GabaritoModulo3unoVetores

(1)

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998.

Manual do Professor

Física

em sala de aula

Módulo 3

Cinemática vetorial

Conteúdo analítico

3 Objetivos do módulo e de seus capítulos

3 Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais

4 Estratégias para a ação docente

5

Abertura

5

Capítulo 1 — Grandezas vetoriais

5

Capítulo 2 — Composição de movimentos

7

Capítulo 3 — Lançamento no vácuo

8

Capítulo 4 — Movimento circular uniforme (MCU)

10 Avaliação do aprendizado

1 1

Enriqueça sua aula

12 Resolução dos exercícios propostos

13

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Editor executivo: Marco Antônio Costa Fioravante Edição: Eugenio Dalle Olle, Marco Antônio Costa Fioravante Preparação: Geraldo Fantin, Temas e Variações Editoriais Revisão: Lara Milani (coord.), Adriana B. dos Santos, Alexandre

Sansone, Amanda Ramos, Anderson Félix, André Annes Araujo, Aparecida Maffei, David Medeiros, Greice Furini, Maria Fernanda Neves, Renata Tavares

Colaboração: Ana Luiza Sério Coordenação de arte: Aderson Oliveira

Edição de arte: Benedito Minotti, Fabio Ventura, Marina C. Nievas,

Raquel Bortoletto, Ricardo Yorio, Roberto Figueirinha, Tyago Bonifácio

Iconografia: Ana Lúcia S. Buendia (coord.), Fabio Matsuura, Flávia

Aline Morais

Projeto gráfico: Signorini Produção Gráfica

Diagramação: Christof Gunkel, Exata Editoração, Formato Comunicação,

Grapho Editoração, Sammartes

Ilustrações: Adilson Secco, Alexandre Jubran, Carlos Estevão

Simonka, Cecília Iwashita, Daniela Weil, DuoVentura Editorial, Edilson Antônio da Silva, Estúdio Manga, Fabiano Lucio, Fernando J. Ferreira, Gilberto Rodrigues Martho, Infografe, Irineu Paulini, Jótah Ilustrações, Jurandir Ribeiro, Keila Grandis, Levi Ciobotariu, Luigi Rocco, Maurício Antônio de Souza, Osni de Oliveira, Osvaldo Sequetin, Paulo César, Paulo Manzi, Ricardo Yorio, Rogério Borges, Sattu, Sérgio Furlani, Studio Caparroz, Vagner Coelho, Vanessa Teixeira, Vicente Mendonça

Cartografia: Lucinei Normandia

Foto de capa: Schlegelmilch/Corbis/Latinstock

Pré-impressão: Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GRUPO SANTILLANA Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (11) 2790-1500

Fax (11) 2790-1501 www.sistemauno.com.br 2009 Impresso no Brasil AUTORES Blaidi Sant’Anna

Licenciado em Física pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

Hugo Carneiro Reis

Doutor em Ciências pela USP Professor de Física do Ensino Médio

Maria da Glória Martini

Mestre em Ensino de Física pela USP Professora de Física do Ensino Médio

Walter Spinelli

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

(3)

Conteúdo analítico

No módulo 3 discutimos a diferença entre grandezas escalares e vetoriais, ressaltando a importância de informações sobre a direção e o sentido para compreender corretamente alguns fenômenos físicos. Trata também da composição e decomposição de movimentos, que permite construir uma visão mais ampla sobre o estudo da cinemática. Dentro desse quadro, esse módulo apresenta diferentes tipos de movimento como os lançamentos e o movimento circular.

O capítulo 1 apresenta o caráter vetorial de algumas grandezas físicas e operações vetoriais. O capítulo 2 aborda o princípio de independência dos movimentos de Galileu e a composição de movimentos.

O lançamento é o tipo de movimento tratado no capítulo 3, em que se discute a decomposição dos movimentos para uma melhor compreensão dos lançamentos vertical e oblíquo.

Para fechar o módulo, o capítulo 4 discute o movimento circular, as grandezas escala-res e vetoriais envolvidas e algumas situações práticas em que elas aparecem.

Objetivos do módulo e de seus capítulos

Espera-se que ao fim do módulo os alunos sejam capazes de:

n identificar grandezas vetoriais e diferenciá-las das grandezas escalares;

n utilizar a notação indicada para representar grandezas vetoriais e efetuar operações com

essa classe de grandezas;

n determinar o vetor resultante da adição de um ou mais vetores e representá-lo

geometri-camente;

n descrever um movimento por intermédio de sua decomposição em dois outros,

indepen-dentes e simultâneos em direções perpendiculares;

n identificar, caracterizar e manipular algebricamente as grandezas físicas presentes em

(4)

Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais

Conteúdos conceituais Conteúdos procedimentais Conteúdos atitudinais

C

apít

ulo 1 _n_{Grandezas vetoriais.}

n Compreender o conceito de grandezas escalares e vetoriais.

n Identificar vetores e dominar as operações com vetores.

n Identificar grandezas vetoriais.

n Perceber quais os processos cotidianos em que aparecem grandezas escalares e vetoriais.

n Identificar movimentos independentes em um movimento composto.

n Ser capaz de decompor grandezas vetoriais como a velocidade.

n Identificar movimentos circulares, como o movimento da Terra em torno do Sol ou de seu próprio eixo.

n Associar variações do movimento às variações de velocidade, aceleração e frenagem. C apít ulo 2 n Composição de movimentos. n Compreender o conceito de independência de movimentos simultâneos.

n Dominar os procedimentos para a composição de velocidades e determinar a direção do

movimento.

C

apít

ulo 3 _n_{Lançamento no vácuo.}

n Compreender a decomposição do movimento nas direções

ortogonais.

n Diferenciar movimentos verticais e oblíquos.

n Manipular equações que possam descrever os tipos de lançamento. C apít ulo 4 n Movimento circular uniforme. n Período, frequência. n Velocidade e aceleração angular. n Aceleração centrípeta. n Identificar as grandezas

envolvidas no movimento circular.

n Relacionar período e frequência

com as demais grandezas envolvidas.

n Compreender os conceitos de

aceleração tangencial e centrípeta e sua relação com o vetor velocidade.

(5)

Estratégias para a ação docente

Abertura

As grandezas vetoriais constituem grande parte das grandezas físicas e precisam de especial atenção. A capa desse módulo traz um mapa com setas que indicam o percurso de uma competição de barco a vela. Essas setas indicam a direção e o sentido em que os barcos devem navegar para ir do ponto de largada até a boia 1, da boia 1 para a boia 2 e depois desta última para o ponto de chegada. Trabalhe com os alunos esse mapa e peça a eles que mostrem qual seria a seta que poderia representar a distância real entre o ponto de largada e o de chegada.

O conceito de vetor pode ser bastante natural aos alunos, mas lembre-se de que eles ainda desconhecem a nomenclatura vetor. Não se preocupe com o emprego correto do termo nesse momento; o importante é que entendam que os vetores (ou as setas desenha-das) têm direção e sentido que os determinam.

Ao determinar o vetor que liga o ponto de largada e o de chegada, estamos já desenvol-vendo o conceito de deslocamento resultante e fazendo, intuitivamente, a soma de vetores, que será abordada com mais cuidado ao longo do módulo.

As imagens das páginas 2 e 3 trazem à tona a história das navegações. Comente com os alunos que, na época das Grandes Navegações, os instrumentos de localização eram muito precários e que, para se localizar, os comandantes contavam apenas com mapas incomple-tos e, como equipamento, bússolas ainda rudimentares e com a posição do Sol no céu.

Consiga alguns mapas ou mesmo trechos de guias da cidade e proponha que os alunos desenhem rotas para ir de um ponto a outro, usando vetores. O vetor deslocamento é uma das grandezas vetoriais mais importantes, e é nesse momento que os alunos devem com-preender conceitualmente sua utilização.

Capítulo 1

Grandezas vetoriais

Esse capítulo trata da diferença entre as grandezas escalares e vetoriais, ressalta a importância da direção e do sentido para algumas grandezas e apresenta o conceito de vetor resultante.

Vetores

Caracterizar algumas grandezas físicas apenas pelas respectivas intensidades não é o suficiente. A figura 2 (p. 4) traz o exemplo da velocidade. Quando dizemos o valor da veloci-dade de um automóvel, não fornecemos todas as informações sobre seu movimento. A velo-cidade do automóvel pode ser na direção norte-sul, na direção leste-oeste, ou mesmo de cima para baixo, caindo. A figura mostra três automóveis, cada um em uma direção, mas to-dos com a mesma intensidade de velocidade. Dessa maneira, para fornecer realmente infor-mações sobre o movimento do automóvel, além do valor da intensidade da velocidade, ou seu módulo, precisamos dizer em qual direção esta velocidade está e qual o seu sentido.

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Além da velocidade, outras grandezas vetoriais são muito utilizadas em física. Comente nesse momento com os alunos que a atividade de abertura desse módulo tratou do vetor deslocamento.

Pergunte aos alunos que outras grandezas eles podem identificar como dependentes da direção e do sentido. Explique que a massa de um corpo tem apenas intensidade, portanto, é uma grandeza escalar. Já o peso, que é uma força, tem direção e sentido definidos, ver-tical e para baixo; portanto, é uma grandeza vetorial. Analise outras grandezas citadas pe-los alunos e aproveite para explorar as figuras da página 5. Na figura 4, explique cuidado-samente a questão dos vetores que têm a mesma direção, mas sentidos opostos. Na figura 5, explique que para frear o automóvel é preciso que a aceleração esteja na mesma direção da velocidade, mas em sentido contrário. Peça aos alunos que respondam aos exercícios dos conceitos 1 e 2 (p. 6 e 7) para finalizar essa discussão.

Explique o exercício resolvido R1 (p. 6). As informações fornecidas pelo enunciado não são suficientes para determinar a resposta porque não foram dadas informações sobre a direção e o sentido das velocidades e das posições. Antes de explicar, divida a classe em quatro grupos e peça que cada grupo analise uma das situações representadas nas ima-gens. Peça aos alunos que não leiam a resolução antes dessa discussão. Ainda em grupos, peça que resolvam os demais exercícios dos conceitos (p. 7 e 8). Acompanhe os grupos esclarecendo dúvidas que surgirem sobre a representação vetorial.

Operações com vetores

Realizar operações com vetores é uma atividade importante para a compreensão do vetor resultante, fundamental para o desenvolvimento do conhecimento físico. A orientação no plano cartesiano é muito importante nesse momento. Certifique-se que os alunos reali-zaram bem os exercícios da seção anterior e que consigam localizar-se no plano cartesiano decompondo informações em relação à vertical e horizontal.

Retome o mapa da capa do módulo. Aponte o que foi necessário para que eles determi-nassem a distância efetiva entre o ponto de largada e de chegada da corrida de barcos. Diga que aquele é o vetor deslocamento resultante. Apesar de os barcos terem percorrido uma distância grande, o vetor deslocamento resultante é menor. Explore as figuras 8 e 9 (p. 9) que apresentam um vetor deslocamento vertical e outro horizontal, resultando em um vetor deslocamento resultante em outra direção, cujo módulo é diferente da soma dos mó-dulos dos vetores anteriores. Quem se lembra do teorema de Pitágoras? Não suponha que os alunos já saibam esse conteúdo, explique-o com cuidado para que eles possam seguir adiante sem dificuldades. Explique o exercício resolvido R2 (p. 10) e solicite que resolvam os exercícios dos conceitos (p. 11, 12 e 13).

Uma atividade interessante que pode ser feita é a corrida de vetores. Providencie folhas de papel quadriculado e desenhe nele uma pista de corrida. A pista deve ser larga o suficien-te para que os alunos consigam desenhar os vetores sem dificuldade. Divida a classe em grupos de três ou quatro alunos, para que todos consigam jogar.

A representação de uma possível pista e mais regras sobre o jogo podem ser encontra-das no site: www.mat.ufmg.br/gaal/exercicios/corrida_vetores.html.

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R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. As regras do jogo:

n Defina a linha de largada, os alunos deverão contornar toda a pista e retornar a essa linha. n Sorteia-se a ordem de jogada, cada aluno pode escolher seu vetor inicial com módulo

igual a 1, ele pode ser (0, 1), (1, 0), (0, 21) ou (21, 0).

n Na próxima jogada a origem do vetor traçado será o final do vetor anterior, o vetor

resul-tante não precisa ser desenhado mas é imporresul-tante que os alunos o identifiquem para que consigam avançar na corrida.

n A cada jogada o aluno pode aumentar ou diminuir seu vetor em uma unidade na direção

vertical e uma na horizontal. Por exemplo, se o jogador escolheu o vetor inicial (0, 1), seu segundo vetor pode ter abscissa (horizontal) 0, 21 ou 1 e pode ser a ordenada (vertical) 0, 1 ou 2. Provavelmente os vetores irão crescendo ao longo da corrida!

n Quem conseguir chegar primeiro de volta à linha de largada ganha o jogo.

É comum os alunos escaparem da pista, nesse caso eles terão que voltar à linha de largada, avise-os com antecedência!

A regra do paralelogramo e a decomposição de vetores

A regra do paralelogramo é uma forma de simplificar a soma de vetores. Explore a figura 12 e chame a atenção para o desenho do paralelogramo. A decomposição de vetores é outra forma importante de se somar vetores. Explique aos alunos que muitas vezes pode ser com-plicado desenhar os vetores para utilizar a regra do paralelogramo, nesses casos pode-se usar as projeções ortogonais dos vetores, ou seja, suas componentes decompostas.

Explore as imagens da página 15 e explique os exercícios resolvidos R3 e R4 (p. 16). Verifique se os alunos conhecem a lei dos cossenos, explique-a com cuidado para que ela não se torne um empecilho à compreensão da regra que está sendo discutida. É muito importante que eles resolvam os exercícios dos conceitos (p. 17 e 18) para que exercitem o conteúdo apresentado.

Peça aos alunos que, em casa, leiam o Para saber mais (p. 15) e depois respondam ao Já sabe responder? (p. 16). Na aula seguinte peça a alguns alunos para que apresentem suas respostas à classe.

Para encerrar esse capítulo peça aos alunos que façam os exercícios da Retomada dos conceitos (p. 19). Resolva com eles o exercício 1 e acompanhe a resolução dos de-mais esclarecendo eventuais dúvidas.

Capítulo 2

Composição de movimentos

Esse capítulo trata da composição e independência dos movimentos.

Independência de movimentos simultâneos

Galileu contribuiu muito para o estudo dos movimentos. Uma de suas mais brilhantes deduções foi a do princípio da independência dos movimentos simultâneos, que afirma que um movimento pode ser composto de vários movimentos que mantêm independentemente suas características físicas.

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Pergunte aos alunos quem já viveu as situações representadas no boxe da página 21. Che-ga a ser desafiadora a ideia de subir uma escada rolante que está descendo, ou nadar contra a correnteza de um rio. Mesmo que o resultado seja não conseguir sair do lugar, ao subir uma escada rolante que desce temos um movimento com velocidade no sentido de subir, enquanto a escada tem uma velocidade no sentido de descer. Esses movimentos são independentes.

No caso da figura à esquerda, também existem dois movimentos: enquanto a mulher tem uma velocidade para frente, a esteira tem uma velocidade no sentido oposto. Os alunos de-vem compreender que ocorre uma composição desses movimentos. Se a velocidade da es-teira for maior que a da mulher, o que acontecerá? E se a mulher tiver uma velocidade maior que a da esteira? Não é preciso que se somem ou subtraiam os valores nesse momento, mas deve ficar claro para os alunos que essas velocidades se relacionam de alguma forma.

Composição de velocidades

Retome a discussão da seção anterior. Estime valores para a velocidade de uma escada rolante descendo e deixe os alunos darem palpites. Essa velocidade é definida tecnicamen-te entre 27 e 54 metros por minuto. Sugira velocidades para a pessoa que está tecnicamen-tentando subir a escada de modo que existam casos em que a pessoa fique parada, consiga subir e também desça, mesmo com todo seu esforço. Calcule em cada caso a velocidade resultan-te para que cheguem formalmenresultan-te ao resultado. Explique o problema do barco apresentado pelas imagens da figura 2 (p. 21) e explique o exercício resolvido R2 (p. 24).

