8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECÂNICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

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8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR

EM AMOSTRAS AQUECIDAS POR PLASMA

Belisio A. S.1, Alves Jr. C. 2, Lima J.A.2 1

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM

Av. Senador Salgado Filho, sn – Lagoa Nova Natal, RN – 59072-970

1

abelisio@yahoo.com.br

2

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM

Departamento de Engenharia Mecânica – DEM Av. Senador Salgado Filho, sn – Lagoa Nova

Natal, RN – 59072-970 2 alvesjr@dem.ufrn.br 2 jalima@dem.ufrn.br RESUMO

Tendo em vista a grande importância tecnológica do processamento de materiais por plasma, tais como nitretação por plasma, deposição de filmes finos, dentre outros, e da necessidade de se caracterizar com maior grau de detalhamento os fenômenos de transferência de calor que ocorrem nesses processos, pois, na nitretação por plasma, particularmente, a temperatura é uma das principais variáveis na definição da espessura e composição das camadas nitretadas, o presente trabalho trata da simulação numérica dos processos de aquecimento e resfriamento de amostras metálicas durante esse tipo de tratamento. Dois modelos computacionais, baseados no método dos volumes finitos, foram desenvolvidos: um modelo unidimensional, empregado na simulação de configuração de catodo planar, e um modelo mais geral, bidimensional, em que tanto o efeito de catodo planar quanto o de catodo oco podem ser simulados. Visando uma generalização dos códigos computacionais, a modelagem matemática da transferência de calor nas amostras é efetuada levando em consideração que as propriedades termofisicas são funções da temperatura. Em função dos resultados obtidos, apoiados e validados experimentalmente por outros trabalhos disponibilizados na literatura, tais modelos computacionais servirão como uma ferramenta na previsão das propriedades finais das amostras tratadas, bem como na especificação dos parâmetros característicos do processo de nitretação por plasma.

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___________________________________ 1- INTRODUÇÃO

O processamento de materiais por plasma tem crescido bastante nos últimos tempos em diversas aplicações tecnológicas, mais especificamente no tratamento de superfícies [1-2]. Um dos processos em destaque é o tratamento termoquímico realizado na nitretação, o qual é amplamente utilizado na melhoria das propriedades químicas, físicas e mecânicas dos materiais empregados na fabricação de máquinas e componentes mecânicos, visando, assim, o aumento da sua vida útil. O processo de nitretação cresceu em todos os setores da indústria, sobretudo no que diz respeito à minimização dos efeitos do desgaste causado pelo atrito (desgaste por deslizamento), pois é sabido que componentes metálicos falham na maioria das vezes não devido a fraturas, mas por perda de dimensão e, conseqüentemente, de funcionalidade.

O presente trabalho objetiva estudar e analisar a distribuição de temperatura em amostras metálicas de sólidos imersos em plasma, considerando vários fatores intrínsecos apontados na literatura sobre esse processo de aquecimento. Assim, foram desenvolvidos dois códigos computacionais (um modelo unidimensional e outro modelo bidimensional), na linguagem Fortran 90, destinados à simulação da transferência de calor durante as fases de aquecimento e resfriamento do processo de nitretação à plasma, considerando-se duas configurações de catodo (oco e planar). Tais modelos computacionais servirão como ferramenta na previsão das propriedades finais das amostras tratadas, bem como na especificação dos parâmetros do processo de nitretação à plasma. Em todos os modelos desenvolvidos considerou-se que as propriedades físicas das amostras (massa específica, calor específico e condutividade térmica) eram variáveis, funções do campo de temperatura.

2- MODELAGEM E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA

Considerando-se que a principal diferença, no que diz respeito aos efeitos térmicos, entre o tratamento convencional de nitretação e o tratamento à plasma está na forma de interação entre o plasma e a superfície tratada, sendo o bombardeamento de partículas a principal causa para o seu intenso aquecimento, dois modelos matemáticos foram sugeridos para se analisar a transferência de calor de um sólido imerso em um ambiente de plasma.

