Nome:
Todas as respostas devem ser justificadas.
Dados adicionais:
g = acelera¸c˜ao da gravidade = 10 m/s2
1 mph (milhas por hora) = 1.61 km/h Quest˜oes
1) (3 pontos) Responda o que se pede: a) Qual fra¸c˜ao do quilˆometro tem 1 metro? e um segundo corresponde a qual fra¸c˜ao de 1 hora? b) Se uma placa diz oitenta quilˆometros por hora 80km
h , qual valor de velocidade ela mostraria
em metros por segundos ms? c) Algumas motos importadas tem sua velocidade medida no veloc´ımetro em milhas por hora (mph). Supondo que um motociclista, em uma moto dessas, trafegue em uma via com um radar de cem quilˆometros por hora 100kmh , qual a velocidade m´axima em mph que ele poderia desenvolver nessa via monitorada?
Solu¸c˜ao
a) Esse ´e simples, ´e s´o lembrar do significado do “k”, que ´e 1000, portanto 1km = 1000m, logo 1m = 1
1000km. Na
segunda parte basta notar que 1h = 3600s, portanto 1s = 1
3600h ≈ 2, 7 × 10−
4h. Curioso ´e que alguns de vocˆes
erraram isso mas acertar˜ao o item b (provavelmente por terem decorado o tal fator 3,6);
b) Temos de transformar 80km/h no equivalente em m/s, para isso vamos usar o item a, 1km = 1000m e 1h = 3600s, dividindo temos, 1km/h = 1000m/3600s = 1
3,6 m
s, multiplicamos o 80 em ambos os lados e temos 80 km h = 80 ∗ 1 3,6 m s = 22, 22 m s;
c) Como temos a regra de transforma¸c˜ao de mph para km/h o problema ´e infantil, basta fazer uma regra de 3,
1mph x = 1,61km/h 100km/h ⇒x = 100 1,61mph = 62, 11mph;
MPH ´e algo ´util(pelo menos curioso), pois como consumimos muito material norte americano ´e bom saber o que ´e isso para n˜ao ficar boiando, vocˆes devem se lembrar do De volta para o Futuro e as 88 mph para viajar no tempo?(N˜ao?) Caso vocˆes inventem de ir para o ciˆencias sem fronteiras, al´em dos USA, UK, metade do Canad´a, a Nova Zelˆandia e a Austr´alia usam MPH.
2) (4 pontos)Um autom´ovel viaja em uma estrada reta por 20 km a 60km
h . Depois, continuando no mesmo
sentido, percorre 40 km a 30km
h . a) Qual a velocidade m´edia do carro para essa viagem de 60 km? (Suponha que
o carro se move no sentido positivo de x.) b) Qual ´e a velocidade escalar m´edia nos 60 km de viagem? c) Qual a velocidade escalar m´edia nos primeiros 30 km de viagem? d)Trace o gr´afico de x versus t e indique como encontrar a velocidade m´edia no gr´afico pedida no item b.
Solu¸c˜ao No fundo a melhor estrat´egia aqui seira come¸car pelos gr´aficos, al´em disso os itens a e b s˜ao muito semelhantes, farei primeiro o item b por ser mais simples;
b) Primeiro vamos ver quanto tempo o carro fica em cada deslocamento, assim somando esses tempo saberemos o tempo total da viagem de 60 km, chamaremos de ∆t20 o tempo que o carro nos primeiros 20 km; Como ele
desenvolve um M.R.U. e vocˆe deve se lembrar que vmed =Deslocamento∆t , temos que
∆t20=
20km 60km/h=
1
3h ≈ 0, 33h . Analogamente para o trecho de 40km temos que
∆t40=
40km 30km/h=
4
Logo o tempo total de viagem ∆t60= ∆t20+ ∆t40= 1 3 + 4 3 = 5 3h ≈ 1, 66h . Portanto a velocidade escalar m´edia
vmed=
20km + 40km ∆t60
=60 km
5/3 h = 36 km/h ,
quem fez usando a calculadora achou algo perto disso devido aos arredondamentos, e ganhou todos os pontos mesmo sem conseguir fazer essa conta de cabe¸ca.
a) Esse item diz respeito ao deslocamento vetorial e a velocidade m´edia vetorial (~vmed= ∆∆~xt). Primeiro, no enunciado
ele diz explicitamente que o movimento ´e unidimensional. Segundo, que os deslocamentos parciais est˜ao no mesmo SENTIDO (poderiam estar em sentidos opostos). Terceiro, ele sugere que se use o positivo do eixo x na dire¸c˜ao do deslocamento do carro (nada mais natural), portanto a conclus˜ao ´e a mesma daquela que fizemos acima:
~vmed= ∆~x
∆t60
= 60ˆi
5/3= 36 ˆi [km/h] .
Quem fez sem dar muitas explica¸c˜oes, sem colocar os vetores e et cetera, ainda sim ganhou a quest˜ao toda. c) O caso ´e an´alogo ao do item b, por´em em lugar do deslocamento de 40km a 30 km/h teremos um deslocamento de
10km nessa velocidade, veja
∆t10=
10km 30km/h=
1
3h ≈ 0, 33h . , o restante do procedimento ´e an´alogo.
