A UTILIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA A ESTIMAÇÃO DA PROCURA DE TRANSPORTES
José M. Viegas (Março 2000)
I - A NECESSIDADE DO RECURSO AOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA A ESTIMAÇÃO DA PROCURA DE TRANSPORTES
As infra-estruturas de transportes começam geralmente por ser construídas para promover a acessibilidade por um dado modo a uma área territorial. Sobretudo quando se tratou, ao longo da História, de promover o povoamento e a capacidade de comunicação fácil dos territórios, com a construção das primeiras estradas (e já no século XIX, com o caminho de ferro), não se colocavam questões de capacidade da infra-estrutura por ser a dimensão mínima de construção claramente suficiente para a procura esperável por muitas décadas.
Foi sobretudo com o crescimento da motorização das famílias que se deram tais crescimentos dos volumes de tráfego que provocaram o levantar da questão “Quantos anos mais pode esta estrada satisfazer o tráfego que por ela quer passar ?”, da qual resulta a necessidade de prever o ritmo de crescimento desses tráfegos, por forma a decidir quando se tornava indispensável realizar as obras de alargamento da estrada ou, mais genericamente, do aumento da sua capacidade.
A resposta a essas questões podia ser geralmente encontrada satisfatoriamente com recurso a um processo gráfico de traçado da curva dos volumes de tráfego (diário ou horário) em anos sucessivos, seguido da projecção “a sentimento” dessa curva por mais uns anos. Conhecendo aproximadamente o fluxo máximo que podia passar por hora naquela estrada, conseguia-se estimar quantos anos mais poderia ela dar resposta satisfatória.
Subjacente a este processo, ainda que porventura sem consciência disso por parte de muitos que o usaram, estão técnicas matemáticas de ajustamento de curvas em geral ou de regressão em particular, que permitem a obtenção de respostas, não só mais rigorosas, mas que contêm ainda uma indicação das margens de erro associadas à previsão feita (no pressuposto da estabilidade das tendências históricas).
Mas a necessidade de recurso a modelos matemáticos surge sobretudo quando temos que nos defrontar com situações mais complexas, nomeadamente quando o problema que se coloca não é do simples crescimento de tráfego numa estrada, única para a ligação pretendida, mas sim o do desenvolvimento dum sistema de transportes cada vez mais complexo e em que os viajantes dispõem de múltiplas alternativas para se deslocarem de um ponto a outro.
Nesses casos, se queremos estimar quantas pessoas irão usar um dado troço de estrada ou uma linha de autocarros, teremos que considerar não só os níveis passados de uso desses elementos (se já existiam) mas também os de todos os outros que de uma forma ou de outra sejam seus sucedâneos para a satisfação das deslocações que por lá passariam.
Defrontamo-nos com o problema de entender as escolhas que as pessoas fazem no domínio da sua mobilidade e contabilizar os fluxos que daí decorrem. Como as pessoas dispõem de escolha livre e os sistemas modernos de transportes lhes oferecem amplos graus de liberdade para essa escolha, o nível de preferência por um ou outro elemento do sistema não pode ser estimado com base apenas no bom senso ou directamente em experiências anteriores de outros sítios, porque as realidades são muito diversas no tempo e no espaço, diferindo não só na quantidade e variedade da oferta de transportes, mas também no que respeita às preferências das pessoas.
Recorre-se por isso à descrição matemática da oferta existente nos vários modos e dos movimentos realizados em cada um deles (o que é relativamente simples recorrendo ao conceito de redes) e das escolhas feitas pelas pessoas (o que é um pouco mais complexo).
O processo de trabalho baseado nos modelos é relativamente simples de descrever:
1 - Observar a realidade e descrevê-la com o detalhe e rigor necessários para a sua representação dos fenómenos em estudo
2 - Desenvolver e validar os modelos matemáticos que permitam compreender o comportamento das pessoas (e outros agentes sociais, nomeadamente as empresas), nomeadamente pela capacidade desses modelos representarem adequadamente as evoluções passadas.
