Coordenadas polares - Cônicas ( )

Matem´

atica para arquitetura

Ton Marar

Coordenadas polares - Cˆonicas (06.06.2013)

As coordenadas dos pontos P = (x, y) de uma circunferˆencia de raio r e centro na origem O do sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} verificam x = r cos(θ) e y = r sen(θ), sendo

θ o ˆangulo entre o vetor −−→OP e o eixo Ox. Variando-se o raio r ∈ R+ podemos preencher todo o plano. Assim, cada ponto do plano ´e um ponto de alguma circunferˆencia de centro em O e uma nova forma de descrever numericamente os pontos do plano se apresenta.

x y P O P P O

Sistema de coordenadas polares no plano

Fixados um ponto O e uma flecha com origem em O, a cada ponto P de um plano (que cont´em a flecha) ficam associados dois n´umeros ρ e θ, assim obtidos: ρ =∥−−→OP∥ e θ ´e o ˆangulo entre a flecha

fixada e o vetor−−→OP , medido no sentido anti-hor´ario. O ponto O ´e chamado polo e a flecha fixada ´

e chamada eixo polar. O conjunto {polo, eixo polar} ´e chamado sistema de coordenadas polares no plano. Os n´umeros ρ e θ s˜ao chamados raio vetor e argumento, respectivamente. O par (ρ, θ) ´

e denominado coordenadas polares do ponto P.

Escrevemos P = (ρ, θ), embora o lado esquerdo da igualdade n˜ao seja univocamente determinado. Veja as observa¸c˜oes a seguir.

Observa¸c˜oes:

1) Variando o argumento θ no intervalo [0, 2π) e o raio vetor ρ∈ R+, fica associado a cada ponto do plano um ´unico par ordenado (ρ, θ), exceto para o p´olo que tem coordenadas polares (0, θ), qualquer que seja θ.

2) Podemos adotar que tanto θ quanto ρ assumem qualquer valor real (positivo ou negativo) desde

que apropriadamente interpretados.

O argumento de um ponto P do plano deve ser reduzido ou aumentado por m´ultiplos de 2π, de modo a obter um valor entre 0 e 2π. Exemplos: (ρ,9π₄ ) = (ρ,π₄); (ρ,−π₃) = (ρ,5π₃ ); (ρ,−π) = (ρ, π). Se o valor do raio vetor de um ponto P do plano for negativo, troca-se o sinal e acrescenta-se ou reduz-se o argumento de π. Exemplos: (−1,π₄) = (1,5π₄ ); (−2, −π₃) = (2,2π₃ ); (−3,π₃) = (3,4π₃ ).

3) Na escola, nas primeiras experiˆencias com os sistemas de coordenadas cartesianas, considera-se o plano reticulado por pares de retas perpendiculares, umas paralelas ao eixo dos x′s (y = · · · − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ) e as outras paralelas ao eixo dos y′_{s (x =· · · − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ), formando}

uma malha de modo a facilitar a localiza¸c˜ao dos pontos no plano. Analogamente, no sistema de coordenadas polares usa-se a malha de c´ırculos concˆentricos (ρ = 1, 2, . . . ), com centro no p´olo e segmentos radiais partindo do p´olo (θ = π₆,π₄,π₃,π₂, . . . ) 1

1π 2, π 3, π 4, . . . π 6; e o π 5? 1

Relacionamento entre coordenadas cartesianas e polares no plano

Sobrepondo-se um sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} ao sistema de coordenadas polaresS′ ={O, eixopolar}, de modo que o semi-eixo positivo dos x′s coincida com o eixo polar,

obt´em-se as seguintes transforma¸c˜oes entre as coordenadas polares e cartesianas de um mesmo ponto P :

O

P

θ

x

y

ρ

Esses sistemas fornecem as transforma¸c˜oes das coordenadas do sistema S′ para S e do sistema S paraS′, respectivamente.

Os pontos de coordenadas (ρ,π₂) e (ρ,3π₂ ) tem coordenadas cartesianas com abscissa x = 0.

Fun¸c˜oes em coordenadas polares

O

θ

ρ f( )

=

Express˜oes da forma ρ = f (θ) s˜ao denominadas fun¸c˜oes em coordenadas polares. O tra¸cado de seu gr´afico pode ser feito de maneira ”primitiva”, como no caso de coordenadas cartesianas y = f (x). Em outras palavras, ap´os localizar alguns pontos (ρ, θ) que verificam a igualdade ρ = f (θ) o gr´afico ´e obtido ”interpolando-se” os pontos localizados no sistema de coordenadas.

Express˜oes alg´ebricas envolvendo as coordenadas ρ e θ, mesmo que n˜ao se possa explicitar uma dessas coordenadas, ser˜ao denominadas equa¸c˜oes de curvas em coordenadas polares.

Algumas vezes, transformando a express˜ao alg´ebrica de coordenadas polares para cartesianas, ou vice-versa, pode ser ´util no tra¸cado das curvas.

Exemplos

Nos exemplos 1 e 2 abaixo, a transforma¸c˜ao para coordenadas cartesianas facilita o tra¸cado.

1) ρ + 3 sen(θ) = 0.

Multiplicando-se por ρ obtemos ρ2 + 3ρsen(θ). A identifica¸c˜ao da curva em coordenadas carte-sianas, x2 + y2 + 3y = 0, ´e mais f´acil. De fato, somando e subtraindo 9₄, podemos escrever

x2_{+ (y +}3 2)2−

9

4 = 0. Portanto, a curva ´e uma circunferˆencia de centro no ponto de coordenadas cartesianas (0,−3₂) e raio 3₂.

3/2 3 3/2 3

2) ρ cos(θ) = 3 ´e a reta, em coordenadas cartesianas, x = 3.

Nos trˆes exemplos abaixo, passar para coordenadas cartesianas n˜ao facilita o tra¸cado.

3) ρ = θ ´e a espiral de Arquimedes (fig.1(a)).

4) ρ = 1− sen(θ) ´e a cardi´oide (fig.1(b)).

5) ρ = sen(2θ) ´e a ros´acea de quatro p´etalas (fig.1(c)).

(a) (b) (c)

Figure 1

Note que ρ =−sen(θ) ´e a circunferˆencia dada em coordenadas cartesianas pela equa¸c˜ao x2+ (y + 1

2) 2 ₌ 1

4. Enquanto ρ = 1− sen(θ) ´e a cardi´oide. Portanto, os gr´aficos em coordenadas polares n˜ao seguem as regras de transla¸c˜ao de gr´aficos do caso cartesiano.

Exerc´ıciosTra¸car ρ = cos(2θ), ρ = sen(3θ), ρ = 1 + cos(2θ), ρ = 1 + cos(4θ).

Se k∈ N ´e par, ρ = sen(kθ) ´e a ros´acea de 2k p´etalas. Se k ´e impar, ρ = sen(kθ) ´e a ros´acea de k p´etalas. O mesmo vale para ρ = cos(kθ). De fato, as ros´aceas ρ = sen(kθ) e ρ = cos(kθ) diferem apenas por uma rota¸c˜ao.

O exemplo a seguir mostra que a transfoma¸c˜ao de coordenadas cartesianas para polares pode facilitar o tra¸cado da curva

A lemniscata.2

´

E o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distˆancias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, ´e constante e igual a (d(F1, F2)/2)2.

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples da lemniscata em coordenadas cartesianas, fixamos um sis-tema de coordenadas cartesianas{O, x, y} adequado. Neste caso, tomando-se o eixo 0x contendo o segmento F1F2 e o eixo 0y passando pelo ponto m´edio de F1F2, obtemos, F1 = (−a, 0), F2= (a, 0), e assim d(F1, F2) = 2a.

2_{Do dicion´ario Aur´elio}

lemniscata [Do lat. lemniscata, ‘ornada de fitas’; a sua forma, um 8, lembra um la¸co de fitas.] Substantivo feminino. 1.Geom. Lugar geom´etrico dos pontos de um plano cujas distˆancias a dois pontos fixos desse plano s˜ao constantes.

Seja P = (x, y) um ponto da lemniscata. Em coordenadas, a express˜ao que define os pontos da lemniscata, d(P, F_√ 1)d(P, F2) = (d(F1, F2)/2)2, fornece a seguinte equa¸c˜ao cartesiana

((x + a)2_{+ y}2₎√_{((x− a)}2_{+ y}2_{) = a}2_.

Por meio de algumas opera¸c˜oes simplificaremos essa equa¸c˜ao.

Inicialmente, para eliminarmos os radicais, elevamos ao quadrado ambos os membros, obtendo ((x + a)2+ y2)((x− a)2+ y2) = a4.

Simplificando, chega-se `a express˜ao (x2+ y2)2− 2a2(x2− y2) = 0.

O tra¸cado dos pontos (x, y) que verificam essa equa¸c˜ao n˜ao ´e nada f´acil de se obter.

⋆ Equa¸c˜ao polar

Fixando o sistema de coordenadas polares com p´olo na origem O e eixo polar coincidindo com o semi-eixo positivo dos x′s, temos x = ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ).

Substituindo na equa¸c˜ao cartesiana da lemniscata, obtemos: (ρ2)2− 2a2(ρ2 cos2(θ)− ρ2 sin2(θ)) = 0.

Simplificando, obtemos a equa¸c˜ao polar da lemniscata

ρ2− 2a2cos(2θ) = 0.

Agora sim, ´e mais f´acil tra¸car a curva. Localizando alguns dos pontos (ρ, θ) que verificam a equa¸c˜ao polar e ”interpolando” obt´em-se o tra¸cado.

1 F2 F

.

.

.

.

ρ

As curvas definidas como o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distˆancias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, ´e constante s˜ao chamadas ovais de Cassini. A lemniscata ´e um caso particular dessas ovais.

Ovais de Cassini tem a aparˆencia de certas fatias da superf´ıcie de um t´oro (donut).

Curvas obtidas como fatias de um cone s˜ao definidas de modo an´alogo `a lemniscata. Cˆonicas

1) Elipse3

´

E o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π cuja soma das distˆancias a dois pontos fixados,

F1 ∈ π e F2 ∈ π, ´e uma constante. Essa constante, que indicaremos por 2a, tem que ser maior que a distˆancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Em outras palavras, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

3_{Do dicion´ario Aur´elio (neste caso o dicion´ario est´a certo!)}

elipse [Do gr. ´elleipsis, ‘omiss˜ao’, pelo lat. ellipse.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Omiss˜ao deliberada de palavra(s) que se subentende(m), com o intuito de assegurar a economia da express˜ao. 3.Geom. Lugar geom´etrico dos pontos de um plano cujas distˆancias a dois pontos fixos desse plano tem soma constante; interse¸c˜ao de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ˆangulo maior que o do v´ertice.

