2.Black & Scholes, Martingais, e Cálculo de
Ito
• 2.1 Black & Scholes – Formula por replicação
• 2.1.1 Movimento Browniano e Equações Diferenciais Estocásticas 2.1.2 Correção Browniana, Calculo de Ito e a Distribuição do Preço da Ação
• 2.1.3 Carteira de hedge livre de risco e a formula de B&S
• 2.2 Fator Estocastico de Desconto e Medida Neutra ao Risco
• 2.3 Propriedades Martingais do preço da ação e da opção sob a medida neutra ao risco e preço de opção via esperança condicional.
• 2.4 Medidas Equivalentes, Mudança de Medida em Tempo Continuo e o Teorema de Girsanov: Exemplo; Black & Scholes.
• 2.5 Martingais , Feyman Kac e a obtencao de uma Eq. Diferencial Parc.
2. Modelo de Black & Scholes (1973)
Premissas Básicas
• O preço da ação segue um movimento browniano
geométrico.
• Vendas a descoberto são permitidas.
• Não há custos de transações ou taxas.
• Não há pagamentos de dividendos durante a
existência do derivativo.
• Transações podem ser realizadas continuamente.
• A taxa de juros básica é constante e a mesma para
Idéia para obtenção da fórmula de apreçamento
• O movimento geométrico browniano é representado pela
seguinte Equação Diferencial Estocástica:
• Esta indica como o preço da ação evolui ao longo do
tempo: Ele depende de uma componente cond.
determinística que gera um rendimento contínuo à taxa mu,
e mais um termo estocástico que depende do movimento
browniano, e devido à volatilidade constante, apresenta
distribuição normal.
• A partir deste ponto, tudo o que precisamos é obter como
os preços dos derivativos variam ao longo do tempo,
usando uma equação semelhante à anterior.
t
t
t
t
S
dt
S
dW
Lema de Ito
• Seja X um processo estocástico descrito pela seguinte
equação dinâmica:
• Seja uma função contínua e diferenciável.
• Então vale que:
• Note que o fato de X ser estocástico e em particular
dependente de um movimento browniano nos dá um termo
extra no que seria a fórmula de Taylor usual para
aproximação da variação de uma função!
R
R
f
:
2
t t t t tdX
X
f
dt
X
t
X
f
t
f
X
t
df
(
,
)
2
1
)
,
(
2 2 2
t t t tt
X
dt
t
X
dW
dX
(
,
)
(
,
)
Obtendo-se uma carteira instantaneamente livre de
risco
• Voltando ao MGB:
• Somente assumimos que o preço de uma opção, em um
dado instante de tempo t, será uma função do preço da
ação (neste instante) e do próprio instante de tempo t:
• Então, aplicando-se o lema de Ito obtemos:
t t t t
S
dt
S
dW
dS
)
,
(
t
S
tc
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tdW
S
S
c
dt
S
S
c
S
S
c
t
c
dW
S
dt
S
S
c
dt
S
S
c
t
c
dS
S
c
dt
S
S
c
t
c
dc
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
1
2
1
2
1
A Carteira de Hedge
• Então, observando que toda a incerteza no preço da opção e
no preço da ação está representada pelo termo que contém o
movimento browniano, podemos montar uma carteira que
anule tal efeito, por exemplo, comprando-se
unidades da ação e vendendo-se uma unidade da opção.
• Como esta carteira não apresenta incerteza, ela deve render
o mesmo que um ativo livre de risco.
