CAPÍTULO 3 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO PARTE 3 DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA

CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO – PARTE 3

DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA

3.6 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

• SUPERFÍCIE ESTENDIDA: termo usado para descrever condução no interior de um sólido e convecção nas fronteiras do sólido.

• Embora existam diversas situações que envolvam o efeito combinado condução/radiação, a aplicação mais comum é aquela onde uma superfície estendida é utilizada para AUMENTAR A TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ENTRE UM SÓLIDO E UM FLUIDO ADJACENTE.

• Para aumentar q mantendo T fixo têm-se as alternativas: _s

1. Aumentar h (às vezes insuficiente e/ou de custo elevado). 2. Diminuir T_∞ (na maioria dos casos impraticável).

3. Aumentar A (aumento da área de convecção).

• A terceira opção é amplamente utilizada com o emprego de aletas que se estendem da parede para o interior do fluido adjacente.

• Na prática, a utilização de aletas implica em uma resistência térmica adicional que influencia o nível de melhora da taxa de transferência de calor.

• Dessa forma, existe uma distribuição de temperaturas na aleta, desde sua base até sua extremidade.

• Para minimizar a variação de temperatura ao longo da aleta, a resistência térmica deveria ser a menor possível, o que pode ser conseguido com materiais de elevada condutividade térmica.

• Aletas planas são superfícies estendidas fixas em parede plana. (a) Aleta plana com área de seção transversal uniforme

(b) Aleta plana com área de seção transversal variável

(d) Aleta plana com área de seção transversal uniforme (piniforme) • Aletas anulares são superfícies estendidas fixas em parede

circunferencial.

TROCADORES DE CALOR COM TUBOS

ALETADOS TÍPICOS

• A seleção de aletas depende de alguns fatores tais como: 1. Espaço disponível

2. Peso

3. Fabricação e custo

4. Extensão na qual as aletas reduzem o coeficiente convectivo 5. Queda de pressão associada ao escoamento sobre as aletas

Resfriamento de processadores _{Dissipadores de calor}

3.6.1 UMA ANÁLISE GERAL DA CONDUÇÃO • Os objetivos de uma análise geral de condução são:

1. Determinar o campo de temperaturas na aleta 2. Determinar a taxa de transferência de calor na aleta

3. Verificar a melhoria na taxa de transferência de calor com as aletas - Condução unidimensional em x

- Regime estacionário - k da aleta constante - Radiação desprezível na

superfície

- Sem efeitos de geração de calor - h uniforme ao longo da

• Da conservação da energia num volume de controle diferencial: ⇒ = + − _{s g acu} e E E E

E& & & & q_x = q_x+dx + dq_conv

• Da lei de Fourier em x:

dx dT kA

q_x = − _tr

• Da série de Taylor para expressar a lei de Fourier em x + dx:

dx dx dT A dx d k dx dT kA dx dx dq q q_{x dx x} x _{tr tr}       − − = + = +

• Da lei de Newton do resfriamento para a convecção:

(

− ∞

)

= hdA T T

dq_{conv s}

• Substituindo q_x, q_x+dx e dq_conv no balanço de energia obtém-se:

(

− ∞

)

+       − − = − dx hdA T T dx dT A dx d k dx dT kA dx dT kA_{tr tr tr s}

• Simplificando e dividindo por kdx obtém-se a EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA UMA SUPERFÍCIE ESTENDIDA:

(

−

)

= 0 −       ∞ T T dx dA k h dx dT A dx d _s tr

• Utilizando a derivada do produto no primeiro termo à esquerda da equação anterior e rearranjando obtém-se uma FORMA ALTERNATIVA DA EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA UMA SUPERFÍCIE ESTENDIDA:

(

)

0 1 1 2 2 = −       −       + T T_∞ dx dA k h A dx dT dx dA A dx T d _s tr tr tr

• A equação anterior pode ser resolvida, com condições de contorno apropriadas, para se determinar T

( )

x ao longo da aleta. • Deve ser notado que a equação anterior pode ser utilizada tanto

para aletas de seção transversal uniforme

(

dA_tr dx = 0

)

quanto para aletas de seção transversal não-uniforme

(

dA_tr dx ≠ 0

)

.