O primeiro modelo (um modelo unidimensional) foi desenvolvido com o intuito de ser empregado apenas na simulação de catodo planar, uma vez que é nessa situação (e/ou para amostras de baixas razões de aspecto) que o fluxo de calor ocorre apenas na direção axial da amostra. Para se inserir o efeito de catodo oco na simulação, ou para se analisar a transferência de calor em amostras com razões de aspecto elevadas, foi desenvolvido um segundo modelo computacional no qual se pode adicionar um fluxo de calor lateral típico como forma de modelar o efeito do bombardeamento lateral gerado pelo catodo oco. Devido à possibilidade de se analisar a situação unidimensional através do modelo bidimensional (Fig. 1), utilizou-se desta configuração para ilustrar as duas análises.

L1 Amostra 1 in T Q& 1 out T Q& 1 out B Q& _z d1 1 out L Q& 1 _ in L OCO Q& h d2 Cilindro Oco r

Figura 1: Desenho esquemático do modelo bidimensional considerando-se o efeito catodo oco.

O modelo bidimensional considera que, em função de uma razão de aspecto (espessura/diâmetro) grande e/ou da superfície lateral influenciar no balanço energético, a transferência de calor pode acontecer tanto axialmente quanto radialmente. O efeito catodo oco pode ser simulado pela introdução de um fluxo de calor radial de bombardeamento, Q&_{in L OCO}_{1 _} , e de um fluxo de saída lateral, Q&_{out L}₁ . Os resultados para modelo unidimensional podem ser obtidos bastando fazer Q&_{in L OCO}_{1 _} =Q&_{out L}₁ =0. A configuração de catodo planar é obtida fazendo-se Q&_{in L OCO}_{1 _} =0.

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Dessa forma, são simulados gradientes longitudinais e radiais de calor, caracterizando um modelo bidimensional transiente nas coordenadas (r,z,t), o qual pode ser descrito pela seguinte equação diferencial [3]:

( ) ( ) (

1

)

( ) (

1

)

( ) (

1

)

1 1 1 1 , , 1 , , , , p T r z t T r z t T r z t T c T rk T k T t r r r z z ρ ∂ = ∂ ⎡_⎢ ∂ ⎤_⎥+ ∂ ⎡_⎢ ∂ ⎤_⎥ ∂ ∂ _⎣ ∂ _⎦ ∂ _⎣ ∂ _⎦ ; 1 1 0 , 0 0 r R t z L < < ⎫ > ⎬ < < _⎭ (1.0)

A qual é submetida à condição inicial:

(

)

1 1 1 0 , , 0 ; 0, 0 ini r R T r z T t z L ≤ ≤ ⎧ = = _{⎨ ≤ ≤} ⎩ (1.1) E às condições de contorno:

(

)

1 1 0 , , 0 r T r z t k r ₌ ∂ − = ∂ ; 1 0 , 0 0 r t z L = ⎫ _> ⎬ ≤ ≤ _⎭ (1.2)

(

)

1 _ 1 1 1 1 1 , , in L O out L L r O R C Q Q T r z t k r ₌ A − ∂ − = ∂ & & ; 1 1 , 0 0 r R t z L = ⎫ > ⎬ ≤ ≤ _⎭ (1.3

(

)

1 1 1 1 1 0 1 0 , , ; , 0 0 ut T nT o z i z T r z t Q k t r R A Q z ₌ = ∂ − ⎫ − _∂ = _{≤ ≤} ⎬ > ⎭ & & _(1.4)

(

)

1 1 1 1 1 , , _{out B} z L T r z t Q k z ₌ A ∂ − = ∂ & ; 1 1 , 0 0 z L t r R = ⎫ > ⎬ ≤ ≤ _⎭ (1.5) De acordo com as equações, deverão ser especificados dois termos de energia incidente, um em que a

incidência é direta sobre a área da seção transversal, Q&_{in T}₁ , e o outro em que a incidência é indireta sobre a superfície lateral da amostra (efeito catodo oco), Q&_{in L OCO}_{1 _} . Também, além das perdas de calor na superfície superior, Q&_{out T}₁ , e na superfície inferior, Q&_{out B}₁ , pode-se avaliar a influência das perdas de calor na superfície lateral da amostra, Q&_{out L}₁ .

