Centro de Ciˆ
encias Exatas e da Natureza
Departamento de F´ısica
F´ısica Experimental 1
Experimento 4: Ondas estacion´
arias
Informa¸c˜oes sobre a Equipe
Nome: Nome: Nome:
Objetivos
O experimento da corda vibrante trata de um tema de grande importˆancia para entender fenˆomenos no dia-a-dia: ondas. Neste experimento, vocˆe investigar´a ondas mecˆanicas propagando-se num fio. A ideia ´e descobrir como propriedades da onda se relacionam a caracter´ısticas intr´ınsecas do meio que a comporta (nesse caso, um fio), tal como sua densidade.
Ondas ocorrem na natureza numa quantidade enorme de contextos. N˜ao interessando detalhes dos meios materiais que permitem sua propaga¸c˜ao (ou mesmo do ‘objeto’ que, sem ser um meio mecˆanico, propaga ondas mesmo assim, como ocorre no caso da luz), ondas est˜ao ligadas ao transporte ou `a localiza¸c˜ao de energia.
Elas possuem algumas propriedades gerais relativas `a propaga¸c˜ao, como dire¸c˜ao, sentido e velo-cidade, mas tamb´em relativas a oscila¸c˜oes, como frequˆencia, amplitude, e fase.
´
E verdade que para um fio existem formas mais diretas de se estudar suas propriedades. Mas, em outros contextos, ondas fornecem informa¸c˜ao essencial sobre o meio, sendo esse o princ´ıpio de v´arios experimentos cient´ıficos atuais (e.g. ondas gravitacionais, para detetar perturba¸c˜oes na geometria do espa¸co-tempo) e de instrumentos usados no cotidiano (e.g. aparelhos de raios-x e ultrassom, para explorar o interior do corpo humano de forma n˜ao-invasiva).
Material utilizado: suporte, alto-falante, gerador de fun¸c˜ao, linha, clipes e trena.
Lembretes
• Sempre leia todo o material (teoria e roteiro) antes da aula experimental. • Justifique suas respostas sempre que necess´ario.
• Organize sua bancada ao final do experimento.
• O material utilizado est´a sob sua responsabilidade durante a aula.
• E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em descobrir a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas!
1
Aparato Experimental
A montagem experimental para o estudo das ondas mecˆanicas ´e esquematizada na figura 1.
Figura 1: Aparato experimental.
O fio no qual ser˜ao excitadas ondas ´e suspenso num alto-falante e tensionado pelo peso de clipes de papel, presos por um la¸co. Ondas mecˆanicas s˜ao excitadas pelo alto-falante. A frequˆencia e a intensidade de vibra¸c˜ao do alto-falante ´e controlada por um gerador de fun¸c˜ao.
2
Considera¸c˜
oes iniciais
O modelo te´orico mais simples a descrever este experimento ´e o modelo da corda vibrante. Existem diversas ressonˆancias na corda, cada uma produzindo uma onda estacion´aria.
Cada onda estacion´aria possui caracter´ısticas pr´oprias, como frequˆencia e perfil espacial (ou seja, o formato de seu deslocamento do equil´ıbrio). Chamamos cada poss´ıvel maneira de vibrar da corda de modo normal de vibra¸c˜ao.
No caso da corda vibrante, diferentes modos possuem frequˆencias de excita¸c˜ao diferentes e podem ser assim distinguidos. Portanto, sintonizando a frequˆencia produzida pelo alto-falante, devemos ser capazes de excitar um ´unico modo de vibra¸c˜ao por vez, sem excitar os demais.
Cada modo normal possui perfil espacial ´unico. Pontos da corda com comportamentos extremos s˜ao os ventres, que oscilam com amplitude m´axima, e os n´os, pontos que permanecem em repouso durante toda a oscila¸c˜ao da corda.
Vamos rotular cada modo pelo n´umero de ventres n de sua onda estacion´aria associada.
O modo fundamental, ou primeiro harmˆonico, ´e aquele que possui 1 ventre (n = 1). Seus n´os ocorrem apenas nas extremidades do fio, associados simplesmente `as condi¸c˜oes de contorno da vibra¸c˜ao: idealmente, o fio n˜ao pode se movimentar nos pontos pelos quais ´e preso ao alto-falante e `a forquilha.