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana da elipse

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e

P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox cont´em os pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto m´edio do segmento F1F2o qual tem comprimento 2c. Seja 2a, com a > c, uma constante positiva. Assim, uma equa¸c˜ao cartesiana da elipse ´e obtida exprimindo d(P, F1) + d(P, F2) = 2a em coor-denadas: √ (x + c)2_{+ y}2₊√_(x− c)2_{+ y}2_{= 2a.} Isto ´e, √ (x + c)2_{+ y}2 ₌₋√_{(x− c)}2_{+ y}2_{+ 2a.}

Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos:

(x + c)2_{+ y}2_{= 4a}2_{− 4a}√_{(x− c)}2_{+ y}2_{+ (x}− c)2_{+ y}2_. Ou seja,

(x + c)2+ y2− 4a2− (x − c)2− y2=−4a√(x− c)2_{+ y}2_. Novamente, elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos:

((x + c)2+ y2− 4a2− (x − c)2− y2)2= 16a2((x− c)2+ y2). Uma simplifica¸c˜ao fornece,

(4cx− 4a2)2 = 16a2((x− c)2+ y2). Isto ´e,

(a2− c2)x2+ a2y2 = a2(a2− c2).

Como a > c, o n´umero a2_{− c}2 _{´e positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de} algum n´umero, digamos b. Assim, pondo b2 = a2− c2, obtemos

x2 a2 +

y2 b2 = 1.

O sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equa¸c˜ao bem simplificada da curva. Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao reduzida da elipse.

.

.

• Os pontos F1 e F2 s˜ao denominados focos da elipse.

• A origem O, ponto m´edio do segmento focal F1F2 ´e chamado centro.

• Os pontos V1 = (a, 0), V2= (−a, 0), V3= (0, b) e V4= (0,−b) s˜ao chamados v´ertices.

• O segmento V1V2, que cont´em os focos, ´e chamado eixo maior.

• O segmento V3V4 ´e chamado eixo menor.

• Os segmentos OV1 e OV3 s˜ao chamados semi-eixo maior e semi-eixo menor, respectiva-mente.

Exemplo 1: A elipse com focos nos pontos F1e F2cujas coordenadas no sistemaS = {O, x, y} s˜ao

F1= (−2, 0) e F2= (2, 0) e medida do semi-eixo maior igual a 3 tem equa¸c˜ao 5x2+ 9y2− 45 = 0. De fato, temos c = 2, a = 3 e portanto b2= a2− c2 = 5. Assim, a equa¸c˜ao da elipse ´e:

x2

9 +

y2

5 = 1. Ou seja, 5x2_{+ 9y}2_{− 45 = 0.}

Exemplo 2: A elipse com focos nos pontos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y} s˜ao F1 = (1, 1)S e F2 = (3, 1)S e medida do semi-eixo maior igual a 2 tem equa¸c˜ao 3x2+ 4y2− 12x− 8y + 4 = 0.

.

.

.

De fato, neste exemplo a = 2, c = 1 e portanto b2 = a2−c2= 3. Assim, no sistema de coordenadas

S′ _={O′_{, x}′_{, y}′_{}, sendo O}′_{= (2, 1)}

So ponto m´edio do segmento focal e os eixos O′x′e O′y′paralelos

aos eixos Ox e Oy respectivamente, a elipse tem equa¸c˜ao reduzida

x′2

4 +

y′2

3 = 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 2, nota-se que as coordenadas (x, y) de um ponto P no sistema{0, x, y} se relacionam com as coordenadas (x′, y′) do mesmo ponto P no sistema{0′, x′, y′} da seguinte forma: x′ = x− 2 e y′ = y− 1.

Substituindo na equa¸c˜ao reduzida, obtemos: (x− 2)2

4 +

(y− 1)2

Ou seja, 3(x− 2)2_{+ 4(y− 1)}2 _{= 12, que ´e o mesmo que 3x}2_{+ 4y}2_{− 12x − 8y + 4 = 0.}

Observa¸c˜ao: No exemplo acima, a equa¸c˜ao da elipse no sistema de coordenadas S′ ´e 3x′2+ 4y′2− 12 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equa¸c˜ao 3x2+ 4y2− 12x − 8y + 4 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equa¸c˜oes s˜ao idˆenticos enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau e termos constantes s˜ao diferentes.

A transforma¸c˜ao do sistema de coordenadasS para o sistema S′, e vice-versa, ´e chamada transla¸c˜ao do sistema de coordenadas. Se O′ = (h, k)_S, vide figura 2, ent˜ao as transla¸c˜oes do sistema S =

{O, x, y} para o sistema S′_={O′_{, x}′_{, y}′_{} e vice-versa, s˜ao dadas pelas transforma¸c˜oes:}

{ x′ = x− h y′ = y− k { x = x′+ h y = y′+ k

Quase sempre, por meio de transla¸c˜ao adequada os coeficientes dos termos lineares de equa¸c˜oes do segundo grau em duas vari´aveis podem ser eliminados, reduzindo a forma da equa¸c˜ao.

Exemplo 3: A elipse com focos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y} s˜ao F1 = (−4, −3)_S e F2= (4, 3)S e medida do semi-eixo maior igual a 6 tem equa¸c˜ao 20x2− 24xy + 27y2− 396 = 0.

.

.

.

