DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS DA COLUNA TORÁCICA
Dissertação submetida ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia. Orientador: Prof. Dr. Eduardo Alberto Fancello
Coorientador: Prof. Dr. Carlos Rodrigo Roesler
Coorientador: Dr. Marcelo Simoni Simões
Florianópolis 2019
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
Trautwein, Hebert Suares
DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS DA COLUNA TORÁCICA / Hebert Suares Trautwein ; orientador, Eduardo Alberto Fancello, coorientador, Carlos Rodrigo Roesler, coorientador, Marcelo Simoni Simões, 2019.
101 p.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2019.
Inclui referências.
1. Engenharia Mecânica. 2. Engenharia Biomecânica. 3. Coluna Vertebral Torácica. 4. Discos Intervertebrais. 5. Elementos Finitos. I. Fancello, Eduardo Alberto. II. Roesler, Carlos Rodrigo. III. Simões, Marcelo Simoni IV. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. V. Título.
DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO EM ELEMENTOS FINITOS DA COLUNA TORÁCICA
Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de “Mestre em Engenharia Mecânica” e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
Florianópolis, 07 de Março de 2019.
Às instituições de fomento, CAPES e CNPQ; Ao orientador, Eduardo Alberto Fancello;
Aos coorientadores, Carlos Rodrigo Roesler e Marcelo Simoni Simões;
Ao departamento de Engenharia Mecânica e ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina;
Ao colega Luís Fernando Nicolini, pela ajuda no desenvolvimento deste trabalho;
Ao RWTH-IAM da Universidade de Aachen, pelo trabalho desenvolvido junto a Nicolini, que foi utilizado para calibração dos parâmetros materiais do presente trabalho;
Ao meu Pai; À minha Mãe.
“É raro encontrar independência de espírito ou força de caráter entre aqueles que não confiam na sua capacidade de abrir caminho pelo próprio esforço”
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um modelo computacional para a simulação da biomecânica da coluna torácica humana. O modelo inclui a estrutura das vertebras, discos intervertebrais e ligamentos. A geometria das vértebras foi obtida de imagens de Tomografia Computadorizada e então modificada por um processo iterativo considerando valores médios antropométricos obtidos da literatura. As medidas antropométricas dos discos intervertebrais foram ajustadas através de relações de proporcionalidade às medidas vertebrais. Os parâmetros para modelos de materiais de ligamentos, discos intervertebrais, e articulações facetárias da coluna torácica foram calibrados para ajustar aos resultados de testes in vitro. O método proposto conduziu ao desenvolvimento de um modelo numérico em elementos finitos capaz de gerar resultados compatíveis com outros resultados de testes in vitro da literatura.
Palavras-chave: Engenharia Biomecânica. Coluna Vertebral Torácica. Discos Intervertebrais. Elementos Finitos.
This work presents the development of a computational model of the human thoracic spine which includes the vertebrae, intervertebral discs and ligaments. The vertebrae geometry was obtained from Computerized Tomography images and iteratively modified to approximate to the mean anthropometric values provided in the literature. The intervertebral discs anthropometric values were calculated by considering proportional height between them and the vertebrae. The material parameters of the ligaments, intervertebral discs and facet joints were calibrated in order to fit the numerical results to the in vitro experimental data. The proposed method led to a Finite Element model able to generate results in accordance to other works in the literature.
Keywords: Biomechanical Engineer. Thoracic Vertebrae Spine. Intervertebral Discs. Finite Element.
Figura 1 – Planos anatômicos. Fonte: Adaptado de Cramer e Darby (2014). ... 31
Figura 2 - Terminologia anatômica: Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014)... 32
Figura 3 - Coluna vertebral, suas regiões e nomenclatura utilizada para cada vértebra. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014). 33
Figura 4 - Vista superior e lateral de uma vértebra típica. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014). ... 35
Figura 5 - Secção da metade sagital da coluna vertebral. As vértebras são compostas por um núcleo de osso trabecular revestido por camadas de osso cortical. Fonte: Moore, Dalley e Agur (2014). ... 36
Figura 6 - Articulações costocorporais e costotransversas de uma costela típica. Fonte Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014). ... 37
Figura 7 - Disco Intervertebral composto pelo núcleo e anel fibroso. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014)... 38
Figura 8 – Corte sagital na posição das facetas articulares, região lombar. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014)... 39
Figura 9 - Localização dos ligamentos típicos da coluna vertebral (torácica e lombar). Fonte: Nicolini (2016). ... 40
Figura 10 - Ligamentos de união das costelas com as vértebras torácicas, referentes às articulações costocorporais e costotransversas. Fonte: Cramer e Darby (2014). ... 40
Figura 11 – Superfície vertebral, construída no Rhinoceros® com utilização de ferramenta baseada em tecnologia NURBS. Em destaque os pontos de controle. ... 41
Figura 12 - Representação gráfica das principais marcas antropométricas consideradas neste trabalho. As cotas IFW, IFL, SFW e SFL são feitas nos planos das facetas e estão representadas aqui no plano. ... 46
Figura 13 – Marcas antropométricas utilizadas por Kunkel et al. (2011) para o cálculo das alturas do disco intervertebral. Fonte: Kunkel et al. (2011) ... 47
Figura 14 - Secção das facetas articulares. Fonte: Giles (1992). 49 Figura 15 - Coluna Torácica MCA (T1 – T12). a.) ângulo de cifose resultante do procedimento adotado; b. e c.) Imagens em perspectiva da geometria de coluna torácica. ... 50
Figura 16 - Malha vertebral, composta por elementos sólidos, majoritariamente tetragonais, com alguns casos pentagonais na região de transição com os discos intervertebrais. ... 51
Figura 17– Malha de um disco intervertebral. Destaca-se a distinção entre as malhas de Núcleo e Anel Fibroso. ... 52
Figura 18 - Malha de um segmento funcional, incluindo os ligamentos representados por elementos uniaxiais. ... 53
Figura 19 – Representação geométrica do modelo de EF da coluna torácica T01-T12. Vistas frontal, lateral e superior. ... 54
Figura 20 - Divisão do anel fibroso para discretização e calibração das propriedades mecânicas. ... 59
Figura 21 – Fibras do anel fibroso. a. esquemático do experimento realizado por Holzapfel et al. (2005) para medir a rigidez das fibras; b. uma amostra utilizada por Holzapfel; c. e d. imagem dos resultados das direções das fibras no modelo do presente trabalho. ... 60
Figura 22 - Curva de interação Tensão x Deslocamento Relativo para facetas proposta por Sharma, Langrana e Rodriguez (1995) e adaptada para a geometria do presente trabalho... 62
Figura 23 - Equipamento utilizado para os ensaios de flexão. Fonte: BECKMANN et al. 2019. ... 63
Figura 24 - Preparação dos ensaios com amostra de coluna de ovelha. a. alinhamento da coluna no cabeçote de ensaio; b. câmara de ensaio com controle de temperatura e umidade. ... 64
Figura 25 - Curvas de Flexão/Extensão resultantes para as etapas de dissecação do segmento T09-T10. ... 65
Figura 26 - Curvas de Flexão Lateral resultantes para as etapas de dissecação do segmento T09-T10. ... 66
Figura 27 - Curvas de Rotação Axial resultantes para as etapas de dissecação do segmento T09-T10. ... 67
Figura 28 - Condições de contorno do modelo segmental: a. Flexão/Extensão; b. Flexão Lateral; c. Rotação Axial. ... 68
Figura 29 - a. W/o ALL; b. W/o PLL; c. W/o Arch; d. W/o CLL; e.
