Sobre Centralizadores de Automorfismos Coprimos em Grupos Profinitos e Álgebras de Lie

Texto

(1)U NIVERSIDADE F EDERAL DE G OIÁS I NSTITUTO DE M ATEMÁTICA E E STATÍSTICA M ÁRCIO D IAS DE L IMA. Sobre Centralizadores de Automorfismos Coprimos em Grupos Profinitos e Álgebras de Lie. Goiânia 2011.

(2) M ÁRCIO D IAS DE L IMA. Sobre Centralizadores de Automorfismos Coprimos em Grupos Profinitos e Álgebras de Lie Dissertação apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Álgebra. Orientadora: Profa . Dra . Aline de Souza Lima Coorientador: Prof. Dr. Jhone Caldeira Silva. Goiânia 2011.

(3) Dados Internacionais de Catalogação na Publicação na (CIP). L732s. Lima, Márcio Dias de. Sobre Centralizadores de Automorfismos Coprimos em Grupos Profinitos e Álgebras de Lie [manuscrito] / Márcio Dias de Lima.- 2011. 84 f. Orientadora: Profª. Drª. Aline de Souza Lima; Coorientador: Prof. Dr. Jhone Caldeira Silva. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística, 2011. Bibliografia. 1. Álgebras de Lie 2. Anel de Lie associado a um grupo 3. Centralizadores de automorfismos Coprimos 4. Grupos localmente finito 5. Grupos profinitos. I. Título. CDU: 512.554.3+512.542.2.

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(5) Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador(a).. Márcio Dias de Lima. Graduou-se em Matemática pela Universidade Federal de Goiás no campus avançado de Rialma-GO. Especializou-se em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atualmente é professor na rede estadual, municipal e particular de ensino nesta mesma cidade..

(6) A meu avô, JORDELINO DIAS, que mesmo sem formação e riquezas materiais, me ensinou, pelo seu exemplo de vida, a importância de ser cristão, generoso, educado, humilde e forte a fim de conquistar meus sonhos, sem reclamar ou até mesmo desistir devido as dificuldades que a vida nos impõe. Obrigado Vovô..

(7) Agradecimentos. A Deus, nosso grande Pai Celeste que sempre me sustentou em todos os momentos, principalmente nos mais difíceis. Aos meus Pais, José Francisco e Wilma, que sempre me apoiaram para que eu pudesse alcançar essa vitória. Aos meus irmãos, Assis, Rafael, Janilde, Jane, Márcia e Marcelo, que sempre torceram pela chegada desse momento. Aos meus sobrinhos, Amanda, Raphaella, Rafaela, Ranieli, Ana Júlia, Alax, Andressa, Carlos Eduardo e Sarah, pois tenho aprendido muito com vocês. Aos meus amigos do Mestrado, Adriane, Agenor, Alex, Allan, Alfredo, Benedito, Bruno Trindade, Bruno Rodrigues, Caíke, Danilo, Diogo, Emerson, Elaine, Edwin, Edivaldo, Flávia, Fernando, Gabriel, Gean, Victor Hugo, Kaye, Leonardo, Lidiane, Maycon, Rosane, Silvana, Silvio, Sinomar, Thárcis, Sérgio e Ubirajara, pelas incansáveis horas de estudo. Não poderia também esquecer de duas figuras ilustres Flávio e Lucimeire, que de modo direto me ajudaram muito nessa árdua missão de ser mestre. A todos os professores que de algum modo contribuíram para esse crescimento profissional, Walterson, Ed Carlos, Rogério, Ticiane, Levi, Armando e Jhone. Ao professor Ronaldo, que contribuiu para que eu chegasse ao fim desse mestrado "muito obrigado professor". A minha orientadora, Aline Lima, que desde o primeiro momento se prontificou em me ajudar nesse trabalho, mesmo com todas as minhas limitações e dificuldades.

(8) chegamos ao fim. Aos professores, Aline Pinto, Jhone Caldeira e Ivonildes, pelas correções, sugestões e contribuições para a versão final desse trabalho. Aos professores e funcionários do IME-UFG. A minha esposa, Juliana Lima, que teve muita paciência e sempre esteve ao meu lado, embora não conseguisse entender o que eu estudava, e pôde descontar as broncas que eu lhe dava, enquanto ela fazia o seu mestrado. Sou muito grato e feliz por ter você em minha vida e todo nosso esforço, será motivo de orgulho para nossos filhos, que logo chegarão para fazer parte das nossas vidas e nos dar muita alegria. A Secretaria Estadual e Municipal de Educação pelo suporte financeiro. A todos vocês o meu sincero agradecimento, peço a Deus saúde e paz para todos nós..

(9) Tudo é do pai, toda honra e toda glória, é dele a vitória, alcançada em minha vida. Frederico Cruz, ..

(10) Resumo. Lima, Márcio Dias de. Sobre Centralizadores de Automorfismos Coprimos em Grupos Profinitos e Álgebras de Lie. Goiânia, 2011. 87p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás.. Sejam A um grupo abeliano elementar de ordem q2 , onde q um número primo. Neste trabalho estudamos a influência dos centralizadores de automorfismos na estrutura dos grupos profinitos, neste sentido se A age como um grupo de automorfismos coprimos sobre um grupo profinito G e que CG (a) é periódico para cada a ∈ A# , então mostraremos que G é localmente finito. Será demonstrado também o caso onde A age como um grupo de automorfismos sobre um grupo pro-p de G.. Palavras–chave. álgebras de Lie, anel de Lie associado a um grupo, centralizadores de automorfismos coprimos, grupos localmente finito, grupos profinitos..

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(12) Lista de Símbolos. A# G(n). conjunto dos elementos não triviais de A n-ésima derivada de G. Dn (G). subgrupo de G definido por. [x, y] H ≤G H EG H C◦ G lim. x−1 y−1 xy. k. ∏ k. γi (G) p. ip ≥n. ←. Fp X Hg f −1 (X) Φ(G) exp(G) GLr (F p ) Ur (F p ) dlG γn (G) Zn (G) clG Gn N p.i.G NG (H) CG (H) |G| |G : H| hXi L(G) L p (G) π(G). H é um subgrupo de G H é um subgrupo normal de G H é um subgrupo normal aberto de G limite inverso corpo formado por p-elementos fecho do conjunto X classe lateral de H em G imagem inversa do conjunto X pela aplicação f subgrupo de Frattini de G expoente do grupo G grupo das matrizes r × r inversíveis com entradas em F p grupo das matrizes triangulares r × r com entradas em F p comprimento derivado de G n-ésimo termo da série central inferior de G n-ésimo termo da série central superior de G classe de nilpotência de G subgrupo gerado pelo conjunto das n-ésimas potências dos elementos de G N é um subgrupo potentemente imerso em G normalizador de H em G centralizador de H em G ordem de G índice de H em G subgrupo gerado pelos elementos do conjunto X Anel de Lie associado ao grupo G subálgebra gerada por D1 /D2 conjunto de números primos não divisores de | G |.

(13) Sumário. 1. Preliminares 1.1 1.2 1.3 1.4. 2. Grupos Profinitos 2.1. 2.2. 2.3. 3. Grupos Grupos Nilpotentes Automorfismos Coprimos p-Grupos Potentes. Espaços Topológicos 2.1.1. Produtos de Espaços Topológicos. 2.1.2. Grupos Topológicos. Grupos Profinitos e Completamento 2.2.1. Limites Inversos. 2.2.2. Caracterização dos Grupos Profinitos. 2.2.3. Completamento. Teoria de Sylow 2.3.1. Índices de Subgrupos e Teorema de Lagrange. 2.3.2. Teoremas de Sylow. 2.3.3. Subgrupos de Hall. 2.3.4. Grupos Pronilpotentes. 2.3.5. Automorfismos Livres de Pontos Fixos. Álgebras e Anéis de Lie 3.1. 3.2 3.3. Anéis de Lie 3.1.1. Álgebras de Lie. 3.1.2. Produto Tensorial de Módulos. 3.1.3. Derivações. Identidades Polinomiais para Álgebras de Lie Associando um Anel de Lie a um Grupo 3.3.1. 4. A Série de Jennings-Lazard-Zassenhaus e a Álgebra de Lie Correspondente. Automorfismos Coprimos de Grupos Profinitos. Referências Bibliográficas. 19 19 23 25 28 33 33 35 36 40 40 49 51 53 54 55 56 56 58 60 60 62 63 67 69 70 70 81 85.

