Aplicação do método de otimização algoritmo de colisão de partículas na estimativa de parâmetros em corpos hídricos

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DO NOROESTE FLUMINENSE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, BIOLÓGICAS E DA TERRA

BACHARELADO EM MATEMÁTICA

RENNAN MENDES DE MORAES DOS SANTOS DIAS

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO ALGORITMO DE COLISÃO DE PARTÍCULAS NA ESTIMATIVA DE PARÂMETROS EM CORPOS HÍDRICOS

SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA 2019

(2)

RENNAN MENDES DE MORAES DOS SANTOS DIAS

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO ALGORITMO

DE COLISÃO DE PARTÍCULAS NA ESTIMATIVA DE

PARÂMETROS EM CORPOS HÍDRICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apre-sentado ao Curso de Graduação em Ba-charelado em Matemática com ênfase em Matemática Aplicada e Computa-cional, do Departamento de Ciências Exatas, Biológicas e da Terra, no Ins-tituto do Noroeste Fluminense de Edu-cação Superior da Universidade Fede-ral Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Matemática.

Orientador:

Prof. D.Sc. Wagner Rambaldi Telles

Santo Antônio de Pádua 2019

(3)

Ficha catalográfica automática - SDC/BINF Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Maria Dalva Pereira de Souza - CRB7/7044

D541a Dias, Rennan Mendes de Moraes dos Santos

Aplicação do Método de Otimização Algoritmo de Colisão de Partículas na Estimativa de Parâmetros em Corpos

Hídricos / Rennan Mendes de Moraes dos Santos Dias ; Wagner Rambaldi Telles, orientador. Santo Antônio de Pádua, 2019. 64 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática)-Universidade Federal Fluminense, Instituto do Noroeste Fluminense de Educação Superior, Santo Antônio de Pádua, 2019.

1. Transporte de Poluentes. 2. Problemas Inversos. 3. Métodos de Otimização. 4. Algoritmo de Colisão de Partículas. 5. Produção intelectual. I. Telles, Wagner Rambaldi, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto do Noroeste Fluminense de Educação Superior. III. Título.

(4)

-RENNAN MENDES DE MORAES DOS SANTOS DIAS

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO ALGORITMO

DE COLISÃO DE PARTÍCULAS NA ESTIMATIVA DE

PARÂMETROS EM CORPOS HÍDRICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apre-sentado ao Curso de Graduação em Ba-charelado em Matemática com ênfase em Matemática Aplicada e Computa-cional, do Departamento de Ciências Exatas, Biológicas e da Terra, no Ins-tituto do Noroeste Fluminense de Edu-cação Superior da Universidade Fede-ral Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Matemática.

Aprovado em 17 de Julho de 2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. D.Sc. Wagner Rambaldi Telles - INFES/UFF Orientador

Profa. D.Sc. Maria Danielle Rodrigues Marques - INFES/UFF

Prof. D.Sc. Thiago Jordem Pereira - INFES/UFF

Santo Antônio de Pádua 2019

(5)

(6)

AGRADECIMENTOS

Gratidão a minha mãe, Rogeria Mendes de Moraes, pelo amor incondicional e por fazer o impossível, desde sempre, para que eu estudasse;

Gratidão aos meus amigos e amigas que estiveram presentes em todos os momentos dessa trajetória, acreditando em mim e me apoiando;

Gratidão ao meu orientador, Wagner Rambaldi Telles, pelos trabalhos produzidos juntos, este incluso, além das orientações profissionais e pessoais, que me fizeram acreditar na minha própria capacidade. Foi uma honra poder ter sido seu orientando; Gratidão ao corpo docente da Universidade Federal Fluminense pela vivência ofe-recida, em especial à Profa. Maria Danielle, cujos conselhos me motivaram a seguir em frente;

Gratidão à Universidade Federal Fluminense pela oportunidade da bolsa de iniciação científica que permitiu o presente trabalho;

Gratidão ao universo que, como parte do todo, corrobora este caminho e esta con-quista.

(7)

Ele não sabia que era impossível. Foi lá e fez.

(8)

RESUMO

No presente trabalho propõe-se uma metodologia baseada em problemas inversos para estimar o coeficiente de dispersão longitudinal e a velocidade de escoamento em rios que apresentem geometria complexa. Mais especificamente, neste trabalho formulou-se o problema inverso como um problema de otimização de uma função objetivo, dada pela diferença entre os valores experimentais de concentrações ao longo do tempo e os respec-tivos resultados analíticos, partindo do pressuposto que os dados experimentais a serem utilizados já foram obtidos. Neste contexto, implementou-se o método de otimização es-tocástico Algoritmo de Colisão de Partículas e analisou-se a sua eficiência para este tipo de problemática. A escolha desta abordagem é justificada pelo aparecimento da modela-gem matemática como uma alternativa mais viável logística e financeiramente no auxílio à tomada de decisões diante de problemas reais.

Palavras-chave: Corpos Hídricos, Transporte de Poluentes, Problemas Inversos, Méto-dos de Otimização, Algoritmo de Colisão de Partículas.

(9)

ABSTRACT

This paper proposes a methodology based on inverse problems to estimate the longitudi-nal dispersion coefficient and the flow velocity in rivers that present complex geometry. More specifically, in this work the inverse problem was formulated as a problem of optimi-zation of an objective function, given by the difference between the experimental values of concentrations over time and the respective analytical results, assuming that the ex-perimental data to be used have been already obtained. In this context, we implemented the stochastic optimization method of Particle Collision Algorithm and analyzed its effi-ciency for this kind of problem. That approach choice’s is justified by the emergence of mathematical modeling as a more viable logistical and financial alternative to aid decision making in the face of real problems.

Keywords: Water Bodies, Transport of Pollutants, Inverse Problems, Optimization Methods, Particle Collision Algorithm.

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Consumo de água no Brasil. . . 22

Figura 2 - Esquema de dispersão de efluentes. . . 25

Figura 3 - Mapa de localização da bacia hidrográfica do rio Macaé. . . 26

Figura 4 - Mapa de atividades econômicas na bacia hidrográfica do Macaé. . . 27

Figura 5 - Despejo de esgoto a céu aberto. . . 28

Figura 6 - Esquema de uma seção transversal de um rio e a posição dos perfis verticais. . . 30

Figura 7 - Preparação e utilização do molinete na seção de injeção da região de interesse. . . 30

Figura 8 - Visão parcial de um trecho do rio São Pedro. . . 32

Figura 9 - Gráfico "concentração versus tempo" para a seção de amostragem a 100 m do ponto de injeção. . . 33

Figura 10 - Resultado da concentração pelo tempo com EL = 1, 638 m2/s e U = 0, 590 m/s. . . 43

Figura 13 - Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de EL decrescido em -10%, -20% e -50%. . . 44

(11)

Figura 17 - Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de EL acrescido

em +10%, +20% e +50%. . . 46 Figura 18 - Resultado da concentração pelo tempo com EL = 1, 820 m2/s e U =

0, 531 m/s. . . 48 Figura 19 - Resultado da concentração pelo tempo com EL = 1, 820 m2/s e U =

0, 295 m/s. . . 49 Figura 21 - Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus

tempo"com o valor de U decrescido em -10%, -20% e -50%. . . 49 Figura 22 - Resultado da concentração pelo tempo com EL = 1, 820 m2/s e U =

0, 885 m/s. . . 51 Figura 25 - Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus

tempo"com o valor de U acrescido em +10%, +20% e +50%. . . 51 Figura 26 - Perfis das concentrações obtidas com a estimativa do parâmetro ELpelo

método PCA no melhor caso, pior caso e média, resultado obtido utili-zando os parâmetros de Sousa (2009) e dados experimentais. . . 53 Figura 27 - Erros absolutos obtidos com a estimativa do parâmetro ELpelo método

PCA no melhor caso e pior caso. . . 54 Figura 28 - Perfis das concentrações obtidas com a estimativa do parâmetro U pelo

método PCA no melhor caso, pior caso e média, resultado obtido utili-zando os parâmetros de Sousa (2009) e dados experimentais. . . 55 Figura 29 - Erros absolutos obtidos com a estimativa do parâmetro U pelo método

PCA no melhor caso e pior caso. . . 56 Figura 30 - Perfis das concentrações obtidas com a estimativa dos parâmetros EL e

U pelo método PCA no melhor caso, pior caso e média, resultado obtido utilizando os parâmetros de Sousa (2009) e dados experimentais. . . 57

(12)