∆t30= ∆t20+ ∆t10= 1 3 + 1 3 = 2 3h ≈ 0, 66h , vmed= 20km + 10km ∆t30 =30 km 2/3 h = 45 km/h .
Novamente se vocˆe fez tudo com a calculadora provavelmente achou algo perto disso devido a arredondamentos (veja s´o fazer a conta de cabe¸ca gerou um resultado mais preciso!!!);
d) Usando o que temos dos itens anteriores. Gr´afico da Posi¸c˜ao:
x(km) t(h) 0 P 1 P 2 20 1 3 60 5 3
A velocidade m´edia de cada trecho ´e a inclina¸c˜ao da curva em cada trecho (inclina¸c˜ao tem haver com a derivada), aqui como temos trechos retos a inclina¸c˜ao ´e igual ao coeficiente angular (para os primeiros 20km a reta azul e para os 40km finais a reta vermelha). Assim a velocidade m´edia da viagem pode ser visualizada ligando os pontos inicial e final (reta preta tracejada); O calculo do coeficiente angular de qualquer reta pode ser feito usando 2 pontos. Subtraindo as coordenadas e dividindo o resultado da vertical pelo resultado da horizontal.
Alguns de vocˆes fizeram outro gr´afico; Gr´afico da Velocidade: v(km/h) t(h) 0 v1 v2 Vmed 60 1 3 30 5 3 36
Para encontrar a velocidade m´edia aqui o importante ´e a ´area abaixo da curva da velocidade, pois isso nos fornecesse o espa¸co percorrido. Isso para casos mais s´erios ´e feito com a integra¸c˜ao da fun¸c˜ao velocidade, por´em aqui basta calcular a ´area dos retˆangulos (branco e vermelho). Depois somamos essas ´areas e dividimos pelo valor total do tempo. O resultado ´e a velocidade m´edia no trecho (que no desenho est´a representada em preto tracejado).
Tamb´em dei o ponto para as pessoas que fizeram isso da forma correta;
3) (3 pontos) Um m´uon (uma part´ıcula elementar) entra em uma regi˜ao com velocidade de 6, 00 × 106
m/s e passa a ser desacelerada a uma taxa de 1, 20 × 1014
m/s2
. a) Qual a distˆancia percorrida pelo m´uon at´e parar? b) Qual o tempo que ele leva para atingir metade da velocidade inicial? c)Trace os gr´aficos de x versus t e de v versus t para o m´uon.
Solu¸c˜ao Primeira coisa, vamos observar que podemos fazer algumas escolhas, o movimento ´e em uma dire¸c˜ao e ´e uniformemente acelerado. Digamos que o movimento se de no eixo X;
1. Por ser M.R.U.A, posso usar as f´ormulas desse tipo de movimento, v = v0+ a t , x = x0+ v0t + 1 2a t 2 e v2= v20+ 2 a (x − x0) .
Essa ultima pode ser obtida a partir das duas primeiras. Abaixo vamos descrever o que sabemos: 2. Velocidade inicial do m´uon vo= 6, 00 × 106[m/s];
4. O movimento parte da origem do eixo, x0= 0m;
a) Primeiro ele quer saber o deslocamento at´e parar. Usando v2
= v2
0+ 2 a (x − x0) .
que no nosso caso fica,
0 = (6, 00 × 106)2−2 (1, 20 × 1014) x ⇒ x = 36 × 10 12 24 × 1013 m = 3 2×10 −1m = 1, 50 × 10−1m = 0, 15 m = 15 cm .
Todas essas respostas s˜ao equivalentes, e formalmente temos x = 15cm (quinze cent´ımetros)
b) Agora queremos o tempo at´e a velocidade chegar a metade da velocidade inicial, vamos chamar esse tempo t1 2.
v = v0+ a t ,
que no nosso caso fica, 6 × 106 2 = 6 × 10 6 −1, 20 × 1014t ⇒ t = 3 × 10 6 12 × 1013 s = 1 4 ×10 −7s = 0, 25 × 10−7s = 25 ns ; Formalmente temos t1
2 = 25ns (vinte cinco nanosegundos);
c) Existem duas formas de fazer o gr´afico, usando os n´umeros e usando letras;
Usando n´umeros vamos pegar o que fizemos no item b, facilmente conclu´ımos que o tempo at´e parar ´e tf = 50 ns.
Para facilitar na legenda podemos fazer 106
m/s = M m/s (M = MEGA); Gr´afico da velocidade: v(M m/s) t(ns) 6 50 3 25 P1/2
Usando letras, vocˆe tem de saber o comportamento da fun¸c˜ao, no caso a velocidade no M.R.U.A ´e uma reta (como a mostrada acima), decrescente pois est´a desacelerando, vocˆe pode fazer o gr´afico sem n´umeros.
Gr´afico da velocidade (qualitativo): v(t)
t v0
Segundo esse segundo racioc´ınio, vamos fazer o gr´afico da posi¸c˜ao, que no caso do M.R.U.A ´e uma par´abola, que no nosso caso, parte da origem e ´e concav´a para baixo pois o movimento ´e desacelerado.
Gr´afico da posi¸c˜ao (qualitativo): x(t)
t x0
tf
xf Pf
No caso, Pf ´e o ponto final do m´uon, local em que ele para.
