. Pode ser visto da esquerda para a direita a câmara de espalhamento, o quadrupolo (ver-melho), o dipolo (azul) e a câmara do plano focal [10]. . . 8

2.2 Visão esquemática do espectrômetro MAGNEX [10]. . . 8

2.3 Visão esquemática do detector de plano focal: a) visão lateral; b) visão de cima [10]. . . 9

2.4 Detectores de sil´ıcio no FPD [11]. . . 9

2.5 Exemplo de espectro bi-param´etrico. Figura doada pelo prof. Dr. Roberto Linares. . . 11

2.6 Espectro de energia de excita¸c˜ao do 29_{Si. . . .} ₁₂

2.7 Espectro de energia de excita¸c˜ao do 30Si. . . 13

3.1 Esquema do potencial de Woods-Saxon. . . 16

3.2 Esquema de n´ıveis do modelo de camadas. . . 17

3.3 Esquema dos potenciais de campo médio para nêutrons e prótons. O mo-delo de camadas e os números mágicos são indicados com as energias dos gaps. . . 18

3.4 Modos de vibra¸cão da superf´ıcie nuclear. A linha cheia mostra a forma do núcleo para cada modo em rela¸cão ao núcleo esférico original [8]. . . 21

(12)

3.5 Banda vibracional do núcleo de114Cd [9]. À direita se encontram os valores do spin e paridade dos estados e à esquerda suas energias em keV. . . 22 3.6 Acoplamento de momentos angulares de um núcleo deformado com eixo de

simetria na dire¸c˜ao 3 [8]. . . 22 3.7 Banda rotacional do n´ucleo 238

94 Pu [9]. . . 23

3.8 Esquema de n´ıveis do n´ucleo 28_{Si [9]. . . .} ₂₄

3.9 Representa¸cão esquemática das coordenadas usadas na intera¸cão nucleon-nucleon entre os núcleos alvo e projétil. . . 31 3.10 Representa¸cão esquemática das grandezas usadas na defini¸cão da

distri-bui¸c˜ao angular [8]. . . 40 3.11 Modelo mais simples de canais de rea¸c˜oes acoplados (CRC) onde temos

apenas duas parti¸cões no canal de sa´ıda. . . 52 4.1 Representa¸cão esquemática da transferência direta de dois nêutrons na

rea¸c˜ao18_O+28_Si. _{. . . .} ₆₉

4.2 Esquema da representa¸cão de coordenadas para rea¸cão de transferência do tipo stripping A + a(= b + x) → B(= A + x) + b. . . 72 4.3 Representa¸cão esquemática do modelo sequencial para a transferência de

dois nêutrons na rea¸cão18O+28Si. . . 77 5.1 Influência da inclusão dos estados 18_O

1.98(2+) e 28Si1.78(2+) na rea¸c˜ao de

transferˆencia de um nˆeutron para o estado fundamental do 29_{Si. . . .} ₇₉

5.2 Esquema de acoplamento do projétil e do alvo usado no cálculo de trans-ferência de um nêutron. . . 81 5.3 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

trans-ferência de um nêutron para o estado fundamental do 29Si variando o raio e a difusividade no potencial de Woods-Saxon que gera as fun¸cões de onda. 81 5.4 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

(13)

5.5 Compara¸cão entre os cálculos de um canal e CRC na distribui¸cão angular elástica na 28_{Si(d,d )}28_{Si a energia de bombardeamento de 17.85 MeV [12].} ₈₈

5.6 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de trans-ferência de um nêutron na rea¸cão28Si(d,p)29Si [12]. . . 89 6.1 Esquema de acoplamento do projétil e do alvo usado no cálculo de

trans-ferência de dois nêutrons no mecanismo direto. . . 92 6.2 Esquema de acoplamento do projétil e do alvo usado no cálculo de

trans-ferência de dois nêutrons no mecanismo sequencial. . . 92 6.3 Compara¸cão entre as intera¸cões usadas nos overlaps do projétil/ejétil e

alvo/residual no cálculo das se¸cões de choque de transferência de dois nêutrons na rea¸cão 28_Si(18_O,16_O)30_{Si. . . .} ₉₆

6.4 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão28_Si(t,p)30_{Si a 10.5 MeV [13] referente}

as transi¸cões para o estado fundamental (a), primeiro estado excitado à 2.235 MeV (b), segundo estado excitado à 3.498 MeV (c) e a soma dos estados 3.769 MeV e 3.788 MeV (d). . . 99 6.5 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão28Si(t,p)30Si a 12.1 MeV [13] referente `

as transi¸cões para o estado fundamental (a), primeiro estado excitado à 2.235 MeV (b), segundo estado excitado à 3.498 MeV (c) e a soma dos estados 3.769 MeV e 3.788 MeV (d). . . 100 6.6 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão28_Si(t,p)30_{Si a 18 MeV [14] referente `}_as

transi¸cões para o estado fundamental (a), primeiro estado excitado à 2.235 MeV (b), segundo estado excitado à 3.498 MeV (c) e a soma dos estados 3.769 MeV e 3.788 MeV (d). . . 101

(14)

6.7 Distribui¸cão angular para o espalhamento elástico (a) e inelástico (b) para (18_{O +} 28_{Si) `}_{a 56 MeV [15]. . . 102}

6.8 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão28Si(18O,16O)30Si à 56 MeV obtida com o modelo sequencial referente às transi¸cões para o estado fundamental (a), primeiro estado excitado à 2.235 MeV (b), segundo estado excitado à 3.498 MeV (c) e quarto estado excitado 3.788 MeV (d). As curvas tracejada azul e sólida vermelha possuem fator de escala 0.2 e 0.6, respectivamente, na parte imaginária do potencial SPP e a curva tracejada pontilhada verde foi obtida usando um potencial do tipo Woods-Saxon na parte imaginária do potencial óptico na parti¸cão de entrada. . . 103 6.9 Distribui¸cão angular para a transferência de dois nêutrons na rea¸cão28Si(18O,16O)30Si

`

a 56 MeV para o estado fundamental (a), primeiro estado excitado à 2.235 MeV (b), segundo estado excitado à 3.498 MeV (c) e quarto estado excitado 3.788 MeV (d). . . 104 6.10 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão28_Si(18_O,16_O)30_{Si `}_{a 84 MeV. . . 106}

6.11 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular experimental com cálculos de transferência de dois nêutrons usando os modelos de coordenadas indepen-dentes (curva azul) e sequencial (curva vermelha tracejada) para a rea¸cão

64_Ni(18_O,16_O)66_{Ni `}_{a 84 MeV [7]. . . 108}

6.12 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular experimental com cálculos de transferência de dois nêutrons usando os modelos de coordenadas inde-pendentes (curva rosa) e sequencial (curva roxa tracejada pontilhada) para a rea¸cão 16_O(18_O,16_O)18_{O `}_{a 84 MeV [4]. . . 108}

(15)

6.13 Compara¸cão entre os mecanismos direto e sequencial no cálculo da se¸cão de choque de transferência de dois nêutrons para as energias de bombar-deamento de 25, 120 e 370 MeV. . . 110 6.14 Compara¸cão entre a distribui¸cão angular e a se¸cão de choque de

trans-ferência de dois nêutrons na rea¸cão 28_Si(18_O,16_O)30_{Si `}_{a 84 MeV usando o}

(16)

Lista de Tabelas

5.1 Compara¸cão das energias single-particles para prótons e nêutrons nas in-tera¸cões psdmod e psdmwkpn. . . 83 5.2 Compara¸cão dos estados de energia experimental e do NuShellX para os

n´ucleos de28_{Si e}29_{Si usando o modelo espacial psdpn e as intera¸c˜}_{oes psdmod}

e psdmwkpn . . . 83 5.3 Amplitudes espectrosc´opicas usadas nos c´alculos de CRC e CCBA na

trans-ferência de um e dois nêutrons usando o modelo espacial psdpn com as intera¸cões psdmod e psdmwkpn. . . 84 5.4 Compara¸cão dos estados de energia experimental e do NuShellX para os

núcleos de 16O,17O e 18O usando as intera¸cões zbm, psdmod e psdmwkpn. . 85 5.5 Amplitudes espectrocópicas usadas nos cálculos de CRC e CCBA na

trans-ferência de um e dois nêutrons usando as intera¸cões zbm e psdmod no 17_O

e 18O . . . 85 6.1 Amplitudes espectrosc´opicas usadas nos c´alculos de CRC para a

trans-ferência de dois nêutrons utilizando o modelo espacial psdpn com as in-tera¸cões fenomenológicas psdmod e psdmwkpn para os overlaps entre 28Si e 30_{Si. . . .} ₉₃