Figura 31 - Erros absolutos obtidos com as estimativas dos parâmetros EL e U pelo

método PCA no melhor caso e pior caso. . . 58 Figura 32 - Ampliação da janela de visualização dos erros absolutos obtidos com as

estimativas dos parâmetros EL e U pelo método PCA no melhor caso e

(13)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Consumo de água no Brasil. . . 22 Tabela 2 - Resultados obtidos pelo método de otimização PCA para o coeficiente

de dispersão longitudinal (EL). . . 53

Tabela 3 - Resultados obtidos pelo método de otimização PCA para a velocidade de escoamento (U ). . . 55 Tabela 4 - Resultados obtidos pelo método de otimização PCA para o coeficiente

(14)

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AG Algoritmo Genético (Genetic Algorithm) APA Área de Proteção Ambiental

CETESB Companhia Ambiental do Estado de São Paulo DE Evolução Diferencial (Differential Evolution) INEA Instituto Estadual do Ambiente

INFES Instituto do Noroeste Fluminense de Educação Superior NAF Número de Avaliações da Função Objetivo

PCA Algortimo de Colisão de Partículas (Particle Collision Algorithm) PNRH Política Nacional de Recursos Hídricos

PSO Otimização por Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization)

SNGRH Sistema Nacional de Gerenciamento de Recursos Hídricos UFF Universidade Federal Fluminense

UNESCO Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura

(15)

LISTA DE SÍMBOLOS

x Variável espacial (m)

t Variável temporal (s)

C Concentração (mg/l)

EL Coeficiente de dispersão longitudinal (m2/s)

U Velocidade de escoamento (m/s) M Massa do constituinte (mg)

A Área da seção transversal do rio (m2₎

C0 Concentração inicial do rio (mg/l)

δ(x) Função delta de Dirac

Q Vazão da seção de injeção do traçador (m3/s) B Largura da seção de injeção do traçador (m) H Profundidade da seção de injeção do traçador (m) S Declividade da seção de injeção do traçador (m/m) nP CA loop do processo iterativo do método de otimização PCA

nExp loop do processo exploratório do método de otimização PCA

L Vetor contendo os limites inferiores do espaço de busca da solução

U Vetor contendo os limites superiores do espaço de busca da solução

OldConfig Vetor contendo os valores prévios às perturbações durante a execução do método PCA

NewConfig Vetor contendo os valores posteriores às perturbações durante a execução do método PCA

BestConfig Vetor contendo os melhores valores durante a execução do método PCA

(16)

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO . . . 17

1 CONCEITOS BÁSICOS ENVOLVENDO O TRANSPORTE DE CONTAMINANTES . . . 21

1.1 Poluição Hídrica . . . 21

1.2 Legislação do Despejo de Poluentes . . . 23

1.3 Transporte de Poluentes em Rios . . . 24

2 CARACTERIZAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA DO PRO-BLEMA PROPOSTO . . . 26

2.1 Caracterização da Área de Estudos . . . 26

2.2 Descrição do Experimento . . . 29

2.2.1 Determinação da Vazão do Escoamento . . . 29

2.2.2 Considerações Sobre o Traçador . . . 31

2.2.3 Coleta das Amostras . . . 31

2.3 Modelagem Matemática . . . 34

3 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO . . . 36

3.1 Máximos e Mínimos . . . 36

3.2 Otimização . . . 37

3.3 Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA) . . . 38

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . 42

4.1 Variação dos Parâmetros . . . 42

4.1.1 Variação do Coeficiente de Dispersão Longitudinal (EL) . . . 42

4.1.2 Variação da Velocidade Média do Escoamento (U ) . . . 47

4.2 Estimativa dos Parâmetros Utilizando o Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA) . . . 52

(17)

4.2.2 Estimativa da Velocidade Média do Escoamento (U ) . . . 54 4.2.3 Estimativa do Coeficiente de Dispersão (EL) e da Velocidade Média (U ) . . . 56

CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS . . . 59 REFERÊNCIAS . . . 61

(18)

17

INTRODUÇÃO

Com a evolução da sociedade e de seus meios de produção, já nos primórdios da Revolução Industrial, a contaminação ambiental tem tido um vertiginoso aumento, em função de atividades humanas. Em conjunto com esse cenário, impulsiona-se, também, a busca por medidas remediativas ou preventivas para o problema da poluição, em particu-lar, a poluição hídrica, a qual decorre do lançamento de efluentes em corpos receptores, como rios, lagos, mares e reservatórios subterrâneos (Sousa, 2009; Telles, 2009).

A partir do problema da escassez de água potável, entende-se a necessidade e importância de preservar este recurso natural fundamental a vida e ao funcionamento da sociedade como um todo. Em particular, no caso do Estado do Rio de Janeiro:

A Política Estadual das águas reconhece que a água é um recurso essen-cial à vida, de disponibilidade limitada, dotada de valor econômico, soessen-cial e ecológico, e que por sua vez sua gestão deve, entre outros, garantir o acesso à água as gerações atuais e futuras, desde que não comprometa os ecossistemas aquáticos, e a disponibilidade e qualidade hídrica para o abastecimento humano (Relatório de Situação da Bacia, 2013/2014).

Dessa forma, segundo Precioso et al. (2010), o uso de modelos computacionais torna-se mais relevante a cada dia, levando em consideração a capacidade de relacionar causas e efeitos, além do acompanhamento das alterações provenientes da ação do homem, possibilitando, aos gestores, a tomada de decisões, previamente. Mesmo que esses modelos sejam simplifcações da realidade, eles, quando adequadamente calibrados e validados, se mostram extremamente úteis, sendo sua principal qualidade a capacidade de gerar diferentes cenários e manipular uma vasta quantidade de variáveis.

Identifica-se a utilização da modelagem matemática aplicada a esse tipo de pro-blemática, análise e preservação de recursos hídricos, em diversos trabalhos das últimas décadas. Schneider (2017), em seu trabalho intitulado "Simulação de avaliação da quali-dade da água em rios: estudo de caso da bacia hidrográfica do rio Forqueta, RS", utilizou técnicas de modelagem matemática de variáveis indicadoras da qualidade de água do rio Forqueta através de dados de entrada que representassem as condições ambientais da bacia hidrográfica, simulando cinco parâmetros de qualidade da água. Já no trabalho intitu-lado "Modelagem matemática da qualidade da água de recursos hídricos impactados pela atividade carbonífera de Santa Catarina: aplicação na sub-bacia do rio Mãe Luiza (SC)", Cardoso (2015) modelou a origem, transporte e destino dos poluentes que influenciam na

(19)

18

qualidade da água do rio em questão. Jesus (2006), em sua tese intitulada "Utilização de modelagem matemática 3D na gestão da qualidade da água em mananciais - aplicação no reservatório Billings", forneceu subsídios à avaliação das alterações da qualidade da água neste reservatório, aplicando o modelo 3D.

Por outro lado, encontram-se dificuldades na estimativa de alguns parâmetros na utilização mais realística desses modelos. Para contornar esse problema, são utilizados mé-todos de otimização. Como exemplo, pode-se citar o trabalho de Schuster e Araújo (2004), intitulado "Uma formulação alternativa do método iterativo de Gradiente Hidráulico no procedimento de calibração dos parâmetros hidrodinâmicos do sistema aquífero", onde mostraram que a minimização dos residuais dos gradientes hidráulicos no domínio total do aquífero resulta também em uma minimização simultânea dos residuais das respectivas cargas hidráulicas e demonstraram, assim, que o método iterativo Gradiente Hidráulico alternativo é um método rápido, eficaz e prático. No artigo "Otimização de parâmetros de modelo hidrológico usando pesquisa harmônica", Almeida et al. (2016) desenvolveram a metodologia que utiliza a Pesquisa Harmônica para otimização dos parâmetros de um modelo do tipo chuva-vazão, visando à obtenção de hidrogramas em sub-bacias sem me-dição de níveis ou vazões. Já Silva, Bacellar e Fernandes (2010), com o artigo "Estimativa de parâmetros de aquíferos através do coeficiente de recessão em áreas de embasamento cristalino de Minas Gerais", mostraram que os métodos de determinação de coeficiente de recessão são promissores para se caracterizar a produção de água subterrânea em bacias hidrográficas do embasamento cristalino.

