P(K,T) = AK α L 1 α, f x = 2x, f y = 2y. H(f) = 0 2 = 4 > 0, f xx = 2 < 0,

(1)

Cap´ıtulo 3.3 - Otimiza¸

c˜

ao condicionada

3.3.1 - M´etodo dos multiplicadores de Lagrange

3.3.2 - Significado dos multiplicadores de Lagrange

Em diversos problemas de maximiza¸cão ou minimiza¸cão, existem restri¸cões que limitam as solu¸cões poss´ıveis. Veremos, neste cap´ıtulo, como implementar solu¸cões para problemas de otimiza¸cão na existência de restri¸cões de igualdade. As leituras complementares tratam do problema mais geral de restri¸cões de desigualdades.

3.3.1 - M´

etodo dos multiplicadores de Lagrange

Existem diversos casos de aplica¸cões de otimiza¸cão em que ocorre a presen¸ca de restri¸cões. Ilustraremos isto com a fun¸cão de Cobb-Douglas (vista nos cap´ıtulos anteriores), que dá a produ¸cão P como uma fun¸cão do capital K investido em máquinas e infra-estrutura e o capital L investido no trabalho. Tal fun¸cão é dada por

P (K, T ) = AKαL1−α ,

onde A é chamada de constante tecnológica e α é um coeficiente que vai de 0 e 1 e determina o tipo de produ¸cão com que se está lidando. Valores baixos de α indicam que a atividade depende bastante da mão-de-obra (labor intensive) e um α póximo a 1 indica que a atividade depende mais do capital investido em infra-estrutura e maquinário do que da mão de obra (capital intensive).

Consideremos agora que o capital total a ser investido é limitado, o que é uma restri¸cão bastante razoável. Temos, então, que K + L = C, onde C é o total que pode ser investido. Com isto, há uma limita¸cão do que se pode produzir e provavelmente teremos um ponto espec´ıfico em que a fun¸cão é máxima. No entanto, antes de resolver esse problema, vamos analisar um problema mais simples.

Exemplo 1: calcule o ponto de m´aximo da fun¸c˜_{ao f (x, y) = 4 − x}2

− y2 quando x + y = 1.

Solu¸cão: se não houvesse a restri¸cão, poder´ıamos calcular esse ponto através das derivadas primeiras da fun¸cão: fx= −2x , fy= −2y .

Um ponto cr´ıtico ocorre quando

fx= 0 ⇔ −2x = 0 ⇔ x∗= 0 , fy= 0 ⇔ −2y = 0 ⇔ y∗= 0 .

A hessiana do ponto (0, 0), ou em qualquer outro ponto, ´e dada por

H(f ) = −2 0 0 −2 e tem determinante det H(f ) = −2 0 0 ₋₂ = 4 > 0 , fxx= −2 < 0 ,

de modo que (0, 0) é um ponto de máximo da fun¸cão.

No entanto, 0 + 0 6= 1, de modo que este ponto não satisfaz a condi¸cão imposta, que é representada na figura a seguir como um plano perpendicular ao plano xy. Para impor esta restri¸cão, podemos escrever y em fun¸cão de x:

x + y = 1 ⇔ y = 1 − x e substitu´ı-la na fun¸c˜ao, obtendo

(2)

x y z 1.0 2.0 3.0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 -4 .0 1.0 2.0 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 b x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 b b

Note que agora temos uma fun¸cão somente da variável x, f (x) = 3 + 2x − 2x2_{, que é uma par´}_{abola, desenhada}

em verde na figura. Derivando essa fun¸c˜ao com rela¸c˜ao a x e igualando a zero, temos

f′_{(x) = 0 ⇔ 2 − 4x = 0 ⇔ 4x = 2 ⇔ x}∗₌ 1

2 . Substituindo na restri¸c˜ao, temos

y = 1 − x ⇔ y = 1 −1₂ ⇔ y∗₌ 1

2 .

Portanto, a solu¸cão que maximiza a fun¸cão, mediante a restri¸cão dada, é (x∗_{, y}∗_{) = (1/2, 1/2). Como}

f (1/2, 1/2) = 4 −1₄ −1₄ = 4 −1₂ =7 2 , o ponto de máximo da fun¸cão, mediante a restri¸cão dada, é (1/2, 1/2, 7/2).

Para provar que o ponto obtido realmente corresponde a um máximo da fun¸cão, precisamos calcular a derivada segunda da fun¸cão obtida mediante o uso da restri¸cão: f′′_{(x) = −4. Como a derivada segunda é negativa para todo}

valor de x, então o ponto encontrado é um máximo da fun¸cão f (x) e, por conseqüência, um máximo da fun¸cão f (x, y) mediante a restri¸cão dada.

Uma alternativa de resolu¸c˜ao do problema que acabamos de ver ´e utilizar os chamados multiplicadores de Lagrange, que funcionam da seguinte forma: escrevemos

x + y = 1 ⇔ x + y − 1 = 0 .

Agora, vamos adicionar esse “zero” à fun¸cão, multiplicado por um fator λ, que é o multiplicador de Lagrange. A fun¸cão resultante será chamada lagrangeana:

L = f (x, y) + λ(x + y − 1) = 3 − x2− y2+ λ(x + y − 1) .

Esta é uma fun¸cão das duas variáveis originais mais a variável λ. Derivando com rela¸cão a essas três variáveis e igualando essas derivadas a zero, temos

Lx= 0 ⇔ −2x + λ = 0 ⇔ λ = 2x ,

Ly = 0 ⇔ −2y + λ = 0 ⇔ λ = 2y ,

Lλ= 0 ⇔ x + y − 1 = 0 ⇔ x + y = 1 .

Note que conseguimos de volta a nossa restri¸cão, só que agora ela está embutida na lagrangeana.

Igualando as duas primeiras identidades (λ = λ), ficamos com uma outra rela¸c˜ao entre as vari´aveis x e y: 2x = 2y ⇔ x = y .

Substituindo na terceira equa¸c˜ao, temos

x + y = 1 ⇔ y + y = 1 ⇔ 2y = 1 ⇔ y∗ ₌ 1

(3)

de modo que

x = y ⇔ x∗₌ 1

2 .

Portanto, o ponto que maximiza a fun¸cão mediante a restri¸cão dada é (x∗_{, y}∗_{) = (1/2, 1/2). O valor do}

multiplicador de Lagrange ´e dado por

λ = 2x ⇔ λ = 2 ·1₂ ⇔ λ∗ _{= 1 .}

Para que calcular λ? Como será visto na segunda se¸cão deste cap´ıtulo, o multiplicador de Lagrange tem um significado tanto matemático quanto econômico.

´

E claro que dever´ıamos verificar que este ponto é realmente um máximo da fun¸cão. No entanto, isto já foi feito no exemplo 1.

Sistematizando o que acabamos de fazer, podemos fazer a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 1 - Dada uma fun¸cão f (x, y) e uma restri¸cão ϕ(x, y) = 0, podemos escrever a lagrangeana L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) ,

onde λ ´e chamado multiplicador de Lagrange.

Teorema 1 - Dada uma fun¸cão f (x, y) e uma restri¸cão ϕ(x, y) = 0, podemos maximizar ou minimizar essa fun¸cão, mediante a restri¸cão (quando isto for poss´ıvel), derivando a lagrangeana L(x, y, λ) com rela¸cão às variáveis x, y e λ e igualando essas derivadas a zero.

Exemplo 2: calcule o ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao f (x, y) = x2

+ y2

− 4x − 2y quando x = 2y.

Solu¸c˜ao: come¸camos escrevendo a restri¸c˜ao como x − 2y = 0. Com isto, podemos montar a seguinte lagrangeana: L = x2+ y2− 4x − 2y + λ(x − 2y) .

Derivando essa nova fun¸cão com rela¸cão às variáveis x, y e λ, ficamos com

Lx= 2x − 4 + λ , Ly= 2y − 2 + λ , Lλ= x − 2y .

Igualando essas derivadas a zero, ficamos com o sistema de equa¸c˜oes    Lx= 0 Ly= 0 Lλ= 0 ⇔    2x − 4 + λ = 0 2y − 2 + λ = 0 x − 2y = 0 .

Isolando λ nas duas primeiras equa¸c˜oes, ficamos com    2x − 4 = −λ 2y − 2 = −λ x = 2y ⇔    λ = −2x + 4 λ = −2y + 2 x = 2y .

Igualando as duas primeiras equa¸c˜oes, temos

−2x + 4 = −2y + 2 ⇔ x − 2 = y − 1 ⇔ x = y + 1 . Substituindo esse resultado na terceira equa¸c˜ao do sistema, obtemos

x = 2y ⇔ y + 1 = 2y ⇔ y∗_{= 1 .}

Sendo assim, x = 2y ⇔ x∗ _{= 2. Para calcular λ, podemos substituir os valores encontrados para x e para y em}

qualquer uma das duas primeiras equa¸c˜oes do sistema. Escolhendo a primeira equa¸c˜ao, temos λ = −2x + 4 ⇔ λ = −2 · 2 + 4 ⇔ λ∗_{= 0 .}

(4)

Para verificar que esse resultado é mesmo um m´ınimo da fun¸cão, devemos adotar um procedimento semelhante ao utilizado no exemplo 1 desta se¸cão. Come¸camos usando a restri¸cão x = 2y para eliminar a variável x da fun¸cão que queremos minimizar (poder´ıamos também eliminar a variável y, com o mesmo resultado). Fazendo isto, temos uma fun¸cão somente da variável y:

f (y) = (2y)2+ y2− 4 · 2y − 2y = 4y2+ y2− 8y − 2y = 5y2− 10y . A derivada primeira dessa fun¸c˜ao ´e

f′_{(y) = 10y − 10}

e sua derivada segunda fica

f′′_{(y) = 10 ,}

de modo que o ponto encontrado corresponde a um m´ınimo da fun¸c˜ao.

