Matemática Financeira. Instrutor: Adhemar Ranciaro Neto

(1)

Matemática Financeira

(2)

Apresentação e Objetivos

• OBJETIVO

Tornar o público alvo deste curso familiarizado com as técnicas da matemática financeira.

• ROTEIRO

1) Juros simples e Juros compostos 1) Juros simples e Juros compostos 2) Descontos

3) Inflação

4) Séries de pagamentos

5) Análise de investimentos 6) Sistemas de amortização 7) Prazo médio/Taxa média

(3)

Matemática básica (revisão)

• Propriedade:

Razão Proporção

(4)

Matemática básica (revisão)

Grandezas diretamente proporcionais

(5)

Matemática básica (revisão)

• Propriedades:

n vezes

Potenciação Radiciação

(6)

Matemática básica (revisão)

Logaritmo

(7)

Matemática básica (revisão)

Progressões

(8)

Conceitos Gerais

• M.F. estuda o valor do dinheiro no tempo.

• Objetivo: Efetuar análises e comparações entre os fluxos de entrada e de saída de capital verificados em diferentes momentos. capital verificados em diferentes momentos.

• Efetuar o pagamento de um bem hoje representa a mesma situação que pagá-lo daqui um mês com o mesmo valor?

(9)

Juro

• Juro é a remuneração do capital ao longo do tempo. Risco envolvido na operação. Componentes da Remuneração na operação. Inflação Capital emprestado.

(10)

Juro

M = C + J

• M = Montante (ou Valor Futuro)

• C = Capital inicial (ou Valor Presente) • J = Juro

• J = Juro

• Taxa de juros:

OBS: as taxas de juros sempre se referem a um horizonte de tempo (mês, ano, etc.)

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Fluxo de Caixa

• Esquematização das movimentações

monetárias ao longo do tempo.

Entradas (+) Taxa de Juros

• Ver exemplo (1) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro

Entradas (+)

Saídas (-) Tempo

(12)

Regimes de Capitalização dos Juros

• Há 3 tipos de regime de capitalização de juros. • Regime de capitalização simples

• Regime de capitalização composta • Regime de capitalização composta • Regime de capitalização contínua

(13)

Regime de Capitalização Simples

• Características: Juros cobrados somente sobre o capital inicial da operação.

• Evolução dos juros em Progressão Aritmética (PA)

(PA)

• n é o prazo. Lembrar que a taxa de juros deve estar na mesma unidade temporal que o prazo de capitalização.

(14)

Regime de Capitalização Simples

• O montante na capitalização simples é dado por:

M = C(1 + ni)

Na descapitalização, temos

Ver exemplo (2) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Sumples

(15)

Taxa Equivalente e Taxa Proporcional

• Prazo da taxa diferente do prazo de capitalização. (Ex: Caderneta de Poupança)

• A taxa proporcional visa a encontrar a taxa que possui a mesma unidade do prazo de capitalização.

• Ex: taxa de 12% ao ano com capitalização mensal. • A taxa proporcional será de 1% ao mês.

• Juros simples: Proporcional = Equivalente Ver exemplo (3) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Sumples

(16)

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

• Taxa Nominal: o período da taxa não coincide com o período da capitalização.

• Taxa Efetiva: a unidade do período da taxa coincide com o período de capitalização.

• Taxa Equivalente é aquela que gera o mesmo • Taxa Equivalente é aquela que gera o mesmo montante para uma mesmo capital inicial ao final de um certo período.

(17)

Juro exato e Juro comercial

• Operações de curto prazo (normalmente ocorrem juros simples) é possível que o prazo seja definido em dias.

• Tempo exato: ano de 365 dias e meses • Tempo exato: ano de 365 dias e meses

obedecendo ao calendário civil.

• Ano comercial: 360 dias (meses de 30 dias) Ex: 12% a.a. equivale a

0,03287% a.d (juro exato)

(18)

Equivalência Financeira em Juros

simples

• Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum (data focal).

Exemplo: R$ 438080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a receber hoje R$ 296000,00 à taxa simples de 18% a.t. com capitalização mensal?

(19)

Equivalência Financeira para juros

simples

• Para verificarmos a equivalência devemos transportar os capitais do fluxo que serão comparados para uma mesma data (data focal), lembrando que, quando deslocamos o capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. Se fizermos o deslocamento deste para a esquerda devemos DESCAPITALIZÁ-LO.