6.2 Continua¸c˜ao da tabela of Table 6.1. . . 94 6.3 Continua¸c˜ao da tabela 6.2. . . 95

(17)

6.4 Amplitudes espectroscópicas usadas nos cálculos de CRC para a trans-ferência de dois nêutrons utilizando os modelos espaciais zbm e psdpn com as intera¸cões fenomenológicas zbm e psdmod, respectivamente, para os

over-laps entre 18O e 16O. . . 96

6.5 Amplitudes espectrocópicas usadas nos cálculos de CCBA na transferência de dois nêutrons usando as intera¸cões zbm e psdmod no17_{O e} 16_{O . . . . .} ₉₇

6.6 Amplitudes espectroscópicas usadas no cálculo de CCBA na transferência de dois nêutrons usando o modelo espacial psdpn com as intera¸cões psdmod e psdmwkpn. . . 98

6.7 Probabilidade de transi¸cão elétrica reduzida para os núcleos estudados pela rea¸cão (18_O,16_{O) [16]. . . 109}

6.8 Amplitudes espectroscópicas de dois nêutrons para cálculos de CRC obtidas por cálculos de modelo de camadas com a intera¸cão psdmod. Onde n1l1j1 n2l2j2 são os números quânticos principais, o momento angular orbital e total dos nêutrons 1 e 2 em rela¸cão ao núcleo, respectivamente, J12 é o momento angular do sistema de dois de nêutrons, n, l, N , Λ são os números quânticos da fun¸cão de onda de cluster, L é o momento angular orbital total e S é o spin total dos dois nêutrons. . . 113

6.9 Continua¸c˜ao da tabela 6.8 . . . 114

(18)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A f´ısica nuclear tem como objetivo estudar as propriedades do núcleo e da matéria nuclear fundamentalmente através das rea¸cões nucleares.

O núcleo de um átomo é um sistema ligado com A nucleons, Z prótons e N nêutrons, onde os números A, Z e N representam o número de massa (A = Z + N ), o número atômico e o número de nêutrons, respectivamente. O termo nucleon simboliza tanto o nêutron quanto o próton. Núcleos com o mesmo número de A são chamados isóbaros, com o mesmo Z, isótopos e com o mesmo N, isótonos. Porém, quando nos referimos à uma espécie nuclear que é caracterizada pelo número de prótons e nêutrons, estamos nos referindo aos nucl´ıdeos como mostra a figura 1.1. A for¸ca que liga os nucleons no núcleo é chamada de for¸ca nuclear, também conhecida como intera¸cão nucleon-nucleon, que tem como caracter´ısticas fenomenológicas ser atrativa e de curto alcance (r ∼ 1 fm). Porém, a pequenas distâncias (r < 0.5 fm) essa for¸ca é repulsiva fazendo com que o núcleo não colapse.

Uma rea¸cão nuclear é um processo no qual uma mudan¸ca na composi¸cão e/ou energia do alvo ou do projétil é causada pelo bombardeamento de um feixe de part´ıculas, podendo produzir duas ou mais part´ıculas nucleares no estado final, causando uma transforma¸cão de pelo menos um nucl´ıdeo em outro. Porém, um núcleo pode interagir com outro sem que haja a altera¸cão na composi¸cão desses. Esse processo é chamado espalhamento nu-clear. De maneira geral, o processo de rea¸cão pode ocorrer de várias maneiras. Podemos exemplificar considerando uma colisão de um dêuteron com um núcleo de 28_{Si onde as}

(19)

Figura 1.1: Carta de nucl´ıdeos mostrando a distribui¸cão dos núcleos estáveis (verde) e instáveis (amarelo).

seguintes rea¸c˜oes podem acontecer:

d +28Si →30 P + γ (1.1a)

→29_{Si + p} _(1.1b)

→29 _{P + n} _(1.1c)

→26 Al + α. (1.1d)

Na rea¸cão 1.1a o dêuteron é absorvido pelo sil´ıcio, formando o núcleo 30_{P e emitindo}

um gama. Em 1.1b e 1.1c, um nucleon é transferido do projétil para o alvo, ocorrendo uma rea¸cão de stripping. Na rea¸cão 1.1d, temos um processo inverso, o dêuteron captura um próton e um nêutron do alvo se tornando uma part´ıcula alfa, ocorrendo a rea¸cão de pick-up. Como podemos ver nas rea¸cões acima, os núcleos interagentes são chamados de projétil e alvo sendo representados por a + A, enquanto os seus produtos, denominados ejétil e part´ıcula residual, são escritos como b + B. Assim, temos que uma rea¸cão pode ser descrita como a + A → b + B ou A(a, b)B, de maneira que cada poss´ıvel combina¸cão de núcleos é chamada de parti¸cão e cada par de estados com um conjunto de números quânticos bem definidos é denominado de canal.

(20)

Uma grandeza importante no estudo de rea¸cões nucleares é o valor Q da rea¸cão, também conhecida como Q-value, que é a quantidade de energia liberada (Q > 0) ou absorvida (Q < 0) pela rea¸cão. Quando Q > 0 a rea¸cão é chamada exotérmica, quando Q < 0 é dita endotérmica e quando ocorre o espalhamento elástico Q = 0. Porém, na rea¸cão de transferência, quando se tem parti¸cões idênticas o valor do Q da rea¸cão também é nulo. O Q-value é definido pela diferen¸ca entre a soma das massas dos núcleos iniciais e finais

Q = [(ma+ mA) − (mb+ mB)]c2 (1.2)

que pela conserva¸cão da energia pode ser reescrita como a diferen¸ca da energia cinética antes e depois da colisão:

Q = (TB+ Tb) − (TA+ Ta). (1.3)

Em geral, o favorecimento para que os produtos da rea¸cão aconte¸ca é quando se tem um valor de Q mais positivo. Outra grandeza de grande importância é a energia de liga¸cão (binding energy) B(Z, N ), que é a energia necessária para manter todos os nêutrons e prótons ligados ao núcleo. A energia de liga¸cão de um núcleo é dado por:

B(Z, N ) = [Zmp+ N mn− M (Z, N )]c2, (1.4)

onde mn é a massa do nêutron, mp a massa do próton e M (Z, N ) a massa do núcleo. A

energia de liga¸cão estabelecida pela eq.1.4 é sempre positiva, e quanto maior seu valor mais estável é o núcleo. Outra quantidade associada com a energia de liga¸cão é a energia de separa¸cão S(A, Z), definida como a energia necessária para separar um ou vários nucleons do núcleo. A energia de separa¸cão de um nêutron do núcleo é dada por:

Sn(Z, N ) = [M (Z, N − 1) + mn− M (Z, N )]c2

(21)

De maneira análoga, a energia de separa¸cão de um par de nêutrons S2n é escrita como:

Sn(Z, N ) = [M (Z, N − 2) + 2mn− M (Z, N )]c2

= B(Z, N ) − B(Z, N − 2). (1.6)

A energia de separa¸cão de um próton é feita de forma similar ao do nêutron.

A rea¸cão nuclear pode ocorrer através de dois tipos de rea¸cões de acordo com o tempo de dura¸cão de cada uma delas. Quando numa colisão do projétil com o alvo há tempo suficiente para que a energia dispon´ıvel seja distribu´ıda entre todos os nucleons, ocorre a forma¸cão de um núcleo composto. Quando não se tem a forma¸cão do núcleo composto, ou seja, o projétil e o alvo tem uma intera¸cão de curta dura¸cão, onde o nucleon sai diretamente do estado inicial para o estado final, o mecanismo é chamado de rea¸cão direta. Entre as rea¸cões diretas, a rea¸cão de transferência apresenta um papel de grande importância no estudo da estrutura nuclear.