Segundo Kersten et al. [4], o fluxo de calor incidente sobre a superfície superior, Q&_inT₁, deve levar em conta o ganho de energia devido aos efeitos da radiação da fonte de plasma, Q&_rad, dos transportadores de carga (elétrons e íons), Q&_ch, das espécies neutras, Q&_n, e de outras fontes externas, Q&_{ext T}₁ . Ou seja:

1 1 1 0 ; , 0 0 in T rad ch n ext T z Q Q Q Q Q t r R = ⎫ = + + + _{≤ ≤} ⎬ > ⎭

& & & & & (1.6)

(

)

4 4

1 1 1 0, ,

rad rad rad

Q& =σA⎡_⎣ε T −εT r t ⎤_⎦

(1.7)

Q&ch=A j E1⎣⎡ i

(

ion+δe V0 bias+δe V0 i

)

+j Ee e⎤⎦

(1.8) 1 A n dep n N Q A R E M ρ = & (1.9) Enquanto que as perdas na mesma superfície, Q&_{out T}₁ , ocorrem pela radiação e convecção entre a superfície da

amostra e o plasma, Q&_rad e Q&_conv, bem como pela condução através do gás, Q&_cond:

1

1 0

; , 0

0

out T rad cond conv

z Q Q Q Q t r R = ⎫ = + + _{≤ ≤} ⎬ > ⎭

& & & & (1.10)

(

)

4 4

1 1 1 0, ,

rad amb amb

Q& =σA⎡_⎣εT r t −ε T ⎤_⎦ (1.11) Q&conv=h A T1⎡⎣1

(

0, ,r t

)

−Tg⎤⎦ (1.12) Q&cond =α χP A T1⎡⎣1

(

0, ,r t

)

−Tg⎤⎦ (1.13)

(4)

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Na superfície inferior, novamente, foi assumido que ocorrem perdas de calor pela radiação e convecção entre a amostra e o ambiente da câmara de plasma e por condução no gás:

1 1

1

; , 0

0

out B rad cond conv

z L Q Q Q Q t r R = ⎫ = + + _{≤ ≤} ⎬ > ⎭

& & & & (1.14)

4

(

)

4

1 1 1 1, ,

rad amb amb

Q& =σA⎡_⎣εT L r t −ε T ⎤_⎦ (1.15)

Q&conv=h A T L r t₁⎡⎣₁

(

₁, ,

)

−Tamb⎤⎦ (1.16)

Q&cond=α χP A T L r t₁⎡⎣₁

(

₁, ,

)

−Tamb⎤⎦ (1.17)

Agora, diferentemente de um modelo unidimensional, as laterais da amostra passam a influenciar no balanço de energia, através dos mesmos mecanismos de ganho e perda:

1

1 _ 1

1

; , 0

0

in L OCO rad ch n ext L

r R Q Q Q Q Q t z L = ⎫ = + + + _⎬ > ≤ ≤ _⎭

& & & & & (1.18)

(

)

4 4

1 1 1 , 1,

rad L rad rad

Q& =σA ⎡_⎣ε T −εT z R t ⎤_⎦ (1.19)

(

)

1 0 0 ch L i ion bias i e e Q& =A ⎡_⎣j E +δe V +δe V +j E⎤_⎦ (1.20) 1 A n L dep n N Q A R E M ρ = & (1.21) 1 1 1 ; , 0 0

out L rad cond conv

r R Q Q Q Q t z L = ⎫ = + + _{≤ ≤} ⎬ > ⎭

& & & & (1.22)

(

)

4 4

1 1 1 , 1,

rad L amb amb

Q& =σA ⎡_⎣εT z R t −ε T ⎤_⎦ (1.23)

(

)

1 1 , 1, cond L g Q& =α χP A ⎡_⎣T z R t −T ⎤_⎦ (1.24)

(

)

1 1 1 , 1, conv L L g Q& =h A ⎡_⎣T z R t −T ⎤_⎦ (1.25) Como um primeiro passo para a validação dos códigos computacionais desenvolvidos, uma rigorosa

especificação das diversas parcelas que caracterizam os fluxos de ganho e perda de calor (a caracterização térmica da montagem experimental do plasma) pode ser evitada fazendo-se uso de dados experimentais globais de temperatura dos processos de aquecimento/ resfriamento em amostras. Por essa via, de acordo com Kersten et al. [4], o ganho de calor total que incide sobre uma amostra pode ser obtido a partir da medição da taxa de aquecimento da superfície bombardeada da amostra no instante inicial (balanço de energia no instante t = 0):

. 0 S in S S S S t dT Q L A c dt ρ = = (1.26) De maneira simplificada e alternativamente, o ganho de calor obtido experimentalmente, Q&_in, deve ser dividido entre

as parcelas Q&_{in T}₁ e 1 _ in L OCO

Q& , enquanto que a perda de calor experimental Q&_outdeverá ser dividida entre as parcelas 1

out T

Q& , Q&_{out L}₁ e Q&_{out B}₁ , na situação mais geral. Sugere-se, por enquanto, que as relações entre as áreas das superfícies, tanto de ganho quanto de perda de calor, sejam parâmetros indicativos para essas decisões, numa configuração de catodo planar, em conjunção com a razão altura/diâmetro do cilindro oco, na configuração catodo oco. Posteriormente, uma melhor caracterização dos coeficientes de transferência de calor deve ser efetuada.

