CAPÍTULO 5 CONDUÇÃO TRANSIENTE PARTE 2 DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA

CAPÍTULO 5 – CONDUÇÃO TRANSIENTE – PARTE 2 DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1

5.7 O SÓLIDO SEMI-INFINITO

• Corpo que se estende até o infinito em todas as direções, exceto uma superfície identificável.

• Se uma mudança de condições for imposta a essa superfície, ocorrerá condução transiente no interior do sólido.

• A equação do calor para o sólido semi-infinito é:

t T x T ∂ ∂ = ∂ ∂

α

1 2 2

• A condição de contorno no interior do sólido tem a forma:

(

x t

)

Ti

T → ∞, =

• Soluções analíticas podem ser obtidas para três condições na superfície, impostas instantaneamente em t = 0.

• CASO 1 – Temperatura na superfície constante: T

( )

0,t =T_s

( )

_      = − − t x erf T T T t x T s i s

α

2 ,

( ) (

)

t T T k t q_s s i

πα

− = "

• CASO 2 – Fluxo térmico na superfície constante: q_s" = q_o"

( )

(

)

      −       − = − t x erfc k x q t x k t q T t x T o o i α α π α 2 4 exp 2 , " 2 2 1 "

• CASO 3 – Convecção na superfície: h

[

T T

( )

t

]

x T k x , 0 0 − = ∂ ∂ − _∞ =

( )

            +             + −       = − − ∞ k t h t x erfc k t h k hx t x erfc T T T t x T i i

α

α

α

α

exp 2 2 , 2 2

( )

t h

[

T T

( )

t

]

q_s" = _∞ − _s

• erf

( )

w é a função erro de Gauss e erfc

( )

w =1− erf

( )

w é a função erro complementar de Gauss.

• Valores de erf

( )

w estão tabelados no Apêndice B.2.

• Históricos de temperaturas em um sólido semi-infinito com convecção na superfície podem ser visualizados abaixo:

• Um caso de interesse envolve o contato térmico entre dois sólidos semi-infinitos, inicialmente a T_A,i e T_B,i.

• No momento do contato, as superfícies assumem o valor de T na _s

qual T_B,i < T_s <T_A,i. A temperatura superficial de equilíbrio pode ser obtida por um balanço de energia na superfície entre os sólidos semi-infinitos:

(

)

(

−

)

=

(

(

−

)

)

⇒ − ⇒ = _{1 2}, 2 1 , " , " , t T T k t T T k q q B i B s B A i A s A B s A s πα πα

( )

( )

( )

1 2

( )

12 , 2 1 , 2 1 B A i B B i A A s c k c k T c k T c k T ρ ρ ρ ρ + + =

Função Erro de Gauss

• A função erro de Gauss é definida pela relação:

∫

− = w v dv e w 0 2 2 ) erf(

π

• A solução para o CASO 1 pode ser obtida utilizando a variável de similaridade

η

na qual a equação do calor, que é uma equação

diferencial parcial é convertida em uma equação diferencial

ordinária.

• A idéia da variável de similaridade é que independente dos valores de x e t a temperatura pode ser representada como uma única função de

η

.

• No caso do sólido semi-infinito, essa técnica é válida somente para o CASO 1. Para os CASOS 2 e 3 a técnica da Transformada de Laplace pode ser utilizada.

• A variável de similaridade no CASO 1 é:

( )

1 2

4 t

x

α η =

• Problema original do CASO 1: t T x T ∂ ∂ = ∂ ∂

α

1 2 2 T

( )

x,0 = T_i T

(

x → ∞,t

)

= T_i T

( )

0,t = T_s

• Obtenção das derivadas da E.D.P. utilizando a variável

η

:

( )

α

η

( )

α

η

η

η

d dT t d dT t x x x d dT x T 2 1 2 1 4 1 4  =     ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

( )