Rea¸cões de transferência são seletivas, envolvendo estados espec´ıficos dos núcleos resi-duais. Diferentes tipos de estados excitados podem ser populados no mecanismos das rea¸cões diretas, e cada um deles apresentam uma oportunidade distinta de aprender mais sobre os aspectos particulares da estrutura nuclear. Particularmente, verifica-se que as excita¸cões coletivas, de part´ıculas únicas e cluster são populados por espalhamento inelástico, rea¸cão de transferência de um nêutron ou um próton, e de múltiplos núcleons respectivamente [17]. Além disso, as configura¸cões de part´ıcula única (single-particle) são geralmente determinadas pelo campo nuclear médio, enquanto as configura¸cões de cluster estão conectadas com a correla¸cão nucleon-nucleon juntamente com o campo médio. As rea¸cões de transferência também são usadas para produzir feixes radioativos, tendo como vantagem principal a produ¸cão de feixes radioativos de baixa energia. O RIBRAS (Radi-oactive Ion Beams in Brazil) é um exemplo de laboratório que faz uso dessa técnica [18]. No passado, as rea¸cões do tipo (d,p) [12, 19, 20] e (t,p) [13, 14, 21–23] foram estudadas em detalhes e mostraram ser ferramentas importantes para o estudo da estrutura nuclear,

(22)

permitindo a identifica¸cão da natureza dos estados de part´ıcula única e a averigua¸cão das correla¸cões de pares acima do n´ıvel de Fermi em muitos sistemas nucleares. Em particular, rea¸cão do tipo t,p é bastante útil para estudarmos transferência de dois nêutrons. Porém, atualmente, o uso do feixe de tr´ıtio foi restringido devido a regras de radioprote¸cão. Nas ´

ultimas décadas, estudos demonstraram que a rea¸cão de transferência de dois nêutrons através da rea¸cão (18_O,16_{O) pode ser usada nos estudos espectrosc´}_{opicos da correla¸c˜}_{ao de}

pares nos estados nucleares, verificando assim, qual tipo de mecanismo (direto ou sequen-cial) descreve o processo de transferˆencia. O n´ucleo 18_{O possui dois nˆ}_{eutrons fracamente}

ligados, e pode ser considerado o elemento que mais se aproxima do tr´ıtio no estudo de transferˆencia de dois nˆeutrons. Com a vantagem de que o feixe de 18_{O pode ser obtido}

diretamente de uma fonte de ´ıons. No mecanismo direto, também chamado de simultâneo, os dois nucleons são transferidos de uma única vez e no mecanismo sequencial os nucleons são transferidos um após o outro.

Investiga¸cões sistemáticas usando as rea¸cões de transferência (18_O,16_{O) nas mesmas}

energias de bombardeamento foram publicadas recentemente [2–7, 24, 25]. Na ref. [2], a se¸cão de choque experimental para a transferência de um e dois nêutrons nas rea¸cões

12,13_C(18_O,17_O)13,14_{C e} 12_C(18_O,16_O)14_{C foram reproduzidos pela primeira vez sem o uso}

de fatores de escala. Os fatores de escala são coeficientes de renormaliza¸cão, que mul-tiplicados aos valores teóricos das distribui¸cões angulares, fazem os resultados teóricos se ajustarem aos dados experimentais. Esses cálculos mostraram que o mecanismo di-reto na transferência de dois nêutrons é dominante, ao invés do mecanismo sequencial como foi dito anteriormente em [26]. A mesma conclusão foi obtida para as rea¸cões

16_O(18_O,16_O)18_{O [4, 5] e} 13_C(18_O,16_O)15_{C [6]. Por´}_{em, na rea¸c˜}_ao 64_Ni(18_O,16_O)66_{Ni [7],}

ocorre uma competi¸c˜ao entre os processos direto e sequencial no estado fundamental do

66_{Ni, e o mecanismo sequencial ´}_{e dominante no primeiro estado excitado (2}+

1). Essa

dominância do mecanismo sequencial é devido ao estado (2+₁) no núcleo 66Ni ter ca-racter´ısticas coletivas enfraquecendo a correla¸cão de pares (emparelhamento) dos dois

(23)

nˆeutrons transferidos.

Neste trabalho, investigamos as rea¸c˜oes de stripping28_Si(18_O,17_O)29_{Si e}28_Si(18_O,16_O)30_Si,

`

a 84 MeV, com a finalidade de estudar as caracter´ısticas single-particle e os efeitos da for¸ca de emparelhamento na transferência de um e dois nêutrons, respectivamente. Visto que a transferência de dois nêutrons parece ser sens´ıvel à intera¸cão de curto alcance (for¸ca de emparelhamento) e de longo alcance (excita¸cão coletiva) o estudo do núcleo 28_Si

mos-tra ser de grande importância nesta análise, uma vez que seu estado fundamental (0+₁) e primeiro estado excitado (2+₁) são deformados.

Esta tese est´a organizada da seguinte forma:

No cap´ıtulo 2 apresentaremos uma pequena descri¸cão do experimento em que foram obtidos os dados experimentais. No cap´ıtulo 3 daremos uma breve descri¸cão do forma-lismo teórico usado nos cálculos dos canais de rea¸cão acoplados. O cap´ıtulo 4 irá tratar dos diferentes tipos de mecanismos no processo de transferência no caso da transferência de multiplos nucleons. No cap´ıtulo 5 apresentamos o estudo e a análise do processo de transferência de um nêutron na rea¸cão 28Si(18O,17O)29Si, onde cálculos de CRC, usando o código Fresco [27], foram realizados para descrever as se¸cões de choque experimentais e estudar os detalhes estruturais dos núcleos envolvidos. Já no cap´ıtulo 6 é feito o es-tudo e a análise do processo de transferência de dois nêutrons na rea¸cão28Si(18O,16O)30Si. Cálculos de CRC e coupled channel Born approximation (CCBA) foram realizados com intuito de descrever as se¸cões de choque dessa rea¸cão e estudar o efeito da correla¸cão de pares no processo de transferência utilizando os modelos: cluster, coordenadas indepen-dentes e sequencial. No cap´ıtulo 7 serão apresentadas as conclusões das caracter´ısticas single-particle na transferência de um nêutron. Também será mostrado qual mecanismo, direto ou sequencial, é dominante no processo de transferência de dois nêutrons, verifi-cando se a coletividade dos nucleons do30_{Si afeta a correla¸c˜}_{ao de pares dos dois nˆ}_eutrons

(24)

Cap´ıtulo 2

No¸

c˜

oes do Experimento

Os dados experimentais do presente trabalho foram obtidos utilizando o acelerador Tandem Van der Graff (14 MV) localizado no Instituto Nazionale di F´ısica Nucleare no Laboratori Nazionali del Sud (INFN-LNS) em Catânia, Itália. O feixe de ´ıons de 18O6+ a uma energia incidente de 84 MeV foi acelerado em dire¸cão ao alvo de28_{Si com espessura de}

136(5.4)µg/cm2_{. Os ej´}_{eteis de}17_O8+ _e16_O8+_{, provenientes das rea¸c˜}_{oes de transferˆ}_{encia de}

um e dois nêutrons, foram analisados pelo espectrômetro MAGNEX [10] configurado com uma abertura angular de 50 msr. O espectrômetro MAGNEX (mostrado nas figuras 2.1 e 2.2) é um sistema de deteçcão constitu´ıdo por um quadrupolo e um dipolo magnético, e um detector de plano focal (FPD) posicionado após os elementos magnéticos. Os elementos magnéticos permitem a análise da razão carga-massa dos produtos das diversas rea¸cões que ocorrem entre as part´ıculas do feixe e do alvo posicionado na câmara de espalhamento. O quadrupolo atua como um elemento de focaliza¸cão vertical das part´ıculas tendo como ponto-imagem o plano focal do detector FPD. O dipolo magnético é responsável pela dispersão dos momento lineares das part´ıculas.

A identifica¸cão das part´ıculas emitidas foi feita com um detector de plano focal h´ıbrido que é composto por um detector gasoso e por detectores semicondudores (sil´ıcio). Os detectores de plano focal são tipicamente constru´ıdos como sistemas modulares com se¸cões de gás para o rastreamento da trajetória iônica no plano focal, assim como a medi¸cão de perda de energia, e detectores de estado sólido para medi¸cões de energia residual. Um esquema do detector de plano focal pode ser visto na figura 2.3. O gás normalmente

(25)

Figura 2.1: Foto do MAGNEX situado en INFN-LNS, Catania, Itália. Pode ser visto da esquerda para a direita a câmara de espalhamento, o quadrupolo (vermelho), o dipolo (azul) e a câmara do plano focal [10].