3 - Perante cenários alternativos de intervenção sobre o sistema de transportes, estimar as alterações de comportamento das pessoas no que respeita à sua mobilidade nesse novo contexto
Em todo este trabalho, para além do domínio das técnicas matemáticas envolvidas, é essencial manter um espírito vivo de atenção às motivações das pessoas nas múltiplas escolhas que fazem a propósito da sua mobilidade, e acima de tudo, uma enorme capacidade crítica e um bom-senso permanente que evitem a aceitação precipitada de resultados “convenientes” para ultrapassar um obstáculo no processo de modelação. Quanto mais sofisticada for a matemática envolvida, mais opacos se tornam os processos de inter-acção e mais fácil se torna que um pequeno erro de dados ou de programação possa passar despercebido.
II - MODELOS SIMPLES DE PROJECÇÃO DE SÉRIES DE TRÁFEGOS
Estes modelos são geralmente aplicados à evolução do tráfego num sistema relativamente vasto ou num seu ponto específico, sem que haja questões de repartições desse tráfego a complicar a análise. Casos frequentes de aplicação destes modelos são por ex. a evolução do tráfego aéreo total no país, o total de tráfego rodoviário entre duas regiões, ou o tráfego num dado ponto de contagem duma estrada em particular.
As formulações baseadas na evolução temporal só podem dar respostas satisfatórias quando há apenas que contemplar o crescimento do tráfego, não se colocando portanto questões decorrentes da introdução de novas alternativas, seja de traçado, seja de outros modos de transporte.
Os modelos mais frequentes neste domínio são os de crescimentos linear, exponencial ou logístico. Tirando partido da facilidade de cálculo da regressão linear, os modelos de crescimento exponencial ou logístico são também frequentemente calibrados por recurso à regressão linear, através da logaritmização das suas expressões analíticas. Há no entanto que ter bem claro que os valores óptimos dos parâmetros dos modelos na sua expressão original não são os mesmos que são obtidos com base na expressão logaritmizada. Em alternativa, a facilidade de acesso a instrumentos computacionais incluindo rotinas de optimização (por ex. Excel Solver) permite a aplicação directa do método dos mínimos quadrados sobre os modelos não lineares.
Um outro tipo de modelos é usado frequentemente, sobretudo para estudar a procura de transportes de mercadorias entre um par de regiões e num dado modo, nomeadamente os modelos econométricos em que o transporte dum produto é quantificado através duma expressão matemática que envolve as principais variáveis explicativas desse fluxo, nomeadamente o preço desse produto num e noutro local e o preço e duração do transporte. Sendo um tipo de modelo que permite já uma estimação de procura face a alterações de algumas das variáveis condicionantes, o seu funcionamento correcto exige que todas as variáveis explicativas utilizadas tenham tido, ao longo do período para que se dispõe de dados, uma amplitude de variação não demasiado pequena, por forma a que se possam ter feito sentir no passado repercussões dessas variações sobre a procura total.
III - MODELOS GLOBAIS DE TRANSPORTES
III.1 - MODELOS GLOBAIS AGREGADOS: O MODELO DE 4 PASSOS
Nascidos nos EUA numa época (anos 60) em que se verifica uma considerável expansão económica, traduzida também em construção de novas infra-estruturas - geralmente alternativas a outras
pré-existentes, entretanto congestionadas - os modelos globais agregados de procura de transportes procuram explicar o conjunto das viagens de passageiros realizadas em aglomerações urbanas, com base em variáveis facilmente quantificáveis para cada uma das zonas em que essas aglomerações eram subdivididas.
O caso mais conhecido é o designado modelo de 4 passos:
1 - Geração, em que se estima quantas viagens são iniciadas e/ou concluídas em cada zona, em função do seu uso de solos (tipicamente número de residentes do lado da origem, número de empregos ou área comercial do lado do destino, consoante se trate de viagens casa-trabalho ou casa-compras); 2 - Distribuição, em que se estima como é que as viagens de cada origem se repartem pelos vários
destinos, ou vice-versa. Consoante na fase de geração se tenha conseguido estimar os totais de viagens só num dos seus extremos ou em ambos, assim se utilizam neste segundo passo formulações ligeiramente diferentes do modelo;
3 - Repartição Modal, em que estima como é que as viagens realizadas entre cada par de zonas se repartem pelos diferentes modos disponíveis para essa ligação;
4 - Afectação de Tráfego, em que se calcula quais os caminhos usados pelas viagens realizadas entre um dado par de zonas e num dado modo de transporte, tendo em atenção as redes disponíveis em cada um desses modos e, eventualmente, os seus níveis de congestionamento decorrentes das escolhas dos outros viajantes.