O segundo harmˆonico possui 2 ventres (n = 2) separados por um n´o localizado no meio do fio (al´em dos dois n´os impostos pelas condi¸c˜oes de contorno), e assim por diante.
Desenhe esquematicamente no quadro abaixo o perfil espacial dos modos fundamental, segundo e terceiro harmˆonicos para os instantes de tempo pedidos, seguindo as instru¸c˜oes e avisos seguintes:
• Cada linha delimitada por c´ırculos representa o fio na situa¸c˜ao de repouso.
• Esboce sobre cada linha o perfil espacial de deslocamento do fio para instantes e modos de oscila¸c˜ao pedidos.
• Em t = 0, considere o perfil de deslocamento m´aximo do equil´ıbrio. • Represente cada n´o por um c´ırculo preenchido, conforme desenho. • O per´ıodo da oscila¸c˜ao ´e denotado pela letra τ .
• Preencha o valor do comprimento de onda λn da onda estacion´aria em rela¸c˜ao ao
t = 0 t = τ /4 t = τ /2 n = 3 n = 2 n = 1 λ3 = L λ2 = L λ1 = L r r r r r r r r r r r r r r r r r r
Com base em seus desenhos, escreva a rela¸c˜ao entre n e o comprimento de onda λn.
Uma onda ´e uma estrutura peri´odica tanto no espa¸co quanto no tempo. Sua velocidade de propaga¸c˜ao v ´e tal que um comprimento de onda λn´e percorrido em um per´ıodo τn. Escreva abaixo
a express˜ao para v em termos de λn e da frequˆencia fn= 1/τn da onda.
Utilize essas express˜oes para escrever fn em fun¸c˜ao de n e da frequˆencia fundamental f1.
O modelo te´orico mais simples deve ser capaz de captar a essˆencia do comportamento do sistema descrito. O fio `a sua frente ´e um objeto real com v´arias complica¸c˜oes, como tudo. Aponte desvios do comportamento ideal fact´ıveis de aparecerem em seu experimento.
•
•
3
Atividades
O objetivo deste experimento ´e investigar como a frequˆencia de excita¸c˜ao do fio se relaciona com o comprimento de onda do modo excitado e a tens˜ao colocada no fio.
A primeira coisa que bons experimentadores fazem com um aparato novo ´e brincar (embora poucos admitam isso em p´ublico). Divirta-se de forma respons´avel com seu novo brinquedo. Brin-cadeira ´e coisa s´eria: pense na melhor forma de medir as quantidades de interesse e teste seu procedimento, antecipando problemas em potencial.
Observe como o fio vibra conforme vocˆe varia a frequˆencia produzida pelo alto-falante. Analise a forma da onda produzida. Vocˆe consegue observar ventres e n´os? Analise algumas ressonˆancias. Elas aparecem aproximadamente nas frequˆencias esperadas?
3.1
Frequˆ
encia de oscila¸c˜
ao
Se vocˆe brincou com seriedade, deve ter notado que cada vibra¸c˜ao do fio ´e excitada n˜ao por uma frequˆencia ´unica, mas por toda uma faixa de frequˆencias. Essa faixa corresponde `a largura em frequˆencia da ressonˆancia.
Sugest˜ao: Nesta parte do experimento, prenda 7 clipes ao fio.
IMPORTANTE: jamais prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso m´aximo suportado pela fr´agil liga¸c˜ao entre fio e alto-falante.
Fa¸ca um teste para determinar como escolher o valor mais confi´avel e a incerteza da frequˆencia de ressonˆancia medida. Encontre a faixa de frequˆencias em que o modo fundamental (n = 1) ´e excitado. Me¸ca as frequˆencias m´ınima fmin e m´axima fmax da faixa.
fmin =
fmax =
Descreva brevemente seu m´etodo de atribui¸c˜ao das incertezas σfmax em σfmin.
Resposta:
Com essas medidas, vocˆe obteve o intervalo total em que ocorre a ressonˆancia. Vocˆe deve ter notado que a amplitude da oscila¸c˜ao do fio varia dentro desse intervalo.
f0 =
Descreva brevemente seu procedimento para determina¸c˜ao da incerteza σf0.
Resposta:
Com base nesses testes, descreva sucintamente seu procedimento para medir frequˆencias de ressonˆancia (e suas incertezas!) daqui em diante.
Resposta:
3.2
Rela¸c˜
ao entre modo espacial e frequˆ
encia
Vamos investigar primeiramente a rela¸c˜ao entre o modo excitado, descrito pelo n´umero de ventres n da onda, e a frequˆencia fn produzida pelo alto-falante.
Me¸ca a frequˆencia de ressonˆancia fn para todos os modos n de oscila¸c˜ao que vocˆe
conseguir excitar na corda.
n fn n fn
Analise seus dados em tempo real: represente graficamente cada medida logo que for realizada. • Gr´afico 1: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares
de valores medidos (n, fn).
Vejamos agora como λn se relaciona com o modo n. Determine o comprimento de
Descreva o que ´e a distˆancia ℓn escolhida (e.g. n´os consecutivos, ou n´os mais distantes, ou m´edia
de distˆancias entre n´os consecutivos etc). Justifique sua escolha. Resposta:
Coloque na tabela abaixo suas medidas de ℓn. Utilize os mesmos modos n dos quais vocˆe mediu
fn anteriomente. Determine λn a partir de ℓn.
n ℓn λn n ℓn λn
Escreva no quadro abaixo a express˜ao da incerteza σλn em fun¸c˜ao de σℓn.
3.3
An´
alise gr´
afica dos dados
Usando as medidas coletadas, vamos investigar a rela¸c˜ao entre n, fn e λn.
O primeiro passo ´e analisar a rela¸c˜ao entre n e fn a partir de seu gr´afico 1. As frequˆencias de
excita¸c˜ao de modos n 6= 1 s˜ao m´ultiplas da frequˆencia fundamental f1 (isso ´e esperado?)?
Resposta:
Se sim, a rela¸c˜ao deve ser linear. Ajuste visualmente uma reta a seus dados e obtenha seus coeficientes angular avis e linear bvis. Estime suas incertezas como achar apropriado.
avis =
Analise os valores dos coeficientes da reta. Explicite os valores esperados para avis e bvis.
Compare-os aos valores obtidos pelo ajuste de reta. Resposta:
Embora o m´etodo de ajuste visual seja mais r´apido de se executar manualmente, encontrar a melhor rela¸c˜ao linear requer algumas contas. Realize o ajuste da reta ´otima pelo m´etodo de m´ınimos quadrados.
Para esta parte, vamos simplificar a an´alise considerando as incertezas de medida aproximadamente iguais. Escreva abaixo o valor m´edio das incertezas σfn, chamando-o σf.
σf =
A melhor reta a ajustar os dados ´e aquela que minimiza o desvio quadr´atico m´edio. Preencha a tabela abaixo com quantidades intermedi´arias necess´arias ao ajuste (Eqs. 20, 22 e 23 da Apostila 3). Para facilitar a correspondˆencia com as vari´aveis usadas na Apostila, chamamos xn = n e yn= fn.
sx2 = P nx 2 n sx= P nxn sy = P nyn sxy = P nxnyn ∆ = N sx2 − s 2 x
Calcule os coeficientes da reta ´otima e suas incertezas. amq =
bmq =
Compare os dois ajustes de reta, embasando seus argumentos. Resposta:
Adicione a reta ´otima a seu gr´afico 1. Desenhe essa reta utilizando caneta com cor diferente da reta visual.
A fim de verificar a qualidade dos ajustes e melhor compar´a-los entre si, vamos analisar seus res´ıduos. O res´ıduo δfn de cada medida ´e sua distˆancia `a reta ajustada f (n), dado por
Preencha a tabela abaixo com os valores das retas ajustadas. Para a reta visual, calcule fvis(n) =
avisn + bvis e os res´ıduos δfn,vis. Para a reta ´otima, calcule fmq(n) = amqn + bmq e seus res´ıduos
δfn,mq. Denote todas as incertezas.
n fvis(n) δfn,vis n fmq(n) δfn,mq
• Gr´afico 2: Represente os res´ıduos em papel milimetrado. Represente suas incerte-zas σδfn,vis e σδfn,mq por barras de erro.