Figura 2.2: Visão esquemática do espectrômetro MAGNEX [10].

usado em todas as medi¸cões é o isobutano (99,95 % puro) em pressões tipicamente entre 5 e 100 mbar. Atrás do detector gasoso, existe uma parede com 60 detectores de sil´ıcio, dispostos em 20 colunas e 3 linhas. As colunas de sil´ıcio são giradas, de modo que cada coluna esteja voltada para as part´ıculas detectadas pelo ângulo médio do plano focal. A figura 2.4 mostra parte da parede de sil´ıcio usada no FPD.

As part´ıculas carregadas incidentes provenientes do dipolo atravessam a janela de Mylar (pel´ıcula de plástico, com boa resistência mecânica) do FPD e deixa um rastro

(26)

Figura 2.3: Visão esquemática do detector de plano focal: a) visão lateral; b) visão de cima [10].

Figura 2.4: Detectores de sil´ıcio no FPD [11].

de átomos ionizados e elétrons primários no gás entre o cátodo e a grade de Frisch, como esquematizado na figura 2.3(a). Sob um campo elétrico uniforme de cerca de 50 V/cm, os elétrons se movem em dire¸cão à grade de Frisch com velocidades constantes tipicamente na faixa de 3 a 5 cm/µs, dependendo da tensão real e da pressão do gás [28].

(27)

Depois da grade, os elétrons são acelerados em um campo elétrico que se torna muito mais forte perto dos fios DC e PC, onde ocorre uma multiplica¸cão por um fator em torno de 100-200. Quando as part´ıculas passam pelo detector de gás no plano focal, os parâmetros cinemáticos (posi¸cão, ângulos, ∆E) são medidos para cada evento. Em seguida, as part´ıculas carregadas atingem a parede com os detectores de sil´ıcio fornecendo uma medi¸cão da energia residual Er. De posse desses parâmetros e com o aux´ılio da

seguinte rela¸c˜ao [10, 11], α = √ m q = Bρ √ 2T = p q√2T (2.1)

a identifica¸cão das part´ıculas pode ser feita. Na equa¸cão 2.1, T é a energia cinética, que é aproximada pela soma das perdas de energias nos detectores, m e q são a massa e carga do ´ıon, B é o campo magnético uniforme e ρ a curvatura do raio da trajetória do ´ıon. Para uma carga fixa q é poss´ıvel reconstruir o momento p do ´ıon pelo uso da técnica de reconstru¸cão de raios [29]. Para se obter a reconstru¸cão de raios, se faz necessário ter uma descri¸cão detalhada dos campos magnéticos cruzados pelos ´ıons, assim como o conheci-mento exato da geometria do espectrômetro e a medi¸cão precisa do vetor do espa¸co de fase no plano focal (xf, yf, θf, φf) onde, x e y são as coordenadas horizontais e verticais,

respectivamente. Os parâmetros θ e φ são os ângulos horizontal e vertical no ponto de impacto da trajetória iônica com um plano normal à trajetória central. Para que se possa realizar a reconstru¸cão das trajetórias dos ´ıons é necessário obter a matriz de transporte que descreve a passagem das part´ıculas pelos elementos magnéticos na linha experimental. A matriz é obtida por um cálculo de Monte Carlo, no qual os parâmetros dos campos magnéticos são ajustados a fim de se obter uma simula¸cão precisa dos dados experimen-tais. Logicamente, as massas e cargas dos ´ıons, assim como as dimensões mecânicas dos elementos ópticos são necessários para se realizar a simula¸cão. A aplica¸cão da matriz de transporte inversa aos dados permite correlacionar as grandezas (xf, yf, θf, φf) com seus

valores iniciais (xi, yi, θi, φi). O espa¸co de fase inicial consiste nos valores dessas grandezas

(28)

A figura 2.5a mostra um exemplo de um espectro bi-paramétrico ∆E − E que per-mite identificar as part´ıculas pelo seu número atômico(Z). Nessa figura foi destacado a identifica¸cão das part´ıculas de oxigênio. Após identificar a part´ıcula de interesse pode-se separar os seu isótopos por meio do espectro bi-paramétrico posi¸cão por energia (fig.2.5b).

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Residual energy (channel)

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 ∆ E (c h a n n e l) 0 20 40 60 80 100 Fluorine Oxygen Nitrogen Carbon A) 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200

Residual energy (channel)

0.30 − 0.25 − 0.20 − 0.15 − 0.10 − 0.05 − 0.00 − 0.05 horizontal position (m) O 18 O 17 16_O B)

Figura 2.5: Exemplo de espectro bi-param´etrico. Figura doada pelo prof. Dr. Roberto Linares.

Mais detalhes sobre o MAGNEX e as técnicas experimentais, assim como, recons-tru¸cão da trajetória, identifica¸cão das part´ıculas empregados nesse experimento, podem ser encontrados nas refs. [10, 11, 28–31].

Realizando a sele¸cão de part´ıculas e projetando o pico de interesse (identificado no espectro bi-paramétrico) em um dos eixos e somando o número de eventos embaixo do pico, obtem-se o espectro de excita¸cão.

As rea¸c˜oes de transferˆencia 28_Si(18_O,17_O)29_{Si e} 28_Si(18_O,16_O)30_{Si foram medidas em}

duas configura¸cões angulares com o eixo óptico do espectrômetro centrado em θopt =

8◦ e 10◦. Devido à grande abertura angular do espectrômetro, esses ajustes angulares correspondem a uma faixa angular total de 4◦ < θlab < 15◦ no referencial do laboratório,

com uma sobreposi¸c˜ao de ∼ 8◦ entre dois ajustes angulares consecutivos.

O espectro de energia de excita¸cão integrado entre os ângulos 5.0◦ e 14.0◦ correspon-dente à transferência de um nêutron na rea¸cão28_Si(18_O,17_O)29_{Si ´}_{e mostrado na figura 2.6.}

O estado fundamental 1/2+_{e o primeiro estado excitado 3/2}+_{(1.273 MeV) do n´}_ucleo29_Si

(29)

0 2 4 6 8 10 12 14

Energia de Excitação (MeV)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

d

/d

E

(m

b

/M

eV

)

28

_Si(

18

_O,

17

_O)

29

_Si

5.0º<

_lab

<14.0º

1

2

3

S_n

Figura 2.6: Espectro de energia de excita¸c˜ao do 29_Si.

ao primeiro estado excitado 1/2+ _{(0.871 MeV) do ej´}_etil17_{O. Os outros picos que possuem}

alta energia de excita¸c˜ao que aparecem no espectro n˜ao puderam ser separados, podendo ser estados tanto do 17_{O quanto do} 29_{Si. A linha que marca S}

n = 8.473 MeV define a

energia de separa¸c˜ao de um nˆeutron do 29_Si.

O espectro de energia de excita¸cão integrado entre os ângulos 7.0◦ e 9.0◦, referente à transferência de dois nêutrons na rea¸cão 28_Si(18_O,16_O)30_{Si pode ser visto na figura 2.7.}

Com a energia de resolu¸c˜ao de 250 keV dos detectores, foi poss´ıvel separar somente os estados fundamental 0+ (pico 1) e o primeiro estado excitado 2+₁ (2.25 MeV) (pico 2) do n´ucleo30_{Si. O terceiro pico corresponde aos estados 2}+

2 (3.50 MeV), 1 +

1 (3.77 MeV) e 0 + 2

(3.79 MeV) que não puderam ser separados. O núcleo 30Si possui energia de separa¸cão de um nêutron Sn= 10.6 MeV e de dois nêutrons S2n = 19.082 MeV.

Podemos observar nas figuras 2.6 e 2.7 que para energias mais altas que a energia de separa¸cão de nêutrons, aparece uma forma cont´ınua. Os estados que estão no cont´ınuo possuem contribui¸cão da cinemática de três corpos conectada à emissão de um-nêutron.

