Matemática Financeira II

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Séries de Pagamentos ou Rendas

Material Teórico

Responsável pelo Conteúdo: Prof. Ms. Carlos Henrique de J.Costa

Revisão Textual:

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Vamos conhecer como as instituições financeiras ou empresas comerciais calculam os juros que aplicam a nossas prestações ou rendas com prazos de pagamentos com entrada, sem entrada ou com carência, portanto vamos tratar das “Séries de Pagamentos – Classificação das séries de pagamentos (Séries Uniformes de Pagamentos: Postecipadas,

Antecipadas e Diferidas)”.

Unidade

Séries de Pagamentos ou Rendas

• Séries de Pagamentos ou Rendas

• Teclas e Funções Financeiras da Calculadora HP12C

·Nesta Unidade, veremos como são constituídas as “Séries

de Pagamentos – Classificação das séries de pagamentos (Séries Uniformes de Pagamentos: Postecipadas, Antecipadas e Diferidas)”, ou seja, como se constituem as prestações ou depósitos sem entrada ou com entrada ou, ainda, com prazo de carência. Para isso, introduziremos as seguintes teclas financeiras da HP12C:

· - Tecla PMT (calcula a prestação ou parcelas)

· - Tecla g [END] (calcula a série de pagamento postecipada) · - Tecla g [BEG] (calcula a série de pagamento antecipada)

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Olhando para o anúncio a seguir, certamente você entenderia que a taxa praticada pela loja é de 0,99% ao mês e que o valor da prestação desse carro é de R$ 716,00 por mês, conforme o anúncio. Mas será que essas informações estão corretas?

Então, veja que temos todas as informações necessárias para calcularmos os valores e compararmos os do anúncio.

Qual é a taxa mensal correta praticada nesse anúncio? Solução:

Dados:

Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada”

PV = R$ 25.990,00 n = 60 meses PMT = R$ 716,00 i = ? am

Resolução na Calculadora Financeira HP–12C

• f [REG] limpando registros

• 25990 CHS PV entrando com o valor à vista “negativo”

• 60 n entrando com o prazo de financiamento

• 716 PMT entrando com o valor da prestação

• i calculando a taxa praticada nesse anúncio

1,82

Qual seria o valor correto da prestação, se realmente a taxa praticada fosse de 0,99% ao mês? Solução:

Dados:

Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada” PV = R$ 25.990,00

n = 60 meses i = 0,99% ao mês PMT = ?

Resolução na Calculadora Financeira HP–12C

• f [REG] limpando registros

• 25990 CHS PV entrando com o valor à vista “negativo”

• 60 n entrando com o prazo de financiamento

• 0,99 i entrando com a taxa de financiamento

PMT calculando o valor da prestação

R$ 576,56

Conclusão: A taxa correta praticada no anúncio é de 1,82% ao mês e NÃO 0,99% ao mês, conforme

anunciado. Se a taxa de 0,99% ao mês, realmente fosse a praticada, teríamos uma prestação mensal bem mais barata, no valor de R$ 576,56. Por isso, é importantíssimo que conheçamos como são calculadas as “Séries de Pagamentos ou Rendas”!

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Chamamos de rendas ou séries de pagamentos os capitais de que dispomos periodicamente para algum fim. Pagar uma prestação de um automóvel, aplicar na poupança ou fazer algum investimento periódico são os exemplos mais comuns de rendas.

Classificação (categorias em que se dividem e subdividem as rendas):

• Termos da renda: sucessão de depósitos ou de prestações.

• Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre os vencimentos de dois termos

consecutivos.

• Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos

e seus respectivos valores podem ser prefixados (você conhece as parcelas). Exemplo: Compra de bens a prazo.

• Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser

previamente determinado. Exemplo: Pagamento de um seguro de vida (o número de termos é indeterminado).

Quanto à data do vencimento do primeiro termo, uma renda uniforme pode ser:

Imediata ou Postecipada (sem entrada)

Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim do primeiro período a contar da data zero, isto é, da data da assinatura do contrato. Assim, o vencimento do último termo ocorre no fim do período n. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação um mês após a assinatura do contrato (30/60/90...).

