Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz

(1)

Matemática Básica

Graciela Moro e Ligia Liani Barz

(2)

1 Números 1 1.1 Conjuntos numéri os . . . 1 1.1.1 Naturais . . . 1 1.1.2 Inteiros . . . 1 1.1.3 Ra ionais . . . 1 1.1.4 Irra ionais . . . 2 1.1.5 Reais . . . 2 1.2 Intervalos . . . 3

1.3 Operações om onjuntos. . . 3

1.4 Exer í ios resolvidos . . . 4

1.5 Exer í ios propostos . . . 6

1.6 Algumas desigualdadesimportantes . . . 7

2 Expressões algébri as 10 2.1 Expressões queenvolvem expoentes eradi ais . . . 10

2.2 Exer í ios resolvidos . . . 11 2.3 Fatoração . . . 12 2.3.1 Fator omum . . . 12 2.3.2 Agrupamento . . . 12 2.4 Exer í ios resolvidos . . . 12 2.5 Produtos Notáveis . . . 13 2.6 Exer í ios resolvidos . . . 13

2.7 Operações om frações . . . 14

2.8 Exer í ios resolvidos . . . 14 2.9 Té ni as de ra ionalização . . . 15 2.10 Exer í ios resolvidos . . . 15 2.11 Polinmios. . . 15 2.11.1 O algorítmodadivisão . . . 16 2.12 Exer í ios propostos . . . 17

(3)

Graciela e Ligia

3 Introdução às funções 18

3.1 Denição de função . . . 18

3.2 Representação grá a . . . 20

3.3 Domínioe imagemde uma função: . . . 20

3.4 Operações om funções . . . 22

4 Funções espe iais 27 4.1 Função onstante . . . 27

4.2 Função doprimeiro grau . . . 27

4.2.1 Grá o . . . 28 4.3 Exer í ios propostos . . . 29 5 Função quadráti a 31 5.1 Denição . . . 31 5.1.1 Grá o . . . 31 5.2 Exer í ios resolvidos . . . 36 5.3 Exer í ios propostos . . . 40 5.4 Inequações . . . 42 5.4.1 Exer í ios resolvidos . . . 42 5.5 Exer í ios propostos . . . 44 6 Função modular 45 6.1 Módulo ouvalorabsoluto . . . 45

6.2 Função modular . . . 48

6.3 Equações modulares . . . 53

6.4 Inequações modulares. . . 55

7 Propriedades das Funções 60 7.1 Funçõespares e ímpares . . . 60

7.2 Funçõesinjetoras e funçõessobrejetoras . . . 61

7.3 Funçõesinversas . . . 64

8 Função exponen ial 70 8.1 Denição . . . 70

8.2 Grá o dafunção exponen ial . . . 71

8.3 Equações exponen iais . . . 73

8.3.1 Método daredução a uma base omum . . . 73

8.5 Inequações exponen iais . . . 76

8.5.1 Método daredução a uma base omum . . . 76

(4)

Graciela e Ligia

9 Função logarítmi a 79

9.1 Logarítmos . . . 79

9.1.1 Logarítmos omalgumas bases espe iais . . . 80

9.2 Exer í ios resolvidos . . . 81 9.3 Exer í ios propostos . . . 82 9.4 Função logarítmi a . . . 82 9.5 Exer í ios propostos . . . 86 10 Funções trigonométri as 87 10.1 Ângulos e ar os . . . 87

10.1.1 Unidade de medidade ângulo . . . 87

10.1.2 Área dosetor ir ular. . . 88

10.2 O ír ulotrigonométri o . . . 89

10.2.1 Seno e osseno. . . 89

10.2.2 Tangente. . . 91

10.2.3 Cotangente . . . 92

10.2.4 Se antee osse ante . . . 92

10.2.5 Outras relaçõestrigonométri asimportantes . . . 93

10.3 Funçõestrigonométri as . . . 95 10.3.1 Função seno . . . 95 10.3.2 Função osseno . . . 97 10.3.3 Função tangente . . . 98 10.3.4 Função otangente . . . 99 10.3.5 Função se ante . . . 101 10.3.6 Função osse ante. . . 101

10.4 Funçõestrigonométri asinversas . . . 102

10.4.1 Função ar o seno . . . 102

10.4.2 Função ar o osseno . . . 103

10.4.3 Função ar o tangente . . . 103

10.4.4 Função ar o otangente. . . 104

10.4.5 Função ar o se ante. . . 104

10.4.6 Função ar o osse ante . . . 105

11 Funções hiperbóli as 108 11.1 Funçõesseno hiperbóli o e ossenohiperbóli o . . . 108

11.1.1 Porque o nome"FunçõesHiperbóli as"? . . . 109

11.2 Funçõestangente, otangente, se ante e osse antehiperbóli as . . . 111

11.3 Funçõeshiperbóli as inversas . . . 111

Respostas dos exer í ios propostos 115

(5)

1

Números

O objetivo deste apítulo é forne er a base matemáti a ne essária para a boa ompreensãode funções. Faremos um estudodos númerosreais e de operações envolvendo desigualdades.

1.1 Conjuntos numéri os

1.1.1 Naturais

Denimoso onjuntodos númerosnaturais por

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

. Convém desta ar um sub onjunto

N

∗

_{= N}

_{− {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}}

.

1.1.2 Inteiros

Denimoso onjuntodosnúmerosinteirospor

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

. No onjunto dos números inteiros desta amos osseguintes sub onjuntos:

Z

∗

_{= Z}

_{− {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}}

Z

+

=

{0, 1, 2, 3, 4, ...}

(inteiros não negativos)

Z

₋

=

{..., −4, −3, −2, −1, 0}

(inteiros não positivos)

Z

∗

+

=

{1, 2, 3, 4, ...}

(inteirospositivos)

Z

∗

−

=

{..., −4, −3, −2, −1}

(inteiros negativos)

1.1.3 Ra ionais

O onjuntodosnúmerosra ionais ontém todososnúmerosdaforma

p

q

onde

p

∈ Z

e

q

∈ Z

∗

. Denotamos:

Q =

x/x =

p

q

, p

∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0

1

(6)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 1. NÚMEROS Obs.: Um número ra ionalpode apare er na formade dízimaperiódi a, isto é, um número de imal, om a parte de imal formada por innitos algarismos que se repetem periodi amente, omo por exemplo:

4, 5555...

(período

5

),

10, 878787...

(período

87

) e

9, 8545454...

(período

54

, parte não periódi a

8

).

No onjunto dos números ra ionaisdesta amos os seguintes sub onjuntos:

Q

+

=

{x ∈ Q/x ≥ 0}

(ra ionaisnão negativos)

Q

₋

=

{x ∈ Q/x ≤ 0}

(ra ionaisnão positivos)

Q

∗

_{= Q}

_{− {0}}

(ra ionais não nulos)

1.1.4 Irra ionais

Neste onjunto temos números de imais não exatos e não periódi os, bem omo todaraiz não exata, ouseja, todo número que não pode ser expresso omo o quo ientede dois números inteiros. Denotamos o onjunto dos irra ionaispor

I

. Exemplos: 1)

√

2 = 1, 41421...

2)

√

3 = 1, 73205...

3)

π = 3, 14159...

