RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS maio/2017

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RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM´

ATICA

1

a

LISTA DE EXERC´ICIOS – maio/2017

enviar respostas para [email protected] at´e o dia 10 de junho de 2017

Escolha qual é a única alternativa correta em cada uma das questões de 1 a 40.

1) O Maxima é um programa aberto, gratuito, um sistema de Computa¸cão Algébrica de uso geral que foi criado nos Estados Unidos no final da década de 60. No in´ıcio, o programa era conhecido por outro nome. Qual era o nome antigo do Maxima? a) Maple b) Fortran c) Basic d) Macsyma e) Mathematica f) Reduce g) Macsintosh h) Minima 2) O n´umero x = eπ √ 163 ´

e muito pr´oximo de um n´umero inteiro n. Como

|x − n| < 2 · 10−12_{, podemos dizer que x ´}_{e “quase inteiro”. Qual ´}_{e esse inteiro n}

que est´a muito pr´oximo de x?

a) 262537412640076122 b) 190234543299222000 c) 199992357896490022 d) 262537358971144902 e) 239873433300032226 f) 273200897700023743 g) 262537412640768744

(2)

h) 262537410000000000

3) Escrevendo 60! como um produto de potências de números primos, obtemos a seguinte representa¸cão:

a) 60! = 255· 327· 515· 78 · 116· 135 · 174· 194 · 232· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 b) 60! = 256· 328· 514· 79 · 115· 134 · 173· 193 · 232· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 c) 60! = 256· 329· 515· 78 · 116· 135 · 173· 195 · 233· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 d) 60! = 256· 329· 515· 77 · 119· 135 · 172· 194 · 232· 293 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 67 e) 60! = 256· 328· 513· 79 · 114· 134 · 174· 192 · 232· 293 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 67 f) 60! = 255· 327· 512· 79 · 118· 134 · 174· 193 · 233· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 67 g) 60! = 255· 328· 512· 79 · 117· 133 · 173· 194 · 233· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 79 h) 60! = 257· 323· 513· 79 · 116· 133 · 173· 194 · 233· 292 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 79

4) O número inteiro 2(27)+ 1 é um múltiplo do seguinte número primo:

a) 89 b) 101 c) 641 d) 2011 e) 274177 f) 6700417 g) 67280421310721 h) 5704689200685129054721 5) Simplificando a express˜ao y = a 10 _{− a}8 _{+ a}7 _{− a}5 _{+ a}4 _{− a}2 _{+ a + 1} a11_{+ a + 1} , obtemos: a) y = _a2a_+a−1₋₁ b) y = _a2a_−a+1−1

(3)

c) y = _a2a_+a+1−1 d) y = _a2a+1_+a−1 e) y = _a2a+1_−a+1 f) y = _a2a+1_+a+1 g) y = _a4a−a+13+1 h) y = _a2a_+a3+1−1 6) A express˜ao

a4 + 6ba3 − 11a3 + 5b2a2 − 61ba2 + 35a2 − 50b2a + 160ba− 25a + 125b2 − 25b a4 − 4ba3 − 11a3 − 5b2_a2 _{+ 39ba}2 _{+ 35a}2 _{+ 50b}2_a− 90ba − 25a − 125b2 − 25b

´e equivalente a: a) a+5b_a_−2b−5−1 b) a_a−2b+5_−5b+2 c) a+2b_a_−5b−2−5 d) a_a−5b−1_−5b+1 e) a+5b_a_−5b−1−1 f) a+5b_a_−2b+1−1 g) a+2b_a_−5b−1−2 h) _aa+b_−5b+1−5

7) Uma das ra´ızes da equa¸c˜ao 3x6− 11x5 + 15x4− 56x3 − 47x2+ 147x− 35 = 0 ´e: a) x = √ 61+1 6 b) x = √ 61−1 6 c) x = √ 65−1 2 d) x = √ 65+1 2

