Dipolo e escoamento uniforme: escoamento em torno de um cilindro circular

Trabalho de Conclusão de Curso

Curso de Graduação em Física

Dipolo e Escoamento Uniforme – Escoamento em torno de um cilindro circular

Eduardo José dos Santos

Prof. Dr. Edson José Vasques

Rio Claro (SP)

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campusde Rio Claro

EDUARDO JOSÉ DOS SANTOS

DIPOLO E ESCOAMENTO UNIFORME.

ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CILINDRO CIRCULAR.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas - Campus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, para obtenção do grau de Bacharel em Física.

Rio Claro - SP

um cilindro circular / Eduardo José dos Santos. - Rio Claro : [s.n.], 2011

41 f. : il., figs., gráfs., tabs. + CD-ROM

Trabalho de conclusão de curso (bacharelado Física) -Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Orientador: Edson José Vasques

1. Mecânica dos fluídos. 2. Fuido. 3. Superposição. 4. Campos potenciais. I. Título.

DEDICATÓRIA

Agradecimentos

G o s t a r i a d e a g r a d e c e r a t o d o s q u e d i r e t a o u i n d i r e t a m e n t e c o n t r i b u í r a m p a r a a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o , e m e s p e c i a l :

A o m e u p a i J u s c e l i n o J o s é d o s S a n t o s e à m i n h a m ã e V e r a L ú c i a d o s S a n t o s . S e m v o c ê s d o i s n a d a d i s s o s e r i a p o s s í v e l .

A o m e u o r i e n t a d o r , o P r o f e s s o r D o u t o r E d s o n J o s é V a s qu e s , p e l o c o m p a n h e i r i s m o , p a c i ê n c i a e a c i m a d e t u d o d e d i c a ç ã o e m t o d o s o s m o m e n t o s d o m e u t r a b a l h o .

À m i n h a i r m ã T a t i a n e L ú c i a d o s S a n t o s e a o m e u i r m ã o D a n i l o d o s S a n t o s p o r t o d o o a p o i o e c o n f i a n ç a qu e d e p o s i t a r a m e m m i m q u a n d o d e c i d i f a ze r o c u r s o d e F í s i c a e m R i o C l a r o .

A t o d a m i n h a f a m í l i a q u e s e m p r e m e m o t i vo u e m e a l e g r o u . T o d o s v o c ê s s ã o m u i t o e s p e c i a i s e m o r a m n o m e u c o r a ç ã o .

A o s m e u s d o i s i r m ã o s qu e c o n h e c i a i n d a ga r o t o , R o b e r t o M a c e u S a l h a b e A l i S u b e r N a j a r . A a m i za d e d e v o c ê s , o a p o i o e o c a r i n h o q u e s e m p r e r e c e b i t e m u m va l o r i n e s t i m á ve l p a r a m i m .

A o s m e u s i r m ã o s e a m i go s q u e c o n h e c i d u r a n t e a f a c u l d a d e . E u t i v e a h o n r a d e c o n h e c e r e c o n v i v e r c o m c a d a u m d e v o c ê s . C a d a f e s t a , c a d a r e s s a c a , c a d a m a d r u g a d a m i l a g r o s a , t u d o i s s o v a i f i c a r n a m i n h a m e m ó r i a c o m o u m a l e m b r a n ç a e s p e t a c u l a r p a r a s e m p r e . M u i t o o b r i g a d o p o r t u d o .

Sumário

DEDICATÓRIA ... 2

AGRADECIMENTOS ... 3

1-RESUMO ... 5

2-ABSTRACT ... 6

3-INTRODUÇÃO... 7

4-LEIS DE CONSERVAÇÃO. ... 7

5-EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS ... 8

6-PRESSÃO ... 9

6.1-PRESSÃO EM UM PONTO ... 9

6.2-VARIAÇÃO DA PRESSÃO. ... 10

7-FLUIDOS EM MOVIMENTO ...12

7.1-VELOCIDADE ... 12

7.2-ACELERAÇÃO... 13

7.3-VELOCIDADE ANGULAR E VORTICIDADE. ... 15

8-ESCOAMENTOS UNI, BI E TRIDIMENSIONAIS ...17

9-ESCOAMENTOS NÃO-VISCOSOS. ...18

10-ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS. ...19

11-A EQUAÇÃO DE BERNOULLI ...19

12-ESCOAMENTOS SIMPLES ...22

12.1-LINHAS DE TRAJETÓRIA,LINHAS DE EMISSÃO E LINHAS DE CORRENTE... 22

12.2-ESCOAMENTO UNIFORME ... 23

12.3-FONTES E SORVEDOUROS BIDIMENSIONAIS ... 24

12.4-VÓRTICE SIMPLES ... 26

12.5-OPAR FLUIDO ... 28

13-SUPERPOSIÇÃO DE ESCOAMENTO ...32

13.1-ESCOAMENTO EM TORNO DE UM CILINDRO SEM CIRCULAÇÃO ... 32

13.2-OCILINDRO ROTATIVO ... 37

14-SUSTENTAÇÃO, RESISTÊNCIA E DISTRIBUIÇÃO DA PRESSÃO ...39

14.1-CILINDRO SEM CIRCULAÇÃO ... 39

13.2-CILINDRO COM CIRCULAÇÃO ... 41

15-ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE FLUIDOS REAIS ...41

16-CONCLUSÃO ...42

1-RESUMO

O e s t u d o d o m o v i m e n t o d o s f l u i d o s i d e a i s é m a i s s i m p l e s qu e o d e f l u i d o s v i s c o s o s p o r q u e n ã o h á a p r e s e n ç a d e t e n s õ e s d e c i s a l h a m e n t o . A s t e n s õ e s n o r m a i s s ã o a s ú n i c a s qu e d e ve m s e r c o n s i d e r a d a s n e s t a a n á l i s e . A t e o r i a c o r r e s p o n d e n t e a e s t e s e s c o a m e n t o s é a m e s m a u t i l i z a d a e m o u t r o s c a m p o s d a f ís i c a , d e n o m i n a d a T e o r i a d o s C a m p o s P o t e n c i a i s , o n d e a i d e n t i d a d e v e t o r i a l é f u n d am e n t a l . Q u a l q u e r e s c o a m e n t o i r r o t a c i o n a l ( v o r t i c i d a d e n u l a ) f i s i c a m e n t e p o s s í v e l p o s s u i u m a f u n ç ã o c o r r e n t e e u m p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e qu e s a t i s f a ze m a e qu a ç ã o d e L a p l a c e . R e c i p r o c a m e n t e , qu a l q u e r s o l u ç ã o d a e qu a ç ã o d e L a p l a c e r e p r e s e n t a u m a f u n ç ã o c o r r e n t e o u p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e d e u m e s c o a m e n t o f i s i c a m e n t e p o s s í v e l . U m a v e z q u e a e qu a ç ã o d e L a p l a c e é l i n e a r , a s o m a d e qu a l qu e r n ú m e r o d e s o l u ç õ e s t a m b é m é u m a s o l u ç ã o . A s s i m , d i ve r s o s e s c o a m e n t o s p o t e n c i a i s p o d e m s e r c o n s t r u íd o s s u p e r p o n d o - s e c o n f i gu r a ç õ e s d e e s c o a m e n t o s e l e m e n t a r e s . O o b j e t i v o d a s u p e r p o s i ç ã o d e e s c o a m e n t o s e l e m e n t a r e s é a p r o d u ç ã o d e c o n f i gu r a ç õ e s s e m e l h a n t e s à qu e l a s d e i n t e r e s s e p r a t i c o . A c o m b i n a ç ã o d e e l e gâ n c i a m a t e m á t i c a c o m u t i l i d a d e n o e s c o a m e n t o p o t e n c i a l a t r a i u m u i t o s p a r a o s e u e s t u d o . A l g u n s d o s m a i s f a m o s o s m a t e m á t i c o s d a h i s t o r i a e s t u d a r a m a t e o r i a e a p l i c a ç ã o d a

“h id rod inâmica ”, como e ra d e n o m i n a d o o e s c o a m e n t o p o t e n c i a l

a n t e s d e 1 . 9 0 0 .

2-ABSTRACT

3-Introdução

T o d o s o s f l u i d o s r e a i s p o s s u e m v i s c o s i d a d e . E n t r e t a n t o , h á m u i t o s c a s o s d e e s c o a m e n t o e m q u e é r a z o á ve l d e s p r e za r o s e f e i t o s d a v i s c o s i d a d e . C o n s e qu e n t e m e n t e , é ú t i l i n v e s t i ga r a d i n â m i c a d e u m f l u i d o i d e a l qu e n o e s c o a m e n t o s e j a i n c o m p r e s s í v e l e t e n h a v i s c o s i d a d e n u l a . O b v i a m e n t e qu e e s t e e s t u d o d e e s c o a m e n t o i d e a l p a r e c e i n e f i c i e n t e , p o i s a m a i o r i a d o s f l u i d o s d e i n t e r e s s e p r á t i c o n ã o s e c o m p o r t a d e s s a f o r m a . E n t r e t a n t o , a s o l u ç ã o d e s s e t i p o d e p r o b l e m a s e f a z n e c e s s á r i a p a r a o a p r e n d i z a d o d o u s o d e t é c n i c a s m a t e m á t i c a s m a i s s o f i s t i c a d a s . A l é m d i s s o , i n v e s t i ga ç õ e s d o c o m p o r t a m e n t o d e e s c o a m e n t o s r e a i s p o d e m s e r e f e t i v a m e n t e i n i c i a d a s e o s r e s u l t a d o s o b t i d o s m e l h o r i n t e r p r e t a d o s c o m a a j u d a d e u m a b o a b a s e f u n d a m e n t a l .

4-Leis de Conservação.

s o b r e e l e . A t e r c e i r a l e i f u n d a m e n t a l é a L e i d e C o n s e r va ç ã o d a E n e r g i a q u e n o s d i z q u e a e n e r gi a t o t a l d e u m s i s t e m a i s o l a d o p e r m a n e c e c o n s t a n t e . S e o s i s t e m a e s t á e m c o n t a t o c o m o a m b i e n t e , s u a e n e r g i a a u m e n t a s o m e n t e s e a e n e r g i a d o a m b i e n t e s o f r e r u m d e c r é s c i m o . A e n e r g i a t o t a l d e u m s i s t e m a é , e n t ã o , a s o m a d a e n e r g i a p o t e n c i a l , c i n é t i c a e d a e n e r g i a i n t e r n a ( t e m p e r a t u r a ) . O u t r a s f o r m a s d e e n e r g i a n ã o s ã o c o n s i d e r a d a s n a m e c â n i c a d o s f l u i d o s . P a r a e s t u d a r m o s f l u i d o s i n c o m p r e s s í v e i s e s s a s t r ê s l e i s m e n c i o n a d a s s ã o s u f i c i e n t e s .

5-Equações Fundamentais

A d o t a n d o a l g u m a s h i p ó t e s e s s i m p l i f i c a d o r a s p r o p o s t a s p o r M a r c u s V . C . R a m a l h o [ 2 ] , a s e qu a ç õ e s q u e go v e r n a m o f l u i d o s ã o a s s e gu i n t e s :

1 . E qu a ç ã o d a c o n t i n u i d a d e :

(5.1)

O n d e é a d e n s i d a d e e V o c a m p o d e ve l o c i d a d e d o f l u i d o .

D u a s o b s e r v a ç õ e s d e v e m s e r f e i t a s s o b r e a e q u a ç ã o a c i m a :

 E s s a e qu a ç ã o é a n á l o ga à qu e l a s a t i s f e i t a p e l a c a r ga e l é t r i c a n o e l e t r o m a gn e t i s m o

 S ó p o d e m o s u s a r e s s a s i m p l i f i c a ç ã o n o c a s o e m q u e a d e n s i d a d e é c o n s t a n t e e m t o d o s o s p o n t o s d o f l u i d o ( f l u i d o i n c o m p r e s s í v e l ) . E m ge r a l , s e a s ve l o c i d a d e s d e e s c o a m e n t o s ã o b a i xa s ( m u i t o m e n o r e s qu e a v e l o c i d a d e d o s o m ) , n ã o p r e c i s a m o s n o s p r e o c u p a r c o m v a r i a ç õ e s d e d e n s i d a d e , e n e s s e c a s o p o d e m o s e s c r e ve r

(5.2)

2 . E qu a ç ã o d o m o v i m e n t o :

D a s e gu n d a l e i d e N e w t o n , t e m o s :

(5.3)

q u e e s t á d i v i d i d o e m t r ê s p a r t e s : o n d e

r e p r e s e n t a a s f o r ç a s d e p r e s s ã o p o r u n i d a d e d e vo l u m e ,

r e p r e s e n t a a s f o r ç a s d e v i d o a c a m p o s e x t e r n o s , p o r

e x e m p l o a g r a v i d a d e , e a s f o r ç a s d e v i s c o s i d a d e qu e o c o r r e m d e v i d o a o a t r i t o i n t e r n o d o f l u i d o r e a l . P o r e m , n o c o n t e x t o d e i n t e r e s s e d e s t e t r a b a l h o d e c o n c l u s ã o d e c u r s o s e r á s u f i c i e n t e a s s u m i r u m f l u i d o i d e a l , o u s e j a , u m f l u i d o c o m v i s c o s i d a d e n u l a .

6-Pressão

6.1-Pressão em um ponto

P o d e m o s d e f i n i r p r e s s ã o c o m o u m a f o r ç a c o m p r e s s i va n o r m a l , i n f i n i t e s i m a l d i v i d i d a p o r u m a á r e a i n f i n i t e s i m a l s o b r e a q u a l e l a a ge . V a m o s a go r a a n a l i s a r s e a p r e s s ã o e m u m p o n t o m u d a q u a n d o a n o r m a l à á r e a m u d a s u a d i r e ç ã o . C o n s i d e r e m o s a f i gu r a 6 - 1 . 1 , qu e f o i r e t i r a d a d o l i v r o d e P o t t e r [ 1 ] , i l u s t r a d a m a i s a b a i x o . A go r a v a m o s a p l i c a r a s e g u n d a l e i d e N e w t o n a o e l e m e n t o e m a m b a s a s d i r e ç õ e s ( X e Y ) :

∑

(6.1.1)

(6.1.2)

Onde,

(6.1.3)

e

O n d e é o v o l u m e i n f i n i t e s i m a l d a f i g u r a e m é a m a s s a d o o b j e t o . A n a l o ga m e n t e :

∑ ( 6 . 1 . 4 )

( 6 . 1 . 5 )

( 6 . 1 . 6 )

C o m u m a á l ge b r a s i m p l e s , c h e ga m o s à s e gu i n t e e xp r e s s ã o :

_{( 6 . 1 . 7 )}

Q u a n d o d i m i n u ím o s o e l e m e n t o d e á r e a a t é u m p o n t o , o l a d o d i r e i t o d a s e qu a ç õ e s 6 . 1 . 7 v ã o à z e r o , m e s m o p a r a f l u i d o s e m m o v i m e n t o , l o go .Como o ân gu lo α é a rb itrá rio, p odemos u s a r e s s a r e l a ç ã o p a r a t o d o s o s â n gu l o s e m u m p o n t o , d e m o n s t r a n d o , p o r t a n t o , q u e m e s m o p a r a f l u i d o s e m m o v i m e n t o q u a n d o n ã o h á c i s a l h a m e n t o , a p r e s s ã o e m u m d a d o p o n t o n ã o m u d a q u a n d o a n o r m a l à á r e a m u d a d e d i r e ç ã o .

6.2-Variação da Pressão.

N a f i gu r a 6 - 2 . 1 , d e v e m o s r e p e t i r o p r o c e s s o f e i t o n a d i r e ç ã o y t a m b é m n a s d i r e ç õ e s x e z. A s s u m i m o s qu e a p r e s s ã o P e x i s t e n o

α

Eixo Y

Eixo X

c e n t r o d e s s e e l e m e n t o , l o go a s p r e s s õ e s e m s u a s l a t e r a i s s e g u e m a r e g r a d a c a d e i a :

( 6 . 2 . 1 )

A p l i c a n d o a s e gu n d a l e i d e N e w t o n , t e m o s :

∑

( 6 . 2 . 2 )

( 6 . 2 . 3 )

( 6 . 2 . 4 )

D i v i d i n d o a m b o s o s l a d o s d a s e qu a ç õ e s a c i m a p e l o e l e m e n t o i n f i n i t e s i m a l d e vo l u m e d x d y d z, t e m o s :

( 6 . 2 . 5 )

Eixo Y Eixo Z

Eixo X

(

(

( 6 . 2 . 6 )

( 6 . 2 . 7 )

A p l i c a n d o e s s e s r e s u l t a d o s à e q u a ç ã o 6 . 2 . 1 t e m o s :

( 6 . 2 . 8 )

Q u a n d o o f l u i d o e s t á e m r e p o u s o , , l o go :

( 6 . 2 . 9 )

( 6 . 2 . 1 0 )

A e qu a ç ã o 6 . 2 . 1 0 m o s t r a c l a r a m e n t e qu e a p r e s s ã o a u m e n t a q u a n d o n o s m o vi m e n t a m o s p a r a b a i x o e d i m i n u i q u a n d o n o s m o v i m e n t a m o s p a r a c i m a , c o n f o r m e e s p e r a d o .

7-Fluidos em movimento

7.1-Velocidade

a ( x0, y0, z0, t ) r e s p e c t i va m e n t e e a s q u a n t i d a d e s d e i n t e r e s s e p o d e m s e r c a l c u l a d a s . S e gu n d o P o t t e r [ 1 ] , e s s a d e s c r i ç ã o l a g r a n g i a n a d o m o v i m e n t o é g r a n d e a e f i c i ê n c i a p a r a d e s c r e ve r m o v i m e n t o s e m q u e p a r t í c u l a s i n d i v i d u a i s s ã o o b s e r v a d a s c o m o f u n ç ã o d o t e m p o , m a s s e t o r n a m u i t o d i f í c i l c o n f or m e o n u m e r o d e p a r t í c u l a s a u m e n t a , c o m o é o c a s o d o e s t u d o d o s f l u i d o s . U m a p o s s í ve l s o l u ç ã o p a r a e s t e p r o b l e m a é a c o m p a n h a r c a d a p a r t íc u l a d o f l u i d o s e p a r a d a m e n t e i d e n t i f i c a n d o p o n t o s n o e s p a ç o e , e n t ã o , o b s e r v a r a ve l o c i d a d e d a s p a r t í c u l a s qu e p a s s a m p o r c a d a p o n t o . P o d e m o s o b s e r va r e n t ã o a t a x a d e m u d a n ç a d a v e l o c i d a d e d a s p a r t í c u l a s

a o l o n go d e s u a t r a j e t ó r i a , o u s e j a ,

,

e p o d e m o s o b s e r v a r

a i n d a s e a v e l o c i d a d e e s t a m u d a n d o e m c a d a p o n t o e m p a r t i c u l a r

n o d e c o r r e r d o t e m p o , o u s e j a ,

. N e s t a d e s c r i ç ã o e u l e r i a n a d o

m o v i m e n t o , a s p r o p r i e d a d e s d o e s c o a m e n t o s ã o f u n ç õ e s t a n t o d o e s p a ç o q u a n t o d o t e m p o . U s a n d o c o o r d e n a d a s r e t a n gu l a r e s , a v e l o c i d a d e é e xp r e s s a c o m o V =V ( x , y , z , t ) . A i n d a d e a c o r d o c o m P o t t e r [ 2 ] , d e f i n i m o s a r e g i ã o d o e s c o a m e n t o q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o c o m o u m d e c a m p o d e e s c o a m e n t o . S e a s q u a n t i d a d e s d e i n t e r e s s e n ã o d e p e n d e m d o t e m p o , o u s e j a , V =V ( x , y , z ) , o e s c o a m e n t o é c h a m a d o d e e s c o a m e n t o p e r m a n e n t e. P a r a e s t e t i p o d e e s c o a m e n t o , t o d a s a s qu a n t i d a d e s d o e s c o a m e n t o n u m p o n t o s ã o i n d e p e n d e n t e s d o t e m p o . P a r a r e l a c i o n a r a l g u m as qu a n t i d a d e s , s e g u e a b a i xo a l g u n s e x e m p l o s :

( 7 . 1 . 1 )

N e s t a s c o n s i d e r a ç õ e s , f i c a i m p l í c i t o q u e x , y e z s ã o f i x o s .

7.2-Aceleração

N a m e c â n i c a u s u a l a a c e l e r a ç ã o é e xp r e s s a s i m p l e s m e n t e c o m o

u m a d e r i v a d a t e m p o r a l d o v e t o r ve l o c i d a d e

. M a s p a r a c a s o s e m

e s p a c i a i s d a a c e l e r a ç ã o , o u s e j a , e m n o s s a d e s c r i ç ã o m a t e m á t i c a d a a c e l e r a ç ã o p r e c i s a m o s l e v a r e m c o n t a o r e f e r e n c i a l d a p a r t í c u l a e m m o vi m e n t o . C o n s i d e r a n d o u m v o l u m e e l e m e n t a r d e f l u i d o d e f o r m a c ú b i c a , p a r a f a c i l i t a r , p o d e m o s e s c r e v e r a a c e l e r a ç ã o c o m o :

( 7 . 2 . 1 )

O n d e

, o u s e j a , é a c o o r d e n a d a x d a v e l o c i d a d e , . D a

m e s m a f o r m a é a c o o r d e n a d a y e a c o o r d e n a d a z d a v e l o c i d a d e , o u s e j a , e r e s p e c t i v a m e n t e . P o d e m o s d i v i d i r a

a c e l e r a ç ã o e m d u a s a c e l e r a ç õ e s d i s t i n t a s . A p a r t e t e m p o r a l d a d e r i va d a n a e qu a ç ã o 7 . 2 . 1 f o r m a a a c e l e r a ç ã o l o c a l e a p a r t e r e s t a n t e d a e qu a ç ã o f o r m a a a c e l e r a ç ã o c o n ve c t i va . U m r e f e r e n c i a l q u e s e m o ve c o m v e l o c i d a d e c o n s t a n t e , s e m r o t a ç ã o é u m d e f i n i d o c o m o u m r e f e r e n c i a l i n e r c i a l e é j u s t a m e n t e e s s e o c a s o d o e s c o a m e n t o d e u m f l u i d o i d e a l . S e gu n d o T o s c a n o [ 3 ] , p o d e m o s e n t ã o d e s c r e v e r u m m o v i m e n t o p a r a u m f l u i d o i d e a l d a s e gu i n t e f o r m a :

( 7 . 2 . 2 )

D e ve m o s r e p a r a r q u e s o l u ç õ e s e x a t a s p a r a e s s a e q u a ç ã o s ã o e s c a s s a s , e a s i t u a ç ã o t e n d e p i o r a r p a r a p r o b l e m a s c o m p l e xo s q u e s u r ge m n a s a p l i c a ç õ e s p r a t i c a s e n v o l v e n d o f l u i d o s r e a i s . O e s t u d o d e f l u i d o s r e a i s l e v o u a o d e s e n vo l v i m e n t o d e s o f i s t i c a d a s t é c n i c a s d e s i m u l a ç ã o n u m é r i c a p o r m e i o d a c o m p u t a ç ã o . P o r e m , n o s s o o b j e t i v o é b u s c a r j u s t a m e n t e s i t u a ç õ e s p a r t i c u l a r e s qu e t e n h a m s o l u ç õ e s e x a t a s , m e s m o q u e b a s t a n t e i d e a l i za d a s . P o d e m o s e n t ã o t r a n s f o r m a r a e q u a ç ã o 7 . 2 . 2 u s a n d o a i d e n t i d a d e v e t o r i a l

( 7 . 2 . 3 )

( 7 . 2 . 4 )

N o c a s o d o e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s í v e l , é c o n s t a n t e e i s s o t o r n a o l a d o d i r e i t o d a e qu a ç ã o a c i m a u m g r a d i e n t e p u r o . L o go , s e f o r t o m a d o o r o t a c i o n a l d e a m b o s o s l a d o s d a e q u a ç ã o 7 . 2 . 4 , t e r e m o s a e l i m i n a ç ã o d a p r e s s ã o . A e q u a ç ã o d o m o v i m e n t o e n t ã o a s s u m e a f o r m a

( 7 . 2 . 5 )

O n d e s e r á d e f i n i d o p o r M a r c u s R a m a l h o e M a r c u s S a n t o s [ 2 ] c o m o vo r t i c i d a d e .

