Comportamentos dinâmicos na rede estrela

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Carolina Arruda Moreira

Comportamentos dinˆamicos na rede estrela

Campinas 2015

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Resumo

Nesta disserta¸cão, estudamos um processo dinâmico binário similar ao modelo do eleitor em redes complexas. Este modelo descreve uma elei¸cão com dois candidatos e um grupo de N eleitores indecisos, que podem mudar de ideia adotando a opinião de um de seus contatos em uma rede de amigos ou de formadores de opinião. Os nós da rede social possuem estado interno rotulados por 0 ou 1, de acordo com a atual inten¸cão de voto de cada indiv´ıduo. Os formadores de opinião têm ideia fixa e podem influenciar a rede inteira dos eleitores indecisos. Estes são modelados por nós “fixos” na rede, conectados a todos os nós livres da rede de eleitores, aos quais quantificamos por N0 fixos no estado 0 e N1 fixos no estado

1. Calculamos a distribui¸cão de probabilidade P (m) de que o candidato 1 conquiste m votos. Estudamos a dinâmica em redes estrela e comparamos os resultados com os obtidos para redes totalmente conectadas. Em ambos os casos a transi¸cão de fase entre os estados de equil´ıbrio ordenado e desordenado é observada à medida que N0 e N1 se aproximam

de zero; no entanto, esse comportamento difere consideravelmente para as duas topologias: enquanto o ponto cr´ıtico ocorre exatamente para N0 = N1 = 1 para qualquer tamanho

N na rede totalmente conectada, tornando a distribui¸c˜ao de equil´ıbrio uniforme, nas redes estrela o ponto cr´ıtico depende de N e se escala com N0 = N1 ≈

√

N , levando a distribui¸cão de equil´ıbrio se separar em dois picos, o que reflete os dois estados poss´ıveis do nó central. Obtemos também solu¸cões anal´ıticas aproximadas que se mantêm perto da transi¸cão de fase e esclarecem o papel do nó central no processo. Além disso, estendemos a dinâmica abordada para o caso em que cada nó é representado por dois “bits”, de modo a existirem quatro estados internos poss´ıveis, (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1). Esta abordagem objetiva buscar quais as caracter´ısticas dinâmicas de um sistema que apresente nós com restri¸cões na intera¸cão. Nesta situa¸cão, não encontramos novidades entre as dinâmicas de um e dois bits.

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Abstract

In this work, we study a dynamical process similar to the voter model on complex networks. This model describes an election with two candidates and a group of N undecided voters that can change their minds by adopting either the opinion of a contact in a social network or the opinion of opinion makers. The nodes of the social network have an internal state labeled by 0 or 1 according to the current voting intention of each individual. The opinion makers have a fixed opinion and can influence the entire set of undecided voters. They are modeled as “fixed” nodes connected to all free nodes on the social network and we quantify by N0 the number of nodes fixed in state 0 and by N1 those fixed in state 1. We calculate the

probability distribution P (m) that candidate 1 receives m votes. We study this dynamics on star networks and we compare the results with those obtained from fully connected networks. In both cases the transition between the ordered and disordered equilibrium states is observed as N0 and N1 approach zero; however, this behavior differs significantly between the two

topologies: while the critical point occurs exactly in N0 = N1 = 1 for fully connected

networks and it is independent of the network size N , which leads to a uniform probability distribution, for star networks the critical point depends on N and scales as N0 = N1 ≈

√ N , and the distribution probability splits into two peaks, reflecting the two possible states of the central node. We also obtain an approximate analytical solution that holds near the phase transition, which clarifies the role of the central node in the process. Besides, we extend the dynamics approach to the case where each node is represented by two “bits” such that there are four possible internal states (0,0), (0,1), (1,0) and (1,1). This approach aims to search what are the systems’ dynamical characteristics under restrictions in the interaction. In this case, we didn’t find any new results between the one and two bits dynamics.

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4.4.1 Rede estrela . . . 83

4.4.2 Rede totalmente conectada . . . 84

4.4.3 Rede reticulada . . . 85

4.5 Com restri¸c˜ao e condi¸c˜ao inicial no estado (0, 0) . . . 86

4.5.1 Rede estrela . . . 87

4.5.2 Rede totalmente conectada . . . 88

4.5.3 Rede reticulada . . . 89

4.6 S´ıntese do cap´ıtulo . . . 91

5 Conclus˜ao 95

Referˆencias Bibliogr´aficas 98

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente aos meus pais, Nanci e Pedro, pelas palavras de incen-tivo, sabedoria, companheirismo e por todo o tipo de suporte que me forneceram desde a gradua¸c˜ao. Eles tˆem um papel fundamental em todas as etapas que superei.

Agrade¸co tamb´em ao professor Marcus, que aceitou me orientar neste projeto e com quem tive o grande prazer em trabalhar. O Marcus sempre foi muito dedicado, disposto e paciente em me atender, particularmente em quase todos os dias durante os ´ultimos meses do mestrado.

Agrade¸co aos amigos de jornada, companheiros da salinha de estudos e do ins-tituto: Tha´ıs, Helder, Elohim, Madeira, Rodolfo, Thiago, Lisan, Kellen, Adriano, André, Guilherme, Gabi, David. As pausas para o café nunca foram tão produtivas. Não posso dei-xar de mencionar os amigos que, apesar da distância, sempre estiveram presentes: Julinha, La´ıs, Rennan, Pedro, Ronaldo. Um agradecimento especial ao Matheus pelo companheirismo, carinho, pelos aux´ılios no trabalho, por tudo.

Sou grata também aos funcionários do instituto: às faxineiras que mantêm o ambiente limpo e em particular ao Oswaldo, à Em´ılia e à Carmem da secretaria do DFMC, sempre dispostos e simpáticos para auxiliar, principalmente em nos ceder um espa¸co no departamento quando nossa salinha ficou interditada.

Por fim, agrade¸co `a CAPES pelo aux´ılio financeiro.

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O estudo de Sistemas Complexos é um campo da ciência cujo interesse é analisar o comportamento coletivo de sistemas compostos por elementos interagentes, bem como as rela¸cões entre os sistemas e o meio ambiente. Cientistas têm por interesse entender como funcionam e como se relacionam diversos sistemas, sejam eles naturais ou artificiais. Como exemplo, consideremos o corpo humano, formado por órgãos que se conectam e interagem, os quais são formados por tecidos que se comunicam quimicamente, e estes são compostos por células que se aderem. A compreensão dos sistemas existentes no corpo humano nos permite estudar como ocorre sua intera¸cão com o meio externo a ele [1].

Os primeiros trabalhos em teoria de grafos datam do ano de 1736 quando Le-onnard Euler tratou o problema das “Sete pontes de Königsberg”, antiga capital leste da Prússia e atual Kaliningrado, na Rússia. A cidade possu´ıa sete pontes que ligavam diferentes por¸cões do continente. Perguntava-se, na época, se era poss´ıvel atravessar todas as pontes sem que houvesse repeti¸cão. Euler argumentou que isto era imposs´ıvel e demonstrou seu racioc´ınio através de uma representa¸cão do sistema por um grafo, estrutura composta por liga¸cões (pontes) e vértices (por¸cões de terra) [2, 3]. Partindo dos estudos de Euler, grafos foram largamente utilizados na matemática nos séculos seguintes com aplica¸cões em muitas áreas. Os primeiros estudos de sistemas complexos focavam em analisar as diferentes topo-logias de grafos e suas propriedades 1_{. Entre os anos de 1950 e 1960, os pesquisadores Erd˝os}

e Rényi propuseram e estudaram grafos aleatórios [4, 5, 6], que consistem em um sistema formado por elementos (ou nós) conectados aleatoriamente entre si. Esses grafos aleatórios

1_{Segundo Barab´asi [3], existe uma sutil diferen¸ca de terminologia: “redes” referem-se a sistemas reais,}

por exemplo a Internet, ao passo que “grafos” referem-se às estruturas matemáticas empregadas no estudo de redes. Apesar disso, as duas terminologias são usadas como sinônimos.

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1 Introdu¸cão 2 foram extensivamente estudados e analisados [7, 8, 9, 10, 11]; no entanto, verificou-se mais recentemente que as redes reais não seguem as propriedades previstas de grafos aleatórios, uma vez que há divergência entre os valores de alguns parâmetros calculados, tais como o coeficiente de agrupamento e distribui¸cão do número de conexões [12]. Ainda nas décadas de 50 e 60, muitos sociólogos come¸caram a trabalhar em sistemas de intera¸cões sociais e, inspi-rados em trabalhos anteriores, mapearam-nos em redes complexas [13, 14], o que conduziu ao estudo de novos tipos de rede, de diferentes topologias. Em 1967, Stanley Milgram exami-nou a chamada hipótese de mundo pequeno, que prevê que entre duas pessoas quaisquer no mundo há poucos la¸cos de amizade que as separam [15, 16, 17]. Os experimentos de Milgram levaram ao termo “seis graus de separa¸cão”: em média, existem seis la¸cos de amizade para que duas pessoas quaisquer estejam relacionadas. Mais tarde, Watts e Strogatz estudaram o conceito de mundo pequeno e encontram que este fenômeno também é observado em outras redes reais, como a rede neural do C. elegans e a transmissão de eletricidade nos EUA [18].