(30)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Energia de Excitação (MeV)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

d

/d

E

(m

b

/M

eV

)

28

_Si(

18

_O,

16

_O)

30

_Si

7.0º <

_lab

< 9.0º

1 2 3

S_n

Figura 2.7: Espectro de energia de excita¸c˜ao do 30_Si.

Estes mesmos estados também foram identificados nas rea¸cões (d,p) [12] e (t,p) [13, 14] que serão abordados nos cap´ıtulos 5 e 6.

Nesta se¸cão foram mencionadas apenas algumas caracter´ısticas do MAGNEX, já que o objetivo desta tese está concentrada na analise teórica dos dados. Assim, mais detalhes sobre o aparato experimental podem ser encontrados nas referências [10, 11, 28–35].

(31)

Cap´ıtulo 3

Formula¸

c˜

ao te´

orica

3.1 Modelos nucleares

Para explicar as propriedades e caracter´ısticas do núcleo como, por exemplo, a energia de liga¸cão por nucleon, paridade e spin do núcleo, foi necessário o desenvolvimento de modelos nucleares que corresponde a simplifica¸cão do problema real. No modelo de gota l´ıquida, por exemplo, os nucleons interagem fortemente com seus vizinhos mais próximos com um livre caminho médio pequeno, como as moléculas em uma gota de água. Esse modelo permite descrever bem a energia de liga¸cão do núcleo, que é a energia necessária que se deve fornecer ao núcleo para separar os nucleons uns dos outros. Porém, o modelo da gota l´ıquida, não descreve informa¸cões importantes como, por exemplo, os n´ıveis de energia dos nucleons constituintes com os seus respectivos valores de spin e paridade. Logo, foi preciso criar modelos mais sofisticados, como o modelo de camadas.

3.2 O modelo de camadas

No modelo de camadas os nucleons se movem de maneira independente, não intera-gindo diretamente uns com os outros, sobre a for¸ca de um potencial médio autoconsistente originado pela sua intera¸cão com os demais nucleons.

O hamiltoniano nuclear para o sistema de muitos corpos ´e dado por:

H = A X i=1 Ti+ A X i,j=1 A X i<j Uij, (3.1)

(32)

onde Tié a energia cinética do nucleon i e Uij é o potencial de intera¸cão entre os nucleons i

e j. Neste hamiltoniano estamos considerando o termo mas relevante de intera¸cão de dois corpos. É claro que corre¸cões de ordem superior (três corpos, quatro corpos, etc) podem ser introduzidos. Porém, não conseguimos resolver exatamente a equa¸cão de Schrödinger para um núcleo com mais de 10 nucleons (A > 10). Para tanto é necessário fazer uso de métodos aproximados para resolver esse problema de muitos corpos de part´ıculas que interagem fortemente. Assim, uma boa aproxima¸cão é transformar o sistema de part´ıculas fortemente interagentes em um sistema de quasipart´ıculas não interagentes com o uso de um potencial médio, que só depende da posi¸cão ri, para descrever o estado da part´ıcula

i. Logo, podemos reescrever a equa¸c˜ao 3.1 como:

H = A X i=1 Ti(ri) + A X i=1 V (ri) + A X i,j=1 A X i<j Uij(ri, rj) − A X i=1 V (ri) (3.2a) H = A X i [Ti(ri) + V (ri)] + Vres (3.2b)

onde, os dois primeiros somatórios representam o movimento de uma part´ıcula no poten-cial central de um corpo V(ri) e Vres é a denominada intera¸cão residual, que é a parte

do potencial Ui,j n˜ao contida pelo potencial central V(ri). Assim, podemos escrever a

equa¸c˜ao 3.2b como :

H = HM F + VRes (3.3)

em que, HM F é o hamiltoniano de campo médio. Na aproxima¸cão de campo médio cada

nucleon pode ser visto como se movendo em um campo externo criado pelos A−1 nucleons restantes.

Tratando a intera¸cão residual como uma perturba¸cão e escolhendo um potencial que melhor represente o potencial nuclear, pode-se então resolver a equa¸cão de Schrödinger. O potencial usualmente escolhido é o potencial do tipo Woods-Saxon V = −V0/{1 +

(33)

o raio nuclear e tem a forma R = r0A1/3, V0 ´e a profundidade, r0 ´e o raio reduzido e

a é a difusividade da superf´ıcie nuclear que mede o quão rápido o potencial cai, esses ´

ultimos três parâmetros são ajustáveis. Um esquema do potencial de Woods-Saxon pode ser visualizado na figura 3.1.

-V 0 -V 0/2 R V r a

Figura 3.1: Esquema do potencial de Woods-Saxon.

O termo spin−orbital divide os estados do mesmo número quântico do momento an-gular orbital l em dois, com momento anan-gular single-particle j = l ± 1/2. Como resultado obtemos a distribui¸cão dos n´ıveis de energia que é mostrado na figura 3.2 [8]. Os valores entre o primeiro parênteses indicam o número de nucleons que cada n´ıvel pode admitir (número de ocupa¸cão) de acordo com o princ´ıpio de exclusão de Pauli que é dado por N0 = 2(2l + 1). Os valores entre o segundo parênteses representa o número total de

nu-cleons para preencher até aquele n´ıvel. Cada n´ıvel é especificado pelos números quânticos nlj onde, n é o número quântico principal, ele indica o número de nós na fun¸cão de onda, ou seja, o número de lugares onde a fun¸cão de onda vai a zero, fazendo com que a fun¸cão de onda radial mude de sinal. l é momento angular orbital representado nas nota¸cões espectroscópicas por s, p, d, f, g, h, i e j para l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, respectivamente. Cada valor de l pode ter 2l + 1 estados. j é o momento angular total que é dado por j = l ± 1/2.

(34)

(35)

e 184. Experimentalmente, em geral, foi observado que núcleos possuindo números de nêutrons e/ou prótons iguais aos números mágicos têm apresentado caracter´ısticas mais intensas quanto à sua esfericidade e estabilidade. Exemplos disso são os núcleos4_He,16_O

e 40Ca, classificados como duplamente mágicos. Esses números aparecem à medida que uma camada é fechada tanto para nêutrons quanto para prótons. A figura 3.3 [36] mostra um modelo do potencial de campo médio para prótons e nêutrons.

Figura 3.3: Esquema dos potenciais de campo médio para nêutrons e prótons. O modelo de camadas e os números mágicos são indicados com as energias dos gaps.

Com o esquema de n´ıveis da figura 3.2, pode-se estabelecer o chamado modelo de part´ıcula única (modelo single-particle). Nesse modelo o núcleo ´ımpar (número de próton ou nêutron ´ımpar) é formado por um caro¸co (core) par-par inerte (sem movimento próprio) mais um nucleon desemparelhado, assim, as propriedades do núcleo são determinadas por este único nucleon desemparelhado. Em seguida, admite-se um modelo espacial no qual é constitu´ıdo pelos orbitais (estados single-particles) que estão ativamente envolvidos na

(36)

gera¸cão das configura¸cões do sistema em que muitos nucleons são considerados. Nesse caso, o núcleo é caracterizado por um core inerte e pelo espa¸co de valência, formado pelos estados single-particle permitidos à part´ıcula desemparelhada dentro do respectivo modelo espacial. O motivo para definir um core é devido ao esfor¸co computacional que aumenta rapidamente com o número crescente de orbitais single-particle inclu´ıdos no espa¸co de valência. O modelo single-particle é eficaz quando se tem um nucleon acima de uma camada fechada ou um buraco (falta de nucleon) em uma camada fechada.

Considerando que o estado da part´ıcula fora do caro¸co pode ser bem descrito pelo hamiltoniano h = T + V , de modo que a equa¸cão de Schrödinger é satisfeita (ε − h)φ = 0, onde ε é a energia single-particle. A fun¸cão de onda single-particle pode ser escrita como,

φα(x) = gnala(r)[Yla(θ, ϕ) ⊗ χ1/2]jamα, (3.4)

em que Yla(θ, ϕ) é o harmônico esférico, χ1/2é o autospinor do spin 1/2 e gnala(r) é a parte radial da fun¸cão de onda. Esta última tem forma anal´ıtica para dois casos espec´ıficos que podem ser achados em qualquer livro de texto de estrutura nuclear. Esses casos são o po¸co retangular e o oscilador harmônico. Cálculos mais real´ısticos são feitos usando um potencial de Woods-Saxon, como mostrado acima, que tem a desvantagem de possuir só solu¸cão numérica. A modo de exemplo, se usamos um potencial V na forma do oscilador harmônico, a parte radial da fun¸cão de onda é dada por [36]:

gnala(r) = s 2n! b3_{Γ(n + l + 3/2)} r b l e−r2/2b2L(l+1/2)_n (r2), (3.5)

no qual, L(l+1/2)n (x) é o polinômio associado de Laguerre, b é o comprimento do oscilador.