Diante do que foi exposto, neste trabalho propõe-se uma metodologia baseada em problemas inversos para estimar o coeficiente de dispersão longitudinal e a velocidade de escoamento em rios que apresentem geometria complexa, que é o caso de rios situados em regiões montanhosas. Mais especificamente, objetivou-se formular o problema inverso como um problema de otimização de uma função objetivo, partindo do pressuposto que os dados experimentais a serem utilizados já foram obtidos em um trabalho de campo realizado, o qual está descrito em Sousa (2009). Neste contexto, implementaram-se ferra-mentas estocásticas para o problema de otimização em questão.

JUSTIFICATIVA

O presente trabalho justifica-se pela importância da busca por meios de prevenção e/ou remediação do problema ambiental de despejo de efluentes em corpos hídricos, no que se refere ao problema de transporte de contaminantes em rios. Nesse contexto, a mode-lagem matemática aparece como uma alternativa mais viável logistica e financeiramente,

(20)

19

no que diz respeito a essa classe de problemas.

Com base nessa premissa, foi analisado o problema de transporte de poluentes descrito em Sousa (2009), referente ao rio São Pedro, localizado na Região Serrana do Estado do Rio de Janeiro, compondo a bacia hidrográfica do rio Macaé, região com grande interesse ambiental, por compreender territórios de três unidades de conservação.

Ademais, esta monografia proporciona associar os conceitos estudados e aprendi-dos durante o curso de Bacharelado em Matemática ofertado pelo Instituto do Noroeste Fluminense de Educação Superior (INFES), campus regional da Universidade Federal Fluminense (UFF), localizado em Santo Antônio de Pádua, Estado do Rio de Janeiro, aplicados à modelagem e solução de problemas reais, do ponto de vista de uma abordagem inversa, ajudando a compreender melhor a vasta área de aplicabilidade dos conhecimentos matemáticos e computacionais.

OBJETIVOS

Objetivo Geral

O objetivo geral deste trabalho é analisar e estudar o comportamento e a dispersão de poluentes em corpos hídricos com base em conceitos matemáticos e a estimativa de parâmetros utilizando um método de otimização.

Objetivos Específicos

• Realizar, através da revisão de literatura, um melhor entendimento sobre os cor-pos hídricos, bem como os conceitos básicos sobre transporte de contaminantes, metodologias e tendências que os envolvem;

• Familiarizar com a metodologia de solução de um problema direto de transporte de contaminantes;

• Formular o problema inverso de estimativa de parâmetros em corpos hídricos (rios); • Implementar o código computacional do método de otimização Algoritmo de Colisão

de Partículas (PCA);

• Solucionar o problema inverso de estimativa de parâmetros em corpos hídricos (rios), utilizando o Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA);

(21)

20

• Analisar a metodologia desenvolvida e apresentar os resultados de forma a auxiliar na tomada de decisões futuras sobre o melhor lugar para se despejar resíduos, de forma a não interferir tanto no meio ambiente.

Organização do Trabalho

No primeiro capítulo, aborda-se os conceitos básicos sobre transporte de conta-minantes. É nele que se entende, de forma mais aprofundada, o que é poluição hídrica, tratando, também, da legislação brasileira a respeito desta temática e seguindo com a caracterização do transporte de poluentes em rios. Já no segundo capítulo, é feita a des-crição e modelagem matemática do problema proposto. Na primeira parte é localizada a área de estudo, suas características e problemática, enquanto, na segunda parte, são apresentadas as equações que governam o fenômeno de advecção-dispersão de poluentes em rios e a sua solução. Também, no Capítulo 2, é descrito o experimento realizado por Sousa (2009), onde vê-se detalhes sobre os parâmetros físicos e hidrodinâmicos, método das seções (método do molinete), considerações práticas sobre o traçador, método de in-jeção instantânea do traçador e o experimento na prática. Adiante, no terceiro capítulo, inicialmente é dada uma descrição para o conceito de otimização e, após, é apresentado o Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA), com suas características, vantagens, passo a passo de seu funcionamento e pseudocódigo. Por fim, no Capítulo 4, são exibidos os resultados e discussões a cerca do que foi proposto neste trabalho, exibindo os efeitos da variação dos parâmetros estimados e avaliando o método de otimização Algoritmo de Co-lisão de Partículas (PCA) em suas estimativas quanto ao número de avaliações da função objetivo, com base nos dados estatísticos de melhor resultado, pior resultado e desvio padrão referente aos parâmetros de intresse.

(22)

21

1 CONCEITOS BÁSICOS ENVOLVENDO O TRANSPORTE DE

CONTA-MINANTES

Neste capítutlo são apresentados alguns conceitos envolvento a poluíção hídrica, bem como a legislação vigente e característas sobre o transporte de poluentes em rios.

1.1 Poluição Hídrica

Segundo Telles (2009), um dos maiores desafios deste milênio é evitar a falta de água doce potável no nosso planeta. Apresentado na revista Sciencie, no mês de julho do ano 2000, um estudo mostra que cerca de 71% da população mundial, ou seja, 4,3 bilhões de pessoas, vivem sob severa ou moderada escassez de água por um mês a cada ano, ainda é listado o aumento da população mundial como um dos fatores que está contribuindo para a escassez de água no planeta, embora, nesse ponto, há divergência entre os estudiosos.

Atualmente não se observa uma melhora nesse cenário, em um texto publicado neste ano (2019) pela Companhia Ambiental do Estado de São Paulo (CETESB), intitu-lado "Aguas Interiores", ficam evidênciadas, também, as diferenças registradas entre os países desenvolvidos e os em desenvolvimento a cerca do consumo da água, por exemplo, no Continente Africano a média de consumo de água por pessoa é dezenove metros cúbi-cos/dia, enquanto em Nova York, o consumo médio é de dois metros cúbicos/dia. A curto prazo, poderá faltar água para atividades de irrigação em diversos países, sendo os mais pobres, os primeiros.

Dados da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (UNESCO), indicavam, em seu "Relatório mundial sobre o desenvolvimento de recursos hídricos – água para um mundo sustentável", que a necessidade por água doce aumentou o dobro de vezes mais que a população mundial (Koncagül, 2016). Um dos principais causadores desse aumento é o desproporcional incremento no alto consumo de água pelas atividades industriais e de zonas agrícolas. Na Tabela 1 e Figura 1, mostra-se o con-sumo de água nas regiões do planeta e no Brasil, onde fica evidenciado que as atividades agrícolas são as principais responsáveis pelo consumo de água potável no mundo e, con-sequentemente, pela sua escassez.

(23)

22

Tabela 1: Consumo de água no Brasil.

Período Região Volume anual consumido (km3₎ Consumo anual per capita (m3₎ Distribuição Consumo (%)

Agrícola Doméstico Industrial 1987 a 1997 Norte da África e Oriente Médio 221,1 774 80 16 4 1987 a 1995 África (Exceto Norte) 72,6 151 68 24 8 1988 a 1998 Europa 355,8 523 26 23 51 1990 a 1991 América do Norte 512,4 1.721 27 16 57 1990 a 1997 América Central 105,7 394 65 21 14 1987 a 1997 América do Sul 157 833 76 17 7 1987 a 1999 Ásia 1.759,90 992 79 11 10 1985 a 1991 Oceania 14,7 398 45 40 15 1998 Brasil 67,5 398 68 14 18 1990 Mundo 3.414,00 650 71 9 20

Fonte: Braga et al., 2005.

Figura 1: Consumo de água no Brasil. Fonte: Relatório CRHB - ANA, 2012.

No Brasil, apesar da crescente atuação da indústria na demanda total de água e do impacto gerado pelo despejo de efluentes nos rios, o papel da água no setor de industrias ainda é um assunto pouco estudado. Explica-se, tal fato, pela limitada disponibilidade de

(24)

23

dados consistentes a respeito do uso da água nesse setor, sendo as informações disponí-veis baseadas em cadastros de usuários poucos confiádisponí-veis. Além disso, essas informações encontram-se espalhadas nos diversos órgãos estaduais de meio ambiente e recursos hídri-cos, como o Instituto Estadual do Ambiente (INEA) responsável pela gestão das águas do Estado do Rio de Janeiro. Essa escassez de informações consistentes e confiáveis, apare-cem como um dos principais fatores para a efetiva caracterização do aporte de poluentes às bacias e, consequentemente, um obstáculo a mais para uma análise qualitativa sobre a poluição hídrica (Féres, 2005).

Entende-se, segundo Braga et al. (2005), como poluição, a alteração indesejável nas características, químicas, biológicas ou físicas da hidrosfera ou atmosfera que cause ou possa causar prejuizo à sobrevivência, à saúde ou às atividades dos seres vivos (humanos e demais espécieis) ou ainda deteriorar materiais.