1.1.5 Reais

Denimoso onjuntodos númerosreais omoa uniãoentre os onjuntosdos númerosra ionais eirra ionais:

Q ∪ I

.

Diante doexposto a ima, on luímos que:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R

e

Q ∩ I = ∅

I

Q

Z

N

R

Figura1.1: Representação emdiagramados númerosreais.

No onjunto dos números reais desta amos osseguintes sub onjuntos:

(7)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 1. NÚMEROS

R

∗

+

=

{x ∈ R/x > 0}

(reais positivos)

R

∗

−

=

{x ∈ R/x < 0}

(reais negativos) 1.2 Intervalos

Intervalossão sub onjuntos dos números reais. Sejam

a

e

b

números reais om

a < b

.

Notação de intervalo Tipode intervalo Notaçãode onjunto Representação grá a

(a, b)

aberto

{x ∈ R/a < x < b}

a

b

c

b

c

[a, b]

fe hado

{x ∈ R/a ≤ x ≤ b}

b

a

b

[a, b)

fe hado à esquerda e aberto àdireita

{x ∈ R/a ≤ x < b}

a

b

c

(a, b]

aberto àesquerdae fe hado à direita

{x ∈ R/a < x ≤ b}

b

a

b

c

Intervalos innitos:

(a, +

∞)

aberto

{x ∈ R/x > a}

a

b

c

[a, +

_∞)

fe hado

{x ∈ R/x ≥ a}

a

b

(

_{−∞, b)}

aberto

{x ∈ R/x < b}

b

c

(

−∞, b]

fe hado

{x ∈ R/x ≤ b}

b

1.3 Operações om onjuntos

Interseção: Dadosdois onjuntos

A

e

B

,dene-seainterseçãode

A

om

B

(

A

∩B

), omoo onjuntode todos oselementos

x

queperten emsimultaneamentea

A

e

B

, ou seja,

A

∩ B = {x/x ∈ A

e

x

∈ B}

U

A

B

A∩B

Figura1.2: Interseção dos onjuntos

A

e

B

.

(8)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 1. NÚMEROS União: Dados dois onjuntos

A

e

B

,dene-se aunião de

A

om

B

(

A

∪ B

), omo

o onjuntode todos os elementos

x

que perten em a

A

ou

B

, ouseja,

A

∪ B = {x/x ∈ A

ou

x

∈ B}

U

A

B

A

∪ B

Figura1.3: Uniãodos onjuntos

A

e

B

.

Diferença: Adiferençaentreos onjuntos

A

e

B

éo onjuntodetodososelementos queperten em ao onjunto

A

e não perten em ao onjunto

B

, ouseja,

A

− B = {x/x ∈ A

e

x /

∈ B}

U

A

_B

A−B

B−A

Figura 1.4: Diferença entre os onjuntos

A

e

B

.

Denição de omplementar de um onjunto: Dadosdois onjuntos

A

e

U

,tais que

A

⊂ U

(

U

é o onjunto universo), hama-se omplementar de

A

ao on-juntoformado pelos elementos de

U

que não estão em

A

, ou seja,

U

− A

. Notação:

A

c

ou

A

¯

.

U

A

Figura1.5: O omplementar de

A

em

U (A

c

_{= U}

_{− A)}

. 1.4 Exer í ios resolvidos

(9)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 1. NÚMEROS a)

(2, 5]

∪ (−1, 1]

Solução:

b

c

2

5 (2, 5]

b

c

-1

1 (

_{−1, 1]}

(2, 5]

∪ (−1, 1]

-1

b

c

1 b

2 b

c

5 b

Portanto,

(2, 5]

∪ (−1, 1] = {x ∈ R/ − 1 < x ≤ 1

ou

2 < x

≤ 5}

b)

[

−2, 3] ∩ [

1

2 , 4]

Solução:

b

-2

3 [

−2, 3]

b

4 1/2

[

1 ₂

, 4]

[

−2, 3] ∩ [

1

2 , 4]

b

3 b

1/2

b

Portanto,

[

−2, 3] ∩ [

1

2 , 4] = [

1

2 , 3] =

{x ∈ R/

1

2 ≤ x ≤ 3}

)

([0, 1)

∪ [1, 2) ∪ (2, 3]) − ((−2, 1] ∩ (0, 1])

Solução:

1 (

_{−2, 1]}

B = (

_{−2, 1] ∩ (0, 1]}

1 b

1

0 (0, 1]

b

c

b

0 -2

_b

_c

_b

b

c

A

_{− B}

1 b

c

2 b

c

3 b

b

0

1 [0, 1)

b

2

1 [1, 2)

A = [0, 1)

_{∪ [1, 2] ∪ (2, 3]}

b

3 b

3

2 (2, 3]

b

c

b

c

b

c

0

2 _b

_c

Portanto,

A

− B = (1, 3] − {2} = {x ∈ R/1 < x ≤ 3

e

x

6= 2}

2) Dados os intervalos

A = (

−1, 3)

,

B = [1, 4]

,

C = [2, 3)

,

D = (1, 2]

e

E = (0, 2]

, determine: a)

(A

∩ B ∩ E) ∩ (C ∪ D)

Solução:

MATEMÁTICA BÁSICA

5

(10)

Graciela e Ligia

E

C

_{∪ D}

A

_{∩ B ∩ E}

(A

_{∩ B ∩ E) ∩ (C ∪ D)}

A

B

D

C

b

c

b

c

-1

3 b

b

c

b

c

b

c

b

c

b

c

b

c

b

1

4

2

3

1

2

1

3

1

2

0

Portanto,

(A

∩ B ∩ E) ∩ (C ∩ D) = (1, 2] = {x ∈ R/1 < x ≤ 2}

b)

[(A

∪ B) − (C ∩ D)] − E

Solução:

A

_{∪ B}

C

_{∩ D}

[(A

_{∪ B) − (C ∩ D)] − E}

[(A

_{∪ B) − (C ∩ D)]}

b

c

-1

4 b

b

c

b

c

b

c

b

c

2 -1

2

0 b

b

-1

4

Portanto,

[(A

∪ B) − (C ∩ D)] − E = (−1, 0] ∪ (2, 4] = {x ∈ R/ − 1 <

x

≤ 0

ou

2 < x

≤ 4}

1.5 Exer í ios propostos 1) Seja

P =

{x ∈ R/1 ≤ x < 9}

,

Q =

{x ∈ R/2 < x < 7}

e

R =

{x ∈ R/1 ≤ x ≤

8 }

. Determineo onjunto

R

− (P − Q)

. 2)Dadosos onjuntos

A =

{x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 2}

,

B =

{x ∈ R/x < 0}

,

C = [0, 1)

,

D =

{x ∈ R/x

2 _{+ 1}

_{≤ 0}}

,

E = [

−1, 3)

, determine: a)

[(B

∩ D) ∪ C] − E

b)

(A

− C) ∩ ¯

B

∩ E

3) Considere os onjuntos

A =

{x ∈ R/0 ≤ x < 1}

,

B =

{x ∈ R/x ≤ 2

ou

x > 3

}

,

C = [1, 2)

,

D =

{x ∈ R/ − 2 < x ≤ 1}

,

E = (0, 1]

,determine: a)

A

∪ ¯

B

∪ C

− (D ∩ E)

b)

(B

− A) ∩ D

(11)

