A ANÁLISE GEOMÉTRICA ANTIGA E A LÓGICA MODERNA

A

.ANÁ,LISE GEOMÉTRICA

ANTIGA

E

A

LÓGICA

MODERNA*

JAAKO HINTIKKA E UNTO REMES

1.

Aruílise antiga e lógica modema

O

antigo método heurfstico

conhecido como _{análise (anrilise,geométrica) era famoso}

na

antigäidade, e suas generuhzações desempenharam

um

papel

importante

e variado

no

curso da história do pensamento ocidental. Contudo, não é de

modo

algum claro em que, de

fato,

constituía esse renomado método dos antigos geômetras. uma ¡azão para essa

dificuldàde de

comprgensão

do

método

é a

escassez de descrições antigas

do

procedimento da

a¡álise. Outra

razão é

o

relativo insucesso dessas descrições ãm fazer justiça à prática da análise entre os matemáticos antigos.

uma

tentavia

de

esclarecer a _{_}

importáncia

desse

método

foi

empreendida recentemente

por Hintikka

e Remes.l

Muito

de seu esforço é devotado à inteipretação da única descrição mais longa do método

analftico

existente na literatura matemática antiga, ou seja, aquela encontrada em Pappus (ver a Seção 2, adiante).

A

fundamentação

heurfstica do método de

análise é ainda menos clara. Faremos aqui uma tentativa, ainda que parcial, de elucidar a utilidade heurística desse método. Essa

tentativa

será

feita

sob a forma

de

uma

comparação

entre

o

velho método de

análise

e

certas técnicas relativamente novas

em

lógica simbólica, que podem

ser chamadas de métodos de deduçõo naturø\. Na verdade, trata-se de algo mais

do

que uma mera comparação,

pois

a tese aqui proposta é que

o

método

de análise é quase

um

caso especial desses métodos de dedução

natural.

Talvez a ligação mais profunda entre os dois seja

um corolário direto

de nossa _{interpretação do método antigo como} uma análise de uma figura definida (isto é, uma _{configuração de objetos geométricos).}

Isso

implica, como

será apontado

na

seção

9,

que a

lógica

do

método

satisfaz a

chamada

propriedade

de

subfórmula, que

é o

traço

característico dos métodos de dedução natural.

uma

tese semelhante

foi

proposta por E.

w.

Beth em 1955, quando sugeriu que seu

enfoque

da

dedução lógica

por

meio

dos chamados tableaux semânticos (sobre isso,

ver

Seção

4,

adiante)

"dá

realidade, numa _{extensão considerável, à concepção de um} genulno

método anolítico,

que

tem

desempenhado papel tão

importante

na história

t

_{Hintikka, J. e Remes, tJ.,7974:The Method}

_of

_{Analysis: Its}

Geomeîical Orísin ønd lts General s_isniqggnu (Boston'stu'dies

n

tne

mtoüy'ny

;fi;i;;;;-l;i.'zij.

"odiäl"rlt:

D. Reidel

Publishing Compaay.

9q

R. S. Cohen ef. ¿/. (orgs.) Essays ín 253-276. Copyright by D. Reidel-PutF shing Company. A traduçäo é de

A

Análise Geomëtrica

Antiga

e

A

Lôgica

Moderna

29 da

lógica

e

da fì1osoha".2

Contudo, Beth

não chegou a estabelecer a conexão ent¡e essa

idéia

lógica

e a

antiga análise geométrica,

nem tampouco aplicou

seu enfoque à elucidação de problemas históricos.

Apesar

do

siléncio

de

Beth,

parece

que

essa reläção

entre os

dois

métodos, o geométrico

e

o

lógico, pode

ser usada para

discutir

certas questões interessantes a

respeito dos métodos

de

análise

que

se encontram

exemplifìcadas

no

material

histórico. (Ver

adiante,

especialmente Seções

5

e

7.)Tal

comparação

constitui

a espinha dorsal metodológica tácita

_-

e ocasionalmente mais do que tácita

_-

do estudo de Hintikka-Remes.

Aqui

ela será tratada de modo mais sistemático. Nossa comparação

não

é

viciada pelo

fato

de haver diferenças óbvias

entre

o

método de

an¡ílise e os métodos

de

dedução natural; essas discrepâncias podem ser entendidas como devidas

às

exigências

da tarefa de

quem

faz

matemâtica. Mesmo se

os

antþ

geômetras conhecessem os

método de

deduçÍio

natural

e

tentassem

uMlos

de maneira estrita, somos tentados a dizer que eles seriam levados, por essÍrs dificuldades práticas, à forma

familiar

do método t¡adicional.

(Cf.

Seção 8, adiante.)

2.

Aruílise e sthtese, segundo Pappus

A

única

descrição geral

mais longa

do

método de

análise

e

síntese encontrada na

literatura

antiga e que chegou aos nossos dias é dada

por

Pappus de Alexandria (que viveu por volta de 300 d.C.). Sua parte central é a seguinte:

Análise é o caminho a partir do que é procruado

-

conside¡ado como se fosse admitido

-

passando, na ordem, por seus concomitantes

_[rà

axci].ou0a, usualmente traduzido coiro "conæqüências"] até algo admitido na síntese. Pois na análise supomos o que é

procurado como

já

tendo sido feito e investigamos aquilo a partir do qual esse aþo resulta, e de novo qual é o antecedente deste último, até que, no nosso caminhar para trás, alcancemos algo que já é conhecido e é primeiro na ordem. Chamamos tâl método de análise, por ser uma solução de trás para diante. Na síntese, por outro lado, supomos

já feito aquilo que

naanálisefoiporúltimoalcançadoe,arranjandoemsuao¡demnatu-ral,

como conseqüentes aquilo que antes eram antecedenæs, e lþandoos uns aos

ouhos, chegamos no final à construção daquilo que é procurado. E a isso chamamos síntese. Há duas espécies de análise. Uma procura a verdade, sendo chamada teórica.

A

outra serve para executar o que se desejava fazer,e essa é chamada problemática. Na espécie teórica, supomos a coisa procurada como existente e verdadeira, e então passamos na ordem por seus concomitantes (conæqüências), como se fossem

ve¡dadei-¡os e existentes por hipótese, até algo admitido; então, se aquilo que é admitido é

ve¡dadeiro, o que é procurado é também verdadeiro, e a demonstração será o inverso da análise. Porém, se chegarmos a algo que seria falso admitir, o que é procurado será

também falso. Na espécie problemática, supomos o que é desejado como sendo conhe-cido e entilo passamos, na ordem, por seus concomitantes (conSeqüências), como se

fossem verdadeiros, até algo admitido. Se a coisaadmitida é possível ou pode ser feita,

2

30

Jaako

Hintikka

e Unto Remes

isto é, se ela

fo¡

o que os matemáticos chamåm de dado, a coisa desejada será também possível.

A

demonstração se¡á novamente o inverso da análise. Mas se chegarmos a

alguma coisa impossível de admitir, o problema será também imposível. (Tradução conforme Hintikka e Remes, Capítulo

III.¡r

Imediatamente antes

e

depois da passagem citada, Pappus conecta sua concepção do método ao chamado "Tesouro da Análise", uma coletânea de obras de matemáticos mais antigos. De

fato,

pode-se mostrar que, ao menos

naprática,

ele seguiu de perto

o

exemplo

de seus famosos predecessore$. Isso nos autoriza a considerar a descrição

de

Pappus

como

representativa

da

an¿flise

dos

antigos geômetras

como

um

todo.

