SIMULAÇÃO DA DINÂMICA LATERAL DE VEÍCULOS ARTICULADOS
CURITIBA 2007
ALEXANDRE MASSAO MIURA LEANDRO DE PAULA LUIZ AFONSO TORRES POLI
SIMULAÇÃO DA DINÂMICA LATERAL DE VEÍCULOS ARTICULADOS
Trabalho de conclusão de curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico, no Curso de Graduação em Engenharia Mecânica do Centro Universitário Positivo.
Orientador: Prof. Cláudio Carreirão
CURITIBA 2007
i SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ... iii
LISTA DE TABELAS ... v LISTA DE SÍMBOLOS ... vi RESUMO... ix 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 OBJETIVO ... 2 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 2 1.3 CONSIDERAÇÕES ... 2 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ... 2 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 4
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA EM DINÂMICA LATERAL ... 9
3.1 CONCEITOS DE LINEARIDADE E GRAUS DE LIBERDADE ... 9
3.2 SISTEMA DE COORDENADAS ... 10
3.2.1 Veículo Rígido ... 10
3.2.2 Veículo Articulado... 11
3.3 ACELERAÇÃO EM UM SISTEMA DE COORDENADAS MÓVEL ... 12
3.4 ÂNGULO DE DESLIZAMENTO DOS PNEUS... 15
3.4.1 Veículo Rígido ... 15
3.4.2 Veículo Articulado... 16
3.5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO ... 18
3.5.1 Veículo Rígido com Dois Graus de Liberdade ... 18
3.5.2 Veículo Articulado com Três Graus de Liberdade ... 22
3.6 GENERALIDADES SOBRE O MÉTODO RUNGE-KUTTA ... 27
4 FERRAMENTA DE SIMULAÇÃO ... 28
4.1 ADEQUAÇÃO DAS EQUAÇÕES ... 28
4.1.1 Veículo Rígido ... 28
4.1.2 Veículo Articulado... 29
4.2 O SIMULADOR EM LABVIEW ... 32
4.2.1 PAINEL FRONTAL ... 32
4.2.2 DIAGRAMA DE BLOCOS... 35
ii
5.1 VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS PARA VEÍCULO RÍGIDO ... 38
5.2 VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS PARA VEÍCULO ARTICULADO ... 45
5.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS PARA VEÍCULO ARTICULADO ... 55
6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 59
6.1 CONCLUSÕES... 59
6.2 RECOMENDAÇÕES ... 60
GLOSSÁRIO ... 62
iii
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – CHASSIS DE ÔNIBUS ARTICULADO ... 5
FIGURA 2 – ÔNIBUS ARTICULADO ... 5
FIGURA 3 – CAMINHÃO ARTICULADO ... 6
FIGURA 4 – INSTABILIDADE LATERAL - JACK KNIFE... 7
FIGURA 5 – FORÇA LATERAL NO PNEU ... 10
FIGURA 6 – SISTEMAS DE EIXOS COORDENADOS VEÍCULO RÍGIDO ... 11
FIGURA 7 – SISTEMAS DE EIXOS COORDENADOS VEÍCULO ARTICULADO... 12
FIGURA 8 – MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO EM UMA SUPERFÍCIE PLANA ... 13
FIGURA 9 – VETORES DE VELOCIDADES PARA O VEÍCULO RÍGIDO... 15
FIGURA 10 – VETORES DE VELOCIDADES PARA O VEÍCULO ARTICULADO ... 17
FIGURA 11 – EQUILÍBRIO DAS FORÇAS E RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS DA ARTICULAÇÃO ... 17
FIGURA 12 – MODELO DE BICICLETA PARA O VEÍCULO RÍGIDO ... 19
FIGURA 13 – MODELO DE BICICLETA PARA O VEÍCULO TRATOR ... 22
FIGURA 14 – MODELO DE BICICLETA PARA O TRAILER ... 23
FIGURA 15 – EQUAÇÕES DE ENTRADA PARA O VEÍCULO ARTICULADO ... 31
FIGURA 16 – PAINEL DE ENTRADA DE DADOS – VEÍCULO RÍGIDO ... 32
FIGURA 17 – PAINEL DE ENTRADE DE DADOS – VEÍCULO ARTICULADO ... 33
FIGURA 18 – PAINEL DE RESULTADOS E EQUAÇÕES – VEÍCULO RÍGIDO ... 33
FIGURA 19 – PAINEL DE RESULTADOS E EQUAÇÕES – VEÍCULO ARTICULADO... 34
FIGURA 20 – DIAGRAMA DE BLOCOS – VEÍCULO RÍGIDO ... 36
FIGURA 21 – DIAGRAMA DE BLOCOS – VEÍCULO ARTICULADO... 36
FIGURA 22 – GRÁFICO DA ACELERAÇÃO LATERAL DA LITERATURA ... 39
FIGURA 23 – GRÁFICO DA ACELERAÇÃO LATERAL DO LABVIEW ... 39
FIGURA 24 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DA LITERATURA ... 40
FIGURA 25 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO LABVIEW ... 40
FIGURA 26 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DA LITERATURA ... 41
FIGURA 27 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO LABVIEW... 41
FIGURA 28 – GRÁFICO DA ACELERAÇÃO LATERAL DA LITERATURA ... 42
FIGURA 29 – GRÁFICO DA ACELERAÇÃO LATERAL DO LABVIEW ... 42
FIGURA 30 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DA LITERATURA ... 43
FIGURA 31 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO LABVIEW ... 43
FIGURA 32 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DA LITERATURA ... 44
FIGURA 33 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO LABVIEW... 44
FIGURA 34 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRATOR DA LITERATURA ... 46
FIGURA 35 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRATOR DO LABVIEW ... 46
FIGURA 36 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRAILER DA LITERATURA... 47
iv
FIGURA 38 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO TRATOR DA LITERATURA ... 48
FIGURA 39 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO TRATOR DO LABVIEW ... 48
FIGURA 40 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ARTICULAÇÃO DA LITERATURA... 49
FIGURA 41 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ARTICULAÇÃO DO LABVIEW... 49
FIGURA 42 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRATOR DA LITERATURA ... 51
FIGURA 43 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRATOR DO LABVIEW ... 51
FIGURA 44 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRAILER DA LITERATURA... 52
FIGURA 45 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR DO TRAILER DO LABVIEW... 52
FIGURA 46 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO TRATOR DA LITERATURA ... 53
FIGURA 47 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE DO TRATOR DO LABVIEW ... 53
FIGURA 48 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ARTICULAÇÃO DA LITERATURA... 54
FIGURA 49 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ARTICULAÇÃO DO LABVIEW... 54
FIGURA 50 – DISTÂNCIAS VEÍCULO ARTICULADO ... 55
FIGURA 51 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR TRATOR VARIANDO RAZÃO C/D ... 56
FIGURA 52 – GRÁFICO DA VELOCIDADE ANGULAR TRAILER VARIANDO RAZÃO C/D ... 57
FIGURA 53 – GRÁFICO DO ÂNGULO DE ATAQUE VARIANDO RAZÃO C/D ... 57
v
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – ÂNGULOS ORIGINADOS PELO ESTERÇAMENTO PARA VEÍCULO RÍGIDO... 16
TABELA 2 – ÂNGULOS ORIGINADOS PELO ESTERÇAMENTO PARA VEÍCULO ARTICULADO .. 18
TABELA 3 – EXEMPLO 1 - DADOS DO VEÍCULO RÍGIDO ... 38
TABELA 4 – EXEMPLO 2 - DADOS DO VEÍCULO RÍGIDO ... 42
TABELA 5 – EXEMPLO 3 - DADOS DO VEÍCULO ARTICULADO “A” VAZIO ... 45
vi
LISTA DE SÍMBOLOS
a Distância do centro de gravidade até o eixo dianteiro m
x
a Aceleração no eixo x m/s2
y
a Aceleração no eixo y m/s2
b Distância do centro de gravidade até o eixo traseiro m
c Distância do eixo traseiro até a rótula m
1
C Coeficiente de rigidez lateral do pneu dianteiro N/rad
2
C Coeficiente de rigidez lateral do pneu traseiro N/rad
3
C Coeficiente de rigidez lateral do pneu do 3º eixo N/rad d Distância do centro de gravidade do trailer até a
rótula
m
D Ângulo de ataque rad
e Distância do centro de gravidade do trailer até o 3º eixo
m
1 y
F Força lateral no eixo dianteiro N
2 y
F Força lateral no eixo traseiro N
3 y
F Força lateral no 3º eixo N
A
ROT y
F Força lateral do veículo trator atuante na rótula N
B
ROT y
F Força lateral do trailer atuante na rótula N
z
I Momento de inércia no eixo z do veículo rígido N.m
A z
I Momento de inércia no eixo z do veículo trator N.m
B z
I Momento de inércia no eixo z do trailer N.m
L Distância entre eixos para o veículo rígido m
m Massa do veículo do veículo rígido Kg
A
m Massa do veículo trator Kg
B
m Massa do trailer Kg
1
N Torque auto-alinhante no eixo dianteiro N.m
2
vii
3
N Torque auto-alinhante no eixo do trailer N.m
r Velocidade angular do veículo rígido rad/s
r& Aceleração angular do veículo rígido rad/s2
A
r Velocidade angular do veículo trator rad/s
A
r& Aceleração angular do veículo trator rad/s2
B
r Velocidade angular do trailer rad/s
B
r& Aceleração angular do trailer rad/s2
s Ângulo de esterçamento do pneu rad
1
s Ângulo de esterçamento do volante rad
t Tempo s
u Velocidade longitudinal do veículo rígido m/s
U Velocidade longitudinal m/s
U& Aceleração longitudinal m/s2
v Velocidade lateral do veículo rígido m/s
V Velocidade lateral m/s
V& Aceleração lateral m/s2
A
V Velocidade lateral do veículo trator m/s
A
V& Aceleração lateral do veículo trator m/s2
B
V Velocidade lateral do trailer m/s
B
V& Aceleração lateral do trailer m/s2
x Distância do centro de gravidade do veículo ao eixo X do sistema de coordenadas
m
y Distância do centro de gravidade do veículo ao eixo Y do sistema de coordenadas
m
φ Ângulo de articulação entre veículo trator e trailer rad
ψ Ângulo de mudança da trajetória do veículo rad
δψ Variação do ângulo de mudança da trajetória rad U
δ Variação da velocidade longitudinal m/s
V
δ Variação da velocidade lateral m/s
r
viii t
δ Variação do tempo s
∑
Fy Somatório das forças na direção do eixo y veículorígido
N
∑
FyA Somatório das forças na direção do eixo y veículotrator
N
∑
FyB Somatório das forças na direção do eixo y trailer N∑
M Somatório dos momentos atuantes no veículo rígido N.m∑
MZA Somatório dos momentos atuantes no veículo trator N.m∑
MZB Somatório dos momentos atuantes no trailer N.mix RESUMO
O uso de softwares para avaliação da dinâmica veicular é de grande auxílio no desenvolvimento de veículos, em especial no projeto de veículos articulados, onde, por intermédio destas ferramentas, pode-se encontrar a melhor combinação entre os diferentes fatores que influenciam no comportamento desse tipo de veículo. Esse trabalho apresenta uma ferramenta de simulação, desenvolvida em Labview, que a partir da variação de alguns parâmetros, é capaz de representar, graficamente, o comportamento dinâmico, em regime transiente, de um veículo rígido e de um articulado quando submetido a uma manobra direcional. A ferramenta de simulação apresenta, como dados de saída, a velocidade lateral da unidade tratora e do trailer, bem como as velocidades de rotação em torno o eixo “z” de ambas as unidades. É possível, também, obter-se o ângulo formado entre a unidade tratora e o trailer na rótula de articulação. Após o desenvolvimento da ferramenta de simulação, esta é verificada contra outros simuladores desenvolvidos por outros autores. Por fim, é apresentado um estudo da influência do posicionamento da rótula de união entre as unidades tratora e trailer, verificando-se a influência deste parâmetro na estabilidade direcional do veículo.
1 INTRODUÇÃO
O uso de softwares na indústria automobilística já faz parte do cotidiano da engenharia de qualquer montadora, fornecedor ou prestador de serviço que atua nessa área. Além de ser algo essencial em qualquer desenvolvimento, a aplicabilidade deles é cada vez mais abrangente em virtude dos resultados proporcionados no que diz respeito ao tempo e ao custo de desenvolvimento.
Devido a forte concorrência do mercado, ao alto nível de exigência dos clientes e também ao grande número de exigências regulamentares nos quesitos meio ambiente e segurança, faz-se necessário o emprego de tecnologias cada vez mais avançadas e eficientes no desenvolvimento de produtos para a indústria automobilística, com o intuito de satisfazer cada vez mais o cliente sem deixar de atender as normas aplicáveis.
A segurança é foco de muitas empresas, porém o custo envolvido no desenvolvimento de produtos cada vez mais seguros e confiáveis é relativamente alto, remetendo-as a buscarem alternativas mais baratas e que proporcionem os mesmos resultados. Para tanto, utilizam-se das ferramentas de simulação, onde é possível, através de modelos virtuais, simular as mais diversas situações que um veículo pode estar submetido, encurtando o tempo de desenvolvimento, já que se evita, em boa parte, a necessidade de utilização de protótipos, reduzindo com isso os custos.
Neste campo, as ferramentas CAE se sobressaem, entretanto, somente podem ser empregadas após algumas definições da fase de projeto em CAD e muitas delas não estão preparadas para executar simulações de dinâmica lateral de veículos articulados, que são combinações cada vez mais utilizadas, notadamente, no transporte.
O foco deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta de simulação de dinâmica lateral de veículos articulados utilizando um modelo linear simples com resposta transiente que, apesar de não estar tão próximo da realidade, pode, ao menos, passar uma noção do comportamento real do veículo nesse tipo de situação.
1.1 OBJETIVO
Desenvolver uma ferramenta de simulação da dinâmica lateral de veículos articulados utilizando o Labview como ferramenta de programação, cujas finalidades são:
• Simular o movimento lateral do veículo articulado quando submetido a um esterçamento para mudar a trajetória do veículo;
• Reduzir os custos durante o desenvolvimento destes veículos, pois com a simulação, é possível aperfeiçoar o comprimento da articulação para um melhor dimensionamento da composição.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
A ferramenta de simulação será capaz de fornecer a velocidade lateral do veículo trator (unidade motora), o ângulo de ataque e a velocidade angular do veículo trator e do trailer (unidade rebocada).
1.3 CONSIDERAÇÕES
Para o desenvolvimento desta ferramenta não serão levadas em consideração algumas questões mais complexas como os modelos não lineares do pneu, a força de amortecimento na articulação, o curso da suspensão, a força de tração, a força de frenagem, a resistência ao rolamento, a força de arraste aerodinâmico do veículo e, também, a altura do centro de gravidade. Esta última deixa de ser um fator importante porque não está sendo considerada a transferência de carga lateral. Enfim, será considerado apenas um modelo linear de pouca complexidade utilizando velocidade constante.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
O desenvolvimento deste trabalho encontra-se estruturado em seis capítulos, sendo este o primeiro, onde foi definido o problema e a descrição da
necessidade de uma ferramenta de simulação, bem como o objetivo geral do trabalho a ser tratado.
O segundo capítulo descreve uma revisão bibliográfica, que engloba o estudo detalhado do problema e os métodos de resolução utilizados por diferentes autores de dinâmica veicular para veículos rígidos e articulados.
O terceiro capítulo apresenta a resolução matemática das equações necessárias para elaboração da ferramenta, as metodologias e os conceitos de engenharia mecânica adotados para resolução do problema para o veículo rígido e o veículo articulado.