É de se esperar que os governantes tomem medidas sobre essa problemática e, portanto, criem leis para gerir o uso da água. Nesse sentido, é interessante conhecer, também, as políticas nacionais que tratam da poluição hídrica.

1.2 Legislação do Despejo de Poluentes

Instituindo a Política Nacional de Recursos Hídricos (PNRH) e criando o Sistema Nacional de Gerenciamento de Recursos Hídricos (SNGRH), foi promulgada em 9 de janeiro de 1997, a Lei número 9.433. Esta lei, tem como intuito, estabelecer alguns fundamentos sobre o uso e gestão de recursos hídricos no Brasil, entre eles, o de que a água é tida como um recurso finito, de valor econômico definido e de domínio público, devendo a sua administração ter a participação de toda a sociedade incluindo o Poder Público, a comunidade e os usuários. Essa lei (Lei 9.433/97), estabelece ainda uma forma de "mensurar"o território nacional, levando em consideração a aplicação do quadro normativo hídrico, o qual terá como unidade territorial, a "bacia hidrográfica" (PNRH, 1997).

Da ação do Poder Público, de acordo com os art. 29 e 30 da Lei 9.433/97, na implementação da Política Nacional de Recursos Hídricos (PNRH), compete ao Poder Executivo Federal tomar providências necessárias ao funcionamento do Sistema Nacional de Gerenciamento de Recursos Hídricos (SNGRH), outorgar os direitos de uso de recursos hídricos e, regulamentar e fiscalizar os usos, implantar e gerir o Sistema de Informações sobre Recursos Hídricos, em âmbito nacional, enquanto cabe aos Poderes Executivos Es-taduais e do Distrito Federal, exercerem essas competências no âmbito estadual, além de,

(25)

24

em ambos, promover a integração da gestão de recursos hídricos com a gestão ambiental. Quanto aos custos para implementação do Plano Nacional de Recursos Hídricos (Lei 9.433/97), o art. 38 estabelece a seguinte competência legal: "estabelecer critérios e promover o rateio de custo das obras de uso múltiplo, de interesse comum ou coletivo".

A utilização de alguns instrumentos facilitadores no processo de implantação da Política Nacional de Recursos Hídricos, também é prevista na Lei 9.433/97 como, por exemplo, os Planos de Bacia, devendo ser elaborados pelos respectivos Comitês de Bacia, cujo intuito é prover tanto um diagnóstico atualizado, quanto ações que minimizem as pressões e otimizem a utilização dos recursos disponíveis (Telles, 2009).

1.3 Transporte de Poluentes em Rios

Segundo Sezerino e Bento (2005), ao atingir os corpos de água, os poluentes sofrem ação de diversos mecanismos bioquímicos e físicos existentes na natureza, alterando seu comportamento e suas respectivas concentrações. Além disso, os corpos hídricos apresen-tam um movimento particular e, por não serem estáticos, transporapresen-tam uma substância poluente de seu ponto de despejo até outras regiões, variando assim, sua concentração ao longo do tempo e espaço.

Telles (2009) disserta a respeito das seguintes definições dos componentes, trazidas por Eiger (1991), que estão presentes no transporte de poluentes em rios: Constituinte (representado por um poluente ou traçador caracterizado pela sua concentração), este podendo ser conservativo (quando sua distribuição não é afetada por reações com outros constituintes ou com o meio fluido envolvente, mas sim por processos físicos) ou não-conservativo (ativo - cuja presença afeta as características hidrodinâmicas do escoamento ou, passivo - quando não afeta essas características); Advecção (mecanismo de transporte ocasionado pelo fluxo de água, ligado ao campo de velocidade).

Intimamente ligado ao gradiente de velocidade, está o comportamento do poluente, quanto maior a velocidade, mais rápido será o afastamento do mesmo de seu ponto de lançamento. Este comportamento é também função de processos difusivos, os quais são divididos em dois: difusão molecular e difusão turbulenta. O primeiro destes, provém do movimento decorrente da agitação térmica das partículas existentes no meio fluido. Já o segundo, surge a partir das misturas rápidas das substâncias no processo de turbu-lência no escoamento da água (Telles, 2009). Há, ainda, o fenômeno de transporte de efluentes causado pela ocorrência simultânea de difusão molecular e/ou turbulenta e da velocidade, o qual é chamado de dispersão, ocorrendo o efeito da flutuação turbulenta

(26)

25

sobre a concentração.

Quando ocorre de as moléculas do efluente se dispersarem entre as camadas do fluido devido ao gradiente de concentração existente entre as diferentes regiões do escoa-mento, chama-se transporte difusivo, sendo necessário que haja uma diferença na quanti-dade da grandeza de um local para o outro (quanto maior for essa diferença, maior será o transporte). Por outro lado, a dispersão convectiva ocorre devido às componentes de velocidade existentes. Por exemplo, a convecção ocorre em regimes turbulentos devido à existência de velocidades paralelas.

Embora ambos desses fenômenos estejam presentes durante a dispersão dos efluen-tes, há situações em que apenas um é predominante (Machado, 2006). Um outro exemplo de dispersão convectiva, é o de uma folha boiando na superfície de um rio, sendo trans-portada à medida que a água do rio se move. Outra situação, mais complexa, é o caso de uma gota de tinta injetada no rio, levando ao espalhamento da mesma devido à difusão e, simultaneamente, levada com a correnteza, ou seja, por convecção (Travelho, 2012).

Na Figura 2 mostra-se esquematicamente o fenômeno de dispersão de efluentes em rios, onde tem-se a emissão do poluente sendo feita em uma de suas margens, caracteri-zando a mistura transversal no sentido do vetor Qr ao longo de sua largura B. Também pode-se observar a mistura vertical ao longo da altura H do trecho, bem como sua zona de mistura, a qual entende-se ser o trecho a partir do ponto de despejo até o ponto onde a água e o poluente já se encontram misturados de forma homogênea, chamada zona de mistura completa.

Figura 2: Esquema de dispersão de efluentes. Fonte: Machado, 2006.

(27)

26

2 CARACTERIZAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROBLEMA

PROPOSTO

Neste capítulo são apresentadas algumas caracteríscas da área de estudos abordada no presente trabalho, bem como a descrição do experimento realizado por Sousa (2009) na região de interesse e a respectiva modelagem matemática para o problema proposto.

2.1 Caracterização da Área de Estudos

A área estudada localiza-se na Região Serrana do Estado do Rio de Janeiro com-pondo a bacia hidrográfica do rio Macaé. Esta bacia, localizada no Litoral Norte do Estado do Rio de Janeiro, drena uma área de 1.765 km2_{. Possuindo a maior extensão}

dentre as outras bacias contidas unicamente dentro do Estado, desenvolve-se no sentido oeste-leste e percorre cerca de 136 km até desaguar no Oceano Atlântico. Além disso, engloba quase que toda a área do município de Macaé e parte dos municípios de Rio das Ostras, Capebus, Casimiro de Abreu, Conceição de Macabu e Nova Friburgo, onde encontra-se a área de estudo (Marçal e Luz, 2003). Na Figura 3 apresenta-se a localiza-ção da bacia hidrográfica do rio Macaé, bem como as cidades abrangidas por esse curso d’água.

Figura 3: Mapa de localização da bacia hidrográfica do rio Macaé. Fonte: Costa e Farias, 2008.

Os principais afluentes do rio Macaé pela margem esquerda são os rios Sana, Ata-laia, São Domingos, Santa Bárbara, Ouro Macaé, Jurumirim e, o objeto de estudo, São

(28)

27

Pedro (Souza et al., 2007). Este último, localizado na região superior da bacia (deno-minada de Alto Macaé), caracteriza-se por seu relevo acidentado pertencente à Serra do Mar e grande biodiversidade em remanescentes da Mata Atlântica. Nessa região, sobre-vivendo, basicamente, da agricultura familiar e da pecurária, há a presença histórica de aglomerações rurais. Tais populações utlizam os rios para irrigação de culturas, abasteci-mento doméstico, manutenção da vida de animais e como descarga de águas vindas das áreas de cultivos e de despejos domésticos (Sousa, 2009).

