Dinâmica simbólica, shifts e subshifts de tipo finito.

Dinˆ

amica simb´

olica, shifts e subshifts de tipo

finito.

Pedro C. C. R. Pereira

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

Defini¸c˜

oes

Chamaremos um conjunto finito, A, de alfabeto. Os elementos de A podem ser chamados de s´ımbolos ou letras.

Defini¸c˜ao 1

Um bloco, ou uma palavra, sobre o alfabeto A ´e uma sequˆencia finita de s´ımbolos de A. O comprimento de um bloco ´e o n´umero de s´ımbolos que cont´em.

Defini¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 2

Seja A um alfabeto. O A-shift completo, AZ_{, ´e a cole¸c˜ao de todas}

as sequˆencias bi-infinitas de elementos de A. Al´em disso, sendo r ∈ N, o r -shift completo ´e o A-shift completo com

A = {0, 1, ..., r − 1}.

Defini¸c˜ao 3

A fun¸c˜ao shift sobre AZ _{´e σ : A}Z_{→ A}Z _{definida por}

σ((xi)i ∈Z) = (xi +1)i ∈Z, isto ´e, as coordenadas de x s˜ao

Defini¸c˜

oes

Vamos equipar AZ _{com a topologia produto, considerando que}

cada fator A ´e dotado da topologia discreta. Uma base para essa topologia ´e formada por conjuntos que chamaremos de cilindros, definidos abaixo. Defini¸c˜ao 4 Sejam k ∈ N, n1, n2, ..., nk ∈ Z e e1, e2, ..., ek ∈ A. Um cilindro em AZ_{´e um conjunto da forma} Cn1...nk e1...ek := {x ∈ A Z_{: x} ni = ei, i = 1, 2, ..., k}

Defini¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 5

Um subshift, tamb´em chamado de espa¸co shift, ´e um subconjunto fechado X ⊂ AZ _{invariante sob a fun¸c˜ao shift, σ, e sua inversa.}

Defini¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 6

Seja F uma cole¸c˜ao de blocos de AZ_{. Denotaremos por XF o}

conjunto de sequˆencias de AZ _{que n˜ao contˆem nenhum bloco de}

F .

Proposi¸c˜ao 1

Seja F uma cole¸c˜ao de blocos de AZ_{. Para todo subshift X de}

AZ_{, existe F conjunto de blocos de A}Z _{tal que X = XF.}

Reciprocamente, dado F conjunto de blocos de AZ_{, XF ´e subshift}

Defini¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 7

Um subshift ´e dito subshift de tipo finito se existe F , conjunto finito de blocos de A, tal que X = XF.

Defini¸c˜

oes

Por vezes, ´e mais interessante definir um subshift X n˜ao por seus blocos “proibidos”, como na defini¸c˜ao 6, mas sim por seus blocos “permitidos”, isto ´e, blocos que ocorrem em pontos de X . Dessa ideia, surge o conceito de linguagem de um subshift.

Defini¸c˜ao 8

Seja X ⊂ AZ_{. Seja Bn(X ) o conjunto de todos os blocos de}

comprimento n presentes em elementos de X . A linguagem de X ´e a cole¸c˜ao

B(x) = [

n∈N

Defini¸c˜

oes

Proposi¸c˜ao 2

Se X ´e um subshift e L = B(x ) ´e sua linguagem, ent˜ao, dado w ∈ L, valem:

a. Todo sub-bloco de w pertence a L;

b. Existem blocos n˜ao-vazios u e v tais que a concatena¸c˜ao uwv ∈ L.

Reciprocamente, se L ´e uma cole¸c˜ao de blocos de A, ent˜ao L ´e linguagem de um subshift X somente se satisfaz as propriedades acima.

Defini¸c˜

oes

Proposi¸c˜ao 3

Dois subshifts s˜ao iguais se, e somente se, possuem a mesma linguagem.

Dinˆ

amica simb´

olica

Seja X um subshift sobre o alfabeto A. Como σ ´e homeomorfismo em X , podemos ver (X , σ) como um sistema dinˆamico, que chamaremos de sistema dinˆamico shift. Uma das maiores fontes de interesse nesse tipo de sistema ´e seu uso na representa¸c˜ao de outros sistemas dinˆamicos. Veja (M, φ) como um sistema dinˆamico invert´ıvel.

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Defini¸c˜ao 9

Uma parti¸c˜ao topol´ogica de um espa¸co m´etrico M ´e uma cole¸c˜ao finita, P = {P0, ..., Pr −1}, de abertos disjuntos cujos fechos

satisfazem M = P0∪ · · · ∪ Pr −1.

Agora que dividimos M em um n´umero finito de “peda¸cos”, nomeados P0, P1, ...Pr −1, podemos representar um ponto y ∈ M

se gravarmos em qual “peda¸co”est´a cada itera¸c˜ao φn(y ) atrav´es de uma sequˆencia do r -shift completo.

Dinˆ

amica simb´

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Defini¸c˜ao 10

Seja (M, φ) um sistema dinˆamico invert´ıvel. Um bloco a1a2...an´e

dito permitido para P, φ se

\

j ∈Z+

φ−j(Paj) 6= ∅.

Denotamos por LP,φ a cole¸c˜ao de blocos permitidos para P, φ. Proposi¸c˜ao 4

Dinˆ

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Pela proposi¸c˜ao 3, o subshift cuja linguagem ´e LP,φ ´e ´unico.

Vamos denot´a-lo por XP,φ. O sistema (XP,φ, σ) ´e chamado de

Dinˆ

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olica

Como garantir que a representa¸c˜ao ´e boa, isto ´e, temos apenas uma sequˆencia em XP,φ para cada y ∈ M?

Defini¸c˜ao 11

Seja (M, φ) um sistema dinˆamico invert´ıvel. Uma parti¸c˜ao

topol´ogica P de M fornece uma representa¸c˜ao simb´olica de (M, φ) se, para todo x ∈ XP,φ, a interse¸c˜ao T_n∈NDn(x ) cont´em

Dinˆ

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olica

Defini¸c˜ao 12

Uma parti¸c˜ao topol´ogica P de (M, φ) ´e dita parti¸c˜ao de Markov para (M, φ) se fornece uma representa¸c˜ao simb´olica de (M, φ) e XP,φ ´e subshift de tipo finito.

Exemplo

Analisemos o 2-shift completo AZ _{com A = {0, 1}.} Proposi¸c˜ao 5

O 2-shift completo tem ´orbitas peri´odicas de qualquer per´ıodo. Ele tamb´em possui ´orbitas n˜ao-peri´odicas.

Exemplo

Demonstra¸c˜ao.

Seja T ∈ Z+. Construa um bloco B = a1a2...aT de comprimento

T que n˜ao ´e, por sua vez, uma repeti¸c˜ao de sub-blocos. Ent˜ao, a sequˆencia gerada pela concatena¸c˜ao de infinitos blocos B ´e claramente um elemento de AZ _{de per´ıodo T . Por outro lado, a}

sequˆencia

(...111...0100011011...),

tal que todos os elementos de ind´ıce negativo s˜ao iguais a 1, e a partir do ´ındice 0 ´e composta da concatena¸c˜ao de todos os poss´ıveis blocos de modo que blocos de comprimento maior correspondem sempre a ´ındices maiores ´e um ponto de AZ

A ferradura de Smale

Seja Q = {(x , y ) ∈ R2 : |x | ≤ 1 e |y | ≤ 1}, um quadrado no plano. Considere uma fun¸c˜ao f : Q → R2 satisfazendo `as seguintes propriedades:

a. f ´e difeomorfismo entre Q e a regi˜ao na figura 1 delimitada por A0B0C0D0;

b. Em cada componente P1, P2 de f−1(f (Q) ∩ Q), f ´e fun¸c˜ao

A ferradura de Smale

A ferradura de Smale

Para analisar o comportamento de f conforme repetimos sua aplica¸c˜ao, defina Q(n) recursivamente por Q(1)= Q0∪ Q1 e

Q(n+1)= Q(n)∩ Q para todo n ∈ Z+ _{. Note que cada Q}(n)_´e

uni˜ao de 2n faixas horizontais disjuntas.

Associamos a cada faixa F de Q(n) o bloco k1k2...kn tal que

A ferradura de Smale

A ferradura de Smale

Considere agora Λ+=T∞

n=1Q(n). Esse conjunto ´e o produto de

um intervalo em x por um conjunto de Cantor em y . Cada faixa de Λ+´e representada de maneira ´unica por uma sequˆencia (ki)∞_{i =1}.

A ferradura de Smale

Vamos agora considerar a inversa f−1. Devemos tomar cuidado com o fato de f−1|_Q estar definida apenas em Q(1). Para contornar essa dificuldade, defina Q(0) _{= P}

0∪ P1 e, recursivamente,

Q(−n)= f−1 Q(−(n−1))∩ Q(1)
, n ∈ Z+. (1)

A figura 3 ilustra a atua¸c˜ao de f−1 em Q(0)∩ Q(1) _{para gerar}

A ferradura de Smale

A ferradura de Smale

Cada faixa F em Q(−n) ser´a associada ao bloco k−n... k−1k0

satisfazendo F ⊂ f−n(Pk−n) ∩ ... ∩ f

−1_(P

k−1) ∩ Pk0.

Considere Λ−=T∞

n=0Q(−n). Esse conjunto ´e o produto cartesiano

de um conjunto de Cantor em x com um intervalo em y . Cada faixa de Λ− ´e representanda de maneira ´unica por uma sequˆencia (k−i)0_{i =−∞}.

A ferradura de Smale

A B

C D

A ferradura de Smale

Definimos o importante conjunto

Λ = Λ−∩ Λ+= \

n∈Z

Q(n).

I Λ ´e produto cartesiano de dois conjuntos de Cantor, logo Λ tamb´em ´e um conjunto de Cantor.

I Cada ponto de Λ ´e unicamente determinado por uma faixa de Λ− e uma de Λ+. Podemos associ´a-lo ao elemento

(ki)i ∈Z∈ AZ, concatena¸c˜ao das sequˆencias definidas acima I Reciprocamente, cada (ki)i ∈Z∈ AZ pode ser associado a um

´

A ferradura de Smale

Fica, pois, constru´ıda uma bije¸c˜ao h : AZ_{→ Λ. Duas propriedades:} Proposi¸c˜ao 6

O conjunto Λ ´e invariante por f e por sua inversa.

Proposi¸c˜ao 7

A bije¸c˜ao h : AZ_{→ Λ ´e um homeomorfismo que conjuga}

O teorema de Smale-Birkhoff

Seja f um difeomorfismo de Kupka-Smale numa variedade compacta de dimens˜ao 2. Suponha que x∗ ´e um ponto fixo

hiperb´olico de f , e que Ws_(x

∗) intersecta Wu(x∗)

transversalmente em xt. Como essas s˜ao variedades invariantes,

segue que fk(xt) ∈ Ws(x∗) ∩ Wu(x∗) para todo k ∈ Z. Assim,

temos infinitos pontos de interse¸c˜ao transversal entre as duas variedades, Ws(x∗) e Wu(x∗).

O teorema de Smale-Birkhoff

O teorema de Smale-Birkhoff

Teorema 1

Seja f ∈ Diff1(M) um difeomorfismo Kupka-Smale, e seja xt um

ponto homocl´ınico transversal de um ponto peri´odico x∗ de f .

Ent˜ao, existe um subconjunto fechado Λ de Ω(f ), contendo xt, tal

que:

i. Λ ´e um conjunto de Cantor;

ii. Existe p ∈ Z+ tal que fp(Λ) = Λ;

iii. fp restrita a Λ ´e topologicamente conjugada ao 2-shift completo.

O teorema de Smale-Birkhoff

O teorema de Smale-Birkhoff

References

D. K. Arrowsmith and C. M. Place, An introduction to dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

M. Brin and G. Stuck, Introduction to dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

D. Lind and B. Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

J. Palis, Jr. and W. de Melo, Geometric theory of dynamical systems, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

An introduction, Translated from the Portuguese by A. K. Manning.

S. Smale et al., Differentiable dynamical systems, Bulletin of the American mathematical Society, 73 (1967),