Graciela e Ligia

1.6 Algumas desigualdades importantes

Sejam

a

e

b

∈ R

. 1. Se

a < b

e

c

∈ R

, então

a + c < b + c

. 2. Se

a > b

e

c

∈ R

, então

a + c > b + c

. Exemplos: (i)

−2 < 3

e

c =

−2 =⇒ −2 + (−2) < 3 + (−2)

, ou seja,

−4 < 1

. (ii)

−2 > −3

e

c = 2 =

⇒ −2 + (2) > −3 + (2)

, ou seja,

0 >

−1

. 3. Se

a < b

e

c

∈ R

∗

+

,então

a c < b c

. 4. Se

a > b

e

c

∈ R

∗

+

,então

a c > b c

. Exemplos: (i)

−2 < 3

e

c = 2 =

⇒ −2 (2) < 3 (2)

, ouseja,

−4 < 6

. (ii)

−2 > −3

e

c = 2 =

⇒ −2 (2) > −3 (2)

, ouseja,

−4 > −6

. 5. Se

a < b

e

c

∈ R

∗

−

,então

a c > b c

.

inverte o sinal

6. Se

a > b

e

c

∈ R

∗

−

,então

a c < b c

.

inverte o sinal

Exemplos: (i)

−2 < 3

e

c =

−2 =⇒ −2 (−2) > 3 (−2)

, ouseja,

4 >

−6

. (ii)

−2 > −3

e

c =

−2 =⇒ −2 (−2) < −3 (−2)

, ouseja,

4 < 6

. 7. Se

a < b

, om ambos positivos (ou negativos), então

1 a

>

1 b

Exemplos: (i)

−3 < −2 =⇒ −

1

3 >

−

1

2

. (ii)

3 > 2 =

⇒

1

3 <

1

2

. (iii)Atenção!

−3 < 2 =⇒ −

1

3 <

1

2

.

preserva o sinal

MATEMÁTICA BÁSICA

7

(12)

Graciela e Ligia

1.7 Exer í ios resolvidos

Resolva asinequaçõesabaixo usando aspropriedades a ima,se ne essário:

1)

−3x + 1 > 2x − 5

Solução:

−3x − 2x + 1 − 1 > 2x − 2x − 5 − 1

−5x > −6

−5x(−

1

5 ) >

−6(−

1

5 )

x <

6 ₅

Portanto,

S =

{x ∈ R/x <

6

5 }

. 2)

−2 < 2x + 3 ≤ 4

Solução:

−2 − 3 < 2x + 3 − 3 ≤ 4 − 3

−5 < 2x ≤ 1

−5 ·

1

2 < 2x

·

1

2 ≤ 1 ·

1

2 −

5

2 < x

≤

1

2

Portanto,

S =

{x ∈ R/ −

5

2 < x

≤

1

2 }

. 3)

−3 ≤ 3x − 2 ≤ x

Solução:

Temos queresolver duas inequações:

i)

−3 ≤ 3x − 2

−1 ≤ 3x

−

1

3 ≤ x

, ouseja,

x

≥ −

1

3

ii)

3x

− 2 ≤ x

2x

≤ 2

x

≤ 1

Ainterseção desses dois onjuntos é

S =

{x ∈ R/ −

1

3 ≤ x ≤ 1}

. 4)

−4

x

> 0

Solução:

Como

−4 < 0

, então para obtermos um quo ientepositivobasta que

x < 0

. Portanto,

S =

{x ∈ R/x < 0}

. 5)

3x−1

4x−5

≤

1

2

Solução: Condição de existên ia:

x

6=

5

4

.

Vamos multipli ar ambos os membros da desigualdade por

4x

− 5

. Devemos então, onsiderar dois asos:

(13)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 1. NÚMEROS Caso 1: Se

4x

− 5 > 0

ou

x >

5

4 .

3x−1

4x−5

· (4x − 5) ≤

1

2 · (4x − 5)

3x

− 1 ≤ 2x −

5

2 x

_{≤ −}

3

2

Portanto

{x ∈ R/x >

5

4 } ∩ {x ∈ R/x ≤ −

3

2 } = ∅

( onjunto vazio) é a solução do aso 1. Caso 2: Se

4x

− 5 < 0

ou

x <

5

4 .

3x−1

4x−5

· (4x − 5) ≥

1

2 · (4x − 5)

3x

_{− 1 ≥ 2x −}

5 ₂

x

≥ −

3

2

Portanto

{x ∈ R/x <

5

4 } ∩ {x ∈ R/x ≥ −

3

2 } = [−

3

2 ,

5

4 )

é a solução do aso 2.

Asolução nal é aunião de

∅

e

[

−

3

2 ,

5

4 )

, ouseja,

[

−

3

2 ,

5

4 )

. Vamos apresentar um métodoalternativode resolução:

3x

_{− 1}

4x

− 5

−

1

2 ≤ 0

2x + 3

8x

− 10

≤ 0

Para obtermos um quo iente negativo,temos dois asos a onsiderar:

Caso 1:

2x + 3

≤ 0

e

8x

− 10 > 0

x

_{≤ −}

3 ₂

e

x >

5

4

Portanto

{x ∈ R/x >

5

4 } ∩ {x ∈ R/x ≤ −

3

2 } = ∅

é a soluçãodo aso 1. Caso 2:

2x + 3

≥ 0

e

8x

− 10 < 0

x

_{≥ −}

3

2

e

x <

5

4

Portanto

{x ∈ R/x <

5

4 } ∩ {x ∈ R/x ≥ −

3

2 } = [−

3

2 ,

5

4 )

é a solução do aso 2.

Asolução nal é aunião de

∅

e

[

−

3

2 ,

5

4 )

, ouseja,

[

−

3

2 ,

5

4 )

. 1.8 Exer í ios propostos

Resolva asinequaçõesabaixo:

1)

2 − x < 3x + 2 < 4x + 1

2)

2x−3

x−1

≥ 0

3)

2x−5

1−x

≤ −2

4)

0 <

x−1

2x−1

≤ 2

MATEMÁTICA BÁSICA

9

(14)

2

Expressões algébri as

Asexpressõesalgébri assão expressõesmatemáti asqueapresentamletras e podem onter números. Sãotambémdenominadasexpressõesliterais. As letrasnas expressõessão hamadasvariáveis, oquesigni aqueovalorde adaletra pode ser substituído porum valornuméri o.

Para resolverousimpli arumaexpressãoalgébri adevemosutilizaras pro-priedades dapoten iação, radi iação, fatoraçãoe produtos notáveis.

2.1 Expressões que envolvem expoentes e radi ais

Propriedades da poten iação: Sejam

x

∈ R

,

y

∈ R

,

m

∈ Z

e

n

∈ Z

. Propriedade Exemplo 1.

x

m

_x

n

_{= x}

m+n

₅

3 _{· 5}

4 _{= 5}

3+4

_{= 5}

7

2.

x

m

x

n

= x

m−n

x

9 x

4 = x

9−4

= x

5

3.

x

0 _{= 1}

₃

0 _{= 1}

4.

x

−n

₌

1 x

n

2 −3

=

₂

1

3 =

1 ₈

5.

(xy)

m

= x

m

_y

m

_(2v)

5 _{= 2}

5 _v

5 _{= 32v}

5

6.