(14) Introdução. Sejam G um grupo finito e α um automorfismo de G. Denotamos o centralizador de α em G, ou subgrupo dos pontos fixos, por CG (α) = {x ∈ G|xα = x}. Se CG (α) = 1, dizemos que α é livre de pontos fixos e se a ordem de α é coprima com a ordem de G, então α é um automorfismo coprimo de G. Burnside [2] mostrou que um grupo G admitindo um automorfismo de ordem 2 livre de pontos fixos é abeliano. Este foi o primeiro resultado significante a respeito do fato da existência de automorfismos livres de pontos fixos implicar em conclusões substanciais em relação a estrutura do grupo. Burnside também analisou o caso em que o automorfismo é de ordem 3 e provou que tal grupo é necessariamente nilpotente de classe no máximo 2. Sabe-se que com o estudo de centralizadores de automorfismos de grupos finitos podemos obter várias informações importantes sobre o grupo em questão. Um dos principais exemplos dessa influência dos centralizadores de automorfismos na estrutura de grupos é devido a Higman [10] e Thompson [33] que mostraram que se G admite um automorfismo livre de pontos fixos de ordem prima p, então G é nilpotente com classe de nilpotência limitada por uma função dependendo somente de p. Mais um exemplo da influência dos centralizadores de automorfismos de ordem coprima de um grupo G na estrutura de G é dado por Khukhro e Shumyatsky [14]: sejam p um primo, e um inteiro positivo e A um p-grupo abeliano elementar de ordem p2 agindo sobre um p0 -grupo finito G, assuma que o expoente do CG (a) divide e para todo a ∈ A# , onde A] é o conjunto de elementos A diferentes da identidade. Então, o expoente de G é limitado por uma função dependendo somente de e e p. Lembramos que um grupo G tem expoente n, se xn = 1 para todo x ∈ G. Este fenômeno, onde a estrutura dos centralizadores de automorfismos do grupo induzem a mesma estrutura no grupo, faz sentido quando a ordem é coprima com a ordem de G, pois nesse caso G é gerado por estes centralizadores. Seja G um grupo admitindo uma ação de um grupo A. Denotamos por CG (A) o conjunto formado por todos os elementos de G, fixados por A, e é claro que CG (A) é um subgrupo de G. Se A é grupo abeliano não cíclico e a ordem de A é coprima com a ordem de G, então. G = CG (a) | a ∈ A# . Seja F o grupo livre sobre X = {x1 , x2 , . . .}. Uma palavra positiva em X é.

(15) 16. qualquer elemento não-trivial de F não envolvendo os inversos dos xi . Uma lei positiva de um grupo G é uma identidade não-trivial da forma u ≡ v, onde u, v são palavras positivas, fixadas sob toda substituição X → G. O comprimento máximo de u e v é chamado o grau da lei u ≡ v. Shumyatsky [28], mostrou que se A é um q-grupo abeliano elementar de ordem 3 q agindo sobre um q0 -grupo G finito, tal que CG (a) satisfaz uma lei positiva de grau n para qualquer a em A# , então G satisfaz uma lei positiva de grau limitado por uma função dependendo somente de q e n. Em outro trabalho, Shumyatsky [29] mostra que se A tem ordem q4 e CG (a)0 satisfaz uma lei positiva de grau n para todo a em A# , então G0 satisfaz uma lei positiva de grau limitado por uma função que depende somente de q e n. Uma generalização desses resultados é apresentado por Lima e Shumyatsky [17], onde A é um q-grupo abeliano elementar de ordem q2 agindo sobre um q0 -grupo G finito, de tal forma que o subgrupo hCG (a),CG (b)i satisfaz uma lei positiva de grau n para a, b em A# . Neste caso, o grupo G satisfaz uma lei positiva de grau limitado por uma função que depende somente de q e n. Outra pergunta que aparece com frequência na Teoria dos Grupos é como as imagens finitas de um grupo afetam sua estrutura. Hirsch, (1946), mostrou que se todo quociente de um grupo policíclico-por-finito G é nilpotente, então G é nilpotente. E Grunewald–Pickel–Segal, (1980), mostraram que existe um número finito de isomorfismos de grupos policíclico-por-finito com os mesmos quocientes de G. Questionamentos como esses motivaram as pesquisas na Teoria dos Grupos Profinitos. Um grupo profinito é um grupo topológico isomorfo a um limite inverso de grupos finitos, ou de modo equivalente, um espaço de Hausdorff, compacto e totalmente desconexo. G∼ = lim(G/U)UCo G ⊆ ∏(G/U)UCo G , (U subgrupo normal aberto de G). ←. Outra importante motivação para o estudo de tais grupos é que eles respondem de forma positiva ao Problema Restrito de Burnside: um grupo profinito finitamente gerado de expoente finito é finito. Neste trabalho, estamos interessados na influência dos centralizadores de automorfismos coprimos em grupos profinitos. Evidentemente que para isso devemos transpor esses conceitos de centralizadores de automorfismos para o contexto topológico. No contexto de grupos profinitos, todos os conceitos usuais da Teoria de Grupos são interpretadas topologicamente. Em particular, por um automorfismo de um grupo profinito, entende-se um automorfismo contínuo. Um grupo de automorfismo A de um grupo profinito G será chamado de coprimo se A tem ordem finita e G é o limite inverso de grupos finitos cujas ordens são relativamente primos com a ordem de A..

(16) 17. Dado um automorfismo a de um grupo profinito G, denotamos por CG (a) o centralizador de a em G, que é o subgrupo de G formado pelos elementos fixados por a. Este subgrupo é sempre fechado. O lema a seguir é bem conhecido no caso onde G é um grupo finito (veja [5], 6.2.2, 6.2.4). Lema 1 Seja A um grupo de automorfismos de um grupo profinito G. a) Se N é um subgrupo normal fechado A-invariante de G, então CG/N (A) = CG (A)N/N;. b) Se A é um grupo abeliano elementar de ordem q2 , então G = CG (a) | a ∈ A# . Motivados pelo resultado apresentado por Khukhro e Shumyatsky [14], citado no segundo parágrafo deste texto, e pelo lema citado acima, questionamos a influência dos centralizadores de automorfismos na estrutura dos grupos profinitos. Será possível observar os mesmos resultados obtidos para grupos finitos? Neste sentido, apresentaremos a prova do seguinte teorema: Teorema 2 Sejam q um número primo e A um grupo abeliano elementar de ordem q2 . Suponha que A age como um grupo de automorfismos coprimos sobre um grupo profinito G e que CG (a) é periódico para cada a ∈ A] . Então G é localmente finito. De fato, no sentido de demonstrar esse resultado, restringiremos ao caso em que G é um pro-p grupo, ou seja, o limite inverso de p-grupos, conforme a proposição abaixo. Proposição 3 Sejam q um número primo e A um grupo abeliano elementar de ordem q2 . Suponha que A age como um grupo de automorfismos coprimo sobre um grupo pro-p de G e que CG (a) é periódico para cada a ∈ A] . Então G é localmente finito. Para concluirmos esse resultado, faremos uso da conhecida série de JenningLazard-Zassenhaus, Dn (G) =. k. ∏ k. γi (G) p .. ip ≥n. Obtemos por meio dessa série uma álgebra de Lie sobre F p (corpo com p-elementos). Essa álgebra será denotada por L(G) = ⊕Di /Di+1 . As técnicas de construção, associando a um grupo um anel de Lie, foram introduzidas nos anos 30 por Zelmanov, como uma ferramenta no auxílio à resolução do Problema Restrito de Burnside..

(17) 18. Juntamente com a Proposição 3, outros resultados nos auxiliarão na conclusão do Teorema 2. Em 1983, Wilson [34], demonstra que se todo subgrupo de Sylow de um grupo profinito periódico é localmente finito, então o grupo é localmente finito. Zelmanov [38], utilizando alguns resultados de Wilson [34], realiza alguns trabalhos para provar a finitude local de grupos profinitos periódicos. Dessa forma, observe que a prova do Teorema 2, baseia-se fortemente neste resultado, bem como sobre as técnicas da teoria de Lie de Zelmanov e também sobre o resultado Herfort [9] (1979), onde o conjunto dos primos divisores das ordens dos elementos de um grupo profinito periódico é necessariamente finito. Uma vez que não há solução para o problema de expoente para grupos profinitos periódicos conforme citado acima, apresentaremos uma prova do Teorema 2, que não se refere ao expoente, porém o esquema geral da prova do Teorema 2 é semelhante ao do resultado em Khukhro e Shymyatsky [14]. Este trabalho está dividido em quatro capítulos. No primeiro apresentamos resultados preliminares sobre a Teoria de Grupos, demonstramos algumas propriedades sobre centralizadores de automorfismos para uma melhor compreensão do leitor. No segundo capítulo, apresentamos alguns resultados sobre grupos profinitos, primeiro fazendo uma releitura sobre espaços topológicos relacionando com os conceitos de grupos. Em seguida, passamos à definição de um grupo profinito mostrando alguns exemplos e a partir daí, construímos alguns resultados conhecidos da Teoria de Grupos para a Teoria de Grupos Profinitos. No terceiro capítulo, apresentamos resultados sobre as Álgebras de Lie, produto tensorial, definimos identidade polinomial (PI) para álgebras de Lie e apresentamos resultados que nos auxiliarão posteriormente, além de apresentarmos a construção da série de Jenning-Lazard-Zassenhaus. Ao longo do três primeiros capítulos, construímos ferramentas que auxiliaram na demonstração do Teorema 2, apresentado no quarto capítulo..

(18) CAPÍTULO 1. Preliminares. Apresentamos nesse capítulo alguns resultados que são importantes para o desenvolvimento do nosso trabalho.. 1.1. Grupos. Definição 1.1 Sejam G um grupo, x, y ∈ G. Então o comutador de x e y é: [x, y] = x−1 y−1 xy ∈ G.. 0 Temos que G = [G, G] = [x, y] | x, y ∈ G é chamado subgrupo comutador de G ou subgrupo derivado de G. Desse modo, podemos descrever uma cadeia de subgrupos da seguinte forma G(0) = G, G(1) = [G(0) , G(0) ], G(2) = [G(1) , G(1) ], · · · , G(n) = [G(n−1) , G(n−1) ], de tal modo que G ⊃ G(0) ⊃ G(1) ⊃ · · · ⊃ G(n) ⊃ · · · . Seja C um subconjunto de um grupo G. Os comutadores de peso p em elementos de C são definidos indutivamente da seguinte maneira: comutadores de peso 1, em elementos de C são exatamente os elementos de C. Agora se tivermos c1 e c2 comutadores de pesos p1 e p2 em elementos de C respectivamente, então [c1 , c2 ] é um comutador em elementos de C de peso p1 + p2 . Comutadores do tipo [. . . [[c1 , c2 ]c3 ] . . . ck ] são chamados comutadores simples e os denotaremos por [c1 , c2 , . . . , ck ]. Podemos definir uma série de subgrupos de G, indutivamente, da forma 0. γ1 (G) = G, γ2 (G) = [γ1 (G), G] = [G, G] = G ,. ···. , γi (G) = [γi−1 (G), G]..

(19) 1.1 Grupos. 20. A série G = γ1 (G) ≥ γ2 (G) ≥ · · · é chamada Série Central Inferior de G. Para simplificar a escrita, omitiremos o grupo G, ou seja, escreveremos γi no lugar de γi (G). O centro de G é o subgrupo Z(G) = {z ∈ G | [z, x] = 0, ∀x ∈ G}. Por cálculos simples, verifica-se que Z(G) é um subgrupo normal de G. Podemos definir outra série de subgrupos de G, indutivamente, a partir do centro de G, como segue Z0 (G) = 1, Z1 (G) = Z(G) e indutivamente Zi (G) como sendo o único subgrupo de G tal que Zi (G)/Zi−1 (G) = Z(G/Zi−1 (G)). Zi (G) é chamado o i-ésimo centro de G. Essa série é chamada Série Central Superior de G. O próximo resultado relaciona algumas identidades que envolvem comutadores:. Lema 1.2 Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G. Então: a) ab = ba[a, b]; b) [a, b]−1 = [b, a]; c) [ab, c] = [a, c]b [b, c] = [a, c][a, c, b][b, c]; d) [a, bc] = [a, c][a, b]c = [a, c][a, b][a, b, c]; e) [a, b−1 , c]b [b, c−1 , a]c [c, a−1 , b]a = 1 (Identidade de Witt). Demonstração. A demonstração dessas identidades seguem diretas da definição de comutadores, faremos somente o item e). Tome u = aca−1 ba, v = bab−1 cb e w = cbc−1 ac. Então: [a, b−1 , c]b = b−1 [[a, b−1 ], c]b = b−1 [a, b−1 ]−1 c−1 [a, b−1 ]cb −1 cb} = b−1 b a| −1 b−1{z ac−1 a−1} |bab{z u−1. v. = 1u−1 v.. [b, c−1 , a]c = c−1 [[b, c−1 ], a]c = c−1 [b, c−1 ]−1 a−1 [b, c−1 ]ac −1 = c−1 c b| −1 c−1{z ba−1 b−1} cbc | {z ac} v−1. −1. = 1v w,. w.

(20) 1.1 Grupos. 21. e com os mesmos cálculos temos [c, a−1 , b]a = w−1 u, o que encerra a demonstração.. . Lema 1.3 (Lema dos Três Subgrupos). Seja A, B,C subgrupos de um grupo G. Suponha que [A, B,C] = [B,C, A] = 1. Então [C, A, B] = 1. Demonstração. Considere a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C. Pela identidade de Witt temos que [a, b−1 , c]b [b, c−1 , a]c [c, a−1 , b]a = 1 e por hipótese [a, b−1 , c] = [b, c−1 , a] = 1. Então fazendo as devidas substituições, teremos: [1]b [1]c [c, a−1 , b]a = 1, donde [c, a−1 , b] = 1. Agora, como a é um elemento arbitrário de A, então vamos mudar a−1 por a e então, [c, a, b] = 1. Portanto [C, A, B] = 1. Lema 1.4 Sejam A, B e C subgrupos de G e N um subgrupo normal de G. Se [[A, B],C] ≤ N e [[B,C], A] ≤ N, então [[C, A], B] ≤ N. Demonstração. Segue do Lema 1.3, bastando tomar N=1.. . Lema 1.5 Em qualquer grupo G, temos [γi , γ j ] ⊆ γi+ j . Demonstração. Por definição, temos que: G = γ1 ⊃ γ2 ⊃ · · · γi+1 ⊃ · · · . Agora supomos sem perda de generalidade que essa série termine em γi+ j = 1 e fazemos indução sobre j, como segue. Para j = 1, temos que: γi+1 = [γi , G] = [γi , γ1 ] ⊆ γi+1 . Suponha válido para j = k, donde [γi , γk ] ⊆ γi+k . Agora vamos verificar se é válido para j = k + 1. Observe que [γi , γk , γ1 ] = [γi+k , γ1 ] = γi+k+1 .. [γ1 , γi , γk ] = [[γ1 , γi ], γk ], = [[γi , γ1 ], γk ], = [γi+1 , γk ] = γi+1+k . Pelo Lema 1.4, temos [γk , γ1 , γi ] = [[γk , γ1 ], γi ], = [γk+1 , γi ], = [γi , γk+1 ], ⊆ γi+k+1 . .

(21) 1.1 Grupos. 22. Lema 1.6 Sejam G um grupo, k um número inteiro positivo. Então a) γk contém todos os comutadores de peso ≥ k em G; b) γk é gerado por um comutador simples de peso ≥ k em G;. c) Se G = M , então γk é gerado pelos comutadores simples de peso > k em elementos de M; d) G(k) ⊆ γ2k . Demonstração. Para provar o item a), vamos usar indução sobre k. Para k = 1, temos γ1 (k) = G. Agora para r ≥ k ≥ 2 tome um comutador c de peso r. Então c = [c1 , c2 ], onde c1 e c2 são comutadores de peso r1 e r2 , respectivamente, e r1 + r2 = r. Por hipótese de indução, c1 ∈ γr1 e c2 ∈ γr2 . Então c = [c1 , c2 ] ∈ [γr1 , γr2 ] ⊆ γr1 +r2 = γr ⊂ γk .. Agora para provar o item b), defina o subgrupo Nk = [g1 , g2 , . . . , gk ] | gi ∈ G , onde Nk é o subgrupo gerado por todos os comutadores de peso k. Agora pelo item a), γk > Nk , então para provar que γk é gerado por um comutador simples de peso > k, basta mostrar que γk 6 Nk . Provaremos por indução sobre k. Para k = 1, temos γ1 = G = N1 . Agora suponhamos válido para Nk−1 = γk−1 e verifiquemos para Nk = γk . g g g Como [g1 , g2 , . . . , gk ]g = [g1 , g2 , . . . , gk ] ∈ Nk , ∀g ∈ G, Nk E G. Pela definição de série central superior, concluímos que Nk−1 /Nk ⊂ Z(Nk−1 /Nk ) = Z(G/Nk ), [Nk−1 , G] ⊂ Nk , mas [Nk−1 , G] = [γk−1 , G] = γk ⊂ Nk . Portanto Nk = γk , ficando assim provado o item b).. Para o item c) temos o seguinte: γk = [g1 , g2 , . . . , gk ] | gi ∈ G . Agora, para cada gi podemos expressá-lo como um produto de elementos de M e seus inversos. Para isso, faremos uso das propriedades c) e d) do Lema 1.2 repetidas vezes, chegando assim ao desejado. Falta provarmos o item d). Novamente vamos provar por indução sobre k. Para k = 0, temos G(0) = G = γ20 = γ1 . Agora suponhamos válido para k − 1, com k > 1 G(k−1) ⊆ γ2k−1 . Para k, temos G(k) = [G(k−1) , G(k−1) ] = [γ2k−1 , γ2k−1 ] ⊆ γ2k−1 +2k−1 = γ2k . . Definição 1.7 Um grupo G é dito abeliano, se para quaisquer a, b ∈ G tivermos ab = ba. Definição 1.8 Um grupo finito G é um p-grupo se, e somente se, a ordem de G é uma potência de p. Definição 1.9 Um grupo G é dito localmente finito, se todo subgrupo finitamente gerado de G é finito..

(22) 1.2 Grupos Nilpotentes. 23. Definição 1.10 Um grupo abeliano G é dito abeliano elementar, se existe um número primo p tal que todos os elementos de G, diferentes da unidade, são de ordem p. É interessante notar que todo p-grupo abeliano elementar, que é finito, tem uma estrutura bem determinada. O próximo resultado não será demonstrado e pode ser encontrado em [5]. Lema 1.11 Seja G um p-grupo abeliano elementar finito. Então G pode ser escrito como o produto direto de um número finito de grupos cíclicos de ordem p. Para um grupo arbitrário G, define-se o expoente de G como o menor número natural m tal que gm = 1, para todo g ∈ G. Um grupo é dito periódico (ou um grupo de torsão) se cada elemento tem ordem finita. Todos os grupos finitos são periódicos. Outro resultado sobre propriedades elementares de comutadores de subgrupos é o seguinte lema, cuja demonstração pode ser encontrada em [5]. Lema 1.12 Sejam H, K e L subgrupos de um grupo G. Então, temos que. a) [H, K] é um subgrupo normal de H, K ; b) Se H, K e L são subgrupos normais de G, então [HK, L] = [H, L][K, L].. 1.2. Grupos Nilpotentes. Definição 1.13 Dizemos que um grupo G é nilpotente se ele contém uma série normal de subgrupos 1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G, tal que cada Gi−1 é normal em G e cada quociente Gi /Gi−1 está contido no centro de G/Gi−1 , 1 ≤ i ≤ n. Isto é equivalente a [Gi , G] ≤ Gi−1 . Uma série com estas características é chamada de série central de G. Note que a definição acima implica que G1 está contido no centro de G. Se G1 = {1}, então G2 está contido no centro, e assim sucessivamente. Como a série central acaba, resulta imediatamente que todo grupo nilpotente tem centro não trivial. Proposição 1.14 Seja G um grupo. As afirmações que seguem são equivalentes: a) G é nilpotente. b) Existe um inteiro positivo m tal que Zm (G) = G. c) Existe un inteiro positivo n tal que γn (G) = 1. Observação. Se G é nilpotente, então as séries central superior e central inferior de G têm o mesmo comprimento, que é a sua classe de nilpotência..

(23) 1.2 Grupos Nilpotentes. 24. Definição 1.15 Um grupo G tem a propriedade do normalizador se todo subgrupo próprio de G está estritamente contido em seu normalizador. Proposição 1.16 Seja P um p-subgrupo de Sylow de um grupo G e seja H outro subgrupo de G. Se P ⊂ H, então H = NG (H). Em particular, NG (NG (P)) = NG (P). Demonstração. Seja x ∈ NG (H). Como P ⊂ H C NG (H), temos que xPx−1 ⊂ H. Como P e xPx−1 são p-subgrupos de Sylow de H, existe um elemento h ∈ H tal que xPx−1 = hPh−1 , donde h−1 x ∈ NG (H) ⊂ H. Segue que x ∈ H e portanto NG (H) = H. . Lema 1.17 Todo p-grupo finito é nilpotente. Demonstração. Seja G um grupo tal que | G |= pm , onde m é um inteiro positivo. Sendo | G |> 1, temos que Z(G) 6= {1}. Sejam H0 = {1} e H1 = Z(G). Se Hk CG já está definido, definamos Hk+1 C G por Hk+1 /Hk = Z(G/Hk ). Como G/Hk é um p-grupo finito, temos que se G/Hk 6= 1, então Hk+1 /Hk 6= Hk , logo Hk < Hk+1 C G. Após no máximo m passos, temos 1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hm = G, onde Hk C G e Hk+1 /Hk = Z(G/Hk ), k = 1, 2, . . . , m − 1. Portanto, G é nilpotente de classe no máximo m. O próximo resultado apresenta uma caracterização dos grupos nilpotentes finitos. Teorema 1.18 Seja G um grupo finito. Então as seguintes afirmações são equivalentes: a) G é nilpotente; b) G tem a propriedade do normalizador; c) Todo subgrupo de sylow G é normal em G; d) G é o produto direto dos seus subgrupos de sylow; e) Todo subgrupo de G é subnormal; f ) Todo subgrupo maximal de G é normal. Demonstração. Utilizaremos o seguinte esquema +3 b) > >>> >>>> >>". +3. a) > >>>. e). +3. c). f). +3. +3. d) ;C. +3. a). c). a) ⇒ b) Seja H um subgrupo próprio de G. Queremos mostrar que H ( NG (H). Temos que 1 = Z0 (G) ⊂ H ⊂ Zn (G) = G, e como H ≤ G, então existe um inteiro i ≥ 0 tal que.

(24) 1.3 Automorfismos Coprimos. 25. Zi ⊂ H e Zi+1 * H. Tome x ∈ Zi+1 \H e h ∈ H. Como [Zi+1 (G), G] ⊂ Zi (G), temos que existe y ∈ Zi (G) ⊂ H tal que xHx−1 = hy ∈ H. Portanto xHx−1 ⊂ H e x ∈ NG (H), donde H NG (H). b) ⇒ c) Sejam P um p-subgrupo de sylow de G e H = NG (P). Se H 6= G, por hipótese H NG (H), e pela Proposição 1.16, H = NG (H). Logo H = G, ou seja, NG (P) = G, donde P C G. c) ⇒ d) Sejam P1 , P2 , . . . , Pk os subgrupos de Sylow de G. Como cada Pi C G, então Pi ∩ Pj = {e}; i, j = 1, 2, . . . , k. Seja x = α1 , α2 , . . . , αk , onde αi ∈ Pi , 1 6 i 6 k. Temos |P1 ||P2 ···Pk | = |P1 ||P2 · · · Pk |. que P1 ∩ (P2 , · · · , Pk ) = {e} e assim temos |P1 · · · Pk | = |P1 ∩ (P2 · · · Pk ) | | {z } {e}. De modo recursivo teremos que: |P1 · · · Pk | = |P1 ||P2 | · · · |Pk |, onde P1α1 · · · Pkαk = G. d) ⇒ a) G é o produto de um número finito de p-grupos. Como todos são nilpotentes, G também o é. a) ⇒ e) Seja H um subgrupo maximal de G. Como H é nilpotente, então safisfaz a propriedade do normalizador. Logo H NG (M), mas como H é maximal, então NG (H) = G, o que mostra que H C G. e) ⇒ f ) Se todo subgrupo H de G é subnormal e H é maximal, então não existe nenhum outro subgrupo de G entre H e G, portanto H C G. f ) ⇒ c) Se todo subgrupo maximal de G é normal e P é um p-subgrupo de Sylow de G e NG (H) é um subgrupo próprio de G, então NG (H) ⊂ H, que é maximal em G e com isso normal em G, então NG (H) = G, o que é contradição pela Proposição 1.16 (pois NG (H) = H). . 1.3. Automorfismos Coprimos. Muitos problemas na Teoria dos Grupos podem ser reduzidos a problemas sobre ações de grupos. Em particular, se trabalharmos com grupos finitos, encontraremos com frequência situações onde um grupo admite um automorfismo do qual a ordem é coprima com a ordem do grupo, ou seja | G |, | ϕ | = 1, onde ϕ é automorfismo de G. Tais automorfismos são chamados automorfismos coprimos..

(25) 1.3 Automorfismos Coprimos. 26. Sejam G um grupo finito, ϕ um automorfismo de G. Denotaremos por CG (ϕ) o conjunto dos pontos fixos de ϕ, isto é CG (ϕ) = {x ∈ G | xϕ = x}. Dizemos que ϕ é livre de pontos fixos se CG (ϕ) = 1. Se N é um subgrupo ϕ-invariante de G, ou seja ϕ(N) ⊆ N, então ϕ induz uma função ϕ do conjunto das classes laterais à esquerda de N sobre si mesmo, ϕ : xN → xϕ N. Se ocorrer N E G, então é fácil ver que ϕ é um automorfismo do grupo quociente G/N. Abusando da notação, denotaremos o automorfismo induzido pelo mesmo símbolo ϕ. Este primeiro lema mostra a conexão entre CG (ϕ) e CG/N (ϕ). Lema 1.19 Seja G um grupo finito admitindo um automorfismo coprimo ϕ e N um subgrupo normal ϕ-invariante de G. Então CG/N (ϕ) = CG (ϕ)N/N. Demonstração. Seja N um subgrupo normal ϕ-invariante de G, então ϕ induz uma aplicação ϕ : xN → xϕ N, ou seja, ϕ : G/N → G/N gN 7→ ϕ(gN) = ϕ(g)N.. Tome y ∈ CG (ϕ)N/N. Então y = aN, com a ∈ CG (ϕ) e ϕ(aN) = ϕ(a)N, mas ϕ(a) = a = aN, pois ϕ(a) = a. Portanto, CG (ϕ)N/N ⊆ CG/N (ϕ). Para a inclusão inversa, temos que mostrar que toda classe ϕ-invariante aN contém um elemento de CG (ϕ). Suponha primeiro que ϕ tenha ordem p, onde p é um número primo. Então o tamanho de qualquer ϕ-órbita em G divide a ordem de ϕ, ou seja tem que ser 1 ou p. Suponha que aN não contenha nenhum elemento do CG (ϕ). Então aN é a união de ϕ-órbitas de tamanho p. Desde que a interseção de quaisquer duas órbitas é vazia, segue que p divide o número de elementos em aN. Em outras palavras, p divide | aN |=| N |, que é uma contradição, pois ϕ é um automorfismo coprimo. Assim, mostramos que aN contém um elemento de CG (ϕ). Agora, admita que ϕ é de ordem p · m, onde p é primo e proceda por indução sobre a ordem de ϕ. Sejam ψ = ϕ p , H = CG (ϕ), N1 = N ∩ H..

(26) 1.3 Automorfismos Coprimos. 27. Tomando aN como uma classe ϕ-invariante, aN é também ψ-invariante. Assim, pela hipótese de indução, aN contém um elemento a0 ∈ H, donde aN = a0 N. Seja ϕ o automorfismo de H induzido pela ação de ϕ (temos que H é ϕ-invariante). Evidentemente a ordem de ϕ é 1 ou p. A classe a0 N1 é ϕ-invariante e assim contém um elemento a1 que se encontra em CH (ϕ). Segue que a0 N1 ⊆ a0 N = aN e CH (ϕ) = CG (ϕ). Mostramos então que aN = a1 N, onde a1 é um elemento de CG (ϕ). Assim, aN ⊆ CG (ϕ)N/N. . Corolário 1.20 Seja ϕ um automorfismo coprimo de um grupo G. a) G = CG (ϕ)[G, ϕ]; b) [G, ϕ] = [G, ϕ, ϕ] onde [G, ϕ, ϕ] = [[G, ϕ], ϕ]; c) Se G é abeliano então G = CG (ϕ) ⊕ [G, ϕ]. Demonstração. a) Tome N = [G, ϕ] e observe que [G, ϕ] é o menor subgrupo normal ϕ-invariante, onde ϕ age trivialmente sobre o grupo quociente G/N, onde ϕ : G/N → G/N. Com isso, temos que CG/N (ϕ) = G/N. Mas pelo Lema 1.19, temos CG/N (ϕ) = CG (ϕ)N/N ⇒ G/N = CG (ϕ)N/N. Como N = [G, ϕ], segue que G = CG (ϕ)[G, ϕ]. b) Temos [G, ϕ] = [CG (ϕ)[G, ϕ], ϕ], = [CG (ϕ), ϕ][G,ϕ] [[G, ϕ], ϕ], | {z } = 1. 1 [G,ϕ]. [[G, ϕ], ϕ],. = [[G, ϕ], ϕ], = [G, ϕ, ϕ]. c) Podemos aplicar o Teorema de Maschke, uma vez que G é abeliano e ϕ é um autormorfismo coprimo de G. Assim, existe um subgrupo A-invariante N de G, tal que G = CG (ϕ) ⊕ N. Como CN (ϕ) = 0, segue do item b) que N = [N, ϕ]. Portanto, [G, ϕ] = [CG (ϕ) ⊕ N, ϕ] ⊆ [CG (ϕ), ϕ] ⊕ [N, ϕ] = N e G = CG (ϕ) ⊕ [G, ϕ]. .

(27) 1.4 p-Grupos Potentes. 1.4. 28. p-Grupos Potentes. Um dos objetivos desta seção é apresentar as principais propriedades de p-grupos potentes que serão requisitados no terceiro capítulo deste trabalho, no momento de definir o anel de Lie associado a um grupo G sobre F p . Os p-grupos potentes possuem propriedades lineares muito boas, das quais se destaca como uma ferramenta importante neste trabalho a seguinte: se um p-grupo potente G é gerado por elementos de expoente pe , onde e é um inteiro positivo, então o expoente de G também é pe . Esta e outras propriedades interessantes dos p-grupos potentes que citaremos nesta seção serão apresentadas sem as devidas demonstrações, mas podem ser encontradas no livro de Dixon, du Sautoy, Mann e Segal, Analytic pro-p Groups [12]. Definição 1.21 Seja G um p-grupo finito. Para todo i ≥ 0, definimos. i Ωi (G) = x ∈ G | x p = 1 , e. i. i fi (G) = G p = x p | x ∈ G . Observamos que os subgrupos Ωi (G) e fi (G) são característicos em G. Já que G/Φ(G) é um p-grupo abeliano elementar, onde Φ(G) é o subgrupo de Frattini, o qual é definido como a interseção de todos os subgrupos maximais de G, assim x p ∈ Φ(G), para todo x ∈ G. Assim f1 (G) = G p ≤ Φ(G). Consequentemente, se G é um p-grupo, Φ(G) é o menor subgrupo de G com quociente abeliano elementar. Observamos que no caso de p-grupos finitos o expoente de G é simplesmente e a ordem máxima dos elementos de G. Se exp(G) = pe , então x p = 1, para todo x ∈ G.. e Desta forma, Ωe (G) = x ∈ G | x p = 1 = G e podemos considerar uma série ascendente 1 = Ω0 (G) ≤ Ω1 (G) ≤ · · · ≤ Ωe−1 (G) ≤ Ωe (G) = G,. e. que chamamos de Ω-série de G. Similarmente, temos que fe (G) = x p | x ∈ G = 1 e definimos a seguinte série descendente 1 = f0 (G) ≤ f1 (G) ≤ · · · ≤ fe−1 (G) ≤ fe (G) = G, que chamamos de f-série de G. A f-série é estritamente decrescente. Logo, a f-série de um p-grupo finito de expoente pe , tem exatamente e passos. Teorema 1.22 Seja G um p-grupo abeliano finito. Para todo i ≥ 0, vale as seguintes afirmações; . i a) Ωi (G) = x ∈ G | x p = 1 ;.

(28) 1.4 p-Grupos Potentes. 29. i. b) fi (G) = x p | x ∈ G ; c) | G : Ωi (G) |=| fi (G) | (consequentemente | G : fi (G) |=| Ωi (G) | ). Demonstração. Considere o homomorfismo ϕ:G → G i. x 7→ x p . Como G é abeliano, temos que Ωi (G) é o núcleo de ϕ e fi (G) a imagem. Assim os ítens a) e b) são satisfeitos. Já o item c) segue diretamente do Primeiro Teorema do Homomorfismo. Uma observação importante é que nenhum dos ítens do teorema acima valem para p-grupos em geral. Teorema 1.23 (A Fórmula de Compilação de Phillip Hall). Sejam G um grupo e x e. y ∈ G. Então, existem elementos ci = ci (x, y) ∈ γi ( x, y ), tais que (n) (n) xn yn ∼ = (xy)n c22 c33 . . . cn , para todos n ∈ N. Em outras palavras. (n) (n). xn yn ∼ = (xy)n modγ2 x, y 2 γ3 x, y 3 . . . γ2 x, y . A Fórmula de Compilação de Phillip Hall é especialmente significativa quando G tem expoente primo p, desde que p divide pi para todo i ≤ i ≤ p − 1. Consequentemente, podemos escrever. 0 x p y p = (xy) p zc p , onde z ∈ f1 x, y . Definição 1.24 Seja G um p-grupo finito. Dizemos que G é um p-grupo regular se . 0 x y = (xy) modf1 x, y , para todos x, y ∈ G. p p. p. 0 . . 0 Equivalentemente, se c p = c p (x, y) ∈ f1 x, y , ou seja, se γ1 x, y ≤ f1 x, y . Definição 1.25 Um subgrupo N de um p-grupo finito G é dito potentemente imerso em G, se N p ≥ [N, G], para p 6= 2 ( ou N 4 ≥ [N, G], para p = 2) e denotamos por N p.i.G. Algumas observações importantes podem ser feitas sobre tais subgrupos. A primeira é que [N, N] ≤ N 2 é sempre verdade pois N/N 2 tem expoente 2, portanto é.

(29) 1.4 p-Grupos Potentes. 30. abeliano. Outro fato importante é que se N p.i.G, então N é normal em G. Ainda mais, se N p.i.G, então N/N p ≤ Z(G/N p ). Agora, seja ϕ : G → G1 um homomorfismo qualquer do grupo G no grupo G1 . Temos que N ϕ ≤ G1 e [N ϕ , Gϕ ] = [N, G]ϕ ≤ (N p )ϕ = (N ϕ ) p . Portanto, N ϕ é potentemente imerso em Gϕ . Em particular, qualquer quociente de G é potentemente imerso. Lema 1.26 Seja G um p-grupo finito e sejam N, M subgrupos potentemente imersos em G. Então, [M, N], M p e MN são potentemente imersos em G. Ainda, se H ≤ G é tal que N é normal em G, N ≤ H não é potentemente imerso em H, então existe um subgrupo normal J de G, tal que • se p é impar, N p [N, H, H] ≤ J ≤ N p [N, H] e [N p [N, H] : J] = p; • se p = 2, N 4 [N, H]2 [N, H, H] ≤ J ≤ N 4 [N, H] e [N 4 [N, H] : J] = 2. Definição 1.27 Um p-grupo finito G é dito potente se, e somente se, G é potentemente imerso em si mesmo, ou seja, G p ≥ [G, G] para p 6= 2 (ou G4 ≥ [G, G] para p = 2). Outra caracterização desses grupos no caso p ímpar é a seguinte: se p é ímpar, G é potente se, e somente se, G p = Φ(G) = f1 (G). Novamente observamos que [G, G] ≤ G2 é sempre verdade, e se H é um subgrupo potentemente imerso em G, então H é potente. Corolário 1.28 Se G é um p-grupo potente, então [G, G], G p , Φ(G), G(k) , γk (G) para todo k ∈ N, são potentemente imersos em G. Lema 1.29 Se G é um p-grupo potente, então i i a) G p = fi (G) = {x p | x ∈ G}, para todo i ∈ N; i b) G p formam uma série central de G. Se exp(G) = pe , então G é nilpotente de classe menor ou igual a e. Seja G um p-grupo finito e faça P1 (G) = G, Pi+1 (G) = Pi (G) p [Pi (G), G], para i ≥ 1..

(30) 1.4 p-Grupos Potentes. 31. Para simplificar a notação escrevemos Gi = Pi (G). Lema 1.30 Seja G um p-grupo potente. Então p a) para cada i, Gi é potentemente imerso em G e Gi+1 = Gi = Φ(Gi ); b) para cada i, a aplicação x 7→ x p induz um homomorfismo de Gi /Gi+1 para Gi+1 /Gi+2 .. p p Teorema 1.31 Seja G = a1 , . . . , ar um p-grupo potente. Então, G p = a1 , . . . , ar . Demonstração. Seja θ : G/G2 → G2 /G3 o homomorfismo dado pelo lema anterior.. p p p Então, G2 /G3 é gerado por {θ(a1 G2 ), . . . , θ(ad G2 )}. Assim G2 = a1 , a2 , . . . , ar G3 . Como G3 = Φ(G2 ) e G2 = G p , o resultado segue pelo Lema 1.30. . Proposição 1.32 Se G = a1 , a2 . . . , ad é um p-grupo potente, então G = a1 · · · ar ,. isto é, G é o produto de seus subgrupos cíclicos a1 . O posto de um grupo G é o menor inteiro r, tal que todo subgrupo de G pode ser gerado por r elementos. Denotamos por rk(G) o posto de um grupo G. Para um p-grupo finito G, denotamos por d(G) a menor cardinalidade de um conjunto de geradores de G. Assim, d(G) é também a dimensão de G/Φ(G) como um espaço vetorial sobre F p . Se G é um p-grupo potente e H um subgrupo de G, então apresentaremos no próximo teorema que d(H) ≤ d(G). Consequentemente, como o posto de um grupo finito G é definido por rk(G) = sup{d(H) | H ≤ G}, se G é um p-grupo potente, então rk(G) = d(G). Teorema 1.33 Se G é um p-grupo potente e H é um subgrupo de G, então d(H) ≤ d(G). Definição 1.34 para um p-grupo finito G e um inteiro positivo r, V (G, r) denota a interseção dos núcleos de todos os homomorfismos de G sobre GLr (F p ). Relembramos que GLr (F p ) denota o grupo das matrizes r × r inversíveis com entradas em F p e Ur (F p ) o grupo das matrizes triangulares r × r com entradas em F p . Como a imagem de qualquer homomorfismo de um p-grupo G sobre GLr (F p ) é um p-grupo e todo p-subgrupo de GLr (F p ) é conjugado de um subgrupo do menor grupo unitriangular Ur (F p ), podemos definir V (G, r) como a interseção dos núcleos de todos os homomorfismos de G sobre Ur (F p ). Apenas note que um elemento g ∈ G pertence a V (G, r) se, e somente se, g age trivialmente em toda representação linear de G sobre qualquer F p -espaço vetorial de dimensão no máximo r. Para r ∈ N, definimos o inteiro λ(r) por 2λ(r)−1 < r ≤ 2λ(r) ..

(31) 1.4 p-Grupos Potentes. 32. Lema 1.35 i) O grupo Ur (F p ) tem uma série, de comprimento λ(r), de subgrupos normais, cujos fatores são abelianos elementares; ii) Se G é um p-grupo finito, então G/V (G, r) tem uma série com as propriedades acima. Proposição 1.36 Seja G um p-grupo finito e r um inteiro positivo. Ponha V = V (G, r) e seja W = V se p é ímpar, W = V 2 se p = 2. Se N C G, d(N) ≤ r e N ≤ W , então N é potentemente imerso em W . Teorema 1.37 Seja G um p-grupo finito de posto r. Então, G tem um subgrupo potente característico de índice no máximo prλ(r) se p é ímpar e pr+rλ(r) se p = 2. Demonstração. Ponha V = V (G, r). Pelo Lema 1.35, existe uma série de subgrupos normais de G para V , de comprimento no máximo λ(r), com cada fator abeliano elementar. Como G tem posto r, cada fator tem ordem no máximo pr e assim | G : V |≤ prλ(r) . Se p é ímpar, a Proposição 1.36 mostra que V é potente. Se p = 2, sabemos pela Proposição 1.36 que V 2 é potente, e como | V /V 2 |≤ 22 , temos | G : V 2 |≤ pr+rλ(r) . Isso completa a demonstração. . Lema 1.38 Seja G um grupo de expoente primo p e posto r. Então | G |≤ ps , onde s = s(r) é um número dependendo somente de r. Demonstração. Pelo Teorema 1.37, temos um subgrupo potente característico N de G de índice no máximo pµ(r) , onde µ(r) é um número dependendo somente de r. O Corolário 1.35 mostra que N é o produto de no máximo r subgrupos cíclicos. Portanto, N tem ordem no máximo pr e o resultado segue. .

(32) CAPÍTULO 2. Grupos Profinitos. Neste capítulo apresentamos alguns resultados sobre topologia discreta e grupos profinitos. Definimos um grupo profinito como sendo um espaço de Hausdorff compacto totalmente desconexo ou simplesmente o limite inverso de grupos finitos. Estendemos também os conceitos sobre a teoria de Sylow para grupos profinitos, não deixando de citar, é claro, o Teorema de Lagrange. Estes e outros resultados sobre o estudo dos grupos profinitos podem ser encontrados em [21].. 2.1. Espaços Topológicos. Um espaço topológico é um conjunto X juntamente com uma família de subconjuntos, chamado conjuntos abertos, satisfazendo as seguintes condições: a) O conjunto vazio 0/ e X são ambos conjuntos abertos; b) A intercessão de quaisquer dois conjuntos abertos é também um conjunto aberto; c) A união de uma coleção qualquer de conjuntos abertos é também um conjunto aberto. O conjunto de todos os conjuntos abertos de X é chamado topologia em X. Um subconjunto de X é fechado se seu complementar é aberto. Se Y é um subconjunto de X, o fecho Y de Y é a interseção de todos conjuntos fechados contendo Y ; assim Y é também um conjunto fechado. Um subconjunto Y de X é chamado denso em X se Y = X. Uma vizinhança aberta de um elemento x ∈ X é um conjunto aberto que contém x. Uma base para a topologia sobre X é uma coleção (Uφ | φ ∈ B) de conjuntos abertos, tais que todo conjunto aberto é uma união de alguns dos conjuntos Uφ e a base de uma vizinhança aberta de x é definida de modo similar. Qualquer conjunto X pode ser considerado como um espaço topológico definindo a topologia em que cada subconjunto é considerado aberto; esta topologia é chamada de topologia discreta sobre X, e o espaço topológico X é chamado de espaço discreto. Se Y é um subconjunto de um espaço topológico X, então a coleção de todos subconjuntos da forma Y ∩U com U aberto em X é uma topologia sobre Y . Isto é chamado.

(33) 2.1 Espaços Topológicos. 34. de subespaço topológico, e com respeito a esta topologia Y , é chamada de subespaço de X. Um espaço topológico X é chamado compacto se quando X=. [. Uα , onde Uα é aberto,. α∈A. então existe uma sub-família finita Uα1 ,Uα2 , · · · ,Uαn , tal que X = Uα1 ∪Uα2 ∪ · · · ∪Uαn . Equivalentemente, X é compacto se, quando (Cα | α ∈ A) é uma família de subconjuntos fechados com a propriedade que cada interseção de conjuntos finitos é não vazia e segue que a interseção de todos os conjuntos é não vazia. Pela afirmação que um subespaço Y de um espaço X é compacto, queremos dizer que Y é compacto com respeito ao subespaço topológico. Um espaço X é chamado de Hausdorff , se dados quaisquer dois elementos distintos x, y de X, existem vizinhanças abertas U, V de x, y respectivamente, tais que / Se X é Hausdorff, então segue imediatamente que {x} é fechado para cada U ∩ V = 0. elemento x ∈ X. O espaço X é chamado conexo se não pode ser escrito como união disjunta de dois subconjuntos abertos não vazio. Por outro lado, X é totalmente desconexo se todo subespaço conexo tem no máximo um elemento. Os espaços com os quais estamos interessados são espaços de Hausdorff, compacto e totalmente desconexo. Lema 2.1 Seja X um espaço de Hausdorff compacto. / então existem subconjuntos a) Se C, D são subconjuntos fechados tais que C ∩ D = 0, / abertos U, V , tais que C ⊆ U, D ⊆ V e U ∩V = 0. b) Sejam x ∈ X e A a interseção de todos os subconjuntos de X contendo x, que é simultaneamente fechado e aberto. Então A é conexo. c) Se X é totalmente desconexo, então todo conjunto aberto é uma união de conjuntos que são simultaneamente fechados e abertos. Demonstração. Será omitida, mas pode ser encontrada em ([35], p. 02). . Lema 2.2 a) Cada subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto. b) Cada subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado. c) Se f : X → Y é contínua e X é compacto, então f (X) é compacto. d) Se f : X → Y é contínua e bijetora e se X é compacto e Y é Hausdorff, então f é um homeomorfismo..

(34) 2.1 Espaços Topológicos. 35. e) Se f : X → Y e g : X → Y são contínuas e Y é Hausdorff, então o conjunto {x ∈ X | f (x) = g(x)} é fechado em X. Demonstração. As demonstrações dos ítens a), b) e c) serão omitidos e podem ser encontrados em [18]. Para provar d) é suficiente mostrar que a imagem por f de cada subconjunto fechado de X é fechado. Então segue de a), b) e c). Agora para concluirmos, suponha por contradição que N = {x ∈ X | f (x) 6= g(x)}, seja y ∈ N, onde U e V são subconjuntos abertos de Y contendo f (y) e g(y). Assim f −1 (U) ∩ g−1 (V ) é uma vizinhança aberta de x e está contida em N. Portanto N é uma união de conjuntos abertos e assim é aberto. Assim fica provado o item e). . Lema 2.3 Seja X um espaço totalmente desconexo. Então {x} é fechado em X, para cada x ∈ X. Demonstração. Seja C o fecho de {x}. Se C é a união de dois subconjuntos abertos disjuntos A, B, com x ∈ A, então A é fechado em C e assim é fechado em X, de modo que teremos A = C. Segue que o conjunto fechado C é conexo e que C = {x}. Portanto X é totalmente desconexo. Seja ρ uma relação de equivalência sobre um espaço topológico X e escrevemos X/ρ para o conjunto quociente e q para a função quociente de X em X/ρ. A topologia quociente sobre X/ρ é a topologia onde os conjuntos abertos são os subconjuntos V de X/ρ tais que q−1 (V ) é aberto em X. Assim se X/ρ é dado com a topologia quociente, então a função quociente q é contínua. É fácil verificar que q tem a seguinte propriedade: se f : X → Z é uma função contínua em um espaço Z tal que elementos equivalentes com respeito a ρ tem a mesma imagem sob f , então existe uma única função contínua f ∗ : X/ρ → Z tal que f = f ∗ q : f. /Z |= | || q || f ∗ | |. X. X/ρ. 2.1.1. Produtos de Espaços Topológicos. O produto cartesiano de uma família (Xλ | λ ∈ Λ) de conjuntos é o conjunto [ C = ∏ Xλ onde os elementos são aplicações x de Λ em Xλ com a propriedade que λ∈Λ. λ. x(λ) ∈ Xλ para cada λ. Analisaremos os elementos de C como vetores com entradas indexadas pelos elementos de Λ. Assim um elemento de C será escrito como (xλ ). A este.

(35) 2.1 Espaços Topológicos. 36. elemento corresponde a função que aplica λ em xλ . A função projeção πλ é uma aplicação que toma um elemento de C para cada λ. O produto de uma família finita X1 , X2 , · · · , Xn de conjuntos é denotada por X1 × X2 × · · · × Xn . Agora suponha que cada Xλ é um espaço topológico. O produto topológico sobre C tem como conjuntos abertos todas as uniões de conjuntos da forma: −1 π−1 λ1 (U1 ) ∩ · · · ∩ πλn (Un ),. com n finito e cada λi ∈ Λ e Ui aberto em Xλi . Portanto, cada função projeção πλ é contínua. De fato o produto topológico é a menor topologia na qual cada função projeção é contínua. Seja Z um espaço topológico e f : Z → C uma função, dizemos que f é contínua se, e somente se, cada função πλ f é contínua. A implicação "somente se" é direta. Suponha que cada função πλ f é contínua. Se Ui é aberto em Xλi , para i = 1, 2, . . . , n, então cada (πλi f )−1 (Ui ) é aberto em Z e assim o conjunto f −1 (. n \. π−1 λi (Ui ) =. i=1. n \. (πλi f )−1 (Ui ). i=1. é aberto em Z. Teorema 2.4 Seja (Xλ | λ ∈ Λ) uma família de espaços topológicos e seja C seu produto cartesiano. a) Se cada Xλ é Hausdorff, assim é C. b) Se cada Xλ é totalmente desconexo, assim é C. c) Se cada Xλ é compacto, assim é C.. Demonstração. Será omitida, mas pode ser encontrada em ([35], p. 4).. 2.1.2. . Grupos Topológicos. Um grupo topológico é um grupo G com a propriedade que a função multiplicação m : G×G → G (a, b) 7→ ab e a função inversa i:G → G a 7→ a−1.

(36) 2.1 Espaços Topológicos. 37. são contínuas. Lema 2.5 Seja G um grupo topológico. a) A função (x, y) 7→ xy de G × G em G é contínua e a função x 7→ x−1 de G em G é um homeomorfismo. Para cada g ∈ G a função x 7→ xg e x 7→ gx de G para G são homeomorfismos. b) Se H é um subgrupo aberto de G (respectivamente fechado), então toda classe Hg ou gH de H em G é aberto (respectivamente fechado). c) Todo subgrupo aberto de G é fechado e todo subgrupo fechado de índice finito é aberto. Se G é compacto, então todo subgrupo aberto de G tem índice finito. d) Se H é um subgrupo contendo um subconjunto aberto não vazio U de G, então H é aberto em G. e) Se H é um subgrupo de G e K é um subgrupo normal de G, então H é um grupo topológico com respeito a subgrupos topológicos, G/K é um grupo topológico com respeito a quocientes topológicos e a função quociente q de G em G/K leva conjuntos abertos em conjuntos abertos. f) G é Hausdorff se, e somente se, {1} é um subconjunto fechado de G e se K é um subgrupo normal de G, então G/K é Hausdorff se, e somente se, K é fechado em G. Se G é totalmente desconexo, então G é Hausdorff. g) Se G é compacto e Hausdorff e se C, D são conjuntos fechados, então o conjunto CD é fechado. h) Suponha que G é compacto e seja (Xλ | λ ∈ Λ) uma família de subconjuntos fechados com a propriedade que para todos λ1 , λ2 ∈ Λ existe um elemento µ ∈ Λ para o qual \ \ Xµ ⊆ Xλ1 ∩ Xλ2 . Se Y é um subconjunto fechado de G, então ( Xλ )Y = XλY . λ∈Λ. λ∈Λ. Demonstração. a) A aplicação do espaço X em G × G é contínua se, somente se o produto das aplicações projeções forem cada uma contínua. Assim se θ : G → G e ϕ : G → G são contínuas, então a aplicação x 7→ (θ(x), ϕ(x)) de G → G × G também será contínua. Primeiro tomemos θ constante, ou seja x 7→ 1 e para ϕ a aplicação identidade idG , agora compondo o resultado dessa aplicação com a aplicação contínua c : (x, y) 7→ xy−1 de G × G → G, concluímos que a aplicação x 7→ x−1 é contínua por ser igual ao seu inverso, então é um homeomorfismo. Assim a aplicação (x, y) 7→ (x, y−1 ) é contínua e o seu produto com c, (x, y) 7→ xy também é contínua. Agora tomemos θ como a aplicação idG e ϕ a aplicação constante x 7→ g−1 , fazendo o resultado do produto com a aplicação c, concluímos que a aplicação x 7→ xg é contínua e a inversa x 7→ xg−1 são contínuas. De modo análogo podemos tomar a aplicação x 7→ gx..

(37) 2.1 Espaços Topológicos. 38. b) Segue direto de a). c) Temos G\H = ∪(Hg | g ∈ / H). Assim se H é aberto, então segue direto de b) que G\H também será, e por outro lado, o complementar de aberto é fechado, portanto H é fechado. Se H possui índice finito, então G\H é uma união de uma quantidade finita de classes, e assim se H é fechado, então segue direto de b) que G\H também é e H é aberto. Se H é aberto, então os conjuntos Hg são abertos e disjuntos e sua união é todo o grupo G. Segue da definição de compacidade que se G é compacto, então H tem índice finito em G. d) Segue por a) que cada conjunto Uh = {uh | u ∈ U} é aberto e, assim, H = ∪(Uh | h ∈ H). e) A afirmação sobre H é clara, pois se trata de um subgrupo de um grupo topológico. Seja V um aberto em G. Por a), kV é aberto para cada k ∈ K e segue que V1 = KV é aberto. Assim já que q(V ) = q(V1 ) e q−1 q(V1 ) = V1 , segue que q(V ) é aberto em G/K. Relembremos que a aplicação G/K × G/K → G/K definida por (ξ, ς) 7→ ξς−1 é contínua. Seja U aberto em G/K e seja (Kw1 , Kw2 ) ∈ m−1 (U). Assim, as aplicações q e (x, y) 7→ xy−1 são aplicações de G × G → G, então existem vizinhanças abertas W1 ,W2 de w1 , w2 , tal que W1W2−1 ⊆ q−1 (U) e assim q(W1 ) × q(W2 ) é uma vizinhança aberta de (Kw1 , Kw2 ) em G/K × G/K levando em m−1 (U), como queríamos. f ) Vimos anteriormente que todo conjunto formado por um elemento no espaço de Hausdorff é fechado. Também mostramos que se o conjunto {1} é fechado, então G é Hausdorff. Sejam a, b elementos distintos de G. Por a), o conjunto {ab−1 } é fechado. Então existe um conjunto aberto U com 1 ∈ U e ab−1 ∈ / U. A aplicação (x, y) 7→ xy−1 é contínua e a imagem inversa de U é aberta. Segue que existe conjuntos abertos V,W / Como contendo 1 tais que VW −1 ⊆ U. Com isso, ab−1 ∈ / VW −1 e, assim, aV ∩ bW = 0. aV, bW são abertos, a primeira afirmação de f ) segue. A segunda e a terceira afirmações são consequências imediatas da primeira, juntamente com a definição da topologia quociente e também do Lema 2.3. g) Usaremos o Lema 2.2. Já que C, D são fechados e G é compacto, então ambos C e D são compactos, e assim é a imagem de C × D sobre a aplicação contínua (x, y) 7→ xy. Esta imagem é CD e como G é Hausdorff, cada subconjunto compacto é fechado. h) Claramente (∩Xλ )Y ⊆ ∩(XλY ). Se g ∈ / (∩Xλ )Y , então gY −1 ∩ (∩Xλ ) = / Portanto, como G é compacto, gY −1 e o conjunto Xλ são fechados, temos 0. / para um conjunto λ1 , . . . , λn . Portanto Xµ ⊆ Xλ1 ∩ · · · ∩ Xλn , gY −1 ∩ xλ1 ∩ · · · ∩ Xλn = 0,.

(38) 2.1 Espaços Topológicos. 39. para algum µ ∈ Λ e assim, temos gY −1 ∩ Xµ = 0/ e g ∈ / XµY . . Lema 2.6 Seja G um grupo topológico compacto. Se C é um subconjunto que é fechado e aberto e que contém 1, então C contém um subgrupo normal aberto. Demonstração. Para cada x ∈ C, o conjunto Wx = Cx−1 é uma vizinhança aberta de 1 tal que Wx x ⊆ C. Desde que a multiplicação seja uma aplicação contínua de G × G → G, existem conjuntos abertos Lx , Rx contendo 1, tais que a imagem de Lx × Rx está contida em Wx , isto é, tais que Lx Rx esteja contido em Wx . Denotemos Sx = Lx ∩ Rx . Assim, temos Sx Sx ⊆ Wx e Sx é aberto. Como C é compacto e a união destes conjuntos abertos C ∩ Sx x, e assim a união de uma quantidade finita destes conjuntos, digamos C ⊆ O conjunto S =. n \. n [. Sxi xi .. i=1. Sxi é aberto e contém 1. Temos. i=1. SC ⊆. n [. SSxi xi ⊆. i=1. n [. Wxi xi ⊆ C,. (2-1). i=1. e, assim, S ⊆ C. Seja T = S ∩ S−1 . Logo T é aberto, T = T −1 e 1 ∈ T . Escrevemos T 1 = T , para [ n > 1 e temos T n = T T n−1 seja H = T n . Segue que H é um grupo gerado por T e n>0. a união dos conjuntos da forma Ty são abertos. Por indução, usando 2-1, temos T n ⊆ C, para todo n > 0. Segue que H ⊆ C. Pelo Lema 2.5 c), H tem índice finito em G e, assim, tem somente uma quantidade finita de conjugados em G. A interseção destes conjugados é portanto um subgrupo aberto normal contido em C. . Proposição 2.7 Seja G um grupo topológico compacto, totalmente desconexo. a) Todo conjunto aberto em G é uma união de classes de subgrupos normais abertos. b) Um subconjunto de G é fechado e aberto se, e somente se, é uma união de uma quantidade finita de classes de subgrupos normais abertos. c) Se X é um subconjunto de G, então seu fecho X satisfaz: X=. \. NX | N um subgrupo normal aberto de G .. C=. \. NC | N um subgrupo normal aberto de G .. Em particular,.

(39) 2.2 Grupos Profinitos e Completamento. 40. Para cada subconjunto fechado C, e a interseção dos subgrupos normais de G é um subgrupo trivial. Demonstração. a) Note que G é um espaço de Hausdorff, pelo Lema 2.5 f ). Seja U um conjunto aberto não vazio em G. Se x ∈ U, então Ux−1 é um conjunto aberto contendo 1 e assim pelo Lema [ 2.1c) e o Lema 2.6, Ux−1 contém um subgrupo normal aberto Kx . Portanto, U = Kx x. x∈U. b) Se P é um conjunto que é fechado e aberto, então por a) P é uma união de uma família de subgrupos normais abertos e desde que P seja compacto, P é também a união de uma subfamília finita dessas classes. Consequentemente, é claro que a união de uma quantidade finita de subgrupos normais abertos são ambos abertos e fechados. c) Segue de a) tomando complementares. Se y ∈ / X, então y tem uma vizinhança aberta / Portanto, disjunta de X e assim há um subgrupo normal aberto N satisfazendo Ny ∩ X = 0. y∈ / NX. Observação: Note que a definição de isomorfismo é equivalente à existência de um homomorfismo inverso (contínuo), mas não é equivalente à existência de um homomorfismo bijetor (contínuo).. 2.2. Grupos Profinitos e Completamento. Nesta seção fazemos uma discussão geral sobre limites inversos e apresentamos algumas definições e propriedades de grupos profinitos.. 2.2.1. Limites Inversos. Um conjunto dirigido é um conjunto parcialmente ordenado I, tal que para todos i, j ∈ I, existe um elemento k ∈ I para o qual i ≤ k e j ≤ k. Definição 2.8 Um sistema inverso (Xi , ϕi j ) de espaços topológicos indexado por um conjunto dirigido, consiste de uma família (Xi | i ∈ I) de espaços topológicos e uma família (ϕi j : X j → Xi | i, j ∈ I, i ≤ j) de funções contínuas, tal que ϕii é a função identidade idxi para cada i e ϕi j ϕ jk = ϕik , sempre que i ≤ j ≤ k.. ϕ jk ~~ ~. Xi. Xk @. ~~ ~ ~. ϕi j. @@ ϕ @@ ik @@ / Xi.

(40) 2.2 Grupos Profinitos e Completamento. 41. Conjuntos para os quais não seja especificado a topologia adotada serão considerados espaços topológicos com a topologia discreta. Se cada Xi é um grupo topológico e cada ϕi j é uma homomorfismo contínuo, então (Xi , ϕi j ) é chamado de sistema inverso de grupos topológicos. Exemplo. O seguinte diagrama mostra um exemplo muito simples de um Sistema Inverso.. 5o. . o 4 4o. . 2o. o 1 1o. 6o 5o 4o. o 3 3o. 3o. 3o. 2o. 2o. 2o. 2o. 1o. 1o. 1o. 1o. Neste exemplo, I = N e ≤ segue a ordem habitual. Para cada i ∈ N, temos que Xi := {1, 2, . . . , i} e as flechas indicam as aplicações ϕi+1 i. Por exemplo ϕ43 (4) = 3, ϕ43 (i) = 3, para i ≥ 3 e ϕ43 (i) = i, para i < 4.. Exemplo. Sejam (Z, +), I = N e a família de subgrupos {Z/pi Z | i ∈ N}, onde p é um primo fixo. Para i ≥ j, defina: ϕi j : Z/pi Z → Z/p j Z n + pi Z 7→ n + p j Z. Assim, ϕii = idZ/pi Z e ϕik = ϕ jk ϕi j , para todos Z/pi Z ≥ Z/p j Z ≥ Z/pk Z. Logo, (Z/pi Z, ϕi j ) é um sistema inverso..

(41) 2.2 Grupos Profinitos e Completamento. 42. Exemplo. Sejam (Z, +), I = N e a família de subgrupos {Z/iZ | i ∈ N}. Para i ≥ j e j | i, defina: ϕi j : Z/iZ → Z/ jZ n + iZ 7→ n + jZ. Assim, ϕii = idZ/iZ e ϕik = ϕ jk ϕi j , para todos Z/iZ ≥ Z/kZ ≥ Z/ jZ. Logo, (Z/iZ, ϕi j ) é um sistema inverso. Exemplo. Seja G um grupo e I uma família de subgrupos normais de índice finito (ou índice potência de p) ordenado pela inclusão inversa (seja Ui ≥ U j se, e somente se, Ui ⊆ U j ). Note que I é dirigido, pois para quaisquer U1 ,U2 ∈ I, V = U1 ∩ U2 ∈ I. Para U ≤ V , defina ϕVU : G/V → G/U gV 7→ gU para todo g ∈ G. Assim, ϕUU = id e o diagrama ϕUW. G/U. FF FF FF ϕUV FF ". / G/W x; x x x xx xx ϕVW. G/V comuta, para todo U ≥ V ≥ W . Logo (G/U, ϕVU ) é um sistema inverso. Sejam (Xi , ϕi j ) um sistema inverso de espaços topológicos e Y um espaço . topológico. Chamamos uma família ψi : Y → Xi | i ∈ I de funções contínuas compatíveis se ϕi j ψ j = ψi , sempre que i ≤ j. Esta condição pode ser expressa esquematicamente com a exigência que o diagrama abaixo comute:. ψ j . Xj. Y> >. . ϕi j. >> ψi >> > / Xi. Definição 2.9 O limite inverso (X, ϕi ) de um sistema inverso (Xi , ϕi j ) de espaços topológicos é um espaço topológico X juntamente com uma família compatível (ϕi : X → Xi ) de funções contínuas com a seguinte propriedade universal: sempre que (ψi : Y → Xi ) é uma família compatível de funções contínuas de um espaço Y , existe uma única função contínua ψ : Y → X, tal que ϕi ψ = ψi , para cada i..

(42) 2.2 Grupos Profinitos e Completamento. 43. Temos que existe uma única ψ, tal que o diagrama abaixo seja comutativo.. ψ j . Y? ?. ?? ψi ?? ?? Xj ∃!ψ 3 Xi ? _?? ?? ϕi j ? ϕ ϕ j ?? i . X. No próximo resultado, mostramos que o limite inverso existe e é único. Proposição 2.10 Seja (Xi , ϕi j ) o sistema inverso, indexado por I. (2) (1) a) Se (X (1) , ϕi ) e (X (2) , ϕi ) são limites inversos do sistema inverso, então existe um (2) (1) isomorfismo ϕ : X (1) → X (2) , tal que ϕi ϕ = ϕi , para cada i. b) Escrevemos C = ∏ Xi e para cada i escrevemos πi para a função projeção de C para i∈I. Xi e definimos: X = {c ∈ C | ϕi j π j (c) = πi (c), para todos i, j com j ≥ i} e ϕi = πi |X , para cada i. Então (X, ϕi ) é um limite inverso de (Xi , ϕi j ). c) Se (Xi , ϕi j ) é um sistema inverso de grupos topológicos Xi e homomorfismos contínuos ϕi j , então X é grupo topológico e as funções ϕi são homomorfismo contínuos. Demonstração. a) A prova da unicidade segue os argumentos de rotina. Conforme citado no capítulo anterior, a definição de isomorfismo é equivalente à existência de um homomorfismo inverso. Para mostrar que existe esse isomorfismo, faremos uso da (1) (2) propriedade universal de (X (1) , ϕi ) aplicada pela família (ϕi ) de funções compatíveis (1) (2) produzindo assim, uma função ϕ(1) : X (2) → X (1) , tal que ϕi ϕ(1) = ϕi para cada i. De (2) (1) modo similar, obtemos uma função ϕ(2) : X (1) → X (2) tal que ϕi ϕ(2) = ϕi para cada i. (1) Mas pela propriedade universal de (X (1) , ϕi ), existe somente uma função ψ : X (1) → X (1) (1) (1) com a propriedade que ϕi ψ = ϕi , para cada i. No entanto, ϕ(1) ϕ(2) e idX (1) tem essa propriedade. Observe pelos diagramas X (1). ψ. /. (1). X (1). ϕi. 2/. Xi. ϕ(1). 2/. X (1). (1). (1). ϕi. X (1). ϕ(2). /. X (2) id. X (1).