0 0 Quando t varia no intervalo fechado [0; 2π ], o ponto P (2 cos t; 2 sen t) descreve uma circunferência de centro na origem e raio 2.

3 3 Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e o determinante da A é 5, então o determinante de (2.A) é 10.

4 4

Se o sistema é determinado, então a = ± 3.

19. Leia, analise e responda.

I II

0 0 Quando t varia no intervalo fechado [0; 2π ], o ponto P (2 cos t; 2 sen t) descreve uma circunferência de centro na origem e raio 2.

1 1 Quando t varia no intervalo [0; 2π ], o ponto Q (4 cos t; 2 sen t) descreve uma elipse de centro na origem, de eixo maior 8 e eixo menor 4.

2 2

Para 0 < t < .

3 3

Para .

4 4 No intervalo 0 ≤ t ≤ 2π , a equação sen t – cos t = 1 tem 4 raízes.

A imagem da função real é { 3 }.

2 2

Se então x > 1.

3 3

Se , então y = 3.

4

4 Se Mn é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n e det (A) é o determinante da matriz A, então a função f : M n R

definida por f ( X ) = det ( X ) é injetora.

4 4

Se P (x) é um polinômio de coeficientes reais e o irracional X = a + b é raiz de P (x), então o seu conjugado também é raiz.

17. Considerem-se a reta y = x + 1 e o ponto P (1;3).

I II

0 0 Existe um único ponto na reta cuja distância ao ponto P é igual a 1.

1 1 Há dois pontos na reta cuja distância a P é igual a 1.

2 2 A distância de P à reta é zero.

3 3

O ponto da reta, cujo quadrado da distância ao ponto P é mínimo, é .

4 4

A reta que passa pelos pontos P ( 1; 3 ) e Q ( - 1;0 ) faz um ângulo agudo

∝

a .

Se n é um número inteiro positivo e então n é divisor de 120.

1 1

O valor de é 64.

2 2

14. Considere-se a elipse x 2 + 4 y 2 = 16.

I II

0 0 Os eixos têm comprimentos 8 e 4 unidades de comprimento. 1 1 Os focos têm coordenadas (4, 0) e ( - 4, 0).

2 2

A excentricidade é igual a .

3 3 A distância entre os focos é de 8 unidades de comprimento.

4 4 A reta x + 2 y – 4 = 0 corta a elipse em dois pontos.

15. Considerando-se uma esfera de raio R, pode-se afirmar que:

I II

0 0 duplicando -se o raio, o volume da esfera quadruplica;

1 1 duplicando -se o raio, a área fica duplicada;

2 2 se V m3 é o volume da esfera e S m2, a sua área, então V < S, sempre que 0<R<3;

3 3

se R = 3m, o volume da cunha esférica de ângulo radianos é 6π m3;

4 4

se R = 3m, a área do fuso esférico de ângulo radianos é 6π m2.

16.

I II

0 0

A equação não admite raízes reais.

1 1

Se 1, 2 e 3 são raízes do polinômio , então P (5) = 24.

2 2 O número de raízes reais do polinômio P (x) = (x – 3) . ( x + 1 )2 . (x2 + 1) . (2x -1) é 4.

c) 14cm; d) 15cm; e) 8cm.

12. Geometricamente o sistema determina uma região do plano, cuja área é:

a) 2 unidades de área; b) 1 unidade de área; c) 4 unidades de área; d) 3 unidades de área; e) 6 unidades de área.

Nas questões de 13 a 20, assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, na coluna II, as falsas.

13.

I II

0 0 A equação da reta, que passa pelo centro da circunferência (x – 2 )2 + ( y – 3 )2 = 4 e é perpendicular à reta x – y + 1 = 0, é y = - x + 1.

1 1 O ponto da circunferência ( x – 4 )2 + ( y + 3 )2 = 1, que tem ordenada máxima, é ( 4 ; 1 ).