W/o FVL; f. W/o ISL; g. W/o SSL; h. W/o ITL; i. Intacto. ... 69
Figura 30 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o ALL. ... 70
Figura 31 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de rotação axial para os ensaios W/o
ALL... 71
Figura 32 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o PLL. ... 72
respectivamente para os ensaios W/o Arch. ... 72 Figura 34 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o CLL. ... 73
Figura 35 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o FVL. ... 74
Figura 36 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o ISL. ... 75
Figura 37 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios W/o SSL e W/o ITL. ... 76
Figura 38 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os ensaios Intactos. ... 77
Figura 39 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os segmentos intactos T01-T02 e T02-T03. ... 82
Figura 40 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os segmentos intactos T04-T05 e T05-T06. ... 83
Figura 41 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os segmentos intactos T06-T08 e T07-T08. ... 84
Figura 42 - Comparação entre os resultados numéricos e experimentais dos movimentos de flexão/extensão e flexão lateral respectivamente para os segmentos intactos T09-T10, T10-T11 e T11-T12. ... 85 Figura 43 - Resultados numéricos de flexão/extensão e flexão lateral para os segmentos intactos T06-T08 e T07-T08. Não há curvas experimentais destes segmentos, por se tratar da região de corte das amostras... 86
Figura 44 – Taxas percentuais do aumento da amplitude de movimento dos resultados dos modelos W/o Arch (T01-T02 até
T11-T12) em relação aos resultados do modelo intacto. Média MEF trata da
média aritmética entre as relações obtidas para T01-T02 até T11-T12. A relação de Oda é feita entre os resultados do ensaio TF e o ensaio intacto do respectivo trabalho. Todos para a direção de carga de
Flexão/Extensão, com cargas variando entre -2 e 2 Nm. O Valor de 100% refere-se à amplitude de movimento do segmento intacto. ... 89
Figura 45 - Comparação entre os resultados numéricos obtidos do modelo de EF com os resultados experimentais obtidos de Couvertier et al. (2017), para movimento de flexão/extensão dos segmentos intactos T11-T12. ... 90
Figura 46 - a. configurações indeformada e deformada do modelo T4-T12 para Flexão; b. condições de contorno para o caso de carga Flexão. ... 94
Tabela 1: Valores iniciais dos parâmetros da parte isotrópica do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico utilizados para calibração do anel fibroso. ... 59
Tabela 2: Tentativa inicial dos parâmetros da parte anisotrópica do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico, utilizado para anel fibroso. ... 61
Tabela 3: Parâmetros do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico, utilizado no anel fibroso, para a parte isotrópica. ... 78
Tabela 4: Parâmetros para a parte anisotrópica do modelo de Holzapfel, direções das fibras do anel fibroso, parâmetro de dispersão das fibras e parâmetros de rigidez das fibras (k1 e k2). ... 78
Tabela 5: Parâmetros do modelo constitutivo dos ligamentos. Intervalos de -∞ a 0 quando omitidos apresentam a=1 e b=0 (rigidez nula). ... 79
Tabela 6 - Resultados de mobilidade, em graus, para flexão sagital com carga de 2 Nm: MEF = Modelo em EF desenvolvido neste trabalho; A. = IAM; B. = White 1969; C. = White & Panjabi 1990; D. = Liebschner 2017. ... 92
Tabela 7 – Comparação dos resultados do modelo da coluna T4-T12 com os somatórios dos modelos segmentais T4-T5 até T11-T4-T12. . 93
EF – Elementos Finitos
IAM - Institut für Allgemeine Mechanik, Instituto de Mecânica Geral da Universidade de Aachen.
MCA – Modelo de Coluna Atual MCR – Modelo de Coluna Referencia MEF – Modelo de Elementos Finitos
ROM – Range of motion. Traduzido no texto como “amplitude de movimento”. Nas legendas das figuras foi mantida a sigla em inglês, para facilitar a ligação com a literatura. Refere-se ao total movimentado em um ensaio, para determinada amplitude de carga. No caso deste trabalho, ROM indica uma medida de rotação e possui sempre a unidade de graus (°), e está relacionado com cargas de momento (Nm).
NURBS – Non-Uniform Rotational Basis Spline ALL – Ligamento Longitudinal Anterior CL ou CLL – Ligamento Capsular FVL – Ligamento Flavo
ISL – Ligamento Inter Espinhal ITL – Ligamento Inter Transverso PLL – Ligamento Posterior Longitudinal SSL – Ligamento Supra Espinhal
SVBW – Superior Vertebral Body Width; IVBW – Inferior Vertebral Body Width;
SVBL - Superior Vertebral Body Length; IVBL – Inferior Vertebral
Body Length;
AVBH – Anterior Vertebral Body Height; PVBH – Posterior Vertebral Body Height;
SPL – Spinous Process Length; SPH – Spinous Process Height;
TPL – Transverse Process Length; VCSW – Vertebral Chanel Superior
Width;
VCSL – Vertebral Chanel Superior Length;
IL – Isthmus Length; SFFW – Superior Interfacet Width; IFFW – Inferior Interfacet Width;
FFH – Interfacet Height; SFL – Superior Facet Length; SFW – Superior Facet Width; SFFW – Superior Interfacet Width; IFL – Inferior Facet Length; IFW - Inferior Facet Width;
ITFA – Inferior Transverse Facet Angle; SLFA – Superior Longitudinal Facet Angle; ILFA – Inferior Longitudinal Facet Angle. PDH - Posterior Disc Height;
1 INTRODUÇÃO ... 27 1.1 OBJETIVOS ... 28 1.1.1 Objetivo geral ... 28 1.2 ESTRUTURA DO TEXTO ... 28 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 31 2.1 POSIÇÕES ANATÔMICAS ... 31 2.2 COLUNA VERTEBRAL... 32 2.2.1 Vértebras e Articulações ... 34 2.2.2 Discos intervertebrais ... 37 2.2.3 Facetas Articulares ... 38 2.2.4 Ligamentos ... 39
2.3 CAD – COMPUTER AIDED DESIGN ... 41
2.4 MEF – MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ... 41
3 CONSTRUÇÃO DO MODELO ... 43
3.1 MODELO GEOMÉTRICO ... 44
3.1.1 Antropometria Vertebral ... 45
3.1.2 Antropometria dos DIV’S ... 47
3.1.3 Antropometria das Juntas Facetárias ... 48
3.1.4 Validação da geometria ... 50
3.2 DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS ... 51
3.2.1 Modelo EF da Coluna ... 54
4 MODELOS DOS MATERIAIS E CALIBRAÇÃO ... 57
4.1 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS ... 57
4.1.1 Vértebras... 57 4.1.2 Discos Intervertebrais ... 58 4.1.3 Juntas Facetárias ... 61 4.1.4 Ligamentos ... 62 4.2 TESTES IN VITRO ... 63 4.3 CALIBRAÇÃO ... 67
4.3.1 Calibração dos Ligamentos ... 67 4.3.2 Parâmetros resultantes ... 77 5 RESULTADOS E VALIDAÇÃO DO MODELO ... 81 5.1 RESULTADOS ... 81 5.1.1 Resultados segmentais ... 81 5.2 VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS ... 87 5.2.1 Comparação entre taxas de aumento da amplitude do movimento ... 87 5.2.2 Comparação curva Flexão/Extensão T11-T12 ... 89 5.2.3 Comparações de amplitude do movimento ... 90 5.3 RESULTADOS GLOBAIS ... 92 6 DISCUSSÃO ... 95 6.1 LIMITAÇÕES ... 95 6.2 TRABALHOS FUTUROS ... 95 7 CONCLUSÕES ... 97 REFERÊNCIAS ... 99
1 INTRODUÇÃO
As patologias da coluna vertebral representam um desafio médico e social. A dor nas costas é um dos principais problemas de saúde e está associada a grandes despesas (CRAMER; DARBY, 2014; HOY et al., 2012). Segundo Filho e Silva (2011), a dor nas costas idiopática é a primeira causa de invalidez entre as aposentadorias previdenciárias e acidentárias, no Brasil. Em 2008, Dagenais, Caro e Haldeman (2008) estimaram os custos totais, incluindo também fatores indiretos tais como faltas no trabalho e perda de produtividade, causados por problemas de dores nas costas. Chegaram à conclusão que naquele ano a economia dos Estados Unidos teve um impacto da ordem de U$625 bilhões, considerando os custos diretos e indiretos.
A biomecânica da coluna, que permite compreender o comportamento desta estrutura sob a solicitação de cargas cotidianas, está ainda sendo investigada. Em geral, a literatura apresenta trabalhos focando as regiões lombar e cervical da coluna, nas quais ocorrem os problemas mais frequentes. Entretanto, poucos estudos são encontrados para a coluna torácica, embora esta região possua papel importante na funcionalidade da coluna vertebral humana, conferindo estabilidade, transferindo as cargas cotidianas e fazendo a ligação entre a coluna cervical e lombar. Por se tratar da região mais extensa da coluna possui componentes únicos, que são as costelas e a caixa torácica. Problemas recorrentes desta região são: escoliose, hérnia de disco, fratura das vértebras e problemas nos ligamentos nas regiões de transição toracolombar.
Neste contexto, o desenvolvimento e a aplicação de modelos computacionais tornaram-se elementos importantes no avanço do entendimento da biomecânica da coluna vertebral. Os modelos computacionais baseados em Elementos Finitos (EF) têm contribuído na investigação de patologias, bem como auxiliado na avaliação e desenvolvimento de implantes, trazendo soluções eficazes com uma boa relação entre custo e benefício (DREISCHARF et al., 2014).
O presente trabalho é motivado pela possibilidade de explorar um campo ainda pouco abordado na literatura, que é a biomecânica da coluna torácica. Busca-se aumentar a compreensão a respeito de sua biomecânica através do desenvolvimento de um modelo baseado em EF com o potencial de ser utilizado como bancada de simulações para o desenvolvimento e análise de projetos de implantes, avaliação de técnicas cirúrgicas empregadas nos tratamentos da coluna vertebral. Desta forma espera-se superar as dificuldades associadas à realização de
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testes experimentais in vitro, incluindo aspectos de custos, tempo e disponibilidade de amostras.
1.1 OBJETIVOS 1.1.1 Objetivo geral
Este trabalho tem por objetivo, desenvolver um modelo computacional da coluna torácica para ser utilizado como base de simulações do comportamento biomecânico de próteses, implantes, procedimentos cirúrgicos e tratamentos fisioterapêuticos.
1.2 ESTRUTURA DO TEXTO
No Capítulo 2 é feita uma revisão conceitual sobre os assuntos englobados no trabalho. O objetivo deste capítulo é contextualizar o leitor e colocá-lo em condições de entender o trabalho. É apresentada uma revisão sobre anatomia da coluna vertebral. Em seguida são introduzidas as tecnologias utilizadas para construção do modelo geométrico (CAD – Computer Aided Design) e para solução do problema de deformações (MEF – Método dos Elementos Finitos).
No Capítulo 3 é apresentada a abordagem adotada para o tratamento das medidas antropométricas na geometria da coluna torácica. É discutida a importância de se avaliar métricas representativas da coluna humana, tendo em vista o maior alcance dos resultados do modelo. No final deste capítulo é apresentada a estratégia de discretização da geometria em elementos finitos para a resolução pelo MEF.
No Capítulo 4 são abordadas as etapas da escolha dos modelos constitutivos dos materiais da coluna e a calibração dos respectivos parâmetros.
Ainda no Capítulo 4 são apresentados brevemente os testes in
vitro realizados no Institute of General Mechanics (IAM -
www.iam.rwth-aachen.de) na RWTH Aachen University, Alemanha, que foram utilizados de referência para a calibração dos parâmetros dos modelos constitutivos dos materiais. Por fim são apresentados os parâmetros resultantes de tal calibração e as curvas resultantes de um segmento funcional da coluna avaliado pelo método de elementos finitos.
No Capítulo 5 são apresentadas as condições de contorno e os casos de carga avaliados no modelo em EF da coluna torácica
desenvolvido, bem como as análises dos resultados de cada segmento funcional em comparação com outros resultados encontrados na literatura, com o intuito de validar o modelo.
No Capítulo 6 são apresentados os comentários finais e as conclusões do trabalho realizado. São apresentadas algumas limitações do modelo e sugestões para trabalhos futuros.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O conhecimento prévio de anatomia da coluna vertebral e das estruturas que a compõem é necessário para o início das pesquisas acerca da biomecânica da coluna vertebral. Neste capítulo serão revisadas as estruturas principais da coluna vertebral humana, com enfoque para estruturas da região torácica. Também serão apresentados os planos anatômicos, pois se trata da linguagem de referência geométrica que será recorrentemente utilizada neste texto.
2.1 POSIÇÕES ANATÔMICAS
Os planos anatômicos são utilizados neste trabalho como referência para as explicações das medidas antropométricas, ilustrações do modelo, direções de cargas aplicadas ao modelo de EF e aos testes in
vitro, entre outros.
A configuração e nomenclatura dos planos anatômicos, bem como os principais eixos de mobilidade da coluna vertebral, são ilustradas na Figura 1.
Figura 1 – Planos anatômicos. Fonte: Adaptado de Cramer e Darby (2014). Z Y X Rotação Axial Em torno do eixo Z
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No caso do tratamento de uma estrutura anatômica isolada, por exemplo, uma vértebra, os planos anatômicos são definidos localmente na estrutura em questão.
Outra referência importante são as direções do corpo, ilustradas na Figura 2. No texto geralmente tais direções são utilizadas de forma relativa: se determinado componente é mais cranial que outro componente, por exemplo, significa que o primeiro fica numa posição mais próxima do crânio do que o segundo.
Figura 2 - Terminologia anatômica: Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014).
2.2 COLUNA VERTEBRAL
A coluna vertebral é uma estrutura complexa que se estende do crânio até o ápice do cóccix (MOORE; DALLEY; AGUR, 2014). Tal estrutura é formada por alavancas (vértebras), pivôs (articulações cartilaginosas chamadas facetas e discos intervertebrais), elementos de
Ventral (Anterior) Dorsal (Posterior) Caudal Cranial
restrição passiva (ligamentos) e elementos atuadores (músculos) (BERNHARDT; WHITE; PANJABI, 1992, apud KOWALSKI; FERRARA; BENZEL, 2005, p. 43). Suas três funções primárias são sustentar o corpo, proteger a medula espinal e os nervos espinhais e auxiliar no movimento do tronco (CRAMER; DARBY, 2014).
A coluna vertebral de um adulto normalmente tem 33 vértebras, organizadas em cinco regiões: 7 vértebras cervicais, 12 torácicas, 5 lombares, 5 vertebras sacrais que fundidas formam o sacro e 4 coccígeas (MOORE; DALLEY; AGUR, 2014). A Figura 3 mostra a coluna vertebral, suas regiões e a nomenclatura utilizada para cada vértebra.
Figura 3 - Coluna vertebral, suas regiões e nomenclatura utilizada para cada vértebra. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014).
A região torácica é a mais extensa e com maior quantidade de vértebras. A principal característica que diferencia essa região das demais são as articulações com as costelas, que por sua vez se ligam ao osso esterno na outra extremidade. Este conjunto de costelas e osso esterno, bem como os respectivos ligamentos, constitui a caixa torácica,
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que limita a mobilidade da região e confere estabilidade à mesma tornando-a mais rígida do que as outras, apesar de ser a mais extensa.
Esta região possui 12 vértebras, T1 à T12, das quais se podem verificar características típicas nas vértebras T2 até a T8. As vértebras T1, T9, T10, T11 e T12 possuem algumas características geométricas únicas (CRAMER; DARBY, 2014).
2.2.1 Vértebras e Articulações
A Figura 4 apresenta o formato de uma vértebra torácica. A região anterior, parecida com um cilindro, corresponde ao corpo vertebral enquanto que a posterior é chamada de arco posterior, ou arco vertebral, ou usualmente arco. As superfícies superiores e inferiores do corpo vertebral que fazem a interface com os discos intervertebrais são chamadas de platôs (endplates) (MOORE; DALLEY; AGUR, 2014).
O corpo vertebral confere resistência compressiva à coluna vertebral e sustenta cargas de peso corporal (MOORE; DALLEY; AGUR, 2014). Do outro lado, temos o arco vertebral que é composto por dois pedículos e duas lâminas por onde partem um processo espinhoso, dois processos transversos e dois processos articulares (TUPINAMBÁ; VASCONCELOS, 2004). O processo espinhoso, os processos transversos, os processos articulares e as facetas articulares auxiliam no movimento da coluna sendo que, os dois últimos agem pelo contato de suas faces enquanto que os dois primeiros servem de braço de alavanca onde atuam os músculos. (CRAMER; DARBY, 2014).
Figura 4 - Vista superior e lateral de uma vértebra típica. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014).
A formação óssea vertebral apresenta densidades e características diferentes conforme se adentra em seu volume: a parte mais interna é composta por um núcleo de osso menos denso, chamado osso trabecular, ou também conhecido por osso esponjoso; a camada mais externa é formada por um revestimento mais denso e rígido chamado osso cortical (CRAMER; DARBY, 2014). Tal formação é ilustrada na Figura 5. Forame Vertebral Processo Espinhoso Processo Transverso Eixo de rotação Vista Superior da T1 Vista Superior da T6 Faceta para o tubérculo da costela Lamina Corpo Vertebral
Arco definido pelas facetas articulares Faceta Articular Pedículo Eixo de rotação Faceta costal superior Processo articular superior Facetas para a cabeça da 7ª costela Faceta para o tubérculo da 7ª costela
Faceta costal inferior Processo
Espinhoso
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Figura 5 - Secção da metade sagital da coluna vertebral. As vértebras são compostas por um núcleo de osso trabecular revestido por camadas de osso cortical. Fonte: Moore, Dalley e Agur (2014).
É possível visualizar na Figura 6 as facetas de articulação com as costelas, chamadas de articulações costocorporais e costotransversas. É mostrado com maiores detalhes como a 7ª costela se articula com o corpo vertebral da T7 na parte superior e com a T6 na parte inferior, bem como a articulação da costela com o processo transverso da T7.
Figura 6 - Articulações costocorporais e costotransversas de uma costela típica. Fonte Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014).
As vértebras são unidas entre si para formar segmentos, que são estabilizados através de discos intervertebrais, ligamentos e músculos. Neste trabalho os músculos não estão sendo abordados, na sequência é feita uma introdução a respeito de discos intervertebrais e ligamentos. 2.2.2 Discos intervertebrais
De acordo com Moore, Dalley e Agur (2014), os discos intervertebrais são estruturas fibrocartilagíneas que formam as articulações entre os corpos vertebrais adjacentes e consistem de um anel fibroso ao redor de um núcleo pulposo (Figura 7.a).
O núcleo pulposo possui característica quase incompressível, sendo composto por líquidos podendo ter até 90% de água, conforme Cramer e Darby (2014).
O anel fibroso é composto por lâminas fibrocartilaginosas concêntricas. A maioria das fibras de cada lâmina são paralelas entre si e contrapostas a 180° com as fibras das lâminas vizinhas, ilustrado na Figura 7.b. As direções angulares de tais fibras também variam conforme a posição circunferencial observada, tendendo a ser mais vertical perto da parte posterior (dorsal) e mais horizontal perto da parte anterior (ventral).
Facetas Articulares Superiores Faceta Costal para 6ª costela
Faceta Articular para tuberculo da 6ª costela Processo Transverso da vertebra T7 Processo Espinhoso da vertebra T6 Corpo da vértebra superior à costela Disco Intervertebral Cabeça da Costela Corpo da Vertebra adjacente à costela Integrantes na junta da cabeça da costela Integrantes na junta costo-transversa Tubérculo Processo transverso da vértebra adjacente Eixo de rotação da costela Juntas Costovertebrais Elevação Depressão
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A composição estrutural do disco consiste em um material quase incompressível confinado por um material composto reforçado por fibras, garantindo assim a resistência mecânica necessária para sua função principal, que é transmitir as cargas provenientes do peso corporal e da atividade dos músculos através da coluna vertebral, bem como auxiliar nos movimentos oferecendo flexibilidade. Patologias nos discos intervertebrais são recorrentes, sendo a mais comum delas a hérnia de disco.
a.) b.)
Figura 7 - Disco Intervertebral composto pelo núcleo e anel fibroso. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014).
2.2.3 Facetas Articulares
As facetas articulares, pertencentes aos processos articulares (zigapófises), são articulações sinoviais entre vertebras adjacentes. Os planos das faces articulares formam um arco (Figura 4), guiando a rotação axial. As facetas articulares também auxiliam na manutenção do alinhamento das vertebras, prevenindo que uma vértebra deslize sobre a vértebra adjacente (MOORE; DALLEY; AGUR, 2014).
Na Figura 8 é ilustrada em corte uma faceta da região lombar. Não foi encontrado na literatura imagem equivalente para região torácica, que difere da região lombar principalmente no ângulo de inclinação e curvatura da face, conforme se observa na Figura 3.
Anel fibroso
Núcleo Pulposo
Lâminas Concêntricas
Anel fibroso dissecado para mostrar as lâminas concêntricas e fibras de reforço.
Figura 8 – Corte sagital na posição das facetas articulares, região lombar. Fonte: Adaptada de Moore, Dalley e Agur (2014). 2.2.4 Ligamentos
Os ligamentos oferecem resistência principalmente quando solicitados à tração e têm as funções de permitir um movimento suave bem como ajudar na proteção da coluna vertebral por meio da limitação de movimentos e cargas excessivas (CRAMER; DARBY, 2014). Na Figura 9 são ilustrados os principais ligamentos presentes nas regiões torácica e lombar. Processo articular superior da L3 Corpo Vertebral da L3 Disco Intervertebral L3-L4 Processo Articular L2-L3 Forame Intervertebral L3-L4 Ligamento Flavo Cartilagem de hialina da faceta inferior da L3
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Figura 9 - Localização dos ligamentos típicos da coluna vertebral (torácica e lombar). Fonte: Nicolini (2016).
Existem alguns ligamentos que fazem parte das articulações das costelas, sendo estes particulares à região torácica. Tais ligamentos, ilustrados na Figura 10, contribuem para a maior estabilidade da região torácica.
Figura 10 - Ligamentos de união das costelas com as vértebras torácicas, referentes às articulações costocorporais e costotransversas. Fonte: Cramer e Darby (2014). Articulação Costocorporal Articulação Costotransversa Vista em corte do ligamento intra-articular Ligamento costotransverso superior Ligamento Radiado
2.3 CAD – COMPUTER AIDED DESIGN
O termo CAD refere-se a tecnologia de Desenho Assistido por Computador (Computer Aided Design). Este termo teve seu uso diminuído recentemente, sendo substituído atualmente pela denominação Modelagem ou Modelo Sólido. Existe atualmente uma gama de programas comerciais para as mais variadas aplicações nas áreas de engenharia, design, arquitetura, geologia, entre outros. As tecnologias aplicadas também variam, em geral utilizam informações armazenadas vetorialmente para construir as geometrias através de cálculos matemáticos.
