aula 2

Aerodinâmica I

Equações de Governo na Forma Diferencial

Karl Peter Burr

1

Descrição Euleriana

Na mecânica de Fluidos utilizamos a descrição Euleriana para o escoamente de um fluido, onde as quantidades do escoamento são definidas como funções da posição ~x e do tempo t. Podemos pensar a descrição euleriana como sendo uma fotografia da distribuição do campo de velocidades (e de outras quantidades como a pressão e massa específica) do escoamento a cada instante durante o escoamento.

Não precisamos acompanhar a posição e velocidade de uma massa de partículas de fluido com identidade fixa. Em vez disso, definimos as variáveis de campo, funções do espaço e do tempo. Podemos ter variáveis de campo escalares, como por exemplo, a pressão, a temperatura, a densidade, e variáveis de campo vetoriais, como por exemplo: o campo de velocidades, o campo de acelerações e forças de campo.

2

Equações da Dinâmicas de Fluidos na forma

Diferen-cial

Aqui vamos rever as equações da dinâmica de fluidos na forma diferencial bem como as condições de contorno necessárias para que estes sistema de equações seja bem posto e possa ser resolvido analiticamente ou numericamente.

2.1

Equação de conservação de Massa na forma Diferencial

A equação de conservação de massa na forma diferencial é dada por: ∂ρ

∂t + ~∇ · (ρ~V ) = 0 (1)

onde ρ é a densidade do fluido e ~V é o campo de velocidades do escoamento. Esta equação é frequentemente chamada de equação da continuidade. As hipóteses por trás dessa equação

• não leva em conta nenhuma fonte ou sumidouro dentro do elemento.

Em termos de coordenadas cartesianas (x, y, z) a equação de conservação de massa diferencial assume a forma:

∂ρ ∂t + ∂ ∂x(ρu) + ∂ ∂y(ρv) + ∂ ∂z(ρw) = 0, (2)

Em termos de coordenadas cilindricas (r, θ, z) a equação de conservação de massa na forma diferencial assume a forma:

∂ρ ∂t + 1 r ∂ ∂r(rρVr) + 1 r ∂ ∂θ(ρVθ) + ∂ ∂z(ρVz) = 0. (3)

2.1.1 Escoamento em regime Permanente

Se o escoamento é permanente, ∂ρ/∂t = 0, e todas as propriedades do escoamento são função apenas da posição. A equação (1) se reduz a:

~ ∇ · (ρ~V ) = 0 (4) • coordenadas cartesianas. ∂ ∂x(ρu) + ∂ ∂y(ρv) + ∂ ∂z(ρw) = 0, (5) • coordenadas cilindricas. 1 r ∂ ∂r(rρVr) + 1 r ∂ ∂θ(ρVθ) + ∂ ∂z(ρVz) = 0 (6) 2.1.2 Escoamento Incompressível

Um caso especial que propicia uma grande simplificação é o de escoamento incompressível, no qual as variações de massa específica são desprezíveis. Nesse caso,

• ∂ρ/∂t ≈ 0, independentemente de o escoamento ser permanente ou não,

• e a massa específica pode ser retirada da operação do divergente na equação (1) e cancelada.

O resultado é:

~

∇ · ~V = 0 (7)

• Cartesianas: ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0, (8) • Cilindricas: 1 r ∂ ∂r(rVr) + 1 r ∂ ∂θ(Vθ) + ∂ ∂z(Vz) = 0 (9)

2.2

Equação Diferencial para a Quantidade de Movimento Linear

A taxa de variação no tempo da quantidade de movimento linear de um elemento infinites-imal de fluido é igual as forças externas aplicadas sobre esse elemento infinitesinfinites-imal. Essas forças são forças de campo e forças que atuam sobre a superfície do elemento infinitesimal de fluido. Vamos considerar como força de campo a ação do campo gravitacional e para as forças atuantes na superfície do elemento infinitesimal temos:

• tensões viscosas; • pressão hidrostática.

A forma diferencial para a quantidade de movimento linear é dada por:

ρd~V

dt = ρ~g − ~∇p + ∂τij

∂xi

(10) Podemos exprimir a equação (10) em palavras:

massa específica × aceleração

= Força de gravidade por unidade de volume + força de pressão por unidade de volume + força viscosa por unidade de volume

A equação da quantidade de movimento linear na forma vetorial é breve e compacta, de modo que sua complexidade não é aparente. Vamos escreve-la em termos de suas componentes em relação a um sistema de cartesiano:

ρ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z  =ρgx− ∂p ∂x + ∂τxx ∂x + ∂τyx ∂y + ∂τzx ∂z = ρ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z  =ρgy − ∂p ∂y + ∂τyx ∂x + ∂τyy ∂y + ∂τzy ∂z (11) ρ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z  =ρgz− ∂p ∂z + ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂y + ∂τzz ∂z

Essa é a equação diferencial da quantidade de movimento em toda sua glória, válida para um escoamento qualquer. Essa equação é não-linear, o que dificulta enormemente a sua solução, e a não-linearidade aparece nos termos de aceleração convectiva no lado direito das equações acima.

2.2.1 Escoamento não-viscoso: Equação de Euler

A equação (10) não estará pronta para ser aplicada enquanto não relacionarmos as tensões viscosas aos componentes de velocidade. A hipótese mais simples é a de escoamento sem atrito, τij = 0, com a qual a equação (10) se reduz a:

ρd~V

dt = ρ~g − ~∇p (12)

Essa é a equação de Euler.

2.2.2 Fluido Newtoniano: Equações de Navier-Stokes

Para um fluido Newtoniano, as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação e ao coeficiente de viscosidade. Para escoamento incompressível e viscoso tridimensional temos que: τij = µ  ∂Vi ∂xj + ∂Vj ∂xi  (13) onde µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica. Substituindo as equação (13) nas equações (11), obtemos a equação diferencial da quantidade de movimento linear para um fluido Newtoniano com massa específica e viscosidade constantes

ρdu dt = ρgx− ∂p ∂x + µ  ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 + ∂2_u ∂z2  ρdv dt = ρgy − ∂p ∂y + µ  ∂2_v ∂x2 + ∂2_v ∂y2 + ∂2_v ∂z2  (14) ρdw dt = ρgz− ∂p ∂z + µ  ∂2_w ∂x2 + ∂2w ∂y2 + ∂2w ∂z2 

Essas são as equações de Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a C. L. M. H. Navier (1785-1836) e Sir George G. Stokes (1819-1903), a quem se atribui o crédito por tê-las deduzido. Trata-se de equações diferenciais parciais não-lineares de segunda ordem, bastante complicadas.

