Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Pós Graduação em Engenharia Mecânica
IM458 - Tópicos em Métodos Numéricos: Métodos Numéricos em Mecânica dos Fluidos
Alfredo Hugo Valença Morillo
Modelo físico de um salto de Bungee Jumping
com solução utilizando método de Rounge
Kutta.
CAMPINAS 2015
SUMÁRIO
SUMÁRIO 1 Introdução 1 2 Hipóteses e Modelo 2 2.1 Queda Livre . . . 3 2.2 Movimento Restringido . . . 4 3 Rounge Kutta 63.1 Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis . . . 6 3.2 Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis . . . 7
4 Resultados 8
5 Conclusão 12
1
Introdução
A prática do Bungee Jumping virou comum nos últimos anos, quando A. J. Hackett, um amante por esportes radicais resolveu saltar da Torre Eiffel preso pelo tornozelo à uma corda elás-tica em 1987.
O próprio Hackett desenvolveu a corda para os saltos, mas muito antes disso, já existia a prática deste esporte. Já em 1954, dois jornalistas da revista National Geographic, foram até a ilha de Vanuatu, local onde o esporte era praticado, como uma espécia de ritual local. Nesta ilha, as cordas eram de cipós (HACKETT, 2015).
O Bungee Jumping, que iniciou como um esporte nada segundo, com tornozelos amarrados em cipós, agora é um esporte que preza pela vida do atleta. Para isto, existem modelos para descre-ver o comportamento do elástico sob um salto a enormes alturas.
Este trabalho possui como principal objetivo desenvolver um modelo que descreva a trajetória e velocidade do saltador, e para solucionar a equação diferencial que descreve o problema, será utilizado o método de Runge Kutta.
2
Hipóteses e Modelo
Para desenvolver o modelo, foram assumidas algumas hipóteses, as mais importantes foram:
∘ Modelo em 1 dimensão, o saltador irá percorrer uma trajetória totalmente vertical, foi des-prezado efeito de ventos laterais, e foi considerado a a pessoa cairá verticalmente ao iniciar o salto.
∘ Foi considerado que a corda elástica possui um efeito de amortecimento viscoso, fazendo uma aproximação do coeficiente de amortecimento. Se este efeito fosse desprezado, o salta-dor poderia ficar minutos em movimentos verticais.
∘ Desprezou-se o efeito da massa da corda.
∘ Considerado densidade do ar e do corpo humano como constantes.
∘ Utilizado um modelo já existente para aproximação da área de contato entre o ar e o corpo humano.
∘ O coeficiente de arrasto foi considerado constante para todas as velocidades.
Primeiro passado para o desenvolvimento deste trabalho foi criar uma equação diferencial para descrever o problema. O ponto de partida foi a segunda equação de Newton, que diz:
∑︁
𝐹 = 𝑚𝑐
𝑑𝑦2
𝑑2𝑡 (2.1)
sendo 𝐹 as forças externas, 𝑚𝑐a massa do corpo (pessoa que está saltando), 𝑦 a posição da pessoa
no sistema de coordenadas e 𝑡 o tempo.
Para formulação da equação diferencial, foi considerado dois momentos. O primeiro seria durante a queda livre, ou seja, antes da posição do saltador chegar ao comprimento da corda, neste momento a corda não estará sob tensão, o corpo estará sob queda livre. No segundo momento, existirá efeito da corda, sendo assim, será acrescentado termos ao somatório de forças, neste caso o corpo estará sob queda com movimento restringido.
2.1 Queda Livre
Em um sistema de 1 dimensão, sendo ela a direção vertical. Foi considerado os valores posi-tivos os vetores com direção para cima. Sendo assim, o somatório de foças externas fica:
∑︁
𝐹 = −𝐹𝑝+ 𝐹𝑣+ 𝐹𝑒+ 𝐹𝑑 (2.2)
sendo 𝐹𝑝a força peso que agirá sobre a pessoa, 𝐹𝑣 a força virtual que ocorre devido a separação da
camada limite no fluido (ar), 𝐹𝑒a força de empuxo sobre o corpo e 𝐹𝑑a força de arrasto. Os sinais
adotados para descrever a Eq 2.2 foram adotados para descrever a direção do vetor das forças em relação a direção da coordenada adotada.