• Mas ao mesmo tempo a variação da carteira é dada por:
• Substituindo:
t t S c t t t t tS
S
c
c
rdt
d
t
t t t t t tdS
S
c
dc
d
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t S dW S c dt S S c dW S S c dt S S c S S c t c d 2 2 2 2 2 1A Fórmula de Black & Scholes
• Combinando-se as equações anteriores obtemos a seguinte
equação diferencial parcial:
• Para uma opção de compra que paga
a solução é dada por:
t t t t t t t t
S
rc
S
c
rS
S
c
t
c
2 2 2 22
1
)
0
,
max(
S
K
C
T
T
T
t
d
d
t
T
t
T
r
K
S
d
d
N
Ke
d
N
S
c
t t T r t t
1 2 2 1 2 ) ( 12
1
ln
)
(
)
(
O Sorriso da Volatilidade
• A partir da fórmula de B&S, e de dados observados em mercado para taxa de juros, preço atual da ação, e preços para opções, é possível se inverter a fórmula obtendo-se o que é chamado de volatilidade
implícita.
• O gráfico que relaciona, volatilidade implícita (eixo y) com preços de exercício de opções de compra (eixo x), fixados prazo de vencimento e ativo subjacente, é denominado sorriso da volatilidade.
3. Modelo Dinâmicos de Curvas de
Juros
3.1 Modelos Dinâmicos de Um Fator
3.1.1 O Modelo de Vasicek
3.1 Modelos Dinâmicos de 1 Fator
• Modelos de 1 Fator para a taxa de curto prazo
• Problemas:
– Por construção todos os nós da ETTJ apresentam correlação perfeita.
– É conhecido o fato de que na maior parte das ETTJ já estudadas empiricamente, pelo menos dois fatores são necessários para
capturar a dinâmica. (Litterman e Scheinkman [1991] Almeida et al. [2001] Singh [1996] entre outros)
– Dificuldades em se ajustar à ETTJ atual e às volatilidades observadas para as diferentes maturações.
Modelos de 1 Fator para a taxa de curto prazo
• Vantagens:
– Tratabilidade: muitos apresentam fórmulas fechadas para os preços de bônus e de opções básicas.
– Entre os que não apresentam fórmulas fechadas, pode-se
implementá-los através do uso de árvores binomiais/trinomiais.
• Exemplos:
• Vasicek [1977], Cox et al. [1985], Ho e Lee [1986], Black et al. [1990], Hull White [1993].
Família de Bônus com Preços Livre de Arbitragem
• Uma família B(t,T) t<T<T* é denominada livre de arbitragem relativa a r quando:
1) B(T,T)=1 para todo T.
2) Existe uma probabilidade P* equivalente a P sob a qual os preços dos bônus descontados seguem martingais.
• Perguntas:
– O que é o preço descontado? Fator de desconto: – O que são martingais?
• Implicação:
O preço do Bônus pode ser escrito: .
T t t u P r du F E T t B( , ) * exp( ) t du u r t e B 0 ) (
Comentários
• Logo para apreçarmos um bônus sob um modelo para a
dinâmica de curto prazo, basta conhecermos a distribuição de probabilidades da taxa de curto prazo no segmento [t,T].
• É claro que continua valendo a relação: . • Sob a medida neutra ao risco todos os bônus têm o mesmo
retorno em um período infinitesimal igual a taxa de curto prazo: • A solução para esta equação é dada por:
• Conhecendo-se a distribuição de prob. dos preços de um bônus podemos apreçar opções sobre este bônus.
) )( , ( ) , (t T eY tT T t B
*
) , ( ) , ( ) , (t T B t T rtdt b t T dWt dB
t t u t udu b u T dW b u T du r T B T t B 0 2 0 * 0 ) , ( 2 1 ) , ( exp ) , 0 ( ) , (3.1.1 O Modelo de Vasicek
• Equação diferencial satisfeita pela taxa de curto prazo: • O processo apresenta reversão à média.
• A distribuição da taxa de curto prazo é gaussiana com média
e variância .
• Os preços dos bônus apresentam fórmula fechada:
• Note que o preço do bônus apresenta distribuição log-normal.
* ) ( t t t a br dt dW dr
] 1 [ 0 bt bt e b a r e
e bt
b 2 2 1 2
t r T t n T t m e T t B( , ) ( , ) ( , )
) ( 1 1 ) , ( e b T t b T t n T t T t du T u n a du T u n T t m ( , ) ( , ) 2 ) , ( 2 2
O Modelo de Vasicek
• Jamshidiam [1989] encontrou fórmula fechada para o preço de opções sobre zero coupons e papéis com coupon.
