As cores são sensações que nós, seres humanos, temos em resposta à luz que incide nos nossos olhos. Por isso, para entendermos as cores, precisamos estudar a luz, como ela interage com os objetos, como nossos olhos captam e como nosso cérebro processa esta informação. A Figura 2.1 ilustra os quatro elementos básicos deste estudo: as fontes luminosas, as superfícies da cena, os olhos e as sensações que temos. A luz solar dispersa pela atmosfera ilumina as araras e a vegetação. A luz refletida pelas araras é captada pelos nossos olhos gerando uma sensação de cor no nosso cérebro. Como cor é um sentido humano, na Figura 2.1 a esta sensação é abstratamente representada na Figura por uma roda colorida.
Figura 2.1 – Principais elementos envolvidos na sensação de cor.
O objetivo deste capítulo é apresentar um modelo matemático que nos permita entender o comportamento da luz, como ela se propaga, interage com as superfícies, e a partir do momento que chega aos nossos olhos que sensação de cor sentimos. Isto é importante tanto para fundamentar os algoritmos de rendering, como traçado de raios e ZBuffer, como também para quantificar e prever estas sensações de forma a reproduzi-las em diversos dispositivos do tipo monitor e impressora. Um outro ponto importante deste capítulo é o estudo dos diversos sistemas de cor, incluindo uns que são projetados para alimentar impressoras ou monitores e outros que são absolutos, isto é não dependem de dispositivo. fontes luminosas geram luz que interagem com o meio (supeficies) que nosos olhos captam que produzem sensações no nosso cérebro
2
Modelos físicos da luz
A compreensão do fenômeno da luz que temos hoje vem de trabalhos de Físicos famosos. Até o século XVIII a Física estudava a luz segundo dois modelos que competiam entre si: o de ondas de Huygnes e o de partículas de Newton. No início do século XX as duas visões foram conciliadas por Max Planck e Einstein na teoria dos
fótons1.
Os fótons podem ser vistos como pacotes de energia que viajam no espaço numa velocidade constante, c, de 299.792.458 m/s ou aproximadamente 300.000 km/s. A Figura 2.2 apresenta duas representações visuais deste fenômeno. A da esquerda mostra um modelo de onda eletromagnética e a da direita representa estes pacotes por círculos e a variação de preto para branco ilustra o fato de que os fótons pulsam numa determinada frequência. Desta pulsação resulta a natureza ondulatória da luz também representada na figura por uma onda senoidal. As representações da figura são apenas forma de tentarmos visualizarmos algo que não é visível, servem apenas para nos ajudar a entender.
Figura 2.2 – Modelos de onda e de partículas.
Na figura o comprimento de onda l é a distância percorrida pela onda em um ciclo.
O tempo que a onda leva para percorrer um ciclo inteiro é denominado período, T. Outra medida importante de onda é a frequência f que é o inverso do período e é medida em ciclos por segundo (Hertz). Ou seja:
Como a velocidade da luz é a mesma, independente do comprimento de onda, as ondas de luz com menores comprimentos de onda têm proporcionalmente períodos menores. A Figura 2.3 procura ilustrar esta propriedade mostrando dois fótons que percorrem a mesma distância num tempo Dt, apesar de um ter um comprimento de onda superior ao
1 Todas as teorias são apenas modelos que buscam representar o comportamento da Natureza. A Computação Gráfica não busca modelos precisos como faz a Engenharia. Busca modelos matemáticos que possam ser resolvidos através de algoritmos eficientes que, quando codificados, produzam ou analisem imagens digitais no tempo e na forma desejada.
l T
v = c
T
tempo
distância
v
=
=
l
c
= velocidade da luz = 2.997925×108m/s @ 300.000 km/s Direção de radiação Campo elétrico Campo magnéticol
) ( 1 -1 = Hz ou s T f3
outro. Ou seja, para compensar o fóton de menor comprimento de onda tem maior frequência.
Figura 2.3 – Ondas de comprimento diferentes.
A velocidade (constante) da luz pode ser medida pela razão do seu comprimento e seu período, ou seja:
Desta equação podemos deduzir a relação entre o comprimento de onda em nanômetros
((1 nm = 10-9 m) e a frequência em Hertz (1 Hz = 1 ciclo por segundo) é dada por:
A radiometria estuda a medição das intensidades da radiação eletromagnética nas superfícies de uma cena.
Radiometria
No modelo de partículas um fóton nasce quando partículas excitam um átomo fazendo com que um elétron mova de nível. Quando o elétron retorna ao seu nível, ele libera um fóton de luz, como ilustra a Figura 2.4.
Figura 2.4 – Nascimento de um fóton. Segundo a teoria de Plank, a energia de um fóton é dada por:
l1 c = 300.000 km/s l2 Dt c = 300.000 km/s Dt f T c= l =l nm f Hz s nm f Hz s m f f c 1 10 3 / 10 3 / 10 3´ 8 = ´ 17 = ´ 17 = = l 1 2 3 Partículas Fóton de luz Elétron Núcleo f h ef =
4
onde h = 6.626 ´10-34 Joules-segundos é a constante de Planck, e f é a frequência do
fóton em Hertz. Esta equação é importante para entendermos o perigo das ondas eletromagnéticas que são emitidas por estrelas como o nosso Sol.
As ondas de menor frequência têm baixa energia e não causam danos aos seres humanos. As ondas de alta frequência, como o Raio X e Raios Gama, por outro lado, podem rapidamente causar danos na nossa estrutura celular. A atmosfera da Terra nos protege impedindo a entrada dos raios de alta energia existentes no Universo.
Outro resultado importante da teoria das partículas diz que os fótons nascem e morrem num determinado nível de energia. Como o nível de energia é relacionado com a frequência de pulsação, a frequência de um fóton é sempre constante durante sua vida. Ou seja, a luz de um fóton não muda de frequência (cor) nem perde energia com a distância percorrida. Como explicar então por que fontes distantes parecem fracas e luzes mudam de cor quando passam por objetos ou refletem neles? A resposta para primeira pergunta está na questão espacial estudada a seguir. A resposta da segunda pergunta está nas modificações dos espectros da luz discutidos na seção sobre processos de formação de cor.
Antes de prosseguirmos vamos elaborar um pouco mais a equação de energia de Plank. A frequência pode ser escrita em função do comprimento de onda como:
A energia de uma fonte luminosa que emite nl fótons de comprimento de onda l é:
e a energia total radiante de uma fonte luminosa, Q, pode ser computada integrando-se todos comprimentos de onda emitidos:
Medidas de intensidade da luz
As fontes de luz mais comuns no nosso dia a dia são as lâmpadas e o Sol. Se formos comprar uma lâmpada vamos normalmente encontrar lâmpadas de 40, 60, 100 e 120
Watt. Se procurarmos informações sobre o nosso Sol, vamos descobrir que ele produz
de 3,91´1026 Watt. Esta medida de intensidade da luz destas fontes é a potência
radiante também chamada de fluxo radiante denotada aqui por F. A relação entre
esta potência e a energia de Q, da seção anterior é dada por:
Dado que normalmente o fluxo radiante varia de ponto a ponto e depende também da direção, temos três grandezas físicas importantes que medem as taxas de fluxo radiante: a irradiação, a radiosidade e a radiância.
A irradiação, E, num ponto p de uma superfície é a taxa de potência radiante incidente nele por unidade de área. Ou seja:
l
l hc e =l
l l l l n e n hc Q = =ò
¥ = 0 Qldl
Q dt dQ = F5
[W/m2]
A irradiação de um dado local é uma grandeza importante no cultivo de plantas, por exemplo, que precisam desta energia solar para se desenvolver.