Note que, para verificar se o ponto encontrado correspondia a um m´ınimo da fun¸cão, tivemos que utilizar um método que, sem o uso da lagrangeana, levaria a uma solu¸cão para o problema. Existe uma forma de testar a solu¸cão usando somente uma versão da hessiana para problemas com restri¸cões. Essa forma lida com uma matriz orlada, mas as dificuldades do método são muitas e e ele só funciona para restri¸cões lineares. Por isso, ele não será visto aqui.

Apesar da complica¸cão extra de inserir uma variável a mais no problema, o método dos multiplicadores de Lagrange é facilmente generalizável para problemas envolvendo muitas restri¸cões ou problemas mais complexos. Por isso, ele é largamente utilizado em diversos setores da ciência e da tecnologia. Voltaremos a seguir a um exemplo envolvendo a fun¸cão de Cobb-Douglas.

Exemplo 3: considere uma fábrica cuja produ¸cão é bastante próxima da fun¸cão P (K, L) = 10K0,6_L0,4_{, onde}

K é o capital investido em máquinas e infra-estrutura e L é o capital investido em trabalho, ambos medidos em reais. Neste mês, estão dispon´ıveis 10.000 reais para investimento nesses dois setores. Encontre a distribui¸cão desse investimento que maximiza a produ¸cão da fábrica.

Solu¸cão: temos a restri¸cão K + L = 10000, que pode ser escrita K + L − 10000 = 0. No entanto, é mais comum escrevê-la como 10000 − K − L = 0, pois isto facilita a interpreta¸cão econômina do multiplicador de Lagrange (o que será visto na próxima se¸cão). Podemos, agora, montar a seguinte lagrangeana:

L = 10K0,6L0,4+ λ(10000 − K − L)

(escrevemos a lagrangeana usando o L caligráfico para diferenciar da variável L). Derivando com rela¸cão às três variáveis e igualando essas derivadas a zero, temos

           LK = 0 ⇔ 10 · 0, 6K−0,4L0,4− λ = 0 LL= 0 ⇔ 10 · 0, 4K0,6L−0,6− λ = 0 Lλ= 0 ⇔ K + L − 10000 = 0 .

Isolando λ nas primeiras duas equa¸c˜oes, temos

λ = 6K−0,4_L0,4 _{, λ = 4K}0,6_L−0,6_, de modo que 6K−0,4_L0,4_{= 4K}0,6_L−0,6_{⇔ 6}L 0,4 K0,4 = 4 K0,6 L0,6 ⇔ 6L 0,4_L0,6_{= 4K}0,6_K0,4 ⇔ ⇔ 6L = 4K ⇔ K = 6₄L ⇔ K = 3₂L .

Substituindo na restri¸c˜ao, temos 3 2L + L = 10000 ⇔ 5 2L = 10000 ⇔ L = 20000 5 ⇔ L ∗_{= 4000 .} Portanto, K = 3 2L ⇔ K = 3 2 · 4000 ⇔ K ∗_{= 6000 .}

(5)

Podemos, agora, calcular o valor de λ: λ = 6K−0,4_L0,4_{= 6} L K 0,4 ⇔ λ = 6 4000₆₀₀₀ 0,4 ⇔ λ = 6 2₃ 0,4 ⇔ λ ≈ 5, 102 .

Desse modo, devem ser investidos R$ 6000, 00 em máquinas e infra-estrutura e R$ 4000, 00 em trabalho. A produ¸cão máxima será de

P (600, 400) = 10 · 60000,640000,4≈ 51017 .

Para verificar que este é realmente um máximo da fun¸cão produ¸cão, precisamos primeiro usar a restri¸cão dada pelo problema, K + L = 10000, para eliminar uma das variáveis do problema em fun¸cão da outra. Escolhendo K = 10000 − L, temos

P (L) = 10(10000 − L)0,6_L0,4 _.

Derivando com rela¸c˜ao a L, temos

P′_{(L) = 6(10000 − L)}−0,4_L0,4

+ 4(10000 − L)0,6L−0,6_.

A derivada segunda fica

P′′_{(L) =} _{6 · (−4)(10000 − L)}−1,4_L0,4 + 6 · 4(10000 − L)−0,4_L−0,6₊ +4 · 6(10000 − L)−0,4_L−0,6_{+ 4 · (−6)(10000 − L)}0,6_L−1,6₌ = −24(10000 − L)−1,4_L0,4 + 24(10000 − L)−0,4_L−0,6₊ +24(10000 − L)−0,4_L−0,6_{− 24(10000 − L)}0,6_L−1,6₌ = _{−24(10000 − L)}−1,4_L0,4_{+ 48(10000 − L)}−0,4_L−0,6_{− 24(10000 − L)}0,6_L−1,6 _.

Substituindo o valor encontrado para L, L = 4000, temos P′′_{(4000) = −24 · 6000}−1,4_{· 4000}0,4

+ 48 · 6000−0,4_{· 4000}−0,6_{− 24 · 6000}0,6

· 4000−1,6_{≈ −0, 00085 .}

O valor, apesar de ser muito pequeno, é negativo, de modo que temos um ponto de máximo da fun¸cão. A fun¸cão sem a restri¸cão e com a restri¸cão e o ponto ótimo é representada nas duas figuras a seguir.

x y z 5 .000 10 .000 5 .000 10 .000 50 .000 x y z b 5 .000 10 .000 5 .000 10 .000 50 .000

Nos exemplos desta primeira se¸cão, usamos e calculamos repetidamente variáveis extras chamadas multi-plicadores de Lagrange. Agora, para que calcular os valores dessas variáveis se o que importa mesmo são as variáveis originais do problema? Vamos, na próxima se¸cão, estudar um pouco o que significam esses tais de multiplicadores de Lagrange que viemos usando até agora, e veremos que eles têm sua importância na análise de problemas de otimiza¸cão com restri¸cões.

3.3.2 - Significado dos multiplicadores de Lagrange

Consideremos o problema de maximizar ou minimizar uma fun¸c˜ao f mediante uma restri¸c˜ao ϕ = 0, como por exemplo maximizar f (x, y) = 4 − x2

(6)

escrevendo a fun¸cão somada à restri¸cão multiplicada por um multiplicador de Lagrange: L = f + λϕ .

Usando a fun¸c˜ao e a restri¸c˜_{ao de nosso exemplo, teremos L = 4 − x}2

− y2+ λ(x + y − 1).

Vamos, agora, considerar essa restri¸cão ϕ como sendo uma variável e derivar a lagrangeana com rela¸cão a essa restri¸cão. Obtemos, então,

Lϕ =

∂L ∂ϕ = λ .

Portanto, o multiplicador de Lagrange λ é a derivada da lagrangeana com rela¸cão à restri¸cão à qual ele está associado. Se tivermos uma lagrangena com mais de um multiplicador de Lagrange, como por exemplo L = f + λ1ϕ1+ λ2ϕ2, temos L_ϕ1 = λ1 e Lϕ2 = λ2.

Observa¸cão: a letraϕ é uma forma variante de se escrever a letra grega φ, pronunciada“fi”, cuja forma maiúscula éΦ.

Vamos lembrar que

Lϕ = ∂L ∂ϕ = lim∆_ϕ→0 ∆L ∆ϕ , de modo que ∂L ∂ϕ ≈ ∆L

∆ϕ para valores pequenos de ∆ϕ. Isto significa que λ ≈ ∆L_∆ϕ

para valores pequenos de ∆ϕ. Caso ∆ϕ = 1 provoque um deslocamento relativamente pequeno em L, podemos escrever

λ ≈ ∆L (∆ϕ = 1) ,

de modo que o multiplicador de Lagrange pode ser interpretado como uma aproxima¸cão da varia¸cão da la-grangeana quando ocorre uma varia¸cão de uma unidade na restri¸cão. É o equivalente à análise marginal vista no curso de Cálculo 1 e no curso de Microeconomia. Para enterdermos melhor o significado do multiplicador de Lagrange, vejamos um exemplo mais prático.

Exemplo 1: consideremos novamente a fun¸c˜ao de Cobb-Douglas, P = 10K0,6_L0,4_{, vista no exemplo 3 da}

primeira se¸cão deste cap´ıtulo, sujeita à restri¸cão K + L = 10000. O problema tratava da maximiza¸cão da produ¸cão P com rela¸cão ao capital K investido em infra-estrutura e máquinas e o capital L investido no trabalho com a limita¸cão de 10.000 reais para o investimento. Com isto, foi montada a lagrangeana (escrita aqui como L)

L = 10K0,6L0,4_{+ λ(10000 − K − L) .}

Explique o significado do multiplicador de Lagrange associado a essa lagrangeana.

Solu¸cão: neste problema, a restri¸cão é ϕ = 10000 − K − L, de modo que podemos escrever L = K0,6L0,4+ λϕ .

Derivando com rela¸cão à restri¸cão, temos

∂L ∂ϕ = λ , de modo que o multiplicador de Lagrange ´e, aproximadamente,

λ ≈ ∆L

∆ϕ .

Esse multiplicador de Lagrange foi calculado no exemplo 3 da se¸c˜ao passada, resultando em λ = 6(2/3)0,4

≈ 5, 102. Isto significa que, para uma varia¸c˜ao ∆ϕ = 1 na restri¸c˜ao, teremos

∆L

∆ϕ ≈ 5, 102 ⇔ ∆L

(7)

Mas o que significa uma varia¸c˜ao de uma unidade na restri¸c˜ao? Escrevendo ϕ + 1 = 10000 − K − L + 1 = 10001 − K − L ,

podemos ver que esse acréscimo na restri¸cão equivale a ter um real a mais para investir na produ¸cão. O que ∆L = 5, 102 significa é que, para cada 1 real a mais dispon´ıvel para investimento, a produ¸cão sobe em 5, 102, aproximadamente. É por isso que o multiplicador de Lagrange tem um valor positivo.

Se quisermos saber o quanto a produ¸cão deve cair caso o investimento caia em 100 reais, basta multiplicar esse valor por 100: ∆L ≈ 510, 2, lembrando que a aproxima¸cão piora conforme aumentamos o valor de ∆ϕ. Portanto, o multiplicador de Lagrange é uma ferramenta importante na análise da produ¸cão de uma fábrica ou de um pa´ıs.

O multiplicador de Lagrange quantifica o efeito que uma determinada restri¸cão tem sobre uma fun¸cão. Por exemplo, no exemplo 2 da se¸cão passada, o multiplicador de Lagrange vale zero, o que significa que a restri¸cão não tem impacto algum na solu¸cão do problema: o m´ınimo da fun¸cão independe da restri¸cão.

Com isto, terminamos nossos estudos sobre otimiza¸cão. A Leitura Complementar 1 trata de problemas que têm mais de uma restri¸cão. Existem ainda outras técnicas para o cálculo de problemas de otimiza¸cão envolvendo restri¸cões de desigualdade. Uma introdu¸cão a esse tipo de problema pode ser vista na Leitura Complementar 2.

Resumo

• Lagrangeana: dada uma fun¸cão f sujeita a restri¸cões ϕ1, ϕ2, · · · , ϕ_m, sua lagrangeana é escrita

como

L = f + λ1ϕ1+ λ2ϕ2+ · · · + λmϕm .

• Otimiza¸cão: uma fun¸cão f sujeita a restri¸cões ϕ1, ϕ2, · · · , ϕ_m, a fun¸cão é maximizada ou

mini-mizada quando suas derivadas com rela¸cão a suas variáveis e com rela¸cão a seus multiplicadores de Lagrange são todas zeradas.

• Significado do multiplicador de Lagrange: dada uma lagrangeana L = f + λ1ϕ1 + λ2ϕ2+

+ · · · + λnϕn, temos que ∂L ∂ϕ1 = λ1⇔ λ1≈ ∆L ∆ϕ1 ,

de modo que λ1 é aproximadamente a varia¸cão em L decorrente de uma pequena varia¸cão na restri¸cão

(8)

Leitura Complementar 1 - Problemas com mais

de uma restri¸

c˜

ao

Em problemas onde existe mais de uma restri¸cão, devemos usar mais de um multiplicador de Lagrange. Por exemplo, para uma fun¸cão de 3 variáveis, f (x, y, z) com 2 restri¸cões, ϕ1 = 0 e ϕ2 = 0, podemos montar a

lagrangeana

L(x, y, z, λ1, λ2) = f (x, y, z) + λ1ϕ1+ λ2ϕ2 ,

onde λ1 e λ2 s˜ao multiplicadores de Lagrange.

A defini¸cão e o teorema a seguir mostram como pode ser usada a Lagrangeana para resolver problemas de otimiza¸cão com restri¸cões.

Defini¸cão 2 - Dada uma fun¸cão f (xi), i = 1, 2, · · · , n, de n variáveis, e uma restri¸cão ϕj(xi) = 0,

j = 1, 2, · · · , m, podemos escrever a lagrangeana

L(xi, λj) = f (xi) + λjϕj(xi) ,

onde λj s˜ao multiplicadores de Lagrange.

Teorema 2 - Dada uma fun¸c˜ao f (xi), i = 1, · · · , n, e uma restri¸c˜ao ϕj(xi) = 0, j = 1, · · · , m, podemos

maximizar ou minimizar essa fun¸cão, mediante a restri¸cão (quando isto for poss´ıvel), derivando a lagrangeana L(xi, λj) com rela¸cão às variáveis xi e λj e igualando essas derivadas a zero.

O exemplo a seguir ilustra um desses casos.

Exemplo 1: maximize f (x, y) =p4 − x2

− y2 _{sujeita `}_{as condi¸c˜}_{oes x}2

+ y2

= 1 e x + y = 1.

Solu¸c˜ao: temos agora duas restri¸c˜oes, de modo que devemos usar dois multiplicadores de Lagrange. Escrevendo x2_{+ y}2

− 1 = 0 e x + y − 1 = 0 , temos a lagrangeana

L = (4 − x2− y2)1/2+ λ1(x2+ y2− 1) + λ2(x + y − 1) .

Derivando com rela¸cão a todas as variáveis, ficamos com as equa¸cões        Lx= 0 Ly= 0 Lλ1 = 0 Lλ2 = 0 ⇔        (1/2)(4 − x2_{− y}2₎−1/2_{· (−2x) + 2λ}₁_{x + λ}₂_{= 0} (1/2)(4 − x2− y2)−1/2_{· (−2y) + 2λ} 1y + λ2= 0 x2_{+ y}2 − 1 = 0 x + y − 1 = 0 ⇔ ⇔        −x(4 − x2− y2)−1/2_{+ 2λ} 1x + λ2= 0 −y(4 − x2− y2)−1/2_{+ 2λ} 1y + λ2= 0 x2+ y2= 1 x + y = 1 .

Substituindo x2_{+ y}2_{= 1 nas primeiras duas equa¸c˜}_{oes, ficamos com}

       −x · 3−1/2_{+ 2λ} 1x + λ2= 0 −y · 3−1/2_{+ 2λ} 1y + λ2= 0 x2_{+ y}2_{= 1} x + y = 1 ⇔        −x/√3 + 2λ1x + λ2= 0 −y/√3 + 2λ1y + λ2= 0 x2_{+ y}2_{= 1} x + y = 1 .

(9)

Vamos, agora, trabalhar com as duas últimas equa¸cões do sistema: isolando y na última equa¸cão, y = 1 − x, e substituindo na penúltima, ficamos com

x2+ (1 − x)2= 1 ⇔ x2+ 1 − 2x + x2= 1 ⇔ 2x2− 2x = 0 ⇔ 2x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1 . Sendo assim, h´a duas solu¸c˜oes para o problema: x = 0 ou x = 1.

Para x = 0, temos y = 1 − x = 1 − 0 = 1. Substituindo nas primeiras duas equa¸c˜oes do sistema, temos

−0/√3 + 2λ1· 0 + λ2= 0 −1/√3 + 2λ1· 1 + λ2= 0 ⇔ ⇔ _λ 2= 0 −1/√3 + 2λ1+ 0 = 0 ⇔ 2λ1= √1 3⇔ λ1= 1 2√3 .

Portanto, a primeira solu¸c˜ao fica x = 0, y = 1, λ1=₂√1

3 e λ2= 0.

Para x = 1, temos y = 1 − x = 1 − 1 = 0. Substituindo nas primeiras duas equa¸c˜oes do sistema, temos

−1/√3 + 2λ1· 1 + λ2= 0 −0/√3 + 2λ1· 0 + λ2= 0 ⇔ ⇔ −1/√3 + 2λ1+ 0 = 0 ⇔ 2λ1= √1 3⇔ λ1= 1 2√3 λ2= 0 .

Portanto, a segunda solu¸c˜ao fica x = 1, y = 0, λ1= ₂√1

3 e λ2= 0. x y z 1.0 2.0 3.0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 -4 .0 1.0 2.0 3.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 b b

A fun¸c˜ao, que representa a parte de cima de uma esfera de raio 2, o cilindro de raio 1, x2_{+ y}2 _{= 1, e o plano}

(10)

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 3.3

N´ıvel 1

Otimiza¸c˜ao condicionada

Exemplo 1: maximize a fun¸c˜_{ao f (x, y) = exp(−x}2

− 3y2+ 2x + 6y − 4) sujeita `a restri¸c˜ao 2x − y = 1.

Solu¸c˜ao: escrevemos 2x − y = 1 ⇔ 2x − y − 1 = 0, de modo que possamos montar a lagrangeana L = exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) + λ(2x − y − 1) .

Derivando com rela¸cão às variáveis x, y e λ, temos

Lx= (−2x + 2) exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) + 2λ ,

Ly= (−6y + 6) exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) − λ ,

Lλ= 2x − y − 1 .

Igualando as derivadas a zero, ficamos com as equa¸c˜oes    (−2x + 2) exp(−x2_{− 3y}2_{+ 2x + 6y − 4) + 2λ = 0} (−6y + 6) exp(−x2_{− 3y}2_{+ 2x + 6y − 4) − λ = 0} 2x − y − 1 = 0 .

Isolando λ nas duas primeiras equa¸c˜oes, ficamos com    (−2x + 2) exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) = −2λ (−6y + 6) exp(−x2 − 3y2+ 2x + 6y − 4) = λ 2x − y = 1 ⇔    λ = (x − 1) exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) λ = (−6y + 6) exp(−x2 − 3y2+ 2x + 6y − 4) 2x − y = 1 .

Igualando as duas primeiras equa¸c˜oes, ficamos com (x − 1) exp(−x2

− 3y2+ 2x + 6y − 4) = (−6y + 6) exp(−x2

− 3y2+ 2x + 6y − 4) ⇔ x − 1 = −6y + 6 ⇔ x = −6y + 7 . Substituindo esse resultado na terceira equa¸c˜ao do sistema, temos

2x − y = 1 ⇔ 2(−6y + 7) − y = 1 ⇔ −12y + 14 − y = 1 ⇔ −13y = −13 ⇔ y = 1 . Sendo assim, temos

x = −6y + 7 ⇔ x = −6 · 1 + 7 ⇔ x = 1 .

Para calcular o valor do multiplicador de Lagrange, substitu´ımos os valores encontrados de x e de y em uma das duas primeiras equa¸c˜oes do sistema, como, por exemplo, a primeira delas:

λ = (x − 1) exp(−x2− 3y2+ 2x + 6y − 4) ⇔ λ = (1 − 1) exp(−1 − 3 + 2 + 6 − 4) = 0 · e0= 0 · 1 = 0 . Portanto, a solu¸c˜ao do problema ´e x = 1, y = 1 e λ = 0.

E1) Determine o m´aximo da fun¸c˜_{ao f (x, y) = 4 − x}2

− y2+ 6x mediante a restri¸c˜ao x + y = 3. E2) Determine o m´aximo da fun¸c˜_{ao f (x, y) = exp(−x}2

− y2

+ 2x + y) mediante a restri¸c˜_{ao x − y = 1.} E3) Determine o m´ınimo da fun¸c˜ao f (x, y) =p4 − x2

− y2 _{mediante a restri¸c˜}_{ao x}2

+ y2

(11)

N´ıvel 2

E1) Considere uma produ¸cão dada pela fun¸cão P (K, L) = K3/4_L1/4_{, onde K é o total investido em}

infra-estrutura e maquinário e L é o total investido em trabalho, ambos medidos em reais. Calcule o quanto deve ser investido em cada setor para conseguir a produ¸cão máxima se o total de dinheiro dispon´ıvel para investimentos é R$ 100.000.

E2) De quanto aumentar´a, aproximadamente, a produ¸c˜ao dada no exerc´ıcio E1 caso o total de dinheiro dispon´ıvel para investimento aumente em um real?

E3) Uma companhia planeja gastar R$ 10.000 em uma campanha publicitária. O custo do anúncio em televisão é de R$ 3.000 por minuto e o custo do anúncio em rádio é de R$ 1.000 por minuto. A firma estima que, se forem comprados x minutos em televisão e y minutos em rádio o retorno da campanha em vendas (em milhares de reais) será dado aproximadamente pela fun¸cão

r(x, y) = −2x2− y2+ xy + 8x + 3y . Maximize o retorno dessa firma.

E4) A saúde de um paciente que toma dois tipos de remédios é dada pela fun¸c˜_{ao f (x, y) = 100 − (x − 10)}2

− (y − 20)2, onde f é a saúde do paciente (medida em prcentagem), x é a quantidade do remédio 1 tomada por semana e y e a quantidade do remédio 2 tomada por semana.

a) Calcule as quantidades das duas drogas que devem ser consumidas por semana de modo a maximizar a saúde do paciente e determine qual é a saúde máxima deste.

b) Verifique os efeitos na sa´ude do paciente de limitar-se o total de drogas a serem tomadas a um total de 20 unidades por semana.

N´ıvel 3

E1) Dada a fun¸c˜ao de Cobb-Douglas P (K, L) = AKαL1−α _{e uma restri¸c˜}_{ao or¸cament´}_{aria K + L = Q, calcule}

o n´ıvel de investimento que maximiza a produ¸c˜ao.

E2) Dada a fun¸cão de produ¸cão CES (Constant Elasticity of Substitution) P (K, L) = A [αKρ_{+ (1 − α)L}ρ]1/ρ e uma restri¸cão or¸camentária K + L = Q, calcule o n´ıvel de investimento que maximiza a produ¸cão.

E3) Problema de or¸camento fixo. Considere uma empresa cuja produ¸cão dependa de dois tipos de tra-balhadores especializados segundo uma fun¸cão de produ¸cão Q(x, y), onde x e y são os números totais de horas dispon´ıveis de cada tipo de trabalhador. Suponha que a hora de um trabalhador do primeiro tipo custe p unidades monetárias e que a hora de um trabalhador do segundo tipo custe q unidades monetárias. Supondo que o or¸camento total para ser gasto com esses trabalhadores seja fixo em um valor Q, estabele¸ca uma rela¸cão entre Qx e Qy.