A

partir

da

descrição de Pappus, vemos que,

entre

as característicæ importantes do método de análise, então ao menos as seguintes:

(Ð

U*

analista começa æsumindo

aquilo que

deseja demonstrar

ou

construir,

e

argumenta

"de

trás

para

diante" isto

é, ele

usa esse

fìrn

desejado em seu raciocínio analítico, destinado a descobrir uma demonstração ou construção adequadas.

(ii)

A

análise é completadaa

por

uma síntese, na qual os mesmos passos da análise são trilhados na direção oposta.

Em Hintikka

e

Remes,

Capítulo

II,

argumenta-se

que

a

descrição de Pappus da análise

e

síntese

é

quase

completamente

consistente,

não

obstante as

aparênciæ (a única exceção é discutida na Seção 7).

A

aparência contrária deve-se ao

fato

de que Pappus parece estar descrevendo

tanto a

análise

como

a slntese

como

processos de alcançar conclusões lógicas (conseqüências). Como análise e síntese se dão em direções opostas, a exposição de Pappus parece só ser consistente se análise e síntese são

fo¡ma-dæ

inteiramente

de

equivalênciæ.

No

entanto,

isso

é

excluído

por

evidências cola-terais relativas ao antigo método de análise.a

Em Hintikka e

Remes mostra-se

que

os termos

(rà

exóÀouda,

e

seus cognatos)

que

Pappus usa

para

descrever

o

progresso

da

análise

não

signifìcam conseqüéncia

lógica em

lugar algum

de

seus escritos,

mas

são usados bastante

livremente

para expressar quase qualquer espécie

de

"existência

conjunta"

["CoinC

together"l. (Cf.

as explicações parentéticas

na

citação de Pappus, acima.)

Portanto,

a descrição geral que Pappus faz da análise representa-a consistentemente como uma busca de premissas, não como dedução de conseqüênciæ.

Isso dá

um

æntido bem

razoável ao

texto

de Pappus, mas

não

é suficiente para concilia¡ sua descrição geral da análise com sua

própria

pútica

matemática, nem com

a prática

de outros matemáticos antigos. Na verdade, as duas parecem estar em sério

conflito. Em

sua descrição

geral

da

análise, Pappus descreve-a (se estamos certos)

como

uma

busca

de

premissas

a partir

das quais

a

conclusão desejada poderia ser

obtida,

ao

passo

que as

aplicações

que faz do

método

consistem

numa

série de

t

Cf. Pøppí _{Alexandrini Collectioltß Quae Supersunf, Vols.}

I-III,

Fr. Hultsch (ed,.) 1876-77; Berlim: Weidmann, pp. 634-36. Cf. Hintikka, J.,1973: Logic, Language-Games and Inîormøtion

(= LLGÐ. Oxford: Clarendon Press, Capítulo

)fl,

e Hintikka-Remes, Capítulo II, pará literatura

secund¿í¡ia sobre a descrição de Pappus.-4 _{Hintikka-Remes, Capítulo}

_II.

A

Análise GeométricaAntiga e

A

Lógica

Moderna

_3l

conclusões

a

pætir

de premissas que

incluem a

conclusão desejada,

e

que portanto caminham

na

direção

diametralmente oposta àquela considerada

na

descrição geral acima citada. Nao é de admirar que a maioria dos comentadores tenha ficado perplexa

diante de tão

violentas

discrepâncias. Retomaremos

mais

tarde ao

problemas daí resultantes (ver especialmente a Seção 8).

Talvez valha

a

pena

notar

mais

um

aspecto geral. Embora Pappus faça distinção

entre

análise

teórica

e

problemática

em

sua descrição geral

do

método,

é

possível

mostrar que

tal

distinçÍÍo

é

convencional,

e não

essencial para nossa apreciação do

método.

Apesar disso, a importância da distinção

tem

sido superestimada

por

alguns modernos estudiosos do método.

3.

Exemplo

com

o fim

de ilustrar a

prática

matemática

real, reproduzimos

a

análise

de

um problema na Collectio de Pappus, na tradução de T.

L.

Heath:

Dado um cftculo ABC e dois pontos D e .É', externos a ele, traçar linhas ¡etas DB, EB a partir de D e E até um ponto .B no cí¡culo tais que, se os prolongamentos de DB e EB

encont¡arem o círculo novamente em C e A, AC seja paralelo a

Df.

AnÁlise

Suponhamos

o

problema ¡esolvido

e

a ta¡gente em

A

taçad,a, encontrando o

p.clongamento de ED em F.

(Pa¡te

_L

_{lYansformaçõo.) Entâo, desde que AC é panlelo a DE, o ângulo em C}

é iguat ao ângplo CDE. Mas como

FA

é.'ma ta¡gente, o ângulo C éigual ao ángulo FAE. Pofianto, o ângulo _{FAE é þual} ao ângulo CDã, e assim A, B, D,.F estâo sob¡e o mesmo cí¡culo. Portanto, o retângulo,4.E,EB é ig:ual ao retângulo FE, ED.

(Parte

_IL

Resoluçlo.) Mas o retângulo AE, EB é dado, pois é

_þa1

ao quadrado sobre a tangente a partir de E. Portanto, o retângulo FE, ED é dado; e como ED é

dado, então FE

é

dad,o (em comprimetto). fDados,5Z]. Mas FE é tarnbém dado em

posição, de modo que

ìr

é

dado. _frDados, 27f

.

Agon,

FA

ê, a tangente a partir de

um ponto dado .F, a um círculo ABC, dado em posição; pottarto,

FA

é

dado em posição _{e magnitude. fDados,}

_90l.

_{E F' é dado; então,}

_A

_{é dado. Mas.E é também} dado, portanto, a reta AE é, d,ada em posição. _lDados, Z6f

.E

o

círculo ABC

é

dad,o

em posição; portanto, o ponto

B

é também dado. _fDados,25]. Mæ os pontos D, .E

sâo também dados; pofanto, as retas D8, BÉ' são também dadas em posiçâo.

S{ntese

os dados os círculos ABC

e

os pontos

D,

E ED e por uma certa rcta EF, _[retángulo esse]

clrculo a partir de,E. A partir de .F, tracemos FZ tangencionando

o

círculo em u4; tracemos ABE e depois DB, prolongando DB de

modo a encontrar o círculo em

c.

Tracemos .4c. Digo então que z4c é _faralelo a DE (Parte

_II.

Demonstraçiío.) Desde que, por hipótese, o retângulo FE, ED é igual ao

quadrado sobre a tangente a partir de

4

o qual, por sua vez, é

_þal

ao retôngulo AE, EB, o retángulo AE, EB é igual ao retângulo FE, ED. portanto, A, B, D, F estão

32

Jøako

Hintikk¿

e Unto Remes

FAE

é

þ:ual ao

âtþlo

ACB no segmento altemo; portanto, o ângulo ACB é _þual ao ângulo BDE. Portanto,lC ó pæalelo a DE.s

O

exemplo mostra

quais são -as diferentes partes

do

método

total

de

análise e

slntese.

os

nomes das partes,

entretanto,

não se encont¡am em pappus,

e

"transfor-mação"

é

às vezes denominada

"análise"

no

sentido estrito

do

termo. Em

sentido amplo, "análise" compreende também a "resolução".

Val

distintos

que

a

construção

e

os

passos

exemplo,

o

traçado da tangente

em

A

_rmaçâ'o

_é

_dedutivo.

_A

_parie

_da

"const

passo que na parte da

..demons-tração"

não

se efetuam construções.)iEncontram-se também construções

na

análise teórica, por razões _{que ærão comentadas mais adiante (ver Seção 10).}

4.

Métodos de deduçäo nøtural

Em

que

medida

a lógica moderna pode esclarecer esse venerável método de análise? Para obter uma resposta, devemos examinar as regras

daquilo

que é chamado método da

mé do em

por exemplo, emlllathematical

Logic

de Kleene, p. 289 ss.ó

O métodb do tøbleau consiste no _{seguinte. Quando} se deseja demonstrar a disjunção

de V1, V2,

..

. a

partir

de U1, Uz,

...

, começa-se

por inserir

(It,

(J2.,.

_..

_{na coluna} esquerda

do

tableau e

v1, v2,....na

coluna (direita) conjugada (regra (Ð). Em seguida, procede-se de acordo com as seguintes regtas:

(ii) Se

I

X apa¡ece em alguma coluna coloca-se X na coluna conjungada.

(iü) se /x/

x

(x) aparcce numa coluna esquerda, ou æ (Ex)

x

(x) apatece numa coluna direita, coloca-se na mesma coluna

x(p)

pæa cada indivíduo p que tenha sido introdu-zido ou que venha a ser introduzido.

(iv) Se

X

& Y aparece numa coluna da esquerda ou Xv Y numa coluna da direita,

coloca-seXe

f

namesmacoluna

(v) se

x

)Y

aparece numa coluna da direita, coloca-se

y

na mesma coluna e

x

na coluna esquerda conjugada,

(vi) se (a)

XvY

apareæ numacolunadaesquerda, (b) xfynumacolunadaesquerda, (c)

x&

f

_{numa coluna da direita, (d)}

x=f

_{numa coluna da esquerda, ou}

_(e)x=y

numa coluna da direita, então o tableau deve ær bifurcado, e colocamos:

(a) X em uma zubcoluna esquerda e

f

na outra,

(b)

f

em uma coluna dä esquerda e

x

na coluna dlu;eita näo conjugada a ela. (c) X em uma subcoluna da direita e

I

na outra.

5

_A

_{g1d-yçã9, é. de Heath, T.L.,}

\!26; fþe

Thirteen Books of Euclid,s cambridge u^niversity

_!res,

pp.-r4l- r42. p¿ce _{Heatt, rãamos da} constru-arte da t¡ansformação (pconstru-arte

I

da análise).

6 _{Ver Kleene, stephen c.,1968:Møthemotical Logic.}

A

Andlise Geom¿trica Antigø e

A

Lógicø

Moderna

33 (d)

X

e

Y em uma coluna da equerda e novamente

X

e Y na coluna di¡eita nâo

coi,rjugada a ela.

(e)

X

em uma zubcoluna da esquerda,

f

na subcoluna direita conjugada a ela,

f

na outra subcoluna equerda, e X na zubcoluna di¡eita restante.

(vi) Se

_/Exi

X

(x)

aparcæ, numa coluna da esquerda oa (x) X (x) numa coluna da

di¡eita, int¡oduz-se um novo indivíduo

p

e coloca-se

X(p)

na mesma coluna (é con-veniente não aplicar esta regra até que se tenham eqgotado todas as possibilidades

de aplicação de outras; a parte da construçaio que começa com

a

introduçâo do

k{simo

indivíduo

e

termina com

a

int¡oduçã'o do (k +

lþsimo é

denotada por késimo estógío).

(vüi) Se uma mesma fórmula aparece em ôuas colunas conjugadas, o conespondente tableau (ou subtableau) está fechado.

(ix) Se todos os sttbtableaux zubordinados ao mesmo tøbleau (ou su>taorcau¡ estão fechados, então o tableau (ou subtableau) está fechado.

(x) Se todas as possibilidades de aplicação das regras (Ð

_-

(vii)

se esgotarem

e

o

tøbleau atnda não está fechado, entalo o tableau fotnece um contrarxemplo adequado e o pfocesso termina.

Temos

no

tableau

original

drtas colunss (conjugadas), a esquerda e a

direita.

Se o tableau ptecisa ser decomposto, resultam duas subcolunas esquerdas e duas subcolunas

direitas.

Essas subcolunas são combinadas duæ a duas, formando

nm

subtableau. As colunas

direita

e esquerda que,juntas, formam

umtsbleau

ou um subtableau, são ditas

coniugadat

Um subtableau pode ser novamente decomposto.

As regras para o Cálculo Seqtiencial são as seguintes:

A,l-+

@,,8

_-+J

l-+@,.4,8,1-+@

_f+

f-+@,1

lß.

l+@,A,8

l+@Av

B. .,4,

l+@

l+@,-J.,4.

AvB,l+@.

v+

I-+@, r4

-l/,

_l+@.

l->

,4,fl

l-+@I->@,4,8

A-B,l+@.

A(r),

v

xA(x),1-+@

+V

-+

-l

ry+

vx

A(x),î->@.

v+

onde não há ocorrência de ó livre em

I

-+

_@t\

_x

_{A (x).}

-34

Jø¿ko

Hintikka

e Unto Remes

à direita

se,

e

somente se,

é

possível

obter

uma demonstração para a seqüência (J1,

Ur, .

.

.u

Vt, Vz,.

.

. pelas regras do

método

de Gentzen. Issõ pode ser verificado comparando

os dois conjutos

de regras

e

observando que são idênticos, exceto pela direção de procedimento.

Muitos

resdtados teóricos de demonstração

já

foram

estabelecidos para o método de Gentzen. Alguns deles são relevantes para a interpretação do antigo método de

aná-lise.

No

entanto, o

esboço geral dos métodos de Beth e de Gentzen

já

será

útil

aqui.

5.

A

aruÍlise como mëtodo de deduçdo natural

A

estrategia'intuitiva

subjacente ao

método

dos tablempc semânticos deve

ær

clara.T

como

já

se

indicou,

quando tentamos demonstrar a disjunção

_{de v1,}

_v",.

. . a

partir

de premissas dadas

tl,

u2,

.

. _", dispomos as primeiras na coluna da di¡eita do tableau e

asúltimænacolunadaesquerda.Então,oquesefazaorestender,acolunadaesquerda

para

baixo pode

ser

interpretado como

inferir

conclusões

a

partir de

(\,

(J2,

_...,

reita

se buscam premissas a

p

E

Vt,

da. Essa não é uma

descrição

ainda

sferência de uma

fórmula

de

tudo,

isso não afeta a possibilidade de

tomar o

método

do

tableau como um procedimento

gradual,

que

começa

com

as conexões

dedutivæ

desejadas

e tenta

utilizar

as duas pxtremidades para conæguir uma manei¡a de estabelecê-las.

Esse

proc

a partir

das extremidades para

o

meio, com a

esperança

de que

uma

ventualmente encontrada.

A

possibilidade de transferência

de

fórmulæ

na

para

a

coluna

conjugada,

no

entanto,

signifìca que o processo

não

linear.

A

partir

desse ponto de vista, muitas regras do tøbleøu

jâ

podem ser compreendidas.

Por

exemplo, a

importância de

(vi) (c)

é simplesmente que, para demonstrur

x&y

(a

partir

das premissas dadas), devemos demonstrar tanto

X

quanto

l.

A

interpretaçao da regra de

instanciaçfo

(vii)

talvez naã seja

tão

clara.

contudo,

podemos

pensá-la

como

efetuando

simplesmente

uma

transição

de

uma

fórmula

com

variáveis ligadas

à

expressão

corespondente,

livre de

variáveis.

por

exemplo,

a

segunda

parte de

(vii)

pode

ser entendida

da

æguinte ma¡reira: para demonstrar

7

_É

_{claro quo, geralmente, a estratégia}

A

AntúIise Geométrica Antigø e

A Lagiu

Modema

₃₅

(x) X (x)

é suficiente demonstra¡

X(p) pan

uma novø va¡iável

livte

p,

que não tenha relação com as variáveis

já

usadæ.

A

naturalidade dessa maneira de encara¡ os tableøitx de Beth talvez se

tome

mais

evidente

se

introduzirmos

regras derivadas

em

nosso

tratamento. Assim,

podemos conseguir Y numa coluna do tableau de Beth a

partir

de

X

e de

X

)

Y,

etc.

Cada

par

de colunas conjugadas deve, obviamente, ser imaginado como uma

linha

de

demonstr¿ção separada,

que

deve ser completada antes que

a

dedução

total

seja conseguida.

A

regra para

o

fechamento de

um

par

de colunas conJugadas também

tem,

dessa

maneira,

um

significado

muito

natural. Signifìca simplesmente que, quando a mesma

fórmula

apa¡ece em ambas as cohuras corijugadæ, a conexão acertada

foi

estabelecida entre as diferentes conseqüências das premissas dadas e as diferentes premissas poten-ciais a

partir

das quais pelo menos uma das conseqüências desejadas poderia ser dedu-zida: uma das primeiras liga-se a uma das últimas.

Esse processo

lembra fortemente

a

descrição

de

Pappus

do

antigo método

de

análise.

No

método

do

tableau,

descrito em iermos ligeiramente

diferentes

(e

em termos

um

pouco

imprecisos), começamos (especialmente na coluna da

direita)

com

a

conseqüência desejada

e

procedemos a

partir

dela através de suas premissas poten-ciais até algo que se segue dæ premissas pela dedução

"sintética"

normal.

Em

outras palavras,

no

método

do

tableau assumimos a conseqüência desejada como se

já

tivesse sido conseguida, e indagamos de que ela resulta, de onde esta

última

poderia

decorer

e assim

por

diante até que alcançamos uma das premissas

ou

uma de suas conseqüên-cias conhecidas (estabelecidas na coluna da esquerda).

Obviamente, essa descrição

do

método

do

tableau

acompanha estreitamente a

descrição de Pappus

da

análise

como

dada

in

extenso na Seção

2

acima (e

interpre-tada da

manei¡a

feita

aqui).

Desse

modo,

existe

uma

forte

semelhança

prima

_facie

entre

a

antiga

análise

e

técnicas

de

deduçao

natural

adequadamente formuladas. 6.

A

direçdo da aruÍlise

Esse parentesco pode ser ainda mais explorado. O

método do

tableøu pode ser

enca-rado

ainda

de outro modo,

que lembra

o

que

encontramos

no

material histórico. Se simplesmente substituímos

todæ

as

fórmulas da

coluna da

direita por

suas nega-ções, conseguimos

um

método

de

obter

conclusões quando desenvolvemos qualquer

dæ

duas colwras

(tomando

cada par de colunas conjugadas como uma

linh4

altema-tiva de

argumento,

que

deve

ser concluído para

ser possfvel

obter uma

conclusão acerca das fórmulas.

originais).

De fato,.qualquer par de

colunas conjugadæ pode agora ser

fundido

em

uma

só

coluna. O procedimento se

toma

muito

parecido com

o

método

de construção de

conjunto modelo

de

Hintikka,

no qual

a distinção entre colunas é desnecessária.8

E _{Para as regras de construção do}

_{conjuntomodelo*:*i:551åär*1t¿.."Trllä?.taå}

?,î,:å:^

rever, passo a passo, um contra+xemplo à construção de U1 & Uz

&...

&-Vt

&-V2 &..

.).

I

I

36

Jaako

Híntíkka

e Unto Remes

Naturalmente, essa técnica é

equivalente

mais do que

uma

mudança

de

notação. Coniudo,

a

in

ivo

de

toda

a

manobra

é

tgota diferente.

Ao

invés de

t

uma de um

conjunto

Ut,

Uz,

_'

_',

estamos

agoraten

"'E-V:,-V2,""

Agora

a

onjugadæ

é

ainda mais

intuitiva

u

termo

quando

leva

a

uma contradição, isto é, à asserção conjunta de uma fórmula e de sua negação.

Assumindo

a

lógica

clássica, essencialmenle

o

mesnn mëtodo

"øtalítico"

pode

eñtão

ser usado para

construir

demonstrações diretas de trás para diante, começando

parcialmente

da

conclusão

a

ser

demonstrada,

e

para

construir

demonstrações

por

|eductio ad

øbsurdum,

isto

é, para demonstrações que reduzem

o

contraexemplo

ao

absurdo.

Essa

identidade lembra fortemente

aquilo

que

encontramos

no

material histórico.

Primeiramente, notemos que,

no

método original

do

tableau, procedíamos "para

cima", contra

a

direção das relações de conseqüência

lógica,

procurando premissæ intermediárias

a partir

das

quais

a

fórmula

superior

à

direita

(ou

uma

fórmula

de

um

conjunto de fórmulas)

pudesse ser

inferida.

No

método

invertido,

æ conclusões säo obtidas à

direita,

a

partir

da fórmr¡la (ou fórmulas) superior direita, o que

sigrifica

procedimento "para

baixo", na

direção

dæ

relações de implicação lógica. Como os

dois

métodos são basicamente idênticos,

é

de se esperar que facilmente haja alguma confusão nas discussões históricas

do

método analltico,

no

que

diz

respeito

a

qual seria sua real direção, enquanto comparada

com

a direção das relações de conseqüên' cia lógica. Todo estudante de matemática grega sabe que tal expectativa é amplamente

justihcada. Existe uma

literatura

extensa, embora inconclusiva, sobre

a

verdadei¡a direção da análise geométrica.

E

podemos perceber que há razões para que essa

litera-tura tenha

permanecido

inconclusiva

e,

igualmente,

para

que

as

fontes

primárias exibissem

uma

certa confusão.

Um

exemplo

disso é a discrepância entre a descrição

geral

da

análise

de

Pappus

e

sua

própria

práIica analltica,

mencionada acima, na Seção

2.

(Talvez os geômetræ gregos

e

seus' comentadores não devam ser criticados

muito

severamente,

pois,

COmo

vimos,

o

próprio

fll¡sunto apresenta

uma

sutileza considerável.) De certo modo, pode-se dizer que a análise procede em qualquer direção.

Todo o

problema da direção da análise é também superficial,

no

sentido de que não

se liga à utilidade heurística do método da análise.

Contudo,

deve-se

notar

que a direção faz diferença quanto ao que podemos esperal conclui¡ de uma análise completada com sucesso.

7. Análße e reduçilo

Outra comparação histórica é posslvel. Tem sido conjecturado que o método analftico se

originou do método de

demonstração

por

reductio ad

abswdum

A

identidade básica dæ versões adequadas de ambos aponta para a

naturalidäde

sistemática de

tal

tese

histórica.

(Devemos

notar

que, assumindo a

lógica

clássica,

a

diferença

que

ràs

A

Antilíse Geomëtrica

Antþa

e

A

Lógica

Modema

37 vez€s se

faz

entre demonstrações redutivas que estabelecem

um

resultado (negativo), digamos

_-P,

æsumindo P (classicamente,

--P),

e demonstrações que estabelecem

P

e

--P,

classicamente) æsumindo

_-P,não

é essencial para os detalhes

datesehistó'

rica.) e

Além

disso, podemos encontrar, nas

fontes

históricas, indicações

claræ da

idéia

de que

o

mdtodo analítico

pode proporcionar ambos os

tipos

de demonstração, istol é, diretæ ou redutivas. Por exemplo, Pappus escreve:

Se aquilo que é admitido

fo¡

verdadeiro, a coisa procurada será também verdadei¡a' Mas æ chegamos a alguma coisa que se¡ia falso admitlr, o que é procurado será também falso.

Isso é

dito

sobre a análise teórica, e Pappus faz a mesrna asserção a respeito da eficiên' cia da análise problemática

(cf.

Seção

2

acima).

Ao

mesmo

tempo,

percebemos que Pappus parece algo confuso, quando

interpre-tado

à

luz

de nossas observações.

De

fato,

não

se

pode

esperar

uma

demonstração

direta

de uma hipótese

fl

e uma contraprova de

l/

(isto

é, a demonstração

de

_-H)

a

partir

de premissas

Pt,

Pz,.

. . através do mesmo procedimento analítico, ínterpretado consistentemente à

nosa

maneira, como Pappus parece estar assumindo.

No

primeiro ca.so deve-se começar a

partir

de P1,

P2,.

.

.

(à esquerda) e f1

(à direita),

e proceder de acordo

com

as regras originais,

ou

então a

partir

de

P1,

P2,.

.

_{' (à} esquerda)e

-H

(à direita),

e usar agora as novas regras (imagens de espelho das originais). No

ultimo

caso, deve-se

inverter os

papéis dos dois conjuntos de regras,

É

este

o

significado do

final

da

Seção

anterior,

onde se disse

que a

direção da análise

faz

diferença quanto ao que se pode concluir dela, quando o processo é concluído.

A

confusão de

Pappus

tem

sido

usualmente

atribuída

a uma confusão

entre

as

duas possíveis direções

da

análise.

Agora

percebemos que ela

pode

ser deyida, em

última

análise,

a

um

mal-entendido mais

sutil,

a saber, a uma confusão sobre como, precisamente,

a

direção

da

análise

se relaciona

com

a

conch¡sões

dela

esperadas. Mais ainda, devemos

notar

que isso não é incompatível com a afirmação de que várias tradições diferentes estão presentes na descrição confusa de Pappus, como fez Gulley.ro Se a idéia redutiva

foi

a

primeira,

deveríamos encontra¡ diferentes estratos histórico na versão de Pappus.

8.

Por que a síntese?

Uma

importante

diferença prirna

_facie

entre

o

antigo método de análise e os métodos modemos de dedução natural (como o método do tableau) é que o

ultimo

proporciona

ro _{Ver Gulley, N., 1958: "Greek Geometrical Analysis",Phronesis}

_3,pp.l-14.

(Traduzido neste

38

Jaalco

Híntikka

e Unto Remes

um

resútado definitivo

tão

logo

a análise tenha terminado

(isto

é,

tão logo

todos os

pares

de

colunæ

conjugadæ estejam

fechados), enquanto

o

velho

procedimento geométrico

da

análise era associado a

uma

síntese complementaf,

em

todos os seus usos

tlpicos

na antigüidade.

É

somente

junto

com uma sfntese

_çe

e análise fomecia ao matemático uma demonstração aceitâvel. Por isso, o método talvez devesse ser chä' mado, como de

fato

freqüentemente acontecia, de método da análise e sfntese'

por

que essa discrepância entre a análise geométrica e a dedução natural? Podem-se apresentar duas explicações diferentes, que em conjunto servem para mostrar que essa

discrepância aparente atua

muito

pouco contra o paralelismo dos dois métodos, e que, de fato, reforça esæ paralelismo.

Em primeiro

lugar,

aquilo

que uma construção do

tipo

tableau nos dá não se

æse-construção

(par

de

colunas conjugadæ) se

fecha

quando

leva a

um beco sem saída,

e

a

construção

tem

sucesso

quando

todæ

as

maneiræ

diferentes de

construir

um

ter

algum

tipo'de

prova lógica a

partir

de

tal

cons-comparação

com

o método de Gentzen facilmente

um

certo número de reajustes, especialmente caso se objetiva uma conversão para uma forma de argumento mais

familiæ

do que a

técni'

ca de Gentzen. Tais reajustes podem ser comparados

com

aparte dasíntese, no méto-do duplo de análise e slntese.

No

entanto,

essa compafação

não

pode

ser levada

muito

longe.

Obtém-se uma

interpretação ainda

melhor

apontando

a

inconveniência

prática

de

distinguir

entre

as duas colunas conjugadæ numa construçäo de tableau de Beth.

Tal

distinção pressupõe uma escrituração dupla, que é bætante incômoda no caso de um argumento

intormal.

Por essa razão, os métodos dos velhos geômetras diferiam dæ formas usuais dos métodos modernos

da

dedução

natural.

Se comparamos seu procedimento com os métodos lógicos de

hoje,

somos forçados a dizer que eles, com

efeito,

procediam alegremente "para

baixo"

num tsbleau de

Beth

também na procura de demonstração

dirãtæ, isto é,

eles realmente

produziam

conclusões lógicas

em

ambæ

æ

colunas

(cuja

diferença

então

desaparecia). Quando

tal

procedimento termina, somente uma conclusão negativa indesejada pode, ipso

facto,ser

conseguida' No caso de um resulta-do negativo, as premissæ passam a

implicar,

não a conclusão deæjada, mas sua nega'

A

Andlíse Geométrica

Antiga

e

A

Logica

Moduru

39 ção. Isso acontece quando sentenças

(por

æsim dizer) contraditórias aparecem em cada

par de

colunas conjugadæ

(isto

é, em

cada

linha

de

argumento). Contudo,

no

caso

positivo

(a mesma

fórmula

surgindo em cada

par

de colunæ conjugadas),não é

possí-vel

tirar

qualquer conclusdo

definitiva.

Uma

tal

conclusão só pode ser alcançada por

meio

de

um

exame. separado, calculado

com a finalidade

de determinar se as regras usadas em sua análise podem ser invertidas de modo a

produzir,

de fato, uma demons-tração direta.

Assim,

o

caráter

duplo do

antigo método de

análise e síntese toma-se inteligível

como

resultado

da

inconveniência

da

aplicação

do

procedimento

(auto-suficiente)

de coluna dupla

para conseguir inferências a

partir

de premissas e, simultaneamente, procurar premissæ intermediárias a

partir

dæ quais se possa obter a conclusão desejada. Para estabelecer

a

firmeza

da

análise

é

muito

mais conveniente proceder

numa

só

direção

e

depois

(à

luz do

que se aprendeu através desse estratagema

útil,

mas arris-cado) reexaminar os passos praticados na análise.

Isso explica parcialmente um importante problema

em

Pappus.

Em

sua descrição geral

da

análise, Pappus

fala

de

uma procura

passo-a-passo de premissas a

partir

das

quais

a

conclusão desejada possa ser

tirada

(assumindo,

é

claro,

a

interpretaçlio

de

Hintikka-Remes, mencionada

na

Seção

2).

Mas se isso fosse estritamente verdadeiro,

a

sfntese seria meramente uma formalização vazia.

E,

em sua prática, Pappus extrai inferências a

partir

da

própria

conclusão desejada, tão alegremente quanto o geômetra

vizinho.

Tal

discrepância entre

teoria

e prática era provocada pelas características dâ

situação lógica,

e

que aparentemente Pappus

nunca

desvendou

inteiramente.

Sua inconcludéncia tranqparece também

no

fato

de ele

tratar

do mesmo

modo

resultados positivos

e

negativos

da

análise, mesmo quando esta é interpretada como uma busca de demonstração direta. Isso ocorre na descrição geral da análise de Pappus (ver seção

7

acima).