A taxa de potência radiante emitida por um ponto p de uma superfície por unidade de área por um ponto é chamada de radiosidade, B. A irradiação e a radiosidade só diferem no fato que a primeira é a taxa incidente e a segunda a taxa emitida. A equação da radiosidade é dada por:
[W/m2]
A orientação da área que recebe ou emite um fluxo luminoso é importante como ilustra a Figura 2.5. Quando o fluxo radiante está na direção da normal à área A, a quantidade de fótons que sai/chega da/à superfícies A é máximo. Quando a direção faz um ângulo de q com a normal esta quantidade é reduzida. Pela geometria da Figura vemos que a
área que emite/recebe o fluxo inclinado é A^ = A cos θ, e não A. Esta área reduzida é
denominada de área aparente (foreshortening). Esta área é importante na quantificação da energia radiante relacionada com áreas.
Figura 2.5 – Área aparente.
Nas equações de irradiação e radiosidade, o fluxo dF é a soma dos fluxos recebidos (ou emitidos) em todas as direções no ponto p da superfície ponderados pela sua área aparente.
Ocorre que a quantidade de fótons emitida por uma fonte pontual normalmente varia conforme a direção, ou seja, não é normalmente uniforme. Existem várias situações no nosso cotidiano em que podemos ver isto. Uma é quando você está sentando(a) ao lado de uma pessoa utilizando um computador com tela polarizada. A pessoa vê uma imagem na tela que você não vê ou vê mal. Outra situação corriqueira, de variação mais pronunciada, ocorre quando observamos de dentro de uma sala um ponto no vidro de uma janela em um dia claro. Dependendo da posição de nossos olhos na sala vemos cores diferentes para o mesmo ponto na superfície do vidro. Ou seja, luzes diferentes são emitidas para cada direção.
Essa mudança do que vemos quando movimentamos a cabeça é importante para compreendermos a forma espacial (3D) dos objetos vistos através da janela. Quando estamos olhando para uma pintura ou fotografia, ao movermos a cabeça, a cor do ponto
dA d E(p)= F dA d B(p)= F
6
permanece inalterada e isto reduz a nossa capacidade de compreensão da geometria 3D do objeto representado.
Uma exceção às imagens convencionais está mostrada na Figura 2.6. Esta figura mostra duas fotos tiradas de um cartão postal onde a radiância de cada ponto muda em função da direção que o olhamos. Imagens, como as do urso da figura acima são impressas de forma especial ilustrada também na figura.
Figura 2.6 – Imagens impressas de forma especial.
A Figura 2.7 procura apresentar uma ilustração da variação da emissão de fótons de um ponto sobre uma superfície em função da direção.
Figura 2.7 – Ilustração de fótons sendo emitidos de um ponto numa superfície. Se quisermos quantificar a variação do fluxo com a direção precisamos antes revisar um conceito geométrico importante: ângulo sólido.
Para entender a definição matemática de ângulo sólido vamos rever a definição de ângulo plano entre duas retas concorrentes. A definição de um ângulo, a, em radianos (rad) é dada pela razão entre o comprimento do arco l e do raio r de um círculo qualquer centrado no ponto de encontro das retas como mostra a Figura 2.8. Dadas duas retas concorrentes esta razão é constante, independente do tamanho do raio escolhido, e caracteriza de maneira única o “tamanho” da abertura entre elas.
Analogamente, o ângulo sólido, W, medido em esfero-radianos (str) de um cone semi-infinito que chega num ponto é a área, a, da calota de uma esfera qualquer com centro neste ponto, dividida pelo quadrado do seu raio r como também ilustra a Figura 2.8. Esta razão também é invariante ao raio escolhido e caracteriza o “tamanho” da abertura espacial.
Figura 2.8 – Definição de ângulos e ângulos sólidos
p rad p a =0!2 W=0"4p str
[ ]
rad r l = a[ ]
rad r l = a W= rra2[ ]
[ ]
strstr a 2 = W esfera r a esfera r a r l círculo a r l círculo a7
De posse do conceito de ângulo sólido podemos retomar a definição da grandeza de intensidade que varia em função da direção. Esta grandeza é a radiância que é a mais importante medida de intensidade de luz para Computação Gráfica.
A radiância é a taxa de fluxo radiante que incide ou emana de um ponto numa superfície por unidade de área aparente por unidade de ângulo sólido. Ou seja, é a quantidade de fótons que chegam ou saem de um ponto e passam por uma área infinitesimal em uma dada direção.
A equação que escreve a radiância em função do fluxo radiante é:
[W/str.m2]
A notação da radiância que chega num ponto p, vinda de uma direção w, é definida
como sendo L(p¬w). Analogamente, a radiância emitida num ponto p na direção w é
denotada por L(p®w).
[W/str.m2]
Um sistema de coordenadas muito utilizado neste tipo de cálculo é o sistema polar.
Nele, uma posição no espaço é dada por dois ângulos, j e q, e um raio, r, da forma
ilustrada na Figura 2.9(a). No lado direito desta figura vemos que o ângulo sólido correspondente a uma área infinitesimal pode ser calculado por:
(a) (b)
Figura 2.9 – Coordenadas polares e ângulo sólidos
É importante notarmos que no sistema polar de coordenadas, os elementos de área
infinitesimal não são simplesmente, djdq. A métrica da superfície inclui um seno do
ângulo com a vertical, uma vez que os círculos horizontais ficam cada vez menores na medida em que nos aproximamos dos polos.
De posse da expressão do ângulo sólido infinitesimal podemos calcular fluxo radiante infinitesimal emitido (ou recebido) por um ponto p numa superfície numa dada direção
(j,q), como sendo: w q w dAd d d dA d L cos 2 2 F = F = ^ w q w dAd d d dA d L cos 2 2 F = F = ^ q f q q f q w d d r rd d r r altura base r dA d = 2^ =( )(2 )= ( sin 2 )( ) =sin x y z q f r x y z q f r q f r dq r df r sin qdf
8
Integrando em todas as direções que emanam do ponto temos a radiosidade do ponto em função da radiância dada por:
Nos limites de integração está implícito que a superfície em torno de um ponto plana como ilustra a Figura 2.10. Mesmo as superfícies curvas podem ser consideradas localmente planas, dada o tamanho infinitesimal do hemisfério, H.
Figura 2.10 – Hemisfério em torno de um ponto
Se a radiância for uniforme em todas as direções a radiosidade pode ser calculada por:
Naturalmente o mesmo fator p também relaciona uma radiância uniforme incidente
num ponto num plano com a irradiação, E, recebida por ele.
“Intensidade” da luz para a CG
Que grandeza Física deve medir a “intensidade” da luz nos algoritmos de CG? A radiosidade, a irradiação, o fluxo radiante ou a radiância? Todas as grandezas podem estar presentes num dado problema, mas a questão fundamental é saber o que captam os nossos olhos e as maquinas fotográficas. Afinal, um dos objetivos da CG é produzir imagens que se pareçam com fotos dos objetos modelados.
A radiância é a grandeza física que mede a luz que chega aos nossos olhos. Uma comprovação disto acontece, por exemplo, quando vemos um objeto através de um vidro. A Figura 2.11 ilustra que o mesmo ponto p do vidro pode ter diferentes cores dependendo da posição dos nossos olhos.
f q q q f q dAd d L d2F= (p, , )cos sin f q q q f q p p d d L dA d B( ) ( , , )cos sin 2 / 0 2 0 p p = F =
ò ò
) ( 2 sin 2 ) ( sin cos ) ( ) ( 2 0 2 2 0 2 0 p p p p L d d L L B f q q q p q p p p p = ú û ù ê ë é = =ò ò
9
Figura 2.11 – A radiância de um ponto sobre vidro depende da direção de observação.
A Figura 2.12 mostra um modelo simples de uma câmera pinhole que também realça a importância da radiância. A imagem formada na parede oposta ao furo da câmera é
oriunda da radiância do ponto p na direção w. Nesta figura a área do plano de projeção
da câmera, dAp, recebe a radiância de um ponto da cena, dAc. A relação entre estas
áreas pode ser obtida se observarmos que o ângulo sólido formado entre elas e o furo são iguais.