O quarto capítulo aborda o desenvolvimento da ferramenta através do software Labview, com base nos cálculos definidos no capítulo anterior. Nesse capítulo é descrita a adequação das equações do movimento para utilização do software Labview e também é mostrada uma seqüência detalhada dos passos utilizados na confecção da ferramenta de simulação para o veículo rígido e o veículo articulado.
No quinto capítulo é mostrada a verificação dos resultados numéricos por intermédio da comparação dos resultados obtidos pela ferramenta de simulação, com valores já conhecidos de simuladores na literatura de ELLIS (1994) e VLK (1984). Neste capítulo também é apresentada a análise da ferramenta de simulação da dinâmica lateral de veículos articulados, através da modificação de alguns dados de entrada do programa, no qual a ferramenta deve ser capaz de simular o movimento lateral de um veículo articulado.
A conclusão do trabalho está expressa no sexto capítulo, onde são realizadas as considerações finais como, comparativo entre os resultados e o objetivo proposto, a determinação de pontos fortes e fracos e possíveis recomendações para projetos futuros.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O estudo da dinâmica veicular é fundamental no desenvolvimento de projetos na indústria automobilística e devido a alta tecnologia empregada, torna-se possível aperfeiçoar diversas características do veículo através de simulações em softwares como, por exemplo, a sua estabilidade.
A estabilidade de um veículo é a sua capacidade de produzir forças e momentos que o façam retornar a uma condição estável de dirigibilidade após receber uma perturbação transitória.
A preocupação das indústrias com relação ao comportamento de um veículo é grande, já que este item está diretamente associado a sua segurança. O aumento de estudos nesta área é notável para que a cada dia sejam obtidos melhores resultados de desempenho, segurança e confiabilidade, requisitos que fazem parte da expectativa dos consumidores, cada vez mais exigentes.
A indústria de veículos pesados tem muita dificuldade, durante o desenvolvimento de um produto articulado, em relação ao comportamento direcional e a análise dos fatores que influenciam para obter a melhor eficiência do produto, principalmente no início do projeto, onde não possuem o modelo do produto totalmente desenvolvido. A análise nos softwares existentes, como o ADAMS, apesar de ser uma excelente solução, oferece certas dificuldades devido à necessidade de treinamento especializado e, na maioria das vezes, este aplicativo fica sub-utilizado.
Na atualidade, uma forma de obter dados do comportamento direcional de um veículo é através da realização de testes práticos em pista de testes, simulando as condições reais de utilização através de equipamentos específicos.
Quando é iniciado um projeto de um novo produto articulado pesado, como um ônibus articulado, a engenharia de desenvolvimento do produto possui duas informações importantes, entre as demais, sendo o comprimento máximo e o carregamento máximo do veículo, limites estes estabelecidos por lei e/ou limitações técnicas, decorrentes das especificações da aplicação do produto.
Um veículo articulado é basicamente composto por três eixos. No caso de um ônibus é dividido em duas partes, que são unidas por uma rótula. Na parte frontal está localizado o primeiro eixo direcional, logo atrás o segundo eixo provido de
tração, e na segunda parte do veículo, está posicionado o terceiro eixo sem tração, como pode ser observado na Figura 1 e na Figura 2.
FIGURA 1 – CHASSIS DE ÔNIBUS ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
FIGURA 2 – ÔNIBUS ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
Na Figura 3 é apresentado um exemplo de um caminhão articulado, onde está localizado na parte frontal o primeiro eixo direcional, seguido do segundo eixo provido de tração e acoplado ao mesmo está o semi-reboque, mais conhecido como carreta, que é composto por três eixos sem tração.
Eixo direcional Eixo de tração
FIGURA 3 – CAMINHÃO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
Atualmente, a determinação da distância entre os eixos e o posicionamento da rótula de união ocorre pela distribuição do carregamento máximo no comprimento total do veículo, calculado pontualmente nos eixos e rótula de união. Dessa forma é possível fazer uma distribuição adequada de peso para o equilíbrio estático do veículo, porém isso não garante um bom comportamento direcional/dinâmico do mesmo, podendo resultar eventualmente em um veículo instável para determinada aplicação.
Pode ser citado um caso verídico que ocorreu na Noruega, onde um ônibus ficou completamente instável após ter sofrido uma alteração no comprimento de entre eixos. Outro exemplo são os veículos bi-articulados utilizados no sistema de transporte coletivo, pois a falta de um desenvolvimento bem elaborado do comportamento direcional, através de um software específico, pode ser um dos fatores responsáveis pela instabilidade apresentada por este veículo quando trafega acima dos 65 Km/h.
Uma análise comparativa entre algumas opções de distribuição de eixos e o próprio comprimento do veículo, respeitando a distribuição da carga técnica, poderia aumentar o limite de velocidade, bem como garantir maior estabilidade em uma situação onde o veículo é submetido a um esterçamento repentino.
Com a análise de um software simples de simulação é possível estabelecer parâmetros e realizar comparativos entre os modelos estudados, desenvolvendo a melhor solução (a melhor definição de produto) para a aplicação desejada, visando uma boa estabilidade estática e dinâmica para o veículo.
A Figura 4 mostra a instabilidade lateral conhecida por jack knife, ou seja, efeito canivete, onde as forças laterais exercidas nos pneus do trator e do trailer
perdem o seu balanço e a composição tende a fechar na rótula de conexão. Esse efeito pode ser previsto e, até certo ponto, evitado com o uso de ferramentas de simulação, pois tal instabilidade está diretamente relacionada com a velocidade de translação do veículo. Ferramentas de simulação podem, por intermédio de cálculos, prever a velocidade limite para operação segura de uma combinação articulada.
FIGURA 4 – INSTABILIDADE LATERAL - JACK KNIFE
FONTE: OS AUTORES
Nas diversas literaturas consultadas, são usados métodos de resolução semelhantes, porém alguns detalham a origem das variáveis envolvidas e outros já partem para aplicações mais complexas e não lineares, diferentemente da metodologia utilizada nesse trabalho, a qual despreza algumas variáveis, sendo considerado um modelo linear simples.
MILLIKEN (1995) inicia uma explanação sobre dinâmica veicular utilizando um modelo linear simples de veículo, conhecido como modelo de bicicleta, onde é considerada somente uma roda dianteira e uma traseira para análise de forças e momentos envolvidos no mesmo. Neste modelo é considerada velocidade constante e são desconsideradas diversas variáveis, como transferência de carga lateral, transferência de carga longitudinal e efeitos aerodinâmicos. Posteriormente, em outros capítulos, é apresentado um estudo que passa a considerar algumas variáveis anteriormente desconsideradas, tornando possível encontrar resultados sobre o comportamento do veículo mais próximos do real.
GILLESPIE (1992) trata este tema também de uma maneira semelhante, onde há um capítulo que também utiliza um modelo linear simples de veículo, para facilitar o entendimento, porém neste é demonstrada a dedução das equações que
darão origem a matriz de comportamento do veículo somente em regime permanente.
VLK (1984) é mais específico e inicia seu estudo diretamente na análise da dinâmica lateral de veículos articulados com três graus de liberdade, utilizando modelos lineares e, portanto, desconsidera alguns fatores como transferência lateral de carga, o curso da suspensão, a força de tração, a força de frenagem, entre outros parâmetros. Esta literatura também apresenta alguns modelos mais complexos, que consideram amortecimento na rótula e esterçamento no eixo do trailer. Os resultados apresentados neste livro para o veículo mais simples serão utilizados para validar a ferramenta de simulação para o veículo articulado.
ELLIS (1994) apresenta o conceito de aceleração em sistema de coordenada móvel e também desenvolve um modelo linear de 2 graus de liberdade para um veículo rígido (não articulado). Também desenvolve um modelo linear de 3 graus de liberdade para um veículo articulado. Este livro apresenta resultados de simulações que são usados para validar a ferramenta de simulação para o veículo rígido.
BARBIERI, BARBIERI e CARREIRÃO (2005), e CARREIRÃO (2003) apresentam um estudo da dinâmica lateral de um ônibus sob manobras direcionais considerando modelos não-lineares, coeficiente de deformação dos pneus e transferência de carga. Foram apresentados resultados de validações experimentais para os modelos numéricos desenvolvidos neste trabalho, bem como o método matemático da matriz de estado para a solução do problema.
SMITH e STARKEY (1995) utilizam em seu estudo um modelo de grande complexidade, para um veículo rígido (não articulado) que considera não-linearidade do pneu e transferência lateral de peso.
WU (2001) apresenta um estudo teórico do movimento de guinada e rolamento de um veículo articulado de múltiplos eixos direcionais e, assim, comprova que com a adição de um eixo direcional no trailer melhora a estabilidade direcional em regime permanente.
EL-GINDY, MRAD E TONG (2001) desenvolvem estudo de controle de estabilidade lateral para uma composição de um veículo trator 6x2 (3 eixos, sendo um de tração), ou 6x4 (3 eixos, sendo dois de tração) acoplado a um trailer de dois eixos, onde o fator de amplificação traseira RWA é usado como critério de controle.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA EM DINÂMICA LATERAL
Neste capítulo é demonstrado o modelo de veículo rígido e articulado utilizado para obter as equações que descrevem os seus movimentos, conforme descrito na literatura de ELLIS (1994).
Primeiramente são apresentados conceitos relativos a grau de liberdade, sistemas de coordenadas e sobre a forma de como as acelerações são escritas em função dos sistemas de coordenadas móveis. Apresentam-se, também, conceitos sobre o ângulo de deslizamento lateral de pneus e generalidades sobre o método numérico de solução de equações diferenciais, conhecido como Runge-Kutta.
3.1 CONCEITOS DE LINEARIDADE E GRAUS DE LIBERDADE
O termo linear significa que o modelo apresenta uma constância temporal em relação as suas características físicas, ou seja, as suas propriedades de massa, rigidez e amortecimento ficam inalterados durante a análise.
Grau de liberdade é o número de variáveis independentes que são necessários para descrever os movimentos de um corpo.
O número do grau de liberdade está associado ao modelo aplicado e a situação física em estudo, pois é quem permite a movimentação de um corpo e determina quais os movimentos e sentidos que o mesmo poderá efetuar.
Para a fundamentação teórica deste trabalho é utilizado um modelo linear e é estudada a sua resposta transiente.
O modelo básico, conhecido como modelo de bicicleta, conforme ELLIS (1994), contém apenas dois graus de liberdade e desconsidera algumas variáveis envolvidas no movimento visando simplificar o desenvolvimento do modelo.
Apesar de utilizar um modelo simplificado, este se apresenta consistente com o objetivo do trabalho, que é o de analisar o comportamento de um veículo articulado com três graus de liberdade (dois graus para o veículo trator e um para o trailer) de uma forma ao menos qualitativa, comparando-se resultados e concluindo, assim, sobre a tendência da influência de determinada variável sobre o comportamento dinâmico do veículo.
Neste projeto, por exemplo, considera-se que a força lateral desenvolvida pelo pneu é diretamente proporcional a sua deformação, o que significa que o mesmo reagiria com uma força cada vez maior tanto maior fosse a sua deformação lateral, a fim de manter o veículo na sua trajetória curvilínea. Entretanto, na realidade isso não ocorre, pois a sua força lateral não é diretamente proporcional a sua deformação lateral em toda a gama de deformação lateral, ou seja, para pequenos ângulos de deslizamento lateral, a força desenvolvida pelo pneu é proporcional a sua deformação, mas à medida que este ângulo aumenta a força lateral criada deixa de acompanhar uma proporcionalidade, conforme MILLIKEN (1995), ELLIS (1994) e GILLESPIE (1992).
A Figura 5 apresenta a força lateral real desenvolvida por um pneu e a representação da curva ideal linear para o pneu, representada na cor vermelha.
FIGURA 5 – FORÇA LATERAL NO PNEU
FONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE GILLESPIE, 1992)
3.2 SISTEMA DE COORDENADAS
3.2.1 Veículo Rígido
CARREIRÃO (2003), para o estudo do comportamento dinâmico do veículo em uma superfície plana, adota um sistema de coordenadas móvel (x, y, z), ou seja, fixo ao veículo e com origem no centro de gravidade do mesmo. Deve-se adotar também um eixo de coordenadas fixo, ou seja, isento de movimento, de eixos
coordenados “X, Y, Z”. Este sistema coincide com o móvel quando o veículo está em repouso.
O sistema de coordenadas do veículo rígido terá dois graus de liberdade, ou seja, será considerada a possibilidade de movimento lateral, permitindo se deslocar na direção do eixo “y”, e de rotação em torno do eixo “z”. Na direção “x” a velocidade do veículo será considerada constante, não se alterando ao longo da análise. Na Figura 6 está representado o sistema de coordenadas.
FIGURA 6 – SISTEMAS DE EIXOS COORDENADOS VEÍCULO RÍGIDO
FONTE: MRREE, 2007
3.2.2 Veículo Articulado
Para o estudo do comportamento dinâmico do veículo articulado em uma superfície plana, também é recomendável adotar-se um sistema de coordenada móvel (x, y, z), ou seja, fixo ao veículo, com origem na rótula de união entre o veículo trator e o trailer, do mesmo modo que foi apresentado em ELLIS (1994). Deve-se adotar também, da mesma forma que para o veículo rígido, um sistema de
eixos coordenados fixo, ou seja, isento de movimento, de eixos coordenados “X, Y, Z”.
Cada uma das composições (veículo trator e trailer) possui o seu respectivo momento de inércia calculado em torno do seu próprio eixo z posicionado no centro de gravidade de cada composição. Porém, como a origem do sistema de coordenadas para o veículo articulado está situada sobre a rótula, é necessário considerar o deslocamento do centro do sistema de coordenadas e recalcular o valor do momento de inércia para cada um das composições. Na Figura 7 está representado o sistema de coordenadas.
FIGURA 7 – SISTEMAS DE EIXOS COORDENADOS VEÍCULO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
O veículo articulado possuirá três graus de liberdade, sendo dois graus para o veículo trator (velocidade lateral e angular) e um grau para o trailer (velocidade angular).
3.3 ACELERAÇÃO EM UM SISTEMA DE COORDENADAS MÓVEL
A compreensão das equações que regem o movimento de um corpo rígido em uma superfície plana, considerando que estão relacionadas com o sistema de eixos fixo ao veículo, é o passo inicial para desenvolver o presente trabalho.
Conforme ELLIS (1994), os veículos são controlados por forças e momentos originados através do contato entre os pneus e o solo. Como os movimentos lateral
e angular provocam o surgimento de ângulos entre a direção de esterçamento e a direção da trajetória real no plano da estrada em que o veículo está se deslocando, é necessário considerar as equações relacionadas ao deslizamento do pneu em contato com o solo. Os movimentos da massa suspensa atuam sobre as molas e amortecedores da suspensão, que agem em série com o amortecimento dos pneus em adição às propriedades de deslizamento destes, porém essas variáveis não serão consideradas, conforme descrito na seção 1.3.
Para iniciar a fundamentação teórica, baseado na descrição encontrada em ELLIS (1994), considera-se inicialmente (t=0) um corpo rígido representado pelo ponto p(x, y) no plano (X,Y), onde z=0 e submetido a certa velocidade longitudinal (U ), lateral (V ) e angular ( r ) e que está inclinado de um ângulo ψ em relação ao sistema de coordenadas fixo “X,Y,Z”, descrito anteriormente. Após um pequeno intervalo de tempo (t=δt) cada variável sofre um pequeno incremento e o corpo encontra-se em uma segunda posição como pode ser observado na Figura 8.