(20)

Equivalência Financeira para juros

simples

• CAPITALIZAÇÃO:

Multiplicar o capital por (1+ni) • DESCAPITAIZAÇÃO

Dividir o capital por (1+ni) Dividir o capital por (1+ni)

CAPITALIZAÇÃO

DESCAPITALIZAÇÃO

(21)

Equivalência Financeira para juros

simples

Fazer a equivalência entre os capitais A, B e C, D na data focal 0. Fluxo de Caixa 0 1 2 3 4 5 B A C D V_A0 = A/(1 + i x 1) V_B0 = B/(1 + i x 2) V_C0 = C/(1 + i x 4) V_D0 = D/(1 + i x 5) Fluxo de Caixa 0 1 2 3 4 5 V_A0 +V_B0 = V_C0 + V_D0

(22)

Equivalência Financeira para juros

simples

Fazer a equivalência entre os capitais A, B e C, D na data focal 2. Fluxo de Caixa 0 1 2 3 4 5 B A C D V_A2 = A x (1 + i x 1) V_B2 = B V_C2 = C/(1 + i x 2) V_D2 = D/(1 + i x 3) Fluxo de Caixa 0 1 2 3 4 5 V_A2 +V_B2 = V_C2 + V_D2

(23)

Equivalência Financeira para juros

simples

• Lembrete: Para juros simples a equivalência se verifica somente para uma determinada taxa e pra uma determinada data focal.

• Tente verificar a equivalência entre estes dois • Tente verificar a equivalência entre estes dois capitais (A e B) para a data focal 0 e depois para a d. f. 1 mês. (i = 20% a.m. capitalização simples)

• A = $100 no período 0

(24)

Equivalência Financeira para juros

simples - Generalização

• Dado um conjunto de títulos A de valores nominais (A1, A2, …, An) exigíveis nas datas (P1, P2, …, Pn) e um conjunto B de outros títulosde valores nominais (B1, B2, …, Bm) exigíveis nas datas (D1, D2, …, Dm) são exigíveis nas datas (D1, D2, …, Dm) são equivalentes à data focal = F, se a soma dos valores nominais de A CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F for igual à soma dos valores nominais de B CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F.

(25)

Regime de Capitalização Composta

• Juros são incorporados sobre o capital e sobre os juros acumulados.

• A evolução do saldo se dá sob uma progresão geométrica. geométrica. • Capitalização: • Descapitalização

VF = VP(1+i)

n

VP = VF/(1+i)

n

(26)

Regime de Capitalização Composta

Fluxo de Caixa CAPITALIZAÇÃO

VF = VP x FCC(i,n)

DESCAPITALIZAÇÃO

VP = VF x FAC(i,n)

Juro: J = PV[(1+i)

n

– 1]

(27)

Regime de Capitalização Composta

• Fórmulas no Excel:

• Encontrar o número de períodos de uma aplicação:

• Taxa é a taxa de juros por período.

• Pgto é o pagamento feito em cada período (valor

=NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo)

• Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante)

• Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída)

• Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída).

• Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

(28)

Regime de Capitalização Composta

• Encontrar o Valor da Taxa de uma aplicação:

• Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade. (a unidade é a mesma do período da taxa)

=TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa)

anuidade. (a unidade é a mesma do período da taxa)

constante)

• Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter

depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída).

• Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento

(29)

Regime de Capitalização Composta

• Encontrar o Valor Presente de uma aplicação:

• Nper é o número total de períodos de pagamento em

= VP(taxa,nper,pgto,vf,tipo)

• Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade.

(30)

Regime de Capitalização Composta

• Encontrar o Valor Futuro de uma aplicação:

=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo)

(31)

Taxa Equivalente em capitalização

composta

• A taxa equivalente é aquela que gera o mesmo montante de um mesmo capital aplicado durante um mesmo período.

• q = # de períodos de capitalização.

• Ex: qual a taxa equivalente mensal de 10,3826% a.s. ? (R: 1,66 a.m.)

(32)

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

• Taxa Nominal: o período da taxa não coincide com o período da capitalização.

• Taxa Efetiva: a unidade do período da taxa coincide com o período de capitalização.

Ex: taxa nominal de 36% a.a. capitalizados Ex: taxa nominal de 36% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva? (R: 42,6% a.a.)

• q é o # de períodos de capitalização.

(33)

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

• Fórmula do Excel

• Encontrar a taxa efetiva anual a partir de uma taxa nominal dada.

=EFETIVA(taxa_nominal;npera)

• Taxa_nominal é a taxa de juros nominal. • Npera é o número de períodos compostos

por ano.

• Obs: a taxa de juros nominal deve ser ao ano. =EFETIVA(taxa_nominal;npera)

(34)

Equivalência Financeira para juros

compostos

• Para verificarmos a equivalência devemos transportar os capitais do fluxo que serão comparados para uma mesma data (data focal), lembrando que, quando deslocamos o capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. Se fizermos o deslocamento deste para a esquerda devemos DESCAPITALIZÁ-LO.

• Para os juros compostos, a equivalência se verifica para qualquer data focal.

(35)

Equivalência Financeira para juros

compostos - Generalização

• Dado um conjunto de títulos A de valores nominais (A1, A2, …, An) exigíveis nas datas (P1, P2, …, Pn) e um conjunto B de outros títulosde valores nominais (B1, B2, …, Bm) exigíveis nas datas (D1, D2, …, Dm) são exigíveis nas datas (D1, D2, …, Dm) são equivalentes à data focal = F, se a soma dos valores nominais de A CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F for igual à soma dos valores nominais de B CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F.

(36)

Equivalência Financeira para juros

compostos - Exemplo

• Uma empresa deve $180000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses a contar de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período a empresa negocia com o banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de juros, pode-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal:

• a) hoje

• b) 3 meses • c) 5 meses

Ver exemplo (7) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Composto

(37)

Equivalência Financeira para juros

compostos (Excel)

• Dados os juros e os prazos, para encontrarmos o valor de alguma entrada ou saída do fluxo de caixa que gere a equivalência financeira, podemos usar o solver do Excel.

• Acessando o solver (Excel 2007): Guia Dados > Solver.

• Resolveremos o exemplo anterior com o uso da ferramenta Solver do Excel.

(38)

Equivalência Financeira para juros

compostos (Excel)

• Dados os valores de entrada e saída do fluxo de caixa e os prazos, para encontrarmos a taxa de juro que gera a equivalência financeira. podemos usar a função TIR.

= TIR(valores;estimativa)

• Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm • Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm

números cuja taxa interna de retorno se deseja calcular.

• Valores deve conter pelo menos um valor positivo e um negativo para calcular a taxa interna de retorno.

• TIR usa a ordem de valores para interpretar a ordem de fluxos de caixa. Certifique-se de inserir os valores de pagamentos e rendas na seqüência desejada.

• Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células em branco, estes valores serão ignorados.

(39)

Convenções para períodos não inteiros

• Convenção linear: Capitaliza o período fracionário por meio do uso da capitalização simples. (Esta convenção quase não tem uso em operações financeiras).

• Convenção exponencial: adota o regime de • Convenção exponencial: adota o regime de

capitalização composta para todo o período.

(40)

Convenções para períodos não inteiros

• Exemplo:

• VP = 100000 • i = 18% a.a.

• Período: 4 anos e 9 meses • Período: 4 anos e 9 meses

• VF = ? (Convenção exponencial)

(41)

Regime de Capitalização contínua

• Juros são incorporados sobre o capital e sobre os juros acumulados.

• A capitalização do juro se dá de forma contínua.

• Uso restrito para operações que envolvam distribuição uniforme de capitais no fluxo de caixa ao longo do tempo. (Ex: receitas de vendas de supermercado, rentabilidade de título a mercado, etc.)

(42)

Descontos

• Definição:

• Valor Descontado: é análogo ao valor atual. • Valor Nominal: análogo ao valor futuro.

Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto

(43)

Descontos

• Tipos de desconto Simples

Racional (por dentro) Comercial (por fora)

Composto

Racional (por dentro) Comercial (por fora)

Quase não é utilizado

Operações de curto prazo.

(44)

Desconto Racional simples

• Definição: O desconto se dá sobre o valor atual do títilo (Valor descontado).

• i é a taxa de desconto racional simples.

Dr = Vd x i x n N - Dr = Vd

• i é a taxa de desconto racional simples. • n é o prazo do desconto.

• Como consequência:

Ver exemplo (8 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

(45)

Desconto Comercial simples

• Definição: O desconto se dá sobre o valor futuro do títilo (Valor nominal).

• d é a taxa de desconto comercial simples. • n é o prazo do desconto.

Dc = N x d x n N - Dr = Vd

• n é o prazo do desconto. • Como consequência:

OBS: Este desconto incide sobre operações bancárias de curto prazo e no comércio.

OBS 2: Cuidado!!! Restrição:

Ver exemplo (8 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

(46)

Desconto Comercial simples com

despesas bancárias e IOF

• Seja t a taxa de despesas bancárias. Então:

Como consequência, temos:

Dc = N x (d x n + t + IOF x n_dias) Como consequência, temos:

(47)

Taxa implícita de juros do desconto

comercial simples

• É a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo desconto que o desconto comercial simples (A operação possui o mesmo prazo da taxa de desconto).

Dc = Dr

• Podemos, então, mostrar uma relação entre d e i .

• OBS: i é a taxa de desconto R.S. obtida para todo o período.

(48)

Taxa efetiva de juros (custo) do

desconto comercial simples

• É a taxa de juro composto que torna equivalente o valor descontado e o valor nominal do título. (A operação possui prazo diferente ao da taxa de desconto)

períodos

0 n

Vd Dc N

• Serve para medir o “valor efetivo” do desconto comercial. • Primeiro calculamos o desconto comercial, e o valor

descontado.

• Depois aplicamos o fator de capitalização composta sobre N e Vd.

• Logo, temos:

Ver exemplo (10) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples períodos

(49)

Taxa efetiva de juros do desconto

comercial simples

• Relação entre taxa efetiva e taxa de desconto comercial simples.

• Cuidado: O prazo das taxas utilizadas no cálculo da fórmula deve ser idêntico ao prazo da operação.

(50)

Taxa efetiva de juros do desconto

comercial simples

• Para pensar: Caso o custo de uma operação (taxa efetiva) de desconto comercial seja mantido constante, qual o comportamento da mantido constante, qual o comportamento da taxa de desconto ao aumentarmos o prazo da operação?

• (Resposta: Decrescente com o aumento do prazo). Por que?

(51)

Desconto para vários títulos

• Objetivo: Encontrar, de maneira simplificada, a taxa de juros efetiva de um conjunto de títulos com prazos desiguais.

• Exemplo: Um banco creditou um valor líquido de R$ 23.600,00 na conta de um cliente após efetuar o desconto do seguinte conjunto de duplicatas:

desconto do seguinte conjunto de duplicatas:

Título Valor Nominal Pr. de Antecipação A $5000 50 dias B $9000 70 dias C $8000 82 dias D $4000 60 dias Total $26000

Qual é o custo

desta operação

de desconto?

(52)

Desconto para vários títulos

• Podemos resolver este exemplo calculando a taxa racional de juros aplicada a um prazo médio de operação.

Onde n é o prazo médio dado por: médio dado por:

(53)

Desconto para vários títulos

• Resolvendo o exercício, temos:

• Observação: Perceba que esta é uma taxa aproximada. O cálculo correto seria a aplicação da taxa interna de retorno, que será vista adiante.

(54)

Desconto composto comercial

• É muito pouco utilizado nas operações financeiras.

• Seja d a taxa de desconto comercial composto dada para um período.

• Seja um título que está sendo descontado n • Seja um título que está sendo descontado n períodos antes do vencimento. Então, temos que o valor descontado Vd é dado por:

Vd = N(1 – d)

n

O desconto, por sua vez, é dado por: Dc = N[1 - (1 – d)n]

(55)

Desconto composto racional

• O desconto composto racional é aquele que gera o valor descontado igual ao valor presente obtido pelos juros compostos.

• Então, temos:

Vd = Vp

• O desconto é igual a:

Mas isso é o mesmo que descapitalizar o valor nominal do título por meio dos juros compostos!!!!

Ver exemplo (13) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Composto

(56)

Inflação

• A taxa de inflação em um período é dada por:

• Onde Pn é o valor do índice de preços no instante n.

instante n.

• Inflação do 2o semestre: I = 1576,56/703,38 – 1 = 124,14%

• I(out./dez) = 1576,56/1152,63 – 1 = 56,15%

Mês Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

(57)

Inflação

• Taxa de inflação acumulada.

Ex: taxas mensais de inflação ao longo de um quadrimestre: 2,8%; 3,4%; 5,7%; 8,8%. Qual a taxa de inflação acumulada no quadrimestre?

Solução:

[(1+ 0,028)(1+0,034)(1+0,057)(1+0,08)] - 1= 22,2% a.q.

(58)

Inflação

• Taxa de inflação acumulada:

(1+I_AC)=(1+I₁) (1+I₂) (1+I₃)…(1+I_n) • Taxa Média de inflação em um período:

(1+I )1/n=(1+I ) (1+I_AC)1/n=(1+I_m)

• Valor deflacionado: VD = N (1+IAC)-1 • Taxa de desvalorização da moeda:

(59)

Inflação

• Taxa de juros real e taxa nominal.

A taxa de juros real mede o quanto verdadeiramente se ganhou (ou perdeu) em uma operação. Para isso, devemos descontar dos juros nominais o efeito inflacionário.

efeito inflacionário. Logo:

(1+i) = (1+r)(1+I)

• Onde i é a taxa nominal, r é a tx. real e I é a inflação.

(60)

Séries de pagamentos

• São pagamentos/recebimentos realizados ao longo do tempo.

• Pagando dívida: Processo de AMORTIZAÇÃO. • Investimentos: Processo de CAPITALIZAÇÃO. • Investimentos: Processo de CAPITALIZAÇÃO. • Valores que devem ser pagos/ recebidos ao

longo do tempo: PARCELAS ou TERMOS. • Tempo de duração da renda: PRAZO.

(61)

Séries de pagamentos

• Classificação das séries de pagamentos.

Quanto ao valor das parcelas

CONSTANTES: Valores das parcelas são iguais VARIÁVEIS: Valores das parcelas são diferentes Quanto aos períodos

PERIÓDICAS: Termos com períodos iguais

NÃO PERIÓDICAS: Termos com períodos diferentes Quanto ao prazo

TEMPORÁRIAS: número de termos é finito PERPÉTUAS: número de termos é infinito

(62)

Séries de pagamentos

• Classificação das séries de pagamentos.

ANTECIPADA: Termos exigíveis no início do período. POSTECIPADA: Termos exigíveis no final do período. Quanto ao peródo de

ocorrência

IMEDIATA: Termos exigidos a partir do primeiro período DIFERIDA: Termos exigidos a partir de um outro período que não seja o primeiro. CARÊNCIA – intervalo de tempo em que não ocorre o pagamento.

Quanto ao vencimento

O modelo básico de fluxo de pagamentos é

classificado por: POSTECIPADO; IMEDIATO;

(63)

Séries de pagamentos

• Classifique as seguintes séries:

• 1) Compra a prazo em uma loja em 3x iguais, com 3 cheques, sendo o primeiro pago no ato da compra, o segundo para 30 dias e o terceiro para 60 dias.

terceiro para 60 dias.

• 2) Uma máquina foi comprada mediante 8 pagamentos mensais iguais de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 5% a.m.. A primeira prestação é paga 4 meses após a compra.

(64)

O modelo básico da série de

pagamentos

• Para a série de amortizações (anuidades), temos:

Taxa de juros i ……….

• P é o principal que deve ser pago em R

parcelas consecutivas ao longo de um período n à taxa de juros i.

(65)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo anuidade)

• Qual a relação entre o principal e as parcelas?

• Para isso devemos tornar o fluxo de parcelas EQUIVALENTE ao principal por meio da equivalência a Juros Compostos.

• Logo, tomando como data focal o período 0, temos: • Logo, tomando como data focal o período 0, temos:

FPV(i,n): Fator de Valor Presente

(66)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo anuidade)

• Encontrar o Valor Presente de uma anuidade:

= VP(taxa,nper,pgto,vf,tipo)

(67)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo anuidade)

• Encontrar o Valor da Taxa de uma série de pagamentos:

constante)

(68)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo anuidade)

• Encontrar o Valor da parcela de uma série de pagamentos:

• Taxa é a taxa de juros por período

• Nper é o número total de períodos de pagamento em uma

=PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo)

(69)

O modelo básico da série de

pagamentos

• Para a série de capitaizações , temos:

Taxa de juros i ……….

• F é o montante que deve ser recebido após R parcelas de aplicação consecutivas ao longo de um período n à taxa de juros i.

(70)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo capitalização)

• Qual a relação entre o montante e as parcelas?

• Para isso devemos tornar o fluxo de parcelas EQUIVALENTE ao montante por meio da equivalência a Juros Compostos.

• Logo, tomando como data focal o período n, temos: • Logo, tomando como data focal o período n, temos:

FFV(i,n): Fator de Valor Futuro.

(71)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo capitalização)

• Encontrar o Valor Futuro de uma aplicação:

=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo)

(72)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo capitalização)

• Encontrar o Valor da Taxa de uma série de pagamentos:

constante)

(73)

O modelo básico da série de

pagamentos (tipo capitalização)

• Encontrar o Valor da parcela de uma série de pagamentos:

• Taxa é a taxa de juros por período

• Nper é o número total de períodos de pagamento em uma

=PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo)

(74)

Séries de pagamentos

Casos especiais Pagamentos com carência (diferidos). Pagamentos/ aplicações não periódicos.

Casos especiais não periódicos.

Pagamentos/ aplicações com parcelas variáveis. Série infinita de

(75)

Pagamentos com carência (diferidos).

• Como faço para encontrar o valor de P? • Como faço para encontrar o valor de P?

• Observe que, a partir do período k, existe um modelo básico de pagamentos. Então, calculamos o valor do principal desta série em k e depois atualizamos este valor para a mesma data de P.

(76)

Pagamentos/aplicações não

periódicos.

• Como faço para encontrar o valor de P (ou de F)?

• É só encontrar o valor atual (ou futuro) de cada termo e depois some para todos os termos. Pronto! Você achou o valor de P (ou de F).

Para P, temos: Para F, temos:

(77)

Pagamentos/aplicações com parcelas

variáveis.

• Como faço para encontrar o valor de P (ou de F)?

• É só encontrar o valor atual (ou futuro) de cada termo e depois some para todos os termos. Pronto! Você achou o valor de P (ou de F).

Para P, temos: Para F, temos:

(78)

Série infinita de pagamentos

• Tal fato ocorre para pagamentos de longo prazo, como investimento em grandes obras de infra-estrutura, pagamentos de aposentadoria, etc.

(79)

Análise de Investimentos

• Avaliação de fluxos de caixa: Consiste em comparar os valores presentes dos fluxos de caixa de acordo com o regime dos juros compostos.

(80)

Análise de Investimentos

• Taxa Interna de Retorno: TIR

• É a taxa de juros que iguala o valor presente das entradas com o valor presente das saídas previstas de caixa. Sua formulação é dada por:

• Onde FCj é o valor da entrada/saída do fluxo no

período j.

• Cuidado: A TIR supõe que todas as entradas/saídas são reaplicadas à mesma taxa que a TIR.

(81)

Análise de Investimentos

• Função no Excel:

Encontrar o valor da taxa interna de retorno =TIR(valores;estimativa)

• Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm números cuja taxa interna células que contêm números cuja taxa interna de retorno se deseja calcular (obedecendo o sinal de entradas/saídas).

• Estimativa é um número que se estima ser próximo do resultado de TIR.

(82)

Análise de Investimentos

• Valor Presente Líquido (VPL): é o resultado econômico de uma alternativa financeira dado em moeda atualizada para uma determinada taxa de juros.

taxa de juros.

(83)

Análise de Investimentos

Se a taxa de desconto

mínima aceitável for

maior que a TIR do

projeto, a tomada de

capital deve ser aceita, pois produzirá VPL>0

Se a taxa de desconto

mínima aceitável for

menor que a TIR do

projeto, a aplicação de capital deve ser aceita, pois produzirá VPL>0

(84)

Análise de Investimentos

• Função no Excel:

Encontrar o valor da taxa interna de retorno =VPL(taxa;valor1;valor2;...)

• Taxa é a taxa de desconto sobre o intervalo de um período.

de um período.

• Valor1; valor2; ... são argumentos de 1 a 254 que representam os pagamentos e a receita. (Obedecendo ao sinal de entrada/saída)

(85)

Análise de Investimentos

• Índice de Lucratividade (IL): É dado por:

• Taxa de rentabilidade (TR): É dado por:

(86)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• PROJETOS INDEPENDENTES (não há restrições de os projetos serem aceitos ao mesmo tempo, desde que sejam atraentes.)

• Exemplo: • Exemplo:

Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5

A -$100,00 $30,00 $34,00 $35,00 $35,00 $38,00 B -$200,00 $68,00 $68,00 $66,00 $64,00 $64,00 C -$180,00 $50,00 $54,00 $58,00 $60,00 $62,00

Projeto VPL TIR IL TR Decisão

A $5,80 20,4% a.a. 1,058 5,8% Aceitar B $7,60 19,7% a.a. 1,038 3,8% Aceitar C -$5,50 16,7% a.a. 0,969 -3,1% Rejeitar

(87)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES • Caso 1) Tamanhos diferentes (Exemplo)

Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 VPL IRR

A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5%a.a.

• Suponhamos que a taxa mínima de atratividade seja de 20% a.a.

• Estamos num impasse, pois o VPL aponta numa direção enquanto o IRR vai para outro caminho.