Figura 2.12 – O que é projetado é a radiância dos pontos da cena.
Visibilidade das ondas eletromagnéticas
Quando estudamos a luz como ondas, observamos que existem muitos tipos diferentes de ondas eletromagnéticas no nosso cotidiano. Nossa grande fonte de luz, o sol, por exemplo, emite ondas eletromagnéticas de muitas frequências diferentes. A Figura 2.13 mostra as ondas eletromagnéticas classificadas tanto pela frequência f quanto pelo
comprimento de onda l.
Figura 2.13 – Ondas eletromagnéticas e espectro visível.
p vidro ) ( ) (p®w1 ¹Lp®w2 L 1 w 2 w p vidro ) ( ) (p®w1 ¹Lp®w2 L 1 w 2 w c
nˆ
dAp dAcw
) (p®w Lw
w
) (p®w Lp
l (m) VISÍVEL f (Hertz) 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020rádioAM FM,TV Micro-OndasInfra-VermelhoUltra-VioletaRaiosX 106 104 102 10 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12
106 104 102 10 10-2 10-4 10-6 10-8 10-10 10-12
vermelho (4.3 ´1014Hz), laranja, amarelo,..., verde, azul, violeta (7.5´1014Hz)
vermelho (4.3 ´1014Hz), laranja, amarelo,..., verde, azul, violeta (7.5´1014Hz)
Ultra-Violeta RaiosGama
10
Um ponto interessante nesta figura é a pequena largura do espectro de frequências em que as ondas eletromagnéticas presentes no ambiente excitam nossos olhos, o chamado
espectro visível. A razão disto se encontra nas dimensões das proteínas (cones e
bastonetes) que estão no fundo dos nossos olhos como discutido mais adiante neste capítulo.
A barra colorida mostrada na Figura 2.13 ilustra a sensação de cor que uma onda eletromagnética mono frequência produz nos olhos humanos. Ela vai do vermelho
(4.3´1014 Hz), passando pelo laranja, amarelo, verde e azul, até chegar ao violeta
(7.5´1014 Hz). A Tabela 2.1 mostra esta mesma informação na forma de faixas de
comprimento de onda escritos em nanômetros (nm=10-9m).
Tabela 2.1 - Sensações de cores de fontes mono-frequência no espectro visível. Resumindo, escritas em termos de comprimento de onda, as ondas eletromagnéticas
visíveis variam de 380 a 780 nm2.
A interação da luz com os objetos numa cena
Normalmente o que vemos não é a fonte de luz em si, mas sim cenas que são compostas de objetos que refletem a luz como ilustram as fotos da Figura 2.14. Um primeiro ponto a observarmos nestas cenas diz respeito a natureza dos objetos que estão sendo vistos e qual a dificuldade de modelar a interação da luz com eles. Objetos naturais, como animais e plantas, são geralmente muito mais complexos que os objetos feitos pelo homem, por mais rebuscados que estes últimos sejam. Mais ainda, alguns objetos, como a água, podem refletir a luz de forma a espelhar outras partes da cena. Outros como o vidro, são transparentes e a luz refrata dentro deles, gerando interações complexas.
(a) objetos
construídos (b) objetos naturais (c) reflexão especular (d) refração
Figura 2.14 – A luz que percebemos.
2 Alguns autores expandem estes limites para 360 a 830 nm, mas a sensibilidade do olho humano nesta faixa extra é muito baixa.
l Cor 380 - 440 nm Violeta 440 - 490 nm Azul 490 - 565 nm Verde 565 - 590 nm Amarelo 590 - 630 nm Laranja 630 -780 nm Vermelho l Cor 380 - 440 nm Violeta 440 - 490 nm Azul 490 - 565 nm Verde 565 - 590 nm Amarelo 590 - 630 nm Laranja 630 -780 nm Vermelho
11
Ao atingir a superfície de um objeto parte da luz é refletida, parte é absorvida e parte é refratada como ilustra a Figura 2.15.
Figura 2.15 – Luz ao atingir uma superfície.
A reflexão da luz depende do material da superfície em que ela incide. A reflexão em borrachas é, por exemplo, muito diferente da reflexão em metais polido. A busca de realismo visual tem forçado a Computação Gráfica a formular modelos elaborados de reflexão que são objeto de estudo no final deste capítulo. Por enquanto, vamos iniciar nosso estudo com um modelo simples de reflexão que se aplica como uma boa aproximação a materiais opacos e foscos: o modelo de reflexão de superfícies Lambertianas.
Segundo o modelo Lambertiano as superfícies refletem a luz incidente igualmente para todas as direções independentemente da direção de incidência, como ilustra a Figura 2.16. O que a direção de incidência afeta é a intensidade da luz refletida. No modelo Lambertiano esta intensidade é proporcional ao cosseno da normal da superfície com a direção incidente.
Figura 2.16 – Reflexão Lambertiana.
Podemos entender porque os fótons se espalham para todas as direções se imaginarmos que, nas dimensões deles, a superfície é bastante irregular como ilustra a Figura 2.17. Quando os fótons atingem esta superfície irregular eles se espalham em todas as direções.
absorvida
refletida
refratada
incidente
luz incidente luz incidente luz incidente luz incidente luz incidente luz incidente12
Figura 2.17 – Espalhamento de fótons ao incidir numa superfície.
A explicação da variação pela lei do cosseno também pode ser vista nestes modelos de partículas e foi apresentada junto com o conceito de área aparente acima.
Trajetórias da luz
O Princípio de Fermat que diz que ao viajar de um ponto a outro a luz segue o caminho de menor tempo. Deste princípio resultam as propriedades que definem a trajetória da luz.
Uma das propriedades da luz mais utilizadas na Computação Gráfica é a de que ela, num meio homogêneo, viaja em linha reta. Ou seja, a luz emitida em um ponto chega a outro num mesmo meio através do segmento de reta que une os dois. Uma comprovação experimental desta propriedade pode ser observada na chamada câmara
obscura que, pela sua importância histórica no estudo da luz, merece alguma atenção.
O relato mais antigo sobre a câmera obscura data de V séculos antes de Cristo na China. Aristótes (384-322 AC), Alhazen de Basra (X DC) e Leonardo da Vince (XVI DC) possuem relatos de aplicações da câmera obscura.
Os registros sobre a câmera obscura dizem que, num quarto escuro com um pequeno orifício na janela, a imagem do exterior aparece invertida na parede oposta do orifício. Podemos entender o que ocorre se observarmos que, na ausência de outra fonte de luz interna ao quarto fechado, a parede oposta recebe apenas a luz que atravessa o orifício. Como ele é pequeno cada ponto da parede recebe a luz de um ponto da cena que emite na direção do raio que vai deste ponto até o furo. Ou seja, a luz emitida no ponto da cena viaja em linha reta, passa pelo furo e atinge a parede oposta da câmera obscura. A Figura 2.18 mostra uma ilustração do funcionamento das câmeras obscuras. Este resultado comprova que a luz viaja em linha reta.
Figura 2.18 – Ilustração do princípio das câmeras obscuras (luz viaja em linha reta).
pequeno orifício.
13
Reflexão especular e refração
A refração e a reflexão especular também podem ser modeladas a partir do Princípio de Fermat. No caso da reflexão especular o princípio de Fermat implica que o raio refletido está no mesmo plano do raio incidente e a normal a superfície no ponto. Ele implica ainda que os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, como ilustra a Figura 2.19.
Figura 2.19 – Geometria da reflexão da luz.
Evidências experimentais deste modelo de reflexão são facilmente obtidas com os espelhos que temos nos nossos ambientes de trabalho e doméstico. Mesmo no lago da foto acima não é difícil comprovar que o que vemos na foto da superfície do lago vem da cena seguindo esta lei.
