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NÚMERO RACIONAL NA REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA:
ENTENDIMENTOS PRODUZIDOS POR ESTUDANTES DE UMA
TURMA DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
1Andréia de Fátima Rodrigues2
Resumo: O presente artigo constitui-se a partir de uma pesquisa qualitativa e tem como
objetivo apresentar entendimentos produzidos por estudantes de uma turma de 9º ano do ensino fundamental sobre os significados do número racional na representação fracionária: número, parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e razão. Os dados foram produzidos a partir de 12 questões, as quais relacionadas aos seis significados do número racional na representação fracionária foram aplicadas em uma turma de 18 alunos, do 9º ano do Ensino Fundamental. Para as análises foram consideradas, em especial, as proposições apresentadas por Nunes et al (2003), Brasil (1998), Referencial Curricular (2009), Vaz (2016), Nunes e Bryant (1997) e Merlini (2005). O artigo se estrutura nas seguintes unidades de análise: I) Entendimentos produzidos pelos alunos do 9º ano sobre o número racional na representação fracionária a partir de seus diferentes significados; II) Significado Número; III) Significado Parte-todo; IV) Significado Razão; V) Significado Medida; VI) Significado Quociente; VII) Significado Operador Multiplicativo. De acordo com a pesquisa pode ser observado que existe uma grande fragilidade no entendimento dos estudantes com relação ao número fracionário e bem marcado o frequente uso do significado Parte-todo.
Palavras chave: Número Fracionário. Significados. Ensino Fundamental.
1.Introdução
O ensino da Matemática na Educação Básica visa à formação integral dos estudantes, colaborando para a construção da sua cidadania. Para tanto, o professor precisa estar atento às mudanças, à evolução, à aprendizagem dos alunos, perceber se está ocorrendo e, desta forma, reformular sua forma de intervenção junto aos estudantes, se necessário. Pois, os professores
[...] do século XXI ainda trazem consigo concepções antigas, transmitidas através das gerações. “Ensinar como aprendi” é uma prática pedagógica comum. Para tornar a situação mais complexa, os alunos de hoje em dia possuem muitos motivos para estarem desatentos ou desinteressados; afinal, os smartphones, a internet e as redes sociais são muito mais atraentes que as aulas que ainda são ministradas neste século XIX. (VAZ, 2016, p. 59).
No tempo em que vivemos está cada vez mais difícil a concentração, o interesse e para que os estudantes apresentem um bom desempenho deve haver uma efetiva troca entre professor e aluno. Porém, na maioria das escolas grande parte do ensino de
1 Artigo científico elaborado no componente Trabalho de Conclusão de Curso (Matemática) do curso Matemática – Licenciatura, sob orientação da professora Doutora Isabel Koltermann Battisti. 2
Acadêmica do Curso de Matemática – da UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – 2018
2 Matemática se faz a partir de uma estrutura padronizada. E, mesmo com tanto avanço, ainda há professores que consideram que a aprendizagem está, exclusivamente, relacionada à quantidade de exercícios que o aluno resolve, considerando a ideia de que quanto mais vai resolver, mais vai aprender. De acordo com esse entendimento, acredita-se que os procedimentos operatórios e a memorização de regras são essenciais, mas o que ocorre algumas vezes é a mecanização ou digamos a “decoreba” de regras, não havendo um estabelecimento de processos de compreensão pelos educandos. Entende-se, então, que essa é uma das causas pelos quais os alunos não compreendem alguns conceitos, como é o caso do conceito número racional na representação fracionária.
Esse conceito é complexo e faz com que os alunos tenham que se dedicar para compreender, mas também depende muito de como o professor propõe o estudo desse conceito, da metodologia considerada. Para Vaz,
O ensino de fração precisa ser repensado e reformulado, porque ele ainda está embasado em concepções ultrapassadas, como aquela na qual a aprendizagem matemática está relacionada, quase exclusivamente, à repetições e à memorização. (2016, p. 65)
O conceito número racional representação fracionária, com certeza um importante saber matemático, tem seu ensino iniciado, de acordo com Brasil (1997) a partir do segundo ciclo do Ensino Fundamental, estendendo-se pelo menos até o final do terceiro ciclo. Essa abordagem dos números racionais se faz necessária e tem como objetivo principal estimular os alunos a perceber que os números naturais, já conhecidos por eles, se tornam insuficientes para resolver determinados problemas.
Para o Referencial Curricular do Rio Grande do Sul,
[...] nesta etapa, há uma preocupação com a abordagem dos números racionais e dos números irracionais de forma significativa, favorecendo a diferenciação entre eles e, como consequência, a compreensão dos números reais. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p.131)
De acordo com Iezzi (2004), os Números Racionais constituem o conjunto (Q) formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, onde o numerador será um inteiro e o denominador um inteiro diferente de zero. Todo número que pode ser escrito na forma com a Z e b Z* é um número racional, na fração , a é o numerador e b o denominador.
