UNIVERSIDADE DEBRASÍLIA, FACULDADEGAMA
Sinais e Sistemas - Lista 2
4 de outubro de 2015
1. Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) tem valor real e período fundamental T = 8. Os coeficientes diferentes de zero da série de fourier de x(t) são:
a1= a−1= 2, a3= a−3∗ = 4 j Expresse x(t) na forma: x(t ) = ∞ X k=0 Akcos(ωkt + φk) Resposta: x(t ) = a1e(2π/T )t+ a−1e− j (2π/T )t+ a3ej 3(2π/T )t+ a−3e− j 3(2π/T )t = 2ej (2π/8)t+ 2e− j (2π/8)t+ 4 j ej 3(2π/8)t− 4 j e− j 3(2π/8)t = 4cos(π4t ) − 8si n(6π8 t ) = 4cos(π4t ) + 8cos(34πt +π2)
2. Para o sinal periódico de tempo contínuo
x(t ) = 2 + cosµ 2π 3 t ¶ + 4senµ 5π 3 t ¶ ,
Determine a frequência fundamentalω0e os coeficientes da série de Fourier ak tais que x(t ) = ∞ X k=−∞ akej kω0t Resposta:
x(t ) = 2 +12ej (2π/3)t+12e− j (2π/3)t− 2 j ej (5π/3)t+ 2 j e− j (5π/3)t = 2 +12ej 2(2π/6)t+12e− j 2(2π/6)t− 2 j ej 5(2π/6)t+ 2 j e− j 5(2π/6)t
A partir disso, conclui-se que a frequencia fundamental de x(t) é 2π/6 = π/3. E os coe-ficientes não nulos de fourier de x(t) são:
a0= 2, a2= a−2= 1 2, a5= a ∗ −5= −2 j 3. Use a equação: ak= 1 T Z T x(t )e− j kω0td t = 1 T Z T x(t )e− j k(2π/T )td t
Para calcular os coeficientes ak para o sinal periódico de tempo contínuo
x(t ) =½ 1.5, 0 ≤ t < 1 −1.5, 1 ≤ t < 2 com frequênciaω0= π. Resposta: ω0= π, T = 2π/ω0= 2 ak=12R02x(t )e− j kπtd t a0=12 R1 01.5d t −12 R2 11.5d t = 0 e para k 6= 0 ak=12 R1 01.5e− j kπtd t − 1 2 R2 11.5e− j kπtd t =2kπj3 [1 − e − j kπ] =kπ3 e− j k(π/2)si n(kπ 2 ) Quando k=0, ak=T1R<T >x(t )d t =T2 ak= ( 2/T, k = 0 bk j (2π/T )k, k 6= 0
4. Considere um sistema LTI de tempo contínuo cuja resposta em frequência é:
H ( jω) =
Z ∞ ∞
h(t )e− j ωtd t =sen(4ω) ω
Se a entrada desse sistema é um sinal periódico
x(t ) =½ 1, 0 ≤ t < 4
−1, 4 ≤ t < 8
Resposta:
x(t) é real e impar, aké puramente imaginario e impar, logo a0= 0
ak=18 R8 0x(t )e− j (2π/8)ktd t =18R4 0e− j (2π/8)ktd t −18 R8 4e− j (2π/8)ktd t = jπk1 [1 − e− j πk] ak= ( 0, k = 0,±2,±4... 2 jπk, k = ±1,±3,±5,...
Quando x(t) é passado atraves do sistema LIT com frequencia H ( jω), a saida y(t) é dada por:
y(t ) =P∞
k=−∞akH ( j kω0)ej kω0t Ondeω0=2Tπ=π4
aké não nulo somente para valores ímpares, desta maneira:
H ( j kω0) = H(j k(π/4)) =si n(kk(π/4)π)
é sempre zero para valores impares de k. e:
y(t ) = 0
5. Considere um sistema LIT causal implementado como circuito RLC mostrado na figura abaixo. Nesse circuito, x(t) é a tensão de entrada. A tensão y(t) no capacitor é conside-rada a saída do sistema.
a) Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t).
b) Determine a resposta em frequência desse sistema considerando a saída do sis-tema para as entradas da forma x(t ) = ejωt.
c) Determine a saída y(t ) se x(t ) = sen(t). Resposta: a) ic= Cd y(t )d t iR= RCd y(t )d t VL= LCd 2y(t ) d t2 Tensão de entrada = VR+ VL+ VC
x(t ) = LCd2d ty(t )2 + RC d y(t ) d t + y(t ) Substituindo os valores: d2y(t ) d t2 + d y(t ) d t + y(t ) = x(t ) b) H ( jω) =−ω2+ j ω+11 c)
x(t) é periodico com periodo 2π, x(t) pode ser expresso na forma:
x(t ) =2 j1ej (2π/2π)t− 1
2 je− j (2π/2π)t
os coeficientes não nulos de fourier de x(t) são
a1= a∗−1=2 j1
y(t ) = a1H ( j )ej t− a−1H (−j )e− j t = (1/2 j )(1jej t−− j1 e− j t)
= (−1/2)(ej t+ e− j t) = −cos(t )
6. Determine a série de Fourier dos sinais abaixo. a) f (t ) =½−1, −T /2 < t < 0 1, 0 < t < T /2 b) f (t ) =½ 0,1 −π < t < 0 πt , 0 < t < π c) δN[n] =P+∞l =−∞δ[n − l N] d) x[n] =P+∞ k=−∞p[n − kN ], para N=4, p[n] = −δ[n + 1] + δ[n − 1] e) x[n] =P+∞ k=−∞p[n − kN ], para N=10, p[n] = δ[n + 1] + δ[n] + δ[n − 1] Resposta: a) a0= 0 an=T2R−T /20 −1cos(nω0t )d t +R0T /21cos(nω0t )d t an= 0 bn=T2(R−T /20 −1sen(nω0t )d t +R0T /21sen(nω0t ))d t 2 nπ(1 − cos(nπ)) = ½ 0, n = par 4 nπ, n = i mpar f (t ) =4πP∞ n=i mpar 1 nsi n(nω0t ) = 4 π ³ si n(ω0t ) +si n(33ω0t )+si n(55ω0t )+ ... ´
b) an=22πR0ππ1t cos(nω0t )d t =π12 h ¡1 nsi n(nt ) ¢π 0− 1 n ¡Rπ 0 si n(nt )d t ¢i =π21n2(cos(nπ) − 1) an= ½ 0, n = par −π22n2, n = i mpar bn=2π2 ¡Rπ 0 1πt si n(nω0t )d t ¢ = −πn1 cos(nπ) = −πn1 (−1)n f (t ) =14− 2 π2 ³ cos(t ) +cos(3t )9 + cos(5t ) 25 + ... ´ −π1³−si n(t ) +si n(2t )2 −si n(3t )3 + ...´ c) (Trem de impulsos): ck=N1 P P+∞l =−∞δ[n − l N]exp(−jk2Nπn) =N1Pδ[n]exp(−jk2Nπn) =N1 Portanto: P+∞ k=−∞δ[n − kN] = 1 NP exp( j k 2π Nn)
Observe que os coeficientes da serie de fourier sao constantes( isto é, de periodo igual a 1 para qualquer que seja N).
d)
(Pulso impar):
ck=14P2n=−1(−δ[n + 1] + δ[n − 1])exp(− j k2π4 n) =14¡−exp(j kπ2) + exp(−j kπ2)¢ = −2jsen(kπ2)
c0= 0 (valor médio), c1= − j /2, c2= 0, c3= + j /2 = c−1
x[n] = c1exp( j24πn) + c−1exp(−j24πn) = sen( 2π 4 ) e) (Pulso par): ck=101 P5n=−4(δ[n + 1] + δ[n] + δ[n − 1])exp(−jk210πn) 1 10¡1 + exp(−j k 2π 10) + exp( j k 2π 10¢ = 1 10¡1 + 2cos(kπ5) ¢ c0=103(valor médio)=101 P5n=−4p[n] ck,k=0,...,9= [0.30 0.26 0.16 0.04 −0.06 −0.10 −0.06 0.04 0.16 0.26]
7. Calcule a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais: a) [e−atcosω
0t ]u(t ), a > 0 b) e−3|t |sen2t
c) x(t ) =½1 + cosπt, |t| ≤ 1 0, |t | > 1
d) P∞ k=0a kδ(t − kT ), |α| < 1 e) [t e−2tsen4t ]u(t ) Resposta: a)
e−atcos(ω0t )u(t ) =12e−atejω0tu(t ) +12e−ate− j ω0tu(t )
X ( jω) =2(a−j ω1 0+ j ω)+ 1 2(a+j ω0+ j ω) b) x(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t ) + e3|t|si n(2t )u(−t) x1(t ) = e−3|t |si n(2t )u(t ) → X1( jω) =( jω+3+2j)(jω+3−2j)2 x2(t ) = e3|t|si n(2t )u(−t) = −x1(−t) → X2( jω) = −(−3−2 j +j ω)(−3+2 j +j ω)2 X ( jω) = X1( jω) + X2( jω) =(13+4ω+ω24 j2)(−13+4ω−ωω 2) c) X ( jω) =2si nωω+si nπ−ωω−si nπ+ωω d) X ( jω) = 1 1−ae− j ωT e)
x(t ) = (1/2j )te−2tej 4tu(t ) − (1/2j )te−2te− j 4tu(t ) X ( jω) =( jω+2−4j)8( jω+2)2( jω+2+4j)2
8. Determine o sinal de tempo contínuo correspondente a cada uma das seguintes trans-formadas a) X ( jω) =2sen[3((ω−2π)ω−2π)] b) X ( jω) = cos(4ω + π/3) c) X ( jω) = 2[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + 3[δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)] Resposta: a) x(t ) =½e j 2πt, |t | < 3 0, ot her wi se b) x(t ) =12e− j π/3δ(t − 4) + 1 2ejπ/3δ(t + 4) c) x(t ) =2 jπsi nt +π3cos(2πt)
9. a) Calcule a convolução de cada um dos seguintes pares de sinais x(t) e h(t) calculando
X ( jω) e H(jω), usando a propriedade de convolução e fazendo a transformada inversa
ii. x(t ) = te−2tu(t ), h(t ) = te−4tu(t ) iii. x(t ) = e−tu(t ), h(t ) = etu(−t)
b) Suponha que x(t ) = e−(t −2)u(t − 2) e h(t) seja como esboçado na figura abaixo.
Verifique a propriedade de convolução para esse par de sinais mostrando que a transformada de Fourier y(t ) = x(t) ∗ h(t) é igual a H( j ω)X (j ω)
Resposta: i) Y ( jω) = X (jω)H(jω) =h(2+j ω)1 2 i h 1 4+j ω i =4+j ω(1/4) −2+j ω(1/4) +(2+j ω)(1/2)2 y(t ) =14e−4tu(t ) − 1 4e−2tu(t ) + 1 2t e−2tu(t ) ii) Y ( jω) = X (jω)H(jω) =h(2+j ω)1 2 i h 1 (4+j ω)2 i =2+j ω(1/4) +(2+j ω)(1/4)2− (1/4) 4+j ω+ (1/4) (4+j ω)2 y(t ) =14e−2tu(t ) + 1 4t e−2tu(t ) − 1 4e−4tu(t ) + 1 4t e−4tu(t ) iii) Y ( jω) = X (jω)H(jω) =h1+j ω1 i h1−j ω1 i =1+j ω1/2 +1−j ω1/2 y(t ) =12e−|t | b) y(t ) = 0, t < 1 1 − e−(t −1), 1 < t ≤ 5 e−(t −5)− e−(t −1), t > 5 Y ( jω) =2e− j 3ωω(1+jω)si n(2ω) =h1+j ωe− j 2ωiejω2si n(2ω)ω = X ( j ω)H( j ω)
10. A entrada e saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação diferencial
d2y(t ) d t2 + 6
d y(t )
a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema. b) Qual é a resposta desse sistema se x(t ) = te−2tu(t )?