(x

n

₎

m

= x

m·n

_(x

2 ₎

4 _{= x}

2·4

_{= x}

8

7.

x

y

m

=

x

m

y

m

a

_b

4 =

a

4 b

4

8.

x

m

_{= x}

_{· x · x · ... · x}

|

{z

}

m

fatores Propriedades da radi iação: Sejam

x

∈ R

+

,

y

∈ R

+

,

m

∈ Z

e

n

∈ N

∗

.

(15)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Propriedade Exemplo 1.

x

1 n

=

√

n

x

√

3 x = x

1

3

2.

x

m

n

= (x

m

)

1 n

₌

√

n

_x

m

_x

2 ₃

₌

√

3 _x

2

3.

x

−

m

n

=

1 x

m

n

=

1 n

√

x

m

x

−

2

3 =

_√

₃

1 x

2

4.

n

√

_x

_{· y =}

√

n

_x

_·

√

n

y

√

4

2 · 3 =

√

4

2

· √

4

3

5.

n

q

_x

y

=

n

√

x

n

√

_y

,

y

6= 0

4 q

2

3 =

4 √

2

4 √

3

6.

(

n

√

x)

m

=

√

n

x

m

, para

x

6= 0

ou

m

6= 0

3 √

4

2 =

√

3

4

2

7.

m

p

√

_n

x =

mn

√

_x

p√

3 _{5 =}

3·2

√

_{5 =}

√

6

5

2.2 Exer í ios resolvidos Simpliqueasexpressões: 1)

2x

2 _x

3

Solução:

2x

2 _x

3 _{= 2x}

2+3

_{= 2x}

5

2)

(3x)

2 √

3 _x

Solução:

(3x)

2 √

3 _{x = 9x}

2 _{· x}

1 ₃

_{= 9x}

2+

1

3 = 9x

7

3

3)

3x

2 x

1

2

3

Solução:

3x

2 x

1

2

3 =

3x

2 x

3/2

= 3x

2−

3

2 = 3x

1/2

4)

(a

−2

_b

3 ₎

−2

_{· (a}

3 _b

−2

₎

3

Solução:

(a

−2

_b

3 ₎

−2

_{· (a}

3 _b

−2

₎

3 _{= a}

4 _b

−6

_a

9 _b

−6

_{= a}

4+9

_b

−6−6

_{= a}

13 _b

−12

5)

a

3 _b

−4

a

−2

_b

2

3

Solução:

a

3 _b

−4

a

−2

_b

2

3 = a

3−(−2)

_{· b}

−4−2

3 _{= (a}

5 _b

−6

₎

3 _{= a}

15 _b

−18

6)

5 p

32x

5 _y

10

Solução:

5 p

32x

5 _y

10 _{= (32x}

5 _y

10 ₎

1

5 _{= (2}

5 ₎

1 ₅

_(x

5 ₎

1 ₅

_(y

10 ₎

1 ₅

_{= 2xy}

2

7)

s

8x

2 y

4 _z

6

Solução:

s

8x

2 y

4 _z

6 =

s

2 2x

y

2 _z

3

2 =

√

2 2x

y

2 _z

3 MATEMÁTICA BÁSICA

11

(16)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 8)

a

2n+3

a

n−1

a

2(n−1)

Solução:

a

2n+3

_a

n−1

a

2(n−1)

=

a

2n+3+n−1

a

2n−2

=

a

3n+2

a

2n−2

= a

(3n+2)−(2n−2)

= a

n+4

2.3 Fatoração

Dadauma expressãoalgébri aqualquer, podemos transformá-la,sepossível, no produto de duas ou mais expressões algébri as. A este pro edimento damos o nomede fatoração.

2.3.1 Fator omum

Aexpressão

ax + bx

tem omofator omum o

x

,neste asopodemos olo ar o

x

emevidên ia eobter

ax + bx = x(a + b).

2.3.2 Agrupamento

Podemos utilizar afatoração diversas vezes na mesmaexpressão.

ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

Simplique ada expressãoutilizandoa fatoração.

1)

2x

1

2 + 4x

5

2

Solução:

2x

1

2 + 4x

5

2 = 2

1

2 (1 + 2x

2 )

2)

6xy

5 _{+ 12x}

2 _y

2

Solução:

6xy

5 _{+ 12x}

2 _y

2 _{= 6xy}

2 _(y

3 _{+ 2x)}

3)

√

x + x

3

2 x

Solução:

√

x + x

3

2 x

=

x

1

2 + x

3

2 x

=

x

1

2 (1 + x)

x

=

1 + x

√

x

4)

x

3 _{+ x}

2 _{+ x + 1}

Solução:

x

3 _{+ x}

2 _{+ x + 1 = x}

2 _{(x + 1) + (x + 1) = (x}

2 _{+ 1)(x + 1)}

5)

6xy

_{− 3x}

2 4y

2 _{− 2xy}

Solução:

6xy

_{− 3x}

2 4y

2 _{− 2xy}

=

3x(2y

_{− x)}

2y(2y

− x)

=

3x

2y

(17)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

2.5 Produtos Notáveis

Os produtos notáveis são aqueles produtos entre expressões algébri as que são frequentemente usados paraevitar amultipli açãotermo atermo.

1) Soma peladiferença:

(a + b)(a

− b) = a

2 _{− b}

2

2) Quadrado dasoma:

(a + b)

2 _{= a}

2 _{+ 2ab + b}

2

3) Quadrado dadiferença:

(a

− b)

2 _{= a}

2 _{− 2ab + b}

2

Osprodutos a imasão fa ilmenteobtidos usandoapropriedade distributiva damultipli ação emrelaçãoà adição eà subtração. Vejamos:

i)

(a + b)(a

_{− b) = a}

2 _{− ab + ba − b}

2 _{= a}

2 _{− b}

2 ii)

(a + b)

2 _{= (a + b)(a + b) = a}

2 _{+ ab + ba + b}

2 _{= a}

2 _{+ 2ab + b}

2 iii)

(a

_{− b)}

2 _{= (a}

_{− b)(a − b) = a}

2 _{− ab − ba + b}

2 _{= a}

2 _{− 2ab + b}

2

Da mesmaforma,podemos obter osresultados abaixo:

(a + b)

3 _{= (a + b)(a + b)}

2 _{= a}

3 _{+ 3a}

2 _{b + 3ab}

2 _{+ b}

3 (a

_{− b)}

3 _{= (a}

_{− b)(a − b)}

2 _{= a}

3 _{− 3a}

2 _{b + 3ab}

2 _{− b}

3 (a + b)

4 _{= (a + b)}

2 _{(a + b)}

2 _{= a}

4 _{+ 4a}

3 _{b + 6a}

2 _b

2 _{+ 4ab}

3 _{+ b}

4

Generalizando, obtém-se o binmiode Newton:

(a + b)

n

= a

n

+ na

n−1

b +

n(n

− 1)

2!

a

n−2

_b

2 ₊

n(n

− 1)(n − 2)

3!

a

n−3

_b

3 _{+ ... + nab}

n−1

_{+ b}

n

_.