3.6.2 ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL UNIFORME

• Para aletas planas retangulares e piniformes de seção transversal uniforme

(

dA_tr dx = 0

)

:

• Figura (a): desconsiderando área da extremidade no cálculo de A _s wt A_tr = P = 2w + 2t A_s = 2xt + 2xw =

(

2w + 2t

)

x = Px _P dx dA_s =

• Figura (b): desconsiderando área da extremidade no cálculo de A _s

4 2 D A_tr = π P =

π

D As =

π

Dx = Px P dx dA_s =

• Assim, com dA_tr dx = 0 e dA_s dx = P a equação da energia para superfícies estendidas se torna:

(

)

0 2 2 = − − T T_∞ kA hP dx T d tr

Caso A

(Transferência de calor por convecção) b a T q , L x tr dx dT A k = − hAtr[T₍x₌L₎₋T_∞] L x= x ( )L θ Caso B (Adiabática) q ,a Tb x q =− =0 =L x tr x dx dT A k q L x= x ( )L θ Caso C (Temperatura especificada) q ,a Tb L x= x ( )L θL θ = Caso D (Aleta infinita) q ,a Tb ∞ → x x ( )∞ =0 θ

Caso Condição na base

(

x = 0

)

Condição na extremidade

(

x = L

)

A T

(

x = 0

)

=T_b

Transferência de calor por convecção:

(

)

[

∞

]

= − = = − hA T x L T dx dT A k _tr L x tr B T

(

x = 0

)

=T_b Adiabática: 0 = =L x dx dT C T

(

x = 0

)

=T_b Temperatura especificada:

(

x L

)

TL T = = D T

(

x = 0

)

=T_b Aleta infinita

(

L → ∞

)

:

(

x = L

)

−T_∞ → 0 T

• Para simplificar o processo de solução introduz-se a variável excesso de temperatura, definida como:

( ) ( )

x = T x −T∞

θ

• Com T_∞ constante tem-se que:

} ⇒ + = = ∞ 0 dx dT dx d dx dT

θ

dx d dx dT

θ

= e  ⇒      = dx d dx d dx T d

θ

2 2 2 2 2 2 dx d dx T d

θ

= • Fazendo tr kA hP

m2 = , onde m é chamado de parâmetro da aleta, com unidade [m-1] no SI, a equação diferencial da aleta torna-se:

0 2 2 2 = −

θ

θ

m dx d

• Além disso, tem-se que:

(

x

) (

T x

)

T Tb T

θ

b

θ

= 0 = = 0 − _∞ = − _∞ =

(

x L

) (

T x L

)

T TL T

θ

L

θ

= = = − _∞ = − _∞ =

• Dessa forma, o problema da aleta consiste na solução da equação diferencial ordinária ₂ 2 0 2 = −

θ

θ

m dx d sujeita às condições de contorno indicadas pelos casos A, B, C e D, conforme tabela anterior. Modificando a tabela com variável

θ

( )

x obtém-se:

Caso Condição na base

(

x = 0

)

Condição na extremidade

(

x = L

)

A

θ

(

x = 0

)

=

θ

_b

Transferência de calor por convecção:

(

x L

)

hA dx d A k _tr L x tr = = − =

θ

θ

B

θ

(

x = 0

)

=

θ

_b Adiabática: 0 = =L x dx d

θ

C

θ

(

x = 0

)

=

θ

_b Temperatura especificada:

(

x L

)

θ

L

θ

= = D

θ

(

x = 0

)

=

θ

_b Aleta infinita

(

L → ∞

)

: 0 → L

θ

• A solução geral da equação diferencial da aleta, de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes é:

( )

mx mx e C e C x = ₁ + ₂ −

θ

• A solução para cada caso consiste em se obter as constantes C₁ e

2

C , a distribuição de temperaturas na aleta

θ

( )

x e a taxa de transferência de calor da aleta q . _a

• Por questão de simplicidade será mostrado aqui o procedimento de solução para o caso D.