• Suponha que desejamos apreçar uma call européia que vence em T, com strike K, sobre o zero-coupon B(t,U) que vence em U>T. • Qual o valor ?
• Este valor é obtido notando-se que em um mercado completo, existe uma carteira de bônus que replica o pagamento do
derivativo. Portanto o derivativo descontado tb é martingal: ) 0 , ) , ( max(B T U k CT t C ] ) ) , ( ( [ ) ( * * C E e B T U k B C E B C T t du u r P t T T P t t
O Modelo de Vasicek
• Note que para apreçar a call basta conhecer a distribuição
conjunta do preço do bônus na data de vencimento da call e da exponencial da integral da taxa de curto prazo no segmento [t,T].
• Resultado muito semelhante a B&S exceto por uma correção no fator volatilidade.
T t U U U t ds U s b T s b T t V T t V T t V k T t B U t B h T t h N T t kB T t h N U t B C 2 2 2 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 ln ) , ( ) , ( ln )) , ( ( ) , ( )) , ( ( ) , (O Modelo de Vasicek
• Desvantagens:
– Não se ajusta à estrutura a termo da taxa de juros atual.
• Apresenta somente quatro parâmetros: . • Captura somente quatro pontos.
– Não se ajusta à estrutura a termo das volatilidades atual. – Portanto comete erros no apreçamento de derivativos.
– Há probabilidade positiva da taxa de juros assumir valores negativos.
e , ,b a3.1.2 O Modelo de Hull White
• Equação Diferencial Estocástica:
• Caso particular interessante: modelo de vasicek extendido
• Continuam existindo fórmulas fechadas para os preços de bônus e de opções sobre bônus. Por exemplo, a taxa r é expressa por:
• Principal vantagem é que este modelo se ajusta à estrutura a termo atual devido à variação da função a com o tempo.
* ) ( ) ) ( ) ( ( t t t t a t b t r dt t r dW dr
* ) ) ( ( t t t a t br dt dW dr
* 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 u t b s ds t b s ds ds s b t e r e a u du e u dW r u u t
Como funciona este ajuste à ETTJ atual?
• Suponha conhecida a ETTJ atual P(0,T).
• As taxas forward instantâneas implicadas pelo modelo são:
• Igualando-se a curva do mercado à curva do modelo obtemos: ) , 0 ( ) , 0 ( )) , 0 ( ln( ) , 0 ( n T m T T T B T f T T T T P T f ln( (0, )) ) , 0 ( ˆ 2 2 2 0 ) ( 0 (1 ) 2 ) ( )) , 0 ( ln( bT T b T u bT e b du u a e r e T T P
2 2 2 ' ) 1 ( 2 ) ( )) ( ) , 0 ( ˆ ( ) ( ) , 0 ( ˆ ) ( bT T e b T h T h T f b T h T f T a
Modelo de Hull White
• Desvantagens:
– Não se ajusta à estrutura a termo das volatilidades atuais.
– Taxa de juros ainda é gaussiana e portanto pode ser negativa com probabilidade positiva.
• Vantagens:
– Versão mais geral admite implementação por meio de árvore
trinomial e consegue se ajustar à ETTJ atual e à estrutura a termo das volatilidades atuais.
Conclusões
• Mercados de opções de renda fixa requerem uma matemática sofisticada.
• No Brasil o problema é ainda mais desafiador porque as opções não apresentam grande liquidez (ex. IDI ou sobre Bradies), o que implica que faltam dados para calibrar estes complexos modelos.
• É importante uma busca por calibração cuidadosa e estabilidade dos parâmetros para se buscar uma capacidade preditiva destes modelos para realização de operações.
• Em mercados mais gerais faz-se necessária a utilização de modelos bem mais avançados, multi-fatores com volatilidade estocástica, às vezes não-markovianos (modelos do tipo HJM).