O conjunto de equações (14) tem quatro incógnitas: p, u, v e w. Elas devem ser combi-nadas com a equação de continuidade incompressível (7) para formar um sistema de quatro equações nessas quatro incógnitas.

2.3

A Equação Diferencial da Energia

A equação diferencial para a energia na forma mais geral é dada por:

ρde

dt + ~V · ~∇p = ~∇ · ~q + ~∇ · ([τ ]{V }) (15)

onde e = ˆu + V2_{/2 + gz.}

2.3.1 Função de Dissipação Viscosa e Equação da Energia para fluido Newto-niano.

Uma forma mais útil é obtida se desenvolvermos o termo de trabalho viscoso

~

∇ · ([τ ]{V }) = ~V · ∂τij ∂xj

+ Φ (16)

onde Φ representa a função de dissipação viscosa. Para um fluido incompressível Newtoni-ano, essa função tem a forma:

Φ =µ " 2 ∂u ∂x 2 + 2 ∂v ∂y 2 + 2 ∂w ∂z 2 + ∂v ∂x + ∂u ∂y 2 + ∂w ∂y + ∂v ∂z 2 + ∂u ∂z + ∂w ∂x 2# (17)

• Como todos os termos são quadráticos, a dissipação viscosa é sempre positiva, de modo que um escoamento viscoso sempre tende a perder energia devido a dissipação. • Utilizando a equação do momento linear, podemos eliminar o termo ∂τij/∂xj. Isso

fará energias cinética e potencial serem canceladas, resultando em uma forma mais costumeira de equação diferencial geral da energia:

ρdˆu

dt + p( ~∇ · ~V ) = ~∇ · ~q + Φ (18)

Essa equação é válida para um fluido Newtoniano em condições bastante gerais: – escoamento permanente ou não,

– compressível ou não, – viscoso,

• Introduzindo a Lei de Fourier para condução de calor

~

q = k ~∇T

podemos reescrever a equação diferencial da energia, equação (18), na forma

ρdˆu

dt + p( ~∇ · ~V ) = ~∇ · (k ~∇T ) + Φ (19)

2.4

Condições de Contorno para as Equações Básicas

Existem três equações diferenciais básicas da mecânica dos fluidos. Vamos resumi-las: • continuidade (conservação de massa):

∂ρ ∂t + ~∇ · (ρ~V ) = 0 (20) • Quantidade de movimento: ρ~g − ~∇p + ∂ ∂xj  µ ∂Vj ∂xi + ∂Vi ∂xj  = ρd~V dt (21) • Energia: ρdˆu dt + p( ~∇ · ~V ) = ~∇ · (k ~∇T ) + Φ (22)

onde Φ é dado pela equação (17).

• Em geral a massa específica é variável.

• De modo que essas cinco equações contem sete incognitas, ρ, ~V , p, ˆu e T .

• Logo precisamos de duas relações adicionais para completer o sistema de equações, que são fornecidas de dados ou expressões algébricas para as relações de estado das propriedades termodinâmicas

• É possível mostrar que o sistema de equações acima é bem-posto e pode ser resolvido analiticamente ou numericamente, submetido a condições de contorno apropriadas. • Quais são as condições de contorno apropriadas?

• Se o escoamento é não permanente, necessitamos de uma condição inicial conhecida para cada variável. Então em t = 0:

ρ =f1(x, y, z) ~ V = ~f2(x, y, z) p =f3(x, y, z) ˆ u =f4(x, y, z) T =f5(x, y, z)

• Depois disso, para todos os instantes t a serem analisados, devemos conhecer algo sobre as variáveis em cada fronteira que delimita o escoamento.

• A figura abaixo ilustra os três tipos mais comuns de fronteiras encontradas em análise de escoamento de fluidos:

– uma parede sólida, – uma entrada ou saida,

• Parede sólida e impermeável, não há escorregamento e nem salto de temperatura em um fluido viscoso e condutivo.

~

Vf luido =~Vparede

2.4.1 Escoamento Incompressível com Propriedades Constantes

Escoamentos com ρ, µ e k constantes representam uma simplificação básica. As equações básicas do movimento reduzem-se a:

• continuidade (conservação de massa):

~ ∇ · ~V = 0 • Quantidade de movimento: ρd~V dt = ρ~g − ~∇p + µ∇ 2_~ V • Energia: ρcv dT dt = k∇ 2_{T + Φ}

Sendo ρ constante, haverá apenas três incognitas: p, ~V e T . O sistema é fechado (número de incognitas é igual ao número de equações). Além disso, o sistema fica desacoplado em duas partes: a continuidade e a quantidade de movimento ficam independentes da energia. Podemos resolver as duas primeiras equações acima para determinar a pressão e a velocidade, usando condições de contorno do tipo:

• Superfície sólida: ~ V = ~Vparede • Entrada ou saída: ~ V , p conhecidas

2.4.2 Aproximação de Escoamento Não-viscoso Vamos admitir a hipótese de que a viscosidade é nula, µ = 0.

• A equação da quantidade de movimento linear se reduz a:

ρd~V

dt = ρ~g − ~∇p que é a equação de Euler.

• A única condição de contorno que deve sair é a condição de não-escorregamento na parede. Deixamos o escoamento deslizar sobre a parede, mas não permitimos que ele penetre na parede.

• A condição de contorno não viscosa adequada é que a velocidade normal a parede deve ser igual a da parede:

(~V · ~n)f luido = (~V · ~n)parede

No caso de a parede ser fixa, a condição de contorno adequada é:

~

3

Circulação

Vamos introduzir uma ferramenta essencial para o calculo da força de sustentação, a cir-culação. O nosso proposito aqui é somente definir a circulação e relacioná-la a vorticidade. Considere um contorno fechado, como ilustrado na figura abaixo.

V

C

dl

Seja ~V e ~dl a velocidade e o diferencial de segmento de arco, respectivamente, em um ponto do contorno C. A circulação Γ é definida como:

Γ = − Z

C

~

V · ~dl (23)

A circulação é simplesmente a negativa da integral de linha da velocidade sobre uma curva fechada no escoamento; ela é uma propriedade cinemática que depende somente do campo de velocidades e da escolha da curva fechada C.

Circulação tambem está relacionada à vorticidade. Considere a curva C da figura acima que limita uma superfície S, e assume que a superfície S esteja em um campo de velocidades

~

V . Do teorema de Stokes temos que:

Γ = − Z C ~ V · ~dl = − Z Z S ( ~∇ × ~V ) · ~dS

onde ~∇ × ~V representa o campo de vorticidades associado ao campo de velocidades ~V . Logo, a circulação ao longo do contorno C é igual a vorticidades integrada sobre qualquer superfície aberta limitada pela curva C. Como consequencia, se o escoamento for irrota-cional em qualquer ponto dentro do contorno de integração, temos que Γ = 0.

Exemplo: considere o campo de velocidades dado por u = y/(x2+ y2) e v = −x/(x2+ y2). Calcule a circulação sobre um circulo de raio 5m. Assumir que u e v são dados em metros por segundo.

Solução:

Vamos trabalhar em coordenadas polares onde x = r cos θ e y = r sin θ, o contorno de integração é x2_{+ y}2 _{= r}2_{, e o campo de velocidade em coordenadas polares é dado por:}

Vr=u cos θ + v sin θ = sin θ cos θ r − cos θ sin θ r = 0 Vθ = − u sin θ + v cos θ = − sin2θ r − cos2_θ r = − 1 r Como Γ = − Z C ~ V · ~dl

necessitamos escrever ~ds, que é o versor tangente ao circulo C, com orientação no sentido anti-horário. Então

~

dl = rdθ~eθ.

Agora podemos escrever

~

V · ~dl = (Vr~er+ Vθ~eθ) · (rdθ~eθ)

= Vθrdθ = dθ

Substituindo-se esse resultado no integral para a circulação, obtemos

Γ = − Z 2π

0

4

A Função Corrente

.

• Quando a temperatura é desacoplada (equação da energia) do nosso sistema de equações do movimento, podemos resolver simultaneamente as equações de con-tinuidade da quantidade de movimento simultaneamente para a pressão e velocidade. • A função corrente ψ permite eliminar a equação da continuidade e resolver a equação da quantidade de movimento linear diretamente para a única variável ψ, em es-coamentos onde a equação da continuidade se reduz a dois termos (por exemplo, bidimensionais ou axi-simétricos).

• Vamos considerar escoamento permanente, incompressível e bidimensional em coor-denadas cartesianas. A equação da continuidade assume a forma:

∂u ∂x +

∂v ∂y = 0

• Essa equação é satisfeita identicamente se uma função ψ(x, y) for definida tal que a equação acima se torne:

∂ ∂x  ∂ψ ∂y  + ∂ ∂y  −∂ψ ∂x  = 0

• Comparando as duas equações acima, vemos que essa nova função ψ deve ser definida tal que: u =∂ψ ∂y v = −∂ψ ∂x ou ~ V = ∂ψ ∂y~i − ∂ψ ∂x~j (24)

• Se tomarmos o rotacional da equação de quantidade de movimento linear:

~

∇ ∧nρ(~V · ~∇)~V − ρ~g + ~∇p − µ∇2_V~o_{= 0}

∂ψ ∂y ∂ ∂x(∇ 2 ψ) −∂ψ ∂x ∂ ∂y(∇ 2 ψ) = ν∇2(∇2ψ)

onde ν = µ/ρ é a viscosidade cinemática. A equação acima é uma equação de quarta ordem. Serão necessárias quatro condições de contorno sobre ψ.

• Por exemplo, para escoamento de uma corrente uniforme na direção x sobre um corpo sólido, as quatro condições de contorno seriam:

– No infinito: ∂ψ ∂y = U∞ ∂ψ ∂x = 0 – Sobre o corpo: ∂ψ ∂y = ∂ψ ∂x = 0

• Escoamento irrotacional no plano xy de fluido não viscoso. Nesse caso a componente da vorticidade ωz = 0, o que implica que:

∇2_{ψ =} ∂ 2_ψ

∂x2 +

∂2ψ ∂y2 = 0

que é conhecida como equação de Laplace. Para o caso de uma corrente uniforme na direção de x sobre um corpo sólido, a equação de contorno é:

– No infinito:

ψ = U∞y + constante

– Na superfície do corpo:

4.1

Interpretação Geométrica de ψ

• Linhas com ψ constante são linhas de corrente do escoamento. Pela definição de uma linha de corrente em um escoamento bidimensional, temos que:

dx u = dy v ou udy − vdx = 0

sobre uma linha de corrente. A partir da equação (24), temos que:

∂ψ ∂xdx +

∂ψ

∂ydy = 0 = dψ

Logo, a variação de ψ é nula ao longo de uma linha de corrente, ou seja:

ψ = constante ao longo da linha de corrente (25)

Encontrada uma certa solução ψ(x, y), podemos plotar linhas com ψ constante para obter as linhas de corrente do escoamento.

• Exemplo: escoamento irrotacional não viscoso ao redor de um cilindro bidimensional. O contorno do cilindro é uma linha de corrente, e a função de corrente assume valor constante.

• Existe outra interpretação física que relaciona ψ à vazão volumétrica. De acordo com a figura abaixo, podemos calcular a vazão volumétrica dQ através de um elemento ds da superfície de controle de profundidade unitária.

dQ = (~V · ~n)dA = ∂ψ ∂y~i − ∂ψ ∂x~j  · dy ds~i − dx ds~j  ds = ∂ψ ∂xdx + ∂ψ ∂ydy = dψ

Logo, a variação de ψ ao longo do elemento é numericamente igual à vazão volumétrica através do elemento. A vazão volumétrica entre dois pontos quaisquer do campo de escoamento é igual à variação da função corrente entre tais pontos:

5

Equação de Bernoulli

Quando o escoamento é tanto sem atrito, temos que a equação da quantidade de movimento se reduz a equação de Euler:

ρd~V

dt = ρg − ~∇p

Nesse contexto, a Equação de Euler pode ser parcialmente integrada levando a equação de Bernoulli, que será deduzida a seguir:

• Uma grande simplificação ocorre no termo de aceleração. A aceleração tem dois termos

d~V dt =

∂ ~V

∂t + (~V · ~∇)~V e fazendo uso da identidade

(~V · ~∇)~V = ~∇(1 2 ~

V · ~V ) + ~ζ ∧ ~V

onde ~ζ = ~∇ ∧ ~V é a vorticidade do escoamento.