De fato, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas S′ = {O, x′, y′} de tal modo que

o eixo de coordenadas Ox′ contenha os focos F1 e F2. Assim, F1 = (−5, 0)S′ e F2 = (5, 0)S′. Neste sistema a equa¸c˜ao da elipse possui a forma reduzida (note que c = 5, a = 6 e portanto

b2 _{= a}2_{− c}2_{= 11):}

x′2

36 +

y′2

11 = 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 3, nota-se que as coordenadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coordenadas (x′, y′) do mesmo ponto

P no sistema {0, x′, y′} da seguinte forma: x = 4₅x′− 3₅y′ e y = 3₅x′ + 4₅y′. Ou de outra forma: x′ = 4₅x +3₅y e y′ =−3₅x +4₅y.

Substituindo na equa¸c˜ao reduzida, vem que: 11(4 5x + 3 5y) 2_{+ 36(−}3 5x + 4 5y) 2 _{= 396.} Simplificando obtemos a equa¸c˜ao da elipse:

20x2− 24xy + 27y2− 396 = 0.

Observa¸c˜ao: No exemplo acima, a equa¸c˜ao da elipse no sistema de coordenadas S′ ´e 11x′2+ 36y′2−396 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equa¸c˜ao 20x2−24xy+27y2−396 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equa¸c˜oes s˜ao diferentes enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau (zero neste exemplo) e termos constantes s˜ao idˆenticos. A transforma¸c˜ao do sistema de coordenadasS para o sistema S′, e vice-versa, ´e chamada rota¸c˜ao do sistema de coordenadas. Se θ ´e o ˆangulo de rota¸c˜ao ent˜ao as transforma¸c˜oes do sistema

{ x′ = x cos(θ) + y sen(θ) y′ =−x sen(θ) + y cos(θ) { x = x′ cos(θ)− y′ sen(θ) y = x′ sen(θ) + y′ cos(θ)

Por meio de rota¸c˜ao adequada o coeficiente do termo misto xy da equa¸c˜ao do segundo grau em duas vari´aveis pode ser eliminado, reduzindo a forma da equa¸c˜ao.

⋆ Equa¸c˜ao polar da elipse

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da elipse, fixamos o sistema de coordenadas polares

S′ _={F

2,−Ox}, ou seja, p´olo em F2 e eixo polar coincidindo como eixo dos x′s no sentido oposto 4_.

.

F

θ

.

θ

c

cos(θ)

=

{

d+c

d

Com essa escolha, a rela¸c˜ao entre as coordenadas cartesianas e polares ´e dada por: x = c−

ρ cos(θ) e y =−ρ sen(θ), 0 ≤ θ < 2π.

Substituindo na equa¸c˜ao (a2_{− c}2_)x2_{+ a}2_y2 _{= a}2_(a2_{− c}2_{), obtemos:} (a2− c2)(c2− 2cρ cos(θ) + ρ2 cos2(θ)) + a2ρ2 sen2(θ) = a4− a2c2.

Expandindo,

a2c2− 2a2cρ cos(θ) + a2ρ2 cos2(θ)− c4+ 2c3ρ cos(θ)− c2ρ2 cos2(θ) + a2ρ2 sen2(θ) = a4− a2c2.

Simplificando,

−2a2_{cρ cos(θ) + a}2_ρ2_(cos2_{(θ) + sen}2_{(θ)) + 2c}3_{ρ cos(θ)− c}2_ρ2 _cos2_{(θ) = (a}2_{− c}2₎2_. Ou seja,

cρ cos(θ)(−2a2+ 2c2− cρ cos(θ)) + a2ρ2 = (a2− c2)2.

Portanto,

a2ρ2 = (a2− c2)2+ 2(a2− c2)cρ cos(θ) + (cρ cos(θ))2.

Isto ´e,

a2ρ2 = ((a2− c2) + cρ cos(θ))2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros5, devemos ter,

aρ = ((a2− c2) + cρ cos(θ)). Assim, ρ = a 2_{− c}2 a− c cos(θ) = b2 a− c cos(θ), 0≤ θ < 2π.

Pondo e = c/a, a equa¸c˜ao polar da elipse torna-se:

ρ = a− ec

1− e cos(θ), 0≤ θ < 2π. Note que quando θ = 0, ρ = a + c e quando θ = π, ρ = a− c

O n´umero e = c/a ´e chamado excentricidade da elipse. Note que 0 < e < 1.

Fixado o n´umero a, quanto menor for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), menor ser´a o valor de c e portanto os focos da elipse estar˜ao mais pr´oximos do centro da elipse.

4_{Esta escolha, pouco natural, ´e importante para uma certa unifica¸c˜ao deste exemplo com os dois exemplos}

seguintes

5_{Temos que, para qualquer valor to argumento θ, (a}2_{− c}2_{) + cρ cos(θ) > 0. De fato, sempre a > c > 0 e quando}

cos(θ) < 0, isto ´e, π/2 < θ≤ 3π/2, o valor de ρ cos(θ) fica entre 0 e ρcos(π) = (a − c)(−1). Portanto, o valor m´ınimo da express˜ao (a2_{− c}2_{) + cρ cos(θ) ´e a}2_{− c}2_{+ c((a− c)(−1)) = a}2_{− ac > 0.}

excentricidade

pequena

grande

. .

.

.

2) Hip´erbole6

´

E o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π cuja diferen¸ca das distˆancias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, ´e uma constante. Essa constante, indicamos por 2a, ´e menor que a distˆancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Em outras palavras, |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a.