(4)

e) x = 2 +√7 f) x = 2−√7 g) x = 7 +√2 h) x = 7−√2

8) Sendo i a unidade imagin´aria, o valor de (2i + 5)17 ´e:

a) 496655601122 i + 2647731283685 b) 495601122120 i + 2677312836855 c) 466556011222 i + 2664773128368 d) 499966556011 i + 2664773128365 e) 455601122909 i + 2547731283685 f) 466545601122 i + 2564773128365 g) 465596651122 i + 2556477383685 h) 456655001122 i + 2447731283685

9) Calculando a raiz quadrada de dois com sessenta casas decimais obtemos a seguinte representa¸c˜ao:

√

2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875vwxyz8073176679.

Quais s˜ao os algarismos vwxyz que foram omitidos na representa¸c˜ao acima?

a) 12249 b) 37694 c) 44141 d) 77353 e) 04811 f) 15687 g) 80807 h) 73466

(5)

10) O polinˆomio P (x) = x16 + x8 + 1 pode ser fatorado da seguinte maneira: a) P (x) = (x2 − x + 1)(x2 − x + 1)(x4 − x2 − 1)(x8 − x4 − 1) b) P (x) = (x2 + x + 1)(x2 + x− 1)(x4 − x2 − 1)(x8 − x4 + 1) c) P (x) = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)(x4 − x2 − 1)(x8 − x4 − 1) d) P (x) = (x2 − x + 1)(x2 + x + 1)(x4 − x2 + 1)(x8 − x4 + 1) e) P (x) = (x2 + x + 1)(x2 + x− 1)(x4 − x2 − 1)(x8 − x4 + 1) f) P (x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 1)(x4 − x2 − 1)(x8 + x4 − 1) g) P (x) = (x2 + x− 1)(x2 + x + 1)(x4 + x2 − 1)(x8 − x4 + 1) h) P (x) = (x2 + x− 1)(x2 + x− 1)(x4 − x2 − 1)(x8 − x4 − 1)

11) Uma equa¸cão polinomial do sexto grau cujas ra´ızes s˜ao r1 = −3 + 4i, r2 = −3 − 4i, r3 = −1₇, r4 = 7, r5 = 1+ √ 3 4 , r6 = 1−√3 4 é dada por (x− r1)(x− r2)(x− r3)(x − r4)(x− r5)(x− r6) = 0. Essa equa¸cão também pode ser escrita na forma:

a) 56x6 − 76x5 + 943x4 − 9450x3 + 3688x2 + 1942x + 175 = 0 b) 56x6 − 76x5 + 943x4 + 9450x3 + 3688x2 + 1942x + 175 = 0 c) 56x6 − 76x5 + 943x4 + 9450x3 − 3688x2 + 1942x + 175 = 0 d) 56x6 − 76x5 − 943x4 + 9450x3 − 3688x2 + 1942x + 175 = 0 e) 56x6 − 76x5 − 943x4 − 9450x3 − 3688x2 − 1942x + 175 = 0 f) 56x6 − 76x5 − 943x4 − 9450x3 + 3688x2 + 1942x− 175 = 0 g) 56x6 − 76x5 − 943x4 − 9450x3 + 3688x2 + 1942x + 175 = 0 h) 56x6 − 76x5 − 943x4 − 9450x3 + 3688x2 + 1942x− 175 = 0

12) Uma expressão algébrica E1 foi criada no Maxima através do seguinte co-mando:

E1: cos(x) + 4*sin(y)^5 - 11*log(z) + 3;

Qual é o comando que podemos usar para criar uma outra expressão E2 obtida a partir da substitui¸cão de z por √x2 _{+ y}2 _{na express˜}_{ao E1 ?}

(6)

a) E2 = subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E1);

b) E2 = subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E1);

c) E2: subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E1);

d) E2: subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E1);

e) E1: subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E2);

f) E1: subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E2);

g) subst(E2, E1, z, sqrt(x^2 + y^2));

h) subst(z, sqrt(x^2 + y^2), E1, E2);