• Podemos reescrever a equação de Euler utilizando a identidade acima e explicitando a derivada material. Obtemos:

∂ ~V ∂t + ~∇( 1 2 ~ V · ~V ) + ~ζ ∧ ~V + 1 ρ ~ ∇p − g = 0

• Em seguida vamos multiplicar escalarmente essa equação por um vetor deslocamento d~r arbitrário: " ∂ ~V ∂t + ~∇( 1 2 ~ V · ~V ) + ~ζ ∧ ~V + 1 ρ ~ ∇p − ~g # · d~r = 0 (26)

• Vamos eliminar o termo (~ζ ∧ ~V ) · d~r. Isso será possível em diversas condições: 1. ~V é zero, caso trivial, sem escoamento (hidrostática);

2. ~ζ é zero e temos escoamento irrotacional;

4. d~r é paralelo a ~V , e integramos ao longo de uma linha de corrente.

• A condição 4 é a hipótese usual. Se integrarmos ao longo de uma linha de corrente do escoamento compressível, sem atrito, e tomamos por conveniencia ~g = −g~k, a equação acima se reduz a:

∂ ~V ∂t · d~r + d  1 2V · ~~ V  + d ~ ∇p ρ + gdz = 0

• Excetuando-se o primeiro termo, os demais são diferenciais exatos. Integre entre dois pontos 1 e 2 da linha de corrente:

Z 2 1 ∂ ~V ∂tds + 1 2 V 2 2 − V 2 1
+ Z 2 1 dp ρ + g(z2− z1) = 0

onde ds é o comprimento elementar de arco ao longo da linha de corrente. Essa equação é a equação de Bernoulli para escoamento sem atrito, não-permanente, ao longo de uma linha de corrente.

• Para escoamento permanente incompressível, ela se reduz a:

p ρ +

1 2V

2_{+ gz = constante ao longo da linha de corrente}

A constante pode variar de linha de corrente para linha de corrente, a menos que o escoamento seja tambem irrotacional.

• Para escoamento irrotacional, ~ζ = 0, e não há a necessidade de que a integração seja ao longo de uma linha de corrente para eliminarmos o termo (~ζ ∧ ~V ) · d~r. Desse modo desaparece a dependencia em relação a direção de d~r, e portanto a equação de Bernoulli acima irá valer em todo o escoamento com o mesmo valor constante.

6

Potencial de Velocidades

A irrotacionalidade do escoamento implica que a vorticidade seja nula, ou que o rotacional do campo de velocidades seja nulo:

~

∇ ∧ ~V = 0

Considere agora a seguinte identidade vetorial

~

∇ ∧ ( ~∇φ) = 0

onde φ é uma função escalar. Comparando-se as duas identidades vetoriais acima con-cluimos que podemos escrever o campo de velocidades como o gradiente de uma função escalar φ(t, x, y, z), que é chamada de função potencial de velocidades. Note que a irrota-cionalidade do escoamento implica automaticamente em escoamento potencial.

• O conhecimento de φ fornece imediatamente os componentes de velocidade:

u = ∂φ ∂x v = ∂φ ∂y w = ∂φ ∂z

• Linhas de φ constante são chamadas de linhas equipotenciais do escoamento.

• Observe que, diferentemente da função corrente, φ é uma função inteiramente tridi-mensional, não se limitando a duas coordenadas. Ela reduz um problema de veloci-dade com três incognitas u, v e w a uma única incognita potencial φ.

• O potencial de velocidades tambem simplifica a equação de Bernoulli não-permanente, por que se φ existe, então:

∂ ~V ∂t · d~r = ∂ ∂t( ~∇φ) · d~r = d  ∂φ ∂t 

de modo que a equação de Bernoulli para escoamento compressível, irrotacional e não-permanente torna-se uma relação entre φ e p:

∂φ ∂t + Z dp ρ + 1 2|∇φ| 2 + gz = constante

6.1

Ortogonalidade das Linha de Corrente e das Linhas

Equipo-tenciais

Se um escoamento é irrotacional e também é descrito por apenas duas coordenadas, ambas funções de ψ e φ existem, e as linhas de corrente e equipotenciais são mutuamente ortogonais em todos os locais, exceto em um ponto de estagnação (velocidade nula nesse ponto).

• Por exemplo, para escoamento incompressível no plano xy, teriamos:

u = ∂ψ ∂y = ∂φ ∂x v = −∂ψ ∂x = ∂φ ∂y

• Para uma linha de φ constante:

dφ = ∂φ ∂xdx +

∂φ

∂ydy = 0 = udx + vdy que implica que

 dy dx  φ=const = −u v • Para linha de ψ constante:

dψ = ∂ψ ∂xdx +

∂ψ

∂ydy = 0 = vdx − udy que implica que

 dy dx  ψ=const = v u

• Comparando as relações acima chegamos a:

 dy

6.2

Escoamento com Função Potencial de Velocidades

• Equações de Governo: – conservação de massa:

~

∇ · ~V = 0 ⇒ ∇2φ = 0

– Quantidade de movimento linear. Pode ser integrada, dando lugar a equação de Bernoulli: ∂φ ∂t + Z _dp ρ + 1 2|∇φ| 2_{+ gz = constante} • Condições de contorno: – Parede sólida: (~V · ~n)f luido= (~V · ~n)parede – Entrada ou saída: ~ V , conhecida

6.3

Potenciais Básicos

Aqui veremos potenciais básicos cuja superposição será utilizada para obtermos o potencial do escoamento ao redor de corpos complexos. Ficaremos restritos a situações bidimension-ais. Os potenciais básicos são:

• corrente uniforme; • fonte ou sorvedouro; • vórtice pontual; • dipolo.

6.3.1 Corrente Uniforme

Considere uma corrente uniforme com velocidade U orientada na direção positiva do eixo x, como ilustrado abaixo:

Curva C

h

l

U

ψ = constante

φ =

constante

r

θ

x

y

Figura 2: Corrente Uniforme

É facil verificar que esse escoamento é incompressível (satisfaz ~∇ · ~V = 0) e irrotacional (staisfaz ~∇ ∧ ~V = 0). Então o potencial de velocidades para uma corrente uniforme é solução de:

∂φ

∂x = u = U ∂φ

∂y = v = 0

φ = constante + g(x)

onde g(x) é função somente de x. Comparando as duas soluções para φ acima, concluimos que g(x) = U x e f (y) = constante. Logo,

φ(x, y) = U x + constante

Como em aerodinâmica o valor da função potencial não é de interesse, podemos tomar o valor da constante como zero, de modo que:

φ(x, y) = U x

O potencial acima não depende da hipótese de incompressíbilidade, e ele se aplica a corrente uniformes para escoamento compressível ou não.