Este modelo gozou de um assinalável sucesso, porque conseguia reduzir a uma cadeia de decisões (e sub-modelos) simples de entender e de programar no computador, o processo de viagens diárias da maior parte das pessoas. Foi por isso usado na maior parte dos Planos de Transportes das grandes cidades de todo o mundo ao longo das décadas de 60 e 70 (e ainda em boa parte dos anos 80).
Porém, para além das questões específicas aos conceitos usados e ao desempenho de cada um dos sub-modelos (para além do âmbito deste documento), várias fraquezas foram sendo apontadas a esta abordagem, boa parte das quais sem resposta ou adaptação satisfatória:
a) Quando se passa ao trabalho mais próximo da expressão matemática verificamos que o sub-modelo de distribuição (2º passo) usa valores de tempos de viagem entre pares de zonas - que claramente podem depender do modo escolhido - mas a escolha modal só aparece no 3º passo. A inversão desta ordem também não ajuda porque a escolha do modo de viagem a partir de uma dada zona depende da zona de destino dessa viagem. Esta dificuldade acaba por ser ultrapassável com formulações mais recentes em que a escolha de destino (distribuição) e de modo (repartição modal) são consideradas num passo único
b) Subjacente a este modelo está o paradigma de que as nossas viagens diárias são objecto de decisões independentes. Isto só é verdade quando se trata de pessoas que se limitam a duas viagens por dia, sendo a segunda o regresso a casa depois da primeira. Esta hipótese é correcta quando está em jogo a deslocação casa-trabalho ou casa-compras para quem não trabalha fora de casa, mas aplica-se a cada vez menos pessoas. A modelação de cadeias de múltiplas viagens ao longo de um dia está totalmente fora das capacidades deste tipo de modelo.
c) O modelo não inclui qualquer componente que permita reflectir as escolhas que as pessoas fazem quanto à hora a que se deslocam para determinada actividade. Se para algumas actividades a liberdade de escolha da hora de deslocação é muito diminuta, para outras não o é certamente, e também aqui este modelo reflecte o facto de ter sido concebido para estimar sobretudo fluxos casa-trabalho (em hora de ponta).
d) Ainda que se possam abordar nos primeiros três passos separadamente as pessoas que dispõem de carro e as que dele não dispõem (já que claramente os seus domínios de escolha modal são muito diferentes), este modelo também não permite considerar a influência que as actividades dos vários membros de uma família exercem sobre os padrões de mobilidade de cada um deles: desde o levar ou buscar as crianças ao colégio, até ao carro único da família que pode ser uns dias usado por um dos adultos e noutros dias por outro, em função do programa de actividades de cada um.
Perante a incapacidade de resposta adequada a estas questões, o uso deste modelo foi caindo em desuso, havendo ainda no entanto muitas circunstâncias em que é usado. As razões para tal são duas antes do mais: facilidade em encontrar “packages” informáticos a baixo custo para a sua corrida, e menor exigência em dados que os modelos globais desagregados que, todos reconhecem, estão em condições de produzir respostas mais satisfatórias.
III.2 - MODELOS GLOBAIS DESAGREGADOS
Desde a década de 70 foram sendo produzidas, para além das críticas aos modelos agregados e nomeadamente ao modelo de 4 passos, propostas de modelação alternativas que procuravam dar resposta às principais lacunas e deficiências daqueles modelos. De entre estas, e em primeira linha, a consideração explícita da influência do agregado familiar e das características do indivíduo, bem como a consideração conjunta de toda a cadeia de viagens realizadas por uma pessoa ao longo do dia. Estes modelos são chamados desagregados porque, em vez de considerarem cada zona como um todo, desagregam os seus habitantes por “grupos sociais”, correspondentes aos vários tipos de enquadramento da mobilidade que aí foram encontrados. As variáveis principais para a delimitação desses grupos sociais são relacionadas com a composição das famílias, nível de motorização e situação profissional.