(

=

)

= m + −m = _b ⇒ e C e C x

θ

θ

.0 2 0 . 1 0 C₂ =

θ

_b −C₁

• Aplicando a condição de contorno na extremidade:

(

= ∞

)

= ∞ + − .∞ = ₀ ⇒ 2 . 1 m m e C e C x

θ

C₁ = 0

• Dessa forma, C₂ =

θ

_b e a solução particular torna-se:

( )

mx b b e T T T T x ₋ ∞ ∞ = − − =

θ

θ

• A taxa de transferência de calor pode ser obtida aplicando a lei de Fourier na base da aleta:

(

)

₀

( )

₀ 0 0 = − = − = = − = − = − = − = x mx b tr x mx b tr x tr x tr a e dx d kA e dx d kA dx d kA dx dT kA q θ θ θ

(

−

)

= = ⇒ − = − ₌ tr b tr b tr x mx b tr a kA hP kA m kA me kA q

θ

θ

θ

0 qa = hPkAtr

θ

b

• Resultados para

θ

( )

x

θ

_b e q podem ser obtidos para os demais _a

casos utilizando o mesmo procedimento.

• Esses resultados podem ser visualizados na tabela abaixo. • Deve ser notado que

( )

∞ ∞ − − = T T T T x b b

θ

θ

para qualquer caso e que

b tr

hPkA

• Na tabela acima nota-se a presença de funções hiperbólicas, cujas definições e valores tabelados encontram-se na tabela abaixo:

• As funções hiperbólicas são definidas pelas seguintes relações: 2 senh x x e e x − − = 2 cosh x x e e x − + = x x e e e e x g _{x x} x x cosh senh h t = + − = ₋− • As derivadas e integrais de funções hiperbólicas são:

(

) (

)

dx du u u dx d cosh

senh =

∫

senhxdx = cosh x + C

(

) (

)

dx du u u dx d senh

cosh =

∫

cosh xdx = senhx + C

(

)

dx du u u dx d       = ₂ cosh 1 tgh

∫

tghxdx = ln

(

cosh x

)

+ C

• Uma forma alternativa para se determinar a taxa de transferência de calor na aleta q é utilizar a _a conservação de energia na aleta:

      =           aleta da base da através condutiva Taxa aleta da superfície da convecção por o transferid é calor o qual na Taxa

• Conseqüentemente, a formulação alternativa para q é: _a

( )

[

]

( )

s A s A a h T x T dA h x dA q a a

∫

∫

− = = _∞

θ

• Expressões de q para os quatro casos podem ser obtidas _a

• Na figura abaixo pode ser visto o perfil de temperaturas para uma aleta plana de seção transversal uniforme com extremidade com convecção e aleta infinita:

• Nota-se que o valor do gradiente de temperatura diminui com o aumento de x. Essa tendência é uma conseqüência da redução na transferência de calor por condução com o aumento de x, devido à contínua perda de calor por convecção na superfície da aleta.

3.6.3 DESEMPENHO DE ALETAS

• Efetividade da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor

da aleta e a taxa de transferência de calor sem a aleta.

(

)

tr b b a b b tr a a hA q T T hA q

θ

ε

, , = − = ∞

• A_tr,b é a área da seção transversal da aleta na sua base. • O uso de aleta é justificado para

ε

_a ≥ 2.

• Para qualquer uma das quatro condições na extremidade na aleta pode-se então determinar o valor de

ε

_a.

• Por exemplo, para o caso D (aleta infinita): 2 1 , ,       = = = = tr b tr b tr b b tr b b tr a a hA kP hA hPkA hA M hA q

θ

θ

θ

θ

ε

• Desses resultados podem-se inferir algumas tendências:

1.

ε

_a aumenta com o aumento de k (ligas de alumínio e cobre) 2.

ε

_a aumenta com o aumento de P A_tr (aletas finas)

3. A utilização de aletas justifica-se em casos de baixo h (o fluido é gás e/ou um processo de convecção natural)

• Se for desejado que

ε

_a > 2 obtém-se a exigência que

• O desempenho de aletas também pode ser quantificado através de uma resistência térmica de cada aleta:

(

)

a b a b a a t q q T T q T x T R_, = = 0 − ∞ = − ∞ = θ

• A resistência convectiva da base exposta é:

b tr b t hA R , , 1 =

• Dividindo R_t,b por R_t,a obtém-se:

a b b tr a a t b t hA q R R ε θ = = , , ,

• A efetividade de uma aleta pode ser interpretada como uma razão entre resistências térmicas. Dessa forma, para aumentar

ε

_a é necessário reduzir R_t,a.

• Eficiência da aleta: razão entre a taxa de transferência de calor

real da aleta e a taxa máxima de transferência de calor da aleta.

• A taxa máxima na qual uma aleta poderia dissipar energia é a taxa de transferência de calor que existiria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da base.

• Entretanto, como toda aleta possui uma resistência condutiva não-nula, há necessariamente um gradiente de temperatura ao longo da aleta e a condição anterior é uma idealização.

(

)

[

]

(

)

a b a b a a a a a a hA q T T hA q T x T hA q q q

θ

η

= − = − = = = ∞ ∞ 0 max

• A é a área superficial total da aleta: _a A_a = A_s + A_extremidade

• Por exemplo, para o caso B (extremidade adiabática):

mL mL hPL mL M A A h mL M hA q b b e extremidad s b a a a tgh tgh tgh A) (ADIABÁTIC 0 = =         + = = ₌

θ

θ

θ

η

48 47 6

• Para uma aleta com convecção na extremidade (CASO A), a expressão para a eficiência da aleta

η

_a seria complexa.

• Nesse caso, pode-se utilizar o resultado para o caso B desde que se utilize um comprimento corrigido L , baseado na _c hipótese de equivalência entre a transferência de calor na extremidade da aleta real, com convecção na extremidade, e a transferência de calor em uma aleta hipotética, mais longa e com a extremidade adiabática.

( )

t 2 L L_c = + (aleta retangular)

(

D 4

)

L L_c = + (aleta piniforme)

• Assim, com convecção na extremidade, a taxa de transferência de calor pode ser aproximada por:

c a M mL

q = tgh

• A eficiência correspondente é dada por:

c c a mL mL tgh =

η

• A aproximação do comprimento corrigido tem erro desprezível quando

(

ht k

)

ou

(

hD 2k

)

≤ 0,0625.

• Se a largura de uma aleta retangular é muito maior que sua espessura

(

w >> t

)

, seu perímetro é aproximado por P = 2w e:

c c c tr c L kt h L kwt hw L kA hP mL 2 1 2 1 2 1 2 2       =       =       =

• Multiplicando o numerador e o denominador por L e 1_c2

introduzindo uma área corrigida de perfil A_p = L_ct obtém-se:

2 3 2 1 2 c p c L kA h mL _       =

• Dessa forma, de acordo com as duas figuras abaixo, a eficiência de uma aleta retangular com convecção na extremidade pode ser representada como uma função de L3_c 2

(

h kA_p

)

1 2.

EFICIÊNCIA DE ALETAS PLANAS (PERFIS RETANGULAR, TRIANGULAR E PARABÓLICO).

EFICIÊNCIA DE ALETAS ANULARES DE PERFIL RETANGULAR

3.6.4 EFICIÊNCIA GLOBAL DE SUPERFÍCIE

• Caracteriza um conjunto de aletas e a superfície base na qual ele está fixado.

• S é o passo das aletas e a eficiência global é definida como:

(

)

[

]

(

)

t b t b t t t t t o hA q T T hA q T x T hA q q q

θ

η

= − = − = = = ∞ ∞ 0 max

• q é a _t taxa total de transferência de calor na área superficial A _t

associada à área das aletas e a fração exposta da base. Para N aletas tem-se que:

b a

t NA A

A = +

• A taxa máxima possível de transferência de calor ocorreria se toda a superfície da aleta, assim como a área exposta da base, fossem mantidas à temperatura T . _b

• A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície sem aletas pode ser representada por:

b b b a a b b a t Nq hA N hA hA q = + θ = η θ + θ

• Evidenciando h e substituindo A_b = A_t − NA_a obtém-se:

(

)

[

]

(

a

)

b t a t b a t a a t A NA hA NA A A N h q η θ η _θ      − − = − + = 1 1

• Substituindo a expressão anterior na eficiência global obtém-se:

( ) ⇒       − − = b t b a t a t o hA A NA hA θ θ η η 1 1

(

a

)

t a o A NA η η =1− 1−

• O desempenho do sistema também pode ser quantificado através de uma resistência térmica do conjunto de aletas:

(

)

t o b t o b t b t b t o t hA hA q q T T q T x T R η θ η θ θ 1 0 , = = = − = − = = ∞ ∞

• R_t,o é uma resistência efetiva que leva em conta as trajetórias do calor paralelas por condução/convecção nas aletas e por convecção na superfície exposta.

• Sabendo que as aletas estão em paralelo em um circuito térmico: ⇒ = + + + = a t a t a t a t a e equivalent R N R R R R _{, , , ,} ... _, 1 1 1 1 N R R_{equivalente,a} = t,a

• Para um conjunto de aletas integradas a base tem-se:

(

t a

)

b NA A h R − = 1 a a b a a b a b a e equivalent hA N hA q T T R

η

θ

η

θ

1 , = = − = ∞

(

)

(

t a

)

a a o t a a a t o t hA hA N NA A h hA N NA A h R

η

η

η

1 1 1 1 1 , = + − − =

• Para um conjunto de aletas fixadas por pressão em fendas usinadas sobre o material da parede surge uma resistência térmica de contato que pode influenciar negativamente o desempenho térmico global do sistema.

• Para um conjunto de aletas fixadas por pressão tem-se:

(

t a

)

b NA A h R − = 1 b tr c t c t NA R R , " , , = a a a e equivalent hA N R

η

1 , =

• Uma resistência efetiva é ser obtida pela resistência de contato: ( ) ( )c t o t b c o t hA q R

η

θ

1 , = =

• Tal expressão é deduzida pela associação de resistências térmicas conforme figura anterior:

( )

(

)

(

t a

)

o( )c t a a b tr c t a t a a b tr c t c o t hA NA A h hA N NA R NA A h hA N NA R R

η

η

η

1 1 1 1 1 , " , , " , , = − + +       −         + =

• Mostra-se facilmente que a eficiência global da superfície é:

( )       − − = 1 1 1 C A NA _a t a c o

η

η

(

t c tr b

)

a ahA R A C₁ =1+

η

"_{, ,}

3.6.5 ALETAS COM ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL NÃO-UNIFORME

• Se a aleta possuir uma seção transversal não-uniforme seu comportamento térmico se torna mais complexo.

• As soluções não são mais na forma de funções exponenciais ou hiperbólicas simples.

• Por exemplo, para a aleta anular:

rt A_tr = 2

π

(

2

)

1 2 2 r r A_s =

π

− (dois lados)

• Utilizando a solução geral com x = r e utilizando A e _tr A tem-se: _s

(

)

0 2 1 2 2 = − − + T T_∞ kt h dr dT r dr T d • Fazendo m2 = 2h kt e

θ

= T −T_∞ obtém-se: 0 1 ₂ 2 2 = − +

θ

θ

m dr dT r dr d

• A equação diferencial acima é uma equação de Bessel modificada de ordem zero e sua solução geral tem a forma:

( )

r = C₁I₀

( )

mr +C₂K₀

( )

mr

• I e ₀ K são funções de Bessel modificadas de ordem zero, de ₀

primeira e segunda espécies, respectivamente.

• Da mesma forma que nas aletas de seção transversal uniforme, as constantes C₁ e C₂ podem ser obtidas através das condições de contorno do problema, isto é, casos A, B, C e D.

• Por exemplo, para temperatura da base especificada,

θ

( )

r₁ =

θ

_b e extremidade adiabática, 0 2 = =r r dr d

θ

, as constantes C₁ e C₂ podem ser obtidas e a distribuição de temperaturas tem a forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 0

( ) ( )

1 1 2 0 2 1 0 2 1 0 mr I mr K mr K mr I mr I mr K mr K mr I b + + =

θ

θ

• I₁ e K₁ são funções de Bessel modificadas de primeira ordem, de primeira e segunda espécies, respectivamente.

• A taxa de transferência de calor na base da aleta é:

(

)

1 1 1 , 2 r r r r b tr a dr d t r k dr dT kA q = = − = − =

π

θ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 0

( ) ( )

1 1 2 0 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 mr K mr I mr I mr K mr K mr I mr I mr K m t kr q_{a b} + − =

π

θ

(

)

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 0

( ) ( )

1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 K mr I mr I mr K mr mr K mr I mr I mr K r r m r r r h q b a a + − − = − =

θ

π

η

RELAÇÃO DE ÁREAS UTILIZADAS NO ESTUDO DE ALETAS :

a

A área superficial total da aleta, incluindo sua extremidade.

:

tr

A área da seção transversal da aleta, que pode variar com x ou r.

:

s

A área superficial da aleta, excluindo sua extremidade.

:

,b

tr

A área da seção transversal da aleta na sua base. :

p

A área corrigida do perfil da aleta.

:

b

A área da fração exposta da base.

:

t