Antecipada (com entrada)

Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. O vencimento do último termo ocorre no início do período n. Exemplo: depósito mensal de uma mesma quantia em caderneta de poupança, durante um prazo determinado. (0/30/60/...).

Diferida (carência + prazo)

Ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um determinado número de períodos a contar da data zero. O vencimento do último termo ocorre no fim de c + n períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mensais, pagando a primeira prestação no fim de um determinado número de meses.

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Observação:

9 A série uniforme é a série de pagamentos mais comum na prática.

9 Resumindo, as séries de pagamentos uniformes podem ser:

Imediata ou Postecipada (Sem Entrada, 0 + n, END), Antecipada (Com Entrada, 1 + n, BEGIN) ou

Diferida (Com Carência, c + n).

Teclas e Funções Financeiras da Calculadora HP12C

Teclas

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e Funções:

» n - calcula o prazo, período; » i - calcula a taxa;

» PV - calcula o valor presente (capital); » PMT - calcula a prestação (parcelas); » FV - calcula o valor futuro (montante);

» CHS - troca um sinal de um número de positivo para negativo ou vice e versa; » g [END] - para cálculos de séries uniformes de pagamentos postecipados (0 + n); » g [BEG] - para cálculos de séries de pagamentos antecipados (1 + n); » f [FIN] - limpa as funções financeiras;

» f [REG] - limpa todas as funções.

Obs: Para efetuarmos cálculos de uma prestação ou financiamento com entrada:

• HP-12C, será necessário introduzir, no display da calculadora, a função “BEGIN”, que é facilmente obtida através da sequência de teclas “g” [BEG], ou seja,

• BEGIN = pagamento no início do período.

1 As termologias (teclas na HP-12-C) usadas acima vêm do inglês: “i” Interest, que significa Taxa ou Juro; “PV” Present Value, que significa Valor Presente ou Capital Inicial; “FV” Future Value, que significa Valor Futuro ou Montante; “n” Number, que significa Número de Períodos; “CHS” Change Sign, que significa Mudar o Sinal, servindo para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número; “PMT” Payment, que significa Pagamento ou Recebimento; “END”, que significa Fim, servindo para cálculos de séries de pagamentos Postecipados ( 0 + n ) e “BEG” Begin, que significa Começar, servindo para cálculos de séries de pagamentos Antecipados ( 1 + n ).

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Renda Imediata ou Postecipada (sem entrada 0/30/60/... função

“END” NA HP-12c)

Uma renda é imediata (ou postecipada) quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do último termo se dá no fim de n períodos.

Por exemplo, vejam a esquematização, em “fluxo de pagamentos”, de uma renda

imediata de 5 termos mensais de 100 u.m. (unidades monetárias):

Algumas fórmulas para o cálculo algébrico:

Exemplo 1:

Um automóvel custa, à vista, o valor de R$ 45.600,00 (PV) e pode ser financiado em 72 (n) parcelas mensais iguais, sem entrada, com a taxa de 2,1% (i) ao mês. Determine o valor das prestações (PMT).

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Solução: Dados:

Renda Imediata ou Postecipada (END): “sem entrada” PV = R$ 45.600,00

n = 72 meses

i = 2,1% ao mês ou 0,021 ao mês PMT = ?

1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C

· f [REG] limpando registros

· 45600 CHS PV entrando com o valor à vista do carro “negativo”

· 72 n entrando com o prazo de financiamento

· 2,1 i entrando com a taxa de financiamento

PMT calculando o valor da prestação do automóvel R$ 1.233,94

2ª Resolução: Algébrica (Fórmula)

Exemplo 2:

Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 (n) meses, a quantia de R$ 100,00 (PMT). Calcule o montante (FV) da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% (i) ao mês, capitalizados mensalmente.

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Solução:

Dados:

Renda Imediata ou Postecipada (END): “no fim de cada mês” PMT = R$ 100,00

n = 5 meses

i = 2% ao mês ou 0,02 ao mês FV = ?

