UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
RENNAN OTAVIO KANASHIRO
MODELAGEM ESTOCÁSTICA E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DE
UMA VIGA EULER-BERNOULLI
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
CORNÉLIO PROCÓPIO – PR
RENNAN OTAVIO KANASHIRO
MODELAGEM ESTOCÁSTICA E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DE
UMA VIGA EULER-BERNOULLI
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito para obtenção do grau de “Mestre em Ciências” – Área de Concentração: Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. Edson Hideki Koroishi
Co-orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara-Molina
CORNÉLIO PROCÓPIO – PR 2017
Modelagem estocástica e validação experimental de uma viga Euler-Bernoulli / Rennan Otavio Kanashiro. – 2017.
86 f. : il. color. ; 31 cm
Orientador: Edson Hideki Koroishi. Coorientador: Fabian Andres Lara Molina.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós- graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2017.
Bibliografia: p. 84-86.
1. Método dos elementos finitos. 2. Processo estocástico. 3. Vigas. 4. Engenharia mecânica – Dissertações. I. Koroishi, Edson Hideki, orient. II. Molina, Fabian Andres Lara, coorient. III. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.
CDD (22. ed.) 620.1 Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio Procópio
Av. Alberto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR.
Tel. +55 (43) 3520-3939 / e-mail: ppgem-cp@utfpr.edu.br / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem Título da Dissertação Nº 016:
“Modelagem Estocástica E Validação Experimental
De Uma Viga Euller-Bernoulli
”
.
por
Rennan Otávio Kanashiro
Orientador: Prof. Dr. Edson Hideki Koroishi
Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração: Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Dinâmica De Sistemas Mecânicos, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 14h do dia 24 de abril de 2017. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:
__________________________________
Prof. Dr. Edson Hideki Koroishi
(Orientador – UTFPR - CP)
__________________________________
Prof. Dr. Marcio Aurelio Furtado Montezuma
(UTFPR - CP)
_________________________________
Prof. Dr. Marco Túlio Santana Alves
(UFBA – Câmpus Salvador)
Visto da coordenação: __________________________________
Prof. Dr. Rogério Akihide Ikegami
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica UTFPR Câmpus Cornélio Procópio
AGRADECIMETOS
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer a Deus.
Aos meus pais e meu irmão, que sempre me apoiaram e incentivaram. A meus avós, pessoas que são a base da minha vida.
A meu orientador Prof. Dr. Edson, e meu co-orientador Prof. Dr. Fabian, pelas orientações e ensinamentos.
A meus familiares, principalmente a minha Tia Eliza, que ajudou muito para que esse objetivo fosse cumprido.
À minha namorada, pelo apoio e compreensão durante esse tempo. A meus amigos e companheiros de sala, que me ajudaram direta e indiretamente.
A todos os professores, pelo conhecimento passado por eles. E a todos que fizeram parte dessa etapa de minha vida. Obrigado!
RESUMO
KANASHIRO, R. O. Modelagem estocástica e validação experimental de uma viga Euler-Bernoulli. 2017. 86 f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2017.
O presente trabalho apresenta uma modelagem estocástica de uma viga Euler-Bernoulli e, para isso, foi utilizado a técnica conhecida como Elementos Finitos Estocásticos, essa técnica tem sido bastante utilizada nos últimos anos devido à grande evolução da capacidade dos processadores, já que a mesma tem um grande custo computacional. Dentre as variáveis de projeto, os possíveis parâmetros incertos são o módulo de elasticidade, massa específica e os coeficientes de amortecimento proporcional, α e β. Pela análise de sensibilidade, foi possível verificar qual parâmetro tem maior influência na resposta do sistema. Foi utilizado, também, técnicas de otimização para identificar os parâmetros incertos. As incertezas foram modeladas como campos estocásticos gaussianos homogêneos e discretizadas de acordo com o método espectral utilizando a expansão de Karhunen-Loève. Já o método de Simulação de Monte Carlo combinado com a amostragem do Hipercubo Latino é utilizado como solucionador estocástico. E, por fim, foi realizado um experimento com uma viga na vertical, para obter os parâmetros por meio do problema inverso, sendo utilizadas técnicas de otimização neste processo de identificação, e assim, utilizá-los para obter o envelope e verificar o quanto o resultado experimental está dentro desse envelope.
Palavras chave: Elementos Finitos Estocásticos; Viga Euler-Bernoulli; Incertezas Paramétricas; Identificação de Parâmetros;
ABSTRACT
KANASHIRO, R. O. Modelagem estocástica e validação experimental de uma viga Euler-Bernoulli. 2017. 86 f. Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2017.
This paper presents a stochastic modeling of the Euler-Bernoulli beam and, here, it was used a technique known as Stochastic Finite Elements, this technique has been widely used in the last years due to large evolution of the capacity of the processors since it has a high computational cost. Among the design variables, the possible uncertain parameters are the modulus of elasticity, specific mass and the proportional damping coefficients, α and β. By the sensibility analysis, it was possible to verify which parameter has the biggest influence on the system response. Optimization techniques were also used to identify the uncertain parameters. The uncertainties are modeled as homogeneous Gaussian stochastic fields and discretized according to the spectral method by using Karhunen-Loève expansions. The Monte Carlo Simulation method combined with the Latin Hypercube Sampling is used as stochastic solver. Finally, an experiment was performed with a vertical beam, to obtain the parameters by means of the inverse problem, using optimization techniques in this identification process, and then, to use them to obtain the envelope and check how much the experimental result is inside it.
Keywords: Stochastic Finite Elements; Euler-Bernoulli Beam; Parametric Uncertainties; Parameter Identification;
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Elemento de viga com dois nós ... 13
Figura 2 – Problema Direto/Inverso ... 23
Figura 3 – Esquema gráfico do método DE ... 25
Figura 4 – Fluxograma do algoritmo DE ... 25
Figura 5 – Fluxograma do método GA ... 28
Figura 6 – Esquema da viga utilizada ... 31
Figura 7 – Régua utilizada dividida em 10 elementos e 11 nós. ... 33
Figura 8 – Equipamentos utilizados ... 34
Figura 9 – Esquema da rotina mostrando o número de elementos/iteração ... 35
Figura 10 – Erro das iterações de 1 até 10 ... 44
Figura 11 – Erro das iterações de 11 até 19 ... 44
Figura 12 – Gráfico de superfície com o erro da frequência natural para cada iteração ... 45
Figura 13 – FRF identificadas pelo método DE para as populações 50 e 100. ... 46
Figura 14 – FRF identificadas pelo método DE para as populações 150 e 200. ... 47
Figura 15 – FRF identificadas pelo método GA para as populações 50 e 100. ... 48
Figura 16 – FRF identificadas pelo método GA para as populações 150 e 200. ... 49
Figura 17 – Boxplot dos parâmetros identificado pelo método DE ... 50
Figura 18 – Boxplot dos parâmetros identificado pelo método GA. ... 51
Figura 19 – Boxplot da dispersão de cada método. ... 52
Figura 20 – Envelopes para as frequências naturais para faixa de 0-1000 Hz ... 54
Figura 21 – Envelopes para as frequências naturais para faixa de 0-1000 Hz ... 55
Figura 22 – Envelopes para as frequências naturais para a faixa de 0-150 Hz ... 56
Figura 23 – Envelopes para as frequências naturais para a faixa de 0-150 Hz ... 57
Figura 24 – Envelopes para o modo de vibrar (cenário A) ... 58
Figura 25 – Envelopes para o modo de vibrar (cenário B) ... 59
Figura 26 – Envelopes para o modo de vibrar (cenário C) ... 59
Figura 27 – Envelopes para o modo de vibrar (cenário D) ... 60
Figura 28 – Envelopes para o modo de vibrar (cenário E) ... 60
Figura 29 – Envelopes para as FRF do nó 2 ... 62
Figura 30 – Envelopes para as FRF do nó 3 ... 63
Figura 31 – Envelopes para as FRF do nó 4 ... 64
Figura 32 – Envelopes para as FRF do nó 5 ... 65
Figura 33 – Envelopes para as FRF do nó 6 ... 66
Figura 34 – Envelopes para as FRF do nó 7 ... 67
Figura 35 – Envelopes para as FRF do nó 8 ... 68
Figura 36 – Envelopes para as FRF do nó 9 ... 69
Figura 37 – Envelopes para as FRF do nó 10 ... 70
Figura 38 – Envelopes para as FRF do nó 11 ... 71
Figura 39 – Análise de sensibilidade para os cenários A, D e E. ... 72
Figura 40 – Análise de sensibilidade para os cenários B e C. ... 73
Figura 41 – FRF experimental ... 73
Figura 42 – FRF experimental e identificada ... 74
Figura 43 – Dispersão obtida pelo método DE ... 75
Figura 45 – Envelopes para os cenários A, B e C. ... 77
Figura 46 – Envelopes para os cenários D, E e F. ... 78
Figura 47 – Envelopes para os cenários G e H. ... 79
Figura 48 – Envelope para o cenário I. ... 80
LISTA DE SÍMBOLOS [𝑀] Matriz de massa [𝐶] Matriz de amortecimento [𝐾] Matriz de rigidez {𝑥} Vetor de deslocamento 𝜔 Frequência natural [Φ] Matriz modal 𝜆 Autovalores 𝑥(0) Condição inicial
{𝑞} Vetor de deslocamento em coordenadas modais [Ω] Matriz diagonal das frequências naturais
𝑢𝑥 Componente x do deslocamento
𝜃(𝑥) Rotação da linha central em relação a x 𝑦 Distância da linha central
𝜀𝑥𝑥 Deformação longitudinal
𝑎 Deslocamento generalizado
𝑢 Campo de deslocamento
𝑥 Coordenada cartesiana
𝐿 Comprimento
[𝑁] Matriz das funções de forma
[𝐵] Matriz da segunda derivada das funções de forma
[𝑀] Matriz parametrizada [𝐾] Matriz parametrizada 𝜎1 Tensão normal 𝐸 Módulo de elasticidade 𝑉 Volume 𝜌 Massa específica
𝐴 Área da secção transversal
𝐼 Momento de inércia
𝑓̅(𝑥) Média do campo
𝜆𝑛 Autovetores
𝜙𝑛(𝑥) Autovalores 𝐶𝑓𝑓(𝑥1, 𝑥2) Auto covariância
𝜉𝑛(𝜃) Conjunto de variáveis aleatórias não correlacionadas [𝑀(𝜃)] Matriz estocástica de massa
[𝐾(𝜃)] Matriz estocástica de rigidez
[𝑀𝑠] Matriz aleatória elementar de massa [𝐾𝑠] Matriz aleatória elementar de rigidez 𝐸(𝑢𝑖) Valor médio
𝜎2(𝑢𝑖) Variância
𝑠𝑇𝑖 Índice de efeito total
𝑥𝑟 Vetores
𝑆 Secção transversal
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 1 1.1. OBJETIVOS ... 5 1.1.1. Objetivo Geral ... 5 1.1.2. Objetivos Específicos ... 5 2. JUSTIFICATIVA ... 6 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 73.1. Conceitos Fundamentais em Vibrações Mecânicas ... 7
3.2. Modelo determinístico de uma viga Euller-Bernoulli ... 11
3.3. Parametrização do modelo determinístico ... 17
3.4. Modelo estocástico de uma viga Euler-Bernoulli ... 18
3.5. Simulação de Monte Carlo associado a Hipercubo Latino ... 21
3.6. Análise de Sensibilidade ... 22
3.7. Problema Inverso e a Identificação de Parâmetros ... 23
3.7.1. Evolução Diferencial... 24 3.7.2. Algoritmo Genético ... 27 4. METODOLOGIA ... 31 5. RESULTADOS ... 35 6. CONSIDERAÇÕES ... 82 6.1. TRABALHOS FUTUROS ... 83 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 84
1. INTRODUÇÃO
As vigas são elementos que estão presentes no nosso dia a dia, elas fazem parte de estruturas como pontes, construções e até mesmo de máquinas. Desse modo, é muito importante os estudos por trás dos modelos dessas vigas. Há diversas teorias de vigas que podem ser utilizadas para modelá-las, como, por exemplo, o modelo de Rayleigh, Timoshenko e Euler-Bernoulli.
A teoria de viga Euler-Bernoulli surgiu por volta do século XVIII, e não considerava a deformação e nem a rotação de inercia, então, Rayleigh, em 1894, passou a considerar o efeito de rotação de inercia e, em 1921, Timoshenko apresentou sua teoria onde a deformação era considerada. (LABUSCHAGNE et al., 2009).
Autores como Labuschagne et al. (2009), realizam a comparação da teoria de viga de Euler-Bernoulli com a de Timoshenko, que, segundo Fish e Belytschko (2007) são as duas maiores teorias usadas para descrever o comportamento dinâmico de vigas. Labuschagne et al. (2009) comparou as teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko utilizando os modos de vibrar. Eles concluíram que, se apenas alguns modos são significantes para a solução, as diferenças entre as soluções são bem pequenas.
Outros autores com trabalhos mais recentes também comparam essas duas teorias. Khajavi (2016) utilizou métodos de flexibilidade e rigidez para obter a matriz de rigidez, e com isso ele desenvolveu os elementos finitos para vigas de Euler-Bernoulli e Timoshenko com diferentes combinações de seções decrescente, singularidades e descontinuidades. Já Shafiei et al. (2016), apresentou um estudo sobre o efeito de pequena escala do comportamento vibratório de uma microviga rotativa cônica axial graduada funcionalmente com base nas teorias de Timoshenko e Euler-Bernoulli, e, por fim, comparou as frequências naturais obtidas com essas duas teorias.
Dixit (2014) realizou análises em vigas danificadas utilizando uma nova formulação para obter analiticamente as expressões para frequências naturais e modos de vibrar utilizando a teoria de Timoshenko como exemplo e, então, comparou
os resultados usando a teoria de viga de Euler-Bernoulli e modelos de elementos finitos.
Segundo Labuschagne et al. (2009), a teoria de viga de Euler-Bernoulli é bastante utilizada para vibrações transversais de vigas, embora a de Timoshenko seja considerada melhor por alguns autores que utilizaram essa teoria em seus trabalhos. A teoria de Euler-Bernoulli, como já foi mencionado, desconsidera deformação e essa suposição só é válida para vigas longas, já a de Timoshenko é mais utilizada para vigas curtas, onde a tensão não pode ser ignorada. E para alguns casos, apenas dois modos são necessários para aproximar a solução para propósitos práticos, então, usa-se a teoria de Euler-Bernoulli (KHAJAVI, 2016).
Uma das grandes dificuldades encontradas na modelagem de sistemas mecânicos, é a obtenção de um modelo matemático que represente exatamente o comportamento dinâmico dos sistemas, e isso se torna mais complexo quando incertezas ou comportamentos não-lineares são consideradas no modelo do sistema. As incertezas podem ser do tipo paramétricas e do tipo não paramétricas, de forma que ambas podem afetar sistemas reais ao mesmo tempo (PASCUAL e ADHIKARI, 2012).
No trabalho de Zhu e Chung (2015), eles analisaram a vibração linear e não linear lateral de uma viga fixada num cubo rígido quando a mesma possui movimento de giro, os autores ainda realizaram a comparação entre respostas dinâmicas do modelo linear e do não linear. Kitarovic (2014) utilizou uma cinemática não linear de uma viga Euler-Bernoulli bidimensional, não deformável por cisalhamento e extensível imposta com flexão planar e/ou alongamento/encurtamento considerado.
Piovan et al. (2013) realizaram uma análise dinâmica estocástica de estruturas construídas com materiais compósitos, mais precisamente, eles consideram incertezas paramétricas em uma viga composta. O modelo probabilístico é construído adotando variáveis aleatórias para os parâmetros incertos do modelo, essa estratégia é chamada de abordagem probabilística paramétrica. Os autores fizeram estudos numéricos para mostrar as vantagens de utilizar essa estratégia e também quantificar a propagação de incertezas na dinâmica de estruturas compostas finas.
Piovan et al. (2015), avaliaram a propagação de incertezas associadas a vários parâmetros na viga curva magneto-eletro-elástica (MEE), segundo os autores, muitas pesquisas têm sido feitas com base nessas estruturas, tanto para dinâmica,
quanto para estática, mas há uma certa escassez de artigos analisando a dinâmica aleatória de estruturas MEE, visto que muitos modelos têm incertezas associadas aos seus parâmetros, como cargas, propriedades do material e outros.
Em outro trabalho, Piovan et al. (2012) apresentaram um modelo não linear para análise dinâmica de uma viga composta giratória de paredes finas, o modelo considera flexibilidade de cisalhamento assim como termos inerciais não lineares, efeito de Coriolis, entre outros. No presente caso, as incertezas foram consideradas na viga para o cubo de conexão e na velocidade de rotação.
Ritto et al. (2009) apresentaram um trabalho na dinâmica de coluna de perfuração, onde há a presença de não linearidades e incertezas nos problemas. Eles adotam estratégia que usa uma abordagem probabilista não paramétrica, e fazem o uso da teoria de viga de Timoshenko não linear.
As incertezas paramétricas podem ser introduzidas diretamente nos valores das propriedades físicas dos parâmetros que compõe o sistema, tais como o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. Estas incertezas paramétricas podem ser descritas pela teoria de probabilidade e modelada como um campo aleatório, já as incertezas não paramétricas requerem técnicas diferentes para quantificá-las, e elas são baseadas a teoria das matrizes aleatórias, ou do inglês, Random Matrix Theory (RMT).
No trabalho de Pascual e Adhikari (2012) há combinação de incertezas paramétricas e não paramétricas. As incertezas paramétricas são modeladas como um campo aleatório e discretizadas utilizando a expansão de Karhunen-Loève (KL), e as incertezas não paramétricas são modeladas pela matriz aleatória de Wishart.
A presença de incertezas no modelo acabam influenciando na resposta do sistema, por isso, é interessante avaliar um modelo que leva em consideração essas incertezas, desse modo, algumas modificações têm sido feitas para que as incertezas sejam tratadas com o método dos elementos finitos e então levar em conta os efeitos estocásticos (AZEVEDO, 2003), essas técnicas são chamadas de Método dos Elementos Finitos Estocástico, ou do inglês, Stochastic Finite Element Method (SFEM) (GHANEM e SPANOS, 2003).
Esse método é uma ferramenta computacional muito poderosa para solucionar as equações diferenciais parciais estocásticas e nas últimas décadas, SFEM, tem sido bastante utilizado devido à grande evolução computacional
possibilitando tratar com eficiência problemas de grandes escalas (STEFANOU, 2009).
Segundo Stefanou (2009), as duas principais categorias dos processos estocásticos podem ser definidas baseados em sua distribuição de probabilidade, são elas: Gaussianas e não Gaussianas. Para métodos de simulação de processos Gaussianos, tem-se diversas técnicas embora as mais utilizadas são duas: o método da representação espectral e a expansão KL.
Shinozuka e Deodatis (1991) simularam um processo estocástico gaussiano unidimensional, uni variada e estacionário usando o método da representação espectral nesse trabalho. Outros autores, como Lima et al. (2010), Koroishi et al. (2012) utilizaram a expansão de KL para discretizar as incertezas modeladas como campos estocásticos gaussianos homogêneos. Já Azevedo (2009) utilizou a expansão de KL em sua tese de doutorado para discretizar os parâmetros estocásticos dentro de um conjunto enumerável de variáveis aleatórias.
Para os métodos de simulação de processos não Gaussianos, pode-se dividir em dois grupos, o primeiro grupo busca produzir funções de amostra que corresponde a densidade espectral e estatísticas de ordem inferior de um campo estocástico alvo, e o segundo grupo busca gerar funções de amostra compatíveis com a informação probabilística completa. Stefanou (2009) ainda diz que o SFEM é composto por três etapas básicas, a discretização dos campos estocásticos, a formulação das matrizes estocásticas e o cálculo da variabilidade da resposta.
O presente trabalho consistirá na modelagem estocástica para uma viga engastada com uma extremidade livre, adicionalmente, o modelo será validado mediante simulações computacionais no software MATLAB® e comparado com a resposta experimental, e também será utilizado técnicas de otimização para identificação dos parâmetros da viga. A viga será modelada de acordo com modelo de viga Euler-Bernoulli e as incertezas serão consideradas no módulo de elasticidade e na massa específica, tornando possível analisar a influência das mesmas sobre o sistema. As incertezas são modeladas como campos estocásticos gaussianos homogêneos e são discretizada de acordo com o método espectral utilizando a expansão de KL. E o Método de Simulação de Monte Carlo (MCS) combinado com a amostragem do Hipercubo Latino é utilizado como solucionador estocástico.
1.1. OBJETIVOS
1.1.1. Objetivo Geral
O presente trabalho visa estudar a aplicação do Método dos Elementos Finitos Estocásticos em uma viga do tipo Euler-Bernoulli, visando a validação do modelo matemático da viga.
1.1.2. Objetivos Específicos
• Formular a modelagem estocástica e implementar a simulação computacional da viga utilizando o software Matlab®.
• Identificar os parâmetros da viga utilizando problema inverso.
• Comparar os resultados numéricos com os resultados obtidos experimentalmente.
• Quantificar o efeito de cada parâmetro incerto na variabilidade da resposta mediante uma análise de sensibilidade.
2. JUSTIFICATIVA
As incertezas podem estar envolvidas num sistema de várias maneiras, como por exemplo nas propriedades físicas e geométricas dos materiais aplicados em engenharia, desse modo é de extrema importância considerá-las num sistema afim de obter resultados mais precisos. Além do mais, quando incertezas são consideradas no modelo é possível ter uma previsibilidade melhor do sistema, logo, a confiabilidade do modelo é maior.
As incertezas na previsão não podem ser eliminadas por completo, mas é interessante que o modelo seja o mais preciso possível. A importância desse estudo se deve ao fato de que diversas estruturas de engenharia devem atuar de forma adequada com uma alta confiabilidade mesmo em situações onde as condições não são completamente controláveis. Por isso, SFEM é utilizado nesse trabalho, já que o mesmo envolve elementos finitos cujas propriedades são aleatórias.
Dentre os diversos métodos existentes, SFEM se destacou muito nas últimas décadas. Esse método tem sido utilizado em diversas áreas, como: mecânica dos fluidos, transferência de calor, acústica e outras (KOROISHI et al., 2012; LIMA et al., 2010).
O Método de Simulação de Monte Carlo foi escolhido para ser utilizado nesse trabalho devido ao fato do mesmo ser robusto e eficiente. Há situações onde outros métodos falharam e o MCS conseguiu obter sucesso. Ele, também, é muito utilizado para verificar a precisão de outros métodos (GHANEM e SPANOS, 2007; STEFANOU, 2009). Assim, MCS é utilizado como solucionador estocástico para esse trabalho.
Diante disso, o presente trabalho busca obter a modelagem estocástica para uma viga considerando incertezas a fim de obter um modelo mais preciso e confiável, o que é de grande interesse para indústria, uma vez que confiabilidade também está relacionada a redução de gastos. Na indústria, uma parada de produção devido à alguma falha de um equipamento pode gerar grandes prejuízos, desse modo, faz-se necessário os estudos envolvendo confiabilidade e segurança.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1. Conceitos Fundamentais em Vibrações Mecânicas
Segundo Rao (2009), vibração pode ser definida como qualquer movimento que se repete após um intervalo de tempo. O estudo da vibração trata de movimentos oscilatórios de corpos e forças associadas a esses corpos.
Um sistema vibratório possui três componentes de energia, um para armazenar energia potencial, como, por exemplo, uma mola ou elasticidade, outro meio para armazenar energia cinética, como uma massa ou inércia, e por último, um meio de dissipação de energia, como um amortecedor. Assim, a vibração desse sistema envolve a transferência de energia potencial para energia cinética e vice-versa. Há casos em que o sistema é amortecido, isso quer dizer que uma certa quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração.
Os sistemas podem ser definidos como discretos ou contínuos. Os sistemas que possuem um número finito de graus de liberdade são denominados sistemas discretos e os sistemas que possuem um número infinito de graus de liberdade são denominados de sistemas contínuos. Muitas vezes os sistemas contínuos são aproximados como sistemas discretos para que a solução seja obtida de forma mais simples e para obter um resultado mais preciso é necessário aumentar o número de graus de liberdade.
As vibrações podem ser classificadas de várias formas: Vibração Livre, Vibração Forçada, Vibração Amortecida, Vibração não Amortecida e outras.
Na vibração livre nenhuma força age sobre o sistema, isso é, se o sistema continuar a vibrar por conta própria após sofrer uma perturbação, a vibração é conhecida como vibração livre.
Já a vibração forçada, o sistema está sujeito a uma força externa, geralmente uma força repetitiva, a vibração resultante é conhecida como vibração forçada, e vale lembrar que se a frequência da força externa for igual a frequência natural do sistema, ocorrera o fenômeno conhecido como ressonância.
Para a vibração não amortecida, tem-se que a energia do sistema não é dissipada durante a oscilação, logo, se ocorre a dissipação de energia, tem-se a vibração amortecida.
Rao (2009) divide o procedimento de análise de vibrações em quatro etapas: Modelagem matemática, Derivação das equações governantes, Solução das equações governantes e Interpretação dos resultados.
Quando se tem um sistema com vários graus de liberdade (gdl), tem-se várias frequências naturais e fatores de amortecimento. Para o caso de vibração livre, o sistema vibra como uma combinação de todas essas frequências naturais, e com isso surge outra variável importante: o modo de vibrar. Cada modo está relacionado diretamente com sua respectiva frequência natural e fator de amortecimento (RAO, 2009; SILVA, 2009).
Considerando a equação de movimento:
[𝑀]{𝑥̈} + [𝐶]{𝑥̇} + [𝐾]{𝑥} = {𝐹} (1)
Onde, [𝑀],[𝐶] e [𝐾] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema, respectivamente, e {𝑥} é o vetor de deslocamento em cada. Para uma vibração livre, o sistema não possui amortecimento, logo, [𝐶] = 0 e {𝐹} = 0, então a Eq. (1) se torna:
[𝑀]{𝑥̈} + [𝐾]{𝑥} = 0 (2)
Um modo de resolver esse problema é considerando uma solução do tipo:
{𝑥} = {Φ}𝑒𝑗𝜔𝑡 (3)
Nesta equação, {Φ} é um vetor formado pelas formas modais do problema. E substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), obtém-se:
−𝜔2[𝑀]{Φ}𝑒𝑗𝜔𝑡+ [𝐾]{Φ}𝑒𝑗𝜔𝑡 = 0 (4)
𝑒𝑗𝜔𝑡[−𝜔2[𝑀] + [𝐾]]{Φ} = 0 (5)
Com 𝑒𝑗𝜔𝑡 ≠ 0, surge o seguinte problema de autovalor e autovetor:
[[𝐾] − 𝜔2[𝑀]]{Φ} = 0 (6)
A Eq. (6) pode ser reescrita como:
[[𝑀]−1[𝐾] − 𝜆[𝐼]]{Φ} = 0 (7)
Na qual, [𝐼] é a matriz identidade de ordem 𝑛 𝑥 𝑛, com 𝑛 igual o número de graus de liberdades do sistema, e 𝜆 = 𝜔2. Considerado, [𝐴] = [𝑀]−1[𝐾], pode-se reescrever a Eq. (7) em uma forma padrão do problema de autovalor e autovetor:
[𝐴]{Φ} = 𝜆{Φ} (8)
Os autovalores são dados por 𝜆 = 𝜔2 e estão relacionados diretamente com as frequências naturais, já os autovetores são dados por {Φ} e representam os modos de vibrar. Resolvendo esse problema de autovalor e autovetor pelo cálculo do determinante, tem-se:
det([𝑀]−1[𝐾] − 𝜆[𝐼]) = 0 (9)
Ou também,
det([𝐾] − 𝜔2[𝑀]) = 0 (10)
Esse problema leva a uma equação algébrica em 𝜔2, e como [𝐾] e [𝑀] normalmente possuem coeficientes reais e simétricos, tem-se 𝑛 raízes reais, logo, serão 𝑛 frequências naturais. Vale lembrar também que os modos de vibrar representam uma base ortogonal no espaço, então, a seguir, tem-se as propriedades da matriz modal [Φ] para 𝑖 ≠ 𝑗:
{Φ𝑖𝑇}[𝑀]{Φ𝑗} = 0 (11) {Φ𝑖𝑇}[𝐾]{Φ𝑗} = 0 (12) {Φ𝑖𝑇}[𝑀]{Φ 𝑖} = 1 (13) {Φ𝑖𝑇}[𝐾]{Φ 𝑖} = 𝜔2 (14)
{Φ𝑖} é o i-ésimo modo associado com a i-ésima frequência natural 𝜔𝑛𝑖, o mesmo vale para {Φ𝑗}, sendo o j-ésimo modo associado com a j-ésima frequência natural 𝜔𝑛𝑗.
A matriz modal [Φ] contem as formas de vibrar, por exemplo, quando o sistema é excitado na primeira frequência 𝜔𝑛1 o sistema vibrará na forma Φ1, quando o sistema é excitado na segunda frequência 𝜔𝑛2 a forma de vibrar será Φ2 e assim por diante. A matriz modal é dada da seguinte forma:
[Φ] = [Φ1Φ2⋯ Φ𝑛] (15)
Caso as condições iniciais 𝑥(0) sejam conhecidas, pode-se obter a solução da resposta de vibração do sistema substituindo os valores encontrados na Eq. (3). Pode-se também, converter as coordenadas físicas do sistema de vários gdls em coordenadas modais utilizando a transformação da base física para base modal, que é a matriz modal [Φ].
{𝑥} = [Φ]{𝑞} (16)
Na qual, {𝑞} é o vetor de deslocamento em coordenadas modais. Substituindo a Eq. (16) na Eq. (2) e pré-multiplicando por Φ𝑇:
[Φ]𝑇[𝑀][Φ]{𝑞̈} + Φ𝑇[𝐾][Φ]{q} = 0 (17)
Assumindo que a matriz modal [Φ] é normalizada em relação a matriz de massa [M] e com a propriedade de ortonormalidade:
[Φ]𝑇[M][Φ] = [I] (18)
Sendo [Ω] a matriz diagonal, conhecida como Matriz Espectral, que contém as frequências naturais, [Ω] = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜔1 2, 𝜔2 2, ⋯ , 𝜔𝑛2) . Substituindo os resultados na Eq. (17) tem-se a equação para o sistema de vários gdls livre e sem amortecimento escrita em uma base modal:
{𝑞̈} + [Ω]{𝑞} = 0 (20)
3.2. Modelo determinístico de uma viga Euller-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler Bernoulli é muito usada para descrever o comportamento dinâmico de uma viga. Scuciato et al. (2016) apresentaram a solução da equação de Euler-Bernoulli para flexão dinâmica de vigas pela formulação do método de elementos finitos de contorno dependente do tempo, nesse trabalho, os autores propuseram três implementações numéricas diferentes e os resultados numéricos foram comparados com as soluções analíticas.
Shang et al. (2016) apresentaram uma análise dinâmica de uma barra unidimensional e problemas de uma viga de Euler-Bernoulli com o método dos elementos finitos generalizados, um problema de viga com vibrações livres foi analisado para avaliar a robustez e eficiência do elemento, então, os resultados obtidos foram comparados.
Na teoria de viga de Euler Bernoulli, assume-se que as seções normais à linha neutra permanecem retilíneas e normais mesmo após a mesma sofrer alguma deformação, assim, não é considerada a deformação devida ao corte (AZEVEDO, 2003; FISH e BELYTSCHKO, 2007).
A componente 𝑥 do deslocamento de uma viga é dada por:
𝑢𝑥 = −𝑦 sen 𝜃(𝑥) (21)
Sendo,
𝜃(𝑥) a rotação da linha central em relação a 𝑥. 𝑦 a distância da linha central.
O ângulo de rotação, que corresponde a inclinação da linha neutra, é dado por:
𝜃(𝑥) =𝜕𝑢𝑦(𝑥)
𝜕𝑥 (22)
Substituindo a Eq. (22) na Eq. (21), tem-se:
𝑢𝑥 = −𝑦𝜕𝑢𝑦(𝑥)
𝜕𝑥 (23)
A fórmula da deformação longitudinal é dada por:
𝜀𝑥𝑥 = 𝜕𝑢𝑥 𝜕𝑥 = −𝑦
𝜕2𝑢 𝑦(𝑥)
𝜕𝑥2 (24)
Com isso, nota-se que a deformação da viga varia linearmente por meio de sua espessura, que é uma das características fundamentais da teoria de viga de Euler- Bernoulli.
Quando se considera que a linha central é alongada, devido a uma carga axial, o deslocamento por meio da profundidade é dado pela Eq. (25):
𝑢𝑥(𝑥) = 𝑢𝑥𝑀(𝑥) − 𝑦𝜕𝑢𝑦(𝑥) 𝜕𝑥
(25)
Onde 𝑢𝑥𝑀(𝑥) é o deslocamento da linha central.
O elemento de viga apresentado na Figura 1 é composto por dois nós e dois graus de liberdade, deslocamento e rotação, em cada nó.
Na formulação do elemento de viga de Euler Bernoulli, tem-se a Figura 1, nela é representado um elemento de viga com dois nós e com comprimento 𝐿.
Na qual,
{𝑎} é o deslocamento generalizado, 𝑢 é o campo de deslocamento, 𝑥 é a coordenada cartesiana.
Figura 1 – Elemento de viga com dois nós Fonte: Azevedo (2003) {𝑎} = [ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] = [ ∆1 𝜃1 ∆2 𝜃2 ] (26)
Para realizar a interpolação, tem-se que:
𝑢𝑦 = 𝑁1(𝑥)𝑎1+ 𝑁2(𝑥)𝑎2+ 𝑁3(𝑥)𝑎3+ 𝑁4(𝑥)𝑎4 (27)
Ou na sua forma matricial:
𝑢𝑦 = [𝑁1𝑁2𝑁3𝑁3] [ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] (28) Considerando: [𝑁] = [𝑁1𝑁2𝑁3𝑁3] (29) Tem-se: 𝑢𝑦 = [N]{𝑎} (30)
A matriz [𝑁] é composta por funções de forma, elas correspondem às interpolações Hermetiana:
𝑁1(𝑥) = 1 2− 3 2𝐿𝑥 + 2 𝐿3𝑥³ (31) 𝑁2(𝑥) = 𝐿 8− 1 4𝑥 − 1 2𝐿𝑥² + 1 𝐿2𝑥³ (32) 𝑁3(𝑥) = 1 2+ 3 2𝐿𝑥 − 2 𝐿3𝑥³ (33) 𝑁4(𝑥1) = − 𝐿 8− 1 4𝑥 + 1 2𝐿𝑥² + 1 𝐿2𝑥³ (34)
Como já foi visto, a deformação longitudinal é:
𝜀1 = −𝑦𝜕 2𝑢 𝑦 𝜕𝑥² (35) E considerando: 𝜀1 = − 𝜕2𝑢 𝑦 𝜕𝑥² (36) Conclui-se que: 𝜀1 = 𝑦𝜀1 (37)
E substituindo a Eq. (27) na Eq. (36):
𝜀1 = [−𝑑 2𝑁 1 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁2 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁3 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁4 𝑑𝑥² ] [ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 ] (38)
Pode-se definir a matriz [𝐵] sendo:
[𝐵] = [−𝑑 2𝑁 1 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁2 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁3 𝑑𝑥² − 𝑑2𝑁4 𝑑𝑥² ] (39)
𝜀1 = 𝑦[𝐵]{𝑎} (40)
Tomando a segunda derivada das funções Hermetianas, Eq. (31), (32) (33) e (34), obtém-se: [𝐵] = [−12 𝐿3 𝑥 1 𝐿− 6 𝐿2𝑥 12 𝐿3 𝑥 − 1 𝐿− 6 𝐿2𝑥] (41) E sabendo-se que: 𝜎1 = 𝐸𝜀1 (42) 𝜎1 = 𝐸𝑦[𝐵]{𝑎} (43)
Com o princípio dos trabalhos virtuais, tem-se:
∫ 𝛿 𝑉
𝜀𝑇𝜎𝑑𝑉 = ∫ 𝛿𝑢𝑇𝑝𝑑𝐿 𝐿
(44)
Para a viga apresentada, tem-se:
∫ ∫ 𝛿𝜀1𝜎1𝑑𝑆𝑑𝑥 𝑆 +𝐿/2 −𝐿/2 = ∫ 𝛿𝑢𝑦𝑝𝑑𝑥 +𝐿/2 −𝐿/2 (45)
Sendo 𝑆 a superfície da seção transversa da barra:
𝑑𝑆 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 (46)
A deformação virtual é dada por:
𝛿𝜀1 = 𝑦[𝐵]{𝑎}𝛿{𝑎} (47)
E também por:
𝛿𝑦 = [𝑁]𝛿{𝑎} (49)
𝛿𝑦 = 𝛿{𝑎}𝑇[𝑁]𝑇 (50)
Substituindo as Eq. (43), (48) e (50) na Eq. (45), chega-se a Eq. (52):
∫ ∫ 𝛿{𝑎}𝑇[B]𝑇𝐸𝑦²[B]{𝑎}𝑑𝑆𝑑𝑥 𝑆 +𝐿/2 −𝐿/2 = ∫ 𝛿{𝑎}𝑇[N]𝑇𝑝𝑑𝑥 +𝐿/2 −𝐿/2 (51) 𝛿𝑎𝑇 ∫ [B]𝑇[B]𝐸 ∫ 𝑦²𝑑𝑆𝑑𝑥{𝑎} 𝑆 +𝐿/2 −𝐿/2 = 𝛿{𝑎}𝑇𝑝 ∫ [N]𝑇𝑑𝑥 +𝐿/2 −𝐿/2 (52)
O momento de inércia é definido pela Eq. (53) e substituindo na Eq. (52):
𝐼2 = ∫ 𝑦²𝑑𝑆 𝑆 (53) ∫ [𝐵]𝑇[𝐵]𝐸𝐼2𝑑𝑥{𝑎} +𝐿/2 −𝐿/2 = 𝑝 ∫ [N]𝑇𝑑𝑥 +𝐿/2 −𝐿/2 (54)
Assim, a matriz de rigidez elementar da viga é dada por:
[K] = ∫ [𝐵]𝑇[𝐵]𝐸𝐼2𝑑𝑥 +𝐿/2
−𝐿/2
(55)
[𝑀] = ∫ [N]𝑇[𝑁]𝜌𝑆𝑑𝑥 +𝐿/2
−𝐿/2
(56)
Após os cálculos, chega-se aos seguintes resultados:
[𝐾] =𝐸𝐼 𝐿3[ 12 6𝐿 6𝐿 4𝐿2 −12 6𝐿 −6𝐿 2𝐿2 −12 −6𝐿 6𝐿 2𝐿2 12 −6𝐿 −6𝐿 4𝐿2 ] (57) [M] =𝜌𝑆𝐿 420[ 156 22𝐿 22𝐿 4𝐿2 54 −13𝐿 13𝐿 −3𝐿2 54 13𝐿 −13𝐿 −3𝐿2 156 −22𝐿 −22𝐿 4𝐿2 ] (58)
Com essas matrizes elementares é possível obter as matrizes globais.
3.3. Parametrização do modelo determinístico
Quando se trabalha com incertezas, é interessante realizar a parametrização do modelo de Elementos Finitos para que seja possível avaliar a variabilidade das respostas relacionadas com essas incertezas. Para realizar essa parametrização é necessário fatorar os parâmetros de projeto da matriz elementar por meio de manipulações algébricas (LIMA et al., 2010; KOROISHI et al., 2012). Isso é interessante pois permite introduzir as incertezas e também realizar a análise de sensibilidade dos parâmetros. No trabalho em questão, os parâmetros de projetos são: o módulo de elasticidade e a massa especifica.
[𝑀] = 𝜌𝐴[𝑀] (59)
[𝐾] = 𝐸𝐼[𝐾] (60)
Na qual, 𝜌 é a massa específica, 𝐴 é a área da secção transversal, 𝐼 é o momento de inércia e 𝐸 é o módulo de Elasticidade.
3.4. Modelo estocástico de uma viga Euler-Bernoulli
Como já foi visto, os parâmetros de projeto foram parametrizados das matrizes elementares, assim, pode-se considerar incertezas nas mesmas. Nesse trabalho, será considerado incertezas no módulo de elasticidade 𝐸 e na massa específica 𝜌. Assim, será feito o uso da expansão de KL, que é uma representação contínua para campos aleatórios expressos como uma sobreposição de variáveis aleatórios ortogonais ponderadas por funções espaciais determinística (GHANEM e SPANOS, 2003; LIMA et al., 2010; KOROISHI et al., 2012).
De acordo com a expansão de KL, campos aleatórios são considerados como uma extensão espacial de uma variável aleatório que descreve a correlação de um parâmetro estrutural que flutua aleatoriamente.
A expansão truncada de KL é definida por (STEFANOU, 2009):
𝑓̂(𝑥, 𝜃) = 𝑓̅(𝑥) + ∑ √𝜆𝑛𝜉𝑛(𝜃) 𝜙𝑛(𝑥) 𝑁
𝑛=1
(61)
E sua covariância 𝐶(𝑥1, 𝑥2) é definida por:
∫ 𝐶𝑓𝑓(𝑥1, 𝑥2)𝜙𝑛(𝑥1) 𝐷
𝑑𝑥1 = 𝜆𝑛𝜙𝑟(𝑥2) (62)
Onde:
𝑓̅(𝑥) é a média do campo, geralmente é considerada igual a zero
𝜆𝑛e 𝜙𝑛(𝑥) são os autovetores e autovalores, respectivamente, da função de auto covariância 𝐶𝑓𝑓(𝑥1, 𝑥2).
𝜉𝑛(𝜃) é um conjunto de variáveis aleatórias não correlacionadas 𝑁 é o número de termos de KL
A expansão de KL possibilita a simulação de campos estocásticos gaussianos e não gaussianos. Essa expansão é definida num domínio geométrico particular Ω, assim, quando se modela um parâmetro incerto de um modelo estrutural por um campo aleatório, essa geometria incluirá pelo menos o domínio da estrutura
considerada. Então, para esse trabalho, a solução analítica para o problema de autovalor e autovetor para a expansão de KL no domínio Ω = (x1, x2) é dado por (GHANEM e SPANOS, 2003; KOROISHI et al., 2012; NIEUWENHOF e COYETTE, 2003):
𝐶(x1, x2) = exp (−|x1− x2| 𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥 )
(63)
Onde (x1, x2) 𝜖 [0, 𝐿] e 𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥 é o comprimento de correlação que caracteriza o comportamento decrescente da covariância com a distância entre os pontos de observação na direção x.
O conjunto de autovalores e autovetores são obtidos com a solução da expansão de KL. O procedimento apresentado a seguir é baseado nos trabalhos de Ghanem e Spanos (2003), Lima et al., (2010) e Koroishi et al., (2012).
1. Para 𝑛 impar e 𝑛 ≥ 1: 𝜆𝑛 = 2𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥 𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥2𝜔𝑛2+ 1 (64) 𝜙𝑛(𝑥) = 𝛼𝑛cos(𝜔𝑛𝑥) (65) Onde, 𝛼𝑛 = 1 √𝐿2+sen 𝜔𝑛𝐿 2𝜔𝑛
e a raiz 𝜔𝑛 é a solução para a seguinte equação:
1 + 𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥𝜔𝑛tan(𝜔𝑛𝐿) = 0 (66) Definida no domínio [(𝑛 − 1)𝜋 𝐿, (𝑛 − 1 2) 𝜋 𝐿]. 2. Para 𝑛 par e 𝑛 ≥ 1: 𝜆𝑛 = 2𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥 𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥2𝜔𝑛2+ 1 (67) 𝜙𝑛(𝑥) = 𝛼𝑛sen(𝜔𝑛𝑥) (68)
Onde, 𝛼𝑛 = 1 √𝐿2−sen 𝜔𝑛𝐿
2𝜔𝑛
e a raiz 𝜔𝑛 é a solução para a seguinte equação
𝐿𝑐𝑜𝑟,𝑥𝜔𝑛tan(𝜔𝑛𝐿) = 0 (69) Definida no domínio [(𝑛 −1 2) 𝜋 𝐿, 𝑛 𝜋 𝐿].
E, segundo os autores Koroishi et al. (2012), o comprimento de correlação do campo aleatório e o comprimento do domínio de definição influenciam nos autovetores e autovalores.
Todo o desenvolvimento anterior é utilizado para modelar as matrizes aleatórias elementares. Elas são obtidas a partir da seguinte forma:
[𝑀(𝜃)] = [𝑀] + ∑[𝑀𝑠]𝜉𝑟(𝜃) 𝑛 𝑟=1 (70) [𝐾(𝜃)] = [𝐾] + ∑[𝐾𝑠]𝜉𝑟(𝜃) 𝑛 𝑟=1 (71)
Onde [𝑀] e [𝐾] são as matrizes elementares determinísticas das Eq. (55) e (56), respectivamente, e as matrizes aleatórias são calculadas da seguinte forma:
[𝑀𝑠] = ∫ √𝜆𝑛𝜙𝑛(𝑥) 𝑁𝑇𝑁 𝐿 0 𝑑𝑥 (72) [𝐾𝑠] = ∫ √𝜆𝑛𝜙𝑛(𝑥) 𝐵𝑇 𝐵 𝐿 0 𝑑𝑥 (73)
Com isso, as matrizes de elementos finitos estocásticas de massa e rigidez, respectivamente, são obtidas.
3.5. Simulação de Monte Carlo associado a Hipercubo Latino
Na MCS, um problema determinístico é resolvido várias vezes, assim a variabilidade da resposta é calculada usando relações de estatística. E por esse método ser robusto e simples, ele é muito usado para checar a precisão de outras abordagens. (STEFANOU, 2009).
Esse método funciona da seguinte forma: 𝑁 amostras da matriz estocástica do sistema é gerada utilizando gerador de números aleatórios, ou random number generator (RNG), com isso uma equação é resolvida, criando uma população do vetor de resposta, assim, a variabilidade da resposta pode ser obtida. Um exemplo, considerando 𝑢𝑖 o deslocamento no i-ésimo gdl, então a estimativa imparcial do valor médio e a variância da amostra é dado, respectivamente, por:
𝐸(𝑢𝑖) = 1 𝑁∑ 𝑢𝑖(𝑗) 𝑁 𝑗=1 (74) 𝜎2(𝑢𝑖) = 1 𝑁 − 1[∑ 𝑢𝑖(𝑗) 𝑁 𝑗=1 − 𝑁 𝐸2(𝑢𝑖)] (75)
A precisão desse método está relacionada ao número de amostras, assim, um grande número de amostras implicará em um maior custo computacional. Para reduzir esse custo computacional é utilizado a Amostragem de Hipercubo Latino. Casos onde as variáveis de entrada são aleatórias, precisam de um esquema de amostragem para lidar com esse problema, no caso, a Amostragem do Hipercubo Latino faz essa função (FLORIAN, 1992).
MCS tem sido utilizada em diversas áreas, como na área de saúde, agricultura e econometria, e os pioneiros que introduziram essa técnica na área da engenharia mecânica foram Shinozuka e Jan (GHANEM e SPANOS, 2003)
Autores, como Lima et al. (2010), Koroishi et al. (2012) e Lara-Molina et al. (2015) utilizaram em seus trabalhos a simulação de Monte Carlo combinado com a Amostragem do Hipercubo Latino para gerar os valores dos parâmetros para se analisar as incertezas na estrutura.
3.6. Análise de Sensibilidade
A análise de sensibilidade tem como objetivo avaliar a influência dos parâmetros incertos na resposta do sistema, com isso é possível indicar o grau de influência de cada parâmetro. O método baseado na variância permite quantificar o efeito da variação de um parâmetro individual na resposta por meio de uma estrutura probabilística baseada no MCS (LARA-MOLINA, 2015).
Considerando um modelo da forma 𝑦 = 𝑓(𝑤), onde 𝑦 é uma saída escalar e 𝑤 é um vetor que contém os 𝑘 parâmetros que são considerados independente e distribuídos uniformemente dentro da unidade do hipercubo é decomposto em:
𝑦 = 𝑓(𝑤) = 𝑓0+ ∑ 𝑓𝑖(𝑤𝑖) + 𝑘 𝑖=1 ∑ 𝑓𝑖𝑗(𝑤𝑖, 𝑤𝑗) + ⋯ 𝑘 𝑖<1 + 𝑓12…,𝑘 (76)
A decomposição da expressão da variância é dada por:
𝑉(𝑦) = ∑ 𝑉𝑖 + 𝑘 𝑖=1 ∑ 𝑉𝑖𝑗+ ⋯ + 𝑉12…,𝑘 𝑘 𝑖<1 (77)
Onde, 𝑉𝑖 = 𝑉𝑤𝑖(𝐸𝑤~𝑖(𝑦|𝑤𝑖)),𝑉𝑖𝑗 = 𝑉𝑤𝑖𝑗(𝐸𝑤~𝑖𝑗(𝑦|𝑤𝑖𝑗) e assim por diante. Uma
variância baseada no efeito de primeira ordem para um parâmetro de projeto 𝑤𝑖 é:
𝑉𝑤𝑖(𝐸𝑤~𝑖(𝑦|𝑤𝑖) (78)
Onde, 𝑤𝑖 é o i-ésimo parâmetro e 𝑤~𝑖 significa a matriz de todos os parâmetros menos 𝑤𝑖. A medida de sensibilidade associada denominada por índice de sensibilidade de primeira ordem é definida por:
𝑠𝑖 = 𝑉𝑤𝑖(𝐸𝑤~𝑖(𝑦|𝑤𝑖))
𝑉(𝑦)
(79)
Onde, 𝑠𝑖 indica o efeito da variação de 𝑤𝑖, só que dividido pela variação dos outros parâmetros. Portanto, o índice de efeito total, 𝑠𝑇𝑖 mede a contribuição para a
variância de saída de 𝑤𝑖, incluindo todos os efeitos de suas interações com qualquer outro parâmetro de entrada.
𝑠𝑇𝑖 = 𝐸𝑤~𝑖(𝑉𝑤𝑖(𝑦|𝑤~𝑖))
𝑉(𝑦) = 1 −
𝑉𝑤~𝑖(𝐸𝑤𝑖(𝑦|𝑤~𝑖)) 𝑉(𝑦)
(80)
Assim, o MCS combinado com o Hipercubo Latino é usado para calcular o índice de efeito total. O número total de avaliação de modelos para calcular o índice total de sensibilidade é 𝑁 = 𝑛𝑠(𝑘 + 1), onde 𝑛𝑠 é o número de amostras de Monte Carlo.
3.7. Problema Inverso e a Identificação de Parâmetros
Parâmetros como, rigidez, amortecimento e outros estão ligados diretamente a resposta do sistema, e ao utilizar o problema inverso na resposta do sistema, pode-se identificar espode-ses parâmetros e com isso pode-pode-se ajustar o modelo obtido pelo método dos Elementos Finitos (CEZARO, 2016; KANASHIRO et al., 2015). O problema inverso pode ser do tipo de reconstrução, ou do tipo de identificação. Para um melhor entendimento, tem-se a Figura 2.
Figura 2 – Problema Direto/Inverso Fonte: Autoria própria
No problema direto, dado uma entrada e o sistema de parâmetros, pode-se determinar a saída do modelo. No problema inverso de reconstrução, dado o sistema de parâmetros e a saída, pode-se encontrar a entrada que corresponde aquela saída,
já o problema inverso de identificação, dado a entrada e a saída, pode-se determinar o sistema de parâmetros que relaciona a entrada com a saída.
Diversas técnicas de otimização podem ser empregadas em problemas inversos para identificação de parâmetros. A solução do problema inverso é obtida por meio de métodos heurísticos de otimização, dentre eles, pode-se citar o Algoritmo Genético (GA), Evolução Diferencial (DE), Enxame de Partículas (PSO) e outros, a abreviação desses métodos vem dos seus nomes em inglês, Genetic Algorithm, Differential Evolution e Particle Swarm Optimization, respectivamente. Kanashiro et al. (2015), utilizou esses três métodos em seu trabalho para identificar os parâmetros de um rotor flexível e comparar os resultados obtidos, nesse estudo, o DE obteve melhores resultados.
Os métodos heurísticos de otimização buscam melhorar a configuração de um sistema e para isso é necessário levar em consideração alguns fatores como a natureza da função objetivo, as restrições, o número de variáveis e outras. A função objetivo é o que define qual característica do sistema deve ser melhorada. Já as restrições limitam os valores da função objetivo à certas regiões do espaço de projeto e essas restrições dependem das variáveis de projeto, e quanto mais variáveis de projeto maior será o custo computacional (KANASHIRO et al., 2015; LOTABO 2008). Nesse trabalho o método utilizado será o método DE “baseado em conceitos evolutivos e que utiliza operações vetoriais” e o método GA.
3.7.1. Evolução Diferencial
Esse método foi proposto por Storn e Prince em 1995. Seu funcionamento é baseado em conceitos evolutivos para encontrar um ponto ótimo. Faz-se o uso de operações vetoriais para obter novos potenciais candidatos a resolver o problema em questão. Na Figura 3, pode-se observar um esquema gráfico do método de busca utilizado pelo algoritmo de DE (ZOU et al., 2013; LOBATO, 2008).
Primeiramente, tem-se três vetores, 𝑥𝑟1, 𝑥𝑟2 e 𝑥𝑟3, então, são selecionados dois vetores aleatórios, no caso, 𝑥𝑟2 e 𝑥𝑟3, assim é feito a subtração desses dois vetores gerando um vetor resultante, esse vetor é multiplicado por um escalar F, obtendo-se um vetor 𝐹(𝑥𝑟2− 𝑥𝑟3) que posteriormente será somado ao vetor 𝑥𝑟1. Com
isso, é formado um novo vetor, 𝑣𝑖, esse vetor é um novo indivíduo, isso quer dizer que ele é uma nova posição no espaço.
Figura 3 – Esquema gráfico do método DE Fonte: Lobato (2008)
A seguir, Figura 4, é apresentado um fluxograma de como o algoritmo funciona.
Figura 4 – Fluxograma do algoritmo DE Fonte: Keshtkar et al. (2011)
As etapas do DE podem ser divididas em: inicialização, mutação, cruzamento, seleção (PRICE et al., 2006)
• Inicialização: Antes da população ser gerada, é preciso definir o limite inferior (𝑏𝐿) e o limite superior (𝑏𝑈) de cada parâmetro. Uma vez feito isso, um gerador de números aleatórios atribui os valores para cada parâmetro dentro do intervalo especificado.
𝑥𝑖,𝑗= rand𝑖(0,1). (𝑏𝑖,𝑈− 𝑏𝑗,𝐿) + 𝑏𝑗,𝐿 (81)
Na qual, rand𝑖(0,1) é o gerador de número aleatório que gera números aleatórios uniformemente distribuído dentro do intervalo de 0 a 1. O subscrito 𝑗 indica que um novo valor aleatório é gerado para cada parâmetro.
• Mutação: DE faz a mutação e combina a população para produzir população de 𝑁𝑝 vetores de teste. A mutação diferencial adiciona um vetor escalar, amostrado aleatoriamente, à um terceiro vetor. A Eq. (82) apresenta o processo de combinar três vetores aleatórios diferentes, escolhidos aleatoriamente para criar um vetor mutante 𝑣𝑖,𝑔.
𝑣𝑖,𝑔 = 𝑥𝑟0,𝑔+ 𝐹. (𝑥𝑟1,𝑔− 𝑥𝑟2,𝑔) (82)
O fator escalar, 𝐹, é um número positivo real que controla a taxa na qual a população evolui. E esse escalar é raramente maior do que 1.
O índice do vetor base, 𝑟0, é selecionado aleatoriamente e é diferente do índice do vetor alvo, 𝑖. E os vetores diferença, 𝑟1 e 𝑟2, também são selecionados aleatoriamente uma vez por mutação
• Cruzamento: DE faz o uso do cruzamento uniforme. As vezes referido como recombinação discreta, o cruzamento faz vetores de teste fora dos valores dos parâmetros que foram copiados de dois vetores diferentes. Em particular, DE cruza cada vetor com um vetor mutante.
𝑢𝑗,𝑖,𝑔 = {
𝑣𝑗,𝑖,𝑔, 𝑠𝑒 (𝑟𝑎𝑛𝑑𝑗(0,1) ≤ 𝐶𝑟 𝑜𝑢 𝑗 = 𝑗𝑟𝑎𝑛𝑑) 𝑥𝑗,𝑖,𝑔, 𝑠𝑒 𝑛ã𝑜
A probabilidade de mutação, 𝐶𝑟, está entre o intervalo de 0 e 1, e é definida pelo o usuário, esse valor determina a fração do valor do parâmetro que vai ser copiada do mutante.
Para determinar qual fonte contribui mais para o parâmetro, a mutação uniforme compara 𝐶𝑟 com a saída de um gerador de números aleatório, 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑗(0,1). Se o numero aleatório for menor ou igual a 𝐶𝑟, o parâmetro de teste é herdado do mutante, 𝑣𝑗,𝑖,𝑔, se não, o parâmetro é copiado do vetor, 𝑥𝑗,𝑖,𝑔. Além do mais, o parâmetro de teste com o índice escolhido aleatoriamente, 𝑗𝑟𝑎𝑛𝑑 é tirado do mutante para garantir que o vetor de teste não duplique 𝑥𝑖,𝑔.
• Seleção: Se o vetor de teste, 𝑢𝑖,𝑔, tem o valor da função objetivo igual ou menor do que o do vetor alvo, 𝑥𝑖,𝑔, então o vetor de teste substitui o vetor alvo na próxima geração, se não, o alvo retém o seu lugar na população por pelo menos mais uma geração. Isso pode ser visto na Eq. (84).
𝑢𝑗,𝑖,𝑔 = {
𝑢𝑖,𝑔, 𝑠𝑒 𝑓(𝑢𝑖,𝑔) ≤ 𝑓(𝑥𝑖,𝑔) 𝑥𝑖,𝑔, 𝑠𝑒 𝑛ã𝑜
(84)
Então, uma vez que a população é instalada, o processo de mutação, recombinação e seleção é repetido até que o ótimo é localizado ou um critério de parada é satisfeito.
No trabalho de Roque e Martins (2015) o DE foi utilizado para encontrar a fração do volume que maximiza a primeira frequência natural para uma viga graduada. Kanashiro et al. (2015) também utiliza essa técnica para identificação de parâmetros de um rotor.
3.7.2. Algoritmo Genético
O GA foi proposto por Holland, em 1975. Seu funcionamento é baseado darwinismo, portanto é dividido nas seguintes etapas: inicialização, avaliação, seleção, cruzamento, mutação, atualização e finalização. Na Figura 5 é possível ver o fluxograma de como esse método funciona (LUCAS, 2002).
Figura 5 – Fluxograma do método GA Fonte: Lucas (2002)
• Inicialização: É utilizado funções aleatórias para gerar os indivíduos. o GA cria uma população das possíveis respostas para o problema em questão para submetê-la ao processo de evolução.
• Avaliação: Nesta etapa é feita uma análise dos indivíduos para saber o quanto eles respondem ao problema.
• Seleção: É feita a escolha dos indivíduos para a reprodução, a probabilidade de uma dada solução 𝑖 ser selecionada é proporcional à sua aptidão. Nesse estágio, os indivíduos escolhidos serão utilizados no cruzamento.
• Cruzamento: Aqui, ocorre a recombinação das características das soluções escolhidas o que gera novos indivíduos.
• Mutação: Nesta etapa, ocorre a alteração das características dos novos indivíduos, o que acrescenta variedade à população. Essa mutação atua sobre os indivíduos resultando do processo de cruzamento e efetua algum tipo de alteração em sua estrutura.
• Atualização: Os indivíduos resultantes do processo de cruzamento e mutação são inseridos na população. Geralmente, a população mantém um tamanho fixo e os indivíduos criados substituem os antecessores, porem existem outras formas, como o número de individuo gerados ser menor, o tamanho da população pode sofrer alteração, e outros.
• Finalização: Essa etapa é simplesmente um teste que da fim ao processo de evolução, caso o GA tenha chegado a algum ponto pré-estabelecido de parada, ou seja, é verificado se as condições para encerrar a evolução foram atingidas. Se a verificação for positiva, encera-se a execução, se for negativa, retorna-se para a etapa de avaliação.
Segundo, Lucas (2002), há algumas características interessantes sobre o método GA:
• Busca codificada: Para resolver um problema, é necessário que o conjunto de soluções viáveis para este possa ser de alguma forma codificado em uma população de indivíduos
• Generalidade: GA simula a adaptabilidade, e visto que a representação e a avaliação das possíveis soluções são as únicas partes que requisitam o conhecimento dependente do domínio do problema abordado. Basta a alteração destas para porta-los para outros casos. Por tanto, a preocupação de um programador de GA, não é então de que forma chegar a uma solução, mas sim com o que ela deverá se parecer.
• Paralelismo Explicito: Cada indivíduo da população existe como um ente isolado e é avaliado de forma independente. Se na natureza todo processo de seleção ocorre de forma concorrente, no GA essa característica se repete.
• Busca Estocástica: GA não apresenta um comportamento determinístico. E também, não é correto afirmar que tal busca se dá de forma completamente aleatória. As probabilidades de aplicação dos operadores genéticos fazendo com que estes operam de forma previsível estatisticamente, apesar de não permitirem que se determine com exatidão absoluta o comportamento do sistema
• Busca Cega: um GA tradicional opera ignorando o significado das estruturas que manipula e qual a melhor maneira de trabalhar sobre estas, isso lhe confere o atributo de não se valer de conhecimento especifico ao domínio do problema, o que lhe traz generalidade por um lado, mas uma tendência a uma menor eficiente por outro.
• Eficiência mediana: Por constituir um método de busca cega, um GA tradicional tende a apresentar um desempenho menos adequado que alguns
tipos de busca heurística orientadas ao problema, e para resolver isso é utilizado a hibridização, onde heurísticas provenientes de outras técnicas são incorporadas.
• Paralelismo implícito: Ao fazer uma busca por populações, a evolução do GA tende a favorecer indivíduos que compartilhem determinadas características, sendo assim capaz de avaliar implicitamente determinadas combinações ou esquemas como mais ou menos desejáveis.
• Facilidade no uso de restrições: GA facilita a codificação de problemas com diversos tipos de restrições, mesmo que elas apresentem graus diferentes de importância. Por exemplo, se dois indivíduos violam restrições, é considerado mais apto aquele que viola as mais flexíveis em detrimento do que viola as mais graves.
Os autores Mehrjoo et al. (2013) utilizaram o método GA em seu trabalho, no qual consistia em identificar fissuras, e então, detectar a profundidade e a localização das mesmas em estruturas. Nesse trabalho, a abordagem foi verificada em vários cenários com diferentes fissuras em vigas e concluíram que o algoritmo foi capaz de identificar diversas configurações de fissuras numa viga.
4. METODOLOGIA
Primeiramente, definiu-se uma viga de aço inox engastada com extremidade livre como o objeto de estudo, no caso, foi utilizado a Teoria de Viga de Euler Bernoulli para modelá-la, e seguindo os procedimentos teóricos, as matrizes elementares de rigidez e massa foram obtidas, as matrizes elementares estocásticas também foram obtidas. Essas matrizes elementares foram usadas para construir as matrizes globais. Na Figura 6, pode-se observar um esquema da viga utilizada na parte teórica, onde cada nó possui 2 gdls, deslocamento y e rotação θ.
Figura 6 – Esquema da viga utilizada Fonte: Autoria própria
Considerou-se uma viga de aço inox com comprimento 𝐿 = 300 mm, área de seção transversal 𝑆 = 39 mm², momento de inercia 𝐼 = 7,3125 mm4, dividida em 11 nós e 10 elementos, módulo de elasticidade
𝐸
= 187,5 GPa, massa específica𝜌
= 8000 kg/m³ e uma força 𝐹 = 1 N aplicada no nó 2. O motivo pelo qual a viga foi dividida em 10 elementos será explicado posteriormente na seção dos resultados.Em seguida, com a viga modelada pelo método dos elementos finitos, foi possível obter alguns resultados numéricos, inclusive a FRF do sistema em questão. Utilizando essa FRF obtida numericamente, pode-se aplicar métodos de otimização para obter os parâmetros e testar a precisão dos métodos de otimização empregados. Na parte de identificação numérica, foram utilizados dois métodos de otimização diferentes, o primeiro método é o método Evolução Diferencial, e o segundo método, é o Algoritmo Genético. O objetivo aqui é identificar o módulo de elasticidade, massa específica e os parâmetros de amortecimento proporcional, α e
𝛽. Para o uso da Evolução Diferencial e o Algoritmo Genético foi utilizado a toolbox SimpleToolbox4.0, desenvolvido por Viana (2008).
A ideia é minimizar a diferença entre a FRF numérica e a identificada, isso é feito por meio da função objetivo, apresentada pela Eq. (85).
𝑆𝑓𝑖𝑡 = ∑ (‖𝐹𝑅𝐹𝑗 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎− 𝐹𝑅𝐹 𝑗 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 ‖ 𝐹𝑅𝐹𝑗𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎 ) 𝐽 𝑗=1 (85)
Na qual, 𝑆𝑓𝑖𝑡 é a função objetivo, 𝐹𝑅𝐹𝑗𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎 é a FRF obtida numericamente,
e 𝐹𝑅𝐹𝑗𝐹𝐸 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 é a FRF identificada. Nesse caso, foi utilizada a FRF do último nó, o nó 11.
O tamanho populacional utilizado em cada um dos métodos foi de 50, 100, 150 e 200 e o otimizador foi executado 10 vezes. Com isso é possível realizar uma análise da influência do tamanho populacional e comparar os resultados obtidos pelos diferentes métodos.
A Tabela 1 apresenta o valor de cada parâmetro e o espaço de projeto.
Tabela 1 – Valor nominal dos parâmetros e espaço de projeto
Parâmetros Valor nominal Limite Inferior Limite Superior
𝑬 (Pa) 187,5𝑥109 1𝑥108 1𝑥1013
𝝆 (kg/m³) 8000 1𝑥102 1𝑥105
α 1𝑥10−2 0 1
𝜷 1𝑥10−5 0 1
Fonte: Autoria própria
Com o auxílio da rotina computacional, a resposta no tempo, a Função Resposta em Frequência (FRF), a frequência natural e os modos de vibrar foram obtidos para vários cenários, onde cada cenário tem uma variação das incertezas, que são o módulo de elasticidade, a massa específica e os coeficientes de amortecimento, α e 𝛽, onde α está relacionado a matriz de massa, e 𝛽 está relacionado a matriz de rigidez. Com isso, foi gerado um envelope para cada uma das situações citadas.
A Tabela 2 apresenta o nível de dispersão dos parâmetros incertos em cada um dos cenários utilizados e o número de amostra utilizado para todos os cenários é 500.
Tabela 2–Cenários com os parâmetros incertos e o nível de dispersão utilizados Nível de Dispersão Cenário 𝑬 𝝆 A 1% 1% B 0% 5% C 5% 0% D 5% 5% E 10% 10%
Fonte: Autoria própria
Essa incerteza indica que o valor nominal pode variar para mais ou para menos, por exemplo, para o cenário E, tem-se um nível de dispersão de 10% para cada um dos parâmetros, então, o valor do módulo de elasticidade pode estar entre 168,75 GPa e 206,25 GPa e o valor da massa específica pode estar entre 7200 kg/m³ e 8800 kg/m³.
Com isso, uma análise de sensibilidade é realizada para cada cenário da Tabela 2. Essa análise tem como objetivo observar qual o parâmetro que exerce maior influência na resposta do sistema.
Para realizar a parte experimental, foi utilizada uma régua de aço inox, dividida em 10 elementos e 11 nós, apresentada na Figura 7-a. Essa régua foi fixada verticalmente em uma bancada, simulando uma viga na posição vertical, assim, foi possível desconsiderar o efeito da gravidade sobre o sistema. Isso pode ser visto na Figura 8-a.
(a) Vista superior com a divisão dos nós
(b) Vista lateral com o sistema de eixos
Figura 7 – Régua utilizada dividida em 10 elementos e 11 nós. Fonte: Autoria própria
O acelerômetro foi posicionado na extremidade da régua, no nó 11, Figura 8-b, e com o martelo instrumentado, Figura 8-c, foi dada uma entrada impulsiva no nó 2
e com o sistema de aquisição de dados, Figura 8-c, foi possível obter a FRF do sistema.
O martelo instrumentado é da PCB Piezotronics, modelo 086C01, possui sensibilidade de 11,2 mV/N, o acelerômetro possui uma sensibilidade de 10,99 mV/g, a placa que aquisição utilizada é a Quattro da DataPhysics, possui quatro canais de entrada e dois de saída, e o software é o Signal Calc Ace, também da Data Physics.
Com a FRF obtida experimentalmente, iniciou-se o processo de identificação de parâmetros por meio de técnicas de otimização. Assim como foi feito na parte numérica, a FRF experimental foi carregada na rotina computacional, e então, deu-se início a identificação dos parâmetros desejados.
Com os parâmetros identificados experimentalmente, foi possível usá-los para obter os envelopes, e, verificar o quanto a FRF identificada está dentro do envelope.
(a) Régua (b) Acelerômetro (c) Martelo instrumentado e o
sistema de aquisição de dados
Figura 8 – Equipamentos utilizados Fonte: Autoria própria
