Universidade Federal do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia
Escola Politécnica Engenharia Naval e Oceânica
“Modelo Analítico Simplificado Da Influência Das Linhas De Ancoragem E Risers Em Uma Simulação Em CFD Do Movimento De Heave De Uma Plataforma
Monocoluna”
Aluno
Daniel Debatin Ferraz de Araujo DRE: 104053187
Professor Orientador Carl Horst Albrecht, D.Sc.
Rio de Janeiro, RJ – Brasil Setembro de 2017
ESCOLA POLITÉCNICA
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA
“Modelo Analítico Simplificado Da Influência Das Linhas De Ancoragem E Risers Em Uma Simulação Em CFD Do Movimento De Heave De Uma Plataforma
Monocoluna”
Daniel Debatin Ferraz de Araujo – DRE 104053187
Projeto Final Submetido Ao Corpo Docente Do Departamento De Engenharia Naval E Oceânica Da Escola Politécnica Da Universidade Federal Do Rio De Janeiro Como Parte Dos Requisitos Necessários Para A Obtenção Do Grau De Engenheiro Naval e Oceânico.
Aprovado por:
___________________________________________________ Prof. Carl Horst Albrecht, D.Sc. ___________________________________________________ Prof. Alexandre Teixeira de Pinho Alho, D.Sc.
___________________________________________________ Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
Rio de Janeiro, RJ – Brasil Setembro de 2017
MODELO ANALÍTICO SIMPLIFICADO DA INFLUÊNCIA DAS LINHAS DE ANCORAGEM E RISERS EM UMA SIMULAÇÃO EM CFD DO MOVIMENTO DE
HEAVE DE UMA PLATAFORMA MONOCOLUNA
Daniel Debatin Ferraz de Araujo Setembro/2017
Departamento: Engenharia Naval e Oceânica
Resumo do Trabalho:
Foi modelada analiticamente a rigidez das linhas de ancoragem e criado um modelo numérico em CFD de uma plataforma de exploração de petróleo do tipo monocoluna. Análises de movimento foram executadas e os resultados de movimento de “heave” foram comparados com e sem a modelação das linhas de ancoragem.
Agradecimentos
Aos meus pais, pelo amor, incentivo е apoio incondicional. Por todo esforço que fizeram para que eu pudesse chegar até aqui.
À Patrícia Alves Capitão, que me deu tanto suporte no início da minha jornada profissional.
À Eliza dos Santos Azevedo, cuja amizade me deu ânimo para superar tantos desafios.
Aos colegas de faculdade que estiveram juntos, trocando ideias e perdendo noites de sono fazendo trabalhos.
Ao meu amigo e irmão, Rodrigo Alves Coelho, por todas as nossas pizzas com coca-cola e por segurar as pontas quando eu precisei me ausentar. Hail!!
Aos professores Severino, Alho e Carl, que acreditaram que eu conseguiria e me ajudaram a finalizar mais essa demanda.
À Nara Oliveira de Lima Rocha, que pegou no meu pé e apesar das minhas reclamações foi a responsável por me colocar nos eixos e me fazer realmente querer fechar este ciclo. Te amo, Canjica.
“As coisas que um dia eu imaginei como minhas maiores conquistas foram apenas o primeiro passo rumo a um futuro que apenas comecei a vislumbrar”
Sumário Agradecimentos ... 4 1. Introdução ... 7 1.1. Objetivos ... 8 2. A plataforma MONO BR ... 9 3. Metodologia ... 12 3.1. Decaimento em heave ... 12 3.2. CFD e as equações RANS ... 15 4. Modelos ... 18 4.1. Modelo físico ... 18 4.2. Modelo numérico ... 19
4.2.1. Definição do domínio fluido ... 20
4.2.2. Condições de contorno ... 22
4.2.3. Configurações da malha computacional ... 25
4.3. Modelo Analítico ... 27
4.3.1. Equação da catenária ... 29
4.3.2. Constante de rigidez da mola equivalente ... 31
5. Análise dos Resultados ... 33
6. Comentários finais ... 36
1. Introdução
Unidades FPSO costumavam ser construídas à partir do reaproveitamento de antigos petroleiros, porém, com o passar dos anos a frota de navios disponíveis para conversão foi se tornando escassa, o que levou a indústria a procurar por projetos alternativos para suprir a demanda por unidades FPSO. Uma das soluções propostas foi a plataforma monocoluna, cuja geometria do casco é caracterizada por uma forma tipicamente cilíndrica (Figura 1.1). A geometria cilíndrica proporciona um bom comportamento em ondas, caracterizado por pequenas amplitudes no movimento de jogo (pitch).
