ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS

11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A

Ficha de revisão nº 15 1ª Parte

1. Para um certo valor de a e para um certo valor de b a expressão f x

( )

a 1 x b = +

− define a função f cujo

gráfico está parcialmente representado na figura. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) a 0 b 0> ∧ > (B) a 0 b 0> ∧ < © a 0 b 0< ∧ > (D) a 0 b 0< ∧ <

2. Indique o conjunto dos números reais que são solução da inequação 2 x 1 0 2 x + _< − (A)

]

−1,2

[

(B)

] [

1,2 (C)

]

−∞,2

[

(D)

]

2,+∞

[

3. Considere as seguintes funções:

{

} {

}

f : 1,2,3 → 1,2,3 definida pela tabela

g :\→\ definida por g x

( )

=2x 1+

[ ]

{

}

h : 0,4 → 1,2,3 cujo gráfico é

Indique o valor de f−1

( ) (

2 + g hD

)

( )

2

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

4. Considere a função f, de domínio \, definida por _{f x}

( )

_{= −1 x}2

Seja t a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1

2

Qual é a inclinação da recta t?

(A) 30º (B) 45º (C) 135º (D) 150º 5. Na figura estão representados dois vectores, ADJJJG e AEJJJG, de normas 12 e

15, respectivamente.

No segmento de recta [AD] está assinalado um ponto B. No segmento de recta [AE] está assinalado um ponto C.

O triângulo [ABC] é rectângulo e os seus lados têm 3,4,e 5 unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar AD AEJJJG JJJG⋅

(A) 108 (B) 128 (C) 134 (D) 144

6. Indique as soluções da equação 5 2cos x 6+ = que pertencem ao intervalo

[

0,2π

]

(A) 3 π e 4 3 π (B) 3 π e 5 3 π (C) 6 π e 7 6 π (D) 6 π e 11 6 π 2ª Parte

1. Considere, em referencial o. n. Oxyz, o ponto P(0,4,3)

1.1. Seja αo plano que contém o ponto P e é perpendicular à recta de equação vectorial

(

x, y,z

) (

= 0,1, 3− +

) (

k 1,0,2 ,k

)

∈ \

Determine a área da secção produzida pelo plano α na esfera definida pela condição

(

x 2+

) (

2+ y 1−

) (

2 + z 4−

)

2≤3

Sugere-se que:

• Determine uma equação do plano α.

• Mostre que o centro da esfera pertence ao plano α. • Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.

1.2. Admita que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo Oz,

nunca coincidindo com a origem O do referencial.

Seja f a função que faz corresponder, à cota z do ponto Q, o perímetro do triângulo [OPQ].

1.2.1. Mostre que _{f z}

( )

_{= + +z 5 z}2 _{−6z 25+ .}

1.2.2. Sem recorrer à calculadora, determine a cota do ponto Q de modo que o perímetro do

triângulo [OPQ] seja igual a 16.

2. Considera a função f, de domínio I \\

{ }

−2 , definida por f(x) 3 1 2 x = +

+

2.1. Sem recorrer à calculadora, determina o conjunto dos números reais x tais que f(x)≤ −1;

2.2. O gráfico da função f tem duas assímptotas. Escreve as suas equações. 2.3. Determina os intervalos de monotonia de f

2.4. Seja r uma recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0. 2.4.1. Determina uma equação cartesiana da recta r.

2.4.2. Calcular o valor exacto da expressão sen 5 cos

(

7

)

2 α − π + α − π       sabendo que α é a inclinação da recta r.

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11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A

Ficha de revisão nº 15 – Proposta de resolução 1ª Parte

1. (B) Para um certo valor de a e para um certo valor de b a expressão

( )

1

f x a

x b = +

− define a função f cujo gráfico está parcialmente

representado na figura. Sendo y a= e x b= as assímptotas horizontal e vertical respectivamente será a 0 b 0> ∧ <

2. (D) O conjunto dos números reais que são solução da inequação

2

x 1 0 2 x

+ _<

− são todos os números reais de

]

2,+∞

[

porque

2 2 x 1 0 2 x 0 porque x 1 0 em 2 x + _{< ⇔ − < + >} − \ e 2 x 0− < ⇔ − < − ⇔ >x 2 x 2 3. (C) Consideremos as seguintes funções:

{

} {

}

f : 1,2,3 → 1,2,3 definida pela tabela

g :\→\ definida por g x

( )

=2x 1+

[ ]

{

}

h : 0,4 → 1,2,3 cujo gráfico é O valor de f−1

( ) (

2 + g hD

)

( )

2 é 6 porque:

( )

1 f− 2 =3 dado que f 3

( )

=2

(

g hD

)

( )

2 =g h

(

( )

2

)

=g 1

( )

= × + =2 1 1 3

4. (C) Consideremos a função f, de domínio \, definida por _{f x}

( )

_{= −1 x}2_{. Seja t a recta tangente ao}

gráfico de f no ponto de abcissa 1

2. Para encontrar a inclinação α da recta t vamos calcular o declive

sabendo que m f ' 1 e m tg 2   = _{ } = α   . Ora f ' x

( )

= −2x e 1 f ' 1 2   = −     Logo tgα = −1 e α ∈2º Q⇔ α =135º

5. (D) Na figura estão representados dois vectores, ADJJJG e AEJJJG, de normas 12 e 15, respectivamente.