FIGURA 8 – MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO EM UMA SUPERFÍCIE PLANA
FONTE: ELLIS, 1994
Para t=0 a velocidade do corpo rígido p é determinada por:
r x V v r y U u ⋅ + = ⋅ − = (1)
Após um tempo t=δt, o corpo p encontra-se em uma segunda posição: X
(
)
(
)
(
V V)
x(
r r)
v r r y U U u δ δ δ δ + ⋅ + + = + ⋅ − + = ´ ´ (2)Da diferença entre as velocidades da posição final e inicial têm-se:
( )
( )
( )
v( )
v sen u v u sen v u u − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅ = δψ δψ δ δψ δψ δ cos ´ ´ ´ cos ´ (3)Substituindo os devidos valores para u , ´u , v , ´v e r :
Como o intervalo tδ é relativamente pequeno, é possível considerar que
( )
1cosδψ → e sen
( )
δψ →δψ. Substituindo estas aproximações nas equações e dividindo todos os termos por tδ para a simplificação, obtém-se:t r y t r y t U t U t r x t V t v t r x t r x t V t V t r y t U t u δ δψ δ δ δψ δ δψ δ δ δψ δ δ δ δ δ δ δ δψ δ δ δψ δ δψ δ δ δψ δ δ δ δ δ δ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = (5) Como δt→0, então
( )
( )
dt d t → δ δ ; também( )
r dt d = ⋅ δψ ; Uδ , Vδ , δr→0, obtém-se a aceleração longitudinal e lateral para o corpo rígido.2 2 r y r x r U V v a r x r y r V U u a y x ⋅ − ⋅ + ⋅ + = = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = = & & & & & & (6)
Conforme ELLIS (1994), quando a origem do eixo de coordenadas está localizada no centro de gravidade do veículo, x e y são zero, já que estes indicam a distância do centro de gravidade ao sistema de coordenadas, em relação aos eixos X e Y, respectivamente, tornando possível a simplificação das equações para aceleração.
(
)
(
)
{
}
( ) (
{
)
(
)
}
( ) (
)
(
)
(
)
{
U U y r r}
sen( ) (
{
V V)
x(
r r)
}
( ) (
V x r)
v r y U sen r r x V V r r y U U u ⋅ + − ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ − + = ⋅ − − ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ − + = δψ δ δ δψ δ δ δ δψ δ δ δψ δ δ δ cos cos (4)r U V a r V U a y x ⋅ + = ⋅ − = & & (7)
3.4 ÂNGULO DE DESLIZAMENTO DOS PNEUS
3.4.1 Veículo Rígido
O ângulo de deslizamento, também denominado de ângulo de ataque do pneu, é dado pela diferença entre o ângulo de esterçamento do pneu do veículo e o ângulo da trajetória real seguida pelo mesmo. Essa diferença existe devido à habilidade dos pneus em gerarem força lateral que é influenciada pelo coeficiente de rigidez do pneu e pelo coeficiente de atrito deste com o solo.
Uma expressão para cada pneu pode ser obtida em termos de variáveis; velocidade longitudinal (U ), velocidade lateral (V ) e velocidade angular ( r ). Conforme Figura 9, e descrição extraída de ELLIS (1994), é possível notar que o centro de gravidade do veículo está localizado a uma distância a do eixo dianteiro e a uma distância b a frente do eixo traseiro. A distância entre eixos é igual a
b a
L= + . As velocidades longitudinal e lateral nas áreas de contato entre os pneus e o solo especificam o ângulo de deslizamento em cada roda.
FIGURA 9 – VETORES DE VELOCIDADES PARA O VEÍCULO RÍGIDO
Entretanto, o ângulo de deslizamento para a roda do lado direito é levemente diferente do que para a roda do lado esquerdo em um mesmo eixo, devido ao fato do ângulo de esterçamento apresentar uma diferença entre um lado e outro para facilitar a trajetória de manobra. Porém, essa diferença é pouco significativa na maioria dos casos, devido ao fato do efeito da velocidade angular sobre a velocidade longitudinal ser de baixa ordem, conforme descrito em ELLIS (1994). Uma velocidade angular significativamente alta indica que o veículo está fora de controle.
Os vetores velocidade demonstrados na Tabela 1, facilitam o entendimento dos ângulos originados a partir do esterçamento de um veículo a uma certa velocidade.
TABELA 1 – ÂNGULOS ORIGINADOS PELO ESTERÇAMENTO PARA VEÍCULO RÍGIDO Eixo traseiro Eixo dianteiro Ângulo de esterçamento do
pneu 0 s
Ângulo da trajetória real (Ângulo de deriva)
(
)
U r b V − ⋅(
)
U r a V + ⋅ Ângulo de ataque (D) (Diferença entre os ângulos)(
)
U r b V − ⋅ −(
)
U r a V s− + ⋅ FONTE: ELLIS, 1994 3.4.2 Veículo ArticuladoPara o veículo articulado é possível obter uma expressão para cada pneu em termos de variáveis: velocidade longitudinal (U ), velocidade lateral do veículo trator (V ), velocidade lateral do trailer (A V ), velocidade angular do trator (B r ), A velocidade angular do trailer (r ), e do ângulo de articulação entre o veículo trator e B o trailer (φ).
Conforme Figura 10 e descrição extraída de ELLIS (1994), é possível notar que o veículo possui dois centros de gravidade, um para o veículo trator e outro para o trailer. As velocidades longitudinal e lateral nas áreas de contato entre os pneus e o solo especificam o ângulo de deslizamento em cada roda.
FIGURA 10 – VETORES DE VELOCIDADES PARA O VEÍCULO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE ELLIS, 1994)
Como a rótula é o ponto onde o veículo trator é conectado com o trailer, a velocidade da articulação deve ser a mesma tanto no trator como para o trailer, se descrita em termos das variáveis referentes a esses veículos, onde também, pode ser determinado o ângulo de articulação φ entre eles. Na Figura 11 é representado o equilíbrio das forças e a relação entre as variáveis atuantes na articulação.
FIGURA 11 – EQUILÍBRIO DAS FORÇAS E RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS DA ARTICULAÇÃO
FONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE ELLIS, 1994)
Da relação entre as variáveis da articulação e considerando que o ângulo φ é pequeno, tem-se cos
( )
φ ≈1 e sen( )
φ ≈φ, conforme descrito em ELLIS (1994), então se obtém a Equação (8): 1 ⋅ + ⋅ − = A B U V V φ (8)O ângulo de articulação entre o veículo trator e o trailer é dado por:
(
)
∫
−= rB rA dt
φ (9)
As equações para o veículo articulado também consideram o deslizamento dos pneus, portanto, é necessário descrever as expressões referentes a cada um dos eixos para, posteriormente, substituir nas equações. Na Tabela 2 estão representados os dados para o ângulo de ataque de cada um dos três eixos do veículo.
TABELA 2 – ÂNGULOS ORIGINADOS PELO ESTERÇAMENTO PARA VEÍCULO ARTICULADO
Veículo trator Trailer
Eixo dianteiro Eixo traseiro Eixo traseiro Ângulo de esterçamento do pneu s 0 0 Ângulo da trajetória real (Ângulo de deriva) + + + ⋅ U r c b a VA ( ) A
(
)
U r c VA + ⋅ A
−
+
⋅
U
r
e
d
V
B(
)
B Ângulo de ataque (D) (Diferença entre os ângulos) + + + ⋅ − U r c b a V s A ( ) A(
)
U r c VA+ ⋅ A − − − + ⋅ U r e d VB ( ) B φFONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE ELLIS, 1994)
3.5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
3.5.1 Veículo Rígido com Dois Graus de Liberdade
O comportamento do veículo rígido é descrito por duas equações principais, onde a Equação (10) é a primeira, a qual contempla o somatório das forças na direção do eixo Y, para os eixos dianteiro e traseiro do veículo analisado, onde a força resultante é composta pelas variáveis de massa ( m ), velocidade lateral (V ), velocidade longitudinal (U ) e velocidade angular ( r ).
2 1 y y y y m a F F F = ⋅ = +
∑
(10)(
)
∑
= ⋅ + ⋅ = .+ 2 1 y y y m V U r F F F & (11)A Equação (12) é a segunda, que contempla o somatório dos momentos atuantes no veículo e é composta pelas variáveis de aceleração angular ( r& ), momento de inércia no eixo z (I ), distância entre o eixo dianteiro e centro de z gravidade do veículo ( a ) e distância entre o eixo traseiro e centro de gravidade do veículo ( b ), além dos torques auto-alinhantes, N e 1 N , gerados pelos pneus dos 2
eixos dianteiros e traseiros.
2 1 2 1 b F N N F a r I M = z⋅ = ⋅ y − ⋅ y + +
∑
& (12)Para a Equação (12), os valores de N e 1 N são desprezíveis em 2 comparação aos outros termos da equação, pois estes valores são de baixa grandeza e não interferem de maneira representativa nos resultados, conforme CARREIRÃO (2003) e ELLIS (1994). Assim, a Equação (12) pode ser reescrita da seguinte forma. 2 1 y y z r a F b F I M = ⋅ = ⋅ − ⋅
∑
& (13)A Figura 12 mostra um modelo de bicicleta onde estão representadas as velocidades longitudinal, lateral e angular, e também as distâncias dos eixos em relação ao centro do modelo.
FIGURA 12 – MODELO DE BICICLETA PARA O VEÍCULO RÍGIDO
É necessário estabelecer as forças
1 y
F e F como função das variáveis V , y2 U e r , através da Equação (14), a qual é composta pelo coeficiente de rigidez lateral do pneu ( C ) e pelo ângulo de ataque ( D ), que é retirado da Tabela 1.
D C Fy = ⋅ (14) A força 1 y
F é resultante das variáveis de coeficiente de rigidez lateral do pneu no eixo dianteiro (C ), ângulo de esterçamento ( s ), V , U , r e a , obtendo-se a 1 Equação (15). + ⋅ − ⋅ = U r a V s C Fy 1 ( ) 1 (15) A força 2 y
F é resultante das variáveis de coeficiente de rigidez lateral do pneu no eixo traseiro (C ), V , U , r e b , obtendo-se, portanto, a Equação (16). 2
− ⋅ − ⋅ = U r b V C Fy 2 ( ) 2 (16)
Substituindo-se as Equações (15) e (16) na Equação (11) resulta na Equação (17). − − ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ U r b V C U r a V s C r U V m (& ) 1 ( ) 2 ( ) (17)
Com a aplicação da propriedade distributiva de produtos com somas e subtrações, é obtida a Equação (18).
U r b C U V C U r a C U V C s C r U m V m⋅ &+ ⋅ ⋅ = 1⋅ − 1⋅ − 1⋅ ⋅ − 2⋅ + 2⋅ ⋅ (18)
A Equação (18) pode ser reescrita de forma a agrupar as variáveis em estudo no seu lado esquerdo e o termo fonte no seu lado direito, obtendo-se a Equação (19), que é a equação referente ao somatório de forças na direção do eixo Y. s C r U C b C a U m V U C C V m ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ & 1 2 1 2 1 (19)
Para obter a equação do movimento, referente a somatória de momentos atuantes no veículo rígido, substituem-se as Equações (15) e (16) na Equação (13) e é obtida a Equação (20). U r C b U V C b U r C a U V C a s C a r Iz⋅&= ⋅ 1⋅ − ⋅ 1⋅ − 2⋅ 1⋅ + ⋅ 2⋅ − 2⋅ 2⋅ (20)
Agrupando-se as variáveis de forma semelhante ao que foi feito para a equação do movimento na direção Y, obtém-se a Equação (21).
s C a r U C b C a V U C b C a r Iz ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ 2 1 2 1 2 2 1 & (21)
As equações do movimento, Equações (19) e (21), que determinam o comportamento direcional do veículo, também podem ser representadas em forma de matrizes.
(
)
(
)
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + + ⋅ s C a s C r V U C b C a U C b C a U C b C a U m U C C r V I m z 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 . 0 0 & & (22) Ou,[ ]
M ⋅&x&+[ ]
C ⋅x&={ }
F (23) Onde:{ }
= r V x & & & &{ }
= r V x& (24)3.5.2 Veículo Articulado com Três Graus de Liberdade
O comportamento do veículo articulado é descrito, basicamente, em função do somatório de forças e de momentos atuantes no veículo trator e no trailer, dando origem a quatro equações. A Figura 13 mostra um modelo de bicicleta para o veículo trator, onde estão representadas as velocidades longitudinal, lateral, angular e também as forças laterais atuantes em cada eixo.
FIGURA 13 – MODELO DE BICICLETA PARA O VEÍCULO TRATOR
FONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE ELLIS, 1994)
As Equações (25) e (26) referem-se, respectivamente, ao somatório de forças na direção do eixo Y e ao somatório de momentos atuantes no veículo trator, tomados em torno do eixo z com origem na rótula.
(
)
A ROT y y y A A A A A y m V U r b c r F F F F = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + +∑
& ( ) & 1. 2 (25)c F c b a F r U V c b m r I MzA = zA⋅ A + A⋅ + ⋅ A+ ⋅ A = y ⋅ + + + y ⋅
∑
& ( ) (& ) 1 ( ) 2 (26)A Figura 14 mostra um modelo de bicicleta para o trailer, onde estão representadas as velocidades longitudinal, lateral, angular e também a força lateral atuante no terceiro eixo.
FIGURA 14 – MODELO DE BICICLETA PARA O TRAILER
FONTE: OS AUTORES (ADAPTADO DE ELLIS, 1994)
As Equações (27) e (28) também estão relacionadas com o somatório de forças e de momentos, porém atuantes no trailer, com momentos tomados em torno do eixo z que tem origem na rótula.
(
)
∑
= ⋅ + ⋅ − ⋅ = +. 3 yROTB y B B B B B y m V U r d r F F F & & (27) ) ( ) ( 3 d e F r U V m d r I MzB = zB⋅ B − ⋅ B⋅ B + ⋅ B =− y ⋅ +∑
& & (28)A soma das forças laterais atuantes na rótula deve ser igual a zero. Sendo que
A
ROT y
F , representa a força lateral exercida pelo veículo trator sobre a rótula e
B
ROT y
F , equivale a força lateral exercida pelo trailer sobre a rótula. Como o ângulo φ é pequeno, considera-se cos
( )
φ ≈1 e, conforme descrito em ELLIS (1994), tem-se:( )
φ cos ⋅ − = B A yROT ROT y F F (29)Como a soma das forças laterais atuantes na rótula deve ser zero, é possível isolar o termo que representa essa força e substituir a Equação (27) na Equação (25), obtendo-se:
[
]
(
)
1 2 3 . ) ( A B B B B y y y A A A V U r b c r m V U r d r F F Fm ⋅ & + ⋅ + + ⋅& + ⋅ & + ⋅ − ⋅& = + + (30)
De acordo com ELLIS (1994):
[
+ ⋅( − )]
⋅( )
φ +[
− ⋅( − )]
⋅cos( )
φ−
= A B A A B A
B U V r r sen V U r r
V& & & (31)
Considera-se U& =0, pois o veículo está com velocidade constante e, devido ao fato de φ ser pequeno:
A B A A B A B V r r V U r U r V& =− ⋅( − )⋅φ+ & − ⋅ + ⋅ (32)
Mas ELLIS (1994) considera que VA⋅(rB −rA)⋅φ<<V&A+U⋅rA, o que fornece:
A A
B
B U r V U r
V& + ⋅ ≈ & + ⋅ (33)
Substituindo a Equação (33) na Equação (30), vem:
3 2 1 . ) ( ) ( )
(mA+mB ⋅V&A+ mA +mB ⋅U⋅rA+mA⋅ b+c⋅r&A−mB⋅d⋅r&B =Fy +Fy +Fy (34)
Substituindo a Equação (33) na Equação (28), tem-se:
) ( ) ( 3 2 e d F r U d m V d m r d m IzB + B⋅ ⋅&B − B⋅ ⋅ &A − B⋅ ⋅ ⋅ A =− y ⋅ + (35)
(
IzA +mA⋅ b+c)
⋅rA+mA⋅ b+c ⋅VA+mA⋅ b+c ⋅U⋅rA =Fy ⋅ a+b+c +Fy ⋅c 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( & & (36)É necessário escrever as forças laterais em função das variáveis V , U , A r A e r . Portanto, para as forças B F atuantes em cada um dos eixos, as quais são y representadas pela multiplicação do coeficiente de rigidez lateral do pneu ( C ) pelo ângulo de ataque ( D ), têm-se os seguintes valores F , y1
2 y F e 3 y F : + + + ⋅ − ⋅ = U r c b a V s C Fy1 1 A ( ) A (37) + ⋅ − ⋅ = U r c V C Fy2 2 A A (38) − + ⋅ − ⋅ = U r e d V C F A B y ) ( 3 3 φ (39)
Substituindo as Equações (37), (38) e (39) nas equações (34), (35) e (36), respectivamente, têm-se: s C C r e d U C r c U C c b a U C U m m V U C C C r d m r c b m V m m B A B A A B B A A A B A ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + + − = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + 1 3 3 2 1 3 2 1 . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( φ & & & (40) φ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 3 3 2 e d C r e d U C r U d m V e d C r d m I V d mB &A zB B &B A B A B (41)
[
]
s c b a C r c U C c b a U C U c b m V c U C c b a U C r c b m I V c b m A A A A A zA A A ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ − = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 1 2 1 2 & & (42)As Equações (40), (41) e (42) descrevem o movimento de um veículo articulado, as quais também podem ser representadas em forma de matrizes através das Equações (43), (44) e (45).
A Equação (9) também é utilizada para a solução do problema em conjunto com estas.
[ ]
⋅ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ + = 2 2 0 0 ) ( ) ( ) ( d m I d m c b m I c b m d m c b m m m M B ZB B A ZA A B A B A (43)[ ]
(
)
+ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + + ⋅ − + ⋅ ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + − + + − = U e d C U d m U e d C U c C c b a C U c b m U c C c b a C U e d C U c C c b a C U m m U C C C C B A B A 2 3 3 2 2 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (44)[ ]
⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = φ φ 3 1 1 3 ) ( ) ( C e d s C c b a C s C F (45) Ou,[ ]
M ⋅x&&+[ ]
C ⋅x&=[ ]
F (46){ }
= B A A r r V x & & & & &{ }
= B A A r r V x& (47)3.6 GENERALIDADES SOBRE O MÉTODO RUNGE-KUTTA
Como a resolução matemática para encontrar as variáveis que demonstram a dinâmica lateral de um veículo resulta em um sistema de equações diferenciais, torna-se necessária a utilização de um método numérico para obter os valores das variáveis que representam o comportamento desse veículo. Toda solução numérica apresenta um conjunto de valores representativo das variáveis em cada nó e não uma equação como resultado de uma solução analítica.
O método adotado nesse trabalho é o Runge-Kutta de quarta ordem. Conforme ZILL (2003), esse método é obtido por meio da expansão em série de Taylor. Devido ao fato de utilizar maior número de termos dessa série, o método é um dos mais precisos para obter soluções aproximadas de problemas com valor inicial.
Para aproximar a solução de um problema de valor inicial, é necessário expressar as equações através de um sistema contendo somente variáveis básicas, ou seja, é preciso escrevê-las determinando V& e r& em termos de V e r , para o caso do veículo rígido e V& , A r& e A r& em termos de B V , A r e A r para o caso do B
veículo articulado.
4 FERRAMENTA DE SIMULAÇÃO
Para desenvolver o programa que fornece os resultados sobre dinâmica lateral de um veículo rígido e articulado, com base na resolução matemática descrita no capítulo anterior, utilizou-se do software Labview como ferramenta de simulação devido ao fato deste software estar sendo muito utilizado nas indústrias e instituições de ensino, e também pela fácil visualização e manipulação da interface com o usuário se comparado a outros softwares.
A elaboração do programa é descrita de maneira detalhada, esclarecendo-se, inicialmente, a forma de como as equações são adequadas para a sua implementação no Labview, seguindo com o painel de controle e do diagrama de blocos que foram implementados.
4.1 ADEQUAÇÃO DAS EQUAÇÕES
4.1.1 Veículo Rígido
Para inserir no Labview as Equações (19) e (21) é necessário adequá-las, isolando-se do lado esquerdo da equação as incógnitas de aceleração lateral e angular.
A fim de facilitar o entendimento da aplicação das equações diferenciais no Labview, as variáveis V e r foram renomeadas conforme metodologia descrita em BISHOP (1999).
Atribuindo a seguinte nomenclatura:
r x V x = = 2 1 (48)
Obtém-se as seguintes equações diferenciais, a partir das Equações (19) e (21):
m s C x U C C x U C b C a U m x ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 1 1 2 1 2 2 1 1 & (49) z I s C a x U C b C a x U C a C b x ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 & (50) 4.1.2 Veículo Articulado
Apesar do principio para a adequação das equações do veículo articulado ser a mesma do veículo rígido, a sua obtenção é muito mais trabalhosa, considerando que o processo de isolamento das variáveis V& , A r& e A r& em termos de B
A
V , r e A r é bem mais complicado, pois as equações estão acopladas nos termos B de derivadas primeiras, através da matriz de massa, apresentada na Equação (43).
Para obter-se uma matriz diagonal de massa, o que representa um sistema de equações desacoplado das derivadas primeiras, é necessário aplicar uma Eliminação de Gauss ao sistema de equações dado pela Equação (46).
Como as equações são muito complexas e extensas foi necessária a utilização de um software de apoio chamado Maple, para operacionalizar o processo de Eliminação de Gauss.
O software Maple é um sistema de computação algébrica capaz de efetuar operações simbólicas e cálculos complexos, além de possuir recursos para programação. No Maple declaram-se as variáveis envolvidas e as equações são divididas em duas partes, sendo uma com termos associados às incógnitas de derivadas primeiras e outra com termos associados às incógnitas básicas. Além disso, devido a algumas restrições do comando Runge-Kutta do LabView com relação as nomenclaturas, foi necessário atribuir novos nomes às variáveis, conforme Equação (51):
φ = = = = 4 3 2 1 x r x r x V x B A A (51)
Na seqüência, é feita uma atribuição de modo a igualar o lado direito da Equação (40), que contém somente incógnitas básicas, a um termo denominado 1f para que seja possível a realização dos cálculos no Maple.
s C C r e d U C r c U C c b a U C U m m V U C C C f B A B A A ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ + + − = 1 3 3 2 1 3 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 φ (52)
O lado direito da Equação (41) é igualado ao termo 2f .
φ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 d e 2 r C3 d e U C r U d m V e d U C f A B A B (53)
O lado direito da Equação (42) é igualado a 3f .
s c b a C r c U C c b a U C U c b m V c U C c b a U C f A A A ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ − = ) ( ) ( ) ( ) ( 3 1 2 2 2 1 2 1 (54)
O lado direito da Equação (9) é igualado ao termo 4f .
(
)
∫
−= r r dt
f4 B A (55)
Os lados esquerdos das Equações (9), (40), (41) e (42) que contém os termos de derivas primeiras, foram todos igualados aos termos 1f , f , 2 f e 3 f , 4 respectivamente.
1 ) ( ) ( . f r d m r c b m V m
mA+ B ⋅ &A+ A⋅ + ⋅&A− B⋅ ⋅&B = (56)
2 ) (I m d2 r f V d mB⋅ ⋅ A+ zB + B⋅ ⋅ B = − & & (57)
[
( )]
3 ) (b c V I m b c 2 r f mA⋅ + ⋅ &A+ zA+ A⋅ + ⋅&A = (58) 4 f = φ (59)Após a aplicação da Eliminação de Gauss, obtiveram-se as equações para
A
V& , r&A e r&B somente em função das variáveis básicas, ou seja, sem acoplamento, e também se obteve uma equação para φ em função de r e A r . B
Na Figura 15, estão representadas as equações que descrevem o movimento do veículo articulado.