De acordo com o PCN,
A construção da ideia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde
3 que um número represente o quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional. (BRASIL, 1997, p.67)
Nesse sentido,
O estudo dos números racionais, nas suas representações fracionária e decimal, merecem especial atenção no terceiro ciclo, partindo da exploração de seus significados, tais como: a relação parte/todo, quociente, razão e operador. (BRASIL, 1998, p. 66)
É nos ciclos iniciais que o estudo dos números racionais é iniciado, mas constata-se que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número e tampouco os procedimentos de cálculo. Como indicam os PCN,
No terceiro e no quarto ciclos a abordagem dos racionais, em continuidade ao que foi proposto para os ciclos anteriores, tem como objetivo levar os alunos a perceber que os números naturais são insuficientes para resolver determinadas situações-problema como as que envolvem a medida de uma grandeza e o resultado de uma divisão. (BRASIL, 1998, p. 101)
De acordo com o Referencial Curricular do Rio Grande do Sul,
Na 6ª série, a ideia de fração precisa ser ampliada para algo que represente um número que pode ser escrito de diferentes formas, como por exemplo: passa a ser entendido como resultado da divisão de 1 por 4, como 0,25 ou como 25% de algo. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 58)
Nos números racionais na representação fracionária destacam-se cinco significados sugeridos por Nunes et al (2003): número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e o significado razão apresentado em Brasil (1998). Como mostra a seguir:
1) Número: Uma fração , com b ≠ 0 , pode assumir o significado de número e ser posicionada na reta numérica. Esta abordagem quase não é utilizada pelos livros didáticos, o que prejudica a organização do conceito, pois o aluno tende a não identificar a fração como um número. É importante que ele reconheça este significado, visualize seu posicionamento na reta numérica tanto na forma fracionária, quanto decimal.
Na Base Nacional Comum Curricular, destacasse que existe uma unidade temática Números que,
(...) tem como finalidade desenvolver o pensamento numérico, que implica o conhecimento de maneiras de quantificar atributos de objetos e de julgar e interpretar argumentos baseados em quantidades. No processo da construção da noção de número, os alunos precisam desenvolver, entre outras, as ideias de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem, noções fundamentais da Matemática. Para essa construção, é importante propor, por meio de situações significativas, sucessivas ampliações dos campos
4 numéricos. No estudo desses campos numéricos, devem ser enfatizados registros, usos, significados e operações. (BRASIL, 2017, p.224)
Dessa forma, entende-se que o significado número é uma representação fracionária, que não pode simplesmente decorar ou saber só o nome da fração, por exemplo, na fração , dizer apenas que o nome dessa fração é “um meio”, e não ter um entendimento do seu real valor com relação ao número representado. O aluno deve compreender que não é somente „um número sobre o outro‟.
2) Relação Parte-Todo: Esta ideia representa um todo (contínuo3 ou discreto4) dividido em n partes iguais, onde cada uma dessas partes é representada como . A relação parte-todo implica em um procedimento de dupla contagem, onde o denominador representa o número de partes que este todo foi dividido e o numerador quantas partes foram consideradas. Esta ideia é muito abordada pelos livros didáticos, sendo muitas vezes utilizada como uma estratégia para a introdução do conteúdo de frações.
O Referencial Curricular destaca que, “A abordagem de frações na 5ª série se detém mais na relação “parte” e “todo”, ao mesmo tempo que o professor explora a ideia de divisão, sendo o uso do material concreto muito importante nessa etapa”. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p.57)
E o PCN (BRASIL, 1998) também mostra o que é explorado no significado da Relação Parte-todo. Afirma que:
A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em partes equivalentes. A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes, é o caso das tradicionais divisões de uma figura geométrica em partes iguais.
A interpretação da fração como relação parte/todo supõe que o aluno seja capaz de identificar a unidade que representa o todo (grandeza contínua ou discreta), compreenda a inclusão de classes, saiba realizar divisões operando com grandezas discretas ou contínuas. (BRASIL, 1998, p. 102)
3) Medida: Neste caso, a ideia é de comparação entre duas grandezas, podendo estas ser intensivas ou extensivas. Como exemplo verifica-se o cálculo da probabilidade de um evento, que é obtido através da razão entre o número de casos prováveis e o número de casos possíveis desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos casos, uma fração. Da mesma forma que o estudo de probabilidades, podemos relacionar a este significado a porcentagem.
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Contínuo: refere-se àquelas quantidades passíveis de serem divididas exaustivamente, sem que percam suas características, por exemplo, um chocolate.
4 Discreto: refere-se àquelas quantidades enumeráveis, contáveis, que dizem respeito a um conjunto de objetos.
5 Esse significado acredita-se ser o mais antigo, o primeiro a ser desenvolvido, como mostra o PCN (BRASIL, 1998),
Para abordar o estudo dos racionais, sob essa perspectiva, os problemas históricos envolvendo medidas, que deram origem a esses números, oferecem bons contextos para seu ensino.
Pode-se discutir com os alunos, por exemplo, que os egípcios já usavam a fração por volta de 2000 a.C. para operar com seus sistemas de pesos e medidas e para exprimir resultados. (BRASIL, 1998, p. 101)
4) Quociente: O significado quociente é empregado quando, em uma determinada situação, a divisão é o recurso empregado para a solução do problema, ou seja, quando a situação , com b ≠ 0, é utilizado para escrever a ÷ b . Este aspecto do conceito de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.
5) Operador Multiplicativo: A fração , com b ≠ 0 , observada pela ótica do operador multiplicativo, atua como fator transformador de um número ao ser multiplicando por „
a ‟ e, logo em seguida, dividindo por „b ‟. O número resultante deste processo pode ser
maior ou menor que o número em seu estado inicial, dependendo do quociente . Este momento pode ser aproveitado para abordar as ideias de número inverso e identidade. 6) Razão: Uma interpretação em que o número racional é usado como um índice comparativo entre duas quantidades. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com situações do tipo: 2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes e se conclui que da população da cidade é de imigrantes. Outras situações que envolvem probabilidades, ou situações que ocorrem à abordagem de escalas em plantas e mapas, e ainda tem a exploração da porcentagem.
Diante do exposto a presente escrita se configura a partir de uma pesquisa que tem como objetivo ampliar o entendimento sobre o número racional representação fracionaria e identificar os entendimentos apresentados por estudantes de uma turma de 9° ano do Ensino Fundamental. Este objetivo é delimitado pela questão norteadora da investigação: “Quais entendimentos estudantes de uma turma do 9º ano do ensino fundamental apresentam sobre os diferentes significados do número racional na representação fracionária: número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e razão?”.