Temos tamb´em que:

[Yla(θ, ϕ) ⊗ χ1/2]jamα = X mm0 (lam 1 2m 0 |jamα)Ylam(θ, ϕ)χ1/2m0. (3.6)

O modelo de camadas descreve bem o momento angular e a paridade de núcleos no estado fundamental. Porém, no caso dos estados excitados, que é quando um ou

(37)

mais nucleons se encontram em um n´ıvel de energia maior que o estado fundamental, comumente ´e preciso, um modelo mais apropriado como os modelos coletivos.

3.3 Modelos coletivos

Os núcleos que possuem muitos nucleons em camadas que não estão fechadas, apre-sentam fortes deforma¸cões nucleares e os estados excitados desses núcleos resultam de um movimento coletivo coerente de vários nucleons. A parte de longo alcance da for¸ca nuclear é a principal responsável pela correla¸cão no movimento dos nucleons [37]. Assim, nos núcleos ditos deformados aparecem as chamadas excita¸cões coletivas. As excita¸cões provenientes do movimento coletivo de baixa energia do núcleo são: as excita¸cões ori-ginárias das vibra¸cões da superf´ıcie nuclear e as excita¸cões devido a rota¸cão da forma da superf´ıcie nuclear deformada.

3.3.1 Modelo vibracional

Quando os núcleos esféricos possuem deforma¸cões pequenas em torno da sua forma, essas deforma¸cões são chamadas de vibra¸cões. As oscila¸cões em torno da forma esférica de equil´ıbrio devem ser harmônica e de amplitudes pequenas. Assim, um ponto da superf´ıcie oscilante é dada por:

R(θ, φ, t) = R0[1 +

X

λµ

αλµ(t)Yλµ(θ, φ)], (3.7)

onde R(θ, φ, t) é o raio da superf´ıcie no instante t na dire¸cão θ, φ; R0é o raio em equil´ıbrio;

αλµ é a amplitude de oscila¸cão; λ é o modo ou multipolaridade de oscila¸cão que define o

modo de movimento e a forma da superf´ıcie; µ é a componente Z de λ e Yλµ é a fun¸cão

dos harmônicos esféricos. A figura 3.4 ilustra os modos λ de vibra¸cões.

O modo λ = 0 corresponde a uma varia¸cão do volume mantendo a forma; λ = 1 corresponde a uma transla¸cão do núcleo, modificando a posi¸cão do centro de massa; λ = 2 é a oscila¸cão de quadrupolo onde, o núcleo assume formas elipsoidais com deslocamento de matéria nuclear, conservando a densidade e o volume, sendo, comumente, a deforma¸cão

(38)

Figura 3.4: Modos de vibra¸cão da superf´ıcie nuclear. A linha cheia mostra a forma do núcleo para cada modo em rela¸cão ao núcleo esférico original [8].

mais importante a ser estudada. Logo, quando a deforma¸cão de quadruplolo for pequena, da ordem de 0.1, o núcleo terá caráter vibracional. λ = 3 está associado a oscila¸cão de octupolo. Cada uma dessas oscila¸cões refere-se a uma energia vibracional:

Hvib = 1 2 X λ,µ (Bλ| ˙aλ,µ|2+ Cλ|aλ,µ|2) (3.8)

no qual as constantes Bλ e Cλ caracterizam a massa inercial do sistema e a for¸ca

res-tauradoura, respectivamente. A frequência de cada oscila¸cão é dada por ωλ =

q

Cλ

Bλ com

energia ~ω.

Quando o núcleo passa de um n´ıvel para outro mais baixo ou mais elevado pode-se dizer que ele emitiu ou absorveu um fônon de vibra¸cão. Logo, fônons de vibra¸cão contribuem para construir o espectro de vibra¸cão dos núcleos a partir do estado fundamental, chamado de banda vibracional com energia En = (n + 5/2)~ω2 para λ = 2 com n sendo o número

de fˆonons do estado. A figura 3.5 mostra um exemplo de banda vibracional quadrupolar. Como caracter´ısticas de um espectro vibracional quadrupolar, onde o estado funda-mental ´e 0+_{, temos que o primeiro estado excitado ´}_{e o estado 2}+ _{e o aparecimento do}

tripleto 0+, 2+, 4+ com o dobro de energia, aproximadamente, do primeiro estado excitado 2+_.

3.3.2 Modelo rotacional

O movimento coletivo de rota¸cão num núcleo só se manifesta se o núcleo for de-formado, ou seja, quando não tem simetria esférica e quando possui um parâmetro de

(39)

Figura 3.5: Banda vibracional do n´ucleo de 114_{Cd [9]. `}_{A direita se encontram os valores}

do spin e paridade dos estados e `a esquerda suas energias em keV.

deforma¸cão grande, igual ou maior que 0.3 (aproximadamente). Os n´ıveis de energia rotacional estão associados às rota¸cões em torno de um eixo perpendicular ao eixo de si-metria, pois rota¸cões em torno de um eixo de simetria axial só altera a fase na autofun¸cão do núcleo, não produzindo excita¸cões rotacionais. A figura 3.6 mostra o acoplamento de momentos angulares em um núcleo deformado.

Figura 3.6: Acoplamento de momentos angulares de um n´ucleo deformado com eixo de simetria na dire¸c˜ao 3 [8].

(40)

Na figura 3.6, o vetor R representa o momento angular de rota¸cão que é perpendicular ao eixo de simetria 3 (o sistema de eixos preso ao núcleo é expresso por 1, 2 e 3). O vetor j corresponde ao momento angular intr´ınseco, e sua proje¸cão Ω sobre o eixo 3 coincide com a proje¸cão K do momento angular total I = R + j. Assim, a energia de rota¸cão é dada pelo autovalor do operador hamiltoniano de rota¸cão

H = R

2

2τ , (3.9)

onde τ é o momento de inércia do núcleo. A energia da banda rotacional é dada por E(I) = ~2I(I+1)

2τ com I = 0,2,4,6 para n´ucleos par-par. A figura 3.7 mostra um exemplo de

banda rotacional do n´ucleo de 238_{Pu, onde os valores a esquerda s˜}_{ao os estados dos n´ıveis}

de energia e os da direita s˜ao os valores da energia em keV.

Figura 3.7: Banda rotacional do n´ucleo238

94 Pu [9].

Um outro exemplo de núcleo considerado um rotor para os estados de mais baixa energia é o núcleo 28Si. Esse núcleo possui um parâmetro de deforma¸cão da ordem de 0.4, além de possuir o estado fundamental deformado. Outra caracter´ıstica vista é que as energias das bandas seguem a regra de I(I + 1), e o tripleto de dois fônons com spin/paridade 0+, 2+, 4+ caracter´ıstica de um vibrador não aparecem. A figura 3.8 mostra o esquema de n´ıveis do núcleo 28_Si.

(41)

Figura 3.8: Esquema de n´ıveis do n´ucleo 28_{Si [9].}

3.4 Probabilidade de transi¸

c˜

ao eletromagn´

etica

Um sistema quântico de A nucleons que compõem o núcleo possui uma grande quanti-dade de estados excitados acima do seu estado fundamental (estado de mais baixa energia), com exce¸cão do dêuteron, para os quais o núcleo pode transitar se lhe for fornecido ener-gia. A transi¸cão entre esses estados ocorrem principalmente através de radia¸cão gama, tanto na excita¸cão, quanto na desexcita¸cão. Para o cálculo da taxa de transi¸cão do decai-mento gama, ou seja, a probabilidade de transi¸cão por unidade de tempo, uma abordagem semiclássica será feita.