FIGURA 15 – EQUAÇÕES DE ENTRADA PARA O VEÍCULO ARTICULADO
As variáveis da Figura 15 estão escritas de forma algébrica diferente das variáveis utilizadas nas equações principais. Elas estão escritas na forma como foram implementadas no LabView.
4.2 O SIMULADOR EM LABVIEW
4.2.1 PAINEL FRONTAL
A Figura 16 apresenta o painel de controle da ferramenta de simulação para o veículo rígido e a Figura 17 apresenta o painel de controle para o veículo articulado, onde é possível visualizar os campos de entrada de dados para os parâmetros, as equações e as incógnitas. Ambos os painéis também apresentam os resultados obtidos através de valores numéricos.
FIGURA 16 – PAINEL DE ENTRADA DE DADOS – VEÍCULO RÍGIDO
FONTE: OS AUTORES
Campo F
Campo A Campo D Campo G
Campo E Campo C
FIGURA 17 – PAINEL DE ENTRADE DE DADOS – VEÍCULO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
A Figura 18 apresenta o painel com os resultados obtidos graficamente e as equações de entrada da ferramenta de simulação para o veículo rígido. A Figura 19 apresenta o painel com os resultados e equações para o veículo articulado.
FIGURA 18 – PAINEL DE RESULTADOS E EQUAÇÕES – VEÍCULO RÍGIDO
FONTE: OS AUTORES Campo H Campo A Campo D Campo C Campo E Campo F Campo G Campo B
FIGURA 19 – PAINEL DE RESULTADOS E EQUAÇÕES – VEÍCULO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES
No campo A são adicionados os nomes dos parâmetros e seus respectivos valores, os quais são os dados de entrada para o sistema. A identificação de cada parâmetro é descrita na lista de símbolos deste trabalho.
No campo B são inseridos os lados direitos das Equações (49) e (50) para a análise do comportamento do veículo rígido e as Equações da Figura 15 para o veículo articulado.
Os nomes das variáveis que representam a velocidade lateral, a velocidade angular do trator e do trailer e o ângulo da articulação do sistema, são indicados no campo C, sendo que x refere-se a velocidade lateral do veículo trator, 1 x a 2
Campo B
velocidade angular do trator, x a velocidade angular do trailer e 3 x ao ângulo de 4 articulação.
Deve-se determinar no campo D o intervalo de tempo onde os resultados são desejados, assim como o tempo inicial e final da análise. Todos os instantes de tempo que estão variando conforme o passo, a partir do tempo inicial até o final, constam no campo F, e para cada um desses tempos é encontrado um respectivo valor para cada variável.
Para o processo de cálculo das equações diferenciais, é necessário estabelecer no campo E, os valores iniciais para as variáveis x , 1 x , 2 x e 3 x . Após a 4 realização dos cálculos através do comando Runge-Kutta, os resultados encontrados para as variáveis em função de cada valor de tempo indicado no campo F são demonstrados no campo G, onde os valores na coluna 1, da esquerda para a direita, são referentes a velocidade lateral, na coluna 2, são referentes a velocidade angular do trator, na coluna 3, estão os valores para velocidade angular do trailer e na coluna 4, o ângulo da articulação.
Os gráficos gerados a partir dos dados de saída do programa para apresentação dos resultados de aceleração lateral, velocidade angular e ângulo de ataque do sistema para o veículo rígido, os quais descrevem o comportamento do veículo em função do tempo, são apresentados no campo H. Nesse campo também são apresentados os resultados para a velocidade angular do trator e do trailer, o ângulo de ataque e o ângulo de articulação para o veículo articulado.
4.2.2 DIAGRAMA DE BLOCOS
A Figura 20 apresenta o diagrama de blocos do programa para o veículo rígido e a Figura 21 apresenta o diagrama de blocos para o veículo articulado.
No diagrama de blocos é feita toda a programação para a realização dos cálculos utilizando os dados de entrada fornecidos no painel de controle, é elaborada toda a rotina do programa, é onde são inseridos os comandos que fazem os cálculos, as conversões e a geração dos gráficos. O diagrama de blocos é uma tradução da teoria explicada no capítulo anterior, de modo que o Labview possa executar toda a resolução matemática para obtenção dos resultados.
FIGURA 20 – DIAGRAMA DE BLOCOS – VEÍCULO RÍGIDO
FONTE: OS AUTORES
FIGURA 21 – DIAGRAMA DE BLOCOS – VEÍCULO ARTICULADO
FONTE: OS AUTORES 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
Devido à existência de um comando no Labview que realiza os cálculos com base no método Runge-Kutta, o mesmo foi inserido no diagrama de blocos do programa para realização dos cálculos necessários conforme ZILL (2003) e BISHOP (1999).
O comando 1, recebe as equações diferenciais e selecionam uma linha ou uma coluna solicitada. No caso, o comando 1 separa as equações situadas no campo B.
Essa separação ocorre devido a posterior substituição dos parâmetros por valores nas equações diferenciais, o que ocorre no comando 2. A atribuição de valores aos parâmetros é feita no campo A. Após as substituições no comando 2, as informações das equações são re-agrupadas no comando 3 para seguir como dado de entrada para o comando 4, o qual executa o método numérico Runge-Kutta.
Para a execução do método numérico, o comando 4 precisa receber algumas informações tais como os valores iniciais para o cálculo das equações diferenciais, o passo, o tempo de início e de final da análise, os nomes das variáveis e as equações.
Os comandos identificados por 5, assim como o comando 1, selecionam uma linha ou coluna solicitada para que se seja possível obter cada gráfico individualmente, demonstrando somente uma curva. No quadro representado pelo número 6 é feita a conversão de unidades (de radianos para graus) e os comandos identificados por 7 têm por finalidade converter os dados tornando possível a geração dos gráficos.
O comando 8 é composto por diversos comandos numéricos auxiliares possibilitando o cálculo das equações diferenciais em partes, para que após manipulação das mesmas, possam ser construídos os gráficos.
5 VERIFICAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste Capítulo são apresentadas, inicialmente, as verificações dos modelos desenvolvidos para o veículo rígido e para o veículo articulado.
Na seqüência, são apresentados alguns resultados obtidos a partir da ferramenta de simulação do veículo articulado, onde a posição da rótula é modificada e a influência desta alteração é analisada.
5.1 VERIFICAÇÃO DOS RESULTADOS PARA VEÍCULO RÍGIDO
Para a verificação dos resultados obtidos através da ferramenta de simulação do veículo rígido, foi realizada uma comparação entre os gráficos gerados por esta ferramenta e os gráficos apresentados em ELLIS (1994), utilizando os dados fornecidos no exemplo da literatura.
Os dados fornecidos no exemplo de ELLIS (1994) são descritos na Tabela 3, com exceção dos valores de velocidade longitudinal e ângulo de esterçamento, os quais variam para cada exemplo.
TABELA 3 – EXEMPLO 1 - DADOS DO VEÍCULO RÍGIDO
Dado Valor Unidade
Massa (m) 1000 Kg
Momento de inércia em torno do eixo z (
Z
I ) 1650 N.m
Distância entre eixos (L) 2,5 m
Distância do centro de gravidade ao eixo dianteiro (a) 1,0 m Distância do centro de gravidade ao eixo traseiro (b) 1,5 m Coeficiente de rigidez lateral dos pneus dianteiros (C1) 60000 N/rad Coeficiente de rigidez lateral dos pneus traseiros (C2) 60000 N/rad FONTE: ELLIS, 1994
No primeiro comparativo para verificação da ferramenta de simulação do veículo rígido, são apresentadas duas curvas de comportamento para aceleração lateral, onde são utilizados dois valores de velocidade longitudinal e dois ângulos de esterçamento.