2.Procedimentos metodológicos
O desenvolvimento desta pesquisa apoia-se numa abordagem qualitativa, pois ela tem como foco entender e interpretar resultados. A pesquisa qualitativa exige um
6 contato direto com o ambiente a ser pesquisado fazendo com que ocorra uma aproximação ao máximo da realidade a ser estudada e tendo seus dados mais precisos.
A pesquisa qualitativa não se preocupa com representatividade numérica, mas muito com o aprofundamento da compreensão de um grupo social, de uma organização, tentando obter assim uma boa qualidade.
Para a realização da pesquisa primeiramente foi realizado o estudo dos significados do número racional na representação fracionária: número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e razão. Depois da apropriação dos conteúdos considerou-se também a elaboração de questões relacionadas com cada um dos significados para serem aplicadas junto a uma turma de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Para tanto, foi contatado com a Diretora de uma escola localizada no município no qual a pesquisadora reside. Esta é a única escola da rede estadual localizada na zona urbana no município. Autorizada a desenvolver a pesquisa foi contatado com a professora de matemática do 9º ano. Optou-se em desenvolver a pesquisa neste ano do ensino fundamental por entender-se, de acordo com documentos oficias que orientam o currículo escolar, que ao finalizar esta etapa da Educação Básica o estudante deve ter elaborado entendimentos acerca do referido conceito considerando os diferentes significados.
Para a produção de dados optou-se, então, em elaborar e desenvolver questões junto a uma turma do 9º ano de uma escola da rede pública estadual localizada na zona urbana de um município do noroeste do estado do Rio Grande do Sul. Esta turma é composta por 20 (vinte) alunos sendo que no dia em que foram aplicadas as questões estavam presentes 18(dezoito) alunos. No decorrer do texto estes são identificados como A1, A2, A3, ... e assim sucessivamente. As questões foram aplicadas pela própria pesquisadora o que possibilitou algumas percepções. Estas percepções, juntamente com os dados produzidos a partir do registro dos alunos, também serão considerados nas análises.
As questões foram elaboradas considerando cinco significados sugeridos por Nunes et al (2003): número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo e quociente, e o significado razão apresentado em Brasil (1998), como mostra o Quadro 1.
Quadro 1: Significado evidenciado em cada questão Significado que se evidencia em cada Questões
7 questão
Fração com significado número
1) Localize na reta numérica os seguintes numerais: , , e .
2) Escreva e na forma decimal.
Fração com significado parte-todo
3) Uma barra de chocolate foi dividida em quatro partes iguais. João comeu três dessas partes. Qual a fração que representa o que João comeu?
4) Que fração representa as partes pintadas de cada figura? a) b) c)
d) e)
Fração como razão
5) Responda as seguintes questões:
a) Qual a chance de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores?
b) A maquete do prédio de uma escola foi construída considerando que cada 1cm representa 1m. Qual a escala considerada na construção desta maquete?
c)22 do total de 38 alunos de uma turma do nono ano gostam de futebol. Qual a razão entre o total de alunos desta turma e o número de alunos que gostam de futebol?
Fração como medida
6)Um tambor pode conter onze litros de leite. Quantas canecas de dois litros serão necessárias para encher esse tambor? Represente essa quantidade na forma de fração. 7) Quantas vezes o segmento ̅̅̅̅ cabe no segmento ̅̅̅̅?
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Fração com significado de quociente
8) Dividir duas pizzas igualmente para três pessoas. Que fração representa o que cada um irá receber?
9) Temos três chocolates para distribuir igualmente entre quatro garotos.
a) Que parte do chocolate os garotos vão receber? Mostre a distribuição no desenho.
b) Escreva em frações quanto cada um vai ganhar
10) Na festa da escola os alunos da 3ª série (4º ano) receberam 4 pizzas para dividirem entre si. São 16 alunos.
a) Quanto cada aluno vai receber?
b) Não havia na sala uma mesa ao redor da qual todos pudessem se assentar. Se os alunos se separarem em duas mesas, quantos alunos e quantas pizzas serão por mesa?
Fração com significado de operador multiplicativo
11)Pedro tinha trinta soldadinhos de chumbo em sua coleção, e deu
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para o seu colega. Com quantos soldadinhos de chumbo Pedro ficou?
12) João e Luís estavam jogando com suas bolinhas de gude e quiseram contar quantas bolinhas de gude cada um tinha ao final de uma partida.
9 a) João ganhou 1/3 das bolinhas de gude.
b) Luís ganhou 2/3 das bolinhas de gude.
Fonte: dados produzidos pelo autor.
As respostas das questões foram organizadas em quadros e analisadas a partir dos seguintes referenciais: pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998), pelo Referencial Curricular (RIO GRANDE DO SUL, 2009), Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017), Rafael Filipe Novoa Vaz (2016), Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997) e Merlini (2005).
Como unidade de análise define-se os diferentes significados para o número racional na representação fracionária apresentados por Nunes et al (2003) e Brasil (1998), quais sejam: número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e razão.
3. Entendimentos produzidos pelos alunos do 9º ano sobre o número racional na representação fracionária a partir de seus diferentes significados
O número racional na representação fracionária faz parte do cotidiano das pessoas há muito tempo, mas na questão da aprendizagem, muitas vezes os alunos podem até apresentar habilidades na manipulação dos números racionais, mas sem necessariamente ter uma compreensão clara do seu conceito, dos seus vários significados. Nunes e Bryant (1997, p.191) afirmam que:
Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e, ainda assim, não o têm. Elas usam os termos fracionais certos; elas falam sobre frações coerentemente; elas resolvem alguns problemas fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba.
Quando foram desenvolvidas as questões com os alunos percebeu-se que não gostam muito das frações, ou melhor, não lembravam muita coisa sobre o conteúdo.
10 Geralmente a fração é conhecida como o “bicho papão” da matemática entre os alunos. Os educadores nas escolas muitas vezes não tem uma boa compreensão de todos os significados do número racional na representação fracionária, e acabam não apresentando todos as significados para os alunos, mas para o aluno é muito importante ter nem que seja um breve estudo sobre, pois pode com isso facilitar na resolução de certas questões.
Todos os significados devem ser estudados, não separadamente, mas deve haver alguns entendimentos de todos, como mostra nos PCN,
Na perspectiva do ensino não é desejável tratar isoladamente cada uma dessas interpretações. A consolidação desses significados pelos alunos pressupõe um trabalho sistemático, ao longo do terceiro e quarto ciclos, que possibilite análise e comparação de variadas situações-problema. (BRASIL, 1998, p. 103)
É muito importante para os alunos ter esses conhecimentos sobre o número racional na representação fracionária, porque está presente em muitas situações do cotidiano, o qual foi construído no decorrer do desenvolvimento da sociedade e configura-se como uma importante ferramenta Matemática na construção e na compreensão de diferentes conceitos.
Nesse sentido, a seguir são apresentadas as análises considerando os diferentes significados do número racional na representação fracionária.
3.1 Significado Número
Quando foi realizado o questionário com uma turma de alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, as Questões 1 e 2 consideram o significado número para o número racional na representação fracionária, logo quando receberam as questões olharam a primeira e logo falaram que não sabiam fazer. Nesta questão os alunos deveriam localizar na reta numérica os numerais indicados na forma fracionária. A maioria dos alunos foi logo ler a Questão 2, que indicava a transformação do número fracionário na forma decimal, também logo responderam que não sabiam resolver. Mas, um aluno se pronunciou em voz alta dizendo um que deveria ser dividido o numerador pelo denominador, obtendo, assim, como resposta um número com vírgula, no caso um número racional na representação decimal.
Diante deste fato entende-se que o aluno compreendeu o número racional, considerando a ideia de quociente para a realização da questão, este entendimento na
11 medida que foi socializado com os demais colegas, viabilizou a realização, por vários alunos, da Questão 2 e posteriormente a Questão 1. No decorrer do desenvolvimento dos cálculos de divisão realizados sentiram dificuldade em realizar o algoritmo, quando o numerador era menor que o denominador.
A5 transformou todos os números racionais na forma fracionária em números decimais, utilizando cálculos de divisão, para a Questão1 e 2 como mostra a Figura 1.
Figura 1: Resolução com o uso de cálculos de divisão pelo A5
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Observando os cálculos e a localização dos números na reta numérica da Questão 1 realizado por A5, pode ser entendido que o aluno tem uma noção referente ao significado número, mas pela presente análise da indicativos de que sem fazer a transformação de número racional na forma fracionária para a forma decimal com o uso de cálculos de divisão não conseguiria localizar na reta numérica. Merlini (2005, p.27-28) traz um exemplo da situação:
Exemplo: Represente na reta numérica a fração .
O sujeito frente a esse problema (situação) deverá reconhecer, a princípio, a fração como um número (significado) e não uma superposição de dois números naturais. Deverá perceber, ainda, que todo número tem um ponto correspondente na reta numérica e que sua localização depende do princípio de ordenação (invariante), isto é, é um número compreendido entre 0 e 1. Mesmo considerando esse intervalo, há a necessidade que o sujeito compreenda que à direita e à esquerda de existe ainda infinitos números. Deverá ainda admitir que existem duas formas de representação fracionária, a ordinária e a decimal.
12 Já, a análise do registro de A3 nessas duas questões, chamam a atenção pelo fato que o referido aluno só localizou na reta numérica os dois números fracionários da Questão 2 e não apresenta cálculos de divisão, talvez o aluno tenha realizado cálculos em outro local não na folha das questões e por esse motivo aparecem. Ainda está bem visível que uma das representações na forma decimal não esta correta e por consequência a representação na reta numérica também não, como mostra a Figura 2.
Figura 2: Questões resolvidas pelo A3
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Com a realização das duas questões referentes ao Significado Número, quando foram fazer a localização na reta numérica dos números fracionários, percebeu-se que nesse momento da realização das mesmas a maioria dos alunos teve noção que o número fracionário estaria localizado entre dois números naturais, mas não identificaram a localização correta, como mostra a Figura 3, na Questão 1, resolvida por A7 e A16. Onde ambos não localizaram precisamente o número fracionário, sabiam marcar adequadamente a localização entre os números naturais, mas não identificando corretamente.
13 Fonte: dados produzidos pelo autor.
O número inteiro a partir da divisão efetuada está adequado, mas a análise permite indicar que a parte decimal do número racional na representação decimal, não está compreendida por vários alunos, sendo que apenas 27,77% dos alunos sujeitos da pesquisa representaram corretamente na reta numérica os quatro números fracionários indicados na Questão 1.
3.2 Significado Parte-todo
Entende-se que este significado é o mais conhecido e considerado no contexto escolar, pois geralmente é com o significado Parte-todo que professores iniciam os estudos dos Números Racionais na representação fracionária. Como afirma Vasconcelos
Uma forma comum de apresentar as frações aos alunos é mostrar-lhes o todo dividido em partes. Os alunos são informados de que o número total de partes é o denominador e as partes pintadas é o numerador. Esta introdução, junto com alguma instrução sobre umas poucas regras para calcular, permite que os alunos dêem ao professor a impressão de que sabem muito sobre frações. (VASCONCELOS, 2007, p.34)
A principal ideia que se traz desse significado é um todo dividido em partes iguais. Como argumenta Vasconcelos, “As relações parte-todo estão envolvidas em distribuição e divisão, mas há três elementos a serem considerados: o tamanho do todo, o número das partes e o tamanho das partes, que deve ser o mesmo para todas as partes.” (VASCONCELOS, 2007, p. 33).
As Questões 3 e 4 consideram o significado Parte-todo para o número racional na representação fracionária. A análise do registro produzido nessas duas questões indica que os alunos demonstram compreensão deste significado do número racional na
14 representação fracionária. Sendo que na Questão 3, 83,33% dos alunos obtiveram a resposta correta da questão, sem apresentar outros registros para a compreensão e desenvolvimento da questão.
Já na Questão 4 os alunos tiveram muitas dificuldades na realização, a qual era para escrever qual fração era representada pelas partes pintadas das figuras, apenas um aluno conseguiu compreender e fazer a resolução certa de todas.
As duas primeiras questões a e b da Questão 4, 88,88% dos alunos puderam observar e resolver sem dificuldades, apenas o A9 que não teve uma compreensão adequada invertendo os números na fração tendo como numerador as partes divididas da figura e como denominador as partes pintadas como mostra a Figura 4.
Figura 4: Questão desenvolvida pelo A9
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Já na letra c, o percentual de acertos entre os alunos baixou bastante, passando para 27,77%, isso indica que essa questão era mais difícil de ser resolvida. Nunes e Bryant (1997) distinguem que num caso como esse o erro mais frequente é indicar a fração que corresponderia ao procedimento de dupla contagem5. Na Figura 5 a seguir mostra uma resposta desenvolvida pelo A6, indica ter usado o procedimento de dupla contagem, não levando em consideração que a figura não estava dividida em partes iguais.
Figura 5: Questão desenvolvida pelo A6
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Dupla contagem – denominar o número total de partes iguais que o inteiro foi dividido (denominador) e enumerar as partes consideradas (numerador).
15 Fonte: dados produzidos pelo autor.
A análise permite entender que os alunos indicam pela resposta da questão não terem a compreensão do real significado Parte-todo o qual é a divisão de partes iguais da figura. Nunes e Bryant (1997) afirmam, “Estes resultados confirmam a suspeita de que as crianças podem usar a linguagem das frações sem compreender completamente sua natureza.” (NUNES; BRYANT, 1997, p.193).
As Questões seguintes d e e, não mostra explicitamente o inteiro, deixa aberta para interpretações diferentes. Houve alunos que consideraram, por exemplo, um círculo como inteiro, e outros consideraram os dois círculos na letra d como inteiro e os três círculos na letra e da Questão 4. O aluno A4 considerou cada um dos círculos como um inteiro, já o A18 considerou todos os círculos apresentados como inteiro, como indica a Figura 6.
Figura 6: Questão 4 d e e desenvolvidas pelos A4 e A18
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Nessas duas Questões referentes à Figura 6, a intenção como pesquisadora era explorar frações impróprias, que são aquelas que representam quantidades maiores do que um inteiro e que têm o numerador maior que o denominador. Mas deve ter um grande cuidado, deixando claro para os alunos que nessa classificação de frações
16 impróprias, por exemplo, a Questão 4 – d, que os dois círculos resultam em 1 inteiro e , que esse 1 inteiro representa , dessa forma poderia usar um cálculo de adição para a resolução: + = .
Ao realizar a aplicação das questões na turma, fiz no quadro um exemplo ao contrário dessa questão, dando o número fracionário e pedindo aos alunos que representassem com desenho a fração, com certeza dessa forma os alunos compreenderam melhor o que representava a fração com numerador maior que o denominador.
3.3 Significado Razão
Uma razão é uma expressão da relação entre os elementos de um par ordenado de números, no caso um índice comparativo entre duas grandezas. A Questão 5 considera o significado Razão para o número racional na representação fracionária. E com a Questão 5, pode ser analisado que na letra a, 33,33% dos alunos acertaram, 50% erraram e 16,67% não fizeram. Já na Questão b, obteve-se um melhor percentual de acertos pelos alunos foram 66,66%, erros foram 16,66% e de alunos que não fizeram 16,66% também. E na Questão c, um percentual ainda melhor 77,77% de acertos, 11,11% de erros e 11,11% que não fizeram a questão.
Analisando as respostas das Questões percebe-se que a maioria dos alunos apresentou uma compreensão das situações, exceto na Questão a, a qual teve um baixo percentual de acertos. A partir da análise destes dados, verifica-se que o significado de razão tem uma compreensão pelos alunos, pois se identifica um percentual significativo de acertos.
Na Figura 7, nas respostas desenvolvidas pelos A4 e A12, o que chamou bastante a atenção foi às respostas que os alunos obtiveram na Questão 5 – a, que quase metade dos alunos teve como resposta 0,25 ou , entende-se que foi o mesmo raciocínio, pois, é o mesmo valor só que na forma fracionária e na forma decimal, mas não conseguiram interpretar adequadamente a questão. Esse fato pode ter ocorrido por não estar explicito o valor do inteiro, se fazia necessário identificar o todo para então indicar o número racional, seja na forma fracionária ou decimal.
17 Figura 7: Respostas da Questão 5 – a realizadas pelos A4 e A12
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Merlini (2005), afirma que junto com o significado razão também, pode estar presente à probabilidade, como por exemplo, no caso da Questão 5a, a qual também esta inserida o significado medida, mas nesse caso não se refere o significado medida ao tamanho da parte e nem do todo, mas somente a relação que existe entre elas.