13) Desenvolvendo cos 12x, depois substituindo sen x por √1− cos2_{x e,}

final-mente, expandindo, obtemos o seguinte:

a) cos 12x = 2048 cos12x− 6144 cos10x + 6912 cos8x− 3584 cos6x + 840 cos4x−

72 cos2x + 1

b) cos 12x = 2048 cos12x + 6144 cos10x + 6912 cos8x− 3584 cos6x− 840 cos4x−

72 cos2x + 1

c) cos 12x = 2048 cos12x + 6144 cos10x− 6912 cos8x− 3584 cos6x− 840 cos4x−

72 cos2x + 1

d) cos 12x = 2048 cos12x− 6144 cos10x− 6912 cos8x− 3584 cos6x− 840 cos4x−

72 cos2x + 1

e) cos 12x = 2048 cos12x− 6144 cos10x + 6912 cos8x + 3584 cos6x + 840 cos4x +

72 cos2x + 1

f) cos 12x = 2048 cos12x + 6144 cos10x + 6912 cos8x + 3584 cos6x + 840 cos4x +

72 cos2x + 1

g) cos 12x = 2048 cos12x− 6144 cos10x + 6912 cos8x− 3584 cos6x + 840 cos4x +

72 cos2x + 1

h) cos 12x = 2048 cos12x− 6144 cos10x + 6912 cos8x− 3584 cos6x + 840 cos4x +

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14) Sabendo que a derivada de ordem n de uma fun¸c˜ao f (x) com rela¸c˜ao a x ´e dada por diff(f(x), x, n), calculando a derivada de ordem 10 da fun¸c˜ao tg x, depois substituindo sec x por √1 + tg2x, obtemos:

a) _dxd1010(tg x) = 3626800 tg 11_{x+13305800 tg}9_{x+18627840 tg}7_{x+12207380 tg}5_x+ 3610112 tg3+353796 tg x b) _dxd1010(tg x) = 3626800 tg 11_{x+13305800 tg}9_{x+18628840 tg}7_{x+12206380 tg}5_x+ 3620112 tg3+353796 tg x c) _dxd1010(tg x) = 3828600 tg 11_{x+13605600 tg}9_{x+18627840 tg}7_{x+12207360 tg}5_x+ 3610122 tg3+353790 tg x d) _dxd1010(tg x) = 3828600 tg 11_{x+13605600 tg}9_{x+18628840 tg}7_{x+12207460 tg}5_x+ 3610122 tg3+353790 tg x e) _dxd1010(tg x) = 3828600 tg 11_{x+13305600 tg}9_{x+18628840 tg}7_{x+12207360 tg}5_x+ 3610112 tg3+353790 tg x f) _dxd1010(tg x) = 3628800 tg 11_{x+13305600 tg}9_{x+18628840 tg}7_{x+12207350 tg}5_x+ 3610114 tg3+353792 tg x g) _dxd1010(tg x) = 3628800 tg 11_{x+13305600 tg}9_{x+18627840 tg}7_{x+12207360 tg}5_x+ 3610112 tg3+353792 tg x h) _dxd1010(tg x) = 3628800 tg 11_{x+13225600 tg}9_{x+18628840 tg}7_{x+12207380 tg}5_x+ 3610112 tg3+353792 tg x

15) Lembrando que um sistema pode ser resolvido com um comando solve([lista de equa¸c~oes], [lista de vari´aveis]), o valor de w que ´e so-lu¸c˜ao do sistema linear

           3x− 7y + 4z − 11t + 14w = 131 2x + 5y − 6z + 10t − 7w = −81 5x− 4y + 2z − 13t + 5w = 44 4x + 5y − 13z + 2t − 5w = −76 3x + 7y − 6z + 11t + 20w = 127 ´e: a) 3 b) 4 c) 5