No caso da refração a luz segue a Lei de Snell que define o ângulo, q2, que o raio
refratado faz com a normal (ver Figura 2.20) através da equação:
Nesta equação vi é a velocidade da luz no meio i, e hi é o coeficiente de refração do
material que é definido pela razão:
onde c é a velocidade da luz.
Figura 2.20 – Refração na interface de dois meios diferentes.
Na simulação da refração na CG os índices de refração são, geralmente, associados apenas aos materiais e não ao comprimento de onda da luz como ilustra a Tabela 2.2.
Superfície especular q q q q p normal raio incidente 2 1 1 2 1 2 sin sin h h q q = = v v i i v c = h q1 q2 h1 h2 nˆ vˆ i p t rˆ q1 q2 h1 h2 nˆ vˆ i p t rˆ
14 Material h Vácuo 1.0 Água 4/3 Vidros 1.5 a 1.75 Ar 1.000277
Tabela 2.2 – Índices de refração de alguns materiais.
Ocorre, entretanto, que alguns materiais possuem índices que variam de forma mais significativa com o comprimento de onda da forma ilustrada na Figura 2.20
(a) variação de h (b) efeito num prisma
Figura 2.21 – Dispersão da luz num prisma.
Este fenômeno foi observado por Newton, no século XVII, quando ele concluiu que a luz branca é composta de todas as outras cores. A Figura 2.22 ilustra o que ocorre com a luz no prisma. A propriedade física que permite decompor a luz branca neste espectro de cores está relacionada com a refração diferenciada de cada componente da luz. Ou seja, no material de um prisma deste tipo, as componentes de menor comprimento de onda refratam mais separando as componentes. Um fenômeno semelhante ocorre na luz do sol quando atravessa a atmosfera depois de uma chuva, daí o arco-íris.
Figura 2.22 - Luz branca decomposta em todas as cores.
A experiência de Newton utilizou dois prismas: o primeiro era utilizado para espalhar a luz branca no espectro ilustrado acima, e outro era posicionado de forma a fazer o caminho inverso. Ou seja, nele o espectro se misturava novamente re-produzindo a luz branca. Desta forma ele mostrou que a luz branca pode ser decomposta num espectro
de cores e que um espectro de cores pode ser combinado para formar o que a luz branca.
Além dos fenômenos de reflexão especular e refração, ondas, em geral, também sofrem do fenômeno de difração. Ocorre, entretanto, que a difração só é importante quando o tamanho dos orifícios e obstáculos é de ordem da grandeza do comprimento da onda. Como a luz, tem um comprimento de onda muito pequeno este fenômeno é raro na natureza. 380 480 580 680 780 l (nm) h 380 480 580 680 780 l (nm) h
luz
branca
prisma vermelho alaranjado amarelo verde azul violeta15
Com a luz viajando em linha reta e sem considerarmos a difração a luz fica bem caracterizada por raios e a maioria dos algoritmos da CG se baseia neste modelo geométrico da luz. Quando a difração é importante, como no caso de ondas sonoras ou de sinal de celulares, o modelo geométrico mais utilizado é o de feixes.
Decomposição espectral da luz
Como visto na seção de radiometria, a intensidade da potência luminosa F pode variar com o comprimento de onda. É normal uma fonte de luz emitir diferentes intensidades para cada comprimento de onda. Uma maneira de caracterizarmos esta informação consiste em definirmos a função da taxa de potência radiante por intervalo dos comprimentos de onda, ou:
[em W/nm]
A Figura 2.23 mostra um aparelho de medida de espectro e a Figura 2.24 exemplifica espectros luminosos de flores baseados em medidas da luz refletida em plantas e da luz do céu em diversas situações. Os espectros mostrados enfatizam a faixa visível (380-780 nm).
Figura 2.23 –Aparelho de medir espectro de luz.
Figura 2.24 – Espectros baseados em medidas3.
A sensação de cor está diretamente associada com a distribuição espectral da luz. Ou seja, para entendermos a sensação de cor vamos precisar caracterizar quantitativamente
3 Medidas do céu baseadas em J. Parkkinen and P. Silfsten e medidas das plantas em E. Koivisto. l l ¶ F ¶ = F ) (nm l 400 700 l F pétala branca flor azul flor amarela flor laranja ) (nm l 400 700 l F pétala branca flor azul flor amarela flor laranja l F 400 700
levemente nublado, sol atrás das nuvens
nublado, céu cinza céu sem nuvens levemente nublado
céu sem nuvens, por do sol l(nm)
l F
400 700
levemente nublado, sol atrás das nuvens
nublado, céu cinza céu sem nuvens levemente nublado
céu sem nuvens, por do sol l(nm)
400 700
levemente nublado, sol atrás das nuvens
nublado, céu cinza céu sem nuvens levemente nublado
16
cada espectro. Existem muitas maneiras de se fazer isto. Uma simples, mas que
consome muito espaço de memória consiste em definirmos Fl através de uma
amostragem discreta do intervalo de 380 a 780 nm. Um espectro genérico amostrado a cada 10, 5 ou 1 nm seria então representado por um vetor de reais de 41, 81 ou 401, respectivamente. A Figura 2.25 mostra objetos cotidianos iluminados e seus respectivos espectros de obtidos por medição.
Figura 2.25 –Espectros de objetos comuns.
Quando tratamos de espectros de fontes luminosas brancas existe, na prática outra maneira de caracterizarmos sua distribuição espectral através de um só número: definindo a sua temperatura. Para entendermos como duas grandezas Físicas independentes: temperatura e cor se correlacionam no estudo de cor precisamos visitar a teoria dos corpos negros explicada a seguir.
Corpos negros e temperatura de fontes luminosas
Corpo negro é um modelo matemático (uma função) que define um espectro em função da temperatura. Para motivar este modelo vamos considerar o experimento de acendermos uma lâmpada incandescente comum com um regulador de voltagem, tipo
dimmer. O filamento da lâmpada produz luz quando aquecido e quando aumentamos a
temperatura aumentamos a intensidade e mudamos a forma do espectro da luz emitida por ele. Outro exemplo de corpo negro é o ferro de mexer brasa numa lareira ou numa forja. A medida que o ferro aquece ele emite radiação que inicialmente começa avermelhada e vai se deslocando para o azul. Ou seja, diversos materiais, quando
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 380 430 480 530 580 630 680 730
17
aquecidos, emitem radiações luminosas dentro do espectro que vai do infravermelho até o ultravioleta passando pelo espectro visível.
Corpo negro é na Física um modelo teórico de um corpo que absorve todas as radiações
e emite o máximo de energia de maneira isotrópica em todas as direções. É um modelo que aproxima a emissão de radiação das estrelas e dos planetas, incluindo o Sol e a Terra.
Max Plank desenvolveu em 1900 o modelo de partículas da luz do qual se deriva a Lei de Radiação de Planck que define a distribuição espectral da radiância de um corpo negro em função da temperatura. Segundo esta Lei, esta radiação, chamada de
radiação de corpo negro (blackbody radiation) segue a seguinte equação:
onde l é o comprimento de ondas em metros, T a temperatura em graus Kelvin e :
Nessas equações h é a constante de Plank, k é a constante de Boltzmann e c a velocidade da luz no vácuo.
A Figura 2.26 mostra a variação da emissão do corpo negro em função do comprimento de onda para três temperaturas diferentes. Nesta figura o eixo das ordenadas pode tanto ser a taxa de potência radiante por comprimento de onda ou a taxa de radiância. Como a emissão é isotrópica estas grandezas estão correlacionadas por um valor constante.
Figura 2.26 – Emissão de um corpo negro para três temperaturas diferentes. A Figura 2.27 mostra a forma do espectro da luz solar comparada com a forma do
espectro de um corpo negro a 6500oK. Esta semelhança justifica utilizarmos o espectro
do corpo negro a 6500oK como sendo uma aproximação do espectro solar4.