No contexto que se refere à probabilidade como, por exemplo: em uma caixa há 3 bolas verdes e 8 bolas vermelhas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma bola verde? A resposta da situação é 3/11, ou seja, de cada 11 bolas contidas na caixa. De fato, na situação está implícito o significado medida. A fração 3/11 representa a probabilidade da ocorrência desse evento, que é medida pelo número da casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis.(MERLINI, 2005, p.37)
3.4 Significado Medida
A ideia do significado medida é em situações de quantidades intensivas6 e extensivas7, sendo uma comparação entre duas grandezas da mesma espécie. Geralmente as questões a serem respondidas nesse significado são, “quanto cabe em?” ou “quantas vezes?”.
Caraça (1984, p.30) sobre o significado de medida afirma que,
(...) se não houver um termo de comparação único para todas as grandezas de uma mesma espécie, torna-se, se não impossível, pelo menos extremamente complicadas as operações de troca que a vida social de hoje exige. É, portanto, necessário:
1º - Estabelecer um estalão único de comparação para todas as grandezas da mesma espécie; esse estalão chama-se unidade de medida da grandeza de que
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Intensivas: São independentes da quantidade de substância que constitui o corpo. 7 Extensivas: São dependentes da quantidade de substância que constitui o corpo.
18 se trata – é, por exemplo, o centímetro para os comprimentos, o grama-peso para os pesos, o segundo para os tempos, etc.
2º - Responder à pergunta – quantas vezes? – acima posta, o que se faz dando um número que exprima o resultado da comparação com a unidade.
Este número chama-se a medida da grandeza em relação a essa unidade. As Questões 6 e 7 consideram o significado de medida. O que chamou muito atenção na análise da Questão 6, a qual pedia quantas canecas de dois litros seriam necessárias para encher um tambor de onze litros de leite, a maioria dos alunos sujeitos da pesquisa, num percentual de 72,22%, entendeu que seria necessário 5 canecas e meia. Mas, quando solicitado para representar essa quantidade em fração o percentual de acertos diminuiu para 44,44%, mais da metade dos alunos não respondeu adequadamente.
O A5 fez uma representação na forma figural que explicita uma compreensão do porquê da resposta ser , como mostra a Figura 8.
De acordo com a Figura 8, pode ser analisado que o A5 compreendeu que cada caneca representa um inteiro contendo dois litros cada uma, usando para representar na forma fracionaria , mas ainda faltava um litro para encher um tambor, que no caso seria meia caneca, na forma fracionária representada por , após a compreensão o aluno fez um cálculo de adição.
Figura 8: Representação da Questão 6 na forma figural feita A5
Fonte: dados produzidos pelo autor.
David (2014) expõe um problema bem parecido, com a Questão 6, afirmando que em geral se obtêm respostas do tipo „5 e meia‟, como mostra a seguir,
Um barril pode conter 7 litros de cachaça. Quantas canecas de 2 litros são necessárias para encher o barril?
19 Em geral, a resposta que se dá a este problema é "três e meia". Neste caso, a subunidade "meia-caneca" está sendo usada para medir "aquela parte do barril em que não caberia uma caneca inteira". Se utilizarmos a expressão fracionária, a resposta será 7/2, ou seja, "sete meias-canecas". (DAVID, 2014, p. 7-8).
Outra análise significante foi que alguns alunos como não compreenderam como representar com fração a quantidade escreverem na forma decimal, o que pode denotar que o número racional na representação decimal está em um nível superior de compreensão para estes alunos.
Já na Questão 7, obteve-se 88,88% de acertos, com esse percentual a análise nos remete a entender que quando a questão considera representações na forma figural pode haver maior compreensão e, consequentemente, ocorrer um número maior de acertos. Como a Questão 7 não solicitou a representação na forma de fração, nenhum dos alunos fez a representação na forma fracionária, mas a maioria deles representou na forma decimal. A análise possibilitou indicar que a forma do número racional na representação decimal esta mais clara do que a representação fracionária.
O A16 em ambas as questões respondeu da mesma forma entendendo que as duas resultavam na mesma resposta, mas não representou na forma fracionária, como indica a Figura 9.
Figura 9: Questões resolvidas pelo A16
Fonte: dados produzidos pelo autor.
A partir da análise é possível apontar que, nas atividades propostas, evidencia-se a compreensão do número racional na forma decimal, havendo uma fragilidade nos entendimentos do número racional na forma fracionária. Pela análise indica que o aluno
20 ainda não teve uma compreensão adequada de que o “5 canecas” ou o “5 vezes”, significa 5 inteiros, então + + + + + = , e que usando o Significado Quociente para o número fracionário resultaria como número decimal 5,5.
3.5 Significado de Quociente
As questões 8, 9 e 10 consideram o significado quociente para o número racional na representação fracionária. O significado quociente é empregado quando, em uma determinada situação, a divisão é o recurso empregado para a solução do problema, ou seja, quando a situação , com b ≠ 0, é utilizado para escrever a ÷ b . Este aspecto do conceito de fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.
Esperava-se que em cada uma destas questões os alunos considerassem tal significado. Porém, as análises indicam que nenhum aluno resolveu apresentando de forma explícita as divisões: questão 8) 2:3; questão 9) 3: 4; e questão 10) 4:16.
As análises evidenciam que os alunos consideraram a ideia Parte-todo na resolução destas questões, porém, há alguns aspectos que precisam ser considerados e apresenta-se a seguir.
Como na Questão 8 onde não foi explicitado o inteiro, a qual 27,77% dos alunos utilizaram o significado Parte-todo para a resolução, como mostra a Figura 10, feita pelo A18.
Figura 10: Questão 8 resolvida pelo A18
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Nessa questão A18, desenhou as duas pizzas e as dividiu em três partes cada uma, pela análise entende-se que o aluno usou o significado Parte-todo como suporte para a resolução, considerando as duas pizzas como o todo (inteiro) para encontrar a resposta na forma fracionária. Ao analisar supõe-se que o aluno ao resolver considerou
21 as duas pizzas como um inteiro contínuo, esse fato ocorreu, pois não houve uma mudança de características nesse caso as pizzas, a qual encontrou como resposta . Porém, ao analisar a resposta escrita na forma de língua natural, pode-se levantar a possibilidade de que o aluno considerou como inteiro uma pizza, “Cada um irá receber um pedaço de cada pizza.” O que não condiz com a resposta indicada na forma fracionária, no caso, . Na resposta escrita na forma de língua natural entende-se que A18 operaria + , de acordo com a análise ocorre à possibilidade de o aluno ter feito uma operação de adição, resolvendo-o errado e por esse motivo encontrado como resposta , somando os numeradores e somando também os denominadores, + = .
Outros alunos também usaram para a resolução dessa questão o significado Parte-todo, percebendo que em cada uma das pizzas a pessoa receberia , então somariam as duas para obter o resultado, como mostra a Figura 11.
Figura 11: Resolução da Questão 8 desenvolvida pelo A2
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Nessa Questão 8 obteve-se um percentual de 50% de acertos, pela análise pode ser entendido que nesta questão os alunos tiveram um entendimento considerável sobre o significado Quociente.
A Questão 9, traz a ideia de divisão, a qual apenas 16,66% dos alunos acertou a questão, levando em conta esse percentual, com a analise desses dados observa-se que os alunos não tem uma compreensão referente ao significado Quociente.
Na Questão 9 – a, feita pela pesquisadora entendesse que esta explicita a ideia de um inteiro, no caso que um chocolate representa um inteiro, “Que parte do chocolate os garotos vão receber?”. Diferente da Questão 8 que não estava explicita a ideia do inteiro, “Dividir duas pizzas igualmente para três pessoas.”. Talvez esse seja o ponto
22 relevante de os alunos não conseguirem fazer uma interpretação adequada para a realização da Questão 9 – a, baixando o percentual de acertos, como mostra a Figura 12.
Figura 12: Resolução da Questão 9 desenvolvida pelo A5
Fonte: dados produzidos pela autora.
55,55% dos alunos utilizaram o significado Parte-todo para tentar resolve-la, na Questão 9 b os alunos consideram os três chocolates como um único inteiro, obtendo como resposta
, mas já na letra a consideraram cada um chocolate como o inteiro,
dividindo-o em quatro partes, pois eram quatro garotos, como mostra a Figura 12. Merlini (2005) afirma que é comum a criança vivenciar situações que envolvam a operação de divisão por partição, mesmo antes de entrar na escola. Além disso, a divisão por partição é estudada, desde as séries iniciais, porém o aluno ainda não faz a conexão entre fração e divisão na formalização da resposta. E entendesse que a formalização dessa divisão possa ser o fator de complexidade da questão. Isso poderá ocorrer pelo fato do conceito de fração estar, para o aluno, ligado ao significado Parte-todo.
Como a resposta feita pelo A5 da letra a na Figura 11, Merlini (2005, p.110) expõe que, “ – Nesta resposta, o aluno poderia ter pensado em Operador Multiplicativo, ou seja, não importa a quantidade de chocolate a ser dividido, cada criança receberá a quarta parte dessa quantidade”.
23 Merlini (2005) expõe uma situação do significado Quociente, possibilitando a compreensão de que o sujeito pode ter usado a estratégia de dividir o todo (cada chocolate) em partes iguais (3 pessoas) e apoiando-se na correspondência um-para-um e na dupla contagem, responder a situação de maneira correta, mas porém utilizando-se do significado Parte-todo. Na Figura 13 a referida autora propõe um esquema que revela tal entendimento, a partir da mesma situação apresenta duas formas diferentes de resolução, considerando o significado Quociente e Parte-todo.
Figura 13: Representação da situação Quociente envolvendo a situação Parte-todo
Fonte: Merlini (2005, p. 25).
Na Questão 10, a qual continha letras a e b entendem-se pelas respostas que apenas um dos alunos utilizou o significado Quociente, mas mesmo assim inverteu o número do numerador com o do denominador.
Um percentual considerado bem significante foi que 55,55% dos alunos, consideraram na Questão 10 – a, as quatro pizzas como um todo (inteiro), usando o Significado Parte-todo, apresentando como resposta que a quantidade que cada aluno receberia era de ou 1 pedaço. Como mostra a Figura 14.
24 Fonte: dados produzidos pelo autor.
E 33,33% dos alunos considerou que cada aluno receberia 2 pedaços, acredita-se pela análise que interpretaram como sendo cada pizza dividida em 8 partes iguais e consequentemente por serem 16 alunos então cada um receberia 2 pedaços, levando em conta o Significado Parte-todo também. E na Questão 10 – b, a maioria dos alunos resolveu corretamente, num percentual de 88,88%. Alguns alunos responderam na forma fracionária que seria , 2 pizzas para 8 alunos em cada mesa e outros escreveram a resposta “Vai ser 8 alunos em cada mesa e 2 pizzas para cada uma.”. Esse percentual leva a entender que os alunos obtiveram uma compreensão adequada dessa questão usando o Significado Quociente.
3.6 Significado de Operador Multiplicativo
Esse significado de Operador Multiplicativo nos remete a pensar a ótica do operador multiplicativo que atua como fator transformador de um número ao ser multiplicado pelo numerador e, logo em seguida, dividido pelo denominador. O número resultante deste processo pode ser maior ou menor que o número em seu estado inicial, dependendo do quociente .
As Questões 11 e 12 consideram o significado de Operador Multiplicativopara o número racional na representação fracionária. O qual frente à análise percebe-se uma boa compreensão pelos alunos, sendo que em ambas as questões obteve-se um
25 percentual de 94,44% de acertos, sendo que na Questão 11 apenas um aluno não realizou e na Questão 12, apenas um aluno respondeu errado.