No segmento de recta [AD] está assinalado um ponto B. No segmento de recta [AE] está assinalado um ponto C.

O triângulo [ABC] é rectângulo e os seus lados têm 3, 4 e 5 unidades de comprimento. O valor do produto escalar AD AEJJJG JJJG⋅ é dado por:

n

(

)

4 AD AE AD AE cos AD,AE 12 15 144 5 ⋅ = × × = × × = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

6. (B) Para indicarmos as soluções da equação 5 2cos x 6+ = que pertencem ao intervalo

[

0,2π

]

, vamos resolvê-la: 5 2cos x 6 2cos x 1 cos x 1 x x 5

2 3 3

π π

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∨ =

2ª Parte

1. Considere, em referencial o. n. Oxyz, o ponto P(0,4,3)

1.1. Seja αo plano que contém o ponto P e é perpendicular à recta de equação vectorial

(

x, y,z

) (

= 0,1, 3− +

) (

k 1,0,2 ,k

)

∈ \

Determinemos a área da secção produzida pelo plano α na esfera definida pela condição

(

x 2+

) (

2 + y 1−

) (

2+ z 4−

)

2 ≤3

Vamos:

• Determinar uma equação do plano α.

Como

(

1,0,2

)

são as coordenadas de um vector normal ao plano a equação será x 2z D+ = que substituindo as variáveis pelas coordenadas do ponto P ficará 0 2 3 D+ × = ⇔ =D 6

Uma equação do plano é x 2z 6+ =

• Mostremos que o centro da esfera pertence ao plano α.

O centro da esfera é o ponto de coordenadas

(

−2,1,4

)

, substituindo na equação do plano fica

2 2 4 6 6 6

− + × = ⇔ = o que prova que o centro da esfera pertence ao plano.

• Atendendo ao ponto anterior, a secção é um círculo de centro no centro da esfera e raio

3 como o da esfera, a área da secção é então A= π ×

( )

3 2 ⇔A 3= π

1.2. Admitamos que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo Oz, nunca coincidindo com a

origem O do referencial.

Seja f a função que faz corresponder, à cota z do ponto Q, o perímetro do triângulo [OPQ].

1.2.1. Mostremos que _{f z}

( )

_{= + +z 5 z}2_{−6z 25+ , considerando que Q 0,0,z}

(

)

_{, vamos}

calcular: 2 _{2 2} 2 OP =3 +4 ⇔OP =25⇔OP 5= OQ z=

(

)

2 ₂ 2 2 _{2 2} QP =4 + z 3− ⇔QP =16 z+ −6z 9+ ⇔QP= z −6z 25+ Finalmente o perímetro é f z

( )

= + +z 5 z2−6z 25+

1.2.2. Sem recorrer à calculadora, determinemos a cota do ponto Q de modo que o perímetro do

triângulo [OPQ] seja igual a 16: 16 z 5= + + z2 −6z 25+ ⇔ z2 −6z 25 11 z+ = − ⇒

2 2

z −6z 25 121 22z z+ = − + ⇔16z 96= ⇔ =z 6

2. Considera a função f, de domínio I \\

{ }

−2 , definida por f(x) 3 1 2 x = +

+

2.1. Sem recorrer à calculadora, determinemos o conjunto dos números reais x tais que f(x)≤ − ; 1

1 6 3x 1 6 3x 1 2 x 4x 9 9 3 1 1 0 0 0 x , 2 2 x 2 x 2 x 2 x 4 + + + + + + +   + ≤ − ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ∈ −_ − _ + + + +   x −∞ 9 4 − −2 +∞ 4x 9+ - 0 + + + 2 x+ - - - 0 + 4x 9 2 x + + + 0 - ND +

2.2. O gráfico da função f tem duas assímptotas. Uma vertical de equação x= −2 e uma horizontal de equação y 3=

2.3. f é decrescente em

]

−∞ −, 2

[

e em

]

− +∞2,

[

2.4. Seja r uma recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0. 2.4.1. Para determinarmos uma equação cartesiana da recta r vamos:

Calcular a derivada da função

( )

(

)

2 1 f ' x 2 x = − + Calcular f ' 0

( )

1 4 = − Calcular f 0

( )

3 1 7 2 2 = + = Equação da recta y 1x 7 4 2 = − +

2.4.2. Para calcularmos o valor exacto da expressão sen 5 cos

(

7

)

2

α − π + α − π

 

 

  sabendo que

α é a inclinação da recta r, começamos por ver que sabemos ser tg 1 4 α = − e pretendemos calcular

(

)

(

)

5 sen cos 7

2 sen 2 cos cos cos 2cos

α − π + α − π  π

  _{= α − + α − π = − α − α = − α}

   

De 2 2 1 1 tg cos + α = α resulta que 2 2 2 1 1 17 1 16 4 4 17

1 cos cos cos

16 cos 16 cos 17 17 17 + = ⇔ = ⇔ α = ⇔ α = − ⇔ α = − α α Pelo que

(

)

5 sen cos 7 2 4 17 8 17 2cos 2 17 17 α − π + α − π   _{= − α = − × − =}    