(8)

d) 6

e) 7

f) 8

g) 9

h) 10

16) Ao desenvolver (1− 3x + 5x2)25 como uma soma de potˆencias de x, qual ´e o coeficiente de x8 ? a) 46305325253 b) 34630532525 c) 53463053252 d) 25346305325 e) 63053252534 f) 30532525346 g) 53252534630 h) 25436350352

17) Quais são os elementos em comum entre os 200 primeiros termos da pro-gressão aritmética cujo termo geral ´e an = 3n− 109 e os 200 primeiros termos da

progress˜ao geom´etrica cujo termo geral ´e bn =

6 √ 2n _? a) 8, 16, 32 e 64 b) 8, 16, 64 e 128 c) 2, 8, 32 e 64 d) 2, 8, 16 e 64 e) 2, 8, 16 e 128 f) 2, 8, 32 e 128 g) 4, 8, 32 e 256

(9)

h) 4, 8, 64 e 256

18) As seguintes opera¸c˜oes s˜ao realizadas com uma fun¸c˜ao f e uma lista L:

f(x) := x^2 + 1/x^2;

L: [-1/20, -1/5, -1/3, -2, 1, 4, 10];

L: map(f, L);

L: sort(L);

L[5]*L[6] - L[1];

Qual é o valor final obtido com essa sequência de opera¸cões?

a) 16001₆₂₅ b) 257₆₂₅ c) 16001₂₅₀₀ d) ₂₅₀₀257 e) 3127813₆₂₅ f) 3312761₆₂₅ g) 3127813₁₂₅₀ h) 3312761₁₂₅₀

19) Considere a seguinte sequˆencia de comandos envolvendo conjuntos A e B:

A: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; B: { 1, 5, 6, 7, 8, 9 } ; C: setdifference(A, B); D: setdifference(B, A); E: union(C, D); F: powerset(E);

(10)

a) F ´e o conjunto das partes de (A− B) × (B − A) b) F ´e o conjunto das partes de (A− B) ∪ (B − A)

c) F ´e o conjunto das partes de (A− B) ∩ (B − A) d) F ´e o conjunto das partes de A− B

e) F ´e o conjunto das potˆencias cujas bases s˜ao os elementos de A e expoentes s˜ao os elementos de B

f) F ´e o conjunto das potˆencias cujas bases s˜ao os elementos de B e expoentes s˜ao os elementos de A

g) F ´e o produto cartesiano (A− B) × (B − A) h) F ´e o produto cartesiano (A∪ B) × (B ∩ A)

20) Dados os pontos P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4) e P5(x5, y5), o

polinômio de grau m´ınimo cujo gráfico passa por todos esses pontos é dado por

p(x) = y1 (x−x2)(x−x3)(x−x4)(x−x5) (x1−x2)(x1−x3)(x1−x4)(x1−x5) + y2 (x−x1)(x−x3)(x−x4)(x−x5) (x2−x1)(x2−x3)(x2−x4)(x2−x5) + y3 (x−x1)(x−x2)(x−x4)(x−x5) (x3−x1)(x3−x2)(x3−x4)(x3−x5) + y4 (x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x5) (x4−x1)(x4−x2)(x4−x3)(x4−x5) + y5 (x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4) (x5−x1)(x5−x2)(x5−x3)(x5−x4)

(Esse p(x) ´e conhecido como sendo o polinˆomio de interpola¸c˜ao dos pontos dados)

Determine o polinˆomio de grau m´ınimo p(x) cujo gr´afico passa pelos pontos

P1(−2, 18), P2(−1, −11), P3(1,−27), P4(2,−26) e P5(3, 13). a) p(x) = x4 − 2x2 + 5x− 19 b) p(x) = x4 + 2x2 − 5x − 19 c) p(x) = x4 − x3 − 7x − 20 d) p(x) = x4 + x3 + 7x− 20 e) p(x) = x4 + 3x3 − 5x + 40 f) p(x) = x4 + 3x3 + 5x− 40 g) p(x) = x4 − x2 + 7x + 10 h) p(x) = x4 + x2 + 7x− 10