Em sistemas complexos observa-se tipicamente que cada elemento possui poucas intera¸cões, mas pode haver elementos muito interagentes. A esta caracter´ıstica denomina-se heterogeneidade e nos mostra que é importante considerar a visão global do sistema, apesar de serem igualmente relevantes os elementos individuais [1]. Como exemplo, consideremos uma floresta. Quando vista globalmente, a floresta possui um funcionamento caracter´ıstico, com padrões de abundância de animais e plantas, incêndios e reflorestamentos naturais. No entanto, esse comportamento está intimamente relacionado à intera¸cão local entre as partes menores que constituem a floresta, como a fauna e a flora, por exemplo. Assim, o sistema “global” apresenta um comportamento caracter´ıstico que não se encontra nos sistemas “lo-cais”. À esta rela¸cão nomeamos emergência. Na natureza, sistemas emergentes são muito frequentes e abrangem desde sistemas sociais, que representam as rela¸cões entre pessoas, até sistemas biológicos, envolvendo intera¸cões entre seres vivos de um determinado ecossistema e rela¸cões entre prote´ınas de um organismo [12, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23]. Tais sistemas emergentes podem ser modelados como redes, onde os elementos individuais e a intera¸cão entre eles são representados por “nós” e “links”, respectivamente. O aumento do poder computacional nos últimos anos possibilitou uma maior velocidade de processamento e ar-mazenamento de dados, permitindo que diversas redes naturais fossem estudadas e, por sua

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1 Introdu¸c˜ao 3 vez, mapeadas em grafos, o que levou a uma melhor compreens˜ao de suas estruturas e de seus funcionamentos [12].

Atualmente, busca-se analisar como processos dinâmicos em redes se comportam para diferentes tipos de topologia. Um sistema dinâmico é definido por um conjunto de regras ou equa¸cões que governam a mudan¸ca de um estado do sistema ao longo do tempo e são representados por variáveis cont´ınuas ou discretas [19, 20]. Tendo em vista que muitos processos reais são mapeados em redes, constroem-se vários tipos de dinâmica. Exemplos comuns incluem o modelo de Kuramoto [24, 25], o sistema de transmissão elétrica [26, 27] e de doen¸cas [28, 29] e o modelo do eleitor [30, 31, 32].

O modelo do eleitor descreve uma elei¸cão na qual há dois candidatos e um grupo de eleitores indecisos, influenciados ou pelos seus contatos de amigos ou pelos chamados formadores de opinião, tais como jornalistas, pol´ıticos ou meios de comunica¸cão. Entre os amigos podem existir indiv´ıduos obstinados, cujas opiniões são imutáveis, e indiv´ıduos flex´ıveis quanto à opinião. Este conjunto de eleitores e formadores de opinião constitui um sistema complexo que pode ser mapeado em estruturas de redes. Para caracterizá-lo considera-se que os nós da rede representam indiv´ıduos e a inten¸cão de voto em algum dos candidatos é determinada pelo estado interno 0 ou 1. Os formadores de opinião são tratados como elementos do sistema que se conectam com todos os nós da rede, possuem estado fixo, e influenciam os eleitores indecisos, que por sua vez são modelados como nós com estado livre, podendo mudar de opinião/estado [30, 31, 32]. Os indiv´ıduos obstinados interagem com os eleitores indecisos e também possuem estado fixo em 0 ou 1. No processo dinâmico, o grupo de eleitores indecisos pode mudar de ideia adotando a opinião de um dos seus contatos na rede ou de um dos formadores de opinião. Associamos à quantidade de formadores de opinião dos candidatos 0 e 1 as variáves N0 e N1, respectivamente. A popula¸cão de eleitores

só atinge um consenso quando não houver indiv´ıduos obstinados nem formadores de opinião, ou seja, N0 = N1 = 0, levando a rede a se estabilizar em algum dos estados, onde todos

os nós se encontram em 0 ou em 1, representando a vitória unânime de um dos candidatos. No entanto, se existirem os agentes externos (N0, N1 6= 0) e os indiv´ıduos obstinados, a

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1 Introdu¸cão 4 de que o candidato 1, por exemplo, tenha um determinado número de votos. Em outras palavras, a distribui¸cão de probabilidade no equil´ıbrio torna-se independente do tempo. Neste trabalho, interessa-nos estudar um processo dinâmico simples em redes complexas que é inspirado no modelo do eleitor com formadores de opinião e ausência de indiv´ıduos obstinados [36, 37, 38, 39].

O modelo do eleitor não é solúvel para redes de topologias arbitrárias; apesar disso, trabalhos têm sido feitos considerando redes de topologias mais simples com uma distribui¸cão espec´ıfica de nós fixos [42, 43, 45]. Em particular, o modelo do eleitor sem os formadores de opinião foi estudado com um único indiv´ıduo obstinado em redes regulares [31] e com um número arbitrário desses indiv´ıduos em redes totalmente conectadas, onde foram obtidas solu¸cões anal´ıticas no limite em que o número de eleitores é infinito [32]. O problema foi totalmente resolvido para redes totalmente conectadas de tamanhos arbitrários em [42], onde a solu¸cão mostrou-se uma boa aproxima¸cão para redes de topologias distintas através da reescala dos parâmetros N0 e N1, de acordo com o grau médio da rede. Os

parˆametros N0 e N1 foram tamb´em estendidos analiticamente para valores reais menores do

que 1, representando um fraco acoplamento entre os eleitores e os formadores de opinião. Mostrou-se também em [32] a ocorrência de uma transi¸cão de fase entre os estados ordenado, onde a maioria dos eleitores tem a mesma opinião, e desordenado, onde cada candidato adquire aproximadamente metade dos votos, à medida que o valor dos nós fixos aumenta. A transi¸cão entre esses estados ocorre exatamente no ponto em que N0 = N1 = 1 para redes

totalmente conectadas de qualquer tamanho.

A dinâmica binária tratada no modelo do eleitor pode ser utilizada para abordar outros sistemas igualmente interessantes. Destacam-se dois exemplos muito estudados: o modelo de Ising [33, 34, 35], na f´ısica, e o estudo da dinâmica de popula¸cões [45], em biolo-gia. O primeiro descreve o comportamento de sistemas cujos elementos individuais (átomos, moléculas, spins) alteram o seu estado de acordo com o dos vizinhos. Em uma rede de spins, por exemplo, existe uma variável associada a cada nó (ou s´ıtio, no jargão da área) que assume os valores +1 (spin “up”) ou −1 (spin “down”). O modelo descreve o fenômeno do ferro-magnetismo, onde existe uma temperatura cr´ıtica Tc (ou temperatura de Curie) que marca

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1 Introdu¸cão 5 duas fases distintas. Para T < Tc ocorre uma magnetiza¸cão espontânea na qual os spins

tendem a se alinhar e em T = 0, encontram-se todos para cima ou para baixo, marcando a fase ordenada no sistema. Por outro lado, quando T > Tc, os spins encontram-se distribu´ıdos

aleatoriamente na rede, marcando a fase desordenada, o que leva ao desaparecimento da mag-netiza¸cão espontânea. O modelo de Ising pode ser estudado na dinâmica de Glauber [40], que considera dois parâmetros importantes: a temperatura T e o campo magnético externo B. Se contextualizado com o nosso modelo do eleitor, esses parâmetros são equivalentes a T = N0 + N1 (nós externos) e a B = N0 − N1. É importante ressaltar que abordaremos

ao longo desse trabalho o caso N0 = N1, fazendo correspondˆencia a um sistema de spins na

ausência de campo magnético, B = 0. No caso da dinâmica de popula¸cões, o segundo exem-plo envolve uma popula¸cão de indiv´ıduos que se reproduzem sexuadamente associando-se uns aos outros de maneira uniforme. Consideramos que os indiv´ıduos são haplóides, ou seja, possuem apenas uma cópia de cada cromossomo. O estudo é focado em apenas um gene que possui dois alelos, que podem ser vistos como os estados internos e os nós fixos como taxas de muta¸cão.

O modelo abordado para a dinâmica, que considera somente os estados internos 0 e 1 poss´ıveis, também nomeados de “um bit”, pode ainda ser estendido para o caso em que cada nó é representado por dois bits, de modo a existirem quatro estados internos poss´ıveis, (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1). No contexto da dinâmica de popula¸cões focada em dois genes, estes estados podem assumir o papel de quatro genótipos de indiv´ıduos haplóides. Assim como realizado para o caso de um único bit, a rede apresentará tanto os nós livres, cujo estado interno é variável, como os agentes externos que serão fixos em cada um dos quatro estados. Consideraremos que há um total de N indiv´ıduos livres e N00+ N01+ N10+ N11 nós fixos

conectados com a rede inteira. Da mesma forma considerada anteriormente, a dinâmica se baseia na mudan¸ca de estados dos nós livres, que podem interagir com os seus vizinhos da rede, também livres, ou com os agentes externos, alterando o seu estado. Esta abordagem objetiva buscar quais as caracter´ısticas de um sistema que apresenta nós incompat´ıveis entre si, impedindo a intera¸cão. Para isso, considera-se a seguinte restri¸cão na mudan¸ca de estados: nós de estado (0,0) e (1,1) são incompat´ıveis entre si, bem como (1,0) e (0,1). A dinâmica descrita para um bit é perfeitamente adaptada à essa extensão.