3 - RESULTADOS

Com o intuito de se analisar a influência das discretizações espacial e temporal sobre o campo de temperatura das amostras, bem como validar os resultados produzidos pelo presente trabalho, foram simulados duas situações unidimensionais experimentais na configuração catodo planar desenvolvidas por Kersten et al. [4] e uma situação

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bidimensional de catodo oco desenvolvida experimentalmente por Souza Jr. et al. [5]. Nesses trabalhos, os autores buscavam analisar a evolução da temperatura da superfície (aquecimento/resfriamento) de uma amostra de alumínio em um processo de limpeza por plasma de um filme de lubrificante sobre a sua superfície da amostra, e a evolução da temperatura da superfície de uma amostra de cobre durante o processo de sinterização, respectivamente. Os principais parâmetros referentes aos dados experimentais de cada trabalho, bem como o fluxo de calor incidente sobre as respectivas amostras, obtido a partir da Eq. (1.26), estão sintetizados na Tabela 1.

Tabela 1: Parâmetros de entrada para simulação dos experimentos de Kersten et al. [4] e Souza Jr. et al. [5]

Parâmetro Kersten et al. [4]: Aquecimento

Kersten et al. [4]:

Aquecimento/Resfrimento Souza Jr. et al. [5]

TH=Tini [K] 298,15 295,65 370,91 k [W/mK] 5,0182×10-2 2,7×10-1 386 ρ [kg/m3_] _{2.700 2.700 8.954} cp [J/kgK] 920 920 383,1 L1 [m] 0,002 0,002 0,006 A1 [m2_] 25,0×10-4 25,0×10-4 78,5×10-6 1 in Q& [J/s] 3,56391 4,498309 9,8297

As Figuras (2.a) e (2.b) ilustram a comparação entre os resultados produzidos para a temperatura média (Tb)

pelo presente trabalho e os resultados experimentais e analíticos de Kersten et al. [4] para a temperatura na superfície da amostra (Ts). A expressão analítica para a temperatura da superfície da amostra desenvolvida por Kersten et al. [4]

era a solução da equação que representa um balanço global de energia sobre a amostra, a qual é dada por:

( )

. 1 2 1 1 1 exp S H in p L k T t T Q t k A L cρ ⎡ ⎛ ⎞⎤ = + ⎢ − ⎜_⎜− ⎟_⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ (1.27)

Em adição, para que os resultados obtidos pelos modelos, os quais consideraram condições de contorno do terceiro tipo, fossem reproduzidos sob as mesmas condições dos dados experimentais, foi avaliado um coeficiente convectivo de transferência de calor equivalente, levando-se em conta as duas áreas superficiais da amostra, isto é, fez-se h = h1L = 0,5×k/L1. 0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 0 20 40 60 80 100 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L₁

Kersten et al. [4]: Experimental Kersten et al. [4]: Eq. (1.27)

NZ = 3, Δt = 0,1s NZ = 21, Δt = 0,1s NZ = 21, Δt = 0,01s Presente Trabalho: Tb(t) 0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 10 20 30 40 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L1

Kersten et al. [4]: Experimental Kersten et al. [4]: Eq. (1.27)

NZ = 3, Δt = 0,1s NZ = 21, Δt = 0,1s NZ = 21, Δt = 0,01s

Presente Trabalho: Tb(t)

(a) (b)

Figura 2: Comparação com Kersten et al. [4] e análise de convergência para a temperatura média das amostras.

Como era de se esperar para um modelo unidimensional, os resultados obtidos pela presente metodologia numérica (a qual conserva os fluxos de calor nos volumes discretos) reproduzem a solução analítica de capacitância global dada pela Eq. (1.27) acima. Também, em termos de malha computacional, nenhum efeito de discretização é notado nas curvas numéricas (NZ = 3 e Δt = 0,1s; NZ = 21 e Δt = 0,1s; NZ = 21 e Δt = 0,01s).