Neste trabalho particularmente foi utilizado o programa comercial Rhinoceros 6.0®, o qual possui como principal característica a capacidade de trabalhar com a tecnologia NURBS (non-uniform
rational basis spline). Tal tecnologia oferece vantagens para representar
curvas e superfícies orgânicas, uma vez que as geometrias são construídas a partir de pontos de controle definidos pelo usuário. Um exemplo de superfície construída com o Rhinoceros® através da tecnologia NURBS e exibido na Figura 11.
Figura 11 – Superfície vertebral, construída no Rhinoceros® com utilização de ferramenta baseada em tecnologia NURBS. Em destaque os pontos de controle.
2.4 MEF – MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
De forma geral, o MEF é um método numérico utilizado para soluções aproximadas de equações diferenciais sujeitas a condições de contorno. Em engenharia este método tem especial importância, pois muitos fenômenos físicos são modelados matematicamente através deste
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tipo de equacionamento. O nome tem sua origem na característica de subdividir o domínio do problema em partes menores com quantidade finita.
Particularmente no campo da mecânica dos sólidos, este método é largamente utilizado devido à facilidade para tratar geometrias complexas através da discretização em EF. Nos programas comerciais de EF é possível partir de uma geometria vetorizada, gerada com auxilio de um programa de CAD, e obter a geometria discretizada, através de algoritmos desenvolvidos para este fim.
Neste trabalho foi utilizado o programa comercial Abaqus® (www.simulia.com), que apresenta a vantagem de já possuir implementado em seu código o modelo material utilizado para o disco intervertebral, chamado Holzapfel Anisotrópico, apresentado a primeira vez no trabalho de Holzapfel, Gasser e Ogden, (2000).
3 CONSTRUÇÃO DO MODELO
Modelos de EF têm sido importantes para o estudo do comportamento mecânico da coluna vertebral. Tais modelos frequentemente utilizam as propriedades biomecânicas dos tecidos moles calibradas com base em testes experimentais com cadáveres (in
vitro). Entretanto não é comum encontrar na literatura dados
antropométricos detalhados das amostras testadas. Este fato dificulta a construção e calibração de modelos biomecânicos, pois existe a falta de controle das variáveis antropométricas de vértebras e discos intervertebrais. Uma abordagem possível para este problema consiste em escolher uma geometria óssea arbitrária obtida via segmentação de imagens de uma coluna real e calibrar suas propriedades a partir dos dados experimentais acima mencionados. Uma abordagem alternativa é a reconstrução ou adaptação controlada da geometria obtida para que ela se ajuste a valores estatisticamente representativos de dados antropométricos observados na literatura.
Existem aspectos positivos e negativos em prol de uma e outra escolha. No caso da primeira, pesa a favor o fato que a geometria é verdadeiramente real e consequentemente guarda proporções antropométricas exequíveis. Como aspecto negativo, ela pode carregar desvios de uma média antropométrica que forneçam, nos estudos numéricos, resultados com viés induzidos por estes desvios. Outro ponto é que erros de segmentação de imagem na representação de regiões específicas como juntas facetárias trazem comprovadas dificuldades na interpretação de resultados mecânicos, em função da forte influência que estes erros geométricos podem ter na biomecânica do sistema multi articulado.
A segunda opção recebe como crítica o fato de não ser uma coluna proveniente de um caso real e, por ter sido “sintetizada”, passível de carregar alguma relação geométrica que não seja verificada na realidade. Por outro lado, com a construção estatisticamente representativa dos dados antropométricos, acompanhada de uma observação ativa das proporções anatômicas do conjunto multi articulado resultante, é possível minimizar o risco de se incorrer no problema acima mencionado e então obter uma solução de compromisso com relevância para o estudo mecânico pretendido.
Finalmente, a construção controlada permite a observância de alguns aspectos importantes na análise mecânica numérica posterior. A capacidade de controlar simetrias permite analisar a influência destas nos resultados numéricos. No caso da coluna vertebral, orientação e
44
folga de juntas facetárias são dados de forte influencia nos resultados mecânicos, e o controle geométrico baseado em valores estatísticos permite análise de sensibilidade, que não seria viável em modelos advindos de uma amostra específica.
Tendo em vista este cenário, o presente trabalho opta pela segunda abordagem. Uma busca na literatura permitiu concluir pelo uso dos dados estatísticos obtidos no estudo detalhado de Masharawi et al. (2004, 2005, 2008, 2011) e as relações matemáticas para cálculo dos ângulos de cunha e altura dos discos intervertebrais em função da antropometria vertebral fornecidas por Kunkel et al. (2011).
3.1 MODELO GEOMÉTRICO
Como ponto de partida foi utilizado um modelo geométrico da coluna vertebral disponível na plataforma livre GRABCAD (www.grabcad.com), doravante referido como Modelo de Coluna Referência (MCR). Tal modelo foi construído a partir de imagens obtidas por tomografia computadorizada.
Com o tratamento geométrico concluído para duas vértebras adjacentes, foi feito o reposicionamento destas vértebras no espaço, de tal forma a respeitar as alturas dos discos intervertebrais calculadas conforme explicado na Seção 3.1.2. Na sequencia o vazio existente entre as duas vértebras foi preenchido formando assim o disco intervertebral.
Operacionalmente, as vértebras do modelo MCR foram ajustadas em programa de modelagem sólida, utilizando ferramentas básicas como multiplicação por fator de escala, rotação e translação. Desta forma foi possível editar as medidas antropométricas vertebrais sem comprometer a morfologia, compondo assim o que chamamos de Modelo de Coluna Sintetizado (MCS), ou simplesmente Modelo Sintetizado.
Ao final do procedimento é realizado o controle das proporções anatômicas do sistema multi articulado com base em imagens de colunas vertebrais in vivo, obtidas de Gala e Aswani (2016) e Vialle et al. (2005). Visando atingir resultados finais factíveis, são realizados ajustes para manter as proporções adequadas com aquelas observadas nas imagens, porém sem extrapolar os desvios padrão observados nos textos de referências.
3.1.1 Antropometria Vertebral
A escolha dos estudos de Masharawi et al. (2004, 2005, 2008) e Masharawi e Salame (2011) se justifica pelos seguintes fatos: fornece dados antropométricos que não foram estudados por outros autores, como tamanhos e ângulos das facetas articulares, tamanho dos pedículos e distâncias entre facetas articulares; entre os autores pesquisados foi o que apresentou o maior número de amostras (240) e o único que inclui variedades de etnias e gêneros de forma balanceada, aumentando as chances de representar a antropometria de um indivíduo humano mediano.
As medidas antropométricas vertebrais avaliadas pelo grupo de Masharawi e adotadas por este estudo foram as seguintes (para facilitar o vínculo com o material fonte são mantidas as siglas em inglês):
SVBW – Superior Vertebral Body Width; IVBW – Inferior Vertebral Body Width;
SVBL - Superior Vertebral Body Length; IVBL – Inferior Vertebral Body Length;
AVBH – Anterior Vertebral Body Height; PVBH – Posterior Vertebral Body Height;
SPL – Spinous Process Length; SPH – Spinous Process Height; TPL – Transverse Process Length; VCSW – Vertebral Chanel Superior Width;
VCSL – Vertebral Chanel Superior Length;
*IL – Isthmus Length; SFFW – Superior Interfacet Width;
IFFW – Inferior Interfacet Width;
*FFH – Interfacet Height; *SFL – Superior Facet Length; *SFW – Superior Facet Width;
SFFW – Superior Interfacet Width;
*IFL – Inferior Facet Length; *IFW - Inferior Facet Width;
*STFA – Superior Transverse Facet Angle; *ITFA – Inferior Transverse Facet Angle; *SLFA – Superior Longitudinal Facet Angle; *ILFA – Inferior Longitudinal Facet Angle.
Marcas destacadas com * possuem valores diferentes para direita e esquerda, porém foram consideradas simétricas e valores médios
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foram adotados. Tais marcas antropométricas podem ser visualizadas na Figura 12.
Figura 12 - Representação gráfica das principais marcas antropométricas consideradas neste trabalho. As cotas IFW, IFL, SFW e SFL são feitas nos planos das facetas e estão representadas aqui no plano.
Os dados antropométricos medidos no Modelo de Coluna Referência (MCR) foram comparados com aqueles obtidos pelo grupo de Masharawi. O MCR então foi editado no programa de modelagem buscando uma diferença máxima de 30% do desvio padrão (0,3 dp).
Dentro da proposta de reconstrução controlada pela observação de imagens in vivo, neste caso obtido por Gala e Aswani (2016) e Vialle et al. (2005), algumas medidas antropométricas tiveram a restrição do desvio padrão relaxada para até 1,0 dp de modo a manter o alinhamento anatômico dos corpos vertebrais, canal vertebral e principalmente das facetas articulares entre vértebras adjacentes. Conforme explicado anteriormente neste capítulo, tal abordagem é necessária no sentido de manter a construção do modelo geométrico anatomicamente factível.
3.1.2 Antropometria dos DIV’S
As relações fornecidas por Kunkel et al. (2011) foram utilizadas no presente trabalho com o objetivo de construir a coluna torácica de tal forma que as alturas e ângulos de cunha dos discos mantenham uma relação com as características antropométricas vertebrais observadas pelo grupo de Masharawi.
Do trabalho de Kunkel et al. (2011) foi utilizado o sistema acoplado de equações, aqui apresentado nas Eq. (3.1) Eq. (3.2), com o objetivo de calcular as alturas anterior e posterior dos discos intervertebrais, ADH e PDH, em função das alturas anterior e posterior do corpo vertebral, VBHA e VBHP, obtidas do procedimento explicado na Seção 3.1.1. Os índices I1 e I3 são obtidos do referido texto para cada
segmento da coluna, tais índices representam respectivamente: Índice de altura relativa do disco (Relative Disc Height index), e Índice de cunha anteroposterior do disco (Disc Anteroposterior wedging index). As marcas antropométricas utilizadas neste cálculo são ilustradas na Figura 13.
Figura 13 – Marcas antropométricas utilizadas por Kunkel et al. (2011) para o cálculo das alturas do disco intervertebral. Fonte: Kunkel et al. (2011)
PDH - Posterior Disc Height; ADH - Anterior Disc Height;
48 ( ) (3.1) (3.2) A medida da altura média do disco e o índice de convexidade (I2) não foram considerados neste trabalho, uma vez que os mesmos já estão definidos pelos contornos das vértebras adjacentes.
Tal abordagem resultou em um conjunto de vertebras morfologicamente satisfatórias. A montagem destas na região torácica precisou, entretanto, de um cuidado adicional para garantir a compatibilidade geométrica nas juntas facetárias. Para compreender a origem desta incompatibilidade foram utilizadas imagens de raios-X e tomografia computadorizada, obtidas por Gala e Aswani (2016) e Vialle et al. (2005) respectivamente. Nestas imagens foi verificado que as alturas médias dos discos intervertebrais são proporcionalmente menores do que as calculadas pelas Eq. (3.1) e Eq. (3.2). Os autores interpretam que esta diferença pode ser originada no fato de que as medidas de literatura adotadas para cálculo das alturas foram tomadas a partir de colunas aliviadas de peso corporal, cargas musculares e pré-tensionamentos dos ligamentos, não representando, portanto, uma situação in vivo. Com base nesta compreensão, alturas médias de discos intervertebrais e distâncias entre facetas foram adaptadas de maneira a conseguir a compatibilidade desejada do modelo sem sair, entretanto, do desvio padrão antropométrico observado para situação com peso corporal, cargas musculares e pré-tensionamento de ligamentos.
3.1.3 Antropometria das Juntas Facetárias
As juntas articulares foram modeladas geometricamente de tal forma a manter o paralelismo e ter um espaçamento de 2 a 4 mm entre juntas adjacentes, deduzido da observação de imagens apresentadas por Giles (1992). Este tratamento geométrico também encontra a restrição das medidas antropométricas explicadas na Seção 3.1.1, desta forma foi adotada uma solução de compromisso para satisfazer as duas condições.
Giles (1992) apresentou estudo acerca de facetas da região lombar, entretanto não foi encontrado na literatura trabalhos abordando região torácica. A estimativa desta distância fica comprometida devido a
este motivo, também não foi possível avaliar um tratamento estatístico de diversas amostras. Outra dificuldade encontrada é que o trabalho de Giles (1992) não foi elaborado para o fim que está sendo utilizado. Portanto a leitura deste resultado ficou comprometida, pois foi feita numa proporção da escala das imagens, sendo interpretada a espessura da cartilagem pela diferença de contraste apresentado na imagem.
Dada a importância do conhecimento destes dados para a elaboração de modelos mais precisos da coluna vertebral, a execução de testes in vitro e in vivo através de técnicas de diagnóstico por imagens representa uma demanda para trabalhos futuros.
Na Figura 14 são exibidas as imagens em corte de juntas facetárias da região lombar conforme explicado anteriormente, retiradas de Giles (1992), onde se observa pela escala das imagens as espessuras de aproximadamente 1 a 2 mm de cartilagem de hialina (região H) envolvendo o osso cortical nas facetas. Observa-se também o espaçamento entre as cartilagens das vértebras adjacentes.
50
3.1.4 Validação da geometria
Buscou-se na literatura critérios para validar a geometria construída. O principal critério encontrado foi o ângulo de cifose T4-T12, conforme Vialle (2005) este ângulo é em torno de 40°. Na Figura 14.a é exibido o ângulo de cifose T4-T12 da geometria resultante MCA.
Dado que as alturas do corpo vertebral foram construídas conforme valores médios dos estudos do grupo de Masharawi et al. (2004, 2005, 2008, 20011), é possível estimar que o conjunto também represente características médias. Na Figura 15 são exibidas imagens da geometria torácica resultante (MCA).
a.
b.
c.
Figura 15 - Coluna Torácica MCA (T1 – T12). a.) ângulo de cifose resultante do procedimento adotado; b. e c.) Imagens em perspectiva da geometria de coluna torácica.
T01 T02 T03 T04 T05 T06 T07 T08 T09 T10 T11 T12
3.2 DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS
A malha de elementos finitos utilizada nas vertebras empregou elementos sólidos tetraédricos com o objetivo de obter maior fidelidade à geometria. Na região de transição com os discos intervertebrais foram utilizados elementos pentagonais.
Na região de contato das facetas articulares foram utilizados elementos menores (malha refinada) para garantir a fidelidade com a geometria. Nesta região o osso foi recoberto por elementos de casca, que foram utilizados para facilitar o procedimento de configuração do contato. Tais elementos foram configurados com espessura de 1mm, sendo tal espessura configurada nula no código de identificação do contato entre as superfícies das facetas adjacentes.
Na Figura 16 é ilustrada a malha de elementos finitos de uma vértebra do modelo.
Figura 16 - Malha vertebral, composta por elementos sólidos,
majoritariamente tetragonais, com alguns casos pentagonais na região de transição com os discos intervertebrais.
A malha dos discos intervertebrais foi dividida em duas regiões com características distintas: Núcleo Pulposo e Anel fibroso (Figura 17). A malha do anel fibroso foi dividida em 10 sub-regiões simétricas, conforme ilustrado na Figura 20. Tal subdivisão permite a calibração de parâmetros de rigidez da matriz e dos ângulos e rigidezes das fibras nas regiões distintas. O anel fibroso foi discretizado em elementos hexaédricos e foi utilizado o modelo anisotrópico Holzapfel, Gasser e Ogden (2000) para simular as propriedades biomecânicas.