c) Repita o item a) para o sistema LIT estável e causal descrito pela equação:
d2y(t ) d t2 + p 2d y(t ) d t + y(t ) = 2 d2x(t ) d t2 − 2x(t ) Resposta: a) H ( jω) =Y ( jω)X ( jω)=−ω2+2 j ω+82 H ( jω) = jω+21 −jω+41 h(t ) = e−2tu(t ) − e−4tu(t ) b) X ( jω) =(2+j ω)1 2 Y ( jω) = X (jω)H(jω) =−ω2+2 j ω+82 (2+j ω)1 2 Y ( jω) =j1/4ω+2−( jω+2)1/2 2+( jω+2)1 3−j1/4ω+4
y(t ) =14e−2tu(t ) −12t e−2tu(t ) +12t2e−2tu(t ) −14e−4tu(t )
c) H ( jω) =Y ( jX ( jω)ω)= 2(−ω2−1) −ω2+p2 jω+1 H ( jω) = 2 + − p 2−2p2 j jω−−p2+jp2 2 + − p 2+2p2 j jω−−p2−jp2 2 h(t ) = 2δ(t) −p2(1 + 2 j )e(−1+j )t/ p 2 u(t ) −p2(1 − 2 j )e−(1− j )t / p 2u(t ) 11. Considere o sinal x(t):
a) Encontre a transformada de Fourier X ( jω) de x(t). b) Esboce o sinal: F (t ) = x(t) ∗ ∞ X k=−∞ δ(t − 4k) .
c) Encontre outro sinal g(t) diferente de x(t) e tal que F (t ) = g (t) ∗ ∞ X k=−∞ δ(t − 4k) .
d) Argumente que,embora G( jω) seja diferente de X (jω), G(jπk2 ) = X ( jπk2 ) para to-dos os k inteiros. Você nao deve obter explicitamente G( jω) para responder a este item. Resposta: a) x(t ) = x1(t ) ∗ x1(t ) onde x1(t ) =½1, |ω| < 1/2 0, ot her wi se X1( jω) = 2si n(ω/2)ω X ( jω) = X1( jω)X1( jω) =h2si n(ω/2)ω i2 b) c) d) F ( jω) = X (jω)π2P∞ k=−∞δ(j(ω − kπ2)) = G(j ω)π2 P∞ k=−∞δ(j(ω − kπ2)) Pode ser reescrito como:
F ( jω) =π2P∞
k=−∞X ( jπk/2)δ(j(ω − kπ2)) =π2 P∞
k=−∞G( jπk/2)δ(j(ω − kπ2)) Isso é possível se:
12. Na figura abaixo, é mostrado uma implementação de um filtro passa-faixa usando mo-dulação senoidal e filtros passa-baixas. Demonstre que a saída y(t) do sistema é idên-tica àquela que seria obtida através da modulação com portadora exponencial com-plexa retendo apenas a parte real da saída.