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Para ilustrar a distribuição de temperatura ao longo da amostra, as Figuras (3.a) e (3.b) mostram a evolução da temperatura em três pontos distintos ao longo do seu eixo, a saber, a temperatura na superfície da amostra, T1, a

temperatura no centro da amostra, TNZ/2 e a temperatura na superfície inferior da amostra, TNZ.

0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 0 40 80 120 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L₁

Kersten et al. [4]: Experimental

Presente Trabalho: T1 Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: T_NZ 0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 10 20 30 40 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L1

Presente Trabalho: T₁ Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: TNZ

(a) (b)

Figura 3: Comparação com Kersten et al. [4] e análise da temperatura em 3 pontos ao longo do eixo das amostras.

Conforme se pode inferir destas figuras e se confirmar a partir das Figuras (4.a) e (4.b), a temperatura no centro da amostra, TNZ/2, é uma boa representação da temperatura média da amostra Tb, e, desta forma, a temperatura

reportada por Kersten et al.[4] corresponde à temperatura média da amostra e não a da sua superfície. Esta observação será de maior interesse quando se estiver comparando situações em que um modelo de capacitância global não puder ser adotado para os processos de aquecimento e resfriamento.

0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 0 20 40 60 80 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L₁

Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: Tb

0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 10 20 30 40 Te mp er at ur a T [ oC] h = 0,5 k/L1

Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: T_b

(a) (b)

Figura 4: Comparação com os dados de Kersten et al. [4] entre as temperaturas média e no centro das amostras.

O modelo de capacitância global proposto por Kersten et al. [4] assume que a amostra está em contato com um suporte cuja superfície superior se encontra em equilíbrio com a mesma, e a superfície inferior à temperatura TH. De

modo a se simular esta condição através dos modelos (1D-t) e (2D-t), empregou-se uma condição de contorno de terceiro tipo, conforme comentado anteriormente. Por outro lado, em alguns ensaios experimentais, assumiu-se que a capacidade térmica do suporte era extremamente elevada, de maneira que uma condição de contorno de temperatura constante na superfície superior do suporte, ou inferior da amostra, deva ser empregada. Esta condição, representada pelos resultados ilustrados nas Figuras (5.a) e (5.b), é obtida na simulação computacional fazendo-se com que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja extremamente elevado (h→∞).

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___________________________________ 0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 0 40 80 120 160 Te mp er at ur a T [ oC] h→∞

Presente Trabalho: T1 Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: T_NZ 0 100 200 300 400 500 600 Tempo - t [s] 0 10 20 30 40 Te mp er at ur a T [ oC] h→∞

Presente Trabalho: T₁ Presente Trabalho: TNZ/2 Presente Trabalho: TNZ

(a) (b)

Figura 5: Comparação com Kersten et al. [4] e análise da temperatura em 3 pontos ao longo do eixo das amostras: temperatura constante na base da amostra (h→ ∞).

Pode-se inferir das Figuras (5.a) e (5.b) que condições de contorno de temperatura constante descritas por Kersten et al.[4] não conseguem reproduzir os dados experimentais do mesmo. Isso sugere que experimentos de aquecimento e resfriamento de amostras efetuados na presença de um suporte não caracterizam um modelo de capacitância global para a mesma, de maneira que a transferência de calor para o suporte também deve ser levada em consideração. Um caminho na direção dessa generalização é o desenvolvimento de modelos bidimensionais.

A Figura (6.a) ilustra a temperatura superficial em experimentos de aquecimento/resfriamento para uma tensão de polarização do plasma de 706 V, realizados por Souza Jr. et al. [5], além dos resultados de simulação para a temperatura superior, T1, da amostra nos dois modelos propostos por este trabalho. A Figura (6.b) ilustra os

gradientes térmicos na amostra após 1s do início do aquecimento. O interesse daqueles autores era analisar as propriedades finais de amostras metálicas sinterizadas em plasma, em função dos gradientes térmicos desenvolvidos no interior das amostras. Os parâmetros de entrada são aqueles relacionados na terceira coluna da Tabela 1. Como os ensaios experimentais foram realizados para uma configuração de catodo oco, as simulações realizadas pelo presente trabalho consideraram, além da potência térmica incidente sobre a superfície superior da amostra, uma potência térmica sobre a superfície lateral; sob as mesmas condições de coeficientes de transferência de calor.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Tempo - t [s] 0 200 400 600 800 1000 Te mp er at ur a T [ oC]