Infelizmente, o rio Macaé vem sendo deteriorado de diversas maneiras, seja na destruição das matas ciliares ou na qualidade da água. Desde o ciclo do café e da cana-de-açucar, continuado até a década de 70, com a retificação dos rios, captação de água para irrigação, aumento da densidade populacional, truticultura (criação de trutas) e pecuária. Além disso, agravando a situação, tem-se o crescimento urbano desordenado e o turismo, que trazem o problema da captação de água para abastecimento urbano e industrial (Revista Visões, 2008). Cabe ressaltar que essa bacia hidrográfica compõe, em quase sua totalidade, a Reserva da Biosfera da Mata Atlântica, onde existem espécies nativas como os cedros e jequitibás (Filho, 2005). Na Figura 4 mostra-se o mapa das principais atividades econômicas desenvolvidas ao longo da bacia do rio Macaé.

Figura 4: Mapa de atividades econômicas na bacia hidrográfica do Macaé. Fonte: Guimarães, 2017.

Na área superior do Alto Macaé, onde encontra-se a microbacia do rio São Pedro, os principais fatores que atuam sobre a qualidade da água são oriundos, principalmente, da apropriação indevida de terras públicas ao longo das margens dos rios, à poluição

(29)

28

por esgotos, lançados nas vilas de São Pedro da Serra e Lumiar, à intensificação de processos erosivos provocados por atividades agropecuárias e à precaridade dos sistemas de coleta e tratamento de esgotos, como ilustrado na Figura 5. Tornando a situação ainda mais preocupante, tem-se o fato dessa região compreender territórios de três unidades de conservação, denominada Área de Proteção Ambiental (APA): as APA’s municipais de Rio Bonito e Macaé de Cima e a APA estadual de Macaé de Cima (Sousa, 2009).

Figura 5: Despejo de esgoto a céu aberto. Fonte: Costa e Farias, 2008.

A microbacia hidrográfica do rio São Pedro situa-se politicamente nos distritos de Lumiar e São Pedro da Serra e, geograficamente, na Serra do Mar. Possui suas nascentes na Pedra Mafort e é tributário do rio Boa Esperança, que por sua vez é afluente do Rio Macaé. Essa microbacia tem sua maior parte drenada pelos córregos Benfica, Sibéria, Tapera e Eller, os quais possuem leitos pedregosos e encaixados em falhas e fraturas, formando vales de 6 km de extensão, aproximadamente (Sousa, 2009).

Tendo em vista essa situação, descrita nesta subseção, são extremamente relevantes pesquisas ambientais que possam contribuir para o atual diagnóstico da bacia hidrográfica do rio Macaé de maneira conjugada com a previsão de futuros cenários. Em contrapartida, existe grande complexidade na descrição do sistema físico pelo modelo preconizado de gestão enunciado na Lei 9.433/97, o que impõe dificuldade na tomada de decisões, criando-se a necessidade de modelos simplificados que sirvam de suporte a essa ação. Dessa forma, os modelos matemáticos, salvo suas limitações, podem ser utilizados para manipular a imensa gama de variáveis que condicionam a qualidade hídrica de um rio, abordagem essa, que pretende-se aplicar ao rio Macaé, em específico, ao rio São Pedro (Sousa, 2009).

(30)

29

2.2 Descrição do Experimento

Como dito em Sousa (2009), o desenvolvimento de experimentos busca simular um cenário de poluição acidental em um curso hídrico e são elaborados através de injeções, instantâneas ou contínuas, de produtos químicos miscíveis e com uma densidade equiva-lente à da água. Daí, é preciso escolher o traçador que simula o produto injetado e definir os meios de injeção, seção de amostragem e análise das amostras. Enfim, a definição dos parâmetros a estudar para validar o modelo matemático é abordada, assim como índices estatísticos, indispensáveis quando avaliados os desempenhos dos modelos de dispersão.

Todos os equipamentos, procedimentos e materiais apresentados nas seguintes sub-seções desse capítulo foram utilizados na execução dos testes de campo, realizado por Sousa (2009), adotando-se de uma solução salina como traçador para a determinação do coeficiente de dispersão longitudinal e da velocidade média no curso d’água estudado.

Para o curso d’água do rio em questão, foi realizado um levantamento batimétrico e altimétrico. Com isso, para obtenção da largura média B e da profundidade média H, foram feitas batimetrias em uma seção ao longo do trecho analisado. O levantamento batimétrico foi exercido utilizando-se régua milimetrada e trena. Já a declividade média S, se obteve por meio do levantamento altimétrico do referido trecho.

No que se refere à construção, implementação e validação do modelo, é necessário um conjunto de entradas envolvendo a região sob análise, sendo elas: condições de con-torno, fontes externas, reações internas e a forma do corpo hídrico a ser representado no modelo (Sousa, 2009). Uma das mais importantes, dentre essas entradas, é a vazão do corpo hídrico modelado, a qual define não só a velocidade com que substâncias passivas são transportadas, mas também o processo de diluição de cargas que aportem ao corpo hídrico receptor.

2.2.1 Determinação da Vazão do Escoamento

Dentre as diversas formas de se determinar a vazão, Q, em escoamentos naturais, destaca-se aquela que se apoia no cálculo de seções transversais, A, e na medição de velocidades médias na seção, U, com a vazão sendo expressa simplesmente através do produto Q = UA. Como Sousa (2009) cita, esse método mostra-se bem eficiente para cursos d’água que tenham geometria estável e campo de velocidades bem comportado, tal o caso do rio São Pedro.

(31)

30

estimar a vazão de forma indireta em cursos hídricos, a partir da aferição da velocidade da água em diversos pontos de uma seção transversal do rio, indo de uma margem a outra, como representado esquematicamente na Figura 6. Assim, em cada perfil vertical dessa seção, é medida a velocidade da água do rio com um molinete e a profundidade do local (Figura 7). Dessa forma, dividi-se a seção transversal do rio em inúmeras outras e, para cada subseção, se calcula a área e a média das velocidades, a partir do molinete em cada vertical. Tem-se a vazão total do rio somando-se as vazões em cada subseção.

Figura 6: Esquema de uma seção transversal de um rio e a posição dos perfis verticais. Fonte: Silva, 2009.

Figura 7: Preparação e utilização do molinete na seção de injeção da região de interesse. Fonte: Sousa, 2009.

(32)

31

2.2.2 Considerações Sobre o Traçador

Os traçadores são utilizados para estabelecer o modo como uma substância conser-vativa, dissolvida no escoamento, se mistura ao longo de uma unidade e, assim, também infere sobre o movimento do próprio fluido que escoa (Rio e Teixeira, 1995).

Além disso, o traçador também permite simular o comportamento de uma subs-tância poluente no estudo da dispersão desta em cursos d’água naturais. As subssubs-tâncias usualmente empregadas como traçadores em cursos hídricos naturais são altamente solú-veis e os tipos mais comuns desses são os fluorescentes e salinos (Sousa, 2009).

A opção pela substância cloreto de sódio (NaCl), sal de cozinha, utilizada em Sousa (2009), está relacionada às considerações de ordem prática e ao cumprimento de um conjunto de requerimentos que o traçador deve apresentar: solubilidade em água, não tóxica para homens e animais, facilidade de armazenamento ou de quantificação, presença natual quase nula e, também, um custo muito baixo, são algumas de suas vantagens.

O teste de campo, descrito em Sousa (2009), foi realizado tomando uso do método de injeção instantânea, onde se injetou pontual e instantaneamente no eixo do canal, numa seção anteriormente selecionada, um volume conhecido de concentração do traçador. Duas seções foram escolhidas a jusante ao ponto de lançamento, de modo que, já na primeira, tenha sido completado o processo de mistura. Foram medidos os valores da condutividade em função do tempo fazendo uso de um condutivímetro portátil, previamente calibrado, e de um cronômetro em cada estação, ou seção, de medição. O registro da leitura foi feito durante todo o tempo de passagem da nuvem do traçador, até atingir o "branco", ou seja, até atingir a condutividade natural do rio.

Esses valores de condutividade foram convertidos em concentração através da apli-cação da equação de calibração do condutivímetro, o que permitiu o levantamento da chamada curva de resposta, a qual é a representação cartesiana da curva completa da concentração do traçador em função do tempo ao longo de sua passagem pela seção es-colhida. Mais detalhes a respeito do procedimento de calibração do condutivímetro estão disponíveis em Sousa (2009).

2.2.3 Coleta das Amostras

Os experimentos foram realizados por Sousa (2009) no 7o _{Distrito de Nova Friburgo}

(RJ), São Pedro da Serra, região esta que vem sendo afetada por um rápido processo de transformação espacial, econômica e social, com fortes impactos ambientais (Limaverde

(33)

32

Filho et al., 2005). As medições foram feitas em um trecho do rio localizado em frente à estrada do cemitério, na saída da vila, conforme ilustrado na Figura 8.