Figura 1.1: Plataforma Monocoluna
Um aspecto importante no projeto de plataformas monocoluna refere-se à amplitude do movimento de afundamento (heave). Os deslocamentos verticais em plataformas deste tipo são de grande relevância no projeto dos sistemas de ancoragem, sistemas de risers e seus respectivos sistemas de suporte, influenciando principalmente na possibilidade de uso de árvores de natal secas, que são equipamentos de controle da cabeça do poço instalados sobre o convés da embarcação ao invés de instalados no fundo do mar e melhorando as condições para a utilização de “risers” rígidos, tornando o projeto mais barato. Esta é a principal motivação que inspira este trabalho.
1.1. Objetivos
Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um modelo numérico em CFD (Computational Fluid Dynamics) aplicado à simulação do movimento de heave (afundamento) de uma plataforma do tipo monocoluna. O desempenho do modelo numérico será investigado exclusivamente para o movimento de heave sob a condição de decaimento livre e sob o efeito de forças de amortecimento modeladas como molas equivalentes.
Esta mola equivalente será modelada a partir de uma simplificação extrema dos modelos analíticos que descrevem as forças de reação nas extremidades de cabos dispostos em forma de catenárias.
Os resultados apresentados incluem uma comparação das curvas de decaimento obtidas em ensaios de laboratório com o modelo numérico e um gráfico comparativo entre as taxas de amortecimento, também, entre o obtido em laboratório e o modelo numérico. A estrutura de referência adotada para o desenvolvimento do trabalho foi a plataforma FPSO – MONO BR.
2. A plataforma MONO BR
Um dos principais desafios da Petrobrás era produzir petróleo em águas ultra profundas, reduzindo ao máximo o impacto do balanço das ondas nas plataformas para evitar o rompimento da tubulação que liga os poços produtores à embarcação. Sob este contexto surgiu o FPSO MONO BR [1] (Figura 2.1), plataforma de produção de petróleo que usa a própria água do mar como contraponto à agitação do oceano.
Figura 2.1: Concepção da MONO BR
A MONO BR é uma plataforma do tipo semi-submersível com apenas uma coluna cilíndrica ligando o convés aos submarinos de flutuação, enquanto que as plataformas semi-submersíveis tradicionais possuem de 4 a 6 colunas.
Possui uma grande piscina, ou moonpool, no meio da coluna de sustentação em permanente troca de água com o mar, seguindo a variação das ondas. Possui também uma "praia" em volta da coluna de sustentação, na região da linha d’água, para reduzir o choque das ondas no casco, o que ajuda a manter a estabilidade da plataforma em dias de mar agitado e uma “saia” projetada para reduzir os movimentos verticais.
A “praia” recebe este nome por simular o efeito que uma praia real tem sobre as ondas do mar, dissipando a energia dessas ondas pela variação do leito marinho. No caso da plataforma há uma variação na inclinação do casco na região da linha d’água.