Caso o escoamento seja incompressível, temos tambem uma função de corrente ψ(x, y), que satisfaz as equações:

∂ψ

∂y = u = U ∂ψ

∂x = −v = 0

Integrando essas equações de modo análogo ao que foi feito para o potencial de veloci-dades φ, obtemos que:

ψ(x, y) = U y

que é a função de corrente para uma corrente uniforme orientada na direção do eixo x. Em termos de coordenadas polares, onde x = r cos θ e y = r sin θ, como mostrado na figura acima, temos que:

φ =U r cos θ ψ =U r sin θ

Circulação em um contorno fechado C ilustrado acima:

Γ = − Z C ~ V · ~dl = −(−U l − 0(h) + U l + 0(h)) = 0

Esse resultado é consistente com o fato de que ~∇ ∧ ~V = 0. Note que este potencial de velocidades satisfaz a equação de Laplace.

6.3.2 Fonte ou Sorvedouro

Considere um escoamento bidimensional incompressível onde todas as linhas de corrente são retas com origem em um ponto central, O, como ilustrado abaixo. O vetor velocidade varia somente na direção das linhas de corrente. Podemos distinguir esse escoamento em dois casos. Quando as linhas de corrente emanam do ponto central O, ou seja, o vetor velocidade aponta para longe do ponto O, temos o escoamento gerado por uma fonte. O caso oposto é o escoamento gerado por um sorvedouro. Vamos utilizar coordenadas polares (r, θ) para descrever este escoamento, e campo de velocidades com componentes Vr e Vθ = 0.

ψ = constante constante φ = θ r Vr O O θ r r V Fonte Sorvedouro discreto discreta A) B)

Figura 3: A) fonte e B) sorvedouro

Considere ˙m o fluxo de massa através de um circulo C de raio r centrado em O devido a existencia de uma fonte em O. Então

˙ m = Z C ρ~V · ~ndS = Z 2π 0 ρVr(rdθ) = 2πρrVr de modo que Vr = ˙ m ρ 1 2πr = Q 2πr

onde Q = ˙m/ρ é a vazão volumétrica por unidade de comprimento devido à fonte no interior do circulo C. Em termo de coordenadas polares, o campo de velocidades em termos do potencial de velocidades φ é dado por:

Integrando a primeira equação acima obtemos

φ = Q

2πln r + f (θ)

e integrando a segunda equação acima obtemos

φ = g(r) + constante

Comparando ambos resultados concluimos que

φ(r, θ) = Q 2πln r,

que é o potencial de velocidades para uma fonte bidimensional se Q > 0, ou o potencial para um sorvedouro bidimensional se Q < 0.

É facil verificar que o campo de velocidades de uma fonte é um escoamento incom-pressível (satisfaz ~∇ · ~V = 0) a não ser no ponto onde a fonte ou sorvedouro está localizado. Então, podemos definir uma função corrente para esse escoamento, que deve satisfazer as equações: 1 r ∂ψ ∂θ = Vr = Q 2πr −∂ψ ∂r = Vθ = 0

Integrando ambas as equações chegamos a:

ψ = Q

2πθ

Note que para valor de θ constante, a função de corrente é constante, como esperado. As linhas radiais são linhas de corrente desse escoamento.

A circulação ao longo de um contorno fechado qualquer nesse escoamento é nula. Isso pode ser constatado facilmente avaliando-se o rotacional do campo de velocidades do es-coamento. Note que ~∇ ∧ ~V = 0 em qualquer ponto do escoamento, resultado que implica em circulação nula para qualquer contorno fechado contido nesse escoamento. É facil notar que a função potencial para esse escoamento satisfaz a equação de Laplace ∇2_{φ = 0.}

6.3.3 Dipolo

Uma combinação particular de fonte e sorvedouro leva a uma solução da equação de Laplace, ou singularidade, chamada de dipolo.

Considere uma fonte de intensidade Q e um sorvedouro de mesma intensidade (sinal contário) separados por uma distancia l, como ilustrado na figura abaixo.

l P Fonte Q Sorvedouro −Q θ ∆ θ θ 1 2 dθ r b a θ Q −Q l P l 0 lQ = constante

Figura 4: A) fonte e sorvedouro de mesma intensidade e B) Processo limite, onde l → 0, mas com lQ = constante.

Em qualquer ponto P do escoamento, a função de corrente é dada por:

ψ = Q

2π(θ1− θ2) = − Q 2π∆θ

No limite l → 0, e mantendo κ = Ql constante, a função corrente é obtida a partir da equação acima, resultando em:

ψ = lim l→0 κ=lQ=cte  −Q 2πdθ 

onde ∆θ → dθ → 0. A partir da figura acima podemos escrever que:

a =l sin θ, b =r − l cos θ, dθ =a

b, de forma que:

ψ = lim l→0 κ=cte  −Q 2π l sin θ r − l cos θ  = lim l→0 κ=cte  − κ 2π sin θ r − l cos θ  que implica em ψ = − κ 2π sin θ r

Uma vez conhecida a função corente podemos obter a função potencial para um dipolo. O resultado é a função

φ = κ 2π

cos θ r

A linhas de corrente podem ser obtidas a partir da equação

ψ = − κ 2π

sin θ

r = constante sobre a linha de corrente = c ou

r = − κ 2π

sin θ

c (27)

que pode ser reescrita simplesmente como

r = d sin θ,

que representa um circulo de diâmetro d com centro localizado no eixo vertical e distancia d/2 da origen. Linhas de corrente para um dipolo são ilustradas na figura abaixo.

κ

2π c

κ

Dipolo discreto

6.3.4 Vórtice

Considere um escoamento onde as linhas de corrente são circulos concentricos em relação a um ponto, como ilustrado na figura abaixo.

Vθ

r

O

Figura 6: Linhas de corrente para um vórtice com circulação Γ.

A velocidade ao longo de cada linha de corrente é constante, mas que varia de uma linha de corrente para outra. As linhas de corrente formam contornos fechados, e a circulação sobre as linhas de corrente é Γ. Então, o campo de velocidades em termos de coordenadas cilindricas é Vr = 0 e Vθ = constante. A circulação ao longo de uma linha de corrente de

raio r é dada por

Γ = − Z C ~ V · ~dl = − Z 2π 0 Vθrdθ

de forma que a compotente angular Vθ do vetor velocidades é obtido a partir da circulação

Γ como

Vθ = −

Γ 2πr

É facil constatar que esse escoamento incompressível, pois

~ ∇ · ~V = 1 r ∂ ∂r(rVr) + 1 r ∂Vθ ∂θ = 0

Esse escoamento tambem é irrotacional em todo o domínio do escomaneto, exceto na origem (onde o vórtice pontual está localizado). Podemos escrever

~ ∇ ∧ ~V = 1 r  ∂ ∂r(rVθ) − ∂Vr ∂θ  = 0

De posse do campo de velocidades podemos obter a função potencial para este escoa-mento. Basta integrar as equações

∂φ ∂r = Vr= 0 1 r ∂φ ∂θ = Vθ = − Γ 2πr e o resultado é que φ = − Γ 2πθ

A função corrente pode ser obtida de modo análogo, basta integrar as equações 1 r ∂ψ ∂θ = Vr = 0 −∂ψ ∂r = Vθ = − Γ 2πr e obtemos ψ = Γ 2πln r.

Note que as linhas de potencial constantes são retas partindo da origem onde o vórtice está localizado, ortogonais aos circulos que formam as linhas de corrente ilustradas na figura acima.

6.4

Coeficiente de Pressão

A pressão é uma quantidade dimensional (unidade de Newtons/m2 _{no SI). Vamos definir}

um parametro adimensional para a pressão, denominado de coeficiente de pressão Cp, e

definido por:

Cp =

p − p∞

q∞

onde q∞ = 1₂ρ∞V∞2. O coeficiente de pressão definido acima é utilizado em aerodinâmica

tanto para escoamentos incompressíveis assim como para escoamentos hipersônicos. Para escoamento incompressível, o coeficiente de pressão Cp pode ser expresso somente

ou p − p∞= 1 2ρ(V 2 ∞− V2)

de modo que o coeficiente de pressão pode ser escrito como

Cp = 1 2ρ(V 2 ∞− V2) 1 2ρV 2 ∞ ou Cp = 1 −  V V∞ 2

Note que essa expressão é valida somente para escoamento incompressível.

Exemplo: Consiedere um aerofolio em um escoamento com corrente uniforme de inten-sidade de 150m/s. A velocidade em um dado ponto do aerofólio é de 225m/s. Calcule o coeficiente de pressão. Solução: Cp = 1 −  V V∞ 2 = 1 − 225 150 2 = −1, 25

6.5

Princípio de Superposição

Vamos utilizar combinações de escoamentos simples como corrente uniforme, fonte ou sorve-douro, dipolo e vórtice para representar escoamentos ao redor de um corpo semi-infinito, um ovoide, um cilindro bidimensional e um cilindo bidimensional com circulação.

6.5.1 Combinação de Corrente Uniforme com Fonte e Sorvedouro

Vamos inicialmente considerar a combinação de uma fonte com uma corrente uiforme de intensidade U orientada na direção positiva do eixo x, como ilustrado na figura abaixo. A função de corrente, em coordenadas polares, do escoamento resultante, é dada por:

ψ = U r sin θ + Q 2πθ

Como ambas funções de corrente (corrente uniforme e fonte) são soluções da equação de Laplace, a função de corrente tambem é solução da equação de Laplace, e descreve a função de corrente de um escoamento incompressível, irrotacional viável. As linhas de corrente podem ser obtidas a partir da função de corrente fazendo

ψ = U r sin θ + Q

2πθ = constante

e resolvendo para r e θ. As linhas de corrente resultante estão ilustradas na figura abaixo.

+ U Fonte corrente uniforme Ponto de estagnacao ψ = constante = Q/2

Figura 7: Combinação de corrente uniforme e fonte gerando corpo semi-infinito. O campo de velocidades é obtido a partir da função de corrente:

Vr=

1∂ψ

U cos θ + Q 2πr = 0 −U sin θ = 0

Resolvendo estas equações para r e θ, obtemos um ponto de estagnação, localizado em (r, θ) = (Q/2πU, π). O ponto de estagnação está a uma distancia Q/2πU diretamente a montante da fonte.

Se substituirmos as coordenadas do ponto de estagnação na função corrente, obtemos que ψ = U Q 2πU sin π + Q 2ππ = constante = Q 2 = constante (28)

Como estamos lidando com fluido não viscoso, a velocidade na superfície de um corpo sólido é sempre tangente à superfície, então qualquer linha de corrente pode pode repre-sentar a uma superfície sólida com a mesma forma. Em particular, considere a linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação. Como ela contem o ponto de estagnação, ela é chamada de linha de corrente divisória, pois ela separa o fluido que emana da fonte do fluido que vem da corrente uniforme. Do ponto de vista da corrente uniforme, toda a região limitada pela linha de corrente ψ = Q/2 = constante pode ser substituida por um corpo sólido com a mesma forma, e o escoamento externo, ou seja, o escoamento da corrente uniforme, não perceberá diferença. A linha de corrente ψ = Q/2 = constante se estende para o infinito, formando um corpo semi-infinito, que não é fechado.

Para obtermos um corpo fechado, basta adicionar um sorvedouro com a mesma intensi-dade. Considere sistema de coordenadas polar com uma fonte e um sorvedouro localizados a uma distancia b, respectivamente, a esquerda e a direita da origem, como ilustrado abaixo. A intensidade da fonte e sorvedouro são, respectivamente, Q e −Q. A função de corrente para essa combinação de escoamentos básicos é dada por

ψ = U r sin θ + Q

2π(θ1− θ2)

e o campo de velocidades é obtido utilizando-se as relações entre a função corrente e as componentes do campo de velocidades.

b b r P A B θ₁ θ θ₂ U O

Figura 8: Combinação de corrente com fonte e sorvedouro: ovoide de Rankine. Através da figura acima podemos ver dois pontos de estagnação, que podem ser obtidos, impondo-se V = 0. Estes pontos são os pontos A e B da figura acima. Estes pontos de estagnação estão localizados a uma distancia

OA = OB = r

b2₊ Qb

πU

A equação para as linhas de corrente pode ser obtida a partir da função corrente escrevendo-se

ψ = U r sin θ + Q

2π(θ1− θ2) = constante.

A linha de corrente que passa pelos pontos de estagnação é obtida a partir da equação acima notando-se que no ponto A temos θ = θ1 = θ2 = π e que no ponto B temos

θ = θ1 = θ2 = 0. então, para a linha de corrente que passa pelos pontos de estagnação, a

equação acima fornece o valor ψ = 0. A linha de corrente que define o contorno do corpo é dada por

ψ = U r sin θ + Q

2π(θ1− θ2) = 0

A solução dessa equação é um ovoide, nomeado ovoide de Rankine. A linha de corrente que define o contorno do ovoide tambem divide o escoamento exterior em duas partes.

6.5.2 Escoamento sobre um Cilindro Circular sem Sustentação.

Vamos mostrar que a combinação de uma corrente uniforme com um dipolo gera o escoa-mento ao redor de um cilindro bidimensional. O escoaescoa-mento ao redor de um cilindro é um problema clássico em aerodinâmica.

Considere a combinação de uma corrente uniforme de velocidade U e um dipolo com intensidade κ, como ilustrado na figura abaixo.

A função de corrente para esse escoamento é a soma da função de corrente para a corrente uniforme mais a função corrente para o dipolo, e é dada por:

ψ = U r sin θ − κ 2π sin θ r ou ψ = U r sin θ1 − κ 2πU r2 

Seja R2 = κ/2πU . Então podemos escrever a função corrente na forma

ψ = U r sin θ  1 − R 2 r2 

que é a função de corrente para o escoamento ao redor de um cilindro de raio R, como ilustrado na figura abaixo e demonstado a seguir. O campo de velocidades é dado por:

Vr= 1 r ∂ψ ∂θ = 1 r(U r sin θ)  1 −R 2 r2  Vr=  1 − R 2 r2  U cos θ Vθ = − ∂ψ ∂r = −(U r sin θ) 2R2 r3 −  1 −R 2 r2  U sin θ Vθ = −  1 + R 2 r2  U sin θ

Para determinarmos os pontos de estagnação basta resolver o sistema de equações

Vr =  1 −R 2 r2  U cos θ =0 Vθ = −  1 + R 2 r2  U sin θ =0

Temos duas soluções para essas duas equações em termos de r e θ. Os pontos de estagnação estão localizados em (r, θ) = (R, 0) e em (r, θ) = (R, π). Estes pontos são denomidados de A e B, respectivamente, na figura abaixo.

+ = B A ψ = 0 R r θ U corrente uniforme Dipolo κ

Figura 9: Combinação de corrente com dipolo: escoamento ao redor de um cilindro. Uma vez determinados os pontos de estagnação, podemos determinar o valor da função corrente que passa por esses pontos. Para (r, θ) = (R, 0) na equação para a função corrente, obtemos que o valor da função corrente nos pontos de estagnação é ψ = 0. Essa linha de corrente é solução de U r sin θ  1 −R 2 r2  = 0

Esta equação é satisfeita para r = R. Logo a equação acima descreve um cilindro de raio R com centro na origem. Essa linha de corrente possue ramos para θ = 0 e θ = π com r que se extende para o infinito. Essa linha de corrente divide o escoamento externo em duas partes.

Em resumo, o escoamento irrotacional, não viscoso e incompressível ao redor de um cilindro bidimensional de raio R pode ser sintetizado superpondo-se uma corrente uniforme de velocidade U com um dipolo de intensidade κ, onde R esta relacionado com U e κ através da equação

R = r

κ 2πU

A seguir vamos integrar o campo de pressão e determinar as forças que o fluido aplica no cilindro bidimensional. A força adimensional pode ser escrita como

~ CF = − 1 2R Z C Cp~ndA

~ CF = − 1 2R Z 2π 0

Cp(cos θ~i + sin θ~j)Rdθ

onde

Cp = 1 −

 V U

2

e as componentes do vetor velocidade na superfície do cilindro são

Vr=0

Vθ = − 2U sin θ

de modo que o módulo do vetor velocidade na superfície do cilindro é

V = 2U sin θ

Abaixo ilustramos a velocidade tangencial ao longo do cilindro. Para 0 < θ < π, temos a parte superior do cilindro (face) e para π < θ < 2π temos a parte inferior do cilindro.

0 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

posição ao longo do cilindro

v tangencial

Dorso do cilindro Face

Figura 10: Velocidade tangente ao cilindro. Agora, podemos escrever o coeficiente de pressão como

Cp = 1 − 4 sin2θ.

A figura abaixo mostra o coeficiente de pressão ao longo do perimetro do cilindro. Para 0 < θ < π, temos a parte superior do cilindro (face) e para π < θ < 2π temos a parte

inferior do cilindro. Note a simetria do coeficiente de pressão entre a face e o dorso e entre a região frontal (0 < θ < π/2 e 3π/2 < θ < 2π) e a região posterior (π/2 < θ < 3π/2) do cilindro. 0 1 2 3 4 5 6 7 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 angulo theta coeficiente de pressão Face do cilindro Dorso do cilindro

Figura 11: Coeficiente de pressão ao redor do cilindro.

Com a equação para o coeficiente de pressão, a força adimensional que o fluido exerce no cilindro pode ser escrita como

~ CF = − 1 2 Z 2π 0

(1 − 4 sin2θ)(cos θ~i + sin θ~j)dθ = − 1 2sin θ − 2 3sin 3 θ 2π 0 ~i − 3 2cos θ − 2 3cos 3 θ 2π 0 ~j = 0~i + 0~j ~ CF = 0

Note que não há força resultante aplicada ao cilindro. Isso decorre da simetria do campo de pressão (coeficiente de pressão) em relação a superfícies superior e inferior do cilindo, de modo que não há força de sustentação, e da simetria do campo de pressão entre a região frontal e posterior do cilindro, de modo que não há força de arrasto. Esse resultado era esperado, pois o fluido é não viscoso e não há atrito entre o fluido e o corpo. A ausencia de arrasto em escoamento potencial é conhecido como paradoxo de D’Alembert.

redor de um cilindro circular existem, e fornecem força de sustentação não nula. Nessa seção vamos discutir esses tipos de escoamentos.

Vamos superpor um vórtice localizado na origem ao escoamento obtido na seção anterior, como ilustrado abaixo. Considere a função de corrente para um vórtice com circulação Γ localizado na origem

ψ = Γ

2πln r + constante

onde vamos especificar a constante na equação acima como

constante = − Γ 2π ln R

de modo que a função corrente possa ser reescrita como

ψ = Γ 2πln

r R

Vamos adicionar essa função de corrente com a função de corrente

ψ = (U r sin θ)  1 − R 2 r2 

para o escoamento ao redor de um cilindro circular sem circulação (obtido na seção ante-rior). O resultado é a função corrente do esoamento ao redor de um cilindro circular com circulação Γ, dada por

ψ = (U r sin θ)  1 − R 2 r2  + Γ 2πln r R.

Se r = R, temos ψ = 0 para qualquer valor de θ. Como ψ = constante é a equação para as linhas de corrente, r = R é, portanto, uma linha de corrente do escoamento, mas tambem a equação para um circulo de raio R. As linhas de corrente associadas a função de corrente acima estão ilustradas na figura abaixo.

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 000000 111111 R + ₌ R O r θ ψ = 0

Escoamento sobre cilindro sem forca de sustentacao

vortice com circulacao _Γ

Escoamento sobre cilindro com forca de sustentacao

O campo de velocidades pode ser obtido a partir da função de corrente, como segue Vr= 1 r ∂ψ ∂θ =  1 − R 2 r2  U cos θ Vθ = − ∂ψ ∂r = −  1 + R 2 r2  U sin θ − Γ 2πr

Para determinarmos os pontos de estagnação, basta fazer Vr = Vθ = 0 e resolver para

(r, θ), ou seja, basta resolver as equações

 1 − R 2 r2  U cos θ = 0 −  1 + R 2 r2  U sin θ − Γ 2πr = 0

A primeira equação é satisfeita para r = R, e a partir da segunda equação obtemos que

θ = sin−1 

− Γ

4πU R 

Se Γ for um número positivo (negativo), a equação acima implica que θ deve estar no terceiro e quarto (primeiro e segundo) quadrantes. Para Γ positivo, temos dois pontos de estagnação na parte inferior do cilindro, como ilustrado na figura acima. Estes pontos estão localizados em (r, θ) = (R, sin−1(−Γ/(4πRU ))) e em (r, θ) = (R, − sin−1(−Γ/(4πRU ))+π). Entretanto, este resultado só é valido quando |Γ/(4πRU )| < 1. Se |Γ/(4πRU )| > 1, a equação acima não faz sentido. Se |Γ/(4πRU )| = 1, a equação acima possue somente uma solução, ou seja, temos somente um ponto de estagnação localizado em (r, θ) = (R, −π/2) se |Γ/(4πRU ) = −1 ou em (r, θ) = (R, π/2) se |Γ/(4πRU ) = 1. Para o caso |Γ/(4πRU )| > 1, a primeira equação para os pontos de estagnação é satisfeita para θ = ±π/2, e substituindo θ = −π/2 na segunda equação e resolvendo para r obtemos

r = Γ 4πU ± s  Γ 4πU 2 − R2

Então, para |Γ/(4πRU )| > 1 temos dois pontos de estagnação, como mostrado na figura abaixo. Dois pontos no eixo vertical, um fora do cilindro e outro interno ao cilindro.

R _{R R} 1 2 ₃ 5 4 (C) Γ > 4π UR (B) Γ = 4π UR (A) Γ < 4π UR

Figura 13: Linhas de corrente para (A)Γ < 4πU R, para (B)Γ = 4πRU e para (C) Γ > 4πRU . Ponstos 1, 2, 3, 4 e 5 são pontos de estagnação.

Note que a circulação Γ pode ser escolhida livremente. Não há valor único de Γ que “resolva” o escoamento ao redor de um cilindro circular. A circulação pode assumir qual-quer valor arbitrário. Portanto, para um escoamento não viscoso, incompressível sobre um cilindro circular, existe uma infinidade de escoamento potenciais possíveis, um para cada um dos infinitos valores que Γ pode assumir. Esta afirmação não é restrita ao escoamento ao redor de um cilindro circular, mas é uma afirmação válida para escoamento potencial incompressível sobre qualquer corpo bidimensional suave.

Vamos mostrar a seguir que escoamento com circulação não nula implica em força de sustentação. Na superfície do cilindro a velocidade é dada por

V = Vθ = −2U sin θ −

Γ 2πR

de modo que o coeficiente de pressão é dado por

Cp =1 −  V U 2 = 1 −  −2 sin θ − Γ 2πR 2 Cp = 1 − " 4 sin2θ + 2Γ sin θ πRU +  Γ 2πR 2#

Então a força adimensional que o fluido exerce sobre o cilindro é dada por

~ CF = − 1 2R Z 2π 0 Cp~nRdθ

Substituindo a expressão para Cp e escrevendo ~n = cos θ~i + sin θ~j (vetor normal

~ CF = − 1 2R ( Z 2π 0 1 − " 4 sin2θ + 2Γ sin θ πRU +  Γ 2πR 2#! cos θRdθ~i − Z 2π 0 1 − " 4 sin2θ + 2Γ sin θ πRU +  Γ 2πR 2#! sin θRdθ~j ) = −1 2 ( sin θ − 4 3sin 3_{θ −} Γ πRU sin 2_{θ −}  Γ 2πR 2 sin θ )2π 0 ~i − 1 2 ( +3 cos θ −4 3cos 3_{θ −} Γ πRU( θ 2 − sin θ cos θ) +  Γ 2πR 2 cos θ )2π 0 ~j ~ CF = Γ RU~j

De acordo com a equação acima, o arrasto é nulo, pois o fluido é não viscoso, mas agora temos força de sustentação devido a circulação no escoamento ao redor do cilindro em decorrencia do vórtice pontual com circulação Γ localizado no centro do cilindro. A força de sustentação dimensional por unidade de envergadura é dada por

L = 1 2ρU 2 2R ~CF · ~j = 1 2ρU 2 2R Γ RU = ρU Γ

Esse resultado implica que a força de sustentação por unidade de envergadura é di-retamente proporcional à circulação. A equação L = ρU Γ é um resultado poderoso em aerodinâmica teorica. Esse resultado é chamado de teorema de Kutta-Joukowski. Esse resultado foi obtido no caso de um cilindro, mas ele vale para escoamento ao redor de um corpo bidimensional qualquer. Caso a circulação do escoamento ao redor do corpo em questão for não nula, a força de sustentação ortogonal gerada será diretamente proporcional à circulação e dada por

L = ρU Γ