Começando por desenvolver e aperfeiçoar sub-modelos das escolhas que cada pessoa realiza perante um conjunto discreto de alternativas (sejam elas de destinos, modos, horas do dia, etc.), foi-se caminhando para um processo de modelização das viagens numa aglomeração urbana, tendo em conta as interacções entre as várias pessoas da mesma família e entre as viagens da mesma pessoa ao longo do dia.
Estes modelos têm a sua principal fraqueza no factor que constitui também a sua principal força: a muito maior quantidade e variedade de informação em que se baseiam. Essa informação diz respeito não só ao conjunto de viagens efectuadas pelas pessoas inquiridas mas também ao enquadramento sócio-económico dessas pessoas, nomeadamente composição do aglomerado familiar e sua disponibilidade de veículos automóveis, situações profissionais, etc.
Ou seja, há que dispor de informação que permita o enquadramento correcto e tanto quanto possível completo das decisões relativas à mobilidade de cada pessoa. Uma vez reunida tal informação, é certamente possível obter uma maior qualidade na reprodução / explicação do conjunto de viagens realizadas. Mas é também muito mais caro (e portanto mais raro) dispor dessa informação, reunida de forma coerente e estatisticamente significativa para os grandes aglomerados urbanos.
Quando tal acontece, o modelo funciona por geração sucessiva (processo de Monte-Carlo) de famílias e pessoas para cada zona de residência, sendo para cada pessoa gerada uma cadeia diária de viagens (de acordo com a distribuição de tipos de cadeias para as pessoas desse “grupo social”), a que se segue a aplicação sucessiva de modelos de escolha discreta para cada uma das viagens, com as respectivas probabilidades sempre condicionadas pelas decisões anteriores e pelas obrigações posteriores (aspectos das viagens consecutivas para os quais já não há escolha).
Mantém-se, naturalmente, a necessidade de correr de forma agregada o processo de afectação de tráfego, já que as suas condicionantes são largamente dependentes das escolhas conjugadas de todos os cidadãos viajando à mesma hora.
Dada a natureza do processo, e para além dos elevados custos de recolha da informação de base, duas críticas se podem fazer à aplicabilidade destes modelos:
a) Ainda que seja possível obter estimativas das margens de incerteza na estimação de cada um dos parâmetros dos modelos de escolha discreta utilizados, é muito mais difícil estimar as margens de erro das estimativas produzidas a nível dos resultados agregados.
b) Porque o processo de decisão é modelado de forma muito mais pormenorizada, é muito mais problemática a transposição de processos de decisão (ou de parâmetros) de uma cidade para outra. A extensão deste mesmo argumento leva a que se possa também considerar mais problemática a transposição dos processos ou parâmetros de um cidade hoje para essa mesma cidade de aqui a dez ou quinze anos. Mas esse é o objectivo principal da utilização dos modelos de estimação da procura...
III.3 - PROCESSOS DE CALIBRAÇÃO DE PARÂMETROS E DE VALIDAÇÃO DOS MODELOS GLOBAIS
Qualquer que seja o modelo matemático utilizado para a estimação de procura de transportes, ele deverá conter parâmetros que permitem o ajuste das expressões genéricas do modelo às circunstâncias particulares do caso estudado.
A operação de calibração dos parâmetros do modelo para uma sua aplicação concreta tem precisamente o objectivo de obter o melhor ajuste possível entre a realidade observada e a sua imagem produzida pelo modelo. Sempre que possível as estimativas dos valores dos parâmetros são produzidas com base no princípio da máxima verosimilhança, mas quando a expressão matemática é demasiado complexa ou se trabalha com uma série de modelos encadeados, recorre-se à estimação dos valores óptimos dos parâmetros pelo princípio dos mínimos quadrados, ou seja, procuram-se os valores dos parâmetros que minimizem a soma dos quadrados dos desvios entre os fluxos observados e os estimados pelo modelo.
Há que evitar a parametrização excessiva dos modelos que se constroem, já que a introdução de mais parâmetros diminui os graus de liberdade remanescentes do modelo, o qual passa a reproduzir cada vez melhor a amostra que se observou, mas não o sistema estocástico de que ela resultou. A consequência desta parametrização crescente é o forte aumento da dimensão dos intervalos de confiança das estimativas produzidas, e portanto uma menor confiança nos resultados que se podem obter com o modelo.
Mas para além da calibração dos parâmetros, há que proceder à validação do modelo. Esta não pode ser feita sem aquela operação, mas não se reduz a ela. Consiste em avaliar se o modelo produzido parece adequado ou não para a operação de estimação pretendida, o que naturalmente passa pela análise da qualidade do ajuste desse modelo à realidade presente - medida na fase de calibração - mas inclui também nomeadamente os seguintes testes:
1- análise da sensibilidade dos resultados do modelo a pequenas variações de algum dos parâmetros tomado como constante;
2 - viabilidade de produzir projecções com pequeno erro das variáveis explicativas, da situação actual para a situação em que se pretendem estimar os tráfegos;
3 - aceitabilidade do princípio de que os mecanismos de escolha expressos pelo modelo, considerados como correctos na situação actual, serão idênticos no futuro, não só no que respeita às variáveis explicativas, mas também ao peso da sua influência (parâmetros do modelo)
Só após a passagem satisfatória do modelo construído por estes testes - numérico o primeiro, de análise lógica os dois restantes - se poderá proceder à sua aplicação de acordo com o esquema seguinte.
Note-se que com a aplicação dos modelos globais pretende-se, para além da descrição sistemática do sistema de transportes em estudo, estar em condições de avaliar um conjunto de alternativas de intervenção sobre a oferta desse sistema (que funcionam como inputs do modelo) através das consequências dessas intervenções sobre o desempenho do sistema (outputs).
Chama-se a atenção para o facto que este processo de modelação e aplicação do modelo conduz a considerar óptimas as decisões que reforçam / satisfazem os mecanismos comportamentais dominantes na situação que esteve na base da calibração e validação do modelo, como tem sido manifestamente o caso relativamente às sucessivas decisões em favor da mobilidade urbana em transporte individual (diz-se por isso que a aplicação do modelo cria um feed-back positivo sobre o próprio sistema modelado).
III - MODELOS DIFERENCIAIS
Enquanto os modelos globais acima apresentados, agregados ou desagregados, começam por procurar explicar satisfatoriamente a situação presente, extrapolando depois esse mecanismo de explicação para um cenário futuro, os modelos diferenciais tomam a situação presente como um dado do problema, pretendendo apenas modelar os mecanismos de alteração dos comportamentos no que respeita à mobilidade.
MODELO NO FUTURO TRÁFEGOS Observados Parâmetros Actuais Calibração Parâmetros Futuros TRÁFEGOS Estimados Actuais TRÁFEGOS Estimados Futuros MODELO NO PRESENTE ESQUEMA GERAL DOS MODELOS GLOBAIS
DE SISTEMAS DE TRANSPORTES 1 2 3 4 Testes de Validação: 2 3 4
Ajuste de Calibração para a situação actual Fiabilidade na projecção das variáveis explicativas Fiabilidade na projecção dos parâmetros
Estabilidade estrutural do modelo JMV / Out. 98
1
Variáveis Explicativas Actuais
SOCIEDADE
Variáveis Explicativas Actuais
OFERTA TRANSPORTES
Variáveis Explicativas Projectadas
SOCIEDADE
Variáveis Explicativas em Avaliação
OFERTA TRANSPORTES
Desempenho Estimado
Para a compreensão desses mecanismos de alteração dos comportamentos, duas abordagens são possíveis: os métodos de preferência revelada - em que se observa a repartição das escolhas face a ofertas concorrentes (já existentes) de características diferenciadas, ou as alterações de comportamento face a alterações reais das condições envolventes (preços ou outras) - e os métodos de preferência declarada - em que se pergunta às pessoas como alterariam o seu comportamento se numa situação futura se verificassem determinadas alterações das condições envolventes.
A forma dos modelos diferenciais é geralmente muito simples, baseada no conceito de elasticidade (variação relativa de uma variável dependente devida às variações relativas de uma ou mais variáveis explicativas), ou no conceito de utilidade estocástica (em que a cada alternativa corresponde um certo nível de utilidade para os seus utilizadores, variável consoante as preferências destes e o próprio desempenho aleatório dos sistemas.
Trata-se no essencial de modelos de previsão de alterações de procura a curto prazo, que pretendem apenas contemplar a reacção às diferenças de estímulo, e não a subjacente evolução de longo prazo dos sistemas.
Para além desta limitação, as dificuldades de aplicação destes modelos diferenciais têm mais a ver com a estimação dos parâmetros que com a construção dos modelos propriamente ditos.
Quando se usa o método de preferência revelada as principais dificuldades são as seguintes:
a) Há que manter atenção ao que se vai passando nos sistemas de transportes em todo o mundo, procurando saber se estão a ser feitas alterações semelhantes a alguma(s) que se pretendam contemplar no nosso caso. Mas podem não ter sido realizadas alterações semelhantes às que se pretendam introduzir (alguma cidade é a primeira a introduzir novas regras ou sistemas) ou, tendo havido essas experiências, podem não estar disponíveis os dados antes / depois necessários para se poderem fazer as análises.
b) As transposições de resultados (elasticidades neste caso) de um país ou região para outro devem ser feitas com algum cuidado, dada a influência que múltiplos factores culturais e sociais têm sobre a forma de reacção das pessoas.
Quando se usa o método de preferência declarada as principais dificuldades são as seguintes:
a) É muito difícil fornecer à pessoa entrevistada (sem correr o risco de a saturar) uma descrição plenamente eficaz das alterações previstas (por exemplo decorrentes da introdução de um novo modo de transporte ou de um novo regime tarifário) - o que implica que a pessoa se coloque para
essa resposta num referencial diferente daquele em que estará realmente no futuro quando tiver de optar.
b) Frequentemente os inquiridos praticam a denominada resposta estratégica, isto é, respondem da forma que maximize a probabilidade de que não se concretizem as alterações que lhes eram desfavoráveis - por exemplo aumentos de preços - ou de que se concretizem alterações que só lhes trazem aumentos de graus de liberdade nas suas escolhas futuras - por exemplo introdução de novos modos de transporte (ainda que sem qualquer expectativa real de utilização). Há por isso que colocar as perguntas por forma que os inquiridos se vejam em sucessivos cenários futuros, sem possibilidade de identificar claramente qual aquele que está a ser testado como possibilidade principal.
Quanto à calibração dos parâmetros destes modelos e à sua validação, a simplicidade conceptual encontra tradução na expressão analítica, sendo portanto simples a calibração dos parâmetros com base nas alterações de comportamento observadas ou declaradas. Num ou noutro caso, é relativamente simples chegar ao cálculo de intervalos de confiança desses estimadores dos parâmetros, e portanto a uma medida da capacidade do modelo em reproduzir essas mudanças.
No entanto, é essa mesma simplicidade conceptual dos modelos que pode colocar maiores dificuldades à sua validação: deverá sempre ser questionado se as reacções observadas / declaradas o foram àquele nível porque uma terceira variável não se alterou no espectro de situações analisadas na calibração (e por isso não pode ser incluída no modelo). Essa mesma terceira variável poderá vir a sofrer alterações no futuro e influenciar talvez fortemente as variações da variável dependente, num sentido e/ou escala diferentes do que seria a sua evolução apenas sujeita à influência da variável explicativa considerada.
Neste domínio, o principal auxílio deverá vir do acompanhamento das evoluções de sistemas semelhantes noutros países ou regiões, procurando estar a par do que tenham sido as variáveis em cada caso detectadas como relevantes para explicar as alterações de comportamentos.