9.

Por que a anólise é analítica?

A

utilidade

heurística

do

método analítico

requer

uma

explicação

diferente

dæ questões relativas

à

direção. Parece-nos que

o

valor heurístico

do

método

analftico depende consideravelmente

do fato

de ser posslvel _{encarar as demonstrações obtidas}

por

seu

intermédio como

concernentes

a

um

tipo

específico

de

constelação de

indivlduos

(membros

de

nosso universo

de

discurso).

No

caso original da geometria

elementar,

a

demonstração

irá

lidar

com

um

tipo

particular

de

configuração geométrica. Como conseqüência, pode-se

entender a

busca dessa demonstração como

um

estudo das interdependéncias existentes nessa configuração de indivfduos. Como usualmente fazemos

uma

idéia

cla¡a dessas interdependências,

é

mais

fácil

recorrer a nosso conhecimento

implícito

neste caso do que em muitos outros tipos de procedi-mentos de demonstração.

Essa tese

permite tomar

a

análise

como uma

análise

de

confìgurações.

(No

caso especial

da

geometria,

a

análise toma-se

uma

análise

de

figuras.) Nossa tese aqui se

T

40

Jasko

Hintiklø

e Unto Remes

Uma vez que se tenha

(por

assim dizer) uma fìgura frente aos olhos, pode-se traçar nela séries de interrelações

tanto

"pataafrente"

(na direção das conseqüências lógicas)

quanto

"para trás"

(na procu/a

de premissas adequadas para as conclusões dadas), essencialmente

com

a

mesma

facilidade.

É

essa

natureza

"configurativa"

dos argumentos

analíticos

que

é

heuristicamente essencial

aqui,

e

não

a

direção

da análíse.

Nossa

imagem

da

análise

como análiæ

de

configurações

exiginí uma

restrição

importante

(ver

Seção

10,

adiante). Pode parecer também que

a

possibilidade de

conceber desse

modo a tentativa

de encontrar

uma

demonstração

tem pouco

a ver

com

o

procedimento

de

demonstração

que

æ

deseja conseguir. Na verdade, porém, os dois modos de proceder são estreitamente ligados.

Como

primeira

aproúmação,

podemos

dizer que a busca de uma demonstração

por

uma

técnica

como a

do

método de

tøbleøu só pode' ser

vista como uma

análise de configurações se essa técnica de demonstração satisfazer

aquilo

que se conhece como propriedade de subfórmula. Tal propriedade está presente caso, no processo de procura de uma demonstração, as fórmulas são quebradas em fórmulas cada vez mais simples.

Não

é

difícil

perceber

a

necessidade dessa condição para que possamos pensar na demonstração rezultante

em termos

de

uma fìgura

ou

configuração dadas: caso nos

fosse

permitido introduzir

qualquer

fóunula

complexa em

meio

à

demonstração,

não

haveria qualquer esperança

de

se

poder

iirterpretá-las

como

referentes à mesma figura

ou

confìguração.

O

uso de tais fórmulas complexas pode abreviar as demonstra-ções,

mas

ao

mesmo

tempo

pode também tornar

mais

diflcil

a

sua interpretação. Para perceber

que

esse não

é um ponto

ocioso, consideremos

a

situação lógica.

No

estudo

de

sistemas

do

tipo

Gentzen, freqüentemente se

consideram regras adicionais às listadas acima, e diferentes delas (ou regras derivadas daquelas). Um caso

tfpico

(e importante) é o da chamada regra do corte (ve-r Kleene, p. 331):

[->

CC

l-+

@

À,

I

+.4,

@

Omitindo

I,

À e

A

da

regra

do

corte

pode-se

obter

a

regra

de

modus

ponens

-+C

_C+@

-@

e æsim podemos considerar a regra do corte como umaespecie de

princípio

reforça.do de modus

ponens.t' (A

esta altura, mesmo

um

leitor

desatento terá notado que as regras 1r _{Sobre o tratamento orþinal} da fórmula do corte no cálculo seqüencial, ver Gentze n, _{Ç., !9Ja',} -Ùntersuchungen _{über-das. logische Sctrliessen", Mathematische Zeítschrift 39,pp_. I76-210_e} oo. 405-431: -pa¡a uma idéia ante¡ior sob¡e a eliminação do modus ponens, ver Herbra¡d, J., äñ¡ Warren D. õo|dfarb e J.

va

Heijenoort (orgs.), l97l:Logícal Writings. Dordrecht: D. Reidel Publishìng CompanY, PP. 40ss.

A Análise GeoméÛica Antiga e

A

Logica

Modema

4l

para

o

Cálculo Seqüencial do

tipo

Gentzen, dadas acima, não contêm qualquer forma de modus ponens.)

O

análogo

da

regra

do

corte

no

método" dos

tableatß

de Beth é obvio. Podemos formulá-lo como segue:

(xi)

se

x

aparece na coluna da esquerda e

I,

na coluna da direita de um tobleøu (ott de um subtableau), o tableau pode ser decomposto. Coloca-se uma nova fórmula C em uma coluna da direita,

e

também na coluna da esquerda nâ'o conjugada a ela'

A

partir

dessa

formulação

vê-se

que

o

uso

irrestrito da

regra

de corte

destrói,

qualquer

esperança de imaginar as demonstrações resultantes

como

relacionadas de

algum

modo

com

as confìgurações especificadas nas premissas originais

da

demons-tração (fórmulas superiores esquerdas,

no método

de

Beth).

De

fato,

a regra

introduz

uma

nova

fórmula C

(a

fórmula do corte) no

argumento. Como

não há

restrição à complexidade de

C

esta

fórmula

pode transcender toda e qualquer situação descrita

em (Jr, (Jz,

...,

de

todas

as maneiras possíveis.

A

menos que a regra

do corte

seja

eliminada,

não há

esperança de entender

um

argumento lógico à l¿ Befh como uma análise

(no

sentido comum

do termo)

de

uma

configuração

definida

de indivlduos. Obviamente, o mesmo vale para outras técnicas de demonstração.

Pois bem,

o

estudo de

uma

abordagem

do tipo

Gentzen

à

lógica mostra que os

métodos simples

e

transparentes

de

demonstração

que fomece

são caracterizados precisamente pela possibilidade de dispensar arcgÍa de corte e outtas variantes compa-ráveis de regras

do tipo

modus ponens. O que

torna

os métodos de dedução natural realmente naturais

é

que

eles preservam a propriedade da subfórmula

(lida

de baixo para cima,

no

caso das demonstrações de Gentzen). É isso o que confere simplicidade às demonstração

do

tipo

Gentzen (sem a regra

do corte),

e que proporciona comodi-dade heurística à busca de tais demonstrações. Em

virtude

da propriedade de

subfór-mula,

na

busca

de

demonstrações podemos sempre estudar

(com

certas restrições

que

serão

apontadas mais

tarde)

partes mais simples

da

situação

total

considerada nas premissas dadas e/ou na conclusão.

É

claro que o

mesmo se

aplica

para o método do

tubleau.

O

que dá interesse e

relevância

lógica

a

todos

esses métodos é essencialmente a mesma característica que

torna

possível encarar

a

busca das demonstrações resultantes

(como

são as análises geométricas

tradicionais,

ou

seja,

processos

de

busca) como

estudos ("análises")

de uma

dada configuração

ou

situação. Nossa tese

é

que isso representa uma parte importante da utilidade heurfstica do método tradicional de análise.