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Figura 17– Malha de um disco intervertebral. Destaca-se a distinção entre as malhas de Núcleo e Anel Fibroso.
Por fim, os ligamentos foram discretizados como elementos uniaxiais. O posicionamento geométrico destes elementos foi feito visualmente com base em figuras encontradas na literatura, como por exemplo a Figura 8 e Figura 9. Utilizou-se como critério a ocupação proporcional do espaço abrangido por respectivos ligamentos, então para cada ligamento foi usada a seguinte quantidade de elementos:
ALL: 3 elementos;
CL: 8 elementos (4 de cada lado); FVL: 6 elementos;
ISL: 3 elementos;
ITL: 2 elementos (1 de cada lado); PLL: 3 elementos;
SSL: 1 elemento.
Na Figura 18 é apresentada a malha de um segmento funcional, onde pode ser observada a composição das estruturas descritas.
Figura 18 - Malha de um segmento funcional, incluindo os ligamentos representados por elementos uniaxiais.
SSL ISL CL ITL FVL ALL PLL
54
3.2.1 Modelo EF da Coluna
Na Figura 19 é apresentada a geometria do modelo em EF da coluna torácica resultante do trabalho. Com este se almeja realizar testes para auxiliar o entendimento do comportamento mecânico do sistema da coluna e de sua modificação por intervenções cirúrgicas. Para efeitos de verificação foram realizados alguns testes, que serão explicados no decorrer desta seção.
O modelo de EF da coluna torácica foi montado no Abaqus, através da codificação do arquivo “inp”. Foi feita uma estruturação modulada da codificação, de forma a permitir rápida alteração dos parâmetros de materiais, condições de contorno e dos parâmetros de configuração do código utilizado para solução numérica.
Figura 19 – Representação geométrica do modelo de EF da coluna torácica T01-T12. Vistas frontal, lateral e superior.
T01 T02 T03 T04 T05 T06 T07 T08 T09 T10 T11 T12
O arquivo do código foi subdividido em códigos menores, onde no arquivo principal são definidas as condições de contorno e informações para a solução do problema matemático. A malha, as propriedades dos ligamentos e as propriedades dos discos são definidas em arquivos de texto individuais. Esta abordagem facilita também o trabalho de encontrar as linhas referentes a cada função no código, uma vez que se trata de um código com em torno de 10^6 linhas. Os comentários feitos no código também ajudam o trabalho operacional, permitindo a imediata identificação das estruturas anatômicas tratadas.
Problemas de convergência na resolução numérica são observados em diversos casos de estudo, sendo necessária para cada caso uma busca de parâmetros diferentes de configuração do código de solução numérica viável para a resolução matemática do problema.
4 MODELOS DOS MATERIAIS E CALIBRAÇÃO
Neste capítulo serão apresentados os tipos de modelos constitutivos das estruturas da coluna vertebral abordados neste trabalho. Em resumo são ossos, discos intervertebrais e ligamentos, os dois últimos são referidos neste trabalho como tecidos moles. Também é apresentado o modelo de contato utilizado nas juntas facetárias.
Também serão apresentadas as curvas experimentais de Momento vs. Rotação obtidas de testes in vitro realizados no IAM e apresentadas por Nicolini (2018), que serviram de base para o processo iterativo de calibração dos parâmetros materiais. Posteriormente são apresentados os procedimentos de calibração realizados com o modelo computacional em EF. Por fim são exibidos os parâmetros resultantes dos modelos constitutivos e as curvas experimentais de Momento vs. Rotação apresentadas em Nicolini (2018) são comparadas com as curvas resultantes do modelo de EF do presente trabalho.
4.1 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS 4.1.1 Vértebras
Para simular o tecido ósseo da vértebra foi utilizado o modelo isotrópico, linear elástico, com módulo de elasticidade E=3500MPa e coeficiente de Poisson ν=0,45, conforme Shirazi-Adl et al. (1986, apud Sharma, Langrana e Rodriguez 1995). Outros trabalhos utilizaram modelo ortotrópico para o corpo vertebral e isotrópico para o arco vertebral, entretanto no presente trabalho foi optado pelo modelo isotrópico também na parte do corpo vertebral como hipótese simplificativa, pois o objetivo é a análise dos movimentos e cargas macroscópicas sobre a coluna torácica. Para tal meta a rigidez dos tecidos moles é que determina a rigidez global do sistema. Outro ponto importante a ressaltar é que tal decisão não limita o modelo no futuro, pois é facilmente reversível no momento em que se intente focar a pesquisa em resultados internos do osso vertebral, basta alterar a descrição do modelo constitutivo no arquivo “inp” do abaqus. Sendo assim optou-se por um modelo mais simples para poupar custo computacional nesta etapa da pesquisa onde se intenta focar no estudo e calibração de tecido mole.
58
4.1.2 Discos Intervertebrais
Para o núcleo pulposo foi utilizado o modelo constitutivo Mooney-Rivlin, apresentado inicialmente por Mooney (1940) e Rivlin; Trans; Lond (1948), com os seguintes parâmetros: C10= 0,006; C01 = 0 e
D=0. Na Eq. (4.1) é exibida a formulação do modelo Mooney-Rivlin adaptado por Simulia Abaqus®.
( ̅ ) ( ̅ ) ( )
(4.1) Para o anel fibroso foi usado o modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico, Holzapfel, Gasser e Ogden, (2000), a formulação deste modelo adaptada por Simulia Abaqus® é exibida na Eq. (4.2). Trata-se de um modelo anisotrópico composto por uma matriz isotrópica reforçada por fibras. Os dois primeiros termos da formulação correspondem à matriz isotrópica, neste caso equivalente ao modelo Neo-Hookeano, o terceiro termo é a parte do reforço por fibras direcionais, onde as direções são definidas pelos vetores ̅ .
( ̅ ) ( ) ∑( ( ̅ ) ) (4.2) O anel fibroso foi discretizado com dez sub-regiões distintas, cinco sub-regiões perimetrais (A, B, C, D e E), e duas sub-regiões radiais (Externo e Interno), ilustradas na Figura 20. Para cada sub-região foram calibrados os parâmetros de rigidez da matriz isotópica, bem como os vetores direcionais e parâmetros de rigidez das fibras de reforço.
Figura 20 - Divisão do anel fibroso para discretização e calibração das propriedades mecânicas.
Os valores de tentativa inicial para calibração dos parâmetros do modelo de anel fibroso foram ajustados de modo a reproduzir computacionalmente os resultados do experimento para anel fibroso apresentado em Holzapfel et al. (2005). Os valores para parte isotrópica são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1: Valores iniciais dos parâmetros da parte isotrópica do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico utilizados para calibração do anel fibroso.
Posição C10 D
A, B, C,
D e E. 0,0375 0
Os parâmetros utilizados como tentativa inicial para a parte anisotrópica do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico são apresentados na Tabela 2. Tais parâmetros definem a direção e a curva de rigidez das fibras de reforço (ângulo, k1 e k2) e o nível de dispersão
na direção das fibras (κ). O parâmetro κ introduz aleatoriedade nas direções dos vetores ̅ , onde κ = 0 caracteriza dispersão nula, e κ = 1/3 caracteriza dispersão total, correspondendo então a um material com reforço de fibras distribuído igualmente em todas as direções. O parâmetro N define a quantidade de orientações disitintas, neste caso N=2 para todos os casos, com ângulos contrapostos (±φ).
A Ext. B Ext. C Ext. D Ext. E Ext. A Int. B Int. C Int. D Int. E Int.