2 2 2 1 2 1 2 2 4 1 4 4 1

η

α

α

η

α

η

η

η

d T d t t x x d dT t d d x x T d d x T =       ∂ ∂       = ∂ ∂     ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

α

η

( )

α

η

η

η

η

η

d dT t d dT t x t d dT t x t t d dT t T 2 4 2 1 4 1 2 _ = − 1 2 = −     ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂

• Substituindo as derivadas ∂2T ∂x2 e ∂T ∂

η

na E.D.P. original obtém-se: ⇒ − =

η

α

η

η

α

d dT t d T d t 2 4 1 2 2

η

η

η

d dT d T d 2 2 2 − =

• As condições de contorno tornam-se:

(

_x → ∞ _t

)

= _Ti ⇒

T , T

(

η

→ ∞

)

=T_i

( )

_t = _Ts ⇒

• A forma de T

( )

η

é obtida pela separação de variáveis da E.D.O.:

(

)

(

dT d

η

η

)

η

d

η

d dT d 2 − = • Integrando, tem-se que:

(

)

( )

2 1 ' 1 2 exp ln

η

η

η

η

= − + ⇒ = _C − d dT C d dT

• Integrando uma segunda vez obtemos:

( )

∫

− + = η 0 2 2 1 exp u du C C T

• Utilizando as condições de contorno obtém-se que:

(

)

2 1 1 2 πi s T T C = − C2 =Ts

• A distribuição de temperaturas pode ser representada por:

(

)

( )

− = ⇒ = − −

∫

η η π 0 2 2 1 erf exp 2 u du T T T T s i s

( )

( )

     = − − 2 1 4 erf , t x T T T t x T s i s α

• O fluxo de calor superficial é obtido pela lei de Fourier em x = 0:

(

) (

)

⇒ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ − = = =0 0 " erf η

η

η

η

x d d T T k x T k q _{i s} x s

(

)

( )

1 2 " t T T k q_s s i

πα

− =

5.8 FEITOS MULTIDIMENSIONAIS

• Problemas transientes são freqüentemente encontrados em situações bidimensionais e tridimensionais.

• A solução de tais problemas pode ser obtida a partir da combinação das soluções transientes unidimensionais para parede plana, cilindro infinito e sólido semi-infinito.

• Seja o problema bidimensional transiente abaixo: um cilindro curto (comprimento e diâmetro comparáveis) inicialmente a T _i

subitamente imerso em fluido com T_∞ ≠ T_i.

• Para propriedades constantes e sem geração de energia, a forma bidimensional da equação do calor em coordenadas cilíndricas

( )

r,z , substituindo z por x, é:

t T x T r T r r r ∂ ∂ = ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂

α

1 1 2 2

• Espera-se que a solução para a distribuição de temperaturas no cilindro seja na forma T

(

r, x,t

)

e a solução para o problema de condução bidimensional no cilindro de raio r e comprimento L_o 2 pode ser escrita pela composição da solução para um cilindro infinito de raio r e da solução para parede plana de espessura L_o 2 :

(

)

( )

( )

Plana Parede Infinito Cilindro , , , , ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − × − − = − − T T T t x T T T T t r T T T T t x r T i i i

(

) ( )

_{= ×}

( )

_⇒ Plana Parede Infinito Cilindro , , , , i i i t x t r t x r θ θ θ θ θ θ * ₍ *_, *_{) (} *_, *₎ t x P t r C × =

θ

• Para Fo > 0,2 as soluções transientes unidimensionais para parede plana e cilindro infinito podem ser utilizadas com o primeiro termo da série infinita.

• Nas figuras abaixo podem ser visualizadas geometrias multidimensionais na qual a solução geral pode ser obtida utilizando o produto de soluções unidimensionais.

• A coordenada x para o sólido semi-infinito é medida a partir da superfície e para a parede plana ela é medida a partir do plano médio.