· 100 CHS PMT entrando com o valor da quantia mensal “negativo”

· 5 n prazo da aplicação

· 2 i taxa da aplicação

· FV calculando o montante final (depósitos + juros)

· R$ 520,40

Renda Antecipada: (com entrada 1 + n... função “BEGIN” NA

HP-12c)

É aquela em que o primeiro pagamento ocorre na data 0 (zero). Este sistema de pagamento (séries uniformes de pagamentos) é também chamado de sistema de pagamento com entrada (1 + n), ou seja, a renda antecipada ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero e o vencimento do último termo ocorre no início do período n.

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antecipada de 5 termos mensais de 100 u.m. (unidades monetárias):

Algumas fórmulas para o cálculo algébrico:

Exemplo:

Um automóvel que custa, à vista, R$ 17.800,00 (PV) pode ser financiado em 36 (n) pagamentos iguais. Sendo o primeiro pagamento no ato da compra e sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% (i) ao mês, calcule o valor da prestação mensal desse financiamento (PMT).

Solução:

Dados:

Renda Imediata (BEGIN): “sendo primeiro pagamento no ato da compra” PV = R$ 17.800,00

n = 36 meses

i = 1,99% ao mês ou 0,0199 ao mês PMT = ?

1ª Resolução: Calculadora Financeira HP–12C Onde:

FV = Valor Futuro

PMT = Valor da Prestação i = Taxa

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· g 7 [BEGIN] cálculo de prestações com entrada

· 17800 CHS PV entrando com o valor da quantia mensal “negativo”

· 36 n prazo da aplicação

· 1,99 i taxa da aplicação

· PMT calculando o valor da parcela

· R$ 683,62

Renda Diferida: (com prazo de carência c + n...)

É aquela em que os períodos ou intervalos de tempo entre as prestações (PMT) ocorrem pelo menos a partir do 2º período; ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo (n), o período seguinte será (n+1), o próximo será (n+2) e assim sucessivamente. Podemos dizer também que é aquela em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carência (c + n).

Por exemplo, vejam a esquematização, em “fluxo de pagamentos”, de uma renda

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Caso de Antecipado:

Algumas fórmulas (cálculo algébrico):

Onde: FV = Valor Futuro PMT = Valor da Prestação i = Taxa c = Prazo da carência n = Prazo da prestação Ln = Logaritmo Neperiano

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Exemplo:

Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 (n) prestações iguais de R$ 150,00 (PMT); a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 (c) meses para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista (PV) dessa mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% (i) ao mês.

Solução:

Dados:

Renda Diferida (BEGIN): “a loja está oferecendo ainda uma carência” PMT = 150,00

n = 5 meses

c = 3 meses A) 3 meses usar o modo [BEGIN] na HP12C

B) 3 – 1 = 2 meses usar o modo [END] na HP12C

i = 3% ao mês PV = ?

A) Modo [Begin] Utilizando Carência = 3 Meses:

Na HP-12C:

• f [REG] Limpando registros

• g 7 BEGIN Série de pagamento antecipada

• 150 PMT Entrando com o valor da parcela

• 5 n Prazo

• 3 i Juros

• PV 707,56 1º Valor Presente da mercadoria

• CHS FV 1º Valor da mercadoria Vira Valor Futuro

• 0 PMT Valor da parcela da carência

• 3 n Período de carência para o modo [Begin]

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B) Modo [End] Utilizando Carência 3 Meses – 1 Mês = 2 Meses:

NA HP-12C:

• f [REG] Limpando registros

• g 8 END Série de pagamento postecipada

• 150 PMT Entrando com o valor da parcela

• 5 n Prazo

• 3 i Juros

• P V 686,96 1º Valor Presente da mercadoria

• CHS FV 1º VALOR da mercadoria Vira Valor Futuro

• 0 PMT Valor da parcela da carência

• 2 n Período de Carência para o modo [End]

PV Calculando o valor à vista da mercadoria

647,52

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CASTELO BRANCO, A.C. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C,

Microsoft Excel®. 3ª Edição Rev. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

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GIMENEZ, C.M. Matemática Financeira com HP12C e Excel. São Paulo: PEARSON, 2006. SAMANEZ, C.P. Matemática Financeira. 4ª Edição. São Paulo: PEARSON, 2007.

SCIPIONE, J.T. Matemática Financeira. São Paulo: PEARSON, 1998.

VERAS, L.L.. Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.

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