Resposta:
g1(t ) é a resposta de H1( jω) a x(t)cosωct e
g2(t ) a resposta de H2( jω) a x(t)sinωct
y(t ) = x(t)ejωct= x(t )cosωct + j x(t)si nω
ct ω(t) = g1(t ) + j g2(t ) f (t ) = e− j ωctω(t) = [cosω ct − j si nωct ][g1(t ) + j g2(t )] A parte real de f(t): g1(t )cosωct + g2(t )si nωct
13. Esboce a representação por diagrama de blocos na forma direta I e II das equações diferenciais e das equações das diferenças abaixo.
a) y(t ) = x(t) + 0,5x0(t ) + 3y0(t ). b) y(t ) +d td y(t ) − 4dd t3y(t ) = x(t) + 3
d5 d tx(t ). c) 3y(t ) = x(t) − 2x0(t ) + x00(t ) − 0,3x000(t ).
d) y[n] = x[n] + 2x[n − 1] + 3x[n − 2] + 0,9y[n − 1]. e) 2y[n] + y[n − 1] − 4y[n − 3] = x[n] + 3x[n − 5]. f ) y[n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n − 2] − 3x[n − 4].
14. Considerando a condição inicial de repouso, encontre as respostas ao impulso dos sis-temas LIT descritos pelas equações a seguir (Dica: questões 2.55 e 2.56 do Oppenheim).
a) y00(t ) + 3y0(t ) + 2y(t) = x(t).
Resposta:
Condições iniciais: y(0+) = 0, y0(0+) = 1.
Equação homogênea: s2+ 3s + 2 = 0 → s = −2;−1.
Solução: h(t ) = Ae−2t+ B e−t,t ≥ 0
Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−t− e−2t)u(t ) b) y00(t ) + 2y(t) + 2y(t) = x(t).
Resposta:
Condições iniciais: y(0+) = 0, y0(0+) = 1.
Equação homogênea: s2+ 2s + 2 = 0 → s = −1 ± j .
Solução: h(t ) = Ae(−1+j )t+ B e(−1−j )t= e−t[Aej t+ B e− j t],t ≥ 0 Aplicando condições iniciais: h(t ) = (e−tsin t )u(t )
c) y[n] −15y[n − 1] = x[n]. Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] =15y[n − 1] + x[n] n x[n] 15y[n − 1] y[n] 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 3 0 1 1 4 0 1 1 h[n] = ½ 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 d) y[n] − y[n − 2] = x[n]. Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] = y[n − 2] + x[n] n x[n] y[n − 2] y[n] 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 4 0 1 1 5 0 0 0 6 0 1 1
h[n] = ½ 0 , n < 0 e n > 0, ímpar 1 , n ≥ 0, par e) y[n] − y[n − 2] = 2x[n] − 3x[n − 4]. Resposta:
A entrada é dada por x[n] = δ[n]. A equação será:
y[n] = y[n − 2] + 2x[n] − 3x[n − 4] n 2x[n] −3x[n − 4] y[n − 2] y[n] 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 2 2 3 0 0 0 0 4 0 −3 2 −1 5 0 0 0 0 6 0 0 −1 −1 h[n] = 2 , n = 0 e n = 2 −1 , n ≥ 4 0 , caso contrário.
15. (Computacional) A partir do link http://www.physionet.org/cgi-bin/atm/ATM?
database=nstdb&tool=plot_waveforms, baixe um sinal de ECG em formato mat de
duração de 1 minuto. Em seguida, carregue-o no matlab:
load signal.mat x = val(1,:)
t = linspace(1,60,length(x));
Em seguida, insira um ruido gaussiano branco com SNR de 10dBw:
y = awgn(x,10,’measured’);
a) Construa um filtro de média movel de duas amostras e convolua com o sinal de entrada. Plote o sinal resultante da convolução.
b) Construa um filtro de média movel de três amostras e convolua com o sinal de entrada. Plote o sinal resultante da convolução.
c) O que se pode inferir dos resultados de a) e b).
d) Plote a fase e magnetude dos filtros média móvel de duas e três amostras. Discuta o resultado.
e) Plote as curvas de nível para a forma generalizada do filtro de média móvel, para M=0,1,...,10 e N=0,1,...,10 e convolua cada uma com o sinal de ECG ruidoso. Dis-cuta os resultados.