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1 Introdu¸cão 6 A presente disserta¸cão está organizada da seguinte maneira: no segundo cap´ıtulo definiremos e caracterizaremos redes complexas e suas grandezas intr´ınsecas. Apresentaremos também as topologias que serão utilizadas ao longo do trabalho (redes totalmente conectada, reticulada, livre de escala e estrela) e detalharemos como será realizada a dinâmica. No ter-ceiro cap´ıtulo, introduziremos uma breve revisão dos trabalhos realizados na rede totalmente conectada para, em seguida, abordar os estudos anal´ıticos e numéricos na rede estrela e, ao final, compará-la com as topologias definidas no cap´ıtulo dois. O cap´ıtulo quatro traz uma extensão ao problema, tratando da dinâmica de dois bits nas redes estrela, totalmente conec-tada e reticulada. Finalmente, nossas considera¸cões finais encontram-se no quinto cap´ıtulo.

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Cap´ıtulo 2

Caracteriza¸c˜

ao das redes complexas

Grafos são estruturas matemáticas correspondentes a redes reais e descrevem uma variedade de sistemas em diferentes áreas da ciência. Na sua forma mais simples, podem ser definidos como um conjunto de pontos unidos em pares via linhas. No jargão da área, os pontos são chamados de vértices ou nós e as linhas são conhecidas por links ou conexões (figura 4.1) [3, 19]. Existem vários tipos de redes que podem ser classificadas de acordo com suas propriedades topológicas e estat´ısticas. Os exemplos mais conhecidos abrangem redes regulares, aleatórias, livres de escala, estrelas, mundo pequeno, entre outras estruturas [3, 12, 19]. Redes são ferramentas úteis para tratar sistemas compostos por muitas unidades que interagem com um número relativamente pequeno de outras componentes. Existem muitos problemas de interesse dos cientistas que são compostos por partes individuais e que se conectam de alguma maneira, tais como a Internet, redes sociais, redes de prote´ınas e neurais, etc [4, 5, 7, 8, 14, 17, 18, 21]. Diversas ferramentas matemáticas, computacionais e estat´ısticas têm sido desenvolvidas ao longo dos últimos anos permitindo análises, modelagens e compreensões dos sistemas contextualizados em redes complexas [3, 7, 12, 19, 21, 42, 43, 45]. Neste cap´ıtulo caracterizaremos os principais conceitos de rede que serão utili-zados ao longo do trabalho. Definiremos o conceito de grau, grau médio, distribui¸cão de grau, caminho m´ınimo médio e coeficiente de agrupamento. Outras grandezas importantes incluem as matrizes de adjacência e de vizinhos que serão utilizados no próximo cap´ıtulo. Introduziremos em seguida algumas topologias que serão abordadas neste trabalho, tais como as redes totalmente conectada, reticulada, livre de escala e estrela, sendo que esta última será o foco da disserta¸cão. Ao final, descreveremos um processo dinâmico similar ao modelo do eleitor que representa um processo binário sobre a rede e servirá como base para as simula¸cões

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2.1 Caracteriza¸c˜oes 8 de todas as topologias trabalhadas neste projeto.

Figura 2.1: Ilustra¸c˜ao de uma rede complexa. Em destaque apresentam-se suas componentes: n´os e links.

2.1 Caracteriza¸c˜

oes

Para estudarmos um sistema complexo, primeiramente precisamos caracterizá--lo. Duas grandezas fundamentais que se destacam compreendem o número de nós, N , que representa a quantidade de componentes do sistema, fornecendo o tamanho da rede, e o número de links, E, representando o número total de intera¸cões entre os nós. Tendo em vista estas grandezas, identificamos dois tipos de classifica¸cões. Uma rede pode ser direcionada (figura 2.2 (a)), se o links apresentarem uma dire¸cão preferencial aos nós, ou não-direcionada (figura 2.2 (b)), se os links não possu´ırem quaisquer orienta¸cões.

Para analisar os diferentes tipos de topologia de uma rede complexa são necessários conceitos que a caracterizem e a representem e, se poss´ıvel, estabele¸cam critérios que indiquem o quão organizada é a rede. Destacam-se quatro propriedades fundamentais que possibilitam obter informa¸cões acerca da conectividade da rede e medir quantidades intr´ınsecas à ela. Vale ressaltar que apresentaremos somente as expressões destas grandezas para uma rede

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2.1 Caracteriza¸cões 9 não-direcionada, visto que ao longo do trabalho, não abordaremos nenhum tipo de rede direcionada.

Figura 2.2: Exemplos de uma rede direcionada (a) e não-direcionada (b). Na rede direcionada, o nó 2 não influencia o nó 1, ao contrário do que ocorre na rede não-direcionada, onde o nó 1 influencia o nó 2 e vice-versa.

Grau, grau médio e distribui¸cão de grau - O grau ki de um nó i fornece o

número de vizinhos conectados a ele. No contexto social, o grau pode representar o número de amizades que uma determinada pessoa possui numa rede de amigos. A partir disso, podemos calcular o grau médio de uma rede, que fornece o número de conexões que, em média, os nós possuem. Assim, para uma rede não-direcionada, tem-se

hki = _N1 X

i

ki. (2.1)

Com base nesses dois conceitos, podemos definir a distribui¸c˜ao de grau da rede, Pk, que

fornece a probabilidade de um n´o i selecionado aleatoriamente possuir grau k. Esta grandeza deve estar normalizada, ou seja, P_kPk = 1. Al´em disso,hki =P_kkPk [12, 19].

Coeficiente de agrupamento - Este parâmetro mede o grau no qual os vizinhos de um dado nó estão conectados entre si. Em redes sociais esta propriedade é recorrente, visto que há uma forte tendência de cria¸cão de grupos unidos por uma densidade alta de conexões. No lado esquerdo da figura 2.3, o nó j está conectado com os nós i e k. Podemos nos perguntar qual a probabilidade de os nós i e k também estarem conectados, como mostra o lado direito. O resultado é atribu´ıdo pelo coeficiente de agrupamento.

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2.1 Caracteriza¸c˜oes 10

Figura 2.3: Defini¸cão do coeficiente de agrupamento. Consideramos que os nós i e k são vizinhos do nó j e deseja-se calcular qual a probabilidade de i e k estarem também conectados.

Em termos matemáticos, definimos o coeficiente de agrupamento do i-ésimo nó da rede como [18]

Ci =

2Ei

ki(ki− 1)

, (2.2)

onde Ei representa o n´umero de links entre os ki vizinhos do n´o i [19]. Se todos os vizinhos

estiverem conectados entre si teremos Ci = 1, como ´e o caso de uma rede totalmente

conec-tada (se¸cão 3). No entanto, se nenhum dos vizinhos do nó i estiverem conectados com outros nós, então Ci = 0. Se Ci = 0.5, por exemplo, sabemos que dois vizinhos de um determinado

nó i estão conectados entre si com 50% de probabilidade. A figura 2.4 ilustra alguns tipos de cálculo deste parâmetro.

Figura 2.4: Exemplos de cálculo do coeficiente de agrupamento do nó preto. C é calculado como sendo a propor¸cão das liga¸cões existentes entre os vizinhos do nó preto em rela¸cão ao total das liga¸cões poss´ıveis. Como o nó preto tem 3 vizinhos, então há no máximo 3 liga¸cões entre si. Na rede da esquerda, Ei = 3 (seguimentos em negrito) e, portanto, C = 1; no meio,

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2.1 Caracteriza¸cões 11 Podemos ainda calcular o coeficiente de agrupamento médio da rede, definido simplesmente como a média dos C0

is, dada pela express˜ao

hCi = 1 N N X i=1 Ci. (2.3)

Em outras palavras, _{hCi representa a probabilidade de que dois vizinhos de um n´o sorteado} ao acaso estejam conectados.

Em resumo, o coeficiente de agrupamento mede o grau com que os nós da rede tendem a agrupar-se, de maneira a fornecer o quão densa é a rede: quanto maior o número de vizinhos interconectados ao nó i, maior o valor de Ci.

Caminho, comprimento, distância e caminho m´ınimo médio - Em uma rede complexa, o caminho representa uma maneira de sair de um nó de origem e chegar a um nó de destino atravessando a rede por meio dos links, que pode ser escrito como uma lista ordenada de links direcionados. Assim, um caminho P entre os nós 1 e i é dado por: P = _{{(1, j), (j, k), ..., (l, i)}, onde j, k, l, i indicam os ´ındices dos nós. Na figura 2.5 (a) um} poss´ıvel caminho é destacado pela linha sólida. A partir disso, definimos o comprimento de um caminho como sendo o número de links utilizados para sair do nó de origem e chegar ao nó final. Na rede da figura 2.5 (a), vemos que o comprimento do caminho em destaque é 5.

Figura 2.5: (a) Ilustra¸cão de um caminho (linha sólida) em uma rede não-direcionada, dado por P = {(6, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 1)}, de comprimento 5. (b) Exemplo de auto-interse¸cão. O link sai e volta para o mesmo nó. (c) Exemplifica¸cão de uma rede apresentando um nó que não possui caminhos para os outros nós.

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2.1 Caracteriza¸cões 12 O menor caminho entre os nós i e j é aquele com o menor número de links e é frequentemente chamado de distância geodésica e denotado por dij ou tão somente d. Entre

um par de nós podem existir diversos caminhos m´ınimos de mesmo comprimento e que nunca contêm auto-interse¸cões (figura 2.5). Nas redes não-direcionadas, temos que dij = dji, visto

que a distância entre os nós i e j tem o mesmo valor se calculada entre j e i. Se não houver nenhum caminho entre os nós, então considera-se que dij =∞. Podemos ainda introduzir o

caminho m´ınimo médio da rede, hdi, como sendo a distância média entre todos os pares de nós e dado por

hdi = 2 N (N _{− 1)} N X j<i=1 dij. (2.4)

Na figura 2.5 (c), a distância do nó 2 ao 3 é d23 = 2, sendo o menor valor poss´ıvel entre

esses nós. Existem múltiplos caminhos que os ligam, como por exemplo _{{(2, 6), (6, 3)} e} {(2, 5), (5, 3)}. Há também muitos outros caminhos cujas distâncias são superiores a 2. Po-demos ainda notar que a distância entre os nós 1 e 2 é d12 =∞, visto que não há caminhos

que os conectem [3].

Matriz de adjacência - A matriz de adjacência A = _{Aij} é uma representa¸cão

matem´atica da rede definida como

Aij =     

1 se os nós i e j estão conectados; 0 caso contrário.

(2.5)

Para uma rede com N nós, a matriz de adjacência tem dimensão N _{× N. Para uma rede} não-direcionada, a matriz é simétrica, ou seja, Aij = Aji, para todo par de nós (i, j), uma

vez que Aij = 1 indica um link conectando o n´o i ao j, bem como Aji = 1 representa um

link conectando o n´o j ao i. Al´em disso, define-se usualmente Aii = 0, de tal maneira que

o nó i não se conecta com ele mesmo. Como ilustra¸cão, constru´ımos a matriz de adjacência referente à rede apresentada no come¸co do cap´ıtulo (figura 2.1)

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2.1 Caracteriza¸c˜oes 13 Aij =               0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0               . (2.6)

Por completeza, podemos escrever o grau do nó i já definido em termos da matriz de ad-jacência. Para redes não-direcionadas, o grau de um nó é obtido através da soma sobre todas as linhas ou todas as colunas da matriz, ou seja,

ki = N X j=1 Aij = N X i=1 Aij. (2.7)

Para calcular o grau médio de uma rede não-direcionada com N nós é necessário somar a equa¸cão (2.7) sobre i e em seguida dividi-la por N

hki = 1 N X i ki = 1 N X i,j Aij → hki = 2E N , (2.8)

onde E ´e o n´umero total de links da rede [19].

A matriz de adjacência pode ainda ser utilizada para representar redes com peso. A defini¸cão Aij = 1 indica que todos os links têm pesos iguais. Entretanto, muitos sistemas

apresentam links que possuem um peso particular wij e representam a for¸ca entre dois n´os,

(i, j), cujo valor é associado a um número real. Como exemplo, o peso entre os nós i e j pode ser maior do que entre os nós j e k, fazendo-nos concluir que a intera¸cão entre o primeiro par de nós é maior do que a intera¸cão no segundo. Para redes com peso, os elementos da matriz de adjacência são escritos como Aij = wij. Redes deste tipo são bastante utilizadas em sistemas

como a Internet: os pesos, neste caso, assumem o papel da quantidade de informa¸c˜oes que flui entre os endere¸cos eletrˆonicos [12, 19, 47].

(32)

2.2 Topologias de redes 14

2.2 Topologias de redes

Esta se¸cão pretende expor brevemente quais os tipos de topologias serão utilizadas ao longo desse trabalho. Estudamos brevemente as redes totalmente conectada, reticulada e livre de escala. Nosso foco maior foi a rede estrela com apenas um nó central, que abordaremos em detalhes no cap´ıtulo seguinte.

2.2.1 Rede totalmente conectada

A rede totalmente conectada é o tipo de estrutura mais simples poss´ıvel, na qual cada nó da rede está conectado com todos os outros restantes. Em termos topológicos, os nós são indistingu´ıveis e, por conta dessas caracter´ısticas, alguns parâmetros podem ser facilmente calculados, como por exemplo:

1. o coeficiente de agrupamento é, naturalmente, C = 1; 2. todos os nós possuem ki = N− 1 conexões;

3. a distância entre quaisquer dois nós é dij = 1;

4. o n´umero de links ´e E = N (N_{− 1)/2.}

Esta estrutura de rede não é comumente encontrada na natureza como o modelo dinâmico aqui estudado, mas é bastante vantajosa do ponto de vista teórico, uma vez que os cálculos anal´ıticos são poss´ıveis de serem realizados devido à sua simplicidade e fácil manipula¸cão. As referências [41, 42, 43] mostram em minúcias todo o trabalho realizado nesta rede e, por conta disso, tomaremos como base nesta disserta¸cão quando necessário. No cap´ıtulo 3 apresentaremos uma s´ıntese dos principais resultados obtidos para esta topologia.

(33)

2.2.2 Rede reticulada

Neste tipo de topologia os nós da rede estão dispostos regular e periodicamente no espa¸co, como em um cristal cúbico. Genericamente, assumimos que os vizinhos mais próximos estarão a uma distância D uns dos outros. Para redes reticuladas bidimensionais a periodicidade da topologia nos permite calcular o coeficiente de agrupamento de cada nó i como sendo Ci = 0, visto que apenas os quatro vizinhos mais próximos estão conectados

a ele e esses vizinhos não possuem conexões entre si. O caminho m´ınimo médio entre dois quaisquer nós dependerá tanto do número de nós N como do número de dimensões δ em que se encontra o reticulado, de forma que [41]

dretic ≈ N

1

δ. (2.9)

Para redes com condi¸cões de contorno periódicas, a distribui¸cão de grau, Pk, é bastante

simples, uma vez que todos os nós da rede têm o mesmo número de conexões. Encontra-se que a expressão para Pk é

Pk= δ(k− k0), (2.10)

onde k0 é o número de nós que estão a uma distância inferior a D de um determinado nó da

rede [41]. No entanto, se a rede possuir condi¸cões de contorno do tipo fronteira livre, há efeitos de borda que diminuem o valor do grau dos nós que estão perto das extremidades, fazendo com que a distribui¸cão de grau não seja a mesma da equa¸cão (2.10). No nosso trabalho, focaremos o estudo nas redes reticuladas em duas dimensões com condi¸cões de contorno do tipo fronteira livre e periódicas. O cap´ıtulo 3 abordará com maiores detalhes a análise da dinâmica. Por ora, nos basta ilustrar na figura 2.6 uma rede reticulada bidimensional com N = 36 nós

(34)

Figura 2.6: Rede reticulada em duas dimens˜oes.

2.2.3 Rede livre de escala

Redes livres de escala possuem uma distribui¸c˜ao de grau que segue uma regra do tipo “lei de potˆencia”,

P (k) ≈ k−γ_, _(2.11)

onde γ é um parâmetro real e positivo. Em geral, verifica-se empiricamente que 2 < γ < 3 [44, 46]. Como um exemplo t´ıpico da aplica¸cão nos problemas envolvendo essas redes, podemos citar o caso da Internet, no qual o modelo se aplica considerando os nós como sendo os sites e as conexões os hyperlinks. De modo geral, essas redes apresentam duas caracter´ısticas fundamentais, dadas pelo crescimento e pela conexão preferencial. A primeira delas considera que em todas as redes reais verificadas obedecendo a equa¸cão (2.11) há um mecanismo de adi¸cão de nós, enquanto a segunda caracter´ıstica é que os novos nós possuem uma tendência em associar-se àqueles que já apresentam um grande número de conexões [12]. À luz destes fatos, Albert-Lászlo Barabási e Réka Albert propuseram um algoritmo de cria¸cão dessas redes de modo a reproduzir a distribui¸cão de grau (2.11), que considera a seguinte sequência lógica:

(35)

2.2 Topologias de redes 17 • crescimento: cria-se uma rede com m0 n´os que podem ou n˜ao ser totalmente

co-nectados e adicionam-se novos nós individualmente, de modo a serem coco-nectados a m (m < m0) outros nós já existentes.

• conexão preferencial: as m conexões de cada novo nó da rede são escolhidas de forma que a probabilidade de que o novo nó seja conectado com o i-ésimo já existente é

Π(ki) =

ki

P ki

,

onde ki é o grau do nó i. A distribui¸cão por lei de potência e seu respectivo gráfico log-log

s˜ao ilustrados na figura 2.7 [3]

Figura 2.7: Exemplo de uma rede livre de escala real de tamanho N = 2000 nós. (a) Distribui¸cão de grau em uma rede de intera¸cões protéicas. Metade dos nós tem grau 1, p(k = 1) = 0.48, enquanto existe somente um nó com grau maior, k = 92, cuja probabilidade é p(92)≈ 0.0005. (b) Versão log-log da distribui¸cão de probabilidade em (a). Figura adaptada de [3].

Uma das propriedades mais notáveis da rede livre de escala refere-se aos nós que possuem um grau muito maior do que o grau médio, ou seja, são altamente conectados. Estes são os chamados “hubs”. Os nós recém adicionados tendem a se conectar aos hubs, o que justifica o termo “conexão preferencial”. A presen¸ca dos hubs indica que a rede é heterogênea. Isso quer dizer que o grau de cada nó varia bastante, ou seja, existem poucos nós muito

(36)

2.2 Topologias de redes 18 conectados ao passo que existem muitos nós pouco conectados. Matematicamente, a variância da distribui¸cão de grau é grande, isto é, σ =

q

hk2_{i − hki}2 _≈√_{N [3]. Se considerarmos, por}

exemplo, um sistema de comunica¸cões, como discutido em [48], a heterogeneidade implica na rede ser vulnerável à ataques, no sentido de que a remo¸cão de um hub, cujo papel é manter a conectividade, pode levar o sistema à falhas, o que pode ser considerado uma fraqueza da rede. Por outro lado, se os nós pouco conectados são retirados, então a rede como um todo não é bruscamente afetada, o que pode ser visto como um alto n´ıvel de resiliência, devido à presen¸ca dos hubs. Outras redes heterogêneas incluem a Internet (WWW), as redes financeiras, sociais e as linhas aéreas e até mesmo redes de intera¸cões protéicas [3]. A figura 2.8 ilustra uma rede livre de escala com alguns hubs.

Figura 2.8: Exemplo de uma rede livre de escala obtida numericamente seguindo o algoritmo de Barabási-Albert, de tamanho N = 512 nós e grau médio hki = 3. Os nós maiores e centrais se referem aos hubs [53].

(37)

2.2 Topologias de redes 19 ser usadas como modelo se comparadas às propriedades das redes reais. A primeira delas refere-se ao diâmetro da rede, cuja expressão prevista é dada por [3]

D≈ log N

log log N. (2.12)

Esta grandeza representa a maior distância poss´ıvel na rede livre de escala. O mesmo re-sultado foi obtido independentemente por Cohen e Havlin [49] e Bollobás e Riordan [50]. A segunda quantidade em destaque é o coeficiente de agrupamento, obtido por Klemm e Eguiluz [51],

C = m− 1 8

(ln N )2

N , (2.13)

onde m é o número de links. Esta expressão foi demonstrada por Bollobás [52]. Podemos ver que o coeficiente de agrupamento diminui quanto maior for o valor de N [3].

2.2.4 Rede estrela

As redes do tipo estrela também são raras na natureza uma vez que há poucos nós ocupando uma posi¸cão central e privilegiada e muitos nós periféricos que copiam o estado do nó central. Assim como a rede totalmente conectada, esta topologia serve de modelo para estruturas que podem ser encontradas dentro de redes t´ıpicas, como os hubs das redes livre de escala, já abordados. Consideramos uma rede com N nós; destes, m0 pertencem ao núcleo

totalmente conectado e os demais N_−m0 nós periféricos conectam-se a todos os nós centrais.

A figura 2.9 ilustra alguns tipos de rede estrela.

O coeficiente de agrupamento para redes estrela pode ser calculado da seguinte forma: para m0 > 1, os n´os centrais tˆem m0−1 vizinhos com todas as poss´ıveis (m0−1)(m0−

2)/2 conexões existentes entre si, restando N−m0vizinhos periféricos sem quaisquer conexões

entre si. Com isso, das poss´ıveis (N _{− 1)(N − 2)/2 conexões para os nós centrais, sobram} apenas as (m0− 1)(m0− 2)/2. Os nós periféricos, então, têm m0 vizinhos conectados entre

(38)

Figura 2.9: Exemplos de redes estrela com N = 9 e m0 = 3 (esquerda) e N = 11 e m0 = 1

(direita).

que a rede estrela tem apenas um n´o central, m0 = 1, toma-se o coeficiente de agrupamento

como sendo C = 0, uma vez que nenhum dos vizinhos de qualquer nó admite conexões entre si [41]. Pode-se ainda calcular o coeficiente de agrupamento médio, usando a equa¸cão (2.3)

C = Cc m0 N + Cp N− m0 N (1− δm0), (2.14)

onde Cc e Cp são o número de nós centrais e periféricos, respectivamente. Em termos da

an´alise acima, a equa¸c˜ao precedente se escreve como

C =m0 N (m0 − 1)(m0− 2) (N − 1)(N − 2) + N _{− m}0 N (1_{− δ}m0). (2.15)

Outro parâmetro que pode ser calculado analiticamente é o caminho m´ınimo médio. Se considerarmos dois nós periféricos quaisquer, o caminho é de duas conexões e há (N_−m0)(N−

m0 − 1)/2 pares poss´ıveis, enquanto que para quaisquer outros n´os, o caminho ´e de uma

conex˜ao. Como a rede inteira permite N (N _{− 1)/2 pares, o caminho m´ınimo m´edio deve ser}

destrela = 1 +

(N − m0)(N − m0− 1)

N (N _{− 1)} . (2.16)

Finalmente, a distribui¸c˜ao de grau para redes estrela ´e [41]

P (k) = N − m0 N δ(k− m0) + m0 N δ(k− (N − 1)), (2.17)

(39)

2.3 Dinâmica na rede 21 uma vez que todos os nós centrais têm N − 1 conexões com os demais e os nós periféricos têm m0, ou seja, uma conexão com cada nó central da estrela.

2.3 Dinˆ

amica na rede

Em matemática, um sistema dinâmico é um conceito definido como um conjunto de regras ou equa¸cões que governam a mudan¸ca de um estado do sistema ao longo do tempo. Esses estados são representados por variáveis que podem ser tanto cont´ınuas ou discretas e a dinâmica pode ser determin´ıstica ou estocástica. Muitos processos reais e até mesmo seus respectivos modelos simplificados são representados por sistemas dinâmicos em redes e, por conta disso, existem vários tipos de dinâmica que podem ser definidas. Podemos citar como exemplo o modelo de Kuramoto [24, 25], que consiste em um sistema formado por osciladores acoplados [54, 55] que possuem uma determinada frequência intr´ınseca, objetivando estudar sincroniza¸cão. Este modelo foi proposto no contexto de osciladores qu´ımicos e biológicos que operam em variáveis cont´ınuas e possuem uma vasta aplica¸cão em neurociência [56, 57, 58]. Além disso, também pode ser utilizado em sistemas de transmissão, como ocorre em redes elétricas [59, 60, 61]. Um outro exemplo largamente estudado é o caso de epidemias em redes. O avan¸co de doen¸cas, como é o caso do HIV [28] e do ebola [29], envolve o contato entre indiv´ıduos. Neste tipo de abordagem, cada indiv´ıduo da rede assume o papel de um nó, enquanto os links são vistos como o contato entre indiv´ıduos. Existem várias formas de se implementar o problema e o modelo SIR (suscept´ıvel-infectado-recuperado) é bastante simples e conhecido [19]. Considera-se que no instante inicial da dinâmica, existem nós infectados e não infectados. A cada passo de tempo, os nós infectados transmitem a doen¸ca para cada um de seus vizinhos, o que ocorre com uma certa probabilidade. Cada nó infectado permanece neste estado por um determinado número de passos para, em seguida, se recuperar e ficar novamente suscept´ıvel à doen¸ca.

Existem ainda redes nas quais a dinâmica está presente apenas nos links. Exem-plos incluem o tráfego de estradas, onde os locais de destino são vistos como nós fixos na

(40)

2.3 Dinâmica na rede 22 rede e as estradas os links, conectando os lugares, que possuem capacidade limitada de fluxo [26, 27]. Além disso, numa cidade bastante populosa, o interesse essencial está em buscar uma otimiza¸cão, visto que cotidianamente é relevante encontrar ou o caminho m´ınimo ou o menor tempo de percurso para se chegar a um determinado destino. Um último exemplo a ser considerado é um processo dinâmico binário baseado no modelo do eleitor, que descreve uma elei¸cão na qual há dois candidatos, 0 e 1, e um grupo de N eleitores indecisos que são influenciados ou pelos seus contatos de amigos ou pelos chamados formadores de opinião. Os nós da rede social representam indiv´ıduos e sua inten¸cão de voto em algum dos candidatos, possuindo estado interno 0 ou 1. Por outro lado, os formadores de opinião podem influenciar todo um conjunto de eleitores indecisos e apresentam opiniões imutáveis. Na rede, estes formadores serão modelados pelos nós fixos e se conectam a todos os nós livres, que podem mudar seu estado interno adotando ou o de seu vizinho, que também é livre, ou o de um nó fixo. Neste sentido, os nós livres representam os eleitores indecisos que podem ou não mudar de opinião [30, 31, 32].

A dinâmica que utilizaremos ao longo desse trabalho é inspirada no modelo do eleitor. Nossa quantidade de interesse é análoga à probabilidade P (m) de que o candidato 1 obtenha m votos. Assim, consideremos uma rede genérica com N +N0+N1nós. A cada nó i,

associamos um estado interno xi, que pode assumir os valores 0 e 1. Os n´os s˜ao divididos em

três categorias: N nós são livres para mudar seu estado interno, de acordo com a dinâmica que será especificada adiante; N1 nós são fixos no estado interno 1 e N0nós são fixos no estado

interno 0. Vamos supor que os nós congelados são perturba¸cões aos nós livres. Esse modelo pode ser mapeado exatamente na dinâmica de uma popula¸cão com um gene, onde os estados 0 e 1 podem ser vistos como um gene de dois alelos, os nós livres podem ser representados pelos indiv´ıduos da popula¸cão e os nós congelados, N0 e N1, estão associados às taxas de

muta¸cão [45]. A informa¸cão sobre a topologia da rede está contida na matriz de adjacências, Aij. Neste contexto, essa grandeza representa a estrutura da popula¸cão, indicando quais

indiv´ıduos podem interagir entre si.

Para implementarmos os algoritmos das simula¸c˜oes que utilizamos ao longo desse trabalho, adotamos os seguintes r´otulos para qualquer rede estudada: escolhemos os ´ındices

(41)

2.3 Dinâmica na rede 23 dos nós com estado interno livre com o rótulo 1 ≤ i ≤ N, os nós com estado interno fixo em 1 com N < i_{≤ N + N}1 e os nós com estado interno fixo em 0 serão N + N1 < i≤ N + N0+ N1

(figura 2.10). Além disso, a cada passo de tempo o estado de um dos N nós, cujo estado interno varia, é atualizado consoante a regra: ou o estado não muda, o que ocorre com probabilidade p, ou o nó copia o estado de um dos vizinhos ao qual está conectado, o que ocorre com probabilidade 1_{−p. Este modelo é interessante e tem muitas aplica¸cões; podemos} destacar o problema que descreve a genética de popula¸cões sexuadas e, neste contexto, a utiliza¸cão de valores não inteiros de N0 e N1 pode ser associada às taxas de muta¸cão. Vale

ainda ressaltar que, na situa¸cão em que algum dos nós fixos está ausente o sistema converge para os chamados estados absorventes, onde todos os nós livres atingem o mesmo estado interno. Como por exemplo, para o caso em que N0 = 0 e N1 6= 0, a rede ficará em equil´ıbrio

no estado 1.

Figura 2.10: Intervalo proposto para o indexamento dos ´ındices dos nós da rede a ser tratada na dinâmica de cópia e atualiza¸cão de estados.

Nosso problema consiste em obter a probabilidade Pt(x, x0) de a rede ser

en-contrada num estado posterior x ap´os t passos da dinˆamica, dado o estado inicial x0.

Para uma rede com N nós livres, x é um vetor de estados microscópico do tipo x = (x1, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xN), especificando o estado de cada nó. Assim, cada entrada do vetor

representa o estado xi de um n´o indexado por i, cujo valor pode ser xi = 0 ou xi = 1. Para

um sistema com N nós, o número total de estados é 2N_{. Este sistema pode ser visto como um}

gás e o vetor de estados x é equivalente a especificar a posi¸cão e o momento de cada part´ıcula. Vamos supor que a rede evolui de tal modo que apenas um nó é escolhido aleatoriamente para ser atualizado a cada passo. A fim de escrevermos a expressão de como a probabilidade varia com o tempo, definimos um estado auxiliar ˜xi _{= (x}

1, ..., xi−1, 1− xi, xi+1, ..., xN), cujo

(42)

2.3 Dinâmica na rede 24 probabilidade de encontrarmos a rede no estado x no instante de tempo t + 1 é composta de três termos, a saber: (i) a probabilidade Pt(x) de que a rede estivesse no estado x no tempo

t e que o n´o selecionado n˜ao mudou o seu estado interno; (ii) a probabilidade Pt(x) de que a

rede estivesse no estado x no tempo t e que o nó selecionado copiou o estado de um vizinho idêntico, não mudando, pois, o seu estado interno, T (xi → xi); (iii) a probabilidade Pt( ˜xi)

de que a rede estivesse no estado ˜xi _{no tempo t e que o n´o i foi selecionado e seu estado}

˜ xi

i = 1− xi mudou para xi, T ( ˜xii → xi). A express˜ao geral da distribui¸c˜ao de probabilidade,

adaptada de [42, 43, 45], ´e Pt+1(x) = pPt(x) + 1− p N Pt(x) N X i=1 T (xi → xi) + 1− p N N X i=1 Pt(˜xi)T ( ˜xii → xi), (2.18)

onde os três termos do lado direito correspondem aos itens (i), (ii) e (iii) explicados acima. A equa¸cão (2.18) pode ser escrita em fun¸cão da matriz de adjacências dos nós livres, de modo a deixá-la mais prática. Nesse caso, a matriz tem dimensão N _{× N. As probabilidades de} transi¸cão T (xi → xi) e T ( ˜xii → xi) se referem ao nó sorteado copiar o estado de um vizinho.

De acordo com as regras dinˆamicas, podemos escrevˆe-las como

T (xi → xi) = 1 ki+ N0+ N1 " _N X j=1 Aij|1 − xi− xj| + xiN1 + (1− xi)N0 # . (2.19)

Esta probabilidade refere-se ao n´o sorteado i de estado xi copiar um vizinho j de estado

xj idˆentico a ele. O primeiro termo dentro dos colchetes refere-se a um vizinho cujo estado

é livre e apenas contribuirá se os estados dos nós forem iguais, ou seja, se xi = xj; caso

contrário, o valor dentro do módulo é zero. Os outros dois termos referem-se a um vizinho cujo estado é fixo. Nesse caso, se o nó sorteado tiver estado 1 a cópia será feita por um nó fixo em 1; se o nó sorteado for 0, a cópia será feita por um nó fixo em 0. Esta probabilidade de transi¸cão é normalizada pelo número total de vizinhos do nó sorteado i, incluindo os ki

n´os livres conectados a ele e os n´os fixos.

A segunda probabilidade de transi¸c˜ao refere-se ao n´o sorteado i de estado ˜xi

icopiar

um vizinho j de estado ˜xi

(43)

2.3 Dinˆamica na rede 25 T ( ˜xi i → xi) = 1 ki+ N0+ N1 " _N X j=1 Aij| ˜xii− ˜xij| + (1 − ˜xii)N1+ ˜xiiN0 # = 1 ki+ N0+ N1 " _N X j=1 Aij|1 − xi− xj| + xiN1 + (1− xi)N0 # . (2.20)

onde escrevemos que ˜xi

i = 1− xi e que ˜xij = xj, para i 6= j. Utilizando o mesmo racioc´ınio

da equa¸cão (2.19), vemos que o primeiro termo dentro dos colchetes refere-se a cópia de um vizinho de estado livre, cuja contribui¸cão será feita somente se os nós estiverem em estados opostos, ou seja, ˜xi

i 6= ˜xij. Os demais termos indicam que o vizinho do n´o sorteado tem

estado fixo; dessa forma, se o nó sorteado for 1, a cópia será feita por um nó fixo em 0, caso contrário, o nó sorteado copiará um nó fixo em 1.

Juntando as equa¸c˜oes (2.19) e (2.20), podemos reescrever a express˜ao (2.18) como

Pt+1(x) = pPt(x) + 1− p N N X i=1 [Pt(x) + Pt(˜xi)] ki+ N0+ N1 " _N X j=1 Aij|1 − xi− xj| + xiN1 + (1− xi)N0 # . (2.21) que é a equa¸cão mestra da dinâmica de redes. Para topologias arbitrárias a solu¸cão é bastante complicada; entretanto, alguns casos podem ser resolvidos analiticamente, como é o caso da rede totalmente conectada [41, 42].

Em suma, a dinâmica que estamos tratando é realizada através do sorteio de um nó i dentre os ´ındices dos nós cujo estado interno é variável e deverá realizar uma cópia de estado de um outro ´ındice j de algum vizinho conectado, com i _{6= j necessariamente. A} sele¸cão do ´ındice para atualizar é simplesmente aleatória. Na escolha do segundo ´ındice, entretanto, deve ser levado em conta todo o espectro de vizinhos conectados ao i_{−ésimo nó.} Para implementar no programa, é útil utilizarmos a matriz de vizinhos b(i, j), que fornece o ´ındice do j_{−ésimo vizinho do nó i. Devemos nos lembrar que os nós com estado interno fixo} são levados em considera¸cão na contagem dos vizinhos do nó a ser atualizado, ou seja, este nó possui um total de ki+ N0+ N1 vizinhos. Para exemplificar, a matriz de vizinhos da rede

(44)

2.3 Dinˆamica na rede 26 b =               2 5 0 0 1 3 4 0 2 4 5 6 2 3 0 0 1 3 0 0 3 0 0 0               . (2.22)

Vale ressaltar que as linhas da matriz b(i, j) da equa¸cão (2.22) fornecem o ´ındice i do nó, contendo os ´ındices dos nós conectados a ele.

(45)

27

Cap´ıtulo 3

Dinˆ

amica na rede estrela

A rede estrela é bastante utilizada no tratamento de problemas envolvendo em grande maioria sistemas de computadores [62, 63, 64, 65]. Nesta topologia, somente um nó ocupa uma posi¸cão central enquanto há muitos nós periféricos conectados a ele. Usualmente o nó central é chamado de hub, uma vez que é fortemente conectado. Esta estrutura de rede pode ser utilizada para representar situa¸cões mais caracter´ısticas, nas quais existem alguns nós mais centrais ao invés de um único hub. A figura 3.1 ilustra de forma simples esta topologia.

Figura 3.1: Representa¸cão da rede estrela com um nó central. A topologia apresenta o nó central conectado com os periféricos, cujos estados internos são livres. Os nós fixos podem ser visualizados num plano superior à estrutura da rede, conectados entre si e com todos os demais nós da rede, perturbando o sistema dos nós livres, no qual inclui-se o central.

´

E notável como este tipo de estrutura ocorre com frequência dentro de redes livre de escala, como abordamos no cap´ıtulo anterior, onde destacam-se os hubs, que foram re-presentados pelos nós maiores na figura 2.8. Neste modelo de rede o sistema como um todo

(46)

3.1 Rede totalmente conectada 28 depende do nó central. Para exemplificar, consideremos uma rede de computadores organi-zada com esta topologia, onde cada nó da rede pode ser visto como uma das máquinas do sistema, enquanto os links representam as transmissões de sinais entre elas. Uma vantagem desta topologia para a rede de computadores consiste na facilidade de ser manipulada devido à sua simplicidade. Neste aspecto, a rede pode ser expandida, bastando que se conectem com-putadores periféricos ao central. Além disso, em caso de quaisquer das máquinas periféricas falharem, a rede pode ser facilmente reparada, visto que o central não é afetado. Por outro lado, se o computador central falhar ou for invadido por um agente externo, toda a rede será afetada, visto que há uma forte dependência das máquinas periféricas com a central. Outra desvantagem se refere ao tamanho da rede, pois se existirem muitos computadores periféricos dependendo de um ou poucos centrais, a transmissão de dados pode ser feita de maneira mais lenta. Assim, é interessante estudar com afinco a rede estrela devido à essas grandes diferen¸cas ao se abordar ou o nó central ou algum dos periféricos, a fim de analisar como o conjunto se comporta.

Iremos expor neste cap´ıtulo todos os estudos desenvolvidos na topologia da rede estrela com apenas um nó central, que compreendem tanto abordagens anal´ıticas quanto simula¸cões computacionais. Primeiramente, faremos uma s´ıntese dos resultados conhecidos na rede totalmente conectada [41, 42, 43] que, como veremos, possui um comportamento bastante diferente da rede estrela na criticalidade. Em seguida, introduziremos as equa¸cões propostas para descrever a rede estrela e trataremos posteriormente da dinâmica compu-tacional, seguindo a abordagem descrita no cap´ıtulo 2. Pretendemos buscar também uma aproxima¸cão anal´ıtica na rede estrela, que consiste em fixar o nó central em cada um dos estados, a fim de comparar com a dinâmica obtida por meio das simula¸cões.

3.1 Rede totalmente conectada

O modelo dinâmico introduzido no cap´ıtulo 2 apresenta solu¸cão anal´ıtica na rede totalmente conectada. Conforme já apresentado, os nós são indistingu´ıveis nesta topologia e

(47)

3.1 Rede totalmente conectada 29 o estado da rede é totalmente especificado pelo número de nós que encontram-se no estado interno 1. A probabilidade no equil´ıbrio ρ(m) de encontrar a rede com m nós no estado 1 foi obtida nas referências [41, 42, 43], e é dada por

ρ(m) = A(N, N0, N1)

Γ(N1+ m)Γ(N + N0 − m)

Γ(N− m + 1)Γ(m + 1) , (3.1)

onde Γ é a fun¸cão gama e A(N, N0, N1) é a normaliza¸cão,

A(N, N0, N1) =

Γ(N + 1)Γ(N0+ N1)

Γ(N + N0 + N1)Γ(N0)Γ(N1)

, (3.2)

Essa expressão é geral e válida para N0 e N1 reais. Valores de N0 e N1 menores do que 1

podem ser pensados como nós fixos com pouca influência, como em uma rede onde os links têm pesos. A figura 3.2 ilustra alguns resultados.

Figura 3.2: Distribui¸c˜ao de probabilidade no equil´ıbrio para uma rede totalmente conectada com N = 100 n´os livres e alguns valores de N0e N1. O ponto cr´ıtico ocorre para N0 = N1 = 1,

(48)

3.1 Rede totalmente conectada 30 Essas expressões foram calculadas resolvendo-se as equa¸cões (2.21) no equil´ıbrio. Por ora, basta dizermos que o problema consistiu em se calcular os autovalores e autovetores da matriz de evolu¸cão temporal do vetor de probabilidades, |Pti, ou seja, |Pti = Ut|P0i,

sendo válida a rela¸cão algébrica, U_|ari = λr|ari, onde |ari e λr são os respectivos autovalores

e autovetores, indexados por um número inteiro r entre 0 e N . Adiantamos o in´ıcio dos cálculos nessa se¸cão para destacar o tempo de estabiliza¸cão na rede, que é dado por [41, 42, 43]

τ = N (N + N0+ N1− 1) r(r + N0+ N1− 1)

(1− p) ≈ N2_, _(3.3)

e que nos será útil para comparar com o da rede estrela, encontrado por inspe¸cão numérica, como veremos logo adiante.

A presen¸ca dos nós congelados faz com que a dinâmica nunca se estabilize, ou seja, a rede se move continuamente de um estado ao outro com número médio de ocupa¸cão

¯

m = N N1/(N0 + N1). Se fizermos N0 = N1 = 1 na equa¸c˜ao (3.1), veremos que a solu¸c˜ao

obtida é ρ(m) = 1/(N + 1), para quaisquer valores de m, o que significa que todos os estados na rede são igualmente prováveis. Os resultados obtidos para a rede totalmente conectada também podem ser utilizados para outras redes. No entanto, é preciso levar em considera¸cão que o efeito dos nós congelados é maior para topologias diferentes. A probabilidade de um nó livre copiar um nó congelado numa rede qualquer que satisfaz à dinâmica proposta é dada pela fra¸cão de nós congelados da rede pelo total de vizinhos do nó em questão, ou seja,

Pi =

N0+ N1

N0+ N1+ ki

, (3.4)

onde ki´e o grau do n´o i. Para redes totalmente conectadas, ki = N− 1 e, consequentemente,

Ptc =

N0+ N1

N0+ N1 + N− 1

. (3.5)

Para redes genéricas, pode-se calcular o valor médio Pm substituindo ki pelo grau médio da

rede, _{hki. Como hki < k}tc = N − 1, uma vez que a rede totalmente conectada ´e a topologia

que exibe o maior grau médio por conta de ter o número máximo de conexões, vemos que Pm > Ptc e com isso conclu´ımos que o efeito dos nós congelados é maior nas demais redes.

(49)

3.2 Rede estrela com um nó central 31 Assim, a fim de comparmos o efeito dos nós externos entre as redes totalmente conectada e as outras topologias, é conveniente definirmos o número efetivo de nós congelados, N0ef e

N1ef, como sendo os valores N0 e N1 na distribui¸c˜ao de Ptc para os quais Pm = Pf c, o que

nos leva a

N0ef = f N0, N1ef = f N1, (3.6)

onde f = (N_{−1)/ hki. Trabalhos anteriores [41, 42] já demonstraram que a equa¸cão (3.1)} jun-tamente com os valores reescalados dos nós congelados reproduz muito bem as distribui¸cões de probabilidade para várias topologias, como por exemplo, redes mundo pequeno, redes regulares em duas dimensões, rede livre de escala e redes aleatórias de tamanho pequeno.

3.2 Rede estrela com um n´

o central

A presente subse¸cão contém os resultados importantes desta disserta¸cão. Mos-traremos como funciona a dinâmica do eleitor na rede estrela, tanto por meio das equa¸cões que propusemos quanto através das simula¸cões computacionais. Por completeza, vamos rever brevemente a estrutura da rede e o processo dinâmico.