1. Rees reva usando produtos notáveis:

a)

(xy

− 3z)(xy + 3z)

Solução:

(xy

− 3z)(xy + 3z) = (xy)

2 _{− (3z)}

2 _{= x}

2 _y

2 _{− 9z}

2

b)

(2x

− 5)

2

Solução:

(2x

− 5)

2 _{= (2x)}

2 _{+ 2(2x)(}

_{−5) + (−5)}

2 _{= 4x}

2 _{− 20x + 25}

MATEMÁTICA BÁSICA

13

(18)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS )

2x

3 − 4y

2

3

Solução:

2x

3 − 4y

2

3 ₌

2x

3

3 + 3

2x

3

2 (

_−4y

2 _{) + 3}

2x

3 (

_−4y

2 ₎

2 _{+ (}

_−4y

2 ₎

3 ₌

8

3 x

3 ₋

16

3 x

2 y

2 + 32xy

4 − 64y

6

2. Simpliqueasexpressão algébri a:

ax

2 _{− ay}

2 x

2 _{− 2xy + y}

2

. Solução:

ax

2 _{− ay}

2 x

2 _{− 2xy + y}

2 =

a(x

2 _{− y}

2 ₎

(x

_{− y)}

2 =

a(x

_{− y)(x + y)}

(x

_{− y)(x + y)}

=

a(x + y)

x

_{− y}

2.7 Operações om frações

1. Somade frações:

a

b

+

c

d

=

ad + bc

bd

, b

6= 0, d 6= 0

2. Subtraçãode frações:

a

b

−

c

d

=

ad

_{− bc}

bd

, b

6= 0, d 6= 0

3. Multipli açãode frações:

a

b

· c

d

=

ac

bd

, b

6= 0, d 6= 0

4. Divisãode frações:

a

b

c

d

=

a

b

· d

c

=

ad

bc

, b

6= 0, c 6= 0, d 6= 0

Observação: Para resolver, por exemplo,a soma

1

2 +

4

3

não é ne essário en ontrar um mínimomúltiplo omum (m.m. )para os denominadores. É su iente multipli- arnumerador edenominadorporum valoradequadode formaqueos denominado-resdasduasfraçõessejamiguais, omonoexemplo

1

2 +

4

3 =

1

2

3

3 +

4

3

2

2 =

3

6 +

8

6 =

11

6

. 2.8 Exer í ios resolvidos

Efetue asoperações indi adas esimplique:

1)

x

2 ₋₄

+

_x+2

3

Solução:

x

2 ₋₄

+

_x+2

3 =

_(x−2)(x+2)

x

+

_x+2

3 =

_(x−2)(x+2)

x

+

_(x−2)(x+2)

3(x−2)

=

x+3x−6

_x

2 ₋₄

=

4x−6

_x

2 ₋₄

2)

a

2 +2ab+b

2 a

2 _−b

2 ÷

a−b

_a+b

Solução:

a

2 _+2ab+b

2 a

2 _−b

2 ÷

a−b

_a+b

=

(a+b)

2 (a+b)(a−b)

· a+b

a−b

=

(a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)(a−b)(a−b)

=

a+b

a−b

2

3)

√

x+1−

₂

√

x

x+1

Solução:

√

x+1−

x

2 √

x+1

=

√

x+1·

2 ₂

√

x+1

_x+1

+

₂

√

x

_x+1

x+1

=

2(x+1)+x

2 √

x+1

=

3x+2

2 √

x+1

=

3x+2

2 √

x+1

·

1 x+1

=

3x+2

2(x+1)

3/2

(19)

Graciela e Ligia

2.9 Té ni as de ra ionalização

Aotrabalhar omquo ientes queenvolvemradi ais, ostumaser onveniente mover a expressão radi al do denominador para o numerador e vi e-versa. Por exemplo,

Radi al nodenominador Ra ionalização Radi al nonumerador

1 √

2 =

⇒

1 √

2 √

2 !

=

⇒

√

2

Esse pro esso é hamadode ra ionalização do denominador.

1. Se o denominadoré

√

a

,multipli a-sepor

√

_a

√

a

.

√

a

₋

√

b

, multipli a-sepor

√

_a+

√

b

√

a+

√

b

.

√

a +

√

b

,multipli a-sepor

√

a−

√

b

√

a−

√

b

.

As mesmasinstruções apli am-se àra ionalizaçãodos numeradores.

Ra ionalize odenominadorou onumerador.

1)

√

x+1

2

Solução:

√

x+1

2 =

√

x+1

2 √

x+1

√

x+1

=

₂

√

x+1

2)

1

3 √

2−

√

3

Solução:

1

3 √

2−

√

3 =

1

3 √

2−

√

3

3 √

2+

√

3

3 √

2+

√

3 =

3 √

2+

√

3 18−3

=

3 √

2+

√

3

15

3)

10 √

_x+

√

x−2

Solução:

10 √

x+

√

x−2

=

10 √

x+

√

x−2

√

x−

√

x−2

√

x−

√

x−2

=

10(

√

_x−(x−2)

x−

√

x−2)

= 5(

√

x

₋

√

x

_{− 2)}

2.11 Polinmios

Umpolinmioéuma expressão algébri ada forma

p(x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+

· · · + a

1 x + a

0

onde

a

n

,

a

n−1

,

. . .

,

a

1

,

a

0

são números reais, hamadosde oe ientes dopolinmio de grau

n

.

(20)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Exemplos:

1.

p(x) = 2

é um polinmio de grau zero 2.

p(x) =

−2x +

1

2

éum polinmiode grau um

3.

p(x) = 5x

2 _{+ 2x}

_{− 1}

é um polinmio de grau dois

4.

p(x) =

−x

3 ₊

3

2 x + 2

é um polinmio de grau três

2.11.1 O algorítmo da divisão

A divisão de polinmios é semelhante à divisão de números naturais. Ao dividirmos, por exemplo, o número

4123

por

2

obtemos

206

e resto

3

. Es reve-se

4123 = 2

× 206 + 3

.

Com polinmios reais a regra da divisão é a mesma. Dadosdois polinmios

p(x)

e

q(x)

om oe ientes reais,

q(x)

6= 0

, então existem polinmios

m(x)

e

r(x)

taisque

p(x) = q(x)

× m(x) + r(x)

. Então, podemos es rever,

p(x)

q(x)

= m(x) +

r(x)

m(x)

. Representa-se omo

p(x) q(x)

r(x) m(x)

Exemplos: Simplique asexpressões dadas.

1)

4x 4+2x 3−3x+1

x

2 ₋₂

Solução:

4x

4 _{+ 2x}

3 _{+ 0x}

2 _{− 3x + 1}

_x

2 _{− 2}

−4x

4 _{+ 0x}

3 _{+ 8x}

2 0 + 2x

3 _{+ 8x}

2 _{− 3x}

−2x

3 _{+ 0x}

2 _{+ 4x}

0 + 8x

2 _{+ x + 1}

−8x

2 _{+ 0x + 16}

0 + x + 17

4x

2 _{+ 2x + 8}

Portanto,

4x 4+2x 3−3x+1

x

2 ₋₂

= 4x

2 + 2x + 8 +

x+17

_x

2 ₋₂

. 2)

x

3 _−7x+6

x+3

Solução:

x

3 _{+ 0x}

2 _{− 7x + 6}

_{x + 3}

−x

3 _{− 3x}

2

0 _{− 3x}

2 _{− 7x}

3x

2 _{+ 9x}

0 + 2x + 6

−2x − 6

0 x

2 _{− 3x + 2}

Portanto,

x

3 _−7x+6

x+3

= x

2 − 3x + 2

.

(21)

Graciela e Ligia

2.12 Exer í ios propostos

1. Rees reva usando produtos notáveis: a)

(x

2 _{+ 4y)(x}

2 _{− 4y)}

b)

(2a + b)

3

)

x

4 ₊

1 x

2

4

d)

(x + 2)(x

− 7) + (x − 5)(x + 3)

e)

(a

− b)(a + b)(a

2 _{+ b}

2 ₎

f)

1

2 + x

2

3 ₋

√

3

2 x

−

1

2

2. Simpliqueasexpressões algébri as:

a)

a

n+4

_−a

3 _a

n

a

4 _a

n

b)

2 n+4

_−2·2

n

2·2

n+3

)

2x

2 _x

3

d)

abx

n

_{+ acx}

n+m

e)

3(x + 1)

1

2 (2x

− 3)

5

2

f)

(x

− 1)

−

1

2 (2x

− 3)

5

2

g)

x

2 _−x

x−1

h)

3x

2 _+x

4 2x

i)

x+2

x

2 _+4x+4

j)

a

2 ₋₉

a+3

k)

ax+ay

x

2 _+2xy+y

2

l)

(x+1)(x−1)

2 _−(x−1)

3 (x+1)

2

m)

xy

−2

_(x

−1

_y

2 ₎

4 _(xy

−1

₎

2 x

−2

_y(x

2 _y

−1

₎

3 _x

−1

_y

n)

2x

5 _−3x

4 _+5x

3 _{−6x 2+2x+12}

2x

2 _−3x+1

o)

−2x

3 _+13x

2 _−3x+5

−x

2 _+7x−5

p)

3x

3 _+3x

2 _+x−2

3x

2 ₋₂

3. Efetue asoperações indi adas esimplique: a)

x

2

3 + 2

1

3

· x

√

3 _x

₋

√

3 _2x

2 ₊

√

3

4

b)

2 x+1

−

1 2x+1

)

x

4 _−a

4 x−a

· x+a

x

2 _+a

2

d)

(a

2 _−b

2 ₎

2 _(a

2 _+b

2 ₎

2 _−(a

8 _+b

8 ₎

a

−

a

5 _b

2 a

b

e)

2y

y−2

−

2y

2 y

2 ₋₄

−

_y+2

4 ÷

8 y+2

f)

3

5 (x + 1)

5

3 +

3

4 (x + 1)

8

3

g)

y+z

(x−y)(x−z)

+

x+z

(y−x)(y−z)

+

x+y

(z−x)(z−y)

h)

1 x+

√

x

2 ₊₁

1 +

2x

2 √

x

2 ₊₁

4. Ra ionalizeo denominadorou onumerador, onforme o aso. a)

5 √

8

b)

6 5−3

√

2

)

√

x+1−1

x

d)

3 √

3−

√

2+1

5. Simplique: a)

q

2+

√

3 2−

√

3 +

q

2−

√

3 2+

√

3

b)

125

2

3 + 16

1

2 + 343

1

3

1

2

)

5 −

1 ₂

_·5

1 ₃

5

2

5 _·5

−

3

2

d)

4 √

375 ₋

√

3 24 +

√

3

81 ₋

√

3

192

6. Mostre quea expressão

x

x+√y

√

2x−y

+

x

x−

√

y

√

2x−y

é equivalentea

2 x

x−y

2

. 7. (UDESC-SC)Se

p = 2

3

2

,

q = (4

2 ₎

3

,

r = 8

2

3

e

s =

pq

r

1

3

, então sepode armar que: a)

0 < s <

1

4

b)

0 < s <

1

2

)

0 < s < 1

d)

1 < s < 2

e)

2 < s < 4

MATEMÁTICA BÁSICA

17

(22)

3

Introdução às funções

En ontramos o uso de função nas mais variadas situações de nosso dia a dia. Por exemplo, o preço a ser pago numa onta de água depende da quantidade de água onsumida, onforme a quantidade onsumida temos um preço denido. Ao abaste er o arro, o preço a ser pago depende da quantidade de ombustível abaste ida. Ao lermos uma revista ou jornal ou assitirmos um noti iário, muitas vezes nos deparamos om grá os que nada mais são do que a omparação entre duasgrandezas, sendoqueépossívelestabele er qualarelaçãoexistenteentre estas grandezas. Para resolverproblemasanálogosaosaquipropostos, pre isamossempre deduzirumaleioufórmulamatemáti aquedetermine,pre isamente,arelaçãoentre as variáveis envolvidas em ada aso. Essa lei ou fórmula é o que hamamos, em matemáti ade função.

3.1 Denição de função

Umafunção

f : A

→ B

é uma leide orrespondên ia entre dois onjuntos

A

e

B

tal quetodoelemento

x

∈ A

asso ia um úni o elemento

y

∈ B.

Notação:

f : A

→ B

y = f (x)

ou

f : A

→ B

x

_{→ f(x)}

. Exemplos:

1. Sejam

A =

{−1, 0, 1, 2}

e

B =

{−1, 1, 3, 5}

e

f : A

→ B

talque

f (x) = 2x + 1.

b

−1

0

1

2 −1

1

3

5 A

B

f

x

_{∈ A}

x

_{∈ B.}

(23)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀSFUNÇÕES 2. Sejam

A =

{−1, 0, 1, 2}

e

B =

{1, 0, 4, 5}

e

f : A

→ B

talque

f (x) = x

2 _.

b

−1

0

1

2

1

0

4

5 A

B

Também neste aso

f

é uma função pois para todo

x

∈ A

existe um úni o

x

∈ B,

embora

y = 1

estejaasso iadoadoisvaloresdistintosde

x

e

y = 5

nãoesteja asso iado a nenhum elemento

x

∈ A

.

Contra-exemplos:

1. Sejam

A =

{−1, 0, 1, 2, 3}

e

B =

{−1, 1, 3, 5}

e

f : A

→ B

talque

f (x) = 2x + 1.

b

−1

0

1

2 −1

1

3

5 A

B

b

3

Neste aso,

f

não é uma funçãopoisexiste um elemento

x

∈ A

que não está asso iado a nenhum elemento

y

∈ B.

2. Sejam

A =

{−1, 0, 1}

e

B =

{0, 1, 2, 3}

e

f : A

→ B

talque:

b

−1

0

1

0

1

2

3 A

B

b

Tambémneste aso

f

nãoéuma funçãopoisexiste

x

∈ A

queestá asso iado adois valores distintosde

B.

(24)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀS FUNÇÕES

3.2 Representação grá a

Podemos veri ar através da representação grá a se

f : A

→ B

dene ou não uma função. Considere osexemplos:

1. O grá o da Figura 3.1 não representa uma função, pois todo

x

∈ (−2, 2)

está asso iado a dois valores distintos de

y.

Note por exemplo que, para

x = 0

temos

y = 2

e

y =

−2.

x

y

2

2 −2

−2

Figura3.1

2. O grá o da Figura 3.2 também não representa uma função, pois todo

x

∈

(0, +

∞)

está asso iado a dois valores distintos de

y.

Note por exemplo que,

x = 1

está asso iado a

y = 1

e

y =

−1.

1 −1

1

2

3

4 −1

x

y

Figura3.2

3.3 Domínio e imagem de uma função:

Seja

f : A

→ B

uma função.

Domínio: Chamamos de domínio o onjunto de todos oselementos

x

∈ A

para os quaisexiste

y

∈ B

talque

(x, y)

∈ f.

Gra amente, o domínio é o onjunto formado por todas as abs issas dos pontosdo grá ode

f

.

Notação:

D(f )

Contradomínio: Chamamos de ontradomínio o onjunto de todos os elementos

(25)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀS FUNÇÕES Imagem: Chamamosde imagemo onjuntodetodososelementos

y

∈ B

queestão asso iados a

x

∈ A

talque

(x, y)

∈ f.

Gra amente, a imagem é o onjunto formado por todas as ordenadas dos pontosdo grá ode

f

. Notação: Im

(f )

b

A

B

f

Domínio

Contradomínio

Imagem

Observe que a imagemé um sub onjunto do ontradomínio, isto é,Im

(f )

⊂

B

.

Exemplo:

1) Identique o domínioe aimagem para ada uma das funçõesabaixo:

1

2

3

4 −1

1

2 −1

−2

−3

x

y

f

b b

1

2

3

4 −1

−2

1

2

3

4 −1

−2

−3

−4

x

y

f

b

c

1

2

3 −1

−2

1

2

3 −1

−2

−3

−4

x

y

g

b

c

b

c

b

1

2 −1

1

2

3

4 −1

−2

x

y

h

b

c

b

MATEMÁTICA BÁSICA

21

(26)

Graciela e Ligia

3.4 Operações om funções

Denição: Sejam

f

e

g

duas funções. Dene-se as operações de soma, sub-tração,produto equo iente, respe tivamente, por:

i)

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

ii)

(f

− g)(x) = f(x) − g(x)

iii)

(f g)(x) = f (x)g(x)

iv)

f

g

(x) =

f (x)

_g(x)

Odomíniodas funções

f + g

,

f

− g

,

f g

é a interseção dos domíniosde

f

e

g

. O domíniode

f /g

é a interseção dos domíniosde

f

e

g

, ex luindo os valores de

x

taisque

g(x) = 0

.

Exemplo

1) Determineo domíniodas funções abaixo: a)

f (x) =

3 √

x

2 _{− 1}

Solução:

Como uma raiz úbi a édenida paratodo

x

∈ R

então

D(f ) = R

. b)

g(x) =

x

_{− 3}

x

2 _{− 4x + 4}

Solução:

Neste aso,

g

está denida se

x

2 _{− 4x + 4 6= 0,}

ou seja, para

x

6= 2.

Portanto,

D(f ) = R

− {2}

. )

h(x) =

r

x + 3

1 − 2x

Solução: Neste aso,

r

x + 3

1 _{− 2x}

só tem sentido se

x + 3

1 _{− 2x}

≥ 0.

Para resolver esta inequação quo iente onsideremosos asos:

i)Se

1 − 2x > 0,

ouseja,

x <

1

2

então devemos ter

x + 3

≥ 0 ⇔ x ≥ −3

. Obtemos omo solução:

[

−3, +∞) ∩ −∞,

1

2 =

_−3,

1

2 .

ii)Se

1 − 2x < 0,

ouseja,

x >

1

2

então devemoster

x + 3

≤ 0 ⇔ x ≤ −3

. Obtemos:

(

−∞, −3] ∩

1

2 , +

∞

= ∅.

Portanto

D(f ) =

−3,

1

2 ∪ ∅ =

−3,

1

2

. d)

r(x) =

x

p

x

2 ₊

√

_x

2 _{+ 1}

Solução: Como

x

2 _{+ 1}

_{≥ 1}

então

x

2 ₊

√

_x

2 _{+ 1}

_{≥ 1}

,

∀x ∈ R

. Portanto,

D(f ) = R

.

(27)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀS FUNÇÕES e)

t(x) =

√

x

_{− 1 +}

√

x

− 4

Solução:

A função

t

está denida se

x

− 1 ≥ 0

e

x

− 4 > 0.

Então

x

≥ 1

e

x > 4,

o queimpli a

x > 4

. Logo,

D(f ) = (4, +

∞)

.

Composição de funções

Denição: Sejam asfunções

f

e

g

. Dene-sea função omposta de

g

e

f

por

(g

_{◦ f)(x) = g(f(x))}

x

f (x)

g(f (x))

f

_g

f

_{◦ g}

Note que o domínio de

g

◦ f

são todos os valores de

x

∈ D(f)

tal que

f (x)

está nodomínio de

g

. Portanto,

(g

◦ f)(x)

está denida sempre que

f (x)

e

g(f (x))

estiverem denidas. Exemplo: 1) Considere asfunções

f (x) = x

2 _{+ 2x}

e

g(x) = 3x + 1

, determine

f

◦ g

e

g

◦ f

. Solução:

(f

_{◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = (3x + 1)}

2 _{+ 2(3x + 1) = 9x}

2 _{+ 12x + 3}

.

(g

_{◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x}

2 _{+ 2x) = 3(x}

2 _{+ 2x) + 1 = 3x}

2 _{+ 6x + 1}

. Observações:

1) Observe noexemplo a ima que, emgeral,

f

◦ g 6= g ◦ f

.

2) A omposição de funções éasso iativa,istoé,

(f

◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

, sendo

f

,

g

e

h

funçõesde

x

.

Demonstração: Consideremos umelemento

x

perten enteaodomíniode

h

ees revemos

y = h(x)

,

z = g(y)

e

w = f (z)

. Então,

((f

◦ g) ◦ h) (x) = (f ◦ g)(h(x)) = (f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(z) = w.

Poroutro lado,

(f

◦ (g ◦ h)) (x) = f ((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x)) = f(g(y)) = f(z) = w.

Comoqueríamos demonstrar.

(28)

Graciela e Ligia

1) Considere as funções denidas por

f (x) =

3x−3

x

e

g(x) =

x

x−3

− 1

. Determine

f

_{◦ g}

e

g

◦ f

. Solução:

(f

_{◦ g)(x) = f(g(x)) = f}

_x−3

x

_{− 1}

=

3 (

x

x−3

−1

)

−3

x

x−3

−1

=

3x−6x+18

x−3

3 x−3

=

_{−x + 6}

(g

_{◦ f)(x) = g(f(x)) = g(}

3x−3

x

) =

3x−3

x

3x−3

x

−3

− 1 = −x

2)Considere asfunções

g(x) = 3x + 1

e

(g

◦ f)(x) = 3x

2 _{+ 6x + 1}

. Determine

f (x)

. Solução:

g(f (x)) = 3x

2 _{+ 6x + 1}

3f (x) + 1 = 3x

2 _{+ 6x + 1}

3f (x) = 3(x

2 _{+ 2x)}

f (x) = x

2 _{+ 2x}

. 3)Considereasfunções

f (x) = x

2 _{+ 1}

e

(g

◦ f)(x) = 2x

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

. Determine

g(x)

. Solução:

(g

_{◦ f)(x) = 2x}

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

g(f (x)) = 2x

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

g(x

2 _{+ 1) = 2x}

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

.