7.3-Velocidade Angular e Vorticidade.

P a r a o n o s s o d e s e n v o l v i m e n t o , é c o n v e n i e n t e , a s s i m c o m o M a r c u s R a m a l h o e M a r c u s S a n t o s [ 2 ] , d e f i n i r . D e f a t o , r o t v , o u Ω, define um campo ve t o r i a l c h a m a d o v o r t i c i d a d e . F i s i c a m e n t e ,

flu ido s com Ω≠0 tran spo rtam momento an gu la r. P o d e m o s

⍵ _{[ ( )]} ⁄ ( 7 . 3 . 1 )

⍵ [ _{( )]} ⁄ ( 7 . 3 . 2 )

C o m o _⍵ , a ve l o c i d a d e a n gu l a r _⍵z v e r i f i c a d a n a

p a r t í c u l a d o f l u i d o é d a d a p o r :

⍵ _{( )} ( 7 . 3 . 3 )

D a m e s m a f o r m a , p o d e m o s v e r i f i c a r a s ve l o c i d a d e s a n g u l a r e s d a p a r t í c u l a d o f l u i d o a o r e d o r d a c o o r d e n a d a y e d a c o o r d e n a d a x e o b t e r a s s e g u i n t e s r e l a ç õ e s :

⍵ _{( )}

( 7 . 3 . 4 )

⍵ _{( )}

P o d e m o s t a m b é m d e f i n i r a v o r t i c i d a d e d a m e s m a f o r m a qu e P o t t e r [ 1 ] d e f i n i u : c o m o d u a s v e z e s a v e l o c i d a d e a n gu l a r . L o go , s u a s t r ê s c o m p o n e n t e s s ã o :

D

C y

x

Figura 7-3.1

( 7 . 3 . 5 )

E m n o s s a a n á l i s e d e f l u i d o s i d e a i s , o e s c o a m e n t o é n e c e s s a r i a m e n t e i r r o t a c i o n a l , o u s e j a , n ã o p o s s u i v o r t i c i d a d e (Ω=0 ) e m qu a l qu e r p o n t o d o f l u i d o e , n e s t e t i p o d e e s c o a m e n t o , a s e qu a ç õ e s t o r n a m - s e l i n e a r e s e p o s s u e m s o l u ç õ e s e xa t a s . U m e s c o a m e n t o i r r o t a c i o n a l e i n c o m p r e s s í v e l é e n t ã o r e g i d o p e l a s e qu a ç õ e s

e ( 7 . 3 . 6 )

E m u m a n o t á ve l a n a l o g i a c o m a d e s c r i ç ã o m a t e m á t i c a d o e l e t r o m a gn e t i s m o , o n d e o v e t o r c a m p o v e l o c i d a d e V é s u b s t i t u íd o

p e l o v e t o r c a m p o e l é t r i c o Ee p e l o v e t o r c a m p o m a gn é t i c o B. A s s i m

c o m o n o e l e t r o m a g n e t i s m o , a e q u a ç ã o p e r m i t e d e f i n i r u m p o t e n c i a l e s c a l a r d e f o r m a qu e a v e l o c i d a d e e m qu a l qu e r p o n t o d o f l u i d o p o d e s e r e x p r e s s a c o m o o g r a d i e n t e d o p o t e n c i a l v e l o c i d a d e , o u s e j a , . E s t e é o m o t i v o d a d e n o m i n a ç ã o e s c o a m e n t o p o t e n c i a l . D e v e m o s a i n d a d e s t a c a r qu e , p a r a u m a d e s c r i ç ã o l i n e a r , o f l u i d o d e v e s e r n ã o s o m e n t e i r r o t a c i o n a l c o m o t a m b é m i n c o m p r e s s í v e l . L o g o , o u s e j a , u m e s c o a m e n t o i d e a l i n c o m p r e s s í v e l s a t i s f a z a e qu a ç ã o d e L a p l a c e .

8-Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais

e s c o a m e n t o p l a n o s u ge r i d o p o r P o t t e r [ 1 ] , n a s u p e r f í c i e d e u m r e s e r v a t ó r i o d e á g u a , p o r e x e m p l o , o n d e V =V ( x, y ) . T e m o s a i n d a o e s c o a m e n t o u n i d i m e n s i o n a l , o n d e o v e t o r v e l o c i d a d e d e p e n d e a p e n a s d e u m a c o m p o n e n t e e s p a c i a l . T a i s e s c o a m e n t o s s ã o v e r i f i c a d o s e m t u b u l a ç õ e s l o n g a s e r e t a s , o u e n t r e p l a c a s p a r a l e l a s . N o c a s o d e t u b u l a ç õ e s , o v e t o r va r i a a p e n a s c o m r , o u s e j a , u =u ( r ) , c o m o m o s t r a a f i gu r a 8 - 1 .

9-Escoamentos Não-Viscosos.

A o a n a l i s a r e s c o a m e n t o s d e f l u i d o s , p o d e m o s p r i m e i r a m e n t e a n a l i s a - l o s f a ze n d o a v i s c o s i d a d e t e n d e r a z e r o . I s s o o b v i a m e n t e i r á a n u l a r o s e f e i t o s v i s c o s o s t o r n a n d o o e s t u d o m a i s s i m p l e s e , s o m e n t e q u a n d o n e c e s s á r i o , a p r o f u n d a m o s n o s s o e s t u d o c o n s i d e r a n d o o s e f e i t o s v i s c o s o s . É m u i t o d i f í c i l c r i a r e s c o a m e n t o s n ã o v i s c o s o s e x p e r i m e n t a l m e n t e . A l é m d i s s o , t o d o s o s f l u i d o s d e m a i o r i n t e r e s s e p a r a e s t u d o s p o s s u e m v i s c o s i d a d e , t a i s c o m o a á gu a e o a r . M a s e x i s t e m e s c o a m e n t o s i n t e r e s s a n t e s o n d e o s e f e i t o s v i s c o s o s s ã o t ã o p e qu e n o s qu e p o d e m s e r d e s p r e za d o s . S e g u n d o S h a m e s [ 4 ] i s s o o c o r r e s e m p r e qu e a s t e n s õ e s d e c i s a l h a m e n t o n o e s c o a m e n t o s ã o p e qu e n a s e a ge m s o b r e á r e a s p e qu e n a s d e t a l m o d o qu e n ã o a f e t e s i gn i f i c a t i va m e n t e o c a m p o d e e s c o a m e n t o . E x p e r i m e n t a l m e n t e , c o n c l u ím o s qu e e s c o a m e n t o s q u e p o d e m s e r m o d e l a d o s c o m o e s c o a m e n t o s n ã o v i s c o s o s s ã o a qu e l e s q u e a c o n t e c e m p o r f o r a d e u m c o r p o . E s s e t i p o d e e s c o a m e n t o t e m i m p o r t â n c i a p a r a o e s t u d o e m q u e s t ã o , q u e é o d e e s c o a m e n t o s e m t o r n o d e c o r p o s c o m

r

x

u(r)

l i n h a s d e c o r r e n t e a o s e u r e d o r . A i n d a s e gu n d o S h a m e s [ 4 ] , q u a i s qu e r e f e i t o s v i s c o s o s qu e p o s s a m o c o r r e r n e s t e s c a s o s s ã o c o n f i n a d o s a u m a f i n a c a m a d a j u n t o à s u p e r f íc i e d o c o r p o , c h a m a d a c a m a d a - l i m i t e. A v e l o c i d a d e e m u m a c a m a d a - l i m i t e e m u m a p a r e d e f i x a é s e m p r e z e r o , c o m o r e s u l t a d o d a v i s c o s i d a d e . E m m u i t a s s i t u a ç õ e s a c a m a d a - l i m i t e é t ã o f i n a qu e p o d e s i m p l e s m e n t e s e r i g n o r a d a c o m o , p o r e x e m p l o , e m e s c o a m e n t o s c o m l i n h a s d e c o r r e n t e e m v o l t a d e u m c o r p o , s e m i n f l u e n c i a r n o e s t u d o d e c a r a c t e r í s t i c a s d o e s c o a m e n t o .

10-Escoamentos Incompressíveis.

U m e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s í v e l é d e f i n i d o p o r S i s s o n [ 5 ] qu a n d o a m a s s a e s p e c i f i c a d e c a d a p a r t íc u l a d o f l u i d o p e r m a n e c e c o n s t a n t e

a t r a v é s d o c a m p o d e e s c o a m e n t o , o u s e j a ,

.

P o r é m , n ã o

p o d e m o s a f i r m a r q u e a m a s s a e s p e c i f i c a s e j a c o n s t a n t e e m t o d a p a r t e . C e r t a m e n t e , n o c a s o e m q u e a m a s s a e s p e c i f i c a f o r c o n s t a n t e , e n t ã o o e s c o a m e n t o s e r á i n c o m p r e s s í v e l . M a s p o d e m o s v e r i f i c a r e s c o a m e n t o s t i p i c a m e n t e i n c o m p r e s s í v e i s n o e xe m p l o d a d o p o r P o t t e r [ 1 ] , q u a n d o r i o s d e s a gu a m n o s o c e a n o s e o s e s c o a m e n t o s e n v o l v e m c a m a d a s a d j a c e n t e s d e á g u a d o c e e s a l g a d a e a m a s s a e s p e c i f i c a v a r i a . I s s o t a m b é m o c o r r e e m ga s e s q u e e s c o a m a b a i x a v e l o c i d a d e , c o m o o e s c o a m e n t o a t m o s f é r i c o , o n d e a m a s s a e s p e c i f i c a v a r i a c o m a c o m p o n e n t e z [ ] .

11-A Equação de Bernoulli

B e r n o u l l i q u a n d o a s t e n s õ e s d e c i s a l h a m e n t o s ã o d e s p r e z í v e i s q u a n d o c o m p a r a d a s à s d i f e r e n ç a s d e p r e s s ã o n o c a m p o d e e s c o a m e n t o . A e qu a ç ã o d e B e r n o u l l i n a d a m a i s é d o qu e a c o n s e q u ê n c i a d e u m a a p l i c a ç ã o d a s e g u n d a l e i d e N e w t o n e m u m a p a r t í c u l a d o f l u i d o . C o n s i d e r e u m a p a r t í c u l a c i l ín d r i c a i n f i n i t e s i m a l , c o m o m o s t r a a f i g u r a 1 1 - 1 , r e t i r a d a d o l i v r o d e m e c â n i c a d o s f l u i d o s d e P o t t e r [ 1 ] . A p a r t íc u l a p o s s u i c o m p r i m e n t o ds e á r e a

t r a n s ve r s a l dA. A s f o r ç a s a g i n d o n a p a r t í c u l a s ã o d e v i d o à

p r e s s ã o e a o p e s o , c o n f o r m e i l u s t r a d o n a f i gu r a . S o m a n d o a s f o r ç a s , o b t e m o s :

( ₎ (11.1)

e m qu e é a a c e l e r a ç ã o d a p a r t í c u l a n a d i r e ç ã o s e é d a d a p o r

(11.2)

O n d e

, p o i s o e s c o a m e n t o é p e r m a n e n t e . D a f i gu r a t a m b é m

v e m o s q u e

. F a z e n d o a s s u b s t i t u i ç õ e s n e c e s s á r i a s

p a r a asd a e qu a ç ã o 1 1 . 2 e co sθ, a equa ção de Be rnoulli fica:

(11.3)

C o m o o f l u i d o é i n c o m p r e s s í v e l , a s s u m i m o s a m a s s a e s p e c i f i c a c o n s t a n t e e n t ã o t e m o s :

(11.4)

I s s o s ó é s a t i s f ei t o s e , a o l o n go d a l i n h a d e c o r r e n t e , a p a r t e i n t e r n a a o s p a r ê n t e s e s f o r c o n s t a n t e . D e s t a f o r m a

(11.5)

(11.6)

L o go , c o n c l u í m o s q u e , e m d i f e r e n t e s p o n t o s , 1 e 2 p o r e x e m p l o , e x i s t e a s e gu i n t e r e l a ç ã o :

(11.7)

E s t a u l t i m a é a e qu a ç ã o d e B e r n o u l l i , qu e p o d e s e r u s a d a c o m g r a n d e e f i c i ê n c i a s e s a t i s f a ze r a s s e gu i n t e s s u p o s i ç õ e s qu e f o r a m f e i t a s p a r a s e u d e s e n vo l v i m e n t o :

 E s c o a m e n t o n ã o v i s c o s o

 E s c o a m e n t o p e r m a n e n t e

 E s c o a m e n t o a o l o n go d e u m a l i n h a d e c o r r e n t e

 M a s s a e s p e c íf i c a c o n s t a n t e ( e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s í v e l )

 R e f e r e n c i a l i n e r c i a l ( n ã o h á a c e l e r a ç ã o d o r e f e r e n c i a l )

Figura 10-1

( ₎

s

ds

R(raio de curvatura)

Linha de corrente

V

θ

12-Escoamentos Simples

12.1-Linhas de Trajetória, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente.

U m a l i n h a d e t r a j e t ó r i a é d e f i n i d a p o r d i v e r s o s a u t o r e s c o m o u m c o n j u n t o d e p o n t o s a t r a ve s s a d o s p o r d e t e r m i n a d a p a r t í c u l a e n qu a n t o v i a j a n o c a m p o d e e s c o a m e n t o . E m o u t r a s p a l a v r a s , a l i n h a d e t r a j e t ó r i a n o s d i z o n d e a p a r t í c u l a e s t e v e . U m a l i n h a d e e m i s s ã o é d e f i n i d a c o m o u m a l i n h a i n s t a n t â n e a , c u j o s p o n t o s s ã o o c u p a d o s p o r t o d a s a s p a r t í c u l a s q u e f o r a m o r i gi n a d a s d e u m m e s m o p o n t o n o c a m p o d e e s c o a m e n t o . A l i n h a d e c o r r e n t e é , p o r d e f i n i ç ã o , u m a l i n h a t a n g e n t e a o v e t o r v e l o c i d a d e e m qu a l qu e r p o n t o , a o l o n go d o e s c o a m e n t o d o f l u i d o , c o m o é i l u s t r a d o n a f i gu r a 1 2 - 1 . 1 . O b v i a m e n t e , s e a l i n h a é s e m p r e t a n g e n t e a o v e t o r v e l o c i d a d e , a p a r t í c u l a n u n c a p o d e t r a n s p o r u m a l i n h a d e c o r r e n t e . A u t i l i d a d e d e s s e c o n c e i t o é a i n d a m a i o r e m e s c o a m e n t o s e s t a c i o n á r i o s , i s t o é , i n d e p e n d e n t e s d o t e m p o . P a r a t r a ç a r l i n h a s d e c o r r e n t e é ú t i l d e f i n i r a c h a m a d a f u n ç ã o c o r r e n t e ψ. Para escoamen tos bid imen siona is (isto é, a s qu antidade s f ís i c a s p r a t i c a m e n t e i n d e p e n d e m d a c o o r d e n a d a z ) e s s a d e f i n i ç ã o é f e i t a p o r S h a m e s [ 4 ] e p o d e s e r e s c r i t a a s s i m :

( 1 2 . 1 . 1 )

De vemo s definir também a fun ção Ф como cond ição de i r r o t a c i o n a l i d a d e , d e a c o r d o c o m a s r e s t r i ç õ e s a n t e r i o r e s. Ф é d e f i n i d a c o m o f u n ç ã o d e p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e . A i n d a s e gu n d o S h a m e s [ 4 ] , p o d e m o s d e f i n i r e s s a f u n ç ã o d a s e g u i n t e f o r m a :

( 1 2 . 1 . 2 )

12.2-Escoamento Uniforme

N o e s t u d o d o s e s c o a m e n t o s s i m p l e s r e a l i z a d o p o r S h a m e s [ 4 ] , o e s c o a m e n t o m a i s e l e m e n t a r p o s s í v e l é d a d o p e l o p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e . C e r t a m e n t e e s t e r e p r e s e n t a u m e s c o a m e n t o u n i f o r m e n a d i r e ç ã o p o s i t i v a d o s x , d e m a g n i t u d e . A f u n ç ã o c o r r e n t e c o r r e s p o n d e n t e é f a c i l m e n t e a va l i a d a c o m o - . D e s t a f o r m a , a s l i n h a s d e c o r r e n t e s ã o f o r m a d a s p e l o s v a l o r e s c o n s t a n t e s d e - . E s t a s p o d e m s e r l i n h a s h o r i z o n t a i s , c o m o m o s t r a a f i g u r a 1 2 - 2 . 1 a b a i xo :

V V

V

r

Eixo Y Eixo Z

Eixo X

Figura 12-1.1

y

x

12.3-Fontes e Sorvedouros bidimensionais

A s s i m c o m o d i v e r s o s a u t o r e s d a h i d r o d i n â m i c a , c o m o p o r e xe m p l o P o t t e r [ 1 ] e S h a m e s [ 4 ] , v a m o s c o n s i d e r a r a go r a u m e s c o a m e n t o r e p r e s e n t a d o p e l o p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e

( 1 2 . 3 . 1 )

O n d e ( l e t r a l a m b d a m a i ú s c u l a ) é u m a c o n s t a n t e p o s i t i v a e r é o m o d u l o d a d i s t â n c i a , a p a r t i r d a o r i ge m , d e u m r e f e r e n c i a l . P o d e m o s r e p a r a r qu e a f u n ç ã o é h a r m ô n i c a . B a s t a s u b s t i t u i - l a n a e qu a ç ã o a s e gu i r , a e qu a ç ã o d e L a p l a c e n a f o r m a p o l a r :

( 1 2 . 3 . 2 )

V a m o s d e f i n i r a g o r a u m a f u n ç ã o d e c o r r e n t e p a r a e s s e p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e . A s r e l a ç õ e s e n t r e a f u n ç ã o d e c o r r e n t e e p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e s ã o e s t a b e l e c i d a s n a s e q u a ç õ e s 1 2 . 1 . 2 . D e s t a f o r m a :

∫ _{∫ ( 1 2 . 3 . 3 )}

∫ ( 1 2 . 3 . 4 )

Compa rando amba s as soluçõe s pa ra ψ, pe rcebemo s cla ramente

que a função h (θ ) de verá se r igua l a

e g ( r ) d e v e s e r u m a c o n s t a n t e . L o go ,

( 1 2 . 3 . 5 )

onde θ é o a rctg(ᴦ/x). As linha s de corre nte se rão, en tão, uma

f a m íl i a d e l i n h a s d a e qu a ç ã o

e s t ã o a f u n ç ã o d e c o r r e n t e e o p o t e n c i a l d e ve l o c i d a d e d e u m a f o n t e . A s e qu a ç õ e s d o s o r v e d o u r o s ã o a s m e s m a s , p o r e m c o m o s i n a l i n v e r t i d o :

( 1 2 . 3 . 8 )

A s l i n h a s d e p o t e n c i a l s ã o c o n s t a n t e s , l o go r t a m b é m é c o n s t a n t e . T e m o s e n t ã o u m a f a m í l i a d e c i r c u n f e r ê n c i a s c o n c ê n t r i c a s q u e s ã o f o r m a d a s p e l a s l i n h a s d e p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e . A s c o m p o n e n t e s r a d i a i s e t r a n s ve r s a i s d e v e l o c i d a d e p o d e m s e r a n a l i s a d a s c o m c e r t a s i m p l i c i d a d e :

( 1 2 . 3 . 9 )

( 1 2 . 3 . 1 0 )

P r o v a m o s a go r a m a t e m a t i c a m e n t e q u e e s t a m o s t r a t a n d o d e u m a f o n t e , e n ã o d e u m s o r v e d o u r o . I s s o p o r qu e a ve l o c i d a d e r a d i a l é p o s i t i v a . N o c a s o d e u m s o r ve d o u r o , a v e l o c i d a d e e m qu e s t ã o t e r i a o m e s m o m ó d u l o , p o r e m o s e n t i d o s e r i a o i n v e r s o . S e f i z e r m o s r t e n d e r a o i n f i n i t o , a v e l o c i d a d e r a d i a l i r á t e n d e r a ze r o . P o r é m e l a v a i a u m e n t a n d o g r a d a t i v a m e n t e c o n f o r m e v a m o s d i m i n u i n d o o v a l o r d e r , a t é c h e g a r a o l i m i t e e m q u e t e n d e m o s r a z e r o ( o r i ge m ) e , n e s t e c a s o , Vr t e n d e a i n f i n i t o . V a m o s t r a t a r a go r a d o s i gn i f i c a d o d a c o n s t a n t e . V a m o s c o n s i d e r a r u m a s u p e r f í c i e d e c o n t r o l e a s s o c i a d a a q u a l q u e r c o n t o r n o c i r c u l a r e m t o r n o d a o r i ge m e qu e s e e s t e n d e u m a u n i d a d e n a d i r e ç ã o z . O c a l c u l o d a va z ã o q f i c a :

∯ ∫

∫ ( 1 2 . 3 . 1 1 )

C h a m a m o s a c o n s t a n t e d e m a gn i t u d e , d a f o n t e o u s o r ve d o u r o . D e a c o r d o c o m S h a m e s [ 4 ] , c o m o e s s e s i s t e m a p o s s u i a p e n a s u m a s i n g u l a r i d a d e ( a o r i ge m ) , p o d e m o s e s t a b e l e c e r a c i r c u l a ç ã o e m t o r n o d e s s e p o n t o a t r a v é s d a s e gu i n t e e qu a ç ã o :

D e s s a f o r m a , e s c o a m e n t o s d e f o n t e e s o r ve d o u r o p o s s u e m c i r c u l a ç ã o n u l a p a r a t o d o s o s c a m i n h o s p o s s í v e i s .

12.4-Vórtice Simples

O vó r t i c e é u m e s c o a m e n t o s i m p l e s c u j o p o t e n c i a l d e v e l o c i d a d e é i g u a l a f u n ç ã o d e c o r r e n t e d e u m a f o n t e . D e s t a f o r m a

( 1 2 . 4 . 1 )

C o m o j á f o i d e m o n s t r a d o a n t e r i o r m e n t e , a p a r t i r d o p o t e n c i a l v e l o c i d a d e , p e l a s e qu a ç õ e s 1 2 . 1 . 2 , p o d e m o s e n c o n t r a r u m a f u n ç ã o d e c o r r e n t e e , d e s s a f o r m a , e n c o n t r a m o s a f u n ç ã o d e c o r r e n t e d o vó r t i c e s i m p l e s :

( 1 2 . 4 . 2 )

N e s t e c a s o , a m a l h a t e r á a m e s m a f o r m a qu e n o c a s o d a f o n t e e s o r v e d o u r o , m a s , a s l i n h a s d e c i r c u n f e r ê n c i a s c o n c ê n t r i c a s c o n s t i t u i r ã o a s l i n h a s d e c o r r e n t e e a s l i n h a s r a d i a i s p a r t i n d o d a m e s m a o r i g e m s e r ã o l i n h a s d e p o t e n c i a i s c o m o i l u s t r a a f i gu r a 1 2 -4 . 1 , o n d e a s s e t a s i n d i c a m qu e o f l u i d o s e m o v e c o m t r a j e t ó r i a s c i r c u l a r e s e m t o r n o d a o r i g e m . U s a n d o o p r i m e i r o e s e gu n d o o u p r i m e i r o e t e r c e i r o m e m b r o s d a e qu a ç ã o 1 2 . 3 . 9 e 1 2 . 3 . 1 0 , p o d e m o s c a l c u l a r a s v e l o c i d a d e s r a d i a l e a n gu l a r e c o m i s s o o b t e m o s :

( 1 2 . 4 . 3 )

( 1 2 . 4 . 4 )

Obviamente, o nome vórtice nos lembra um rodamoinho, como aqueles formados por um reservatório de água esvaziando por algum encanamento, por exemplo. A figura 12-4.2retirada do livro de Shames [4] nos mostra um perfil aproximado de um rodamoinho, com uma região central chamada núcleo e uma região hachurada, onde o escoamento é bidimensional quando observado na direção z. Neste escoamento, existe o movimento circular devido ao vórtice, com velocidade decrescente conforme o raio vai aumentando. Nesse caso (vórtice simples) a origem é um ponto singular e está excluída da região hachurada de escoamento irrotacional, então podemos determinar a circulação em qualquer caminho que envolva a origem usando uma integral de linha:

∮ ∫ ∫ (12.4.5) Ф=K1

Ф=K2 Ф=K3

ψ=C1 ψ=C2 ψ=C3

Figura 1 2 - 4 . 1

z

Núcleo

Como neste escoamento a origem é a única singularidade, podemos dizer que esta deve ser a circulação para todos os caminhos que envolvam a origem. Logo, , no caso do vórtice, é a medida da circulação em torno da origem e também é chamada de magnitude.

12.5-O Par Fluido

Assim como o escoamento de fonte e sorvedouro, o par fluido também é um escoamento simples que é formado por um processo limite, um artificio matemático que pode fazer o escoamento parecer, pelo menos a principio, artificial. Porem, entender esse conceito é uma das coisas mais importantes em nosso estudo do escoamento de um fluido irrotacional e permanente em torno de um cilindro. Imaginemos uma fonte e um sorvedouro de iguais magnitudes e a iguais distâncias a da origem, sobre o eixo x, conforme mostra a figura 12-5.1.De qualquer ponto (x,y), podemos traçar os vetores distância r1 e r2 para a fonte e para o sorvedouro, respectivamente. Podemos também traçar em coordenadas polares (r,θ) a distância da origem até o ponto (x,y), como ilustrado na figura acima. Por trigonometria simples, conseguimos a relação entre r1, r2 e r:

(12.5.1)

(12.5.2)

y

x θ

r1

r2 r

a a

fonte sorvedouro

Figura 12-5.1

A função do potencial de velocidade dos dois escoamentos pode ser superposta, pois satisfazem a equação de Laplace e, desta forma, ira resultar em um escoamento combinado das equações 12.3.1 e 12.3.5:

(12.5.3)

Podemos ainda substituir os valores de r1 e de r2 mostrados nas equações anteriores para chegarmos ao potencial de velocidade em função de r e θ:

_[ ] (12.5.4)

Se em cada expressão logaritmica multiplicarmos e dividirmos por (r2_+d2_{) e} aplicando regras de matematica basica para logaritimos, teremos

_[

( ) ( )]

(12.5.5)

Dentro da chave, podemos cancelar o primeiro termo com o terceiro. Quando r ≠ a,

o termo

é menor que a unidade. Evitando essas posições, podemos expandir cada expressão logaritmica em serie de potência. Logo,

₍ ) ₍ )

(

) (

)

(12.5.6)

Organizando e agrupando os termos, teremos

₍ ) (12.5.7)

Quando aproximamos a fonte do sorvedouro, ou seja, faᴧemos a→0, ao mesmo tempo aumentamos a magnitude para um valor infinito fazendo com que no limite o

produto seja um numerofinito , ou seja

tal que →

Desta forma, o potencial de velocidade do escoamento par fluido fica

(12.5.9)

Combinando a função potencial de velocidade do par fluido com a equação 12.1.2, podemos chegar na expressão da função de corrente:

(12.5.10)

Podemos analisar as linhas de corrente do escoamento como sendo constante e

faᴧendo o ângulo θ ser igual a e, neste caso, obtemos

(12.5.11)

Levando essas equações até as coordenadas cartesianas, temos

(12.5.12)

Sabemos que esta é uma expressão que descreve uma circunferencia no plano cartesiano, cujo centro está sobre o eixo y. Assim, os varios valores de C formam uma familia de circulos que devem ser tangente ao eixo x, como mostra a figura 12-5.2, que é uma ilustração retirada do livro de Shames [4]. A direção do par fluido é sempre tomada do sorvedouro para a fonte e, a partir das posições adotadas inicialmente, fica claro que o escoamento deve partir da origem para a direção negativa do x, como mostrado na figura 12-5.2. Podemos fazer o mesmo com as linhas de potencial (assumir que elas são constantes) e, neste caso, as equações são dadas por

Em coordenadas cartesianas, temos

(12.5.14)

Novamente, temos uma equação de circunferência, porem desta vez o centro esta sobre o eixo xe são tangentes ao eixo y na origem, conforme mostrado na figura 21-5.2. Obviamente podemos supor inicialmente a fonte do lado positivo de x e o sorvedouro do lado negativo. O único efeito dessa mudança para nosso escoamento será a mudança de direção do escoamento que ao invés de ser no sentido horário, como mostra a figura, será no sentido anti-horário. Outra coisa que devemos analisar é sobre qual eixo o par fluido é desenvolvido. No nosso caso, foi no eixo x e como consequência disso as linhas de potencial devem coincidir com o eixo x. Novamente, observando a função corrente e o potencial velocidade, vemos que conforme nos aproximamos do centro do par (em nosso caso, a origem do sistema de referência), as velocidades radiais tornam-se infinitas. Mas como a circulação em torno do ponto singular é zero para qualquer magnitude de fonte ou de sorvedouro, é

ψ=C4 ψ=C5

ψ=C6 ψ=C3

ψ=C2

ψ=C1

Linhas de corrente

Linhas de Potencial de Velocidade y

x

claro que no caso do par a circulação também será zero para todos os caminhos. Para facilitar os cálculos seguintes, segue abaixo a tabulação dos resultados relevantes obtidos até este momento:

Tabela 12.5.1

Ф Ψ

Escoamento Uniforme

(dirigido para +x)

0 em todo lugar

Fonte

0 em todo lugar

Vórtice

anti-horário

em torno do ponto singular

Par fluido

(sentido –x)

0 em todo lugar

13-Superposição de escoamento

Para podermos alcançar nosso objetivo, devemos entender o método de superposição de escoamentos, que nada mais é do que a combinação entre dois ou mais escoamentos simples. Essa superposição só é possível porque todos os escoamentos simples estudados até agora satisfazem a equação de Laplace e, como sabemos, qualquer combinação de duas ou mais soluções é também uma solução.

13.1-Escoamento em torno de um cilindro sem circulação

(13.1.1)

Da mesma forma que já fizemos anteriormente, podemos encontrar também a

função de corrente da combinação e, desta forma, obtemos

(13.1.2)

Nesta nossa análise, a linha de corrente é de particular importância. Interpretamos anteriormente as linhas de corrente como uma linha tangencial ao vetor velocidade do escoamento do fluido. Desta forma, o fluido nunca irá transpor as linhas de corrente e é justamente essa a característica marcante de um contorno sólido. Desta forma, podemos considerar uma linha de corrente como um contorno solido bidimensional.Por exemplo, na figura 13-1.2 ilustramos um conjunto de linhas de corrente. Escolhemos ao acaso uma linha de corrente A-B e esta linha pode ser

y

x

Figura 13-1.1

Escoamento Uniforme _{Par Fluido}

considerada o contorno da superfície de um corpo sólido bidimensional que foi hachurado em nossa figura:

O restante das linhas de corrente (acima da linha A-B) formam a configuração do

escoamento em torno desse contorno. Fica claro agora que devemos encontrar uma

linha de corrente onde a área tenha algum significado prático no escoamento. Essa

linha será considerada um contorno sólido bidimensional e teremos então o

escoamento desejado. Segundo Shames [4],devemos analisar a linha de corrente

cuja constante é igual a zero na equação 13.1.2:

(13.1.3)

Vamos substituir ᴦ por r senθ e colocar senθ em evidência. Dessa forma, obtemos a equação:

(13.1.4)

Esta equação pode ser satisfeita se mostrando que o eixo x é, portanto, parte da linha de corrente. Além disso, se a expressão dentro dos parênteses for igual a zero, a equação também é satisfeita, ou seja, quando

A

B

(

)

(13.1.5)

Esta é a equação de uma circunferência de raio que também pode ser

considerado parte da linha de corrente ψ=0, conforme indicado na figura 13.1.3:

Podemos manipular a equação 13.1.5 e então, teremos a seguinte relação:

(13.1.6)

Agora, para descobrir as velocidades, podemos combinar as equações 13.1.4 e 13.1.6, com uma pequena modificação: agora não mais iremos igualar a função de corrente a zero, pois já encontramos o raio da circunferência. Logo, a função de corrente é dada por:

(13.1.7)

(

)

_A

B y

x

36

Feito isso, podemos encontrar as velocidades nesses pontos tomando as derivadas parciais do potencial de velocidade ou da função de corrente como mostrado nas equações 12.3.9 e 12.3.10, então:

(13.1.6)

(13.1.7)

Como sobre a superfície do cilindro r = r0, temos:

(13.1.8)

(13.1.9)

Observe novamente a figura 13-1.3e repare que nos pontos A e B a componente Vθ

também se anula. Esses pontos são chamados de pontos de estagnação. Vemos ilustrado na figura 13-1.4 uma superposição de um escoamento simples com um par fluido, conforme mostrado anteriormente. A região hachurada pode ser considerada um cilindro sólido e o escoamento sem atrito, a grandes distâncias do cilindro, move-se numa direção transversal ao eixo do cilindro. Agora, os pontos de estagnação possuem significado físico. As linhas externas ao circulo representam um escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro de raio

enquanto as linhas de corrente internas podem ser desprezadas.

É claro que podemos imaginar a parte externa como um sólido e a parte interna da circunferência como um escoamento, porem não é este o nosso objetivo aqui. Para chegar à esta conclusão, não podemos esquecer que cada um dos escoamentos simples que foram superpostos possuem circulação nula em todos os pontos e dessa forma, o escoamento em torno de um cilindro também possui circulação nula.

13.2- O Cilindro Rotativo

De acordo com Sissom [5], o movimento de rotação de um cilindro pode ser estudado também como uma superposição de três escoamentos simples: um escoamento uniforme, um escoamento de par fluido e um vórtice simples. Novamente devemos reforçar a ideia de que isso só pode ser feito porque todos esses escoamentos são soluções da equação de Laplace e, portanto, podem ser combinados de forma que essa combinação ainda seja solução. Com essa superposição, a função corrente e o potencial de velocidade do escoamento nada mais é que a soma das funções potenciais e das funções correntes dos três escoamentos. Na equação 13.1.7 foi calculado a soma dos dois primeiros escoamentos. Adicionando agora o vórtice simples, que está descrito nas equações 12.4.1 e 12.4.2, temos as seguinte equações:

(13.2.1)

(13.2.2)

Os últimos termos das equações acima são devido a um vórtice horário, como mostra a equação 12.4.3. Para estudar o caso do cilindro rotativo, faremos uma analise análoga àquela que foi feita no cilindro sem circulação. As componentes de velocidade são dadas por:

(13.2.3)

Se r = r0, temos:

(13.2.4)

Nos pontos de estagnação, temos que Vr = Vθ = 0, logo

(13.2.5)

Como consideramos um vórtice no sentido horário, de acordo com Kundu [6], os pontos de estagnação estarão no terceiro e quarto quadrantes, simetricamente em relação ao eixo y. A localização desses pontos depende da circulação que pode

ser menor, igual ou maior que

.

Cada uma dessas situações está ilustrada na figura abaixo, retirada do livro de Kundu e Cohen [6]:

14-Sustentação, resistência e distribuição da pressão

14.1- Cilindro sem circulação

Shames [4] define a sustentação e a resistência como as forças por unidade de comprimento sobre o cilindro nas direções normal e paralela, respectivamente, ao escoamento uniforme. Vamos analisar como fica a distribuição da pressão em torno do cilindro. Pela equação de Bernoulli, pode-se provar que a pressão se mantem uniforme a grandes distâncias, onde os efeitos do par fluido são desprezíveis. Conhecendo a pressão p0 e a velocidade de escoamento V0 do fluido, usamos a equação de Bernoulli no infinito e sobre os pontos de contorno do cilindro. Nos pontos A e B da figura 13.1.3, temos os pontos de estagnação. Para facilidade de leitura, a equação de Bernoulli é novamente escrita abaixo:

(14. 1.1)

A pressão no ponto de estagnação é chamada de pressão de estagnação. Como o fluido não pode transpor a linha de corrente, a velocidade Vcontorno terá obrigatoriamente uma direção transversal e será, portanto, igual a sua componente

Vθ. Assim, em ( ) temos

(14. 1.2)

E, substituindo na equação 14.1.1, temos

(14. 1.3)

Vemos então que quando θ = 0 ou quando θ = π, a pressão no cilindro é máxima.

Isso ocorre nos pontos A e B da figura 13-1.3. Já quando

ou quando

,

∫ ( )

∫ ( )

(14. 1.4)

Fazendo a integração, descobrimos que o valor da resistência D é zero. A sustentação L pode ser calculada de forma análoga, obtendo também o valor da sustentação L igual a zero.

(14.1.5)

A figura 14-1.1 extraída do livro de Kundu e Cohen [6] mostra a comparação entre a distribuição de pressão de um fluido irrotacional com a distribuição de pressão de um fluido real no escoamento em torno de um cilindro sem circulação.

No eixo y dessa figura temos a medida da grandeza

⁄ obtendo o maior valor

igual a 1 quando temos, no eixo x (que é a medida do ângulo do cilindro), os valores θ = 0 e θ = π.

13.2-Cilindro com circulação

Sabemos que no infinito a pressão é igual a p0, mas conforme o fluido se aproxima do cilindro a pressão vai aumentando. Se nós usarmos a equação de Bernoulli (14.1.1) entre os pontos de contorno e no infinito, temos:

(14.2.1)

A velocidade no contorno tem apenas a componente transversal, de forma que

_{( )}

⁄ _(14.2.2)

Agora, substituímos essa velocidade na equação 14.2.1 e obtemos os valores de pressão sobre o cilindro.

A sustentação L é dada por:

∫ ( ) ⁄ (14.2.3)

Substituímos o valor encontrado de pcontorno e fazemos a integral que, aparentemente é de difícil integração, porém a maioria dos termos dentro da integral se anula, de forma que o resultado final para a sustentação é dado pela expressão

(14.2.4)

15-Algumas considerações sobre fluidos reais

a maioria dos fluidos de interesse prático possuem viscosidade, como é o caso da água e do ar atmosférico. Para estas aplicações, o estudo da geometria e a determinação do numero de Reynolds são essenciais. Na figura 15-1, temos uma comparação da pressão em torno de um cilindro para escoamentos reais e ideais, com diferentes números de Reynolds, retirado do livro de H. Lamb [7]:

Devemos tomar o cuidado de não nos referirmos a um fluido ideal como laminar ou turbulento. O escoamento não viscoso não possui numero de Reynolds e, portanto, esta definida como uma corrente livre.

16-Conclusão

Observamos também que a teoria do escoamento potencial é análoga à dos campos eletrostáticos. Cada área de estudo envolve a solução da equação de Laplace para certas condições de contorno. Outras áreas que utilizam as mesmas técnicas são fluxo permanente de calor no meio homogêneo e o fluxo permanente de cargas elétricas. Esses estudos são tão importantes que a técnica ganhou um nome especial, a Teoria dos Campos Potenciais que em neste trabalho foi exclusivamente aplicada à mecânica dos fluidos.

17-Referencias Bibliográficas

[1] Potter, Merle C; Wiggert, David C. Mecânica dos Fluidos . 3. Ed. Cengage Learning, 2004

[2] Ramalho, Marcus V. C; Santos, Marcus B. L. Abordando a dinâmica de fluidos por uma via intuitiva, embora de validade restrita: princípio da superposição. Disponível em

<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172008000400003>. Acesso em 15/08/2011

[3] Melo, Severino Toscano; Neto, Francisco Moura . Mecânica dos Fluidos: Equações Diferenciais. Disponível em <http://www.ime.usp.br/~toscano/flu.pdf>. Acesso em 15/08/2011.

[4] SHAMES, Irving H. Mecânica dos fluidos vol.2, análise de escoamentos. Edgard Blucher Ltda, 1973

[5] Sisson, L. E; Pitts, D. R. Fenômeno de Transportes. Guanabara Dois, 1979.

[6] Kundu, Pijush K; Cohen, Ira M. Fluid Mechanics. 4. Ed.