4 A discordância das curvas na extremidade esquerda é atenuada pelo fato do olho humano, como mostrado a seguir, não ter muita sensibilidade nas extremidades do espectro.
1 2 5 1 -= -T c e c L l l l 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 l
L
T =7500oK K T=6500o K T =5500ol
lF
ou18
Figura 2.27 – Espectro da luz solar e de um corpo negro a 6500º K.
A Figura 2.28 mostra outras formas do espectro de energia de um corpo negro quando sua temperatura varia de 1900 a 7500 graus Kelvin. Nesta figura as intensidades foram normalizadas de forma a ter o valor 1.0 na para o comprimento de onda de 550 nm. Esta normalização é importante para destacar que o que importa na definição da cromaticidade é a forma do diagrama. A escala vertical diz respeito a intensidade apenas.
Figura 2.28 – Espectros normalizados de um corpo negro.
Note que os espectros correspondentes a temperaturas mais baixas são avermelhados e os correspondentes a temperaturas mais altas tendem para o azul. A Figura 2.29 mostra uma correlação entre os espectros de diversas fontes luminosas e o espectro do corpo negro em diferentes temperaturas. O sol no céu do equador tende a ser mais amarelado
enquanto que nos pólos mais azuis. Lâmpadas de filamento (T @ 2800o K) são mais
amareladas que as lâmpadas dicróicas (T @ 3300o K). As lâmpadas de ambulância e
carros de polícia (T @ 6000o K) também estão mostradas na figura.
A questão de terminologia neste assunto é complexa. Nesta classificação, que é bastante utilizada na indústria de monitores e TVs, o branco azulado é mais quente que o branco amarelado. Basta manipular o controle de temperatura nestes dispositivos para vermos esta resposta. No mercado de lâmpadas eletrônicas, entretanto, já se consagrou outra terminologia contraditória a esta. Neste mercado as lâmpadas
380 430 480 530 580 630 680 730 780 Sol
Corpo negro à 6500 oK
F
l19
eletrônicas que produzem luzes mais parecidas com as lâmpadas de filamento são chamadas de “mais quentes” que as lâmpadas que produzem luz mais branca.
Figura 2.29 – Temperaturas de fontes luminosas.
Iluminantes padrão
Os iluminantes padrão são espectros padronizados de luz visível que procuram representar diversos tipos de iluminação que uma superfície pode estar sendo submetida. Estas referências servem para, por exemplo, transformarmos a cor de um objeto sob certa iluminação na cor sobre outra.
O Iluminante A, por exemplo, procura representar as luzes de filamento incandescente, o Iluminante D as condições de iluminação de luz natural e o Iluminante F as lâmpadas fluorescentes. Os espectros dos Iluminantes A e D estão ilustrados na Figura 2.30.
Figura 2.30 – Iluminantes padrão A e D65.
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 ) ( K T o 1900 1900 2800 2000 3300 6000 6500 5500 7500 380 480 580 680 780 l (nm) CIE D65 CIE Iluminante A ) / (Watts nm l
f
20
Matiz, brilho e saturação de fontes luminosas
A Figura 2.31 mostra dois espectros idealizados: o da luz branca como tendo todos os comprimentos de onda e o de uma luz colorida que praticamente só emite numa faixa pequena de frequência.
Figura 2.31 - Espectros idealizados.
As três características básicas do espectro de uma fonte de luz, matiz, brilho e saturação, podem ser determinadas a partir do seu espectro. A Figura 2.32 procura ilustrar a relação dos espectros de diversas fontes luminosas com estas grandezas.
A matiz (hue em inglês) é definida pelo comprimento de onda predominante no espectro visível. A Figura 2.32 mostra os espectros luminosos de quatro, sendo duas fontes de luz idealizadas com mesma distribuição e diferentes matizes. Nos espectros mais complexos como os da Figura 2.25 esta caracterização é certamente mais difícil. O brilho, também exemplificado na Figura 2.32, representa a intensidade da fonte, que pode ser medida pelas áreas de cada um dos gráficos. Espectros com maior área têm mais brilho.
Finalmente, a saturação ou pureza é definida pela predominância da componente da matiz (Figura 2.32). Quanto mais concentrado o gráfico do espectro da fonte, maior a saturação. Inversamente, quando a luz se aproxima da luz branca, ela tem baixa saturação. As cores pastéis, usadas em quartos de bebês, são exemplos de cores pouco saturadas.
Figura 2.32 - Características de espectros luminosos.
luz branca ideal luz colorida 380 780 ) / (Watts nm ) (nm l l
f
luz branca ideal luz colorida 380 780 ) / (Watts nm ) (nm l lf
saturação + -saturação + -+ -brilho +-brilho matiz (hue)
¹
matiz (hue)
21
Sistemas de cor por enumeração
Os primeiros sistemas de especificação de cor se baseavam enumerar as cores colocando rótulos em amostras de superfícies de amostras. Albert H. Munsell, (Figura 2.33) foi um artista e professor que em 1905 publicou um trabalho que procurava “descrever as cores de uma maneira racional” classificando-as de acordo com sua matiz (hue), saturação (chroma) e valor (value) como ilustra a Figura 2.34.
Figura 2.33 – Sistema de cor de Munsell
Figura 2.34 – Matiz (hue), saturação (chroma) e valor (value) de Munsell Para especificarmos uma cor neste sistema utilizamos a seguinte notação exemplificada por: 5YR 8/4 que significa: matiz 5YR, valor 8 (de zero a dez) e saturação 4 (de zero a vinte).
Este sistema, apesar de antigo, sobrevive até hoje graças a sua classificação intuitiva e ao espaçamento perceptualmente uniforme de suas amostras.
Este processo de classificação de cores por amostras continua até hoje. O sistema PantoneÓ mostrado na Figura 2.35 é um sistema proprietário bastante utilizado na internet atualmente. Note no lado direito desta figura que a cor denominada “blue Iris” tem uma codificação em hexadecimal 506EB2 para a internet e apresenta três componentes de cor no sistema sRGB (80,110,178) que é discutido no final deste capítulo.
¶1858 U1918
Albert Henry Munsell
matiz (hue)
saturação (chroma)
val
22
Figura 2.35 – Sistema de cor PantoneÓ
O sistema sRGB se baseia num modelo numérico de um espaço vetorial de cor. Para entendermos esses modelos é necessário estudarmos um pouco de Colorimetria que é um ciência que envolve a Física e a Psicologia e começa com o entendimento do sistema visual humano.
Pantone: Blue Iris
23
Percepção visual
Apesar dos animais serem providos de percepção de cores, as cores que estudamos neste capítulo são sensações humanas em resposta à luz que incide em nossos olhos. Ou seja, não trata apenas das medidas físicas da luz, mas sim de como a luz é percebida pelos seres humanos. Outros animais têm formas diferentes de perceber a luz.
Um modelo simples para os olhos humanos
O nosso olho recebe, através de um sistema de lentes, os raios de luz que incidem diretamente sobre ele, como ilustra a Figura 2.36.
Figura 2.36 - Esquema do olho humano.
Na retina dos olhos existem duas classes de sensores que captam luz. Devido à sua forma geométrica, estes sensores recebem os nomes de cones e bastonetes (rods). No olho humano existem aproximadamente uns 100 milhões de bastonetes e uns 5 milhões de cones concentrados numa região central do olho chamada fóvea. Existe também um ponto cego na retina que não tem nem cones nem bastonetes e é onde os nervos ópticos estão conectados. Apesar de a fóvea cobrir menos que 10% da retina, ela é responsável por todos os sinais de cor enviados ao cérebro.
Os bastonetes nos permitem enxergar em ambientes muito pouco iluminados, como numa noite com apenas luz de estrelas, e não transmitem sensação de cor, ou seja, são cegos para as cores. Com toda a iluminação artificial que nos cerca este tipo de visão é, atualmente, muito pouco utilizada. Este fenômeno também pode ser observado ao estudarmos os olhos dos animais. Os pombos, por exemplo, não possuem bastonetes e por isso só enxergam com bastante luz. As corujas, por outro lado, possuem apenas bastonetes e têm uma excelente visão noturna.
Os cones que são fundamentais para a sensação de cor, só respondem a luzes com mais brilho como a luz do dia ou luzes artificiais. A visão por bastonetes é chamada de
escotópica (scotopic) e a visão com cones de fotópica (photopic). O estudo de cor
descrito aqui é apenas da visão fotópica5.
Cada um dos três tipos diferentes de cones responde melhor a uma determinada faixa
de frequências da luz como ilustra a Figura 2.37. Eles são denominados de s, m e ! de
acordo com o comprimento de onda predominante ser curto (short), médio, ou longo. Esta figura, gerada a partir da Tabela do Anexo A, ilustra resultados experimentais de sensibilidade de cada um destes cones. Cada um destes cones possui um pigmento que
5 Estes detalhes podem parecer exagerados, mas são importantes quando procuramos informações sobre dados do olho humano para utilizarmos na Computação Gráfica. A literatura tem dados para ambos os processos de visão e é importante sabermos distinguir entre eles para podermos pegar a informação certa.
retina bastonetes cones s m l Bastonetes Cones
24
consiste de uma proteína que muda de forma quando é atingida pela luz. Mais precisamente quando fótons de uma determinada frequência incidem sobre ela. Esta mudança dispara uma seqüência de eventos a nível celular que ativam neurônios da retina que disparam impulsos no nervo óptico para o cérebro.
Figura 2.37 - Absorção de energia luminosa no olho humano pelos cones em função de l.
A Figura 2.38 mostra outra curva experimental importante, também dada na Tabela A1 do Anexo A. Ela relaciona a capacidade relativa do olho humano de perceber a luz em função do seu comprimento de onda da fonte. Outro ponto interessante é que a sensibilidade do olho humano varia suavemente com comprimento de onda começando em zero em 380 nm, chegando a um máximo em 555 nm, e depois retornando suavemente a zero.
Figura 2.38 - Sensibilidade do olho humano a diferentes comprimentos de onda. Assim, por exemplo, mesmo que uma fonte azul emita a mesma quantidade de energia luminosa que uma fonte verde, vamos perceber a luz verde como sendo mais intensa. Isto porque a fonte verde tem um distribuição mais próxima da região central da curva
V(l) enquanto que a azul se aproxima das pontas. Esta percepção humana do brilho
de uma fonte é denominada de luminosidade.
É importante destacarmos a diferença entre luminosidade e brilho: o brilho é uma propriedade física da fonte de luz e a luminosidade depende da percepção humana. Ou seja, o brilho é uma intensidade de energia emitida pela fonte e medida através de aparelhos em Watt, enquanto a luminosidade é a parcela desta energia que um ser humano normal percebe e é medida em candelas ou em lumens.
Dado o espectro de potência de uma fonte luminosa, F(l), o brilho, B, pode ser obtido
por: l(nm) fra ção de lu z absorv ida por cada co ne ) (l ! ) (l m ) (l s 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 480 580 680 780 l(nm) fra ção de lu z absorv ida por cada co ne ) (l ! ) (l m ) (l s 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 480 580 680 780 sensibi li dad e relat iva l (nm) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 480 580 680 780 sensibi li dad e relat iva l (nm) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 480 580 680 780
)
(
l
V
25 (em Watt)
Como temos a curva experimental V(l) que padroniza a relação entre brilho e
luminosidade para cada comprimento de onda, a luminosidade, Y, pode ser calculada por:
(em lumens)
onde km é um fator que vale 680 lumes/watt.
Devemos notar que as curvas s(l), m(l) e !(l) da Figura 2.10 estão normalizadas para
o máximo de cada uma ser um e por isto cada uma está em uma escala diferente. Se
levarmos em conta a curva V(l) podemos ajustar as curvas s(l), m(l) e !(l) de forma
a colocá-las todas em uma mesma escala. A Figura 2.39, mostra estas curvas.
Figura 2.39 - Absorção relativa de energia luminosa dos cones em função de l numa mesma escala.
A curva V(l) tem uma importância fundamental no estudo de cor. As medidas
radiometricas de energia, fluxo, radiosidade e radiância incluem comprimentos de ondas que não são captados pelo olho humano. Para cada uma das medidas
radiométricas existe outra, dita fotométrica, que leva V(l) em consideração. A tabela
abaixo apresenta estas medidas.
Quantidade
radiométrica Símbolo Unidade Quantidade fotométrica Símbolo Unidade
Energia radiante Qe J (joule) Energia luminosa Qv lm.s
Fluxo radiante fe J/s=W
(watt)
Fluxo luminoso fv lm (lúmen)
Radiosidade B W/m2 Radiosidade luminosa B v lm/m2=lux Irradiação E W/m2 Irradiação luminosa E v lm/m2=lux Intensidade
(radiante) Ie W/sr Intensidade luminosa Iv lm/sr=cd (candela)
Radiância Le W/m2sr Luminância Lv lm/m2sr=cd/m2 (nit)
ò
F = l dl B ( )ò
F =k V l l dl Y m ( ) ( ) ) ( ) (l ! l V ) ( ) (l ml V ) ( ) (l s l V 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 430 480 530 580 630 680 730 780 ) (l V l(nm) fra ção de lu z absorvida por cada co ne ) ( ) (l ! l V ) ( ) (l ml V ) ( ) (l s l V 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 380 430 480 530 580 630 680 730 780 ) (l V l(nm) fra ção de lu z absorvida por cada co ne26
Tri-cromaticidade e metamerismo
O fato de termos apenas três tipos de sensores cromáticos explica por que normalmente definimos as cores através de um modelo tri-cromático, ou seja, definindo cada cor
através de três números. Dadas as curvas s(l), m(l) e !(l), do Anexo A e a distribuição
espectral de uma fonte luminosa, F(l), podemos criar uma medida da sensação de cor
que ela produz através de um modelo matemático simples que procure modelar a absorção de fótons pelos neurônios e os pulsos emitidos pelos nervos ópticos para o cérebro por:
onde seria então uma medida da sensação da cor. Ocorre, entretanto, que as
sensações de cor são respostas de processos muito mais complexos que ocorrem no cérebro. As medidas acima são, na melhor das hipóteses uma estimativa de impulsos elétricos enviados ao cérebro. Ou sejam são apenas o inicio do processo de captura da luz.
Os processos de medir cores são baseados em experimentos perceptuais descrito na seção de Colorimetria mostrada a seguir. Preserva-se, entretanto, a idéia de que a
sensação de cor de um dado espectro possa ser descrito por apenas três números6.
Os princípios da tri-cromaticidade e do metamerismo formam a primeira base para a colorimertria:
• Tri-cromaticidade: a sensação de cor produzida por qualquer espectro pode ser representado por três números, sem perda de informação para o sistema visual humano.
• Metamerismo: todos os espectros que produzem as mesmas respostas tri-cromáticas são indistinguíveis quanto a sensação de cor.
A Figura 2.40 ilustra o princípio do metamerismo onde três espectros diferentes produzem a mesma cor (violeta).
6 O espaço vetorial das funções de 380 a 780 nm é, matematicamente falando, de dimensão infinita. O que reduz o número de vetores na base dos espaços de cor é o número de cones do olho.
l l l l l l l l l l l l
ò
ò
ò
F = F = F = V s d m V m d V d s ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ! ( ) ( )!( ) T m s, , ) ( !27
Figura 2.40 – Metamerismo7.
A Figura 2.41 ilustra uma aplicação do princípio do metamerismo na transmissão de uma partida de futebol num sistema totalmente calibrado. Se o sistema estiver totalmente calibrado devemos perceber a mesma cor olhando no campo ou na televisão, embora os espectros sejam bastante diferentes. Ao passarmos pela vitrine de uma loja com muitos televisores ligados mostrando a mesma cena vemos que, infelizmente, a indústria ainda não atingiu este nível de qualidade. Esperamos, entretanto, que num futuro próximo as a reprodução das cores melhorem e a sensação de cor real e na TV fiquem cada vez mais próximas.
(a) campo de futebol (b) espectro do campo
(c) televisor calibrado (d) espectro do pixel
Figura 2.41 – Uma aplicação que busca o ideal do princípio do metamerismo.
28
Colorimetria
Colorimetria é a ciência que estuda as medidas da cor. A base desta ciência é a psicofísica e ela procura quantificar a sensação humana de cor.
Uma das bases da colorimetria são as leis de óptica enunciadas por Hernann Grassmann em 1840:
• 1a Lei de Grassmann: A sensação de cor de qualquer espectro pode ser obtida
da mistura de três cores primárias.
Esta primeira lei é equivalente ao princípio da tri-cromaticidade e ambos devem ser entendidos no contexto do experimento ilustrado na Figura 2.42. Esta Figura mostra como uma cor qualquer, C, pode ser medida por três valores (r,g,b). Estes valores correspondem as intensidades de três cores primárias, R, G e B, que fazem com que pessoas colocadas como observadoras vejam as duas metades do círculo como sendo da mesma cor.
Figura 2.42 – Experimento base para a 1a Lei de Grassmann.
Quando o casamento das duas metades é obtido escrevemos:
É importante qualificar este “igual”. Ele diz que pessoas com visão normal e nas mesmas condições sentem a mesma coisa. Se mudamos o tamanho dos semicírculos ou a cor no resto do ambiente o casamento pode não mais ocorrer.
Está implícito no experimento da Figura 2.15 o fato de que os seres humanos não distinguem as componentes da soma de dois ou mais espectros luminosos. A Figura 2.43 ilustra este outro princípio. A região onde os dois feixes de luz se interceptam vemos como uma nova cor e não sentimos que a soma que ocorre nela. As TVs que projetam três canhões de RGB independentes são um exemplo da aplicação bem sucedida deste princípio. A menos que os canhões estejam desalinhados não percebemos que são três emissões independentes. Note que esta propriedade não é geral de nossos sentidos. O mesmo não acontece, por exemplo, com nossa audição. Se ouvirmos duas pessoas cantando em dueto vamos sempre perceber que são duas vozes juntas e não uma nova voz.
g G b B
C
imagem projetada soma das cores primárias cor de teste g G b B C imagem projetada soma das cores primárias cor de teste B G R C=r +g +b
29
Figura 2.43 – O olho humano não vê componente.
• 2a Lei de Grassmann: Se uma cor pode ser escrita como:
então, se intensificarmos os espectros de uma fator a as cores resultantes
também seriam metaméricas. Ou seja:
É importante discutirmos esta equação. Ela diz apenas que, por exemplo, se uma fonte de luz é equivalente a duas outras somadas, ao dobrarmos a intensidade da fonte ela é equivalente a soma das duas outras também dobradas.
Note que esta lei não diz que a sensação de cor é linear com o brilho da fonte de luz. De fato, ela não é linear nem com o brilho nem com a luminosidade. Se desejarmos um conjunto de espectros luminosos que produzam sensações de cor numa escala linear de percepção precisamos nos ater a outro princípio que rege a visão e audição: a Lei de Weber (1834). Esta lei diz que a percepção de mudança num estímulo, JND (just noticeable
difference), é proporcional ao valor do estímulo original. Ou seja, se I é o
estímulo e L é a percepção:
Um certo valor de DL caracterizaria um percepção de mudança para seres
humanos. Se a valores DL iguais temos percepções iguais, L é dita
perceptualmente linear. Na forma diferencial esta equação pode ser
escrita como:
Que integrada nos leva a equação:
que tem um comportamento ilustrado na Figura 2.44.
l l Fa l Fb a b a+b Fa+b l l Fa l Fb a b a+b Fa+b B G R C=r +g +b B G R C
a
ra
ga
ba
= + + I I Lµ D D I dI dL=)
log(I
L
µ
30
Figura 2.44 – Lei de Weber sobre a linearidade dos sentidos.
• 3a Lei de Grassmann: Se duas cores podem ser escritas como:
então, somarmos os espectros delas termos uma outra cor que pode ser
representada por (r1+r2, g1+g2, b1+b2). Ou seja:
Estas três leis de Grassmann juntas caracterizam os espaços de cor com a estrutura algébrica de um espaço vetorial de três dimensões. Ou seja, cor pode ser representada por conjunto de triplas de números reais (r,g,b) que possuem duas operações soma e multiplicação por um escalar (número real). Este modelo tem limites de aplicabilidade. Se fosse um espaço vetorial mesmo a soma de duas cores seria sempre uma cor e a multiplicação de uma cor por um escalar também. Isto ocorre dentro dos limites da percepção humana. O olho humano normal só é capaz de distinguir umas 400 mil cores
diferentes. Isto quer dizer que o conjunto de sensações de cor não é nem denso8 nem
ilimitado.
Tendo estabelecidas as bases do processo de medição de cor vamos estudar os sistemas utilizados de medi-las. Os sistemas da “Commission Internationale de l'Eclairage”,
CIE9, uma organização não governamental, criada em 1913, que tem entre seus
objetivos o de criar padrões de medidas da cor formam a base destes estudos.
Sistemas CIE RGB
A Figura 2.45(a) ilustra o experimento básico de colorimetria do CIE, que é um caso
particular do descrito na Figura 2.42 onde a cor de teste é uma cor espectral pura10,
C(l), como também o são cores puras as cores R(l=700 nm), G(l=546 nm) e
B(l=435.8 nm). Este experimento, denominado CIE RGB, foi feito em 1931, com um
ângulo de visada do observador de 2o e, em 1964, foi repetido com um ângulo de 10o.
A Figura 2.45 (a) mostra dois círculos de teste, um para cada um destes experimentos.
Mostra também o ângulo de 2o e 10o referidos acima.
Baseado na 1a Lei de Grassmann deveríamos poder escrever:
8 Denso no sentido matemático: dado um elemento de um conjunto denso sempre existe outro numa distância tão pequena quanto se queira. O conjunto dos números reais é denso.
9 http://www.cie.co.at/
10 Cor totalmente saturada oriunda de uma fonte que emite luz numa só freqüência l. I L I L B G R C1=r1 +g1 +b1 B G R C2=r2 +g2 +b2 B G R C C1+ 2=(r1+r2) +(g1+g2) +(b1+b2)
31
Ocorre, entretanto, que a combinação de três fontes luminosas de diferentes partes do espectro resulta necessariamente numa cor menos saturada que a cor, C(l), que pela definição do experimento é pura e totalmente saturada. Ou seja, o metamerismo pretendido não ocorreu porque o conjunto de cores é limitado e uma cor pura é uma cor na fronteira do conjunto e não pode ser escrita como uma combinação de outras. Os pesquisadores, que deram base ao experimento do CIE, utilizaram o artifício ilustrado na Figura 2.45(b) para contornar esta falta de correspondência. Na solução proposta uma das cores básicas, R, G ou B é colocada somando com a cor espectral
C(l). Desta forma podemos obter uma equivalência dos dois lados dos semi-círculos
iluminados mostrado na Figura 2.45 (b). Isto poderia ser escrito como: ou
Ou seja, o experimento não invalidou a 1a Lei de Grassmann, apenas forçou que
entendêssemos esta equivalência entre cores de uma forma mais ampla. A cor de qualquer espectro pode ser escrita como uma superposição de três espectros básicos. Pode ocorrer, entretanto que algum deles tenha que ser adicionado na cor de teste representando uma componente negativa.