3.2.1 Equa¸c˜

oes da rede

Seja uma rede estrela com N + 1 nós. Consideremos que a rede possui apenas um nó central, ao qual indexaremos por 1, e N nós periféricos, que estão conectados somente ao central. Cada nó possui um estado interno que pode assumir os valores 0 ou 1. Além disso, cada um dos N + 1 nós da rede está conectado a N0 nós cujos estados internos são fixos em

0 e a N1 nós fixos no estado 1. Consideramos que os nós da rede, composta pelos periféricos

e o central, s˜ao livres para mudar seu estado interno de acordo com a seguinte regra: a cada passo de tempo sorteia-se um n´o livre e, com probabilidade p seu estado permanece o mesmo;

(50)

3.2 Rede estrela com um nó central 32 em contrapartida, o nó pode copiar o estado de um dos seus vizinhos, dentre os livres e fixos, também escolhido ao acaso, o que ocorre com probabilidade 1_{− p.}

Para uma rede estrela descrita dessa forma e levando em considera¸cão que os nós periféricos são indistingu´ıveis, um estado da rede é caracterizado pela quantidade m de nós periféricos no estado 1, totalizando N + 1 possibilidades para m = 0 a m = N , e pelo estado do nó central, que pode assumir os estado 1 ou 0, totalizando 2(N + 1) estados diferentes. Assim, podemos definir as probabilidades r1(m, t) e r0(m, t) de que existam m nós periféricos

no estado 1 no tempo t, dado que o nó central esteja no estado 1 e 0, respectivamente. As equa¸cões dinâmicas propostas para r1(m, t) e r0(m, t) podem ser escritas da seguinte maneira

r1(m, t + 1) = r1(m, t)p + r1(m, t)(1− p) m N + 1 N1+ 1 1 + N0+ N1 + + r1(m, t)(1− p) N − m N + 1 N0 1 + N0+ N1 + + r1(m, t)(1− p) 1 N + 1 m + N1 N + N0+ N1 + + r1(m + 1, t)(1− p) m + 1 N + 1 N0 1 + N0+ N1 + + r1(m− 1, t)(1 − p) N _{− (m − 1)} N + 1 N1+ 1 1 + N0+ N1 + + r0(m, t)(1− p) 1 N + 1 m + N1 N + N0+ N1 , (3.7) e r0(m, t + 1) = r0(m, t)p + r0(m, t)(1− p) m N + 1 N1 1 + N0+ N1 + + r0(m, t)(1− p) N − m N + 1 N0+ 1 1 + N0+ N1 + + r0(m, t)(1− p) 1 N + 1 N − m + N0 N + N0+ N1 + + r0(m + 1, t)(1− p) m + 1 N + 1 N0+ 1 1 + N0+ N1 + + r0(m− 1, t)(1 − p) N − (m − 1) N + 1 N1 1 + N0+ N1 + + r1(m, t)(1− p) 1 N + 1 N − m + N0 N + N0+ N1 . (3.8)

(51)

3.2 Rede estrela com um nó central 33 Embora essas equa¸cões possam ser obtidas a partir das expressões (2.21), é mais fácil escrevê-las diretamente, a come¸car pela equa¸cão (3.7): o primeiro termo refere-se à probabilidade p de um nó sorteado não ser atualizado. O segundo termo indica que o nó sorteado vai copiar o estado de um vizinho com probabilidade 1_{− p cujo estado pode ser idêntico ou diferente} a ele. Uma vez que um único nó é atualizado a cada passo de tempo, o estado r1(m, t + 1)

pode somente ser atingido atrav´es dos estados r1(m, t), r0(m, t), r1(m + 1, t) e r1(m− 1, t).

Se o estado no tempo t for r1(m0, t), o n´o perif´erico a ser atualizado pode se encontrar no

estado 1 com probabilidade m0_{/(N + 1). Para que a rede permane¸ca com m}0 _{n´os no estado}

1 no tempo t + 1, o n´o precisa copiar um outro que esteja no mesmo estado, o que ocorre com probabilidade (N1 + 1)/(1 + N0 + N1). Este peso leva em conta os N1 n´os fixos em 1

além do nó central, que também encontra-se neste estado. Os outros termos são obtidos de maneira análoga. É relevante destacarmos o termo de acoplamento desta equa¸cão, r0(m, t),

que faz alusão à probabilidade do nó central se encontrar no estado 0 e ser atualizado para 1. A equa¸cão (3.8) pode ser entendida da mesma maneira. Para concluir, a partir das suas expressões propostas acima, constru´ımos a probabilidade total de obter m nós no estado interno 1 no tempo t,

P (m, t) = r1(m− 1, t) + r0(m, t), (3.9)

onde é válido notar que desconta-se uma unidade no ´ındice de r1, evidenciando o nó central

fixo no estado 1.

3.2.2 Implementa¸c˜

ao da dinˆ

amica

A análise anterior descreve a evolu¸cão temporal da probabilidade de encontrar a rede em determinado estado. Queremos realizar agora a simula¸cão da dinâmica propriamente dita que consiste em sortear um nó ao acaso e realizar todos os processos da dinâmica já

(52)

3.2 Rede estrela com um n´o central 34 descritos em detalhes no cap´ıtulo anterior 1_{. A dinˆamica deve ser simulada muitas vezes}

para que possamos calcular as probabilidades de um determinado estado ocorrer e, dessa forma, comparar com as equa¸cões (3.7) e (3.8). Nesta etapa da implementa¸cão, escrevemos os comandos do programa no software M atlab c _{para: (1) sortear um nó livre, isto é, central}

ou periférico, totalizando N + 1 nós; (2) copiar o estado de outro nó, também sorteado aleatoriamente, dentre o total de nós, livres ou fixos. Assim, pode-se sortear ou o nó central, que copiará o estado de um dentre os outros N + N0+ N1 nós, ou algum dos nós periféricos,

que copiar´a o estado de um dentre os outros 1 + N0 + N1 n´os poss´ıveis. No in´ıcio de todas

as simula¸c˜oes que faremos neste trabalho, consideramos Ni = N/2 n´os livres com estado

interno em 1. Para realizarmos a dinâmica montamos a matriz b(i, j) do j-ésimo vizinho do nó i, a matriz de adjacência A(i, j) que faz a conexão entre os nós e o vetor nn(i) que indica o número de vizinhos de cada nó. Neste contexto, optamos por indexar o nó central em 1 enquanto os periféricos receberam os ´ındices de 2 até N + 1. A tabela 3.1 sintetiza a montagem dessas grandezas.

Nó central (j = 1) Nó periférico (j _{6= 1)} Matriz de conectividade A(1, j) = 1, _{∀ 2 ≤ j ≤ N + 1 A(j, 1) = 1, ∀ 2 ≤ j ≤ N + 1}

Matriz de vizinhos b(1, j) = j + 1, _{∀ 1 ≤ j ≤ N} b(j, 1) = 1, _{∀ 2 ≤ j ≤ N + 1} Número de vizinhos nn(1) = N nn(j) = 1, ∀ 2 ≤ j ≤ N + 1 Tabela 3.1: S´ıntese dos parâmetros utilizados na simula¸cão para cada tipo de nó (central e periférico).

Na primeira linha, temos a constru¸cão da matriz de conectividade para o nó central e para os periféricos. Note que para qualquer nó periférico há somente uma conexão: o nó central conecta-se com cada nó periférico, indicado por A(1, j) = 1, ao passo que cada nó periférico está conectado somente com o central, ou seja, A(j, 1) = 1, onde 2≤ j ≤ N +1. Já a segunda linha traz a matriz de vizinhos. Neste caso, o nó central está conectado com cada

1_{Os r´}_{otulos adotados aos ´ındices i das simula¸c˜}_{oes a serem realizadas s˜}_{ao propostos como seguem: n´}_os

com estado interno livre s˜ao indexados por 1 ≤ i ≤ N0_{, em que N}0 _{´e a quantidade desses n´}_{os; n´}_{os com}

estado interno fixo em 1 com N0 < i ≤ N0 _{+ N}

1 e os n´os com estado interno fixo em 0 ter˜ao os ´ındices

(53)

3.2 Rede estrela com um nó central 35 nó periférico j, b(1, j), 2 ≤ j ≤ N + 1, enquanto cada um desses j conecta-se somente com o central, de modo que b(j, 1) = 1, para j _{6= 1. Finalmente, a última linha mostra o vetor} correspondente ao número de vizinhos de cada nó. É imediato ver que o nó central possui N vizinhos, que são os nós periféricos, ao passo que cada nó periférico está ligado somente ao nó central, sendo este o seu único vizinho. Assim, para realizar a dinâmica, consideramos que o programa repetirá o bloco de comandos Nr vezes até atingir o tempo final, T , e que dentro

de cada bloco, as opera¸cões relacionadas ao sorteio de cópia/atualiza¸cão serão armazenadas no programa a cada ∆t vezes.

3.2.3 Resultados

Esta se¸cão traz os resultados para as dinâmicas referentes às equa¸cões exatas e à dinâmica via simula¸cão computacional. O intuito é comparar os gráficos obtidos de ambas as abordagens para um determinado conjunto de parâmetros.

• Equa¸c˜oes exatas × dinˆamica

O primeiro resultado que encontramos objetiva comparar as curvas de probabi-lidade encontradas através das equa¸cões exatas, que discorremos no come¸co deste cap´ıtulo, com a simula¸cão computacional na rede, realizada através do sorteio de cópia e atualiza¸cão dos nós. A figura 3.3 traz os resultados em cada uma dessas abordagens para quatro valores distintos dos nós fixos que escolhemos convenientemente. Utilizamos também N = 100 nós livres e o tempo de simula¸cão para ambas as redes foi de T = 2.3_{× 10}4_{, valor no qual a}

dinâmica já atingiu um estado estacionário. No programa da dinâmica, utilizamos Nr = 105,

valor suficiente para suavizar as curvas. Para obter os resultados das curvas sólidas utilizamos a equa¸cão (3.9). No que tange às curvas pontilhadas, devemos salientar que em nenhum mo-mento fez-se uso de quaisquer tipos de abordagens anal´ıticas, ou seja, este caso é puramente estat´ıstico, com a dinâmica implementada numericamente sobre a rede estrela.