E4) Problema de custos a uma produ¸cão fixa. Suponha que a produ¸cão de uma firma que dependa de dois insumos cujas quantidades são medidas em x e y seja dada por P (x, y) = Axαy1−α e que os seus custos sejam dados por C(x, y) = px + qy. Considerando que a produ¸cão seka fixa, isto é, P (x, y) = K, onde K é uma constante, calcule os valores de x e de y que minimizam os custos da empresa.

(12)

Data Vale do Rio Doce ON Telemar Embraer ON 30/09 64, 33 35, 74 13, 70 01/10 64, 80 35, 58 13, 95 04/10 65, 70 36, 52 14, 22 05/10 66, 54 36, 92 13, 96 06/10 66, 05 36, 62 13, 74 07/10 65, 63 36, 49 13, 55 08/10 63, 87 36, 87 13, 45 11/10 63, 37 36, 19 13, 32

O risco associado a uma carteira geralmente está associado a dois fatores: a volatilidade de cada um dos investimentos, que é o quanto ele oscilou em um determinado per´ıodo, medido por sua variância, e a correla¸cão entre os elementos da carteira. Se dois elementos têm uma correla¸cão alta, se o valor de uma a¸cão cai, a outra deverá cair, também. O melhor é ter uma carteira onde os elementos têm correla¸cão baixa.

Uma fórmula usada pelo mercado financeiro é baseada na variância amostral σade um investimento a e da

covariˆancia σab de dois investimentos a e b, dadas por

σ2_a= 1 n − 1 n X i=1 (rai− ¯ra) 2 , σab = 1 n − 1 n X i=1 (rai− ¯ra) (rbi− ¯rb) ,

onde rai são os retornos de uma determinada a¸cão em diversos momentos i = 1, . . . , n e ¯ra é a média desses

valores: ¯ ra= 1 n n X i=1 rai .

Os valores de retorno podem ser obtidos subtraindo o valor da a¸c˜ao em um determinado dia menos o valor desta no dia imediantamente anterior.

Usando esses termos, a fórmula fica, para uma carteira composta por três a¸cões, r = σ_a2x2_a+ σ_b2x2_b + σ2_cx2_c + 2σabxaxb+ 2σacxaxc+ 2σbcxbxc ,

onde xa, xb e xc são as participa¸cões (em porcentagem) das três a¸cões na carteira.

Encontre a participa¸c˜ao de cada a¸c˜ao que minimize o risco da carteira.

Respostas

N´ıvel 1

E1) x = 3, y = 0 e λ = 0.

E2) x = 1, 25, y = −0, 25 e λ = 1, 5 e1,125_.

E3) qualquer solu¸cão tal que x2+ y2= 1 minimiza a fun¸cão mediante a restri¸cão imposta e λ = ₂√1 3.

N´ıvel 2

E1) K = R$ 75.000, L = R$ 25.000, λ = −0, 25√4

27 ≈ −0, 57. E2) A produ¸c˜ao aumentar´a em, aproximadamente, 0, 57.

E3) A firma deve comprar aproximadamente 2,5 minutos em comerciais de televis˜ao e aproximadamente 2,6 minutos de propaganda em comerciais de r´adio.

E4) a) x∗_{= 10, y}∗_{= 20 e f}∗_{= 100.} _{b) A sa´}_{ude do paciente cai de 100% para 50%.}

N´ıvel 3

(13)

E2) K = (1 − α)1/(ρ−1)Q α1/(ρ−1)_{+ (1 − α)}1/(ρ−1) e L = α1/(ρ−1)_Q α1/(ρ−1)_{+ (1 − α)}1/(ρ−1). E3) Qx= p qQy. E4) x = K A pβ qα 1−α e y = K A pβ qα α .

E5) A solu¸cão aparente para o problema seria uma participa¸cão de −5, 2% da Vale do Rio Doce, 3, 1% da Telemar e 102, 1% da Embraer. No entanto, não podemos ter participa¸cões negativas ou acima de 100% na carteira. Isto ocorre porque além da restri¸cão de que o total da carteira deve somar 1 (100%) tem que ser também usada a restri¸cão de que as a¸cões da Vale do Rio Doce não podem perfazer menos que 0% da carteira. Com isso, temos dois multiplicadores de Lagrange e a solu¸cão válida é que a participa¸cão da Vale do Rio Doce na carteira deve ser 0%, a participa¸cão da Telemar deve totalizar 1,2% e as a¸cões da Embraer devem perfazer 98,8% da carteira.