Figura 8: Visão parcial de um trecho do rio São Pedro. Fonte: Sousa, 2009.

A obtenção dos dados para a estimativa do coeficiente de dispersão e velocidade média no trecho de interesse, ilustrado na Figura 8, ocorreu no dia 26 de janeiro de 2009 quando, às 10:50:28 h, 2.000 mg de cloreto de sódio (NaCl), diluídos em um balde com aproximadamente 15 l de água, foram injetados instantaneamente em um ponto da seção de lançamento, sobre a linha de corrente central do escoamento. Posteriormente, foram colhidas 60 amostras de 200 ml da água misturada ao sal, a cada 15 s, em duas seções à jusante do local da injeção, na linha de corrente central do escoamento, seguindo para análise em laboratório.

O início da coleta das amostras da primeira seção foi programado para se dar ao mesmo momento da injeção da solução na seção de amostragem e, posteriormente, após 90 s, começaram as coletas na segunda seção, como está descrito em Sousa (2009). No total, contou-se com a partipação de 5 pessoas para as operações de campo.

A seguir, um resumo em forma de lista das características da seção de lançamento do traçador, que serviram para o planejamento da injeção e para o estabelecimento do cronograma das amostragens. Dados retirados de Sousa (2009).

• Dados do ponto de lançamento do traçador: Vazão Q = U A : 0, 430 m3/s;

Área A : 1, 050 m2; Largura B : 2, 400 m;

(34)

33

Velocidade U : 0, 410 m/s; Declividade S : 0, 030 m/m;

Concentração inicial do rio C0 : 15, 500 mg/l.

Também foram coletadas amostras no ponto de amostragem para referência de fundo ("branco") do condutivímetro, antes de se iniciar as injeções do traçador, obtendo um valor médio da concentração existente de 15,500 mg/l. Todas as amostras, após o teste, foram mantidas à temperatura in natura até o momento da leitura, acondicionadas em seus respectivos frascos, feito no condutivímetro. Na Figura 9 é apresentado o perfil das amostras da água, na forma da concentração salina ao longo do tempo, na seção de amostragem a 100 m do ponto de injeção.

Figura 9: Gráfico "concentração versus tempo" para a seção de amostragem a 100 m do ponto de injeção.

Fonte: O Autor, 2019.

A seção de amostragem para ser utilizada no trabalho foi escolhida além da zona advectiva, condição necessária para se poder aplicar o modelo unidimensional. Foram utilizados os dados do ponto de lançamento do traçador, para o cálculo do comprimento da zona advectiva, obtendo-se uma distância aproximada de 8 m para a mistura completa na seção transversal. Sendo assim, através da análise das últimas amostras coletadas simulâneamente nas três linhas de corrente verificando a homogeneização na seção trans-versal, constatou-se que os dados coletados na seção a 100 m do ponto de injeção seriam os

(35)

34

mais apropriados para aplicação do método de determinação do coeficiente de dispersão longitudinal (Sousa, 2009).

2.3 Modelagem Matemática

A modelagem matemática do comportamento de um poluente imerso em um corpo hídrico, como o rio São Pedro, necessita previamente do conhecimento de algumas noções fundamentais. Nesta seção, assim como em Sousa (2009), são abordados os princípios fundamentais que caracterizam o evento de mistura e transporte de poluentes em rios. Os conceitos básicos de advecção, difusão molecular, difusão turbulenta e dispersão estão descritos de maneira sucinta no Capítulo 2 e, detalhadamente, na dissertação de Sousa (2009), base deste Trabalho de Conclusão de Curso.

Para apresentar os mecanismos de transporte e dispersão de poluentes na mode-lagem da qualidade de água em rios, se considera, primeiramente, a difusão molecular. Esta, segundo a lei de Fick, representa o fluxo ou taxa de transferência de massa de um soluto que se difunde por meio de uma seção de área unitária e que é proporcional, medido segundo a normal a esta seção, ao gradiente da sua concentração.

Segundo Sousa (2009), as características hidrodinâmicas, dos escoamentos em rios e canais, como velocidade, pressão e massa específica, possuem flutuações aleatórias resul-tando numa certa desordem das partículas do fluído, visto que normalmente são transpor-tes turbulentos. Em seguida, da mistura completa do traçador ocorrida na seção trans-versal, a variação principal da concentração passa a acontecer na direção longitudinal. Ademais, o processo de mistura que se observa na direção longitudinal é mais fortemente influenciado, em cursos hídricos naturais, pelos gradientes transversais de velocidade, os quais, ao serem tomados como valores médios ao longo da seção transversal e admitidos como proporcionais ao gradiente longitudinal de concentração, possibilitam considerar al-gumas simplificações, obtendo-se, finalmente, a conhecida equação de advecção-dispersão unidimensional (Barbosa Jr., 2005; Sousa, 2009):

∂C ∂t + U ∂C ∂x = EL ∂2_C ∂x2, −∞ < x < ∞, t > 0 (2.1) onde: x = variável espacial (m); t = variável temporal (s); C = concentração (mg/l);

(36)

35

U = velocidade média longitudinal do escoamento (m/s); EL= coeficiente de dispersão longitudinal (m2/s).

No caso de interesse para este trabalho, segundo Sousa (2009), a solução funda-mental é decorrente de uma injeção instantânea de uma massa M do constituinte, unifor-memente distribuída em uma seção transversal da área A, localizada em x = 0. Assim, obtem-se as seguintes condições iniciais e de contorno:

C(x, 0) = M Aδ(x), −∞ < x < ∞ C(±∞, t) = C0, t > 0 (2.2) onde: M = massa do constituinte (mg);

A = área da seção transversal do rio (m2_);

C0 = concentração inicial do rio (mg/l);

δ(x) denota a função delta de Dirac que, fisicamente, representa uma unidade de massa de constituinte dentro de um espaço infinitamente pequeno e que tem a propriedade de ser nula no tempo inicial em todos os lugares, exceto em x = 0 (posição de injeção da massa M do constituinte) tal que:

Z ∞

−∞

δ(x)dx = 1 (2.3)

A solução fundamental da equação de advecção-dispersão, com a transformação de coordenadas é dada por:

C(x, t) = C0+ M A√4πELt exp −(x − U t) 2 4ELt , −∞ < x < ∞, t > 0 (2.4)

Esta encontra-se em Sousa (2009), adaptando a solução fundamental obtida para o caso da difusão pura. Assim, para a mesma fonte plana e instantânea, tem-se a Eq. (2.4) como solução.

(37)

36

3 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

Neste capítulo são descritos alguns conceitos básicos envolvendo otimização, bem como o Algortimo de Colisão de Partículas (PCA), método estocástico utilizado nesse trabalho para a estimativa dos parâmetros de interesse para o problema abordado no Capítulo 2. No entanto, antes de abordar tais conceitos, é apresentada uma definição sobre máximos e mínimos de funções de uma variável para um melhor entendimento da metodologia aqui apresentada.

3.1 Máximos e Mínimos

Os problemas de otimização encontram-se como umas das mais importantes aplica-ções do cálculo diferencial, como cita Stewart (2013). Nesses problemas, como abordado mais detalhadamente na seção seguinte, deve-se encontrar a maneira ótima (melhor ma-neira) de fazer alguma coisa, como por exemplo:

• Qual o melhor formato para uma lata de refrigerante de forma a minimizar o custo de produção?

• Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial de forma a minimizar os efeitos colaterais da aceleração nos astronautas?

• Quais os melhores parâmetros da solução analítica de um modelo de transporte de contaminantes em rios, de forma a obter-se o perfil da curva "concentração versus tempo" que represente a realidade de maneira mais adequada?

Esses problemas podem ser simplificados como a encontrar os valores mínimo ou máximo de uma função objetivo. De forma geral, tem-se as seguintes definições.

Seja c um número no domínio D de uma função f . Então f (c) é o:

• Valor máximo absoluto de f em D se f (c) ≥ f (x) para todo x em D; • Valor mínimo absoluto de f em D se f (c) ≤ f (x) para todo x em D.

Por outro lado, o número f (c) é um:

(38)

37

• Valor mínimo local de f se f (c) ≤ f (x) quando x está próximo de c.