( ) ( )

infinito semi Sólido , , − ∞ ∞ − − = T T T t x T t x S i

( )

( )

infinito semi Sólido , , − = i t x t x S θ θ

( ) ( )

plana Parede , , ∞ ∞ − − = T T T t x T t x P i

( ) ( )

plana Parede , , i t x t x P θ θ =

( )

( )

infinito Cilindro , , ∞ ∞ − − = T T T t r T t r C i

( ) ( )

infinito Cilindro , , i t r t r C θ θ =

• Uma versão modificada da solução produto também pode ser usada para determinar a transferência de calor total transiente a partir de ou para uma geometria multidimensional, utilizando os valores unidimensionais, conforme mostrou Langston em 1982. • Para uma geometria 2D formada por geometrias 1D 1 e 2:

            −       +       =       1 2 1 2 1 o o o D o Q Q Q Q Q Q Q Q

• Para uma geometria 3D formada por geometrias 1D 1, 2 e 3:

            −             −       +             −       +       =       2 1 3 1 2 1 3 1 1 1 o o o o o o D o Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

5.9 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL TRANSIENTE – CARTAS DE HEISLER

Temperatura no plano central como uma função do tempo para uma parede plana de espessura L2 .

Energia transferida em função do tempo para uma parede plana de espessura L2 .

Temperatura no centro como uma função do tempo para um cilindro infinito de raio r . _o

Energia transferida em função do tempo para um cilindro infinito de raio r . _o

Temperatura no centro como uma função do tempo para uma esfera de raio r . _o

5.10 AQUECIMENTO PERIÓDICO

• Surge em situações tais como o processamento térmico de materiais utilizando laser pulsante e a coleta de energia solar.

• Por exemplo, para o sólido semi-infinito mostrado abaixo o problema a ser resolvido tem a seguinte forma:

t T x T ∂ ∂ = ∂ ∂

α

1 2 2

( )

x Ti T ,0 =

(

x t

)

Ti T → ∞, =

( )

t T T T

( )

t T 0, = _s = _i + ∆ sen

ω

• A solução desse problema tem a seguinte forma:

( )

, _{exp[ 2 ]sen[ 2 ]}

α

ω

ω

α

ω

t x x T T t x T _i − − = ∆ −

( )

sen

(

4

)

" = ∆

ω

α

ω

+

π

t T k t q_s :

ω

frequência [1/s] : T

∆ amplitude da variação da temperatura superficial [oC ou K] •

δ

_p é a espessura de penetração térmica, que é uma indicação da

extensão na qual efeitos de temperatura significativos se propagam no interior do meio. Para x >

δ

_p = 4

α

ω

a amplitude da flutuação da temperatura está reduzida em aproximadamente 90% em relação à superfície.

EXEMPLO: Um meio de armazenamento de energia térmica é constituído de uma grande massa de calcário. Ar ambiente é bombeado através de uma fissura no calcário, de 30 mm de altura, 5 m de comprimento e 5 m de largura, a uma velocidade de 2 m/s, fornecendo um coeficiente de transferência de calor entre o ar e o calcário de 10 W/m2.K. Ao longo de um período de 24 horas, a temperatura na superfície do calcário adjacente à corrente de ar e próximo de sua entrada exibe um comportamento periódico com valores máximo e mínimo de 302 e 298 K, respectivamente.

(a) Determine os valores mínimo e máximo da temperatura do ar próximo à sua entrada.

(b) Determine o fluxo térmico máximo para o ar durante o período de 24 horas próximo a entrada. Determine as temperaturas de entrada e saída do ar no tempo correspondente ao fluxo térmico máximo no ar. (c) Determine as temperaturas de saída do ar nos tempos correspondentes às temperaturas de entrada máxima e mínima.

(d) Represente graficamente a temperatura de entrada do ar, a temperatura da superfície do calcário e o fluxo de calor para o ar durante as 24 horas.

(e) Qual e a espessura de calcário necessária para garantir que o calcário possa ser visto como um meio semi-infinito?

0 5 10 15 20 25 298 298.5 299 299.5 300 300.5 301 301.5 302 t (h) T s ( K )

Variação da temperatura da superfície do calcário em função do tempo.

0 5 10 15 20 25 294 296 298 300 302 304 306 t (h) T e ( K )

0 5 10 15 20 25 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 t (h) q " a ( W /m 2 )

5.11 OBJETOS COM TEMPERATURAS OU FLUXOS TÉRMICOS CONSTANTES NA SUPERFÍCIE

• Nos tópicos 5.5 e 5.6 foram mostradas soluções para parede

plana, cilindro e esfera com condição de convecção na superfície.

• Para Bi = ∞ essas soluções podem ser utilizadas para condição de temperatura superficial constante.

• No tópico 5.7 foram mostradas soluções para meio semi-infinito

com condições de temperatura na superfície constante, fluxo térmico na superfície constante e convecção na superfície.

• Esse tópico enfatiza soluções transientes para objetos com condição de temperatura e fluxo superficial constantes.

5.11.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO DE TEMPERATURA CONSTANTE

SÓLIDO SEMI-INFINITO:

• Para temperatura superficial constante o fluxo de calor é:

( ) (

)

t T T k t q_s s i

πα

− = "

• É conveniente escrever um fluxo de calor na forma adimensional:

(

s i

)

c s T T k L q q − = " *

• Substituindo a expressão de q_s"

( )

t na expressão de q obtém-se: *

(

)

(

−

)

= ⇒ − = ) ( 1 2 * c i s c i s L t T T k L t T T k q

α

π

πα

q

π

Fo 1 * =

TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR: PAREDE PLANA, CILINDRO E ESFERA:

• Parede plana:

(

) ( )

* 1 2 * cos exp Fo x C _n n n n

ζ

ζ

θ

∑

∞ = − = • Cilindro infinito:

(

) ( )

₀ * 1 2 * exp Fo J r C _n n n n

ζ

ζ

θ

∑

∞ = − =

• Esfera:

(

)

_*

( )

* 1 2 * sen 1 exp r r Fo C _n n n n n

ζ

ζ

ζ

θ

∑

∞ = − =

• Utilizando as três soluções anteriores para Bi = ∞ em conjunto com a lei de Fourier e a taxa de calor adimensional pode-se representar q em função do número de Fourier. *

TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO EXTERIOR: VÁRIAS GEOMETRIAS:

• Nesse caso, considera-se um objeto imerso em um meio exterior de extensão infinita, inicialmente a T_i. Subitamente a temperatura superficial do corpo é alterada para T_s. Em casos exteriores, o comprimento característico é L_c =

(

A_s 4

π

)

1 2.

TAXAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ADIMENSIONAIS TRANSIENTES PARA UMA VARIEDADE DE GEOMETRIAS

RESUMO DE RESULTADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE PARA CASOS DE TEMPERATURA CONSTANTE

5.11.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO DE FLUXO TÉRMICO CONSTANTE

SÓLIDO SEMI-INFINITO:

• Para fluxo de calor constante, a distribuição de temperaturas é:

( )

(

)

      −       − = − t x k x q t x k t q T t x T _i s s

α

α

π

α

2 erfc 4 exp 2 , " 2 2 1 "

• É conveniente escrever um fluxo de calor na forma adimensional:

(

s i

)

c s T T k L q q − = " *

• Expressando T

( )

0,t −T_i utilizando o perfil de temperaturas e substituindo na expressão de q obtém-se: *

Fo

q π

2 1

* =

TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR: PAREDE PLANA, CILINDRO E ESFERA:

• Soluções para esses casos podem ser vistas graficamente.

TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO EXTERIOR: VÁRIAS GEOMETRIAS:

TAXAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONDUTIVAS ADIMENSIONAIS TRANSIENTES PARA UMA VARIEDADE DE GEOMETRIAS COM FLUXO TÉRMICO NA SUPERFÍCIE

RESUMO DE RESULTADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE PARA CASOS DE FLUXO TÉRMICO