Algumas vezes a composição dos movimentos se dá entre velocidades com direções diferentes. Nesses casos é preciso retomar o que os alunos aprenderam no capítulo ante-rior, em Operações com vetores. Não basta somar ou subtrair os módulos das velocidades, mas sim o vetor velocidade. Explique o problema do barco se movendo em águas com cor-renteza (p. 22) e retome a imagem da capa do módulo. Pergunte aos alunos o que os co-mandantes precisam fazer para manter a direção definida na corrida dos barcos a vela se o mar estiver empurrando em direção às praias. Essa discussão conceitual pode ser longa; se os alunos se envolverem com a questão, peça a eles que escrevam um relatório expli-cando suas teorias a respeito da situação. Eles precisam concluir que as velas dos barcos precisam ser posicionadas adequadamente para ter uma componente da velocidade contrá-ria à velocidade da correnteza, para compensá-la.

Explique os exercícios resolvidos R1 e R3 (p. 24 e 25) e peça aos alunos que respon-dam ao Já sabe responder? (p. 24). Para encerrar esse capítulo solicite aos alunos que resolvam os Exercícios dos conceitos (p. 26).

Capítulo 3

Lançamento no vácuo

A análise de lançamentos no vácuo exige do aluno uma certa dose de abstração, e por isso deve ser precedida de uma discussão que o alerte para as idealizações que serão utilizadas. A velha técnica que mostra a diferença de comportamento em uma queda sofri-da por uma folha de papel em duas situações, amassasofri-da e não amassasofri-da, é simples de ser realizada e permite iniciar a discussão sobre a resistência do ar, que deverá levar à análise, por um processo de indução, do que ocorre na ausência do ar. É importante lem-brar que o senso comum sobre vácuo traz consigo a ideia de ausência de gravidade, ideia que deve ser descartada, reconstruindo o conceito de vácuo e identificando-o, neste caso, como ausência de um meio material no qual o movimento se dá.

(9)

Decomposição de movimentos

Uma forma de estudar movimentos mais complexos, nos quais mais de uma direção está envolvida, é decompor e tratar cada uma de suas partes como um movimento unidi-mensional independente. Explore o problema do movimento do barco analisando cuidado-samente o gráfico da figura 4 (p. 30). O deslocamento real do barco está na diagonal, mas é possível separá-lo em um movimento na direção leste e outro independente na direção sul. Aproveite esse gráfico para retomar conceitos importantes. Pergunte aos alunos se olhando a escala do gráfico é possível dizer se o navio está sendo acelerado, freado ou está mantendo sua velocidade. Pergunte a eles que nome recebe esse tipo de movimento. Faça com que eles percebam que o movimento representado é um movimento retilíneo uniforme (MRU) e que a velocidade (ou a componente da velocidade) na direção leste é maior que a na direção sul. Isso pode ser percebido pelo espaçamento entre os pontos marcados no gráfico. Resolva com os alunos o exercício dos conceitos 1 (p. 33). A resolução desse exer-cício pode ser encontrada no final desse manual.

Analise o gráfico da figura 8 (p. 31). Nesse caso o movimento representado é diferente. Peça aos alunos que observem que na direção x as posições estão igualmente espaçadas e o movimento representado por essa componente pode ser classificado como MRU. Já na direção y, a distância entre as posições marcadas no gráfico vai aumentando com o tempo. Deixe que os alunos digam que esse movimento não é uniforme, mas pode ser uniforme-mente variado, dependendo do valor da aceleração.

Só depois apresente o problema da queda da bolinha desenvolvido na página 31. Analise com os alunos a tabela 1 e explique que a razão apresentada na última linha (entre Ds e Dt2₎

é o valor da aceleração (constante) e que, portanto, o movimento representado no gráfico 8, na direção y, pode ser classificado como movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Chame a atenção dos alunos para o formato parabólico da trajetória: se o movimento na direção x também fosse MRUV, a trajetória também seria uma parábola? Explique que, se os valores da aceleração fossem os mesmos, a trajetória seria uma reta.

Explique o exercício resolvido R1 (p. 32) e peça aos alunos que resolvam o exercício dos conceitos 2 (p. 33).

Lançamento horizontal no vácuo

O lançamento horizontal é um problema clássico no estudo da cinemática vetorial. O importante nesse tipo de movimento é que não temos um componente vertical de velocida-de inicial no lançamento.

O problema apresentado pela figura 11 (p. 34) é tema de vestibulares há muitos anos e parece nunca ser esquecido. Discuta-o com bastante atenção. Pergunte aos alunos como uma pessoa que está no avião vê a queda do pacote. Para esse observador, o pacote cai em linha reta (linha preta tracejada). No entanto, a trajetória vista por um observador no chão é a que está representada pelo tracejado vermelho. O que acontece é que o observa-dor no avião vê apenas um dos componentes do movimento.

Explore o gráfico da figura 12 (p. 34). Ele mostra o movimento de duas bolinhas (uma azul e outra laranja). O movimento da bolinha azul pode ser decomposto em dois movimen-tos independentes: o movimento uniforme na direção x e o movimento uniformemente va-riado, na direção y. Chame a atenção dos alunos para que percebam que a componente vertical do movimento da bolinha azul é idêntica ao movimento da bolinha laranja.

Explique o exemplo apresentado na página 35 calculando os valores da velocidade e da aceleração e apresentando as equações horárias que devem ser aplicadas para cada

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componente do movimento. Explique também o exercício resolvido R2 (p. 35). Peça aos alunos que resolvam o exercício dos conceitos 7 (p. 37) e acompanhe-os para esclarecer dúvidas. Peça a eles que resolvam os demais exercícios dos conceitos (p. 36, 37 e 38) em seguida.

Lançamento oblíquo no vácuo

O lançamento oblíquo é aquele no qual temos velocidade inicial tanto na direção hori-zontal como na vertical. O caso mais comum dos movimentos cotidianos está nos saltos dos atletas, como mostrado nas figuras 14 e 15 (p. 39), e também no chute de uma bola, no jogo de vôlei etc. É importante que os alunos identifiquem esse ponto para diferenciar esse tipo de movimento dos demais apresentados.

Lembre os alunos que um vetor pode sempre ser decomposto em suas componentes e apresente, no caso da velocidade inicial do lançamento oblíquo as componentes v_0(x) e v_0(y). Chame a atenção para que o cos a está, na maioria das vezes, associado com a horizon-tal, enquanto o sen a pode ser associado à vertical. Explique o exemplo desenvolvido na página 40.

Explique o exercício resolvido R4 (p. 42) e o Você precisa saber! (p. 41), a questão do alcance máximo. Solicite aos alunos que resolvam os exercícios dos conceitos 12 e 17 (p. 43 e 44).

Para encerrar essa discussão peça aos alunos que respondam ao Já sabe responder? (p. 41). Eles podem fazer essa atividade em casa, mas é importante que a correção seja feita na aula seguinte.

Capítulo 4

Movimento circular uniforme (MCU)

Esse capítulo aborda o estudo de movimentos circulares.

Abordagem escalar do movimento circular uniforme

Acabamos de estudar que a velocidade é uma grandeza vetorial, mas em alguns casos é possível tratá-la como uma grandeza escalar – é o que se faz no caso do movimento circular uniforme. Explique que, nos movimentos circulares, o vetor velocidade está preso e é obriga-do a contornar a trajetória sempre, por isso é chamaobriga-do também de velocidade tangencial.

Reproduza no quadro uma figura onde o vetor velocida-de esteja representado em diferentes pontos da trajetória do movimento circular de um objeto. Como exemplo, tome a figura ao lado.

Explore com os alunos o Você se lembra? (p. 47). É importante que dúvidas em relação a conceitos matemá-ticas não interfiram na compreensão dos fenômenos físi-cos que serão apresentados. Em seguida apresente os conceitos de período e frequência, explicando as unida-des que podem ser utilizadas. Pergunte aos alunos se eles já viram alguma vez essas unidades sendo utilizadas.

R �0 R P₁ v₁ v₂ P2

(11)

Comente que frequência está muitas vezes associada a ondas e que nesse caso representa o número de oscilações por unidade de tempo. No caso do movimento circular, as voltas fazem o papel dessas oscilações. Peça que leiam o Para saber mais (p. 49) que apresenta mais uma unidade de medida de frequência (rpm). No caso do movimento circular uniforme, a frequência e o período são constantes e caracterizam o movimento. Explique o exercício resolvido R1 (p. 53) e solicite aos alunos que resolvam os exercícios dos conceitos 1 a 4 (p. 54).

Comente que a velocidade escalar angular é um conceito que fornece muitas informa-ções sobre o movimento. Diferente da velocidade tangencial ela está associada ao deslo-camento angular (figura 3, p. 49). O aluno deve perceber a diferença entre velocidade angu-lar e frequência. Deduza também a relação entre as duas velocidades envolvidas no movimento circular (p. 50). Explique o exercício resolvido R2 (p. 53) e solicite aos alunos que resolvam os exercícios dos conceitos 5 e 8 (p. 54 e 55).

Divida a classe em grupos e peça a eles que discutam e respondam às questões do qua-dro Reflita (p. 50) e do Bisbilhotando (p. 51). Acompanhe as discussões nos grupos esclare-cendo as dúvidas que surgirem. Se achar adequado, solicite um registro das discussões em forma de relatório, um instrumento que pode ser utilizado como ferramenta de avaliação.

Vetor velocidade e aceleração centrípeta no movimento circular

uniforme

Retomando o comportamento do vetor velocidade no caso dos movimentos circulares, mostre aos alunos que, embora o módulo da velocidade tangencial seja constante, sua di-reção varia o tempo todo. A variação dessa velocidade está associada a uma aceleração, chamada de aceleração vetorial, apresentada na página 56. Esse conceito é bastante abs-trato, explique cuidadosamente a questão da aceleração vetorial média. No caso dos movi-mentos circulares uniformes, essa aceleração tem direção variável apontando sempre para o centro da trajetória e é chamada aceleração centrípeta. Apresente a expressão que rela-ciona a aceleração centrípeta e a velocidade apresentada na página 57.

Explique os exercícios resolvidos R3 e R4 (p. 58) e em seguida peça aos alunos que respondam ao Já sabe responder? (p. 57). Solicite também que respondam aos exercícios dos conceitos (p. 58).

Utilize o mapa conceitual apresentado na contracapa do módulo para fazer uma revisão e selecione alguns dos exercícios de integração (p. 61) para encerrar as discussões.

Avaliação do aprendizado

Considere os objetivos apresentados na página 3 do módulo e peça aos alunos que façam uma autoavaliação.

Lembre os alunos que para prosseguir em direção aos próximos desafios é importante ter segurança sobre os conceitos e informações já abordados. A autoavaliação permitirá a eles terem clareza sobre o que realmente aprenderam.

Como os assuntos tratados são bastante abstratos e envolvem ferramentas matemáti-cas, auxilie-os a diferenciar o que aprenderam agora e os conceitos matemáticos que pre-cisaram retomar.

(12)

A tabela a seguir pode auxiliá-los a registrar sua autoavaliação. Considerando o que você aprendeu, marque com um X.

Este módulo: Muito Parcialmente Pouco

• ajudou-me a identificar a importância do caráter vetorial

em grandezas físicas.

• permitiu-me compreender as operações com vetores. • auxiliou-me a entender que os movimentos podem ser

compostos mantendo sua independência.

• permitiu-me ser capaz de decompor movimentos em suas

componentes vertical e horizontal.

• ajudou-me a diferenciar tipos de lançamentos e tratá-los

independentemente.

• permitiu-me conhecer grandezas relacionadas ao

movimento circular.

• auxiliou-me a compreender o comportamento de

grandezas físicas no movimento circular.

Enriqueça sua aula

Livros

n Grupo de Reelaboração do Ensino de Física 2 GREF. Física 1: mecânica. São Paulo:

Edusp, 1991.

Apresenta uma ampla discussão sobre quantidade de movimento, atividades práticas e exercícios conceituais que podem ser utilizados para complementar as atividades da sala de aula.

n BLACkwOOD, O. H. et al. Física na escola secundária. São Paulo: Inep, 1962.

Traz uma abordagem diferenciada para os conceitos de movimento circular, além de outros conteúdos de física.

Sites

n <http://educar.sc.usp.br/fisica/circteo.html>

Leia mais sobre o movimento circular nesse site.

n <http://webfis.df.ibilce.unesp.br/dep/cdf/roem/mec/movcircuni/movcircuni.html>

Traz um resumo sobre movimento circular e a sugestão de um experimento no qual se pode calcular a velocidade de rotação da Terra.

(13)

Resolução dos exercícios propostos

Exercícios dos conceitos

CAPÍTULO 1

1

A B

vA vB

20 km/h

2

Grandezas escalares: altura, volume, tempera-tura, área, tempo e distância.

Grandezas vetoriais: aceleração, deslocamento e velocidade.

As grandezas vetoriais são aquelas que neces-sitam ser representadas por um vetor, ou seja, devem ser caracterizadas por módulo, direção e sentido.

3

v3=: Direção horizontal e sentido da esquerda para direita.

v4=: Direção vertical e sentido de cima para baixo. v5₌: Direção definida pelo ângulo b com a

hori-zontal e sentido de C para D.

v6=: Direção definida pelo ângulo a com a hori-zontal e sentido de F para E.

4

�s1 �s2 45° �s3

5

a) a₁ Instante 1 v₁

b) Como se trata de um MUV, a aceleração se mantém constante, e a velocidade aumenta linearmente com o tempo, de acordo com a equação v 5 v0 1 at. Após 3 s: v 5 v0 1 at ⇒ v 5 25 2 5 ? 3 ⇒ v 5 10 m/s a₂ v₂ Instante 2

6

b c c e a d g a + b e + f c + f e f f b b + c a a + e d + g

7

a) c a � a + c x2 ₂2 ₁2 x ₅ 1 2 26 5 , 5 1 5 a 5 a ⇒ ⇒ tg . °

Módulo igual a 5 unidades, direção de 26,5º com a vertical, e sentido indicado pela ponta da seta.

b)

b

e _{e + b}

Módulo de 2 unidades, direção vertical e sentido para baixo.

c)

b d b + d

Módulo de 5 unidades, direção horizontal e sentido da esquerda para direita.

(14)

8

a) a –b a – b � x2 ₂2 ₂2 x ₈ x _{2 2} 2 2 1 5 1 5 5 5 5 ⇒ ⇒ ⇒ tgα α . 45°

Módulo de 2 2 unidades, direção de 45° com a horizontal e sentido indicado pela ponta da seta.

b)

–a f

f – a

Módulo de 1 unidade, direção horizontal e sentido da direita para a esquerda.

c) –a d d – a �

x x 2 ₂2 ₃2 ₁₃ 3 2 1 5 56 , , 5 1 5 5 5 ⇒ ⇒ tgβ β. 33°

Módulo de 13 unidades, direção de 56,3° com a vertical e sentido indicado pela ponta da seta.

d)

c

–f c – f

Módulo de 2 unidades, direção vertical e sentido de cima para baixo.

9

a)

3d 2b

2b + 3d

Módulo de 13 unidades, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.

b) –0,5b � _a a – 0,5b x2 ₂2 ₁2 x ₅ 1 2 1 26 5 , 5 1 5 5 5 ⇒ ⇒ tgα α . °

Módulo de 5 unidades, direção formando um ângulo de 26,5° com a vertical e sentido indicado pela ponta da seta.

c)

–c 0,5e

0,5e – c

Módulo de 1 unidade, direção vertical e sen-tido de cima para baixo.

d) e –– d2 3 e + –– d2 3

Módulo de 2 unidades, direção vertical e sentido de cima para baixo.

10

c

→ Menor distância caminhada:

300 m 1 400 m 1 500 m 1 200 m 5 1.400 m → Distância em linha reta:

600 m C D x A 800 m x2_{5 800}2_{1 600}2_{⇒ x 5 1.000 m}

11

d

A partir da figura, vemos que: CD  1 DE 1EA 5CB  1 BA. Entãão: EA  2CB  1 DE 5 BA 2CD 

(15)

12

c 30° 60° _{6 km} 10 km �s₁ + �s₂ = r

Utilizando a lei dos cossenos: r2_{5 10}2_{1 6}2_{2 2 ? 10 ? 6 cos 60º ⇒}

⇒ r2_{5 136 2 120 ? 0,5 ⇒ r}2 _{5 76 ⇒}

⇒ r 5 2 19

km

13

b

Pela figura, vemos que a _{=2 w= é um vetor nulo,} então, a _{= 2 w= 1 v =}5 v _{= cujo módulo é 2 u,} dire-ção vertical e sentido para baixo.

14

d 60° 60° 60° F₄ F₁ F₂ F1= 1 F4= 1 F2= 5 0

CAPÍTULO 2

1

vres₌ 5 v=avião 1 v=vento

Como os vetores do membro direito da equa-ção acima tem sentidos opostos,

vavião₌ 1 vvento= 5 vavião 2 vvento

Portanto: vres 5 600 2 80 ⇒ vres 5 520 km

Direção: linha norte-sul. Sentido: do sul para o norte.

2

vres₌ 1 vesteira= 1 vbolinha=

tg u 5 1

2 ⇒ u . 26,5º

vres2 5 vesteira2 1 vbolinha2 ⇒ vres2 5 12 1 22 ⇒

⇒ vres 5 5 m/s

Direção: formando um ângulo de aproximada-mente 26,5° com a horizontal

Sentido: indicado pela ponta da seta nomea-da vres₌ .

�

vbolinha

vesteira

v_res

3

vres₌ 5 vprópria= 1 vcorr=

O módulo da velocidade do nadador em rela-ção à margem é dada por:

vres 5 ∆_∆s_t ⇒ vtotal 5 ₁₅60 ⇒ vtotal 5 4 m/s

vprópria2 5 vtotal2 1 vcorr2 ⇒ vprópria2 5 42 1 62 ⇒

⇒ vprópria2 5 16 1 36 ⇒ vprópria 5 52 m/s

4

a

A velocidade resultante do avião, quando voa a favor do vento:

vA 1 vV 5 180

Quando voa contra o vento: vA 2 vV 5 150 v v vA_A vV_V 1 5 2 5 5 180 150 330     ⊕ ⇒ 2vA v v A B 5 5 165 15 km h e, portanto, km h

5

d

A velocidade da onda sonora originada perma-nece inalterada. Se a velocidade do avião em relação ao ar é de 240 m/s e a velocidade do míssil em relação ao avião é 260 m/s, então a velocidade do míssil em relação ao ar é 500 m/s (260 1 240).

6

b

(I) vD 2 vA 5 2

(II) vS 1 vA 5 8

Somando as equações (I) e (II), temos: vD 1 vS 5 10 (III)

Segundo o enunciado, a soma dos tempos de subida e de descida é de 10 min, então:

tS 1 tD 5 10 ? 60 ⇒ _vD _vD S D 1 5 600 ⇒ Dv Dv v vD_S _D S 1 5 ? 600 ⇒ D 5 600 ?v v? v_D1Sv_S D (IV) Substituindo (III) em (IV):

D 5 600 10 60 ? ? ? ? v v D v v D S D S ⇒ 5 (V)

(16)

A soma das velocidades de subida e descida do barco é constante (10 m/s) e o produto entre elas será máximo, como vemos na equação (V), quando os módulos das duas velocidades fo-rem iguais:

Dmáx 5 60 ? 5 ? 5 ⇒ Dmáx 5 1.500 m

7

b

A velocidade da escada é de: vc 5 ₁₀D (I)

Durante a subida temos: vh 2 vc 5 ₁₅D ⇒ vh 2 ₁₀D     5 D 15 (II)

O homem descendo com a mesma velocidade, temos:

vh 1 vc 5 D_t (III)

Substituindo (I) e (II) em (III): D 15 1 D 10 1 D 10 5 D t ⇒ D 15 1 2 10 D 5 D t ⇒ ⇒ 10 30 150 t D t D t ? 1 ? 5 150 150 D t ⇒ ⇒ 40 t 5 150 ⇒ t 5 3,75 s

8

(01) Correta. Para atravessar o rio no menor tempo possível a velocidade resultante do bar-co deverá ser perpendicular às margens, atin-gindo assim o outro lado do rio no ponto A. (02) Correta. Como uma das componentes da velocidade própria do barco tem direção e sen-tido iguais aos da velocidade da correnteza, a velocidade resultante, nessa direção será maior. (04) Falsa. Se o eixo longitudinal do barco estiver perpendicular às margens do rio, o barco atingi-rá a outra margem num ponto à direita de A. (08) Falsa. Para o barco atravessar o rio no me-nor tempo possível, a distância deve ser igual à distância PA.

(16) Correta. Para que o barco atinja o ponto A de-veremos ter o seguinte diagrama de velocidades:

A

P V_A

VR

V_P

Observando o triângulo retângulo formado no diagrama, percebemos que a velocidade pró-pria do barco é maior do que a velocidade das águas pois em todo triângulo retângulo a hipo-tenusa é maior do que os catetos.

CAPÍTULO 3

1

a) O módulo do vetor OA  é: OA

 

5 8 ? 6 ⇒ OA  5 48 m

Decompondo o vetor OA  nas componentes x e y temos: OAX   5 OA  ? cos b ⇒ OAX 5 48 ? 0,8 ⇒ ⇒ OAX 5 38,4 m e OAY   5 OA  . sen b ⇒ OAY 5 48 ? 0,6 ⇒ ⇒ OAY 5 28,8 m As coordenadas são: A 5 (38,4 m; 28,8 m). b) O módulo de vetor OB  é: OB  5 8 ? 10 ⇒ OB  5 80 m Analogamente ao item “a” temos: OBX 5 OB ? cos b ⇒ OBX 5 80 ? 0,8 ⇒

⇒ OBX 5 64 m

OBY 5 OB ? cos b ⇒ OBY 5 80 ? 0,6 ⇒

⇒ OBY 5 48 m

Portanto as coordenadas do ponto B, são: B 5 (64 m; 48 m)

2

a) vx 5 ∆_∆s_t ⇒ vx 5 _{0 5}1_, ⇒ vx 5 2 m/s

b) A equação horária do espaço para o móvel no instante t 5 0,5 s, é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ ⇒ 0,25 5 0 1 0 ? 0,5 1 a ,? 0 5 2 2

(

)

_⇒ ⇒ a 5 2 m/s2

c) A função horária de velocidade para o mó-vel é:

vy 5 v0y 1 at

Substituindo os valores já encontrados: vy 5 0 1 2 ? 2 ⇒ vy 5 4 m/s

(17)

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. v_x v _v y v2_{5 v} x2 1 vy2 ⇒ ⇒ v2_{5 2}2_{1 4}2_{⇒ v}2_{5 4 1 16 ⇒} ⇒ v 5 20 ⇒ v 5 2 5 m/s

3

Pela figura vemos que a direção norte-sul está 45º inclinada em relação à vertical.

D N L S O 45° 15° norte-sul DN 5 D ? cos 15º ⇒ DN

.

1.932 m leste-oeste DL 5 D ? sen 15º ⇒DL

.

518 m

4

a) O tempo de queda da pedra lançada de um altura de 7,2 m é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ ⇒ 7,2 5 0 1 0 ? t 1 10 2 2 ?t ⇒ ⇒ t2_{5 1,44 ⇒ t 5 1,2 s}

b) Durante o intervalo de tempo em que a pe-dra permanece no ar, a distância horizontal percorrida é:

vx 5 ∆_∆x_t ⇒155 _{1 2}∆_,x ⇒ ∆x 518m

c) A componente vertical da velocidade no instante em que a pedra toca o solo é: vy 5 vc 1 at ⇒ vy 5 0 1 10 ? 1,2 ⇒ ⇒ vy 5 12 m/s v_x v_y v2_{5 v} y2 1 vx2 ⇒ v2 5 122 1 152 ⇒ ⇒ v2_{5 144 1 225 ⇒ v}2_{5 369 ⇒} ⇒ v . 19,2 m/s

5

vc 500 m 1.500 m

O tempo de queda do pacote é: s 5 s0 1 v0t 1 at

2

2 ⇒ 500 5 0 1 0 t 1 5t2 ⇒ ⇒ t 5 10 s

A velocidade do avião tem o mesmo módulo da velocidade horizontal do pacote:

v 5 ∆ ∆ x t ⇒ v 5 1500 10 . ⇒ v0 5 150 m/s

6

O intervalo de tempo em que a mochila fica no ar é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ 9,8 5 0 1 0 t 1 5t 2_⇒ ⇒ t2 5 1,96 ⇒ 1,4 s

Portanto, a velocidade horizontal da mochila é: vx 5 ∆_∆x_t ⇒ vx 5 _{1 4}10_, ⇒ vx . 7,14 m/s

7

a) s 5 s₀ 1 v0t 1 at 2

2 ⇒ 80 5 0 1 0 t 1 5t2 ⇒ ⇒ 16 t2_{⇒ t 5 4 s}

A distância horizontal é dada por:

vx 5 ∆_∆x ∆ ∆ t ⇒ x 520 4? ⇒ x 580m b) v_c t = 1s 75 m 60 m 35 m 0 m _{20 m} 40 m 60 m t = 2s t = 3s 1 s vx 5 20 m/s ⇒ Dx 5 20 m y 5 80 2 5 ? 12_{⇒ y 5 75 m} 2 s Dx 5 40 m y 5 80 2 5 ? 22_{⇒ y 5 60 m} 3 s Dx 5 60 m y 5 80 2 5 ? 32_{⇒ y 5 35 m}

(18)

c) A componente vertical da velocidade no instante em que a bola toca o chão é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ vy 5 0 1 10 ? 4 ⇒ ⇒ vy 5 40 m/s vx v v_y v2_{5 v} y2 1 vx2 ⇒ ⇒ v2_{5 40}2_{1 20}2_{⇒ v}2_{5 1.600 1 400 ⇒} ⇒ v2_{5 2.000 ⇒ v 5 20 5 m/s}

8

a) A componente horizontal da velocidade do projétil tem mesmo módulo da velocidade do caminhão, portanto o deslocamento ho-rizontal do projétil é nulo:

D

x

5

0.

b) O tempo de subida do projétil é: v 5 v0 1 at ⇒ 0 5 80 2 10t ⇒ t 5 8 s

Portanto o tempo em que o projétil fica no ar é 16 s.

Então o deslocamento horizontal é de:

vx 5 ∆_∆x ∆ ∆ t x x ⇒20 ⇒ 16 320 5 5 m

9

a) Decompondo o vetor v_{= representado na} figu-ra nas componentes horizontal e vertical, ve-mos que o módulo da componente horizontal é de 10 m/s. Como na horizontal a velocidade é constante, o módulo de v0₌ é 10 m/s.

v_x v v_y

b) Da mesma forma como foi feito no item a, sabemos que a componente vertical da es-fera é de 15 m/s.

v 5 v0 1 at ⇒ 15 5 0 1 10 t ⇒

⇒ t 5 1,5 s

10

e

O intervalo de tempo em que a esfera perma-nece no ar é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ 1,8 5 0 1 0 ? t 1 5t 2 ⇒ t2_{5 0,36 ⇒ t 5 0,6 s}

Então o deslocamento horizontal é de: vx 5 ∆_∆x t ⇒ 2 5 ∆ ∆ x _x 0 6, ⇒ 5 1,2 m

11

d vA 5 3vB

Os dois rifles são disparados de uma mesma al-tura em relação ao solo, portanto o tempo de queda dos dois projéteis é o mesmo.

vA 5 d_tA A e vB 5 d_tB B , como tA 5 tB: d v_AA 5 d v_BB ⇒ dA 5 3dB

12

60° v0

Decompondo o vetor velocidade nas direções horizontal e vertical:

v0(x) 5 vx cos 60º ⇒ v0(x) 5 10 ? 0,5 ⇒ v0(x) 5 5 m/s

v0(y) 5 vy sen 60º ⇒ v0(y) 5 10 ? 1 7

2 , _⇒ ⇒ v0(y) 5 8,5 m/s Altura máxima: vy2 5 v0(y)2 1 2aDs ⇒ 02 5 8,52 2 2 ? 10 ? h ⇒ ⇒ h 5 3,6125 m

O tempo de subida da pedra é:

vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 8,5 2 10t ⇒ t 5 0,85 s

Portanto, o tempo em que a pedra permane-ceu no ar é de 1,7 s (2 ? 0,85).

O alcance horizontal é dado por: vx 5 ∆_∆s_t ⇒ 5 5 _{1 7}D_, ⇒ D 5 8,5 m

13

c

No ponto mais alto da trajetória sabemos que a componente vertical da velocidade é nula, e portanto, basta calcularmos a componente ho-rizontal, que é constante durante todo o trajeto. vx 5 v0 ? cos 60º ⇒ vx 5 50 ? 0,5 ⇒ vx 5 25 m/s

14

e

No ponto de altura máxima, onde há uma in-versão no sentido do movimento na direção vertical, a componente vertical é nula.

15

a v_0(x) v0 v0(y) y(m) 20 g 0

(19)

Se o dardo atingiu o solo 4 s após o lançamen-to, o tempo de subida do dardo é de 2 s, então a componente vertical da velocidade inicial é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 v0(y) 2 10 ? 2 ⇒

⇒ v0(y) 5 20 m/s

A equação horária do espaço para o dardo é: s 5 s0 1 v0t 1 at

2

Então, a equação que descreve o movimento do dardo na direção do eixo y é:

y 5 y0 1 v0(y) ? t 1 gt 2 2 ⇒ ⇒ y 5 0 1 20t 2 10 2 2 t ⇒ ⇒ y 5 25t2_{1 20 t}

16

a) Observando o gráfico, podemos estimar a altura máxima atingida como aproximada-mente 1,5 m.

b) De acordo com o gráfico, o intervalo de tempo em que a atleta ficou no ar é de 1,1 s. Logo: v_x , v_x

, , 5 1 3

11 ⇒ .1 2m/s .

c) A componente vertical da velocidade de sa-ída do solo é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 v0(y) 2 10 ? 0,55 ⇒ ⇒ v0(y) 5 5,5 m/s

17

e h g d � v_x v0

O alcance é máximo quando o ângulo u vale 45°. Em todos os pontos da trajetória, o projétil está sujeito aos mesmos valores de aceleração gravitacional e velocidade horizontal. Portanto a única alternativa correta é e.

18

a) s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ 1,8 5 0 1 0t 15t2 ⇒ ⇒ t2 _{5 0,36 ⇒ t 5 0,6 s} b) � v0 v_0(y) v0(x)

Pela figura, sabemos que tg u 5 v v y x 0 0 ( ) ( ). A

com-ponente vertical da velocidade é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 v0(y) 2 10 ? 0,6 ⇒

⇒ v0(y) 5 6 m/s

A componente horizontal da velocidade é:

v s t v v x x x 0 0 0 3 6 0 6 6 ( ) 5 ∆ ⇒ ( ) 5 ,_, ⇒ ( ) 5 ∆ m s Substituindo: tg θ 5 v v y x 0 0 ( ) ( ) ⇒ tg u 5 1 ⇒ ⇒ u 5 45º.

19

a) A componente vertical da velocidade inicial é: v0(y) 5 v0 ? sen 30º ⇒ v0(y) 5 8 m/s

vy2 5 v0(y)2 1 2aDs ⇒ 02 5 82 2 2 ? 10 ? Ds ⇒

⇒ Ds 5 3,2 m

b) A componente horizontal da velocidade é de: vx 5 v0 ? cos 30º ⇒ vx 5 16 ? ₂3 ⇒

⇒ vx 5 8 3 m/s

A distância D entre a parede e o ponto de lançamento é dada por:

vx 5 ∆_∆

s

t ⇒ D 5 8 3 ? 1,2 ⇒ D . 16,6 m O tempo de subida da bola é de:

vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 8 2 10ts ⇒ ts 5 0,8 s

Portanto, após 1,2 s a bola já estava caindo há 0,4 s.

A altura que a bola estava quando atingiu a parede é dada por:

s 5 s0 1 v0t 1

at2

2

H 5 3,2 1 0 ? 0,4 2 5 ? 0,42_⇒

⇒ H 5 3,2 2 0,8 ⇒ H 5 2,4 m

20

a) A altura máxima é dada por:

vy2 5 v0(y)2 1 2aDs ⇒ 0 5 42 2 2 ? 10 ? h ⇒

⇒ h 5 0,8 m

b) O tempo de subida da bolinha é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 4 2 10 ts ⇒

⇒ ts 5 0,4 s

Portanto, o tempo em que a bolinha perma-nece no ar é 0,8 s.

(20)

CAPÍTULO 4

1

f 5 600 rpm ⇒ f 5 10 Hz T 5 1 f ⇒ T 5 1 10 ⇒ T 5 0,1 s

2

A frequência da roda é de 2.500 rotações a cada minuto, portanto, em 10 minutos a roda efetu-ará 25.000 voltas. 1 volta 2πR m d 5 25 000. ? ? ?2 3 0,3 1 25.000 voltas d m ⇒ d 5 45.000 m

3

c T 5 20 s. ω 52π ω52π ω5 π 20 10 T ⇒ ⇒ rad s

4

d

O tempo em que o projétil permanece no inte-rior da esfera é: v s t t t 5 ∆ 5 , 5 2 ∆ ⇒ 500 ∆ ⇒∆ 0 5 1 10_? 3_s

Para que o projétil saia pelo mesmo orifício, o intervalo de tempo Dt corresponde a meio pe-ríodo da esfera. 1 10 2 2 10 1 1 2 3 3 ? 2 5 5 ? 2 5 5 T T f T f ⇒ ⇒ ?1023 ⇒ f 5500Hz

5

d v 5 ωR ⇒ 150 5 ω ? 5 ⇒ ω 5 30 rad/s

6

a

Para que a bicicleta desenvolva a maior veloci-dade possível, o período da roda traseira deve ser o menor possível, e isso se dá com o maior número de dentes na coroa e o menor número de dentes no pinhão.

vc 5 vp ⇒ ωc ? Rc 5 ωp ? Rp

Como o raio é proporcional ao número de dentes: ω ω_cr 5 49 14 ⇒ ω ω_cr 5 7 2

7

a) A velocidade de translação é dada por: v 5 2πR

T ⇒ v 5 2πRf ⇒ v 5 2 ? 3 ? 40

60 ? 0,6 ⇒ ⇒ v 5 2,4 m/s

b) A frequência que o ciclista impõe aos pedais é a mesma frequência da coroa, então: fpedal 5 fcoroa 5 40₆₀ ⇒ fcoroa 5 2₃ Hz

A coroa e a catraca estão ligadas pela corrente, então:

vcoroa 5 vcatraca ⇒ 2 π fcoroa Rcoroa 5 2 π fcatraca Rcatraca

⇒ 2 3 ? 25 2 5 fcatraca ? 5 ⇒ fcatraca 5 5 3 Hz A velocidade de translação é: fcatraca 5 froda 5 5₃ Hz v 5 2 πfR ⇒ v 5 2 ? 3 ? 5 3 ? 0,3 ⇒ v 5 3 m/s

8

a

Pelo enunciado, temos: Rp 5 2 Rf e vp 5 vf ⇒ vp 5 vf ⇒ ωp ? Rp 5 ωf ? Rf ⇒ ⇒ 2ωp 5 ωf ⇒ vp 5 vf ⇒ 2πfp Rp 5 2πff Rf ⇒ ⇒ 2fp 5 ff

9

e Do enunciado, temos: fA 5 5 fB como, vA 5 vB ⇒ ⇒ 2πfARA 5 2πfBRB ⇒ ⇒ R RA_B 5 1 5

10

acp 5 V_R 2 ⇒ acp 5 20₂₀₀ 2 ⇒ acp 5 2 m/s2

11

a) v 5 2πR T ⇒ v 5 2 ? ?3 0,5 0,75 ⇒ v 5 4 m/s b) f 5 1 T ⇒ f 5 1 0 75, Hz ⇒ f 5 60 0 75, ⇒ ⇒ f 5 80 rpm c) acp 5 V_R 2 ⇒ acp 5 _{0 5}16_, ⇒ acp 5 32 m/s2

12

acp 5 V R 2 ⇒ acp 5 ω2R ⇒ ⇒ 8,1g 5 ω2_{? 9 ? 10}22_⇒ ⇒ ω2₅ 81 9 ?1022 ⇒ ω 5 30 rad/s

13

A velocidade angular da catraca é: v 5 ω ? R ⇒ 9 5 ω ? 0,3 ⇒

⇒ ω 5 30 rad/s Sabendo que:

vcoroa 5 vcatraca ⇒ 2πfcoroa Rcoroa 5 ωcatraca ? Rcatraca

⇒ 2 ? 3 ? fcoroa ? 0,1 5 30 ? 0,04 ⇒

(21)

CAPÍTULO 1

1

a

I. correta, pois o módulo do vetor deslocamen-to é: x2_{5 (300)}2_{1 (400)}2_{⇒ x 5 0,5 km}

O trajeto é percorrido em 0,5 h, então: v 5 0 5

0 5 ,

, ⇒ v 5 1 km/h

II. incorreta, pois 200 1 100 1 100 1 100 1 1 200 1 100 1 300 5 1.100 m

III. correta. Vide afirmação I. IV. incorreta. Vide afirmação I.

2

d

Pela figura vemos que: B= 5 A= 1 C= ⇒ A= 5 B= 2 C=

3

d a – b a – b

4

a

Analisando a figura vemos que:

r_{= 1 s = 1 u= 5 v= ⇒ s = 1 u= 5 v= 2 r =, portanto a} única expressão incorreta é a A.

5

d

a 5 RTu = 1 TUu=

Pela lei dos cossenos:

a2_{5 7}2_{1 8}2_{2 2 ? 7 ? 8 ? cos 120 ⇒} ⇒ a2_{5 49 1 64 2 112 (20,5) ⇒} ⇒ a2_{5 169 ⇒ a 5 13 u}

6

b 60° 60° 4 m 4 m 8 m 8 m 8 m R₁ 60° 60° 4 m 4 m 8 m 8 m 8 m R₂

Portanto, o vetor resultante dos 6 vetores é R=1 1 R2=.

Pelas figuras, vemos que R1 5 R2 5 4 1 8 1 4 ⇒

R1 5 R2 5 16 u, então o vetor resultante é:

RT 5 R1 1 R2 ⇒ RT 5 32 u

CAPÍTULO 2

1

VV

V_res V_P

A velocidade resultante do trajeto é de: vres 5 ∆_∆s_t ⇒ vres 5 200₁ ⇒ vres 5 200 km/h

Pela figura temos que:

vP2 5 vV2 1 vres2 ⇒ vP2 5 802 1 2002 ⇒ ⇒ vP2 5 6.400 1 40.000 ⇒ vP2 5 46.400 ⇒ vP . 215,4 km/h

2

vc A B 2.500 m v_c

Na primeira metade temos: vn 2 vc 5 1 250 1 . ∆t ⇒ 4 2 1 5 1 250 1 . ∆t ⇒ ⇒ Dt1 5 1 250.₃ s ⇒ Dt1 . 416,67 s Na segunda metade: vn 1 vc 5 1 250 2 . ∆t ⇒ 4 1 1 5 1 250 2 . ∆t ⇒ ⇒ Dt2 5 250 s

O intervalo de tempo total é: D_t 5 416,67 1 250 ⇒ ⇒ Dt . 667 ou 11min 7s

(22)

3

60° 60° 60° v R v v₁

Utilizado a lei dos cossenos: R2_{5 v}2_{1 v}

12 2 2 v1v cos 60º ⇒

⇒ R2_{5 20}2_{1 20}2_{2 2 ? 20 ? 20 ? 0,5}

⇒ R2_{5 400 ⇒ R 5 20 m/s}

Direção: formando um ângulo de 60º com a ho-rizontal. Sentido: noroeste.

4

180° – � � R vP v_C

Utilizando a lei dos cossenos:

R2_{5 6}2_{1 2}2_{2 2 ? 6 ? 2 ? cos (180º 2 b) ⇒} ⇒ R2_{5 36 1 4 2 24 ? (2 cos b) ⇒} ⇒ R2_{5 40 1 24 ? 0,8 ⇒} ⇒ R2_{5 59,2 ⇒ R . 7,7 m/s} 180° – � � R v_C v_P

Para encontrarmos a direção do vetor R= temos de encontrar a medida do ângulo a mostrado acima, pela lei dos cossenos:

v_P2₅R2 ₁v_C2_{2 ?}₂ R v_? _C _?_cos_{α ⇒} ⇒ 36 5 59,2 1 4 2 30,8 ? cos a ⇒ ⇒ cos , cos ° , , a = 27 2 ⇒ a ⇒a 30 8 .0 88 .28

Direção: 28º com a vertical.

Sentido: definido pela ponta da seta na figura acima.

5

v_C v_T v_B

O tempo necessário para atravessar o rio é: vB 5 _∆D_t ⇒ Dt 5 3 2₈, ⇒ Dt 5 0,4 h

Em 0,4 h, o deslocamento horizontal será de vC 5 ∆_∆s_t ⇒ Ds 5 5 ? 0,4 ⇒ Ds 5 2 km

Portanto o barco atinge o ponto C.