Na Questão 11, A2 e A17, pensaram como Parte-todo, fazendo a representação com desenhos, como mostra a Figura 15 feita pelo A2.
Figura 15: Questão 11, significado Operador Multiplicativo realizado pelo A2
Fonte: dados produzidos pelo autor.
Observando e analisando a Figura 15, percebe-se que o aluno pode ter considerado cada parte como sendo ou = 10 e que a soma de duas partes se obtém
= 20, conseguindo então encontrar a resposta correta.
Merlini (2005) mostra um exemplo de uma resolução de uma questão, bem parecida com a Questão 11, que fala que Silvia ganhou de balas, as quais teria que pintar as que ganhou, eram 16 balas. A primeira estratégia de resolução foi a de fazer cálculo, isto é, contar o total de balas determinando de 16 e pintando 12 balas, sem fazer agrupamentos. E a outra estratégia foi o agrupamento das balas em 4 grupos iguais e pintando 3 deles, percebendo que cada grupo continha 4 balas e então após pintado 3 grupos concluiu que somando os três grupos resultou em 12 balas.
A análise permite ver que os alunos tem uma boa compreensão desse significado, e facilitando ainda mais a resolução quando se tem desenhos para representar como, por exemplo, a Questão 12, entende-se que o desenho como uma forma visual facilita no desenvolvimento da questão.
Considerações finais
Diante do exposto, a pesquisa que embasa a presente escrita teve como principal objetivo ampliar o entendimento sobre o número racional na representação fracionária, identificando os entendimentos apresentados por estudantes de uma turma de 9° ano do Ensino Fundamental. Optou-se em desenvolver a pesquisa neste ano do ensino
26 fundamental por se entender que de acordo com documentos oficias os quais orientam o currículo escolar, que ao finalizar esta etapa da Educação Básica o estudante deve ter elaborado entendimentos acerca do referido conceito considerando os diferentes significados do número racional na representação fracionária: número, relação parte-todo, medida, operador multiplicativo, quociente e razão.
Entendimentos relacionados ao número fracionário, de acordo com as análises, pode ser observado que existe uma grande fragilidade, diferentemente do número racional na forma decimal que está, de certa forma, melhor elaborado pelos alunos, essa não compreensão gera certa resistência ou talvez um receio quando encontram um problema que envolve o número fracionário. Ficou bem visível quando os alunos resolveram as questões referentes ao significado Número, que pedia para que localizassem na reta numérica os números fracionários, no início os alunos não sabiam fazer e por esse motivo não queriam resolver as questões, depois que um aluno se pronunciou dizendo que para a resolução poderia ser utilizado cálculos de divisão para transformar números fracionários em números decimais, conseguiram indicar a localização dos referidos números na reta numérica.
O Significado Medida também contempla o número decimal, ficando compreendido que os alunos nesse significado também têm fragilidade com relação aos números fracionários. Possibilitando a compreensão de que esse significado responde as questões “quanto cabe em?”, e de acordo com as questões referentes a esse significado a análise indica que os alunos tem uma compreensão de que, por exemplo, na Questão 7 a qual pedia quantas vezes o segmento ̅̅̅̅ cabe no segmento ̅̅̅̅, respondem adequadamente que serão 5 vezes e , mas ao responder como número fracionário não conseguem, não tendo a compreensão necessária para identificar o 5 vezes como 5 inteiros.
As análises permitiram observar que dos seis significados do número racional na representação fracionária o mais utilizado e compreendido pelos alunos foi o significado Parte-todo, e consequentemente esse significado foi muitas vezes utilizado para a resolução das questões que envolviam os outros significados da fração: no significado Quociente e Operador Multiplicativo; considerando que o significado Parte-todo geralmente é utilizado pelos professores para a introdução do conteúdo e exploração do número fracionário.
27 No significado Parte-todo, envolvem-se frações próprias e impróprias, as análises puderam identificar que quando envolvem frações próprias (numerador menor que o denominador) os alunos tem bastante facilidade em visualizar figuras e logo representa-la corretamente na forma fracionária, já nas frações impróprias (numerador maior que o denominador), que representa quantidades maiores que um inteiro, quando se apresentam figuras sem o professor explicitar o inteiro, tende a deixar aberta para interpretações diferentes, e nesse momento quase sempre os alunos levam em conta todas as figuras como o inteiro, não compreendendo que deve ser analisado figura por figura.
O Significado Quociente foi o que mais os alunos tiveram dificuldades, nesse significado os alunos na maioria das vezes utilizaram o significado Parte-todo, percebendo-se que há um desprezo das duas grandezas envolvidas (pizza/pessoa; chocolate/garoto), onde os alunos acabam levando em conta somente uma delas, a qual de fato está sendo dividida, por exemplo, o chocolate, desconsiderando para quem está sendo dividido, nesse caso para os garotos. Esse significado não é muito encontrado nos livros didáticos e é pouco trabalhado nas escolas, acredita-se que é por esse motivo que existe uma fragilidade.
Percebe-se que o aluno deve ter uma compreensão de cada significado, considerando as ideias que os constituem, mas tais entendimentos devem estar articulados compondo uma compreensão concisa do número racional. Pois, muitas vezes, torna-se mais fácil para resolver algum problema- algumas questões podem ser solucionadas por mais de um significado.
As análises possibilitaram a reflexão sobre a importância de trabalhar os significados do número racional na representação fracionária, desde os anos iniciais do ensino fundamental, mesmo que nesse nível de escolarização ainda não utilizasse o número fracionário, mas com certeza tendo uma boa compreensão no início, facilitará os entendimentos propostos no decorrer do ensino fundamental.
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28 DAVID, Maria Manuela Martins Soares David; FONSECA, Maria da Conceição
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