Analise o gr´afico de res´ıduos. Vocˆe vˆe alguma tendˆencia preocupante que invalide o ajuste? Para um bom ajuste, os res´ıduos devem flutuar aleatoriamente em torno do valor nulo!
Resposta:
Os res´ıduos devem em princ´ıpio ser compat´ıveis com a incerteza dos dados (Por quˆe?). Calcule, para a reta visual, a m´edia dos desvios hδfvisi e seu desvio padr˜ao σ′δfvis. Fa¸ca o mesmo
para a m´edia dos desvios hδfmqi e seu desvio padr˜ao σδf′ mq no caso da reta ´otima.
hδfvisi σ′δfvis hδfmqi σ
′ δfmq
Analise a estat´ıstica dos res´ıduos. Para cada reta ajustada, a distribui¸c˜ao de res´ıduos ´e compat´ıvel com flutua¸c˜ao aleat´oria em torno do valor nulo?
Resposta:
Para cada reta, o desvio padr˜ao dos res´ıduos ´e compat´ıvel com a incerteza de medida? Com base nisso, vocˆe diria que seus res´ıduos indicam serem suas incertezas de medidas: subestimadas, corretamente atribu´ıdas, ou superestimadas? Justifique.
Resposta:
Analise agora a rela¸c˜ao entre frequˆencia de excita¸c˜ao e comprimento de onda. Se-gundo o modelo te´orico, a rela¸c˜ao esperada aqui ´e uma lei de potˆencia da forma
fn = v λ−1n , (2)
em que v ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da onda no fio. A fim de fazer aparecer uma rela¸c˜ao linear, fa¸ca a mudan¸ca de vari´aveis xn= λ−1n e yn= fn, para obter
yn= A xn+ B. (3)
Escreva no quadro abaixo a rela¸c˜ao entre os coeficientes A e B e as grandezas f´ısicas de interesse.
Utilizando seus dados, calcule os valores experimentais de xn e yn (com incertezas!).
n xn yn n xn yn
• Gr´afico 3: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares de valores medidos (xn, yn).
N˜ao se esque¸ca de representar tamb´em as barras de erro σxn e σyn (e t´ıtulo, r´otulos
e unidades dos eixos!). Lembre-se: um gr´afico ´e uma ferramenta visual que deve prover todas as informa¸c˜oes necess´arias (e nada mais!) para que qualquer pessoa possa entender seus resultados.
Observe seu gr´afico. Seus dados parecem ser bem descritos por uma rela¸c˜ao linear? Resposta:
Se sim, realize o ajuste linear por m´ınimos quadrados. Preencha a tabela abaixo com quantidades intermedi´arias necess´arias ao ajuste por m´ınimos quadrados. Utilize nos c´alculos os valores xn e yn encontrados. sx2 =P nx 2 n sx = P nxn sy = P nyn sxy = P nxnyn ∆ = N sx2 − s 2 x
Calcule os coeficientes da reta ´otima e suas incertezas (veja abaixo). Amq =
Bmq =
Para determinar suas incertezas, assuma por simplicidade σx e σy uniformes para todos os dados
na tabela. Utilize o coeficiente da reta ´otima para propagar a incerteza σx para a grandeza y,
chamando a nova incerteza em y de σy,T. Escreva abaixo os valores utilizados para as incertezas.
Finalmente, calcule σA e σB e complete seu resultado acima.
σx σy σy,T
Adicione a reta ´otima a seu gr´afico 3.
Determine o valor de v conforme obtido atrav´es da reta ´otima ajustada. v =
Forte sugest˜ao: vocˆe deve ter completado todas as atividas propostas at´e aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento
3.4
Propriedade do fio: densidade
Para pequenas oscila¸c˜oes, o modelo ideal da corda vibrante dita que a velocidade da onda depende da tens˜ao T aplicada ao fio. Determinemos experimentalmente essa dependˆencia.