2 2 As coordenadas dos focos da curva 9 x 2 + 25 y 2 = 225 são ( ± 4; 0 ).

3 3 A equação x 2 – y 2 = 0 representa uma hipérbole eqüilátera .

4 4

As coordenadas dos focos da curva x 2 – y 2 = 1 são .

09. O volume da esfera inscrita em um cone eqüilátero cujo raio da base mede 6 cm é, em centímetros cúbicos:

10. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, de elementos reais, λλ é um número real e I, a matriz identidade de ordem n, chama-se "valor próprio" de A, a uma raiz da equação det (A - λ .I) = 0 , onde "det" significa determinante.

Dessa forma , a soma dos valores próprios da matriz A, abaixo, é:

a) 4; b) 2; c) 0; d) 6; e) – 4.

11. A reta (r) de equação 3x – 4y + 17 = 0 é tangente à circunferência de centro no ponto (1; -10). A reta (r) determina, na circunferência concêntrica com , uma corda de 18cm de comprimento. Podemos afirmar que o raio de

mede:

a) 13cm;

a) 4; b) 4,5; c) 5; d) 6; e) 5,5.

07. O produto de duas raízes da equação 2 x3 – 8 x2 + k x – 8 = 0 é igual a 2. Então, o valor de k é: a) 5; b) 8; c) 10; d) 11; e) 12.

08. Considere o polinômio p (x) = 3 x3 – m x2 + n x + 1, onde m e n são constantes reais. Sabe -se que P (x) é divisível por g

(x) = x – 2 e que deixa resto igual a (- 12) quando dividido por h (x) = x + 2. Nestas condições, tem-se:

04. Deseja-se construir um reservatório, soldando duas semi-esferas de uma mesma esfera, de raio r, um em cada extremidade de uma superfície cilíndrica circular reta, de altura igual a 3m.

Se o material da parte cilíndrica custa R$5,00 por metro quadrado e o da esfera custa R$10,00 por metro quadrado, tem-se:

a) o custo do material do reservatório em função do raio do cilindro é reais;

b) o volume em m3 do reservatório, em fun ção do raio da esfera, é ;

c) se o raio da esfera for igual a 3m, o custo do material do reservatório, em real, será C = 225 π ;

d) o volume do reservatório em m3, se o raio da parte cilíndrica for igual a 3m, será 63;

e) se o raio da esfera e a altura da parte cilíndrica forem iguais a r , o preço dos materiais da parte cilíndrica e da esférica forem iguais a R$5,00 por metro quadrado, o custo total do material do reservatório em função do raio r, será C = 30 π r2 reais.

05. Em um terreno retangular de 90m de perímetro, Maria Eduarda pretende construir um galpão para depósito de sua fábrica de confecções. O código de obras da cidade exige que sejam dados recuos de 2m na frente e nos fundos e 1,5m em cada lateral.

Podemos afirmar que a área máxima do galpão, em metros quadrados, é :

a) 361;

b) 456; d) 650; c) 506;

e) 546.

06. A figura abaixo é um retângulo de lados 10cm e 8cm.

VESTIBULAR 2000

PROVA DE MATEMÁTICA

01. Uma certa quantia será repartida entre Júnior, Daniela e Eduarda. Sabendo-se que Júnior e Daniela receberão juntos R$

5.000,00, Júnior e Eduarda dividirão R$ 4.500,00 e Daniela e Eduarda juntas receberão R$ 3.500,00, podemos afirmar que

Eduarda receberá: a) R$ 3.000,00; b) R$ 2.000,00; c) R$ 1.500,00; d) R$ 2.500,00; e) R$ 3.500,00.

02. Uma função é linear se quaisquer que sejam x, y em R e a uma constante real.

Considerem-se as funções indicadas a seguir, com domínio, o conjunto dos números reais R.

Podemos afirmar que é linear:

03. Seja f (x) = .

Um quociente das soluções da equação f (x) = 12 x pode ser: