FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 1
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EMFÍSICA DAUFPE
EXAME FINAL
14 de janeiro de 2016, 9h00. Tempo de duração: 3h00
Questão 1: Método de Separação de Variáveis
Considere a equação diferencial parcial (equação de onda1-d) dada por
∂2y
∂x2 − 1 c2
∂2y
∂t2 = 0
onde y = y(x, t) é a amplitude da "onda" no ponto x e instante t, e c é a velocidade de propagação da onda.
(a) (1 ponto) Use o método de separação de váriáveis e obtenha a solução geral da EDP.
Analise e obtenha a forma da solução geral com relação aos possíveis valores doparâ- metro de separação.
(b) (1 ponto) Para as condições de contorno abaixo:
y(0, t) = 0 e y(1, t) = 0
encontre os possíveis valores do parâmetro de separação ditosvalores característicos.
Obtenha a solução que atende às condições de contorno acima, para os valores carac- terísticos doparâmetro de separação.
Questão 2: Método de Frobenius
Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea:
(1−x2)y′′(x)−x y′(x) +α2y(x) = 0,
(a) (1,5 pontos) Analise e justifique a possibilidade de obtenção de soluções em série de potências em torno do pontox0 = 0.
Caso seja possível, use o método de Frobenius para obter tais soluções.
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 2 (b) (0,5 pontos) Confira se essas soluções são linearmente independentes analisando o cor-
respondente Wronskiano nas vizinhanças do pontox0.
Questão 3: Polinômios de Legendre (a) (1 ponto) Demonstre que, paraℓímpar,
Z 1
0
Pℓ(x)dx= (−1)(ℓ−1)/2(ℓ−1)!
2ℓ(ℓ/2 + 1/2)!(ℓ/2−1/2)!, ℓ ímpar.
ondePℓ(x)é o polinômio de Legendre de ordemℓemx.
(b) (2,0 pontos) Seja a funçãof(x) =|x|no intervalo[−1,1], i.e.
f(x) =
(x se 0≤x≤1
−x se −1≤x≤0
Obtenha os coeficientesaj da expansão def(x)na forma
f(x) =
∞
X
j=0
ajPj(x)
Questão 4: Função de Green
Considere a equação diferencial ordináriaLy(x) =ˆ f(x)onde
L ≡ˆ x2 d2
dx2 + 2x d dx −2
(a) (2,0 pontos) Verifique se o operador diferencialLˆestá na forma Sturm-Liouville e deter- mine a função de Green associada à EDO sujeita às condições de contorno
y(1) = 0 e y(2) = 0
(b) (1 ponto) Encontre a solução quandof(x) =x2.
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Informações Gerais:
Equação de Cauchy-Euler
anxny(n)(x) +an−1xn−1y(n−1)(x) +· · ·+a0y(x) = 0.
y =xm Solução tentativa Polinômios de Legendre
(1−2xt+t2)−1/2 =
∞
X
n=0
Pℓ(x)tℓ (Geratriz)
Pℓ(x) = 1 2ℓℓ!
dℓ dxℓ
(x2 −1)ℓ
. (Rodriguez)
Z 1
−1
Pm(x)Pn(x)dx= 2
2n+ 1δmn (ortogonalidade)
(ℓ+ 1)Pℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xPℓ(x)−ℓPℓ−1(x) (Recorrência) (2ℓ+ 1)Pℓ(x) =Pℓ+1′ (x)− Pℓ′−1(x) (Recorrência)
Pℓ(1) = 1, P2ℓ(0) = (−1)ℓ (2ℓ)!
22ℓ(ℓ!)2, P2ℓ+1(0) = 0
Fórmula de Leibnitz
dn
dxn[f(x)g(x)] =
n
X
j=1
n j
dj
dxjf(x) dn−j dxn−jg(x)
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