(a) idéia básica dos experimentos (b) artifício para subtrair a luz R
Figura 2.45 – Base experimental das curvas do CIE RGB de 1931 e 1964. Os valores reportados pelas pessoas foram tratados estatisticamente e os resultados
foram publicados pelo CIE. As curvas de 2o e 10o são parecidas, mas não são iguais,
para efeito deste livro nós vamos nos concentrar nas curvas de 2o que são mais próximas
das condições de observação de cores em monitores de computador. As curvas de 10o
são mais apropriadas para estudos de Arquitetura e Decoração onde paredes ocupam uma área maior de nosso campo de visão.
A Tabela A2 do Anexo A, mostra os valores medidos pelo CIE para o experimento de 1931. Estes valores também estão ilustrados na Figura 2.46. Para exemplificar o significado destas curvas, a figura mostra uma linha tracejada que indica que para representar uma cor espectral pura de l=480 teríamos que somar a luz azul com um pouco de verde e “subtrair” (colocar do outro lado) um pouco de vermelho.
B G R C(
l
)=r(l
) +g(l
) +b(l
) B G R C(l
)+r¢(l
) = g(l
) +b(l
) ) ( ) ( : , ) ( ) ( ) ( ) (l
=rl
R+gl
G+bl
B onde rl
=-r¢l
C r(l) R g(l) G b(l) B C(l) 1931 - 2o 1964 - 10o 2oou 10o r(l) R g(l) G b(l) B C(l) 1931 - 2o 1964 - 10o 2oou 10o r(l) R g(l) G b(l) B C(l) 1931 - 2o 1964 - 10o 2oou 10o r(l) R g(l) G b(l) B C(l) 1931 - 2o 1964 - 10o 2oou 10o32
Figura 2.46 – Resultados do experimento do CIE para um ângulo de 2o.
Sistemas CIE XYZ
As curvas da Figura 2.46 colocadas num espaço 3D são representadas da forma esquematicamente ilustrada na Figura 2.47(a). Os valores negativos levaram o CIE a fazer uma transformação de coordenadas re-escrevendo estes valores numa base de cores imaginárias XYZ escolhidas de tal forma que as cores visíveis pudessem ser
escritas como uma combinação linear delas somente com coeficientes positivos11.
(a) curva de espectral (b) cores imaginárias XYZ
Figura 2.47 – Curva das cores espectrais e base CIE XYZ. A matriz:
(2.5) transforma cada vetor de cor escrito na base CIE RGB para a base CIE XYZ. Com ele uma cor espectral pura, C(l), pode ser re-escrita como
11 A escolha resultou em coeficientes positivos mas utiliza como base cores que não existem. São cores que seriam cores reais “subtraídas” outras cores. Matematicamente seriam luzes com espectros de potência com valores negativos. De qualquer forma esta escolha não está em discussão. Este sistema é a base da Colorimetria que utilizamos no mundo e qualquer referencia é boa quando todos concordam.
l (nm) Val ores dos t ri -e simulos r(l ) g(l ) b(l ) -1 0 1 2 3 380 430 480 530 580 630 680 730 780 l (nm) Val ores dos t ri -e simulos r(l ) g(l ) b(l ) -1 0 1 2 3 380 430 480 530 580 630 680 730 780 G B R Y X Z G B R Y X Z ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ) ( ) ( ) ( 990 . 0 010 . 0 000 . 0 011 . 0 813 . 0 177 . 0 200 . 0 310 . 0 490 . 0 ) ( ) ( ) ( l l l l l l b g r z y x
33
(2.6)
Onde, , e possuem apenas valores positivos como mostra a Tabela A2
do Anexo A e ilustra a Figura 2.48.
Figura 2.48 – Curva das componentes das cores espectrais na base CIE XYZ.
Por escolha do CIE a curva é idêntica a curva v(l) ilustrada na Figura 2.38 e dada
na Tabela A1 do Anexo A. Como qualquer tetraedro que englobe a curva das cores espectrais tem a propriedade de escrever as cores reais com coeficientes positivos a posição das cores imaginárias é mais ou menos arbitrária. As cores XYZ elas foram
escolhidas para a curva codificar a luminosidade. Ou seja, a componente Y nos
dá uma medida da luminosidade de um espectro de radiância.
Luminosidade e adaptação do sistema visual humano
Um aspecto importante do olho humano é sua capacidade de se adaptar a diferentes níveis de luminosidade do ambiente que nos cerca. A Tabela 2.2 mostra a quantidade de lumens por metro quadrado que incide nas superfícies que nos rodeiam. Para entendermos melhor como nosso sistema de visão funciona, consideremos duas situações cotidianas: entrar num túnel e observar o céu de dia e de noite.
Quando entramos num túnel em um dia ensolarado, por exemplo, a quantidade de luz que penetra nos nossos olhos cai em mais de cem vezes. Por alguns instantes não vemos nenhuma luz, mas logo em seguida nossos olhos se adaptam e passamos a enxergar dentro do túnel. É como se tivéssemos trocado nossos olhos por outros mais sensíveis à luz. Ele se adaptou a nova luminosidade.
O mesmo fenômeno ocorre quando estamos olhando para o céu. No período noturno enxergamos a Lua e as estrelas, mas no período diurno não conseguimos mais vê-las, apesar delas estarem lá. É como se à noite tivéssemos olhos mais sensíveis, capazes de perceber intensidades mais baixas.
O que ocorre é que a quantidade de luz que penetra nos nossos olhos é administrada pela nossa pupila sem um controle consciente nosso. Ou seja, ela se abre e se fecha de forma a manter o fluxo de luz dentro de uma faixa tolerada. Como não controlamos nem sentimos este processo de abrir e fechar, a intensidade luminosa é para nós uma grandeza relativa. Num ambiente com diversas superfícies brancas, por exemplo, percebemos a superfície de maior luminosidade como branca e as outras como cinza. Se introduzirmos uma superfície mais brilhante na cena, ela se torna a branca e anterior vira cinza. Isto também pode ser observado se numa sala completamente escura
Z Y X C(
l
)=x(l
) +y(l
) +z(l
) ) (l
x y(l
) z(l
) l (nm) 0.5 1.0 1.5 2.0 400 500 600 700)
(
l
x
) (l y ) (l z l (nm) 0.5 1.0 1.5 2.0 400 500 600 700)
(
l
x
) (l y ) (l z ) (l
y ) (l
y34
iluminamos um círculo como mostra a Figura 2.22a. Se em seguida acrescentarmos outra luz no centro do círculo, gerando um espectro mais brilhante, vamos interpretar este como sendo o branco e o anterior se torna cinza (Figura 2.22b). Podemos continuar este processo (Figura 2.22c). Sempre que um círculo mais brilhante for acrescentado, para nós ele se torna o branco e dos demais ficam cinza. Ou seja, a nossa percepção de
luminosidade e de branco é relativa12.
Ambiente lux (lumens/m2)
Luz do dia (máximo) 100.000
Luz de dia sombrio 10.000
Interior próximo a janela 1.000
Mínimo p/ trabalho 100
Lua cheia 0,2
Luz das estrelas 0,0003
Tabela 2.2 - Intensidades luminosas normais.
(a) (b) (c)
Figura 2.49 - Percepção relativa da luminosidade.
O Sistema CIE xyY
Procurando separar as componentes de cromaticidade da componente de luminosidade (Y) de uma cor, o CIE propôs projetar as componentes XYZ no plano X+Y+Z=1 mostrado na Figura 2.50.
12 Note que para explicarmos este aspecto relativo da luminosidade precisamos fazer o
experimento ilustrado na Figura 2.22 numa sala escura. Uma folha de papel não permite a acomodação de nossos olhos. Ou seja, vendo esta página o fenômeno de adaptação da retina não ocorre.