Souza Jr. et al. [5]: Experimental

Presente Trabalho: 2D (r,z,t) Presente Trabalho: 1D (z,t) tQin_off = 1013,2 s 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 Raio (m) 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 Espes su ra (m) 105.95 106 106.05 106.1 106.15 106.2 106.25 106.3 106.35 106.4 106.45 106.5 106.55 106.6 106.65 106.7 106.75 T( ° C) t = 1 s (a) (b)

Figura 6: Comparação com Souza Jr. et al. [5] da evolução das temperaturas superficiais da amostra com os modelos (1D-t) e (2D-t) (a) e (b) Gradientes de temperatura na amostra em t = 1 s.

Como se percebe da Fig.(6.a), há uma convergência satisfatória entre os modelos e os dados de Souza Jr. et al. [5]. Em adição, para a presente configuração de catodo oco, não houve o desenvolvimento de gradientes térmicos significativos no interior da amostra, Fig. (6.b).

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___________________________________ 4 – CONCLUSÕES

De acordo com os resultados apresentados, todas as comparações com dados experimentais apontam para a validação dos modelos computacionais propostos para a simulação do processo de transferência de calor de sólidos imersos em plasma. Apesar de não levar explicitamente em conta as características térmicas do aparato experimental, procedimento a ser futuramente implementado nas simulações (uma vez que toda a formulação matemática já se encontra desenvolvida), as informações de temperatura obtidas de maneira global mostraram, por um lado, ser úteis no processo de validação dos códigos, e por outro lado, indicaram possíveis cuidados ao se realizar os experimentos, visto que a presença de um suporte pode ou não influenciar nos resultados. A depender de considerações, como por exemplo, a capacitância térmica do suporte, gradientes térmicos no interior de amostras podem ou não aparecer, de maneira que as propriedades esperadas em um tratamento térmico superficial podem não se confirmar. Para as situações analisadas, a variação das propriedades térmicas com a temperatura não influenciou significativamente nos resultados.

5-REFERÊNCIAS

1. Wertheimer, M.R.; Fozza, A.C.; Holländer,A. Industrial processing of polymers by low-pressure plasmas: the

role of VUV radiation, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B, nº 151, Elsevier, pp. 65, 1998.

2. Favalli, R. C.; Szente, R. N. Physical and Mathematical Modeling of non Transferred Plasma Torches, Brazilian Journal of Physics, Vol. 28, nº 01, March, 1998, pp. 25

3. Incropera, F. P.; Dewitt, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, 5ª edição, Ed. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2003, pp. 01,139, 45-46, 170-173.

4. Kersten, H.; Deustsch, H.; Steffen, H.; Kroesen, G. M.; Hippler, R.; The energy balance at substrate surfaces

during plasma processing, Vacuum, V. 63. 2001. p. 385 – 431.

5. Souza JR.; C.F.; Alves JR.; Hajek,V.; Sinka,V. Avaliação das Grandezas Térmicas Durante o Aquecimento de

Sólidos Imersos em Plasma, CBECIMAT, 2002.

6- UNIDADES E NOMENCLATURA

A1 Área superficial da amostra (m2)

cP Calor especifico à pressão constante (J/kgK)

hconvt Coeficiente de Convecção levando em consideração a Superficial

hconvb Coeficiente de Convecção levando em consideração a Base inferior hL Coeficiente de Convecção da Base Lateral

k Condutividade Térmica (W/mK)

L1 Espessura da amostra (m)

NZ Número de volumes na direção z (adimensional)

NR Número de volumes na direção r (adimensional)

P Pressão da câmara de Plasma (Pa)

R1 Raio da Amostra

t Tempo (s)

T1 Temperatura da Superfície da Amostra (°C)

TNZ/2 Temperatura no centro da Amostra (°C)

TNZ Temperatura da Superfície Inferior da Amostra (°C)

Tb Temperatura média da amostra (°C)

TH Temperatura da superfície superior do suporte (°C)

α Coeficiente de Acomodação Δt Intervalo de tempo (s) ε Emitância ρ Massa específica (kg.m-3) σ Constante de Stefan-Boltsmann (σ =5,67×10-8 W.m-2.K-4) χ Condutividade molecular do gás