F1 F2

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana da hip´erbole

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox cont´em os pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto m´edio do segmento F1F2.

Para obtermos uma equa¸c˜ao em coordenadas cartesianas dos pontos da hip´erbole, fixamos um sis-tema de coordenadas cartesianas em π,S = {O, x, y} no qual F1 = (−c, 0), F2= (c, 0) e P = (x, y). Seja 2a uma constante positiva, com a < c. Assim, a equa¸c˜ao cartesiana da hip´erbole ´e obtida da express˜ao|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a. Vamos assumir que

√

(x + c)2_{+ y}2−√_(x− c)2_{+ y}2 _{> 0. A} an´alise do caso contr´ario ´e an´aloga.

Assim, P = (x, y) ´e um ponto da hip´erbole se, somente se, √

(x + c)2_{+ y}2−√_(x− c)2_{+ y}2_{= 2a.} Ou seja,_√

(x + c)2_{+ y}2 ₌√_(x− c)2_{+ y}2_{+ 2a.} Elevando-se ambos os membros ao quadrado,

(x + c)2+ y2= 4a2+ 4a√(x− c)2_{+ y}2_{+ (x}− c)2_{+ y}2_. Isto ´e,

(x + c)2+ y2− 4a2− (x − c)2− y2= 4a√(x− c)2_{+ y}2_. Novamente elevando-se ao quadrado,

((x + c)2+ y2− 4a2− (x − c)2− y2)2= 16a2((x− c)2+ y2). Simplificando,

(4cx− 4a2)2 = 16a2((x− c)2+ y2). Ou seja,

6_{Do dicion´ario Aur´elio}

hip´erbole [Do gr. hyperbol´e, pelo lat. hyperbole.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Figura que engrandece ou diminui exageradamente a verdade das coisas; exagera¸c˜ao, auxese. 2.Geom. Lugar geom´etrico dos pontos de um plano cujas distˆancias a dois pontos fixos desse plano tem diferen¸ca constante; interse¸c˜ao de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ˆangulo menor que o do v´ertice. Com uma escolha adequada das coordenadas cartesianas x e y, sua equa¸c˜ao pode ser simplificada a (x2_/a2_{)− (y}2_/b2_{) = 1, onde a e b s˜ao constantes.}

(c2_{− a}2_)x2_{− a}2_y2 _{= a}2_(c2_{− a}2_).

Como a < c, o n´umero c2− a2 ´e positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de algum n´umero, digamos b. Assim, pondo b2 = c2− a2, obtemos

x2 a2 −

y2 b2 = 1.

Note que o sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equa¸c˜ao bem simplificada da curva. Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole.

a -a

.

.

ax s˜ao chamadas ass´ıntotas da hip´erbole. • Os pontos V1 = (−a, 0) e V2= (a, 0) s˜ao chamados v´ertices da hip´erbole.

• Os pontos F1 e F2 s˜ao denominados focos da hip´erbole.

• A origem O, ponto m´edio do segmento focal F1F2 ´e chamado centro.

• O segmento V1V2 ´e chamado eixo transverso.

• O segmento V3V4, onde V3 = (0,−b) e V4= (0, b) ´e chamado eixo conjugado.

Exemplo: Vamos obter a equa¸c˜ao da hip´erbole cujas retas ass´ıntotas s˜ao y = x− 1 e y = −x + 5 e eixo transverso igual a 2.

.

.

.

Temos que a = 1. As retas ass´ıntotas cruzam no ponto O′ de coordenadas (3, 2). No sistema de coordenadas S′ ={O′, x′, y′} as equa¸c˜oes das ass´ıntotas s˜ao y′ =±x′. Assim, b/a = 1 e portanto b = 1. Logo, no sistema S′ a hip´erbole tem equa¸c˜ao x′2− y′2 = 1. Note que o sistema S′ ´e o transladado do sistema S = {O, x, y} para o ponto O′ = (h, k) = (3, 2). Assim, x′ = x− 3 e

y′= y− 2. Portanto, a equa¸c˜ao da hip´erbole ´e x2− y2− 6x − 4y + 12 = 0.

⋆ Equa¸c˜ao polar da hip´erbole

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da hip´erbole, consideramos o sistema de coorde-nadas polaresS′ ={F2,−Ox}, ou seja, polo em F2 e eixo polar coincidindo como eixo dos x′s no sentido oposto, exatamente como fizemos no exemplo anterior.

De fato vamos obter a equa¸c˜ao polar de apenas um dos ramos da hip´erbole. Neste caso, o argumento θ deve variar no setor definido pelas ass´ıntotas. Em outras palavras, ϕ−π < θ < π −ϕ, sendo ϕ tal que tg(ϕ) = _ab; ou seja, ϕ ´e a inclina¸c˜ao da reta ass´ıntota7.

F₂ ramos da hipérbole θ θ x c assíntotas

Escolhido o sistema polarS′ obtemos as seguintes rela¸c˜oes com o sistema S = {0, x, y}:

x = c− ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ).

Substituindo na equa¸c˜ao (c2− a2)x2− a2y2 = a2(c2− a2), obtemos: (c2_{− a}2_)(c2_{− 2cρ cos(θ) + ρ}2 _cos2_{(θ))− a}2_ρ2 _sen2_{(θ) = a}2_c2_{− a}4_. Expandindo,

c4− 2c3ρ cos(θ) + c2ρ2 cos2(θ)− a2c2+ 2a2cρ cos(θ)− a2ρ2 cos2(θ))− a2ρ2 sen2(θ) = a2c2− a4.

Ou seja,

(c2− a2)2− 2(c2− a2)cρ cos(θ) + c2ρ2 cos2(θ)− a2ρ2 = 0. Portanto,

a2ρ2 = ((c2− a2)− cρ cos(θ))2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e sabendo que (c2− a2)− cρ cos(θ) > 0, obtemos:

aρ = (c2− a2)− cρ cos(θ)). Ou seja, ρ = c 2_{− a}2 a + c cos(θ) = b2 a + c cos(θ), ϕ− π < θ < π − ϕ. 8 Pondo e = c/a, obtemos:

ρ = ec− a

1 + e cos(θ), ϕ− π < θ < π − ϕ.

O n´umero e = c/a ´e chamado excentricidade da hip´erbole. Note que e > 1. Fixado 0 n´umero a, quanto maior for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), maior ser´a o valor de c e portanto os focos da hip´erbole estar˜ao mais afastados do centro da hip´erbole.

3) Par´abola9

´

E o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π equidistantes a um ponto fixado F ∈ π e uma reta fixada r⊂ π, F /∈ r. Em outras palavras, d(P, F ) = d(P, r).

7_{admitindo valores negativos para ρ e variando θ no intervalo (π− ϕ, π + ϕ) obtemos o tra¸cado do outro ramo}

da hip´erbole

8_{No exemplo anterior obtivemos para a elipse a equa¸c˜ao polar : ρ =} b2

a−c cos(θ), 0≤ θ < 2π. Mudando a varia¸c˜ao

do argumento de 0≤ θ < 2π para −π ≤ θ < π, a equa¸c˜ao polar da elipse torna-se: ρ = b2

a+c cos(θ), −π ≤ θ < π. 9_{Do dicion´ario Aur´elio}

par´abola [Do lat. parabola ¡ gr. parabol´e.] Substantivo feminino. 1.Narra¸c˜ao aleg´orica na qual o conjunto de elementos evoca, por compara¸c˜ao, outras realidades de ordem superior. 2.Geom. Lugar geom´etrico plano dos pontos equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano.

excentricidade

pequena

grande

r

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana da par´abola

Para obtermos uma equa¸c˜ao em coordenadas cartesianas, bem simples, dos pontos da par´abola, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π,S = {O, x, y} no qual F = (c, 0), r : x = −c e P = (x, y).

Assim, a equa¸c˜ao cartesiana da par´abola ´e obtida da express˜ao d(P, F ) = d(P, r): √

(x− c)2_{+ y}2 _{= x + c. Isto ´e, (x}− c)2_{+ y}2 _{= (x + c)}2_.

Simplificando, obtemos y2− 4cx = 0 que ´e uma equa¸c˜ao reduzida, em coordenadas cartesianas, da par´abola.

.

F

r

-c c

.

• A reta r ´e chamada diretriz da par´abola. • O ponto F ´e chamado foco.

• O ponto V = (0, 0) ´e chamado v´ertice.

• A distˆancia do foco ao v´ertice ´e chamada parˆametro da par´abola.

• O eixo (dos x′_{s) que cont´em o foco e ´e perpendicular `a reta diretriz ´e chamado eixo da} par´abola ou eixo de simetria.

Exemplo: Considere a par´abola gr´afico da fun¸c˜ao y = ax2+ bx + c. Vamos obter as coordenadas do v´ertice V e foco F. Como a̸= 0, podemos escrever y = a(x2+b_ax+c_a). Completando o quadrado, obtemos y = a((x + _2ab )2−_4ab22 +_ac). Ou seja, y + (b

2 4a − c) = a(x + b 2a)2. Pondo y′= y + ( b2 4a− c) e x′ = x + _2ab a equa¸c˜ao fica y′ = ax′2, portanto na forma reduzida. Assim, V = (−_2ab ,−b2−4ac_4a ) ´

V y′ s˜ao paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, o foco F tem coordenadas F = (0,_4a1)_S′ e portanto, no sistema {O, x, y}, F = (−_2ab ,1−b2_4a+4ac).

.

⋆ Equa¸c˜ao polar da par´abola

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da par´abola, fixamos o sistema de coordenadas polaresS′ ={F, −Ox}, ou seja, polo em F e eixo polar coincidindo como eixo dos x′s no sentido

oposto.

Escolhido este sistema polar temos, x = c− ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ), −π < θ < π. Substituindo na equa¸c˜ao cartesiana y2− 4cx = 0 obtemos:

ρ2 sen2(θ)− 4c(c − ρ cos(θ)) = 0. Isto ´e,

ρ2− ρ2 cos2(θ)− 4c2+ 4cρ cos(θ)) = 0. Ou seja,

ρ2 = (ρ cos(θ)− 2c)2.

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e notando que ρ cos(θ)− 2c < 0, obtemos:

ρ =−ρ cos(θ) + 2c, com −π < θ < π.

Portanto,

ρ = 2c

1 + cos(θ),−π < θ < π, ´

e uma equa¸c˜ao polar da par´abola.

Propriedades unificadoras das cˆonicas

Sob certos pontos de vista, apresentamos trˆes deles abaixo, as cˆonicas elipse, par´abola e hip´erbole podem ser entendidas como casos particulares de um mesmo exemplo.

1) Pontos no infinito

As curvas elipse, hip´erbole e par´abola, tem equa¸c˜oes polares t˜ao semelhantes que sugere uma certa unifica¸c˜ao. Para ver isso ´e necess´ario adicionarmos aos pontos do plano euclidiano π os chamados

pontos no infinito.

a

a

b

b

c

c

1

1

1

reta projetiva

plano projetivo

Um ponto no infinito ´e a dire¸c˜ao de uma reta. Uma reta juntamente com o seu ponto no infinito ´

e chamada reta projetiva. Retas paralelas tem o mesmo ponto no infinito. O plano euclidianoR2 juntamente com todos os seus pontos no infinito constitui o chamado plano projetivoP2.

No plano projetivo as trˆes curvas, elipse, par´abola e hip´erbole, s˜ao curvas fechadas. A hip´erbole tem dois pontos no infinito, a par´abola um e a elipse nenhum ponto no infinito10.

a

a

b b

Figure 2. Elipse, hip´erbole e par´abola: curvas fechadas em P2.

2) Propriedades ´opticas

Supondo que as curvas elipse, par´abola e hip´erbole s˜ao refletoras, ent˜ao um raio de luz que emana de um dos focos reflete por um caminho bem definido (Figura 5). No caso da elipse ele reflete e se dirigi ao outro foco. No caso da par´abola ele reflete paralelamente ao eixo de simetria da par´abola. Finalmente, no caso da hip´erbole a reflex˜ao se d´a na dire¸c˜ao da reta determinada pelo ponto onde o raio de luz toca um ramo da hip´erbole e pelo foco do outro ramo.

. .

F₁ F2 F

.

.

.

F

Vamos demonstrar essa propriedade no caso da par´abola x2− 4cy = 0.

A reta tangente `a par´abola y = _4c1x2 no ponto P = (x0, y0) tem inclina¸c˜ao _2c1x0e portanto equa¸c˜ao

y− y0 = _2c1x0(x− x0); isto ´e, x0x− 2cy − 1₂x20 = 0. Portanto, essa reta tangente cruza o eixo dos y′s no ponto A = (0,−_4c1x2₀). Sendo F = (0, c) e sabendo-se que os pontos P da par´abola s˜ao equidistantes `a diretriz (neste caso, y =−c) e ao foco, temos d(P, F ) = y0+ c = _4c1x20+ c. Logo,

d(P, F ) = d(A, F ). Em outras palavras, o triˆangulo AP F ´e is´osceles. Logo, os ˆangulos da base, nos v´ertices A e P s˜ao iguais.

.

F

P

A

Portanto s˜ao iguais os ˆangulos de incidˆencia e reflex˜ao do raio F P que reflete, em rela¸c˜ao `a reta tangente, paralelamente ao eixo de simetria da par´abola (neste caso, eixo dos y′s.)

10_{No estudo da equa¸c˜ao geral do segundo grau em duas vari´aveis Ax}2

+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0 verifica-se uma analogia interessante entre esta equa¸c˜ao e a equa¸c˜ao geral do segundo grau em uma vari´avel ax2+ bx + c = 0. De fato, o sinal do n´umero ∆ = B2_{− 4AC discrimina as trˆes cˆonicas; isto ´e, o fato do conjunto dos pontos (x, y)}

tais que Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0 ter dois pontos no infinito, um ponto no infinito ou nenhum ponto no infinito corresponde aos valores de ∆ positivo, nulo ou negativo, respectivamente

3) Se¸c˜oes cˆonicas

parábola

elipses

hipérboles

As curvas elipse, par´abola e hip´erbole s˜ao obtidas como interse¸c˜ao de um cone circular reto com um plano. De fato, na figura 6 nota-se que as curvas tˆem muita semelhan¸ca com a par´abola, elipse e hip´erbole. Cada caso depende do ˆangulo que o plano faz com o eixo do cone e tamb´em da posi¸c˜ao do plano. Por exemplo, se o plano for paralelo a (e n˜ao cont´em) uma das retas geratrizes do cone obt´em-se uma curva semelhante `a par´abola. De fato a curva ´e uma par´abola. Uma pequena mudan¸ca neste plano, de modo que ele deixa de ser paralelo `a qualquer uma das geratrizes, e a curva interse¸c˜ao se torna uma hip´erbole (se o plano cortar as duas folhas do cone) ou uma elipse (se o plano s´o corta uma folha do cone).

Demonstraremos essa afirma¸c˜ao para o caso da elipse. Esferas de Dandelin ´e o nome da constru¸c˜ao em homenagem a Germinal Dandelin (1794-1847).

Antes por´em, vamos mostrar que a interse¸c˜ao de um cilindro circular reto por um plano π obl´ıquo ao eixo do cilindro ´e uma elipse (figura 7(a)).

F F₁ 2 P A B (a) (b) Figure 3

Introduzimos na parte superior do cilindro uma esfera de raio igual ao raio do cilindro at´e tocar o plano π no ponto F1. Fazemos o mesmo na parte inferior e obtemos o ponto F2 onde a esfera intro-duzida tangencia o plano. Essas duas esferas tˆem em comum com o cilindro duas circunferˆencias contidas em planos paralelos. Seja P um ponto qualquer da curva interse¸c˜ao do cilindro com o plano π. Considere o segmento AB da geratriz do cilindro passando por P. Como os segmentos P A e P F1 s˜ao tangentes `a esfera superior ent˜ao eles tˆem o mesmo comprimento, em outas palavras,

d(P, F1) = d(P, A). Analogamente, os segmentos P B e P F2 tˆem o mesmo comprimento, isto ´e,

d(P, F2) = d(P, B). Como d(P, A)+d(P, B) = d(A, B) ´e constante, segue-se que d(P, F1)+d(P, F2) ´

e constante. Portanto os pontos P da interse¸c˜ao do cilindro com o plano π constituem de fato uma elipse de focos F1 e F2.

Passemos agora `a constru¸c˜ao de Dandelin no caso da elipse como se¸c˜ao de um cone circular reto. Considere a interse¸c˜ao do cone por um plano π de modo a obter uma curva que se assemelha `a elipse (figura 7(b)). O plano corta apenas uma das folhas do cone. Vamos demonstrar que existem

dois pontos D∈ π e E ∈ π tais que qualquer ponto B da curva interse¸c˜ao verifica d(B, D)+d(B, E) ´

e uma constante, isto ´e, a soma das distˆancias de B aos pontos D∈ π e E ∈ π ´e uma constante. Teremos portanto que os pontos B constituem uma elipse cujos focos s˜ao os pontos D e E. De fato, o plano divide a folha do cone em duas partes, uma limitada e a outra n˜ao. Em cada uma dessas partes introduzimos uma esfera que tangencia o plano e toca o cone ao longo de uma circunferˆencia. Essas duas circunferˆencias est˜ao contidas em planos paralelos. A esfera de raio menor tangencia o plano num ponto digamos E e a de raio maior no ponto D. A geratriz do cone que parte do v´ertice V e passa pelo ponto B cruza a circunferˆencia da esfera menor no ponto A e a maior no ponto C.

Como os segmentos BA e BE s˜ao ambos tangentes `a esfera menor ent˜ao eles tˆem o mesmo comprimento. O mesmo acontece com os segmentos BC e BD.

Portanto, qualquer que seja o ponto B na curva obtida da interse¸c˜ao do cone com o plano π, a soma das distˆancias de B aos pontos de tangˆencia das esferas com o plano, D e E, ´e constante e igual ao comprimento do segmento AC, que ´e constante, qualquer que seja o ponto B, pois as circunferˆencias est˜ao em planos paralelos. Logo, o lugar gem´etrico dos pontos da curva interse¸c˜ao ´

Outros sistemas de coordenadas no espa¸co

Coordenadas esf´ericas

P θ φ ρ x y z ρ2= x2+ y2+ z2 x = ρcos(θ)sen(ϕ) tg(θ) = y x y = ρsen(θ)sen(ϕ) cos(ϕ) = z ρ z = ρcos(ϕ)

Coordenadas cil´ındricas

P x y z ρ2 = x2+ y2 x = ρcos(θ) tg(θ) = y x y = ρsen(θ)

Exerc´ıcios

1) Obtenha uma equa¸c˜ao reduzida da elipse

(a) cujo centro ´e o ponto (0, 0), os focos est˜ao no eixo Ox, o eixo menor mede 6 e a distˆancia focal ´

e igual a 8.

(b) cujos focos s˜ao os pontos de coordenadas (0, 6) e (0,−6) e o eixo maior mede 34.

(c) cujos focos s˜ao os pontos de coordenadas (0, 2√3) e (0,−2√3) e a amplitude focal (latus

rectum)11´e 2. [22-7]

(d) cuja excentricidade ´e 3/5, os v´ertices s˜ao os pontos de coordenadas (5, 0) e (−5, 0) e cujos

focos est˜ao no eixo Oy. [22-37]

2) Determine as coordenadas dos focos, v´ertices e as medidas dos eixos maior e menor das elipses: (a) 16x2+ 25y2 = 100 (b) 50− y2− 2x2 = 0 (c) 3x2+ 4y2 = 12. [22-8] 3) Calcule a ´area do quadrado cujos lados s˜ao paralelos aos eixos coordenados e est´a inscrito na

elipse 9x2+ 16y2 = 100. [22-12]

4) Escreva a equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole

(a) cujos v´ertices s˜ao (2, 0) e (−2, 0) e focos (3, 0) e (−3, 0).

(b) cujos focos s˜ao (5, 0) e (−5, 0) e as retas ass´ıntotas s˜ao 2y = x e 2y = −x.

(c) passa pelo ponto (5, 9) e tem retas ass´ıntotas y = x e y =−x. [22-21] (d) cuja excentricidade ´e 2 e as ass´ıntotas s˜ao y = 2x e y =−2x. [22-43] 5) Calcule o produto das distˆancias de um ponto (x0, y0) da hip´erbole x2/a2− y2/b2 = 1 `as retas

ass´ıntotas (em fun¸c˜ao de a e b). [22-23]

6) Determine as coordenadas do foco, do v´ertice, e uma equa¸c˜ao da reta diretriz das par´abolas

y2+ 8x = 0 e 5x2 = 8y. [22-30]

7) Usando a defini¸c˜ao, obtenha uma equa¸c˜ao da par´abola (a) com foco no ponto (3, 1) e reta diretriz y + 3 = 0

(b) com foco no ponto (−4, −2) e reta diretriz 2x + y = 3. [22-34] 8) Usando transla¸c˜ao e rota¸c˜ao, obtenha uma equa¸c˜ao da elipse cujos focos s˜ao (1, 0) e (3, 2) e v´ertice (4, 3).

11_{latus rectum ou amplitude focal da elipse ´e o comprimento da corda que passa por um dos focos e ´e perpendicular}