Escolha um modo normal n do fio para realizar medidas de frequˆencia de ressonˆancia f em fun¸c˜ao da tens˜ao T . Escreva na tabela abaixo n escolhido e λ correspondente.
n λ
O n´umero i de clipes sustentados pelo fio controla a tens˜ao Ti imposta. Para determinar seu
valor, me¸ca a for¸ca peso Ti dos clipes com o aux´ılio de uma balan¸ca (Utilize g = 9,781 m/s2). O
´ındice i = 1, 2, ..., 7 indica a quantidade total de clipes usados (Importante: i ≤ 7).
JAMAIS prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso m´aximo suportado pela fr´agil liga¸c˜ao entre fio e alto-falante.
Para cada valor de tens˜ao Ti, me¸ca a frequˆencia de ressonˆancia fi do modo escolhido. Preste
aten¸c˜ao para utilizar sempre o mesmo modo!
Coloque suas medidas na tabela, utilizando os dados de λ e fi para determinar o valor
experi-mental de vi em cada caso. Fa¸ca tantas medidas quanto julgar necess´arias.
i Ti fi vi
• Gr´afico 4: Represente todas as medidas (Ti, vi) em papel log-log. Represente
incer-tezas σvi e σTi em todos os dados.
Caso seu gr´afico 4 evidencie uma reta a ligar os dados, ent˜ao a rela¸c˜ao entre v e T deve ser uma lei de potˆencia, escrita em geral como
Vamos analisar a lei de potˆencia atrav´es do gr´afico log-log. Tome o logaritmo da express˜ao acima para escrevˆe-la como uma rela¸c˜ao linear do tipo Y = a X + b.
Relacione as vari´aveis X, Y , a e b `as grandezas v, T e aos parˆametros c e d da lei de potˆencia.
Esses parˆametros s˜ao obtidos por ajuste linear aos dados. Trace uma reta de ajuste visual. Para determinar seu coeficiente angular, escolha dois pontos em que a reta coincida com a marca¸c˜ao quadriculada do papel log-log. Marque esses pontos sobre a reta e leia suas co-ordenadas (T′
1, v′1) e (T2′, v′2) na escala dos eixos. Anote esses valores.
T′
1 v′1 T2′ v2′
O coeficiente angular ´e calculado da forma usual como a′ = log v2′ − log v1′
log T′
2− log T1′
. (5)
J´a o coeficiente linear ´e determinado por um dos pontos da reta, e.g. b′ = log(v′
1) − a′ log(T1′).
Repita o procedimento, tra¸cando uma segunda reta de ajuste visual para estimativa de incerteza. Anote os pontos de coincidˆencia entre a reta e o grid do papel.
T′′
1 v′′1 T2′′ v2′′
Determine os coeficientes a′ e b′ da primeira reta, e a′′ e b′′ da segunda.
a′ b′ a′′ b′′
Calcule os coeficientes a e b da reta ‘m´edia’ a partir dos valores acima. a =
Qual ´e o valor te´orico esperado para o coeficiente a? Ele ´e compat´ıvel com o valor encontrado? Resposta:
Escreva a express˜ao para µ como fun¸c˜ao do coeficiente relevante da reta ajustada.
Escreva a express˜ao para a incerteza σµ.
Determine o valor experimental de µ a partir da reta ajustada. µ =
Comente o valor encontrado para µ: ele parece razo´avel ou ´e claramente absurdo? Explique. Resposta:
3.5
Verifica¸c˜
ao da densidade do fio por medida independente
A propriedade do fio determinada de forma indireta pelo estudo de suas ondas estacion´arias ´e, nesse caso, pass´ıvel de medida independente simples. Me¸ca a densidade linear fio com o aux´ılio de uma balan¸ca. Coloque suas medidas de massa m e comprimento l do fio na tabela abaixo.
m l µ
Compare esse valor ao resultado obtido pelo estudo das ondas. Eles s˜ao compat´ıveis? Jamais ignore eventuais discrepˆancias: tente justific´a-las.