6

a) O intervalo de tempo que a bala demora para percorrer os 2,0 m é o mesmo intervalo que o caminhão percorre 0,2 m, como mos-tra a figura. vC 5 ∆ ∆ s tC ⇒ 25 5 0 2, ∆t ⇒ Dt 5 0 2 25 , (I) vB 5 ∆_∆s_tB ⇒ Dt 5 _v2 B (II) Igualando (I) e (II):

0 2 25 2 , 5 v_B vB 5 250 m/s

b) Como o deslocamento do caminhão é para a direita, sabemos que a bala entrou pelo orifício A.

7

b

v₂ v₁

O vetor resultante é horizontal, para a direita e de módulo v1 2 v2.

CAPÍTULO 3

1

d

O tempo de queda da bolinha é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 2 ⇒ 1,8 5 5t2 ⇒ t 5 0,6 s vx 5 ∆_∆x_t ⇒ 5 5 _{0 6}∆x_, ⇒ x 5 3 m

2

b 37° 25 m 0 D vpedra vbalão

A componente vertical da velocidade de lança-mento da pedra é:

(23)

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. vy 5 vb 1 vpy ⇒ vy 5 14 1 10 ? 0,6 ⇒ ⇒ vy 5 20 m/s

A componente horizontal da velocidade de lançamento é:

vx 5 10 ? 0,8 ⇒ vx 5 8 m/s

O tempo em que a pedra permanece no ar é: s 5 s0 1 v0t 1 at

2

2 ⇒ 0 5 25 1 20t 2 5t2 ⇒ ⇒ t2_{2 4t 2 5 5 0}

Resolvendo a equação do 2_{‚ grau, sabemos} que a pedra permanece 5 s no ar.

vx 5 ∆_∆s_t ⇒ 8 5 D₅ ⇒ D 5 40 m

3

5 m 45 m D_L D_B

a) O tempo de queda da laranja e da banana é: s 5 s0 1 v0t 1 at

2

2 ⇒ 45 5 5t2 ⇒ t 5 3 s Portanto, em 3 s a laranja percorre: vL 5

D tL

∆ ⇒ DL 5 12 ? 3 ⇒ DL 5 36 m

Então o alcance horizontal da banana é: DB 5 36 1 5 ⇒ DB 5 41 m

vB 5 D_∆B_t

⇒ v

B

5

41₃ ⇒ vB . 13,7 m/s

b) A componente vertical da velocidade da la-ranja quando atinge o chão é:

vy 5 v0(y) 1 at ⇒ vy(L) 5 0 1 10 ? 3 ⇒

⇒ vy(L) 5 30 m/s

vL_{u =} 2 v_y(L)u = 2 v_x(L)u = ⇒ vL2 5 302 1 122 ⇒

⇒ vL . 32,3 m/s

4

d

I. correta. A aceleração gravitacional na Lua é menor do que na Terra, e portanto a altura má-xima atingida na Lua é maior do que na Terra. II. correta. A velocidade do projétil no ponto

mais alto independe da aceleração gravita-cional do local.

III. correta. O alcance horizontal é proporcional ao tempo que o projétil fica no “ar”, como na

Lua o alcance vertical é maior do que o al-cance vertical da Terra, o alal-cance horizontal na Lua também será maior do que na Terra. IV. correta. Em um lançamento oblíquo, o

mó-dulo da velocidade do projétil quando atin-ge o chão é o mesmo módulo da velocidade com que o projétil é lançado, portanto inde-pende da aceleração gravitacional local.

5

a

A altura máxima atingida pela bola é dada por: vy2 5 v0(y)2 1 2aDs ⇒ 02 5 182 2 2 ? 10 ? h ⇒

⇒ h 5 16,2 m

O tempo de subida da bola é: vy 5 v0(y) 1 at ⇒ 0 5 18 2 10 ts ⇒

⇒ ts 5 1,8 s

Portanto o tempo em que a bola permanece no ar é 3,6 s.

vx 5 ∆_∆x_t ⇒55 _{3 6}∆_,x ⇒∆x 518m.

6

a

Quanto maior o alcance vertical, maior o tem-po em que a bola permanece no ar. Então: tQ ? tP 5 tR .

CAPÍTULO 4

1

a) C 5 2πR ⇒ C 5 2 ? 3 ? 0,5 ⇒ C 5 3 m b) v 5 2πR T ⇒ 30 5 2 3 0,5 ? ? T ⇒ T 5 0,1 s c) f 5 1 T ⇒ f 5 1 0 1, ⇒ f 5 10 Hz ⇒ ⇒ f 5 600 rpm

2

a) A velocidade linear das duas rodas é a mesma. b) R F f r V 5 2πRF 10 5 2 ? 3,14 ? 0,8 ? F ⇒ ⇒ F . 1,99 Hz ou 119,4 rpm v 5 2πrf 10 5 2 ? 3,14 ? 0,4 ? f ⇒ ⇒ f 5 3,98 Hz ou 238,8 rpm

(24)

3

a) v 5 ∆ ∆ s t ⇒ 600 5 3 ∆t ⇒ Dt 5 5 ? 1023 s b) 9° ___ 5 ? 1023_{s ⇒ T 5 0,2 s} 360° ___ T s f 5 1 T ⇒ f 5 1 0 2, ⇒ f 5 5 Hz

4

b

Os atletas entram e saem da pista simultanea-mente, portanto: ω1 5 ω2 ⇒ v_R1 1 5 v R2₂ ⇒ ⇒ v2 5 v1 ? R_R2 1 ⇒ v2 5 v ? 1 5, R_R ⇒ v2 5 3₂v

5

d

I. falsa. A velocidade linear depende da distân-cia entre o ponto e o centro do disco e por-tanto não é a mesma para todos os pontos. II. correta. Todos os pontos do disco

descre-vem o mesmo arco em um mesmo intervalo de tempo, portanto possuem a mesma velo-cidade angular.

III. correta. Nos pontos da periferia do disco, em uma volta completa, um ponto qualquer per-corre a circunferência de raio r, ou seja, 2πr.

6

d

Em 24 horas um ponto sobre Macapá percorre 2πR (circunferência do Equador). Em uma hora e meia percorre: D 5 2 24 πR ? 1,5 ⇒ D 5 40 000 24 . ? 1,5 ⇒ D 5 2.500 km

7

b VD 5 VT ⇒ 2πR_T D D 5 2πR T_TT ⇒ TT 5 TD ? _RRT D     ⇒ TT 5 1 ? 16 24     ⇒ TT 5 2 3 s

8

a) As engrenagens A e B possuem a mesma ve-locidade linear, então:

VA 5 VB ⇒ 2πfARA 5 2πfBRB ⇒

⇒ fB 5 fA ? R_RA B

⇒ fB 5 75 ? 10₁₅ ⇒

⇒ fB 5 50 rpm

As engrenagens B e C estão conectadas de tal forma que fC 5 fB ⇒

fC 5 50 rpm b) ωB 5 ωC ⇒ V_RB B 5 V RC_C ⇒ ⇒ VC 5 VB ? R_RC B ⇒ VC 5 2πRBfB ? R_RC B onde fB 5 50 rpm 5 50₆₀ Hz. Então: VC 5 2π ? 50₆₀ ? 0,08 ⇒ VC 5 2₁₅π m/s

9

d

Para que o projétil saia pelo mesmo orifício, o intervalo de tempo que o projétil leva para atravessar o diâmetro da esfera deverá ser meio período da esfera. f 5 120 rpm ⇒ f 5 2 Hz ⇒ T 5 0,5 s v 5 ∆ ∆ s t ⇒ v 5 10 0 25, ⇒ v 5 40 m/s

Exercícios de integração

1

e

A projeção deve conter uma parte vetorial, e outra numérica, correspondente ao cosseno do ângulo entre o vetor e o eixo das abscissas. A única alternativa que apresenta a notação ve-torial correta é a alternativa e.

2

c

A figura 3 é a única figura cuja soma vetorial é nula; as de números 1, 2 e 4 resultam em ve-tores paralelos às diagonais, e a 5 num vetor vertical.

3

c sen 30º 5 v vc_g ⇒ 0,5 5 60 v_g ⇒ vg 5 120 km/h

4

b

Calculando a resultante das forças F1= , F=2 e F3= ,

temos: F_1y F_1x y x F2 F3