Iremos escrever a probabilidade de transi¸cão por unidade de tempo como sendo a taxa de energia irradiada por uma densidade de carga ou distribui¸cão de corrente, dividida pela energia do fóton emitido [38]. Essa energia pode ser emitida por meio da radia¸cão multipolar elétrica ou magnética. A potência emitida por cada multipolo λµ, irradiando numa frequência ω é dada por [39]:

(42)

PE(λ, µ) = 2(λ + 1)c ε0λ[(2λ + 1)!!]2 ω c 2λ+2 |Qλµ|2 (3.10)

para radia¸c˜ao de multipolo el´etrico e PM(λ, µ) = 2(λ + 1)cµ0 λ[(2λ + 1)!!]2 ω c 2λ+2 |Mλµ|2 (3.11)

para a radia¸cão magnética. Onde ε0 e µ0 são a permissividade elétrica e a suscetibilidade

magnética no vácuo, respectivamente. Qλ,µ e Mλ,µ são os momentos de multipolo elétrico

e magn´etico, respectivamente, que s˜ao escritas como:

Qλ,µ= Z rλY_λµ∗ (θ, φ)ρ(r)d3r, (3.12) Mλ,µ= − 1 λ + 1 Z rλY_λµ∗ (θ, φ)∇ · (r × j(r))d3r. (3.13) Onde, ρ ´e a densidade de carga, j a densidade de corrente, λ a ordem de multipolo (λ = 1,2,...) e µ assume valores −λ, −λ + 1, ..., λ para cada valor de λ.

Logo, ao dividirmos a potência (equa¸c˜_{oes 3.10 e 3.11) por ~ω, encontraremos a} proba-bilidade de emissão fóton por unidade de tempo, que é igual a constante de decaimento T , então: TE(λ, µ) = PE(λ, µ) ~ω = 2(λ + 1) ~ε0λ[(2λ + 1)!!]2 ω c 2λ+1 |Qλµ|2 e, (3.14) TM(λ, µ) = PM(λ, µ) ~ω = 2(λ + 1)µ0 ~λ[(2λ + 1)!!]2 ω c 2λ+1 |Mλµ|2. (3.15)

Escrevendo Qλµ e Mλµ quanticamente, temos:

Qλ,µ(a, b) = hb|Qλ,µ|ai = e Z X k=1 Z r_kλY_λµ∗ (θk, φk)ψ∗bψadτ, (3.16) Mλ,µ(a, b) = hb|Mλ,µ|ai = − e~ mp(λ + 1) Z X k=1 Z r_kλY_λµ∗ (θk, φk)∇ · (ψb∗Lkψa)dτ. (3.17)

(43)

Onde o ´ındice a(b) indica o estado inicial(final) descrito pela fun¸c˜ao de onda ψa(ψb). mp

´e a massa do pr´oton e Lk o operador de momento angular.

Em uma transi¸c˜ao de a → b, com spin total mudando de Ja→ Jb com emiss˜ao de um

quanta com spin total λµ, é necessário fazer uma soma sobre todas as possibilidades do estado final e uma média sobre todas as possibilidades do estado inicial, já que mJ a e mJ b

não são medidos experimentalmente. Dessa maneira, pode-se definir a probabilidade de transi¸cão reduzida B para o modo elétrico como,

B(Eλ; Ja→ Jb) = 1 2Ja+ 1 X mJ a X mJ b | hJbmb||Qλµ||Jamai |2, (3.18)

o modo magnético é feito de forma análoga.

A probabilidade de transi¸cão reduzida depende da dire¸cão da transi¸cão. Para transi¸cões eletromagnéticas, Ja é o estado inicial de maior energia. Mas, nas excita¸cões

Coulombi-anas, o estado inicial é o estado mais baixo e, frequentemente, usa-se a nota¸cão B(↑) para essa situa¸cão. Por exemplo, se Ja é o estado inferior logo, Jb é o estado mais alto e

portanto, a transi¸cão elétrica é escrita na forma B(↑), cujo o valor é calculado a partir da seguinte equa¸cão:

B(b → a) = 2Ja+ 1 2Jb+ 1

B(↑ a → b). (3.19)

Usualmente, as unidades para a probabilidade de transi¸c˜ao reduzida s˜ao:

[B(Eλ)] = e2f m2λ [B(M λ)] = (µn/c)2f m2λ−2. (3.20)

Quando temos a probabilidade de transi¸cão de quadrupolo (λ = 2) elétrica B(E2)↑ entre o estado fundamental (0+) e o primeiro estado excitado (2+) podemos obter in-forma¸cões sobre o estado coletivo do núcleo. E quanto maior o valor de B(E2)↑ maior será o grau de deforma¸cão do núcleo.

(44)

3.5 Intera¸

c˜

ao nucleon-nucleon

O potencial de intera¸cão nuclear é em muitos dos casos, o objeto de estudo de uma rea¸cão, pois ainda não existe uma forma espec´ıfica que descreva todas as suas propriedades f´ısicas. Por exemplo, na estrutura nuclear o potencial no modelo de camadas gera os estados nucleares single-particle. Numa rea¸cão nuclear, em que ocorre espalhamento de nucleon, essa intera¸cão entre o nucleon incidente e o núcleo alvo determina como o nucleon é espalhado pelo núcleo [40]. O termo intera¸cão, em geral, indica a possibilidade da troca de energia e momento entre as part´ıculas ou a possibilidade de cria¸cão e aniquila¸cão de part´ıculas [41].

A partir do estudo do dêuteron, que possui apenas dois nucleons (um próton e um nêutron) e não possui estados excitados ligados, pôde-se inferir as propriedades da in-tera¸cão nucleon-nucleon. Logo, a for¸ca nuclear tem como caracter´ısticas ser atrativa e de curto alcance; é independente da carga dos nucleons, porém, possui dependência com o spin.

Desde que o dêuteron possui J = 1 e está no estado l = 0, os spins dos nucleons devem estar alinhados (paralelos) logo, deve ter S = 1. Porém, como o dêuteron possui um único estado ligado, podemos concluir que o estado nêutron-próton (n-p) com S = 1 é ligado e, portanto, a configura¸cão com S = 0 não representa um estado ligado. Se a intera¸cão nucleon-nucleon não diferencia prótons e nêutrons, a não existência do estado nêutron-próton com S = 0 é consistente com a não existência dos estados ligados nˆ eutron-nêutron (n-n) e próton-próton (p-p). Por outro lado, a não existência dos estados n-n e p-p com S = 1 e l = 0 se deve ao princ´ıpio da exclusão de Pauli. Pois, a fun¸cão de onda do sistema de dois nucleons idênticos deve ser anti-simétrica. Portanto, quando dois férmions idênticos estão ocupando o mesmo estado (l = 0), seus spins devem ser anti-paralelos, assim, estados com l = 0 e S = 1 para nêutron-nêutron e próton-próton são proibidos.

A intera¸cão nucleon-nucleon não é puramente central, pois, além de possuir uma parte dependente do spin, também tem uma parcela que depende da dire¸cão do spin em rela¸cão

(45)

`

a distˆancia entre os n´ucleos, chamada de tensor de for¸ca.

A for¸ca central do potencial (energia) mútuo entre os dois nucleons interagentes, lo-calizados em r1 e r2, é uma fun¸cão que só depende da distância relativa entre eles

conser-vando o momento angular, sendo l um bom número quântico, assim podemos escrever que V (r1, r2) = V (|r1− r2|). A intera¸cão central de dois corpos pode ser expandida em

mul-tipolos. Nesta expans˜ao a coordenada relativa |r1− r2| ´e substitu´ıda pelas coordenadas

individuais dos nucleons, como visto a seguir:

V (|r1− r2|) = X λ vλ(r1, r2) X µ Y_λµ∗ (Ω1)Yλµ(Ω2) = X λ vλ(r1, r2)Yλ(Ω1) · Yλ(Ω2), (3.21) onde vλ(r1, r2) = 2π R1

−1|r1− r2|Pλ(cosθ12)d(cosθ12). Aqui, Ω representa as coordenadas

angulares e θ12 ´e o ˆangulo entre as coordenadas r1 e r2.

O potencial central nucleon-nucleon pode ser complementado com a dependˆencia do spin e isospin, tornando-se:

Vc(|r1− r2|) = f (|r1− r2|)[A + Bσ1· σ2+ Cτ1· τ2+ D(σ1· σ2)(τ1· τ2)], (3.22)

no qual, σi e τi s˜ao operadores de spin e isospin, respectivamente, e suas componentes

s˜ao as matrizes de Pauli σx = τx = 0 1 1 0 , σy = τy = 0 −i i 0 e σz = τz = 1 0 0 −1

e ´e associado ao operador de spin da seguinte maneira, S = ~

2σ. Os coeficientes

A, B, C e D s˜ao relacionados com a for¸ca de troca, definidas em termos dos operadores

Pσ =

1

2(1 + σ1· σ2), Pτ = 1

2(1 + τ1· τ2). (3.23)

Pσ ´e denominado de potencial de troca de spin ou potencial de Barllett. Pτ ´e

cha-mado potencial de Majorana responsável pela troca das coordenadadas espaciais das duas part´ıculas. Já o operador PσPτ é conhecido como potencial de Heisenberg [8, 36].

Quando consideramos que a fun¸cão de onda possui mistura de estados com momento angular l, o potencial será não-central e devemos considerar o tensor de for¸ca que, deve

(46)

ter a forma V (r). As for¸cas não-centrais são comumente descritas em fun¸cão dos ângulos entre os vetores de spins do próton e do nêutron e do vetor radial r que os separa, além de ser um escalar. Assim, a única combina¸cão de σ1, σ2 e ˆr que fornece uma for¸ca não

central ser´a, (σ1× ˆr)(σ2× ˆr). Logo, o potencial tensor ´e definido como:

V12(r)S12 com S12 = 3(σ1· ˆr)(σ2· ˆr) − σ1· σ2, (3.24)

onde V12 fornece a for¸ca e a magnitude radial adequada.

Para levar em considera¸cão os potenciais ditos não-locais, ou seja, quando o poten-cial não fica perfeitamente definido para cada ponto de r no espa¸co, como por exemplo, os potenciais que são dependentes do momento p, um termo linear em p, chamado de intera¸cão spin-orbital deve ser inclu´ıdo no potencial. Logo, temos,

VLS(r)L · S = VLS(r)~

2(r × p) · (σ1+ σ2). (3.25)

Juntando os termos para a intera¸c˜ao nucleon-nucleon, obtemos

V (r) = Vc(|r1− r2|) + V12(r)S12+ VLS(r)L · S. (3.26)

3.6 Potencial double-folding

A mais simples rea¸cão nuclear que pode ocorrer entre um projétil e um alvo é o es-palhamento elástico. Porém, apesar de ser simples, o espalhamento elástico é uma fonte muito importante para se obter informa¸cões relevantes sobre as propriedades nucleares. Essas informa¸cões são obtidas por meio de estudos do potencial de intera¸cão que se encon-tram para reproduzir as medidas das se¸cões de choque elástica e inelástica. Geralmente, para descrever a colisão entre dois núcleos o primeiro passo a ser tomado é introduzir um potencial simples de um corpo, como o potencial de campo médio por exemplo, que descreva algumas caracter´ısticas da colisão como espalhamento elástico e a absor¸cão do fluxo incidente para os outros canais. Porém, para um problema de muitos corpos é dif´ıcil

(47)

construir uma intera¸cão partindo dos primeiros princ´ıpios, logo é necessário a introdu¸cão de modelos no potencial que os torne mais sofisticado e microscópico. Assim, o modelo de potencial de dupla convolu¸cão (double-folding) tornou-se um modelo satisfatório para descrever as propriedades nucleares numa colisão. O modelo de double-folding leva em considera¸cão a intera¸cão nucleon-nucleon sobre as distribui¸cões de matéria dos núcleos envolvidos na rea¸cão, a dependência da energia de bombardeamento e o caráter não-local da intera¸cão nuclear, que está relacionado com as poss´ıveis trocas de nucleons entre o alvo e o projétil. Além disso, leva em conta o principio de exclusão de Pauli devido à natureza fermiônica dos nucleons.

Para descrever a dinâmica da rea¸cão de ´ıons-pesados, deve-se resolver a equa¸cão de Schrödinger escrita da seguinte maneira:

−~ 2 2µO 2_{+ U (R)} Ψ = EΨ (3.27)

onde µ ´e a massa reduzida do sistema, U(R) ´e um potencial complexo descrito pelo modelo ´

optico. Ψ =P

ijϕaiϕAjψij(R) é a fun¸cão de onda total do sistema projétil-alvo (a + A),

onde ψ descreve o movimento relativo dos nucleons e ϕk com k = ai, Aj, referem-se

aos graus de liberdades internos de cada núcleo envolvido na rea¸cão. Para o caso do espalhamento elástico quando i = j = 0 denotando o estado fundamental, o potencial ´

optico pode ser escrito da seguinte maneira [42]:

U = V00+ X αα0 V0α 1 E − H + i αα0 V_α0 0, (3.28) de forma que: V00= hϕa0ϕA0|V |ϕa0ϕA0i (3.29)

onde V é a intera¸cão entre a e A. O segundo termo da equa¸cão 3.28 leva em considera¸cão todos os estados excitados de um ou de ambos os núcleos. O primeiro termo da equa¸cão

(48)

3.28 ´e real e ´e chamado de potencial folding, assim podemos definir UF = V00. Definindo

V como uma operador local de dois corpos, temos:

V =X

i,j

vij, (3.30)

em que i representa o nucleon do proj´etil e j do alvo, por exemplo. Logo, vij configura a

intera¸cão nucleon-nucleon dos núcleos compreendidos na colisão. O potencial folding 3.29 pode ser escrito em termos das densidades dos núcleos interagentes

UF(R) =

Z dr1

Z

dr2ρ1(r1)ρ2(r2)v(r12) (3.31)

onde r12 = R + r2− r1 é o vetor posi¸cão referente ao núcleo projétil [a] em rela¸cão ao

nucleon referente ao núcleo alvo [A]; R é o vetor posi¸cão do centro de massa do projétil em rela¸cão ao centro de massa do alvo; r1 e r2 são as coordenadas intr´ınsecas dos núcleos

a e A; ρ1(r1) e ρ2(r2) s˜ao as densidades dos n´ucleos a e A, respectivamente. A figura 3.9

mostra uma representa¸cão esquemática das coordenadas usadas na equa¸cão 3.31. Devido a integra¸cão ser sobre duas densidades, ela é chamada de modelo de dupla convolu¸cão (double-folding).

Figura 3.9: Representa¸cão esquemática das coordenadas usadas na intera¸cão nucleon-nucleon entre os núcleos alvo e projétil.

A equa¸cão 3.31 envolve uma integral de seis dimensões, porém se trabalharmos no espa¸co dos momentos e fizermos uma transforma¸cão de Fourier, a equa¸cão 3.31 é reduzida

(49)

para uma integral de 3 dimens˜oes como mostrado a seguir.

Escrevendo a transforma¸c˜ao de Fourier na representa¸c˜ao das coordenadas (f (r)) e do momento ( ¯f (k)) dadas por:

f (r) = (2π)−3 Z dk ¯f (k)e−ik·r (3.32) e ¯ f (r) = Z dr ¯f (k)eik·r (3.33)

Ent˜ao, r12 na equa¸c˜ao 3.31 torna-se:

v(r12) = (2π)−3 Z dk¯v(k)e−ik·r12 _(3.34) ¯ v(k) = Z dr12v¯12(R)eik·r12 (3.35) e UF(R) = (2π)−3 Z dk ¯UF(k)e−ik·R (3.36) ¯ UF(k) = Z dR ¯UF(R)eik·R (3.37)

Multiplicando a equa¸c˜ao 3.31 por eik·R _{e integrando em R, obtemos:}

Z dReik·RUF(R) = Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2) Z dRv(r12)eik·R (3.38)

mas, r12 = R − r1+ r2. Logo, R = r12+ r1− r2 e dr12= dR. Substituindo no lado direito

da equa¸c˜ao, temos:

Z dReik·RUF(R) = Z dr1 Z dr2ρ(r1)ρ(r2) Z dr12v(r12)eik·(r12+r1−r2) (3.39) Z dReik·RUF(R) = Z dr1ρ(r1)eik·r1 Z dr2ρ(r2)ei(-k)·r2 Z dr12v(r12)eik·r12 (3.40)