Desafio: interpreta¸c˜
ao das sutilezas do experimento
Esta se¸c˜ao se destina apenas aos estudantes que queiram entender como interpretar resultados aparen-temente conflitantes num experimento, e n˜ao ser´a cobrada como conte´udo da disciplina.
A primeira coisa a se notar ´e que todo bom experimento visa descobrir coisas desconhecidas. Portanto, um(a) bom(a) f´ısico(a) ou engenheiro(a) (ou entusiasta do DIY, vulgo ‘nerd, sim, e da´ı?’) n˜ao sabe o que vai acontecer exatamente quando ele come¸ca um experimento, embora tenha ‘alguma ideia’ por conta dos modelos te´oricos que espelham sua compreens˜ao do aparato.
Afinal, se vocˆe j´a sabe exatamente o que vai acontecer, para que se dar ao trabalho de fazer o experimento? Ent˜ao todo experimento come¸ca como um teste, um “chute educado”, por assim dizer, porque a ´unica coisa que se sabe de antem˜ao ´e que n˜ao se sabe tudo: a compreens˜ao inicial que se possui tem (com sorte!) alta probabilidade de estar incompleta.
Bem, quando algo que n˜ao entendemos ocorre num experimento, o correto ´e tomar inspira¸c˜ao na pr´opria natureza: como a folcl´orica avestruz, enfiamos a cabe¸ca embaixo da terra e continuamos com nossas vidas. A maneira formal de se fazer isso ´e manter fixo tudo aquilo que n˜ao se entende e continuar com o experimento conforme inicialmente planejado.
A partir da´ı, veremos provavelmente alguns sinais malucos em nossas medidas, indicando que alguma coisa ignorada era importante. Damos, ent˜ao, um passo para tr´as, e procuramos descobrir o que pode ser essa coisa. Consertando o problema, veremos menos sinais malucos, at´e que, repetindo isso algumas vezes, observaremos apenas sinais compat´ıveis: nesse ponto, ignorar o resto do mundo se torna justificado pelos sinais experimentais, e podemos finalmente come¸car o experimento que quer´ıamos l´a no in´ıcio.
Voltando `as ondas na corda, a atitude pragm´atica desejada ´e a seguinte: vocˆe conseguiu excitar ondas na corda? Essas ondas apresentam a fenomenologia esperada (no caso, a frequˆencia de excita¸c˜ao ´e um m´ultiplo da frequˆencia fundamental)? Ent˜ao tudo est´a funcionando at´e aqui.
No entanto, suponha que vocˆe tenha feito uma medida simples de forma independente, tal como a densidade da corda, e, como resultado, obtido algo estranho. O que fazer?
Esse ´e o momento de dar um passo para tr´as, e repensar cuidadosamente sua interpreta¸c˜ao do experi-mento. Nele, vocˆe mediu comprimentos de onda e frequˆencias. Pense de novo: o que vocˆe mediu realmente? Vocˆe garante que viu comprimentos de onda? Vocˆe garante que viu a corda vibrar e anotou suas frequˆencias? Ou vocˆe ‘mediu’ algum deles de forma indireta, i.e. assumindo algo?
Se vocˆe assumiu algo, procure descobrir (experimentalmente!) se essa suposi¸c˜ao se justifica. Outros sinais podem ser utilizados para checar consistˆencia. Por exemplo, considere a amplitude de vibra¸c˜ao da corda nas proximidades de uma ressonˆancia qualquer. Ela segue a curva aproximadamente lorentziana que vocˆe viu no curso te´orico? Ou a corda fez algo inesperado a´ı tamb´em?
No experimento aqui em quest˜ao, vocˆe talvez tenha notado que as ondas na corda s˜ao excitadas de forma pouco usual: apesar de transversais, a excita¸c˜ao das ondas utiliza um alto-falante vibrando ... longitudinal-mente (!). Isso poderia indicar que o mecanismo de excita¸c˜ao da corda n˜ao ´e aquele (linear) com que vocˆe est´a acostumado(a). Vocˆe conhece outro mecanismo de excita¸c˜ao (dica: considere um balan¸co)? Como a frequˆencia da excita¸c˜ao se relaciona `a frequˆencia de vibra¸c˜ao da corda em cada mecanismo?