60
O cálculo dos ângulos das fibras para estimativa inicial foi feito através de expressão fornecida por Holzapfel et al. (2005), onde os ângulos são calculados em função da posição circunferencial. Neste trabalho os ângulos das fibras foram calculados para a posição média de cada sub-região perimetral da Figura 20. Tais ângulos são definidos no vetor ̅ com relação ao sistema de coordenadas local elementar, onde os eixos locais são alinhados tangencialmente ao perímetro do anel fibroso. Na Figura 21 é ilustrada respectivamente a referência sobre a qual é definido o ângulo φ, uma amostra de anel fibroso ensaiado por Holzapfel et al. (2005), e os ângulos (contrapostos entre si) de orientações das fibras de reforços resultantes no modelo de elementos finitos.
a. b.
c. d.
Figura 21 – Fibras do anel fibroso. a. esquemático do experimento realizado por Holzapfel et al. (2005) para medir a rigidez das fibras; b. uma amostra utilizada por Holzapfel; c. e d. imagem dos resultados das direções das fibras no modelo do presente trabalho.
Fonte a. e b.: Holzapfel et al. (2005)
Ângulo das fibras Carga Axial ϕ Anel Fibroso Osso Vertebral
Tabela 2: Tentativa inicial dos parâmetros da parte anisotrópica do modelo constitutivo Holzapfel Anisotrópico, utilizado para anel fibroso.
Posição Ângulo κ (dispersão) k1 k2 A – Ext. +25,5°/-25,5° 0 0,7 300 A – Int. 0,3 120 B – Ext. +30,2°/-30,2° 0 0,7 300 B - Int. 0,3 120 C - Ext. +34,8°/-34,8° 0 0,7 300 C - Int. 0,3 120 D - Ext. +39,5°/-39,5° 0 0,7 300 D - Int. 0,3 120 E - Ext. +44,2°/-44,2° 0 0,7 300 E – Int. 0,3 120 4.1.3 Juntas Facetárias
O comportamento biomecânico das juntas facetárias foi definido utilizando os dados fornecidos por Sharma, Langrana e Rodriguez (1995). Este estudo define uma curva que relaciona tensão com deformação compressiva da cartilagem expressa em termos do movimento relativo das facetas ósseas a partir da distância destas na posição neutra.
Tal curva é incorporada no modelo de EF através de um dos modelos de contato presentes no código Abaqus, o qual considera contato entre superfícies na direção normal e sem atrito na direção tangencial. A curva de Sharma, Langrana e Rodrigue (1995) é reposicionada no eixo das abscissas de forma a apresentar tensão nula para a distância entre facetas na posição neutra (3 mm em média) e tensão compressiva máxima para um deslocamento relativo negativo de 1mm a partir da posição neutra. Na Figura 22 tal curva é ilustrada.
62
Figura 22 - Curva de interação Tensão x Deslocamento Relativo para facetas proposta por Sharma, Langrana e Rodriguez (1995) e adaptada para a geometria do presente trabalho.
4.1.4 Ligamentos
O comportamento dos ligamentos foi quantificado por meio de uma curva exponencial de Força x Deslocamento, regida pela relação apresentada por Nolte et. al (1990), exibida na Eq. (4.3).
( ( ) )
(4.3) Os parâmetros „a‟, „b‟ e d foram calibrados conforme procedimento explicado na Seção 4.3.1 e 4.3.2. Onde „a‟ representa um parâmetro de ganho linear, „b‟ representa um parâmetro de ganho exponencial, e „d‟ representa uma folga na ativação do ligamento.
Nos testes in vitro os ligamentos longitudinais anteriores e flavos apresentaram sensibilidade nos testes de flexão-extensão em ambos os sentidos. Para abordar este efeito no modelo de elementos finitos foi considerada uma rigidez à compressão destes ligamentos, de tal forma que ambos sejam sensíveis aos dois sentidos de carga tal qual observado nos testes in vitro.
Outro efeito particular apresentado pelo ligamento flavo foi o ganho de rigidez mais acentuado nas etapas iniciais do movimento de
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tensão ( M Pa)
mobilidade, com progressiva diminuição deste ganho. Para tal efeito a curva de rigidez à tração deste ligamento foi dividida em duas etapas, explicadas na Seção 4.3.1 e 4.3.2.
4.2 TESTES IN VITRO
Os testes in vitro utilizados neste trabalho foram realizados por Luís Fernando Nicolini junto à equipe do RWTH-IAM da Universidade de Aahen como parte de seu trabalho de doutorado, apresentados por hora através de relatórios internos em Nicolini (2018). Trata-se de ensaios de redução anatômica gradual (remoção das estruturas da coluna vertebral), com amostras multi segmentais, em três direções de carga: flexão/extensão, flexão lateral e rotação axial. Em todos os testes as cargas aplicadas (momento fletor e momento torsor) foram puras nos respectivos eixos. O aparato mecânico utilizado é apresentado em Beckmann et al. (2019) e aqui ilustrado na Figura 23.
Figura 23 - Equipamento utilizado para os ensaios de flexão. Fonte: BECKMANN et al. (2019).
Na Figura 24.a é mostrada uma amostra de coluna de carneiro utilizada para calibração do equipamento, ajuste das configurações das células de carga, e verificação dos procedimentos. Na Figura 24.b é
64
exibido o ambiente onde a amostra é testada: a serpentina é responsável por manter a amostra na temperatura de 37°C. O ambiente é fechado por uma manta plástica e a umidade controlada visando manter um ambiente fisiológico.
a. b.
Figura 24 - Preparação dos ensaios com amostra de coluna de ovelha. a. alinhamento da coluna no cabeçote de ensaio; b. câmara de ensaio com controle de temperatura e umidade.
Para um mesmo conjunto de segmentos foi realizada uma bateria de ensaios sucessivos para as três direções de carga supracitadas, com a redução gradual dos componentes anatômicos (elementos estabilizadores) a cada bateria de testes. Este procedimento permite entender a contribuição de cada componente na estabilização dos movimentos da coluna vertebral.
Tais testes foram realizados sobre uma coluna (C6-L5), que foi cortada em quatro partes devido à limitação de altura do equipamento utilizado nos ensaios: C6-T3, T4-T8, T9-L1 e L2-L5. Sendo que para este trabalho apenas os resultados referentes à região torácica foram avaliados. Na preparação das amostras foram dissecados previamente a musculatura, tecido gorduroso, costelas e seus respectivos ligamentos.
A curva intacta é a resposta do segmento funcional provido dos ligamentos típicos (ilustrados na Figura 9). Nesta etapa foram mantidos intactos também os contatos entre faceta articulares e a integridade do disco intervertebral.
Para a nomenclatura das curvas resultantes dos ensaios posteriores ao segmento intacto, foi adotado do inglês o prefixo w/o =
without, evidenciando o ligamento que foi cortado imediatamente antes
de cada etapa. As remoções são cumulativas, uma vez que foram feitas sobre a mesma amostra, e foram realizadas na seguinte sequência:
w/o ITL: Remoção do ligamento intertransverso; w/o SSL: Remoção do ligamento supra espinhoso; w/o ISL: Remoção do ligamento inter espinhoso; w/o FVL: Remoção do ligamento flavo;
w/o CLL: Remoção do ligamento capsular;
w/o Arch: Remoção do arco vertebral (toda a parte posterior); w/o PLL: Remoção do ligamento posterior longitudinal;
w/o ALL: Remoção do ligamento anterior longitudinal. (Vértebras conectadas somente pelos discos).
Foram escolhidas para análise e calibração dos ligamentos e do disco intervertebral as curvas obtidas para o segmento T09-T10 (ver posições na Figura 15 ou na Figura 19), apresentadas em Figura 25, Figura 26 e Figura 27. Uma análise qualitativa destes resultados fornece algumas interpretações das características destes ligamentos.
Figura 25 - Curvas de Flexão/Extensão resultantes para as etapas de dissecação do segmento T09-T10. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 Mo m en to (N. m ) ROM (°)