Observequeodomíniode

g

éumafunçãodosegundo grauenquantoque

g

◦ f

éfunçãodoquartograu. Con luímos,então, que

g

temqueseruma funçãodo segundograu. Neste aso, propomos

g(x) = ax

2 _{+ bx+ c}

edevemosdeterminar os oe ientes

a

,

b

e

c

. Portanto,

a(x

2 _{+ 1)}

2 _{+ b(x}

2 _{+ 1) + c = 2x}

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

a(x

4 _{+ 2x}

2 _{+ 1) + b(x}

2 _{+ 1) + c = 2x}

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

ax

4 _{+ (2a + b)x}

2 _{+ a + b + c = 2x}

4 _{+ 7x}

2 _{+ 4}

Igualandoos oe ientes, obtemoso sistema,

a + 2

2a + b = 7

a + b + c = 4

resultandoem

a = 2

,

b = 3

e

c =

−1

. Logo,

g(x) = 2x

2 _{+ 3x}

_{− 1}

. 4) Dadasas funções

f (x) =

x

x−2

,

g(x) = x

2

e

h(x) =

√

x

2 _{+ 1}

,determine

f

◦ g ◦ h

. Solução:

(f

_{◦ g ◦ h)(x) = f ◦ (g(h(x)) = f(g(h(x))) = f(g(}

√

x

2 _{+ 1)) = f (x}

2 _{+ 1) =}

x

2 ₊₁

(x

2 ₊₁₎₋₂

=

x

2 ₊₁

x

2 ₋₁

5) Determineo domíniode

h(x) = (g

◦ f)(x)

sendo

f (x) =

√

x + 1

e

g(x) =

x

2 ₋₄

. Solução:

(29)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀS FUNÇÕES Como

D(f ) = [

_{−1, +∞) −→}

Im

(f ) = [0, +

∞)

D(g) = R

− {−2, 2} −→

Im

(g) = R

,

e

g

◦ f

está denida para o onjunto de valores

x

∈ D(f)

tal que Im

(f )

está nodomíniode

g

.

Logo,

D(h) = D(g

◦ f) = R

+

− {3}

.

Noteque

h(x) = g(f (x)) = g(

√

x + 1) =

√

_x−3

x+1

Observe que se determinarmos o domínio de

h

sem levar em onsideração a omposição,temos

D(h) = [

−1, +∞) − {3}

. Entretanto,o intervalo

[

−1, 0) ⊂

D(h)

não está ontido na Im

(f )

, ontrariando a denição de omposição de funções.

1) (UDESC - SC) Sejam

f, g

e

h

as funções ujos grá ossão ilustradosnagura abaixo: Ointervaloquerepresentao onjunto

(

Im

(f )

∩

Im

(g))

−(D(f) ∩

Im

(h))

é: a)

(

−3, 2)

b)

[

−3, −2] ∪ [0, 2]

)

[

−2, 0)

d)

[0, 2]

e)

[2, +

∞)

x

y

2 −2

−2

y=f (x)

x

y

−3

−1

1

2

2 y=f (x)

x

y

−2

1

4 y=f (x)

2) Determineo domíniodas funçõesdadas.

a)

f (x) = x

2 _{− 3x + 1}

b)

g(x) =

p

(x

2 _{+ 1)(x + 2)}

)

h(x) =

p

x

3x−6

d)

m(x) =

2x+1

x

2 ₋₄

+

1 x+3

e)

t(x) =

p

4 ₋

√

2x

_{− 4}

3) Considerea função

f : R

− {−4} −→ R

talque

f (x) =

2x+1

x+4

. Determineo valor dodomíniode

f

uja imagemé iguala

3

.

4) Dadas as funções

f (x) = x

2

,

g(x) =

3x−1

x

2 ₊₁

e

h(x) =

√

x

2 _{+ 5}

, determine

h

◦ h

,

f

◦ g ◦ f

e

f

◦ f ◦ h

.

MATEMÁTICA BÁSICA

25

(30)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 3. INTRODUÇO ÀS FUNÇÕES 5)Considereasfunções

f (x) =

1 x

2

e

g(x) =

√

x + 2

. Determineodomíniode

f + g

,

f

_{− g}

,

f g

,

f

g

e

g

◦ f

.

6) Determineo domíniode

g

◦ f

e

f

◦ g

sendo

f (x) =

x+2

x

e

g(x) = 2x

2 _{− 10}

(31)

4

Funções espe iais

Neste apítulo estudaremos alguns tipos espe iais de funções. A função

f (x) = ax + b

,

a, b

∈ R

é hamada de função am. Desta amos em nosso es-tudo os seguintes asos parti ulares: função onstante (quando

a = 0

), função do primeirograu (quando

a

6= 0

) efunção linear(quando

a

6= 0

e

b = 0

).

4.1 Função onstante

É afunção

f : R

−→ R

denida por

f (x) = b

, onde

b

éum númeroreal. O grá o da função onstante é sempre paralelo ao eixo

x

e ruza o eixo

y

noponto

(0, b)

. Porexemplo,

1

2

3 −1

1

2 −1

−2

x

y

(a)

f

(x) = 2

1 −1

−2

−3

1

2 −1

−2

x

y

(b)

f

(x) =

−2

Figura4.1: Função onstante.

4.2 Função do primeiro grau

É a função

f : R

−→ R

denida por

f (x) = ax + b

, onde

a

e

b

são números reais e

a

6= 0

.

(32)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ESPECIAIS

4.2.1 Grá o

Ográ o de uma função do 1

o

grau é uma reta res ente oude res ente. Considere arepresentação grá a dafunção

y = f (x)

, onforme Figura4.2.

x

y

0 y

x

0 x

θ

Figura4.2

Da Figura 4.2 temos que

tan θ =

y−y

0 x−x

0

, então

y

− y

0 = (tan θ)(x

− x

0 )

. Portanto,

y = (tan θ)x + y

0 − (tan θ)x

0

Consideremos

a = tan θ

e

b = y

0 − (tan θ)x

0

. Logo,

y = ax + b

onde

a

é hamadode oe iente angular dareta e

b

é hamadode oe iente linear.

Noteque

b

éaordenada dopontodeinterseçãodográ ode

f

omoeixo

y

. Para

y = 0

obtemos opontode interseção do grá o de

f

om o eixodas abs issas

(

−

b

a

, 0)

. Neste aso,

x =

−

b

a

é hamadode zero da função. Veja Figura 4.3.

x

y

θ

b

−

b

a

x

y

θ

b

a

Figura4.3

Observequese

f

é res ente, ouseja,

x > x

0 =

⇒ y > y

0

,então

a =

y−y

0 x−x

0 > 0

, ilustrado na Figura 4.2. Se

f

é de res ente, ou seja,

x > x

0 =

⇒ y < y

0

, então

a =

y−y

0 x−x

0 < 0

, ilustradonaFigura4.4.

x

y

θ

x

0 x

y

0

Figura4.4

(33)

Graciela e Ligia

CAPÍTULO 4. FUNÇÕES ESPECIAIS Emparti ular,quando

b = 0

,afunçãodoprimeirograué hamadadefunção linear. Portanto,é afunção denida por

f (x) = ax

, onde

a

6= 0

.

O grá o de uma função linear sempre passa pela origem pois o oe iente linearé nulo.

Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz