03 04

(1)

e Limites

Marco Dias

Limites

Seja a fun¸cão f (x) = (2x+5)(x_x₋₂−2) que está definida para todo x _{�= 2} x f (x) 1 7 1,5 8 1,75 8,5 1,9 8,8 1,99 8,98 x f (x) 3 11 2,5 10 2,25 9,5 2,1 9,2 2,01 9,02 Temos assim 8, 8 < f (x) < 9, 2 quando 1, 9 < x < 2, 1 8, 98 < f (x) < 9, 02 quando 1, 99 < x < 2, 01

9 _{− � < f (x) < 9 + � quando 2 − δ < x < 2 + δ, onde �, δ > 0 e} devemos ter δ = �/2.

(2)

e Limites

Marco Dias

Limites

Def: Seja uma fun¸cão definida em um intervalo aberto I, contendo o ponto a, exceto talvez no próprio ponto a. O limite de f (x),

quando x se aproxima de a ´e L se, _{∀� > 0, ∃δ > 0 tal que tenhamos} |f (x) − L| < � sempre que 0 < |x − a| < δ

Observe que _{|f (x) − L| < � signiﬁca L − � < f (x) < L + � e} 0 < _{|x − a| < δ signiﬁca a − δ < x < a + δ e x �= a.}

Nota¸c˜ao:

lim

(3)

e Limites

Marco Dias

Limites

Ex: Mostre que lim

x_→3 x2 + x _{− 12} x _{− 3} = 7 Usando a deﬁni¸c˜ao |f (x) − L| < �, logo � � � �x 2 _{+ x} _{− 12} x _{− 3} − 7 � � � � < � ⇒ � � � �x 2 _{+ x} _{− 12 − 7x + 21} x _{− 3} � � � � = |(x − 3) 2_| |x − 3| < � ∴ |x − 3| < �

Portanto fa¸ca δ = � e teremos que _{|f (x) − 7| < � sempre que} |x − 3| < δ.

(4)

e Limites

Marco Dias

Limites

Ex: Mostre que lim

x_→3x

2 _{= 9}

|x2 − 9| < 3 ⇔ |(x − 3)(x + 3)| < � |x − 3||x + 3| < � ⇒ |x − 3| < �

|x + 3|

O valor acima depende de x. Por exemplo se 2 < x < 4 teremos

5 < x + 3 < 7 _{⇒ 5 < |x + 3| < 7} 1 7 < 1 |x + 3| < 1 5 ⇒ � 7 < � |x + 3| < � 5 δ = min_{1, � 7} Lembre-se que 3 ₋ 1 < x < 3 + 1.

(5)

e Limites

Marco Dias

Limites: teoremas

1. O limite quando existe ´e ´unico.

2. lim

x_→a(mx + b) = ma + b se m e b s˜ao constantes.

3. lim

x_→ax = a

4. lim

x_→ak = k onde k ´e constante.

5. lim

x_→a[f (x) ± g(x)] = limx_→a f (x) ± limx_→ag (x)

6. lim

x_→a[f (x) · g(x)] = limx_→af (x) · limx_→ag (x)

7. lim

x_→a[kf (x)] = k limx_→a f (x) onde k ´e constante.

8. lim x_→a[f (x)] n ₌ � _lim x_→af (x) �n 9. lim

x_→af (x) = L, L �= 0 ent˜ao limx_→a

1

f (x) = 1 L

10. Se lim

x_→a f (x) = L ent˜ao limx_→a n

�

f (x) = √n L onde se L _{≤ 0, n} inteiro qualquer, se L < 0, n ´e inteiro ´ımpar.

(6)

e Limites Marco Dias

Limites: teoremas

Ex: f (x) = � x _{− 3 se x �= 4} 5 se x = 4 xlim_→4 f (x) = limx_→4(x − 3) = 1 Ex: lim x_→2 �

1 _{− x}2 _{n˜ao existe, pois D(f ) = [}_{−1, 1]}

Ex: lim x_→1 √ x _{− 1} x _{− 1} lim x_→1 √ x _{− 1} x _{− 1} = limx_→1 √ x _{− 1} x _{− 1} √ x + 1 √ x + 1 = limx_→1 ✘✘✘(x _{− 1)}✘ ✘✘✘(x _{− 1)(}✘ √x + 1) = 1 2 Ex: lim x_→1 √ x _{− 1} √ 2x + 3 ₋ √5 lim x_→1 √ x _{− 1} √ 2x + 3 ₋ √5 = xlim_→1 √ x _{− 1} √ 2x + 3 ₋ √5 √ x + 1 √ x + 1 = lim x_→1 x _{− 1} (√2x + 3 ₋ √5)(√x + 1) · √ 2x + 3 + √5 √ 2x + 3 + √5 = lim x_→1 (x _{− 1)(}√2x + 3 + √5) 2(√x + 1)(x _{− 1)} = xlim_→1 √ 2x + 3 + √5 √ x + 1 = √ 5 2

(7)

e Limites

Marco Dias

Limites Laterais

Def: Seja f deﬁnida em (a, c) lim

x_→a+ f (x) = L ⇔ ∀� > 0, ∃δ > 0

tal que tenhamos _{|f (x) − L| < � sempre que a < x < a + δ (limite} no ponto à direita). O limite no ponto à esquerda é definido no intervalo (c, a) como lim

x_→a− f (x) = L ⇒ ∀� > 0, ∃δ > 0 tal que

tenhamos _{|f (x) − L| < � sempre que a − δ < x < a.}

Ex: f (x) = |x|_x em a = 0. lim x_→0+ f (x) = lim_x_→0+ x x = 1 lim x_→0− f (x) = lim_x_→0− −x x = −1

(8)

Limites Laterais

Ex: f (x) =    x + 3 se x < 2 2 se x = 2 x2 _{− 4 se x > 2}

O gráfico da fun¸cão é

esbo¸cado abaixo: Logo teremos lim x_→2+ f (x) = 0 lim x_→2− f (x) = 5 Portanto lim x_→2f (x)

(9)

Limites Laterais

Ex: f (x) = � x _{− 1} se x _{≤ 3} 3x _{− 7 se x > 3} lim x_→3− f (x) = x_→3lim−(x − 1) = 3 − 1 = 2 lim x_→3+ f (x) = _xlim_→3+(3x − 7) = 2 ⇒ lim x_→3 f (x) = 2 Ex: f (x) = √4 _{− x}2 lim x_→2− � 4 _{− x}2 _{= 0,} _lim x_→−2+ � 4 _{− x}2 _{= 0}

(10)

e Limites

Marco Dias

Limites no Inﬁnito

Def: Seja f deﬁnida em (a, _∞). lim

x_→+∞f (x) = L ⇔ ∀� > 0, ∃M > 0

tal que tenhamos _{|f (x) − L| < � sempre que x → +∞, ou x > M.}

Def: Seja f deﬁnida em (_{−∞, a).} lim

x_→−∞ f (x) = L ⇔ ∀� > 0, ∃N < 0

(11)

Limites no Inﬁnito:teorema

Teorema: � _lim x_→+∞ 1 xr = 0 � _lim x_→−∞ 1 xr = 0 Ex: lim x_→−∞ 2x3 _{− 3x + 5} 4x5 _{− 3}

Dividimos todos os termos pelo maior expoente do denominador e numerador, lim x_→−∞ 2x3 _{− 3x + 5} 4x5 _{− 3} = lim_x_→−∞ ✓ ✓ ✼0 2 x2 −✓✓✼ 0 3 x4 + ✓✓✼ 0 5 x5 4 _−✓✓✼ 0 3 x5 = 0 Ex: lim x_→−∞ x + 1 x = limx_→−∞ 1 + 1/x 1 = 1

(12)

Limites no Inﬁnito:teorema

Ex: lim x_→+∞ x( � x2 _{− 1 − x)} lim x_→+∞ x( � x2 _{− 1 − x)} ₌ _lim x_→+∞ x(√x2 _{− 1 − x)(}√_x2 _{− 1 + x)} √ x2 _{− 1 + x} = lim x_→+∞ x(x2 _{− 1 − x}2) √ x2 _{− 1 + x} = −x_x � x2 x2 − _x12 + x_x = ₋1 2 Ex: lim x_→+∞ � 3 + 2 x � cos � 1 x �

Fa¸ca θ = _x1. Logo x _{→ +∞ implica} em θ _{→ 0}+, como veremos `a seguir.

lim x_→+∞ � 3 + 2 x � cos � 1 x � = lim θ_→0+(3 + 2θ)cos(θ) = 3

(13)

Limites no Inﬁnito

Ex: f (x) = √ x x2_+x₋₁₂ lim x_→+∞ x √ x2 _{+ x} _{− 12} lim x_→+∞ x √ x2 _{+ x} _{− 12} = x_→+∞lim x x � x2 x2 + _xx2 − 12_x2 = lim x_→+∞ 1 � 1 + ✁✁x1 − ✓✓ 12 x2 = 1 lim x_→−∞ x √ x2 + x _{− 12}

lembre-se que agora x = ₋√x2_{, pois se x < 0} _⇒ √_x2 ₌ _{|x| = −x:}

lim x_→−∞ x √ x2 _{+ x} _{− 12} = _x_→−∞lim x x − � x2 x2 + _xx2 − 12_x2 = lim x_→−∞ 1 � 1 + ✁✁1 ✓✓12 = ₋₁

(14)

e Limites

Marco Dias

Limites Inﬁnitos

Def: Seja f deﬁnida em (a, _∞). lim

x_→af (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0

tal que tenhamos f (x) > M sempre que 0 < _{|x − a| < δ}

Def: Seja f deﬁnida em (_{−∞, a).} lim

x_→a f (x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0

(15)

e Limites

Marco Dias

Limites Inﬁnitos: Teoremas

Exemplo: Mostre que

lim x_→1+ 1 x _{− 1} = +∞. Seja 0 < _{|x − 1| < δ ⇒ 0 < x − 1 < δ} pois x _{− 1 > 0 neste caso. Logo}

1

x _{− 1} > 1 δ

(16)

e Limites

Marco Dias

Limites Inﬁnitos: Teoremas

1. lim x_→0+ 1 xr = +∞ 2. lim x_→0− 1 xn = � +_∞ se n par −∞ se n ´ımpar 3. Se lim

x_→a f (x) = +∞ e limx_→ag (x) = k ent˜ao

lim

x_→a[f (x) + g (x)] = +∞

4. Se lim

x_→a f (x) = −∞ e limx_→ag (x) = k ent˜ao

lim

x_→a[f (x) + g (x)] = −∞

5. Se lim

x_→a = +∞ e limx_→ag (x) = c �= 0,

5.1 lim x→af (x) · g(x) = � +_∞ se c > 0 −∞ se c < 0 5.2 lim x→a f (x) g (x) = � +_∞ se c > 0 −∞ se c < 0 6. Se lim

x_→a f (x) = −∞ e limx_→ag (x) = c �= 0,

6.1 lim x_→af (x) · g(x) = � −∞ se c > 0 +_∞ se c < 0 6.2 lim x_→a f (x) g (x) = � −∞ se c > 0 +_∞ se c < 0

(17)

e Limites

Marco Dias

Limites Inﬁnitos: Teoremas

9. Se lim

x_→a f (x) = 0 e limx_→ag (x) = c �= 0

f (x) c g (x)_{f (x)} 0+ + +_∞ 0+ - _−∞ 0− + _−∞ 0− - +_∞

Def: São chamadas indetermina¸cões as seguintes expressões

� _{∞ − ∞} � ₀ _{· ∞} � 0 0 � ₀0 � _∞0 � ₀∞

(18)

Limites Inﬁnitos

Ex: lim x_→3+− 2x x _{− 3} lim x_→3+ 2x x _{− 3} = +∞ lim x_→3− 2x x _{− 3} = −∞ Ex: lim x_→2− x2 + 3x + 1 x2 _{+ x} _{− 6} = lim x_→2− x 2 _{+ 3x + 1} lim x_→2−(x − 2)(x + 3) = 11 0− = −∞ Ex: lim x_→0 x + 1 x lim x_→0 x + 1 x =      lim x_→0+ x + 1 x = ∞ lim x_→0− x + 1 x = −∞ ∴ � lim x_→0 x + 1 x

(19)

e Limites

Marco Dias

Limites Inﬁnitos no Inﬁnito

Ex: lim x_→−∞ x 3 ₌ −∞ Ex: lim x_→−∞ x 2 _{= +} ∞ Ex: lim x_→+∞ x2 + x 3 _{− x} lim x_→+∞ x2 + x 3 _{− x} = x_→+∞lim 1 + x 3 x − 1 = _−∞ Ex: lim x_→+∞x 2 − x

Note que _{∞ − ∞ é uma indetermina¸cão. O que podemos fazer é} expressar: lim x_→+∞x 2 − x = lim x_→+∞ x · limx_→+∞(x − 1) = ∞

(20)

e Limites

Marco Dias

Ass´ıntotas Horizontais e Verticais

Def: Diz-se que a reta x = a é uma ass´ıntota vertical do gráfico de uma fun¸cão f se pelo menos uma das afirma¸cões for verdadeira:

1. lim x_→a+ f (x) = +∞ 2. lim x_→a+ f (x) = −∞ 3. lim x_→a− f (x) = −∞ 4. lim x_→a− f (x) = +∞

Def: Diz-se que a reta y = b é uma ass´ıntota horizontal do gráfico de uma fun¸cão f se pelo menos uma das afirma¸cões for verdadeira:

1. lim

x_→+∞f (x) = b

2. lim

(21)

e Limites

Marco Dias

Ass´ıntotas Horizontais e Verticais

Ex: f (x) = ₋_x28₋₄ lim x_→−2+ f (x) = +∞ lim x_→−2− f (x) = −∞ lim x_→2− f (x) = +∞ lim x_→2+ f (x) = −∞ lim x_→−∞ f (x) = 0, limx_→+∞f (x) = 0

(22)

e Limites

Marco Dias

Ass´ıntotas Horizontais e Verticais

Ex: f (x) = √_3x2x₋₅2+1 lim x_→+∞ √ 2x2 _{+ 1} 3x _{− 5} = x_→+∞lim � 2 + _x12 3 ₋ _x5 = √ 2 3 No limite de _{−∞ lembre-se que x = −}√x2 _:

lim x_→−∞ √ 2x2 _{+ 1} 3x _{− 5} = x_→−∞lim − � 2 + _x12 3 ₋ 5_x = − √ 2 3

A fun¸c˜ao zera o denominador em x = 5₃. Logo teremos de observar os limites laterais neste ponto:

lim x_→5₃+ √ 2x2 _{+ 1} 3x _{− 5} = ∞ lim x_→5₃− √ 2x2 _{+ 1} 3x _{− 5} = −∞

(23)

e Limites

Marco Dias

(24)

Limites Fundamentais

Prop.: lim x_→0 sen(x)

x = 1 Será necessário ter um teorema em mãos:

Teorema do Confronto

Sejam f , g e h fun¸c˜oes deﬁnidas em um intervalo aberto I contendo a, exceto talvez no ponto a e se f (x) _{≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I , x �= a.} Se lim

(25)

Limites Fundamentais

Ex: Calcule lim x_→0 x 2_sen2 � 1 x � Como 0 _{≤ sen}2(1/x) _{≤ 1,} teremos 0 _{≤ x}2sen2 � 1 x � ≤ x2 ⇒ lim x_→0 0 ≤ limx_→0 x 2_sen2 � 1 x � ≤ lim x_→0 x 2 Ou seja lim x_→0x 2_sen2 � 1 x � = 0.

(26)

e Limites

Marco Dias

Limites Fundamentais

Considere 0 < x < π₂ :

´

Area do _{� OBC ≤ ´Area do setor OBC ≤ ´Area do � OBD} 1 _{· sen(x)} 2 ≤ x 2 ≤ 1.tg (x) 2 1 _≤ x sen(x) ≤ 1 cos(x) 1 _≥ sen(x) x ≥ cos(x)

(27)

e Limites

Marco Dias

Limites Fundamentais

A ´area do setor A for obtida por uma regra de trˆes

2π _{→ π · 1}

x _{→ A ∴ A =} x 2

Como sen(x)/x e cos(x) são fun¸cões pares a desigualdade é válida para qualquer x _{�= 0. Usando os limites de x → 0 e o teorema do} confronto prova-se a proposi¸cão.

Ex: lim x_→0 sen(3x) x fazendo y = 3x, x → 0 ⇒ y → 0 lim x_→0 sen(3x) x = ylim_→0 sen(y ) y 3 = 3 lim y_→0 sen(y ) y = 3 Ex: lim x_→0 tg (x) x lim x_→0 tg (x) x = xlim_→0 sen(x) cos(x) x = limx_→0 sen(x) x · 1 cos(x) = lim x_→0 sen(x) x xlim_→0 1 cos(x) = 1

(28)

Limites Fundamentais

Ex: lim x_→0 cos(x) _{− 1} x lim x_→0 cos(x) _{− 1} x = = lim x_→0 (cos(x) _{− 1)}(cos(x) + 1) x(cos(x) + 1) = lim x_→0 cos2(x) _{− 1} x(cos(x) + 1) = lim x_→0 −sen2(x) x(cos(x) + 1) = lim x_→0 −sen(x) x xlim_→0 sen(x) cos(x) + 1 = 0

(29)

e Limites

Marco Dias

Limites Fundamentais

Exemplo: Seja f (x) = sen(x). Calcule lim h_→0 f (x + h) _{− f (x)} h . lim h_→0 sen(x + h) _{− sen(x)} h = lim h_→0

sen(x)cos(h) + cos(x)sen(h) _{− sen(x)} h = lim h_→0sen(x) cos(h) _{− 1} h + limh_→0 cos(x) sen(h) h = sen(x) lim h_→0 sen(x) cos(h) _{− 1} h � �� =0 +cos(x) lim h_→0 sen(h) h � �� =1 = cos(x)

(30)

e Limites

Marco Dias

Limites Fundamentais

Prop.: lim

x_→±∞(1 + 1/x)

x _{= e. A prova desta proposi¸c˜ao envolve}

no¸c˜oes de s´eries, sendo omitida aqui.

Ex: lim x_→∞ � 1 + 2 x �x

Fazendo a mudan¸ca de variável y = x/2, y também tende à infinito

lim x_→∞ � 1 + 2 x �x = lim y_→∞ � 1 + 1 y �2y = � lim y_→∞ � 1 + 1 y �x�2 = e2 Ex: lim x_→∞ � x + 2 x + 1 �x lim x_→∞ � x + 2 x + 1 �x = lim x_→∞ xx xx � 1 + 2_x 1 + 1_x �x = lim x_→∞ � 1 + 2 x �x lim x_→∞ � 1 + 1 x �x = e2 e = e

(31)

Limites Fundamentais

Ex: lim x_→0 ax _{− 1} x , (a > 0, a �= 1)

Faremos uma mudan¸ca de vari´avel:

t = ax _{− 1 ⇒ a}x = t + 1 _{⇒ ln(a}x) = ln(t + 1) _⇒ x ln(a) = ln(t + 1) ∴ x = ln(t + 1) ln(a) ∴ x → 0 ⇒ t → 0 lim x_→0 ax _{− 1} x = tlim_→0 t ln(t+1) ln(a) = ln(a) _{· lim} t_→0 1 ln(t+1) t , (1)

O limite do denominador ´e calculado como

lim t_→0 ln(t + 1) t = tlim_→0 ln(t + 1) 1/t _{= ln} �_lim t_→0(1 + t) 1/t� u=1/t = lim u_→∞ (1 + 1/u) u = ln(e) = 1

(32)