Também vale a pena

notar o modo

como a possibilidade de usar regras que violam a propriedade da subfórmula

ilustra

a diferença entre concepções distintas da análise. Quando tais regras são,

por

exemplo, incorporadas ao método do tableau,nadamuda em relação à direção de nosso procedimento, Portanto, o resultado é ainda um método

analítico (tanto

quanto era

antes da mudança),

num

sentido puramente direcional

de

análise

e

síntese. Apesar disso,

do

que dissemos antes se segue

que

o

resultado não pode ser sempre analítico, no sentido de análise de configurações.

42

Jaakn

Hintikka

e Unto Remes

O

fato óbvio de

que nenhum matemático reconheceria

o

método heurlstico

de

análiæ

num

procedimento que

nÍio

satisfaça

a

propriedade

de

subfórmula

e

que,

portanto, pode alterar

a

configuração

dos indivlduos em

exame, fornece

apoio

adicional

à

nossa ênfase

em

classificar

como

análises

de

configurações as variantes heuristicamente relevantes do método de análiæ.

10. O papel das construções

A

idéia da

análise

como

análise

de

configurações

ou

fìguras requer,

contudo,

uma restriçãci considerável.

Em

sua forma mais

resumida,

tal

restrição talvez possa ser expressa na afirmação de que a fìgura analisada na análise não é a

figura

de que trata

o

teorema a ser demonstrado, mas essa fìgura suplementada por construções auxiliares adequadøs. Por exemplo,

no

caso

citado

a respeito da

prática

de Pappus, tais constru' ções auxiliares são executadas no

início

da análise (ver a Seção 3).

A

necessidade de construções auxiliares era

um

fato

da vida bem conhecido pelos geômetras

da

antigüidade,

embora

as razões

mais profundas

para essa necessidade

não

fosem

inteiramente

compreendidas.r2

No

método

do

tableau'

o

papel

das construções auxiliares é desempenhado pela regra

(vii).

Em seus dois casos ela

introduz

um

novo indivlduo "escolhido

arbitrariamente"

na

confìguração

que

está sendo estudada.

Como

Beth

já

apontou,

essa regra.relaciona-se estreitamente com

o

antigo conceito de ecthesis, que é uma espécie de contrapartida

intuitiva

das regras de instan' ciação

da

lógica moderna.l3

Na

formrilação

de

Kleene

do

método de

Gentzen, o mesmo papel cabe às regras

-

V e

_{f +}

Podemos também situar a questão da seguinte manei¡a: a

fim

de que um argumento

lógico

posa

ser interpretável como a análise de uma configuração fixada, é necessário (mas

nao

suficiente) que

o

afgumento satisfaça a propriedade da subfórmula.

É

tam-bém

necessário

que

o

número

de

indivlduos,

considerados

junto

com

suas relações

com

cada

um

dos

outfos,

não cresça.

O

significado preciso é expresso pelo conceito de

grau

de

uma

sentença

(de primeira ordem) de

Hintikka.la

Em

termos

intuitivos

simples, são basicamente as diferentes regras

de

instanciação que

introduzem

novos

indivíduos (não

importa

que

"escolhidos

arbitrariamente") nos

argumentos lógicos, aumentando assim seu gtau.

Na geometria, a introdução de novos objetos geométricos numa construção auxiliar,

ou

kataskeue,

ocorria pelos

chamados postulados.

A

diferença

entre

postulados e

axiomas

é,

numa interpretação, exatamente

a

que esse emprego

ilustra:

a

aplicação de postulados

introduz

novos

indivíduos,

enquanto

a

aplicação de axiomas trabalha com os objetos geométricos

já

existentes.

Em

todo

caso, a dependência com respeito

12 _Sobre as observações referentes à necessidade de r'lqizqr construções auxiliares na g_eometria,

vet Proclus In. Pr. EucI. Comm. (ed. Friedlein), p. 78, linhas 12 ss, e Euclides: Suppl. Anaritti Comm., (ed. Curtze), pp. 88 e 106'

13 _{Cf. o artigodeBethemThePhilosophy of Mathematics,p,37,9} Be_th,_1970:-,4spectsof Modern Logic. Doñtecht: D. Reidel Publishing Company, p. 44; Hintikka, LLGI, p. 2L5.

A

Andlise Geométricø

Antiga

e

A

Logica

Moderru

43

a

construções auxilia¡es

não

nos

retira da estrutura

axiomática

da geometria.ls

As construções auxilia¡es são, na verdade,

pouco

mais

do

que as contrapartidas antigas da aplicação das regras de instanciação modernas.

Contudo,

essas construções são notáveis sob vários outros aspectos. Por exemplo, pode-se mostrar que,

no

que

diz

respeito à situação lógica geral, as construções auxi-lìares necessárias para demonstrar

um

teotema proposto não são em geral previsíveis

(no

sentido de que elas não podem ser encontradas efetivamente com base no número de Gödel

do

teorema proposto). Mesmo o número de indivíduos auxiliares necessários não é, em geral, previsível no mesmo sentido.l6

Deve-se

admitir

que

tais

construções auxiliares podem ser recutsivamente

previsf-veis

em

partes

suficientemente elementares

da

geometria.l?

No

entanto,

esse caso especial não

é

representativo

da

situação geral. Podemos observar,

como

ilustração,

que

uma

das

primeiras

curvas

que os

antigos

vieram

a

considerar

na

geometria

já

os

colocava

frente a frente com

dificuldades não-elementares.

A

função

periódica

do

seno,

implícita

no

conceito

da

quadratriz,

uma

curva

descoberta

pelo

sofìsta Hippias, não

é "elementar".r8

Sua incorporaçâ'o a

um

sistema matem¿ítico elementa¡

já

afeta a não-previsibilidade de instanciações, que discutimos.le

Intuitivamente,

em termos geométricos a situação é

tal

que não podemos em geral saber quando

já

levamos

a efeito

construções auxiliares suficientes

para

que uma análise seja bem sucedida. Usualmente, não podemos nos

restringir

a analisar a figura

original

envolvida

no

teorema

a

ser

demonstrado,

e não

podemos,

em

princípio,

estar seguros de já té-la desenvolvido suficientemente.

Heuristicamente, isso significa que a descoberta de construções auxiliares adequadas

é

uma peculiaridade crucial numa tentativa de análise. Outra vez, esse fenômeno não passa

de um

caso especial dos problemas

de

demonstração

efetiva

de teoremas na lógica de primeira ordem, em que a escolha da instanciação correta é freqüentemente

a consideração mais vital.2o

Ao

mesmo tempo, a necessidade de construções auxiliares, e sua imprevisibilidade, mostram

que

o

método analítico

não pode pretender ser um

infalível

procedimento

ls

As construções auxilia¡es também podem ser introduzidas ass

meio da demonstração

_-

um problema que sabemos te¡ sido

claramente constituí uma exceçã'o ao priñcípio da subfórmula evitar tal procedimento, usando postulados e axiomas.

ró Pois, se pudéssemos prever esse número, teríamos um processo de decisa-o.

17

_Cf.

_Tarski,

_A.:

_{"What is Elementary Geometry?", em} The Philosophy

of

Mathematics, pp. 165-175, reeditado a partir de The Axiomatic Method (ed. oor

L.

Henkin, P. Suppes e A. Ta¡ski). Amsterdã: North Holland Publishing Compqriy, 1959, pp. _{!6-29.'larnbén} remetemos o

leitor ao arligo de Tarski quanto ao sentido de "elementa¡" que pressupomos aqui. r8 Tannery, Paul,Mémoires Scientifiques II, p.

I,

para a quadratriz.

le

_Cf.

_Tarski,

_4.,

_{1951 :}

_A

_{Decision Method}

_for

_{Elementaty Algebrø and Geometry,} ægunda edição. Berkeley e Los Angeles: University of California Press, p. 45.

20

_{Cf. por}

_{exemplo Prawitz, Dag, "Advances and Problems}

_in

_{Mechanical Proof} Procedures", Machine Intelligence 4, pp.59-71.

44

Ja¿ko

Hintikka

e Unto Remes

geral

de

descoberta,

não

obstante

a

pretensão

de

Descartes de

uMlo

como

tal.r

Mesmo

na

geometria elementar,

a

idéia de

proceder analiticamente

não

pode, por

si

só,

constituir

um

método cornpleto

de descoberta, necessitando

do

apoio

de um

método para

determinar

o-que

Iæibniz chamou

de "as

melhores construSes".22 (Yer Nouveaux Essøis,

Livro

IV,

Capltulo

3,

g 6 e

Capftulo

17, $ 3.)

A

análise lógica pode, nessa direção,

iluminar

a situação heurística de modo particularmente penetrante.

I

1. A

ordem reløtiva das diferentes regra,s

Os antigos geômetras tinham perfeita consciência da importáncia do papel das constru-ções nas demonstrações geométricas. Sua terminologia é prova suficiente dessa apre-ciação: freqüentemente, referiam-æ às demonstrações

como

"construções"

ou

"figu-ræ"

(ôui7pc

ppa), e

ao processo de

prova como

"traçado"

(lpupeu).23 Na

divisäo

tradicional

de

uma proposição

euclidiana

em

diversas partes,

a

construção auxiliar

ou

kataskeue (xæraoceutù

tinha

um lugar

próprio,

precedente e separado da demons-traçã'o propriamente

ditzouapoderxrb

(eròôe{ls),

durante a qual não se

introduziam

novos indivfduos na figura.2a

A

possibilidade

de

æparar desæ

modo

as etapas de instanciação de outras etapas

numa

demonstração lógica

não

é tão trivial. Em

princípio, o

geômetra poderia

mis-turar

aplicações de postulados e de axiomas. O-fato de que instanciações (construções)

podem

ser reunidas de maneira

a

preceder a apodeixis

é, na

verdade, resultado da possibilidade de

permutar

as aplicações de diferentes

tipos

de regras

num

argumento

lógico.

(No

cæo

geométrico, as premissas e a conclusão podem ser entendidas como estando

na

chamada

forma prenex.)

Os lógicos sabem que tais resrftados sobre per-mutações

constituem uma

das pedras angulares da modema teoria da demonstração.

sendo

usados

para

estabelecer

muitos

resultados

metodológicos

não-triviais nessa

teoria.25

A

separação

euclidiana entre as

construções

auúliares

e

a

demonstraçãc

propriamente

dita

é uma

especie

de

antecipação

modesta

de um

caso especial de tais resultados sobre permutações.

A

mesma separação

entre

construções (sfnteses,

em

sentido

estrito)

e øpodeixis

era praticada

na parte da

slntese

do

método

duplo

de

análise

e

síntese.

De

fato, slntese

(no

sentido estrito)

e apodeixis eram (nessa

ordem)

as partes principai-s da slntese (no æntido amplo). (Ver nosso exemplo, na Seção 2.) I

Isso levou os antigos analistas a um problema que eles nunca dominaram em termos

lôgicos

abstratos, embora isso não prejudicasæ seu sucesso

na prática analftica.

De

fato,

a ordem

relativa dos pæsos de construção e de dedução na an¿ílise dificilmente

poderia ser a

mesma

da

sfutese, nem mesmo sua imagem especular. Pappus afirma

2r _{Yet Lo Géoménie,9.299 do original.}

22 _{Yet Pztwilz, Dag, op. cít.} 23 _{cf. Hintíkka-Remes, capítulo}

_vII.

24 cr.

LLçI,capítulo

IX.

A

AnåIise Geométrica

Antiga

e

A

Lôgica

Moderna

45

explicitamente

que,

na

síntese, procedemos

conforme

os mesmos passos da análise, mas na ordem inversa. Isso simplesmente não pode se¡ verdadeiro a respeito da ordem relativa dos pæsos de construção e de dedução: não podemos tomar

"aquilo

que antes

eram

antecedentes"

como

"conseqüentes"

na

ordem "inversa"

(cf.

Seção

2).

Se a

ordem

da análise fosse, a esse respeito, oposta à ordem da síntese, todas as constru-ções auxiliares da análise deveriam ser executadas após os procedimentos

não-constru-tivos.

contudo,

já foi

apontado que a análise não pode geralmente ter sucesso, a menos que se tenham executado construções auxiliares suhcientes,

ou

seja, antes ou durante a an¿ílise.

Portanto,

ao se reformular uma análise na forma de um argumento sintético

comum (dedutivo), a

ordem

¡elativa dos

diferentes

tipos de

passos

não

deveria ser simplesmente invertida, mas

teria

que mudar também de alguma outra maneira, como se

pode

perceber

no

exemplo da Seção

3. (Lá,

a construção da tangente em

1

foi

o

primeiro

passo

da

aniílise, mas

de

maneira alguma se conve¡teu

no último

passo da síntese. Pelo

contrá¡io,

foi

um

dos primeiros passos da primeira metade da síntese.)

A

sutileza lógica dos princípios _{que regem tais permutações estavam além do horizonte}

dos

antigos geômetræ enquanto problema

lógico

geral,

não

obstante quão bem sucedidos (e rigorosos) eles fossem na prática.

Além do

mais, mudanças de ordem na aplicação de diferentes

tipos

de princípios eram, às vezes, necessá¡ias também para outros fìns. Se a aniilise procedia "para baixo',,

isto é,

se ela consistia

(inter

alia) em

tirar

conclusões lógicas a

partir

das premissas,

então

algumas das construções auxiliares executadas

na

análise

também

poderiam depender da conclusão desejada. Para

justificar

esse procedimento,

o

geômetra tinha,

portanto, que

demonstrar a independência das construções auxilia¡es

da

análise em relação

â

conclusão desejada. Freqüentemente isso implicava também um embaralha-mento adicional dos diferentes tipos de passos do argumento.26

A

incerteza

e

hesítação consideráveis

que

pareciam prevalecer

entre os

antigos geômetras

a

respeito

da

natureza precisa dajustihcação da análise

têm,

então, uma razão sistemática sólida, na sutileza e dificuldade das regras de permutação da moderna teoria da demonstração.

12.

A

"resolução"

uma

análise

contém

ainda

outra

parte, chamada convencionalmente de ,.resolução,',

como mostrado

pelo

nosso

exemplo

na

Seção

3.

Sua interpretação

não

é

æsunto simples, mas é possível compreender sua função

principal

a

partir do

contraste entre os passos

de

construção

e

os

passos

de

dedução.2? Essa "resolução" mostra, tipica-mente, que os passos do

primeiro

tipo

podem ser executados em termos dos

elemen-tos

dados. Em linguagem algébrica, poderíamos dizer que a "resolução', mostra que os valores das incógnitas são determinados como funções das variáveis conhecidas.

Esse aspecto é amplamente ilustrado pelo exemplo

_{a

Seção 3.

A

"resolução', tem o papel de estabelecer que as retas desejadas

DB

e

BE

são "dadas".

A

forçadesse termo

26 Sobre uma tal possível dependência, ve¡ Hintikka-Remes, Capítulo

III.

27 _{cf. capítulo}

_vI

_{de Hitikka-Remes.}