Ou seja, o maior e menor valores encontrados para uma função, dentro de seu domínio, são chamados de máximo absoluto e mínimo absoluto, respectivamente. Já os vértices do gráfico de uma função ou, os maiores e menores valores encontrados em intervalos abertos contidos no domínio da função, são chamados de máximos ou mínimos locais, podendo, esses, serem também máximos ou mínimos absolutos.

3.2 Otimização

O conceito de otimização é utilizado quando se está diante de um problema de maximização ou minimização de uma função objetivo, em um espaço de busca, com suas variáveis sujeitas, na maioria dos casos, a um conjunto de restrições. Espaço de busca é o conjunto, espaço ou região onde encontram-se as possíveis soluções do problema a ser otimizado. Já por restrições, entende-se as funções de igualdade ou desigualdade, aplicadas sobre as variáveis, as quais limitam os seus valores no intuito de evitar situações consideradas não desejáveis na solução do problema (Holtz, 2005; Dias, 2018). Finalmente, função objetivo pode ser entendida como um "critério de avaliação" das soluções viáveis que nos permita dizer que uma solução é "melhor" que a outra (Arenales, 2017).

Dentro desse conceito trabalham-se, basicamente, com duas classes de métodos, ou seja, os algoritmos usados para a solução do problema: determinísticos e/ou estocásticos (Holtz, 2005). A primeira destas, possui como principal característica o uso de, na maioria das vezes, pelo menos a primeira derivada da função objetivo, que por sua vez deve ser contínua e diferenciável no espaço de busca. Além disso, os métodos determinísticos possuem teoremas que lhes garantem a convergência para uma solução ótima, não sendo necessariamente a solução ótima global. Mostrando extrema dependência do ponto de partida fornecido, essa classe de métodos não apresenta bom desempenho ao otimizar funções multimodais, ou seja, funções que possuem diversos ótimos locais. Como exemplo da classe determinística, tem-se o método de Newton (Dias e Telles, 2019).

Já a classe de métodos de otimização estocásticos, a qual engloba o método aqui estudado, Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA), usa somente a avaliação da função objetivo, não requerendo que essa seja contínua ou diferenciável, e parâmetros estocás-ticos, os quais garantem a fuga dos mínimos ou máximos locais. Outra vantagem dessa classe de métodos é não haver restrição alguma quanto ao ponto de partida dentro do espaço de busca (Holtz, 2005; Dias, 2018). Como exemplos da classe estocástica,

(39)

tem-38

se os métodos Otimização por Enxame de Partículas (PSO), Evolução Diferencial (DE), Algoritmo Genético (AG), entre outros.

Na seção seguinte, explica-se detalhadamente o Algortimo de Colisão de Partículas (PCA), adotado nesse trabalho.

3.3 Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA)

Proposto por Sacco e Oliveira (2005), o Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA) se assemelha, em sua estrutura, ao algoritmo Recozimento Simulado (Simulated Annea-ling) apresentado por Kirkpatrick (2008). Foi inspirado nas reações de colisão de partícu-las nucleares, com ênfase para os comportamentos de absorção e espalhamento. O PCA pode ser considerado um algoritmo do tipo Metrópolis, com uma possível solução sendo aceita com uma certa probabilidade. Este caso de aceitação aumenta as chances do algo-ritmo de escapar de soluções ótimas locais. Outra vantagem desse método é a necessidade de definir apenas o espaço de busca para as variáveis do problema tratado, o loop do processo iterativo (nP CA) e o loop do processo exploratório em torno da melhor solução

(nExp). Os demais parâmetros são definidos por rotinas aleatórias e não pelo usuário ao

configurar o início da execução (Sacco e Oliveira, 2005; Luz, Becceneri e Campos Velho, 2008; Silva, 2014; Dias, 2018).

Resumidamente, o processo de busca pela solução ótima da função objetivo se dá de acordo com os passos abaixo:

Passo 1. Defina o número de vezes em que o processo iterativo irá ocorrer (nP CA) e o

número de explorações em torno da melhor solução (nExp);

Passo 2. Defina os limites superior (U) e inferior (L) do espaço de busca para cada uma das variáveis do problema;

Passo 3. Atribua 1 como o valor inicial para a variável contador (c);

Passo 4. Gere uma solução inicial aleatória (OldConfig) dentro do domínio de busca da solução e faça BestConfig ← OldConfig;

Passo 5. Caso c ≥ nP CA encerre o algoritmo. Caso contrário, faça c = c + 1 e gere

uma nova solução, NewConfig, calculada a partir de uma perturbação estocástica na solução OldConfig de acordo com a fórmula: NewConfig = OldConfig + [(U − OldConfig)rand − (OldConfig − L)(1 − rand)]. Se F (NewConfig) < F (OldConfig), então OldConfig ← NewConfig e vá para o Passo 6. Caso

(40)

39

contrário, vá para o Passo 7. Obs: Se F (NewConfig) < F (BestConfig), então BestConfig também é atualizado com os valores contidos em NewConfig;

Passo 6. Faça o procedimento de exploração nExp vezes gerando novas estimativas

NewConfig de acordo com a fórmula: U’ = (1 + 0, 2rand)OldConfig; L’ = (1 − 0, 2rand)OldConfig; NewConfig = OldConfig + [(U’ − OldConfig)rand − (OldConfig − L’)(1 − rand)]. Caso F (NewConfig) < F (OldConfig), então OldConfig ← NewConfig. Ao final do processo de exploração, volte para o Passo 5. Obs: Se F (NewConfig) < F (BestConfig), então BestConfig também é atualizado com os valores contidos em NewConfig;

Passo 7. Calcule a probabilidade de espalhamento, pscattering, de acordo com a fórmula:

pscattering = 1 − (F (BestConfig)/F (NewConfig)). Gere um número aleatório

rand. Se pscattering < rand, então OldConfig recebe o valor de NewConfig e vá

para o Passo 6. Caso contrário, gere uma nova solução aleatória OldConfig e vá para o Passo 5.

Ao término do algoritmo, a estimativa do mínimo da função objetivo é dada pela solução BestConfig (Dias, 2018).

Para o problema abordado, foram estimados os parâmetros coeficiente de dispersão longitudinal (EL) e velocidade média de escoamento (U ) através da minimização de uma

função objetivo dada pela Equação (3.1). Esta foi obtida realizando o somatório da diferença entre o resultado calculado para a concentração através da Equação (2.4) e o dado experimental, no respectivo instante de tempo, retirado do trabalho de Sousa (2009).

F (Z ) = s PNd i=1(Ci(Z ) − Cexpi) Nd (3.1) onde:

Z = vetor contendo os parâmetros estimados pelo método PCA; Nd= número de dados experimentais;

Ci(Z ) = concentrações obtidas com os parâmetros estimados pelo método PCA;

Cexpi = concentrações experimentais.

Pode-se, também, descrever o Algortimo de Colisão de Partículas (PCA) através do seguinte pseudocódigo:

(41)

40

Algoritmo 1 PCA: Principal()

Defina o número de vezes que o PCA irá executar o processo iterativo: nP CA

Defina o número de explorações do PCA em torno de uma solução: nExp

Defina o limite superior do intervalo de busca: U Defina o limite inferior do intervalo de busca: L Gere uma solução inicial: NewConfig

faça: OldConfig = NewConfig BestConfig = OldConfig c = 1 1: enquanto c ≤ nP CA faça 2: c = c + 1 3: Perturbation()

4: se (F (NewConfig) < F (OldConfig)) então

5: OldConfig = NewConfig

6: se (F (NewConfig) < F (BestConfig)) então

7: BestConfig = NewConfig 8: fim se 9: Exploration() 10: senão 11: Scattering() 12: fim se 13: fim enquanto

Algoritmo 2 PCA: Perturbation()

1: NewConfig = OldConfig+{(U − OldConfig)rand −(OldConfig − L)(1−rand ) }

2: se (NewConfig > U) então 3: NewConfig = U 4: fim se 5: se (NewConfig < L) então 6: NewConfig = L 7: fim se

(42)

41

Algoritmo 3 PCA: Exploration()

1: para k = 1 até nExp faça

2: SmallPerturbation()

3: se (F (NewConfig) < F (OldConfig)) então

4: OldConfig = NewConfig

5: se (F (NewConfig) < F (BestConfig)) então 6: BestConfig = NewConfig

7: fim se

8: fim se 9: fim para

Algoritmo 4 PCA: SmallPerturbation()

1: U’ = (1 + 0, 2rand )OldConfig 2: se (U’ > U) então 3: U’ = U 4: fim se 5: L’ = (1 − 0, 2rand )OldConfig 6: se (L’ < L) então 7: L’ = L 8: fim se

9: NewConfig = OldConfig+{(U’ − OldConfig)rand −(OldConfig − L’)(1−rand )}

Algoritmo 5 PCA: Scattering()

1: pscattering = 1 − F (BestConfig)/F (NewConfig)

2: se (pscattering < rand ) então

3: OldConfig = NewConfig 4: Exploration()

5: senão

6: OldConfig = Nova solução aleatória 7: fim se

(43)

42

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos para a estimativa do coefi-ciente de dispersão longitudinal, EL, e da velocidade média de escoamento, U , presentes

na Equação (2.4), por meio do método de otimização Algortimo de Colisão de Partículas (PCA). Os resultados foram gerados em um computador com processador AMD Phenom II X4 830 2,8 GHz, 4,0 GB de memória RAM, sistema operacional Windows 7 Profes-sional 64 bits, sendo utilizada a linguagem de programação C para implementação dos códigos e o software Scilab versão 5.5.2 para geração dos gráficos. No mais, são adotados os parâmetros já citados no Capítulo 2.

4.1 Variação dos Parâmetros

Com o intuito de analisar a influência dos parâmetros de interesse no perfil da concentração ao longo do tempo, foi realizada a variação do coeficiente de dispersão longitudinal (EL) e da velocidade média do escoamento (U ), tomando como referência

os valores descritos em Sousa (2009). Os demais dados, como massa (2.000 mg), área da seção transversal (0, 538/U m2_{), concentração inicial do rio (15, 500 mg/l) e posição de}

coleta do poluente (100 m), foram mantidos constantes durante toda esta seção.

4.1.1 Variação do Coeficiente de Dispersão Longitudinal (EL)

O valor obtido por Sousa (2009) para o coeficiente de dispersão (EL), utilizando

o método de otimização Levenberg-Marquardt (Marquardt, 1963), foi de 1, 820 m2_/s.

Sobre este valor, foram aplicadas variações de -10%, -20%, -50%, 10%, 20% e 50%. Já a velocidade (U ) foi mantida constante e igual a 0, 590 m/s para todos os casos.

Nas Figuras 10, 11 e 12 são apresentados perfis das concentrações com as variações do coeficiente de dispersão para -10%, -20% e -50%, enquanto na Figura 13, é mostrado, de forma resumida, o perfil da concentração para essas três variações, bem como com os valores estimados por Sousa (2009), com o intuito de realizar uma melhor análise dos resultados. Já nas Figuras 14, 15 e 16 são apresentados os perfis de concentração para as variações do coeficiente de dispersão para +10%, +20% e +50%, enquanto na Figura 17, é mostrado, também de forma resumida, o perfil da concentração para essas três variações, bem como com os valores estimados por Sousa (2009).

(44)

43

Figura 10: Resultado da concentração pelo tempo com EL= 1, 638 m2/s e U = 0, 590 m/s.

(45)

44

Figura 13: Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de EL decrescido em -10%, -20% e -50%.

(46)

45

(47)

46

Figura 17: Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de EL acrescido em +10%, +20% e +50%.

(48)

47

Pode-se inferir, observando os gráficos apresentados nas Figuras 10 - 17, que o coeficiente de dispersão longitudinal (EL) possui principal influência sobre o pico da

con-centração, dado aos 160 s, fazendo elevar ou reduzir, em relação à curva obtida com os valores de referência retirados de Sousa (2009), até 15 unidades de concentração (consi-derando +50% de variação).

Nota-se, também observando os gráficos acima, que, conforme se dá a redução do coeficiente de dispersão longitudinal (EL), há um afinamento da base da curva e

um aumento do pico de concentração (Figura 13), indicando que o traçador levará mais tempo para se dispersar na água, passando pelo ponto de coleta com maior elevação do pico, conforme menor o valor do parâmetro EL. Por outro lado, ao aumentar o valor do

referido coeficiente (EL), pode-se observar o contrário, ou seja, um alargamento da base

da curva e uma redução do pico de concentração (Figura 17), indicando que o traçador levará menos tempo para se dispersar, aferindo-se uma menor elevação da concentração conforme maior o valor do parâmetro EL.

4.1.2 Variação da Velocidade Média do Escoamento (U )

Para a análise da influência da velocidade (U ) no perfil da concentração, novamente foi adotado como referência o valor obtido por Sousa (2009), também utilizando o método de otimização Levenberg-Marquardt, o qual foi de 0, 590 m/s. Sobre este valor, assim como ocorrido para o coeficiente de dispersão longitudinal (EL), foram aplicadas variações

de -10%, -20%, -50%, 10%, 20% e 50%. O coeficiente de dispersão (EL) foi mantido

constante e igual a 1, 820 m2_{/s para todos os casos.}

Nas Figuras 18, 19 e 20 são apresentados os perfis da concentração para as variações da velocidade para -10%, -20% e -50%, enquanto na Figura 21, é mostrado, de forma resumida, o perfil referente a velocidade para essas três variações, bem como com os valores estimados por Sousa (2009), com o intuito de realizar uma melhor análise dos resultados. Por outro lado, nas Figuras 22, 23 e 24 são apresentados os perfis com as variações da velocidade de escoamento para +10%, +20% e +50%, enquanto na Figura 25, é mostrado, também de forma resumida, o perfil referente a velocidade para essas três variações, bem como com os valores estimados por Sousa (2009).

Quanto à velocidade média de escoamento (U ), observa-se que esta, quando decres-cida ou acresdecres-cida, provoca alterações em todo o perfil da curva de concentração (resultados analíticos), atentando, inclusive, para variações de pequenos valores (-10% ou +10%).

(49)

48

(50)

49

Figura 21: Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de U decrescido em -10%, -20% e -50%.

(51)

50

(52)

51

Figura 25: Panorama comparativo entre os perfis das curvas "concentração versus tempo" com os valores estimados por Sousa (2009) e de U acrescido em +10%, +20% e +50%.

(53)

52

Verifica-se, observando os gráficos apresentados nas Figuras 18 - 25, que essas alterações na velocidade fazem com que a pluma de contaminante se desloque com maior ou menor rapidez ao longo do leito do rio. É possivel inferir ainda, que, conforme diminui-se a velocidade de escoamento (U ), aumenta-diminui-se o tempo que a pluma do contaminante terá para se misturar com a água até que passe pelo ponto de coleta, indicado pelas curvas com bases largas e picos menores de concentração do contaminante em tempos maiores, nas abscissas do gráfico da Figura 21. Por outro lado, conforme aumenta-se a velocidade (U ), diminui-se o tempo até que a pluma do traçador passe pelo ponto de coleta. Assim, têm-se curvas com bases estreitas e elevados picos de concentração (Figura 25), indicando que não houve tempo para que o traçador se misturasse com a água até o ponto de coleta.

4.2 Estimativa dos Parâmetros Utilizando o Algoritmo de Colisão de Partí-culas (PCA)

Para a obtenção dos resultados desta seção, o método de otimização Algoritmo de Colisão de Partículas (PCA) foi configurado para realizar 100 execuções com o intuito de estimar e analisar o coeficiente de dispersão longitudinal (EL) e a velocidade média de

escoamento (U ) e, a cada uma dessas execuções, foi contabilizado o número de avaliações da função objetivo (NAF), dada pela Equação (3.1), necessários para que o algoritmo encontre os parâmetros de interesse de acordo com um critério de parada estabelecido a priori : F (EL) < 3,177 (para estimativa de ELisolado), F (U ) < 3,181 (para estimativa de

U isolado) e F (EL, U ) < 3,177 (para estimativa de EL simultâneo com U ) − sendo esses

os menores erros obtidos após várias execuções do código com diversas configurações − ou NAF > 20.000. Além disso, para uma análise mais qualitativa dos resultados obtidos, foram calculados alguns parâmetros estatísticos, levando em consideração o total de execuções, sendo esses: melhor resultado (menor NAF), pior resultado (maior NAF), média aritmética simples e desvio padrão do coeficiente de dispersão longitudinal (EL),

da velocidade (U ), do valor e do número de avaliações da função objetivo (NAF).

Para estimar os valores de EL e U (de forma separada e simultânea) da solução

fundamental da equação de advecção-dispersão, descrita pelas Equações (2.1) a (2.4), foram utilizadas as seguintes configurações para o método de otimização PCA:

• Número de vezes que o PCA vai executar o processo iterativo: nP CA = 200;

• Número de explorações do PCA em torno de uma possível solução: nExp= 100;