Estas forças podem ser descritas da seguinte forma: 𝐹𝑝 = 𝑚𝑐𝑔 𝐹𝑒 = 𝑚𝑓𝑔
𝐹𝑣 = 12𝑚𝑓𝑑𝑦
2
𝑑2𝑡 𝐹𝑑= 12𝑑𝑦𝑑𝑡|𝑑𝑦𝑑𝑡|𝐴𝑐𝜌𝑓𝐶𝑑
(2.3)
onde 𝑚𝑐 é a massa do corpo, 𝑚𝑓 a massa deslocada do fluido, 𝑔 é a aceleração da gravidade, 𝐴𝑐
seria uma aproximação da área superficial de um corpo humano, 𝜌𝑓 é a densidade do fluido e 𝐶𝑑o
coeficiente de arrasto.
Ao analisar-se as equações descritas na Eq. 2.3, encontra-se duas variáveis ainda desconhe-cidas, que seriam 𝐴𝑐e 𝑚𝑓, a segui consta as aproximações adotadas para estes valores.
𝑚𝑓 = 𝜌𝑓𝑚𝜌𝑐𝑐 𝐴𝑐 = 𝑚3600𝑐ℎ𝑐 (2.4)
sendo 𝜌𝑐a densidade aproximada de uma pessoa e ℎ𝑐a altura do saltador.
Este modelo da área superficial do ser humano foi retirado do artigo online escrito por Silva (2015).
Ao unir as equações descritas acima, deve-se ter cuidado no sinal do termo. A Eq. 2.2 nos diz que a força peso possui sinal contrário as demais 3 forças. Porém, deve-se observar que a gravidade
e a posição 𝑦 são vetores que durante queda livre, sempre possuirão valores negativos, pois estão em direção oposta à coordenada adotada. Unindo todas as equações conclui-se que durante a queda livre, a equação diferencial que descreve o problema é:
𝑓1 (︂ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 )︂ = 𝑑𝑦 2 𝑑2𝑡 = 1 𝑚𝑐+ 𝑚𝑐 𝜌𝑓 2𝜌𝑐 [︂(︂ −𝑚𝑐+ 𝑚𝑐 𝜌𝑓 2𝜌𝑐 )︂ 𝑔 +1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑚𝑐ℎ𝑐 3600𝜌𝑓𝐶𝑑 ]︂ (2.5)
Tem-se na Eq. 2.5 uma funçao que depende apenas da velocidade(︀𝑑𝑦𝑑𝑡)︀ e que descreve com-portamento do corpo em queda livre.
2.2 Movimento Restringido
Para o segundo momento, ele terá início ao ser aplicado uma tensão sobre a corda. Do conhe-cimento clássico de vibrações amortecidas, tem-se a seguinte expressão:
𝑚𝑐
𝑑𝑦2 𝑑2𝑡 = 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡 + 𝑘𝑦 = 0 (2.6)
onde 𝑐 é um coeficiente de amortecimento e 𝑘 a rigidez elástica.
Da Eq. 2.6 aproveita-se estes dois termos, e se eles à Eq. 2.5. Isto ocorre pois o soma-tório de forças externas da Eq. 2.2 ganha duas novas ações, provenientes da corda. Concluindo que a função que descreve fica:
𝑓2 (︂ 𝑑𝑦 𝑑𝑡,𝑦 )︂ = 𝑑𝑦 2 𝑑2𝑡 = 1 𝑚𝑐+ 𝑚𝑐 𝜌𝑓 2𝜌𝑐 [︂(︂ −𝑚𝑐+ 𝑚𝑐 𝜌𝑓 2𝜌𝑐 )︂ 𝑔 +1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑚𝑐ℎ𝑐 3600𝜌𝑓𝐶𝑑+ 𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑘(𝑦 + 𝐿) ]︂ (2.7) a 𝑓2, diferente da 𝑓1possui duas variáveis indefinidas. O termo 𝐿 foi adicionado à equação devido
à vibração ocorrer em torno do comprimento da corda.
caso de movimento restringido, esta função é:
𝑓3 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡 (2.8)
3
Rounge Kutta
Para solucionar o modelo apresentado no capítulo 2, será utilizado o método numérico de Rounge Kutta. Este método discretiza a função em passos de tempo (ℎ), repetindo a até um instante pré determinado.
Para o modelo proposto, serão necessários duas formas distintas de resolver por Rounge Kutta, já que a primeira função depende de apenas uma variável e a segunda função depende de duas variáveis.
3.1 Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis
Todas as equações foram adaptadas da apostila escrita por Ismail e Moura (2012).
Segue as equações necessárias para a solução através do método de Rounge Kutta de 4ª ordem:
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛+ℎ6(𝑘1+ 2𝑘2+ 2𝑘3+ 𝑘4)
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛+ ℎ
(3.1) os índices que acompanham as variáveis 𝑣 e 𝑡 representam cada instante do passo. de início eles são pré determinados, dependendo da condição inicial. Para o caso do Bungee Jumping, a condição de contorno é que: 𝑣(𝑡) → 𝑣(0) = 0. sendo assim 𝑣1 = 0 e 𝑡1 = 0.
Seguem abaixo, o que realmente seria a equação de Rounge Kutta, as constantes necessárias para efetuar Eq. 3.1.
𝑘1 = 𝑓1(𝑡𝑛, 𝑣𝑛) 𝑘2 = 𝑓1(︀𝑡𝑛+ℎ2, 𝑣𝑛+ ℎ2𝑘1 )︀ 𝑘3 = 𝑓1(︀𝑡𝑛+ℎ2, 𝑣𝑛+ ℎ2𝑘2 )︀ 𝑘4 = 𝑓1(𝑡𝑛+ ℎ, 𝑣𝑛+ ℎ𝑘3) (3.2)
é a derivada da posição no tempo(︀𝑑𝑦𝑑𝑡)︀. Por este motivo, ao utilizar a Eq. 3.2 deve-se apenas ignorar a parte das equações que dependam de 𝑡.
3.2 Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis
Estas equações, como no caso anterior foram adaptadas da apostila de Ismail e Moura (2012).
Neste caso, a posição depende da velocidade e do tempo, então a condição inicial ficaria da seguinte forma: 𝑦(𝑣,𝑡) → 𝑦(0,0) = 0, com estas informações, já se torna possível utilizar a solução de Rounge Kutta.
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ℎ6(𝑘1+ 2𝑘2+ 2𝑘3+ 𝑘4)
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛+ℎ6(𝑙1+ 2𝑙2+ 2𝑙3+ 𝑙4)
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛+ ℎ
(3.3)
As constantes de Rounge Kutta ficam da seguinte forma: 𝑘1 = 𝑓3(𝑣𝑛) 𝑙1 = 𝑓2(𝑦𝑛, 𝑣𝑛) 𝑘2 = 𝑓3(︀𝑣𝑛+ℎ2𝑙1 )︀ 𝑙2 = 𝑓2(︀𝑦𝑛+ℎ2𝑘1, 𝑣𝑛+ ℎ2𝑙1 )︀ 𝑘3 = 𝑓3(︀𝑣𝑛+ℎ2𝑙2 )︀ 𝑙3 = 𝑓2(︀𝑦𝑛+ℎ2𝑘2, 𝑣𝑛+ ℎ2𝑙2 )︀ 𝑘4 = 𝑓3(𝑣𝑛+ ℎ𝑙3) 𝑙4 = 𝑓2(𝑦𝑛+ ℎ𝑘3, 𝑣𝑛+ ℎ𝑙3) (3.4)
Com estas equações foi possível solucionar o modelo desenvolvido. Segue no próximo capí-tulo os resultados.
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Resultados
Utilizando o Software Matlab, foi desenvolvido um programa para solucionar o modelo apre-sentado no capítulo 2, utilizando o método do capítulo 3.
Em primeiro momento foi definido as diversas variáveis do problema. Segue na tabela abaixo os valores.
Tabela 4.1: Definição das variáveis utilizadas para obtenção dos resultados. Variável Valor Unidade
𝑚𝑐 70 kg 𝜌𝑐 1010 kg/m3 𝜌𝑓 1,204 kg/m3 𝑔 -9,81 m/s2 ℎ𝑐 1,75 m 𝐶𝑑 0,5 -𝐿 15 m 𝑐 12,78 N.s/m 𝑘 300 N/m
Observa-se na Tab. 4.1 que todas as unidades se apresentam no sistema internacional.
Para verificar se modelo de queda livre estava condizente, inicialmente foi testado ele sem limitá-lo pelo comprimento da corda, procurando determinar qual seria a velocidade quase cons-tante que o corpo cairia depois de certo tempo. Consta na Fig. 4.1 o resultado obtido.
Na Fig. 4.1 conclui-se que aconteceu o que era previsto, após um determinado instante de tempo, neste caso, 80 s, a velocidade tendeu a uma quase constante. O valor apresenta-se negativo pois o vetor velocidade está em direção oposta à consideração da coordenada. O valor de aproxi-madamente 250 km/h é condizente com a velocidade máxima que corpo humano alcança em queda livre. Segundo a revista Mundo Estranho da editora Abril, a velocidade máxima de uma pessoa em queda livre é de aproximadamente 245 km/h (MUNDOESTRANHO, 2015)
Após esta verificação, foi limitado que a solução de Rounge Kutta, no primeiro caso, para que fosse interrompido quando 𝑦𝑛alcançasse comprimento da corda (−𝐿), negativo pois os valores de
Figura 4.1: Gráfico da velocidade em função do tempo de um pessoa caindo em queda livre.
O equação que descreve a posição para queda livre, seria a integração dupla no tempo da 𝑓1,
como descrito abaixo.
∫︁ 𝑡
0
∫︁
𝑓1.𝑑𝑡.𝑑𝑡 (4.1)
Porém, para resolver esta integral foi utilizado o método trapezoidal disponibilizado pelo MatLab, onde foi integrado a velocidade em relação ao tempo. Esta integração foi realizada a cada passo de tempo.
Após 𝑦 alcançar módulo equivalente ao comprimento da corda, o modelo passaria para a segunda parte. A solução seria a de movimento restringido, utilizando Rounge Kutta de 3 variáveis.
Figura 4.2: Gráfico da posição em função do tempo em um salto de Bungee Jumping.
Figura 4.3: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping.
Na Fig. 4.2 é possível perceber que 60s são suficientes para o saltador parar no espaço, que seria em 15 m, comprimento da corda. Existe pequeno erro devido a solução ser numérica, este erro
pode ser resolvido diminuindo-se o passo. Em todos os casos deste trabalho foi utilizado um passo de 0,1.
Já no gráfico de velocidade, na Fing. 4.3, como, deveria acontecer, a velocidade fica em 0 após determinado tempo.
Por curiosidade, caso não houvesse sido considerado o amortecimento que a corda natural-mente existe, o arrasto não seria suficiente para parar a corda, sonatural-mente após minutos ou horas. Segue gráfico da velocidade para este caso.
Figura 4.4: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping despre-sando amortecimento da corda.
Observa-se na Fig. 4.4 que levaria muito tempo para velocidade alcançar valores próximos a 0.
5
Conclusão
Neste trabalho é possível perceber a eficiência do método de Rounge Kutta. Os resultados se mostraram condizentes com o que ocorreria em um salto real com os parâmetros adotados.
Interessante observar que a maior dissipação de energia para o caso do Bungee Jumping ocorre devido ao amortecimento da própria corda. porém é interessante considerar efeitos que fluido do meio exerce. Procurando sempre tornar a prática do esporte mais segura possível.
Para trabalhos futuros, poderia ser considerado a variação do coeficiente de arrasto, verifi-cando qual impacto isto traria ao resultado. Também seria interessante considerar efeitos bidimen-sionais, como a interferência do vento no salto e o fator de que o saltador não possui queda inicial em linha perfeitamente vertical.
6
Referências
HACKETT, A.J. History settle in for the story. 2015. Acessado em 03-09-2015. URL: http://www.ajhackett.com/cairns/media/history/the-story/
ISMAIL, K.A.R. e MOURA, L.F.M. Métodos numéricos em mecânica dos fluidos, 2012. Apostila desenvolvida junto à Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP.
MUNDO ESTRANHO. Qual a velocidade máxima que uma pessoa atinge em queda livre? 2015. Revista Mundo Estranho. Editora Abril. Acessado em 28-08-2015.
URL: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/qual-a-velocidade-maxima-que-uma-pessoa-atinge-em-queda-livre
SILVA, M.N.P.D. Área da superfície de um corpo humano. 2015. Brasil Escola. Acessado em 28-08-2015.