Limites Fundamentais

Logo, lim x_→0 ax _{− 1} x = ln(a) · 1 1 = ln(a) Ex: lim x_→0 � sen(2x) x �1+x lim x_→0 � sen(2x) x �1+x = lim x_→0e ln(sen(2x)_x )1+x _{= lim} x_→0 e (1+x)ln(sen(2x)_x ) = e1·ln(2) = 2 pois lim x_→0 sen(2x) x = limx_→0 2 sen(2x) 2x = 2

(33)

e Limites

Marco Dias

Continuidade

Def: Dizemos que f (x) ´e cont´ınua no ponto a se

1. _{∃f (a)} 2. _{∃ lim} x_→a f (x) 3. lim x_→af (x) = f (a) Ex: f (x) = � |x − 3| se x �= 3 2 se x = 3 f (3) = 2 lim x_→3+ f (x) = 0 lim x_→3− f (x) = 0

Portanto ´e descont´ınua em x = 3.

Teoremas:

1. f (x) = a e f (x) = x s˜ao cont´ınuas em todo ponto.

2. Se f (x) e g (x) são fun¸cões cont´ınuas em a, então

2.1 f + g ´e cont´ınua em a;

2.2 f _{− g ´e cont´ınua em a;}

2.3 f _{· g ´e cont´ınua em a;}

(34)

e Limites

Marco Dias

Continuidade

3. Toda fun¸c˜ao polinomial ´e cont´ınua (decorre das propriedades anteriores).

4. Toda fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio.

5. Se lim

x_→a g (x) = b e f ´e cont´ınua em b ent˜ao

lim x_→a(f ◦ g)(x) = f (b) Ex: lim x_→2(x 3 _{+ 5x + 1)}4 lim x_→2 ( g (x) � �� x3 + 5x + 1 )4 = �lim x_→2 x 3 _{+ 5x + 1}�4 _{= 19}4

6. Se g é cont´ınua em a e f é cont´ınua em g (a) então a composta f _{◦ g é cont´ınua em a.}

(35)

e Limites

Marco Dias

Continuidade

Def: f ´e cont´ınua em a `a direita se lim

x_→a+ f (x) = f (a)

Def: f ´e cont´ınua em b `a esquerda se lim

x_→b− f (x) = f (b)

Def: Uma fun¸cão é cont´ınua em [a, b] se for cont´ınua à direita em a, à esquerda em b e cont´ınua em (a, b).

Ex: f (x) = � −1 se x < 0 1 se x _{≥ 0} 1. ´e cont´ınua em a = _−2. 2. no ponto a = 0: lim x_→0+ f (x) = 1, lim_x_→0− f (x) = −1 e f (0) = 1.

3. f é cont´ınua em [0, 5] mas não é cont´ınua em [_{−2, 0] pois não} é cont´ınua em x = 0 à esquerda.

Teorema do anulamento

Se f é cont´ınua em [a, b] e f (x) e f (b) tem sinais contrários então existe c _{∈ [a, b] tal que f (c) = 0.}

(36)

Continuidade

Ex: f (x) = � 3x + 1 se x _{≤ 0} 2 _{− x}2 se x > 0 f (0) = 1 lim x_→0+ f (x) = 2 lim x_→0− f (x) = 1

(37)

Continuidade

Ex: f (x) =    2x2 x2₊₁ se x < 1 2 se x = 1 2x x+1 se x > 1 f (1) = 2 lim x_→1− f (x) = 1 lim x_→1+ f (x) = 1

(38)

Continuidade

Ex: f (x) = x + 2 x _{− 2} �f (2) lim x_→2− f (x) = −∞ lim x_→2+ f (x) = +∞ Um descontinuidade inﬁnita

(39)

Continuidade

Ex: f (x) =    x + 2 se x < 0 ex se 0 _{≤ x < 1} e(2x2 _{− 1) x ≥ 1} no intervalo [0, 1] lim x_→0+ f (x) = e 0 _{= 1 = f (0)} lim x_→1− f (x) = e 1 _{= e = f (1)}