Um dos problemas fundamentais que a MONO BR conseguiu resolver foi diminuir as amplitudes dos movimentos da unidade devido à ação das ondas, o que propicia maior flexibilidade operacional ao sistema, podendo ser utilizados risers de aço em catenária (SCR), com maiores diâmetros e maiores espessuras de isolamento térmico. Além destas vantagens, a Mono BR apresenta outras características interessantes, como:
• Possui amplo convés, o que é ideal, pois devido às características do petróleo brasileiro, de alta viscosidade, a planta de produção precisa aumentar para dar espaço aos robustos equipamentos de extração e de produção;
• Maior reserva de estabilidade nas condições intacta e avariada e maior flexibilidade para controle das mesmas;
• Número reduzido de tanques, diminuindo o custo com equipamentos e tempo com inspeções.
3. Metodologia
Para efetuar a comparação do decaimento em heave, foram utilizados os resultados de um ensaio de um modelo físico em escala, Marintek – 2006 e os resultados da simulação computacional de dois modelos numéricos em CFD (Computational Fluid Dynamics), um considerando a influência das linhas, modeladas analiticamente e outro sem a influência das linhas.
3.1. Decaimento em heave
Um ensaio de decaimento em heave de um corpo flutuante consiste em impor ao corpo um deslocamento inicial e deixa-lo oscilar até parar. A cada instante é medida a posição, velocidade e aceleração do centro de gravidade do corpo e com estas informações é possível obter, por exemplo, seu período natural de oscilação e as forças de amortecimento causadas pela interação da estrutura com o fluido.
Este comportamento pode ser modelado como um sistema mecânico simples do tipo massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade. A Figura 3.1.1 apresenta um esquema de um sistema deste tipo.
Figura 3.1.1: Sistema com um grau de liberdade
Utilizando a segunda lei de Newton, pode ser obtida a equação do movimento do sistema da Figura 3.1.1 [2].
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡)
Onde:
Fext(t): Força de excitação externa;
m: Massa do sistema;
k: Rigidez do sistema; 𝑥̈: Aceleração;
𝑥̇: Velocidade;
𝑥: Deslocamento;
E neste caso como não há forças externas agindo sobre o sistema a força de excitação pode ser desprezada, então a Equação 3.1.1 passa a ser escrita da seguinte forma:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0
Da Equação 3.1.2 é possível deduzir importantes relações, a saber: Frequência natural de oscilação:
𝜔0 = √𝑘 𝑚
Coeficiente de amortecimento crítico: 𝑐𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 = 2√𝑘𝑚 (3.1.4) Fator de amortecimento: 𝜉 = 𝑐 𝑐𝑐 (3.1.5)
Frequência natural amortecida: 𝜔𝑑 = 𝜔0√1 − 𝜉2
(3.1.6)
E a solução da equação 3.1.2 é dada por: 𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒−𝜉𝜔0𝑡cos(𝜔𝑑𝑡)
3.2. CFD e as equações RANS
Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD, sigla inglesa para Computational Fluid Dynamics) é uma ferramenta computacional para simular o comportamento de sistemas que envolvam escoamento de fluidos, transferência de calor e outros processos físicos relacionados. Ela funciona resolvendo equações de escoamentos de fluidos (em uma forma especial) sobre uma região de interesse com condições específicas (conhecidas) nos contornos desta região. (Traduzido pelo autor, ANSYS Help.) 1
Os processos de momentum, transferência de calor e massa, campos de velocidade e pressão, bem como, as propriedades turbulentas do escoamento são completamente representados pelas equações de Navier-Stokes, porém, por não haver uma solução analítica conhecida é preciso recorrer a métodos numéricos de resolução para obtermos a solução de um dado problema. No entanto, em problemas reais de engenharia, as escalas de tempo e espaço presentes abrangem um largo espectro, o que implica em algumas dificuldades para a solução do problema.
Uma alternativa clássica para a solução do tipo de problema abordado neste trabalho, escoamento turbulento em torno de um corpo flutuante, é a simulação numérica direta da turbulência. A técnica aplicada aqui consiste na adoção da média temporal das equações de Navier-Stokes e é conhecida como RANS (Reynolds-Averaged Navier- Stokes Equations).
A chave da modelagem RANS é a descrição das flutuações turbulentas de pressão e velocidade através de tensões de Reynolds ou tensões turbulentas.
Na forma indicial as equações de governo para o presente problema são descritas, para um fluido newtoniano incompressível, por:
𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑖 = 0 (3.2.1) 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑡 + 𝑢̅𝑗 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑢̅𝑗 = − 1 𝜌 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕 𝜕𝑥𝑗(𝜈 𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗 − 𝑢̅̅̅̅̅̅̅) + 𝑓′𝑖𝑢′𝑗 𝑖 (3.2.2) Onde:
u: Representa os termos de velocidade;
1 Computational Fluid Dynamics (CFD) is a computer-based tool for simulating the behavior of systems involving fluid
flow, heat transfer, and other related physical processes. It works by solving the equations of fluid flow (in a special form) over a region of interest, with specified (known) conditions on the boundary of that region.
p: Pressão;
: Viscosidade cinemática;
f: Acelerações devido às forças de corpo; 𝑢′
𝑖𝑢′𝑗
̅̅̅̅̅̅̅: Tensor de Reynolds.
As flutuações turbulentas inseridas nas equações de governo geram um sistema com mais incógnitas do que equações. A solução das equações RANS requer, portanto, a determinação destes termos turbulentos, o que torna necessária a adoção de modelos de turbulência para o fechamento do problema.
Neste trabalho foi utilizado o modelo de viscosidade turbulenta SST (Shear Stress Transport). O modelo SST representa, em si, a composição entre outros dois modelos de turbulência, o e . Onde,
representa a energia cinética turbulenta,
𝜅 =1
2𝑢̅̅̅̅̅̅̅ ′𝑖𝑢′𝑗 (3.2.3)
a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta,
𝜀 = 𝜐 (𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑥𝑗) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 (3.2.4) e a frequência turbulenta, 𝜔 = 𝜅 𝑉𝑡 (3.2.5)
Na aplicação do modelo, as equações de transporte para são utilizadas na região próxima à parede, enquanto as equações de transporte para são adotadas na região externa. A ponderação das contribuições de cada modelo é realizada através de uma função do tipo
Φ3 = 𝐹1Φ1+ (1 − 𝐹1)Φ2 (3.2.6)
A função de mistura F1 apresenta um valor igual a unidade na parede, decaindo
para o valor zero na região externa à camada limite. Os termos representam as contribuições de cada modelo. Uma descrição detalhada do modelo SST é apresentada
em [3]. A concepção do modelo SST permite um adequado transporte das tensões cisalhantes, resultando assim em predições acuradas da separação da camada limite sob condições de gradiente de pressão adverso.
4. Modelos
4.1. Modelo físico
O modelo físico utilizado no experimento, desenvolvido no Marintek em 2006, foi construído em escala 1:75 e seu conjunto é composto por:
• Casco;
• 13 linhas de ancoragem;
• 3 grupos de risers equivalentes.
As linhas de ancoragem e os grupos de risers foram truncados.
As dimensões principais do modelo são dadas na Tabela 4.1.1 abaixo.
Tabela 4.1.1: Dimensões do modelo
Característica Valor
Diâmetro externo do casco 1,329 m
Pontal do casco 0,773 m
Calado operacional 0,527 m
Diâmetro saia externa 1,585 m
Altura da saia 0,067 m
4.2. Modelo numérico
O escoamento ao redor de corpos submersos é um fenômeno complexo e essencialmente tridimensional e a representação destes fenômenos, tal como o observado ao redor de uma plataforma como a deste estudo, demanda um grande esforço computacional. Entretanto, para movimentos puramente de afundamento em plataformas monocoluna cujo casco possua uma forma cilíndrica de seção circular, é razoável prever que o escoamento ao seu redor apresente simetria axial. Tais características possibilitam a simplificação do modelo numérico ao permitir a adoção de um domínio bidimensional de análise.
A geometria do modelo numérico exportada para o programa ANSYS ICEM CFD, versão 14.0, foi desenvolvida em total semelhança geométrica com o protótipo considerando um valor de escala, equivalente a 1:75. As dimensões principais do modelo são descritas na Tabela 4.3.1.
Tabela 4.3.1: Dimensões do modelo
Característica Valor
Diâmetro externo do casco 1,329 m
Pontal do casco 0,773 m
Calado operacional 0,527 m
Diâmetro saia externa 1,585 m
Altura da saia 0,067 m
Ângulo de inclinação da praia 31º
Uma vez que o caso estudo é apenas para o movimento vertical, é razoável prever que a forma cilíndrica de seção circular do casco de referência resulte em um escoamento com simetria axial em relação ao eixo vertical. Por este motivo, de modo a reduzir o esforço computacional requerido, optou-se pela modelagem de uma geometria com simetria axial. Assim sendo, a geometria do modelo numérico representa uma cunha com angulação de 1 grau a partir da linha de centro do casco da plataforma, como mostrado na 4.3.1.
Figura 4.3.1: Geometria do modelo numérico
4.2.1. Definição do domínio fluido
O estudo necessário para a determinação do domínio fluido foi desenvolvido por PEREIRA [7] no seu projeto de graduação, nesta sessão será apresentado apenas um resumo do que foi feito por ela.
De forma semelhante à geometria da plataforma, o domínio fluido também foi definido em forma de cunha, com angulação de 1 grau (Figura 4.3.1.2). As dimensões da cunha principal foram determinadas de modo a minimizar possíveis efeitos de condições de contorno. Teoricamente, quanto maior o domínio menor é sua interferência nos resultados. Entretanto, trabalhar com um domínio muito grande impõe uma malha com muitos elementos, que gera maior esforço computacional durante o processamento do problema.
Sendo o objetivo deste trabalho comparar os resultados numéricos com os obtidos durante os ensaios no tanque de provas, optou-se por usar um domínio fluido com mesmas dimensões do Ocean Basin Laboratory, MARINTEK, local onde foram realizados os ensaios originais.
Figura 4.3.1.1: Modelo esquemático do tanque de provas
O tanque de ensaios do Ocean Basin Laboratory possui 50 m de largura e 10 m de profundidade. Tais dimensões foram integralmente adotadas para a configuração final do domínio fluido adicionando 1 m acima da linha d’água para que o corpo possa flutuar, simulando (Figura 4.3.1.2).
Figura 4.3.1.2: Dimensões do domínio fluido
11 m 25 m
4.2.2. Condições de contorno
As superfícies que compões o casco (Figura 4.3.2.1) foram divididas em duas partes: Skirt, representando a saia externa; e Hull, representando todo o resto. A estas superfícies foram definidas condições de contorno do tipo Wall no Slip, ou Parede sem Escorregamento, com velocidade do fluido na parede Vwall = 0 m/s.
Figura 4.3.2.1: Faces Hull e Skirt
Na superfície superior do domínio fluido, denominada Top (Figura 4.3.2.2), foi imposta a condição de contorno Opening, que representa superfície aberta, a qual não impõe limitações quanto à direção e ao sentido do vetor velocidade.
Hull
Figura 4.3.2.2: Superfície Top
Na superfície inferior do domínio fluido, denominada Bottom (Figura 4.3.2.3), e na superfície que representa a face externa do domínio, nomeada como Farfield (Figura 4.3.2.4), foram definidas condições de contorno do tipo Wall no Slip com Vwall = 0 m/s, pois representam o fundo e a parede do tanque de provas físico, respectivamente.
Figura 4.3.2.3: Superfície Bottom
Top
Figura 4.3.2.4: Superfície Farfield
As superfícies Symm1 e Symm2 (Figura 4.3.2.4 e Figura 4.3.2.5) representam as faces laterais do domínio fluido. Estas superfícies foram configuradas como planos de simetria.
Figura 4.3.2.5: Superfície Symm1
Farfield
Figura 4.3.2.6: Superfície Symm2
4.2.3. Configurações da malha computacional
O domínio fluido foi discretizado através de uma malha computacional estruturada multi-bloco, formada por elementos hexaédricos. Para a geração da malha na cunha principal dividiu-se o domínio fluido em vários blocos, possibilitando assim um melhor refinamento da malha nas regiões de maior interesse, conforme ilustrado na Figura 4.3.3.1.
Figura 4.3.3.1: Divisão do domínio fluido em blocos
Na região mais próxima ao casco, a malha deve possuir um maior refinamento de modo a garantir uma boa descrição do escoamento. Assim, a malha próxima ao casco foi formada por elementos hexaédricos com valores de altura e largura de 0,002 m (Figura 4.3.3.2). As regiões nos limites do domínio, por estarem mais afastadas do casco, demandam um nível menor de refinamento da malha, tendo sido discretizadas por elementos hexaédricos com valores de altura e largura de 0,25 m.
Figura 4.3.3.2: Malha próxima ao casco
4.3. Modelo Analítico
Além dos modelos físico e numérico pode-se desenvolver um modelo analítico do sistema onde as linhas de ancoragem e risers são representadas por uma equação da catenária, que descreve bem a geometria das linhas.
A linha em catenária age dinamicamente como se fosse uma mola, assim chamamos este modelo de mola equivalente.
Este modelo de mola equivalente só é válido para pequenos deslocamentos, pois devido à forte não linearidade geométrica da configuração em catenária, a força de restauração das linhas não pode ser considerada constante para grandes deslocamentos.
Hipóteses e simplificações:
i) Os sistemas de ancoragem e de risers estão organizados em forma de catenária;
ii) Sendo um ensaio de decaimento apenas em heave, no qual os movimentos horizontais, em princípio, são muito pequenos, considera-se que as linhas estejam em arranjo simétrico, suprimindo qualquer movimento que não seja o vertical;
iii) O cálculo da rigidez da mola equivalente será feito a partir do cálculo da força vertical quando aplicado um deslocamento vertical unitário, 𝐹𝑣 = 𝑘∆𝑧. Com ∆𝑧 = 1 ⇒ |𝐹𝑣| = |𝑘|;
iv) A variação do comprimento do cabo no leito marinho (∆𝑆) (grounded lenght) é desprezível para um deslocamento unitário. Isto está sendo admitido devido às dimensões do problema e para simplificar os cálculos, visto que este é um trabalho introdutório para esta linha de pesquisa e busca primeiro entender as relações físicas e de que forma elas podem ser quantificadas por meio de modelos numéricos;
v) Como consequência da hipótese (iv), a variação da força vertical será muito pequena, pois não haverá mudança significativa no peso da
catenária aplicado ao corpo. Assim podemos admitir que a força vertical na posição com deslocamento unitário é igual a força na posição inicial. Ou seja:
𝐹𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙= 𝐹𝑣 ⇒ |𝐹𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙| = |𝑘|
vi) O ângulo entre o leito marinho e o cabo é muito pequeno, 𝛼0 ≅ 0. A equação da catenária para um sistema de coordenadas com origem no leito do mar é dada por:
z =TH
μ [cosh ( μx
TH) − x] (4.3.1)
As relações entre as forças no cabo em catenária são dadas por: 𝑇2 = 𝑇 𝐻2+ 𝑇𝑉2 (4.3.2) 𝑇 = 𝑇𝐻√1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2[𝜇𝑥 𝑇𝐻+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 2(𝑡𝑎𝑛𝛼 0)] (4.3.3)
Substituindo uma equação na outra e aplicando a hipótese vi, obtemos:
𝑇𝑉 = 𝑇𝐻𝑠𝑒𝑛ℎ (𝜇𝑥𝑇
𝐻) (4.3.4) Onde:
T é a tensão na direção cabo;
TH é a tensão horizontal constante no cabo;
TV é a tensão vertical no cabo;
4.3.1. Equação da catenária
Figura 3.3.1: Esquema de ancoragem em catenária
Dados:
L – Distância horizontal do ponto de engate da linha na plataforma até o ponto em que a linha toca o leito marinho, em m;
h – Distância vertical do ponto de engate da linha na plataforma até o leito marinho, em m;
– O peso por unidade de comprimento do cabo, em N/m.
Substituindo L e h nas equações (4.3.1) e (4.3.4), obtemos 𝑇𝑉 = 𝑇𝐻𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑇𝜇𝐿 𝐻) (4.3.1.1) ℎ =𝑇𝐻 𝜇 [𝑐𝑜𝑠ℎ ( 𝜇𝐿 𝑇𝐻) − 1] (4.3.1.2) O objetivo é encontrar Tv que, segundo as hipóteses adotadas em 4.1, nos dará o módulo da constante de restauração vertical k da mola equivalente.
Desenvolvendo a equação (4.3.1.2) para obter TH.
ℎ =𝑇𝐻
𝜇 [𝑐𝑜𝑠ℎ ( 𝜇𝐿
𝜇ℎ 𝑇𝐻= 𝑐𝑜𝑠ℎ ( 𝜇𝐿 𝑇𝐻) − 1 (4.3.1.4) 𝜇ℎ𝑇1 𝐻+ 1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝜇𝐿 1 𝑇𝐻) (4.3.1.5)
Para encontrar uma solução em TH utilizamos uma modelação do tipo
𝐹1(𝑥) = 𝐹2(𝑥), onde a primeira parcela é uma reta e a segunda um cosseno hiperbólico. 𝑎𝑥 + 1 = cosh(𝑏𝑥) (4.3.1.6) Onde: 𝑥 = 1 𝑇⁄ 𝐻 𝑎 = 𝜇ℎ 𝑏 = 𝜇𝐿
Então foi feito uma tabela para as várias soluções destas funções:
O valor x = 0 é a solução trivial na qual não estamos interessados. Abaixo uma tabela para alguns valores de a e b e sua solução x.
a b F1 F2 x 1 1 2,616 2,616 1,616 1 2 1,466 1,467 0,466 1 3 1,215 1,215 0,215 1 4 1,123 1,123 0,123 1 5 1,079 1,080 0,079 1 6 1,055 1,055 0,055 1 7 1,041 1,041 0,041 1 8 1,031 1,032 0,031 1 9 1,025 1,025 0,025 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 F1(1/Th) F2(1/Th)
1 10 1,020 1,020 0,020 2 1 5,933 5,933 2,467 2 2 2,616 2,617 0,808 2 3 1,791 1,792 0,396 2 4 1,465 1,466 0,233 2 5 1,306 1,307 0,153 2 6 1,215 1,215 0,107 2 7 1,159 1,159 0,080 2 8 1,123 1,123 0,061 2 9 1,097 1,097 0,049 2 10 1,079 1,080 0,040
Para valores altos de b/a, a solução converge para x = 0 e valores intermediários podem ser interpolados.
Encontrado o valor de TH, basta substituir na equação (4.3.1.1) para obter TV.
4.3.2. Constante de rigidez da mola equivalente
Para cada grupo de linhas de ancoragem e de risers foi calculada uma constante de mola equivalente aplicando o que foi desenvolvido aqui.
As relações entre as forças no cabo em catenária são dadas por: 𝑇2 = 𝑇 𝐻2+ 𝑇𝑉2 (4.3.2.1) 𝑇 = 𝑇𝐻√1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2[𝜇𝑥 𝑇𝐻+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛ℎ 2(𝑡𝑎𝑛𝛼 0)] (4.3.2.2)
Substituindo uma equação na outra e aplicando a hipótese vi, obtemos:
𝑇𝑉 = 𝑇𝐻𝑠𝑒𝑛ℎ (𝜇𝑥𝑇
𝐻) (4.3.2.3) Onde:
T é a tensão na direção cabo;
TV é a tensão vertical no cabo;
é o peso por unidade de comprimento da linha;
Todos estes elementos trabalham como molas em paralelo, portanto foi calculada uma única mola com rigidez igual ao somatório de todas as molas representativas de cada uma das linhas. Esta única mola equivalente possui rigidez, na escala do modelo:
k = 88,7 N/m. Protótipo Modelo ( = 1:75) Cabo Qtd. h L h L a b 1/Th Tv Tv total [-] [-] [kN/m] [m] [m] [N/m] [m] [m] [N] [N] [1/N] [N] [N] ML_01 9 2,127 520 498,0 0,378 6,933 6,640 2,622 2,511 0,676 3,904 35,13 ML_02 4 2,983 520 285,0 0,530 6,933 3,800 3,677 2,015 1,548 7,297 29,19 RG_01 1 2,563 524,5 1130,5 0,456 6,993 15,074 3,187 6,869 0,108 7,513 7,51 RG_02 1 2,387 524,5 1183,6 0,424 6,993 15,781 2,967 6,696 0,193 8,727 8,73 RG_03 1 2,280 524,5 1218,4 0,405 6,993 16,246 2,834 6,584 0,174 8,123 8,12 88,7
5. Análise dos Resultados
Neste capítulo são apresentados os resultados para a simulação sem e com a mola equivalente, assim como uma comparação com os resultados obtidos em laboratório.
Abaixo estão os gráficos de deslocamento vertical, normalizados, para cada uma das situações.
Figura 5.1: Resultados dos ensaios de decaimento normalizados
Apesar do resultado do ensaio numérico utilizando a mola equivalente estar adiantado em relação à curva do ensaio experimental, é possível percebermos que a curva cheia acompanha a curva tracejada.
Abaixo, na Figura 5.2, vemos as curvas envoltórias dos ensaios numéricos, com a mola equivalente e experimental plotadas juntas. Note como as curvas são praticamente coincidentes. -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000
Figura 5.2: Comparação entre envoltórias A equação de descreve a envoltória é dada por:
𝑧 = 𝑒−𝜉𝜛0𝑡 (5.1)
Onde:
z é a amplitude do movimento;
0 é o produto do fator de amortecimento com a frequência natural;
t é o tempo.
Isolando 0:
𝜉𝜛0 = −𝑙𝑛(𝑧) t
Decaimento em heave numérico
z T -LN(z)/t m s s^-1 1,0000 0,0000 0,5920 2,0000 0,2622 0,3466 3,9000 0,2717 0,3067 5,8000 0,2038 0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 Ensaio Num_Amortecido
Decaimento em heave no tanque - Modelo z T -LN(z)/t m s s^-1 1,0000 0,0000 0,4658 2,8244 0,2705 0,2762 5,6557 0,2275
O produto 0 de ambas as curvas (Figura 5.2) são muito próximos, porém, como
visto na Figura 5.1, há uma grande divergência entre as frequências amortecidas do modelo numérico e do modelo experimental. Isto não é tão estranho, afinal era esperado que a adoção de uma constante de restauração extra afetasse o período de oscilação do sistema (Equação 3.1.3 e Equação 3.1.6). Portanto, é possível que esta diferença seja causada por não terem sidos considerados os efeitos da elasticidade das catenárias e das cargas hidrodinâmicas sobre elas.
6. Comentários finais
Neste trabalho o comportamento dinâmico de uma plataforma monocoluna foi avaliado através de um modelo numérico baseado em dinâmica dos fluidos computacional (CFD – Computational Fluid Dynamics). Simulou-se o movimento do casco em decaimento para duas situações, livre e considerando os efeitos de amortecimento dos sistemas de risers e de ancoragem.
Os resultados obtidos indicam que a modelagem matemática proposta para o amortecimento em heave representou de forma aproximada a influência na dinâmica da plataforma. Apesar de ser um resultado satisfatório para os fins deste trabalho, é necessário que o método seja refinado para que outros fatores importantes sejam levados em consideração. Também não podemos deixar de considerar possíveis erros numéricos que poderiam ser contornados com um melhor refinamento da malha e do passo de tempo.
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