A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5%a.a. B -$900,00 $360,00 $250,00 $900,00 $94,40 25,6%a.a.

(88)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• Para resolver tal problema vamos apelar para o método dos valores incrementais de Fischer.

Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 VPL IRR

A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5% a.a. A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5% a.a. B -$900,00 $360,00 $250,00 $900,00 $94,40 25,6% a.a. B-A -$450,00 $40,00 $20,00 $20,00 $13,8 21,3% a.a.

O investimento incremental (B-A) apresenta TIR igual a 21,3% a.a. significando que os dois investimentos igualam seus VPL à taxa de 21,3% a.a. (Intersecção de Fischer).

Portanto, podemos concluir que até 21,3% de taxa de retorno, o investimento B é melhor do que o A. Para valores maiores de taxa, o investimento A é melhor do que o B.

(89)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

(90)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES • Caso 2) Mesma escala (Exemplo)

Projeto Invest. Ano1 Ano2 VPL IRR

A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a.

• Suponhamos que a taxa mínima de atratividade seja de 20% a.a.

• Estamos num impasse, pois o VPL aponta numa direção enquanto o IRR vai para outro caminho.

A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a. B -$500,00 $80,00 $820,00 $136,10 36,3%a.a.

(91)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• Para resolver tal problema vamos apelar para o método dos valores incrementais de Fischer.

Projeto Invest. Ano1 Ano2 VPL IRR

A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a. A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a. B -$500,00 $80,00 $820,00 $136,10 36,3%a.a. B-A $0 -$570,00 -$720,00 26,3% a.a.

O investimento incremental (B-A) apresenta TIR igual a 26,3% a.a. Então B é preferível a A até a taxa de 26,3% a.a.

Mas, neste caso, é mehor observarmos a taxa mínima de atratividade e as possibilidades de reinvestimento.

(92)

Comparação entre métodos de análise

de investimento

• PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES

• Caso 3) Restrições de capital: Investimentos com diferentes quantias demandadas para aplicação, mas que geram o mesmo VPL. A melhor mas que geram o mesmo VPL. A melhor ferramenta de análise, neste caso, é a TR (Taxa de rentabilidade)

(93)

Custo Equivalente Anual

• São as parcelas anuais que representam o custo do investimento. Serve como padrão de comparação para outras estruturas de custos.

• Exemplo: Uma empresa adquiriu um caminhão por • Exemplo: Uma empresa adquiriu um caminhão por $ 60.000,00. A vida útil estimada deste veículo é de 5 anos e valor residual de 20% do valor da compra. Os custos operacionais anuais de manutenção e operação do caminhão estão previstos em $8200,00/ano. Calcule o custo equivalente anual. (considerar a taxa de juro como 12% a.a.)

(94)

Custo Equivalente Anual

• Resposta:

• Investimento líquido.

– Valor bruto do caminhão:………$60.000,00 – Valor residual atualizado:………($6.809,10)

(20% x 60000/(1,12)5

– Investimento líquido:………$53.190,90

– Custo anual do investimento……….$14.755,70 R = 53190,90/FPV(12%,5)

– Custo operacional………..$8.200,00 – Custo equivalente anual……… $22.955,70

(95)

Sistemas de Amortização

• Sistemas mais utilizados:

Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema PRICE

Sistema de Amortização Misto (SAM) Sistema de Amortização Misto (SAM)

(96)

Sistemas de Amortização

Encargos Financeiros: Juros (pré ou pós fixados)

Amortização: Pagamento do principal. Saldo Devedor: Valor do principal da Definições básicas

Saldo Devedor: Valor do principal da dívida após a deduçãodo que já foi pago de amortização.

Prestação: Amortização + Encargos Financeiros em determinado instante Carência: Diferimento na data de início dos pagamentos

(97)

Sistemas de Amortização

• Exemplo geral (Serão aplicadas as três modalidades de financiamento)

• Valor do Empréstimo: $100.000,00 • Valor do Empréstimo: $100.000,00 • Prazo da Operação: 5 anos

(98)

Sistemas de Amortização

• Sistema de Amortização Constante (SAC) Características:

A) Amortizações iguais durante o prazo da operação.

operação.

B) Juros sobre o saldo devedor.

C) Taxa de juros compostos efetiva. (Para o exemplo: 30% a.a = 14,0175% a.s.)

(99)

Expressões do SAC

Amortização (AMORT) Saldo Devedor (SD) PV = principal n = # prestações Juros (J) Prestação (PMT)

(100)

Planilha SAC para o exemplo

Períodos

(semestres)

Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 100000 - - -1 90000 10000 14017,50 24017,50 2 80000 10000 12615,80 22615,80 3 70000 10000 11214,00 21214,00 3 70000 10000 11214,00 21214,00 4 60000 10000 9812,30 19812,30 5 50000 10000 8410,50 18410,50 6 40000 10000 7008,80 17008,80 7 30000 10000 5607,00 15607,00 8 20000 10000 4205,30 14205,30 9 10000 10000 2803,50 12803,50 10 - 10000 1401,80 11401,80 Total - 100000 77096,50 177096,50

(101)

SAC com carência

• 3 tipos:

• A) os juros são pagos durante a carência

• B) juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização.

do vencimento da primeira amortização.

• C) Juros capitalizados e acrescidos sobre o saldo devedor gerando um fluxo de amortizaçãoes de maior valor.

• Para melhor compreensão do processo de financiamento vamos resolver um exemplo em Excel.

(102)

Sistemas de Amortização

• Sistema de Amortização Francês (SAF) Características:

A) Prestações iguais durante o prazo da operação.

operação.

B) Juros sobre o saldo devedor (São decrescentes).

C) Taxa de juros compostos efetiva. (Para o exemplo: 30% a.a = 14,0175% a.s.)

(103)

Expressões do SAF

Amortização (AMORT) Saldo Devedor (SD) Juros (J) Prestação (PMT)

(104)

Planilha SAF para o exemplo

Períodos

(semestres)

Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 100000 - - -1 94833,10 5166,90 14017,50 19184,40 2 88941,80 5891,20 13293,20 19184,40 3 82224,80 6717,00 12467,40 19184,40 3 82224,80 6717,00 12467,40 19184,40 4 74566,20 7658,60 11525,90 19184,40 5 65834,10 8732,10 10452,30 19184,40 6 55877,90 9956,20 9228,30 19184,40 7 44526,20 11351,80 7832,70 19184,40 8 31583,20 12943,00 6241,50 19184,40 9 16825,90 14757,30 4427,20 19184,40 10 - 16825,90 2358,60 19184,40 Total - 100000 91844,00 191844,00

(105)

SAF com carência

• 3 tipos:

• A) os juros são pagos durante a carência

• B) juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização.

do vencimento da primeira amortização.

• C) Juros capitalizados e acrescidos sobre o saldo devedor gerando um fluxo de amortizaçãoes de maior valor.

• Para melhor compreensão do processo de financiamento vamos resolver um exemplo em Excel.

(106)

Sistemas de Amortização

• Tabela Price Características:

Idêntico ao SAF só havendo uma diferença. Taxa de juros compostos Nominal. (Para o

(107)

Sistemas de Amortização

• Sistema de Amortização Misto (SAM) Características:

(108)

Taxa média

• É a taxa representativa de um conjunto de operações financeiras realizadas.

• Procedimento:

• A) Monte o fluxo de caixa.

• B) Calcule a taxa interna de retorno. Esta taxa é a taxa média.

(109)

Taxa média

• Exemplo 1:

Aplicação Valor da Aplicação

Taxa Mensal Prazo

A $260000,00 3,4% 15 meses B $85000,00 1,8% 5 meses C $100000,00 2,6% 10 meses

• Monte o fluxo de caixa e encontre a taxa média

C $100000,00 2,6% 10 meses Total $445000,00

(110)

Taxa média

• Exemplo 2:

Aplicação Momento da aplicação

Valor da Aplicação Taxa Mensal Prazo

A 0 $70000,00 4,7% 15 meses

B 8 $30000,00 3,0% 7 meses

C 4 $45000,00 4,0% 11 meses

• Monte o fluxo de caixa e encontre a taxa média

C 4 $45000,00 4,0% 11 meses

(111)

Prazo médio

• É o tempo em que é produzida uma única parcela que é equivalente ao fluxo de caixa todo (dado a taxa de juros e o regime de capitalização).

• Procedimento:

A) Encontre a taxa média.

B) Some o valor bruto final de todas as operações B) Some o valor bruto final de todas as operações

consideradas. (VBT)

C) Some o valor presente de todas as operações consideradas. (VPT)

D) Resolva a seguinte equação para n:

(112)

Prazo médio

• Exemplo

• Financiamento no valor de $18000,00 a ser liquidado em 10 prestações mensais de $2147,70 cada uma.

• Determine o prazo médio desta operação. • Determine o prazo médio desta operação.