Processamento Digital de Imagens

Processamento Digital

de Imagens

Equalização de Histograma

Prof. Sergio Ribeiro

Ciência da Computação

Tópicos

Equalização de Histograma

Abordagem Contínua da Equalização

Abordagem Discreta da Equalização

Exemplo de Equalização

Processamento Digital de Imagens 2

Equalização de Histograma

Técnica que procura redistribuir os valores de

tons de cinza dos pixels em uma imagem.

Objetivo ⇒ tornar o histograma uniforme ou

seja, o número (

percentual

) de pixels de

qualquer nível de cinza é praticamente o

mesmo.

Para isso, utiliza-se uma função auxiliar ⇒

função de transformação.

Equalização de Histograma

r ⇒ variável que representa os níveis de cinza

de uma imagem a ser realçada.

Formulação contínua ⇒ valores dos pixels são

quantidades contínuas normalizadas com valores

no intervalo [0,1].

r = 0 ⇒ representando o preto r = 1 ⇒ representando o branco

Formulação discreta ⇒ valores de pixels no

intervalo [0, L-1].

Equalização de Histograma

Para qualquer r no intervalo [0,1], considerar transformações da forma:

s = T (r)

que produz um nível s para todo pixel r na original. Assumir que a função de transformação acima satisfaz as condições:

(a)T (r) é univariada e monotonicamente crescente; e

(b)0 ≤ T (r) ≤ 1 para 0 ≤ r ≤ 1

Condição (a) ⇒ preserva a ordem de preto para o branco na escala de cinza.

Condição (b) ⇒ garante um mapeamento consistente com o intervalo permitido.

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Equalização de Histograma

Processamento Digital de Imagens

A figura ao lado ilustra uma

função de transformação

que satisfaz essas condições.

A transformação inversa de

s para r é dada por:

r = T-1_{(s) 0 ≤ s ≤ 1}

T

-1

_{(s) também satisfaz as condições (a) e (b)}

com relação à variável s.

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Equalização de Histograma

Os níveis de cinza numa imagem podem ser vistos como quantidades randômicas no intervalo [0,1]. Se os N.C. numa imagem forem variáveis contínuas, então os N.C. originais e transformados podem ser caracterizados por suas funções densidade de probabilidade p_r(r) e p_s(s), respectivamente.

Subscritos de p são usados para indicar que pre pssão

funções diferentes.

Teoria elementar das probabilidades: se p_r(r) e T(r) são conhecidas e T-1_{(s) satisfaz (a) então a função}

densida-de densida-de probabilidadensida-de dos N.C. transformados é:

Equalização de Histograma

Realce por equalização ⇒ baseia-se na modificação da imagem através do controle da função densidade de probabilidade dos N.C. via função de transformação T (r). Se a densidade ps(s) for constante, então a imagem

apresenta uma densidade uniforme. Neste caso,

(1)

Lado direito da equação ⇒ reconhecido como uma função de distribuição acumulada (cdf ) de r.

Equalização de Histograma

Processamento Digital de Imagens

Da equação (2), a derivada de s com relação a r é: Substituindo-se dr/ds na equação (1) resulta:

que é uma densidade uniforme no intervalo da definição da variável transformada s.

Consequência ⇒ uso de função de transformação igual à cdf de r produz uma imagem com N.C. com densidade uniforme. Em termos de realce, resultado implica num aumento da escala dinâmica dos pixels.

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Abordagem Contínua da

Equalização de Histograma

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Ilustração do método de transformação por densidade uniforme:

Função densidade de probabilidade original

Função de transformação Densidade uniforme resultante

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Abordagem Contínua da

Equalização de Histograma

Antes de apresentarmos a abordagem discreta, vamos considerar a abordagem contínua usando as equações vistas.

Assumimos que os níveis r tenham função densidade de probabilidade mostrada na fig (a). Nesse caso pr(r) é:

substituindo-se esta expressão na eq. (2) resulta a função de transformação:

Abordagem Contínua da

Equalização de Histograma

Embora T (r) seja suficiente para a equalização do histograma, é interessante mostrar que a densidade resultante ps(s) é de fato uniforme. Resolvendo para

r em termos de s temos:

Desde que r fica no intervalo [0,1], apenas a solução:

Abordagem Contínua da

Equalização de Histograma

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A função densidade de probabilidade de s é obtida através da equação (1):

que é uma densidade uniforme no intervalo desejado. Figura (b) ⇒ T (r)

Figura (c) ⇒ ps(s)

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Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

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Para serem úteis em processamento de imagens, os conceitos mostrados anteriormente devem ser formulados em forma discreta.

Maneira mais usual de se equalizar um histograma ⇒ utilizar a função de distribuição acumulada (cdf – cumulative distribution function) da distribuição de probabilidades original.

Pode ser expressa por:

sk= T(rk) =

Σ

_j=0 k n_j n =

Σ

j=0 k pr (rj) onde: 0 ≤ rk≤ 1 K = 0,1,...,L-1 14

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Convém notar que outras funções de

transformação, que não a cdf, podem ser

especificadas.

Veremos passo a passo os procedimentos para

realizar a equalização de histograma a partir

de um exemplo.

No final faremos a interpretação da equalização

obtida comparando com o resultado ideal.

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Considere o histograma da tabela ao lado, ilustrado graficamente na figura seguinte. Equalizá-lo utilizando a função de distribuição acumulada e plotar o histograma resultante. n.c. (rk) nk pr 0 1120 0,068 1 3214 0,196 2 4850 0,296 3 3425 0,209 4 1995 0,122 5 784 0,048 6 541 0,033 7 455 0,028 total 16384 1,0

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

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histograma original:

Assim como o eixo vertical, o eixo horizontal também pode ser normalizado para [0,1].

Nosso interesse no histograma está concentrado na interpretação.

A forma e o significado do histograma não são afetados pela numeração dos eixos.

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Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Processamento Digital de Imagens

Solução

utilizando a cdf como função de transformação, calculamos: s₀= T(r₀) =

_Σ

j=0 0 p_r (r_j) = p_r(r₀) = 0,068 s₁= T(r₁) =

Σ

j=0 1 p_r(r_j) = p_r(r₀) + p_r(r₁) = 0,264 s₂= T(r₂) =

_Σ

j=0 2 p_r(r_j) = p_r (r₀) + p_r (r₁) + p_r(r₂) = 0,560 n.c. (rk) nk pr 0 1120 0,068 1 3214 0,196 2 4850 0,296 3 3425 0,209 4 1995 0,122 5 784 0,048 6 541 0,033 7 455 0,028 total 16384 1,0 18

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

s₃= 0,769 s₄= 0,871 s₅= 0,939 s₆= 0,972 s₇= 1

Esta função é plotada abaixo:

Função de transformação utilizada para a equalização.

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Como a imagem foi quantizada com 8 níveis de

cinza, cada valor s

j

deverá ser arredondado para

o valor válido (múltiplo de 1/7) mais próximo.

Desta forma:

s_{0≅ 0} s_{1≅ 2/7} s_{2≅ 4/7} s_{3≅ 5/7} s₄≅ 6/7 s₅≅ 1 s₆≅ 1 s₇≅ 1

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Concluindo o mapeamento ⇒ verifica-se que o

nível original r

₀

= 0 foi mapeado para s

₀

= 0 e,

portanto, a raia correspondente não sofreu

alteração.

Os 3214 pixels que apresentavam tom de cinza

1/7 foram remapeados para s

₁

= 2/7.

Similarmente, os pixels com tom de cinza 2/7

foram modificados para 4/7.

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Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Aqueles com r = 3/7 passaram a 5/7 e os de

4/7 mapearam em 6/7.

Notar que as três raias correspondentes aos

pixels com tons de cinza 5/7, 6/7 e 1 foram

somadas em uma só raia, com tom de cinza

máximo (1).

Agrupando os resultados em uma tabela,

resulta o histograma após a equalização.

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Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

rk nk pr (rk) sk nkeq. ps (sk) 0 1120 0,068 S₀= 0,068 ≅ 0 1120 0,068 1/7 3214 0,196 S₁= 0,264 ≅ 2/7 0 0,0 2/7 4850 0,296 S₂= 0,560 ≅ 4/7 3214 0,196 3/7 3425 0,209 S₃= 0,769 ≅ 5/7 0 0,0 4/7 1995 0,122 S4= 0,891 ≅ 6/7 4850 0,296 5/7 784 0,048 S5= 0,939 ≅ 1 3425 0,209 6/7 541 0,033 S6= 0,972 ≅ 1 1995 0,122 1 455 0,028 S7= 1 1780 0,109 total 16384 1,0 16384 1,0

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Abordagem Discreta da

Equalização de Histograma

Pode-se notar que o histograma equalizado, apesar de estar longe de perfeitamente plano, apresenta melhor distribuição de pixels ao longo da escala de cinza em relação ao original.

Fato: histograma equalizado não é plano. Isto não surpreende porque nada na aproximação discreta do resultado contínuo anteriormente derivado nos indica que ele deveria ser plano.

O que acontece se for aplicado uma equalização a um histograma que já foi equalizado?

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Exemplo de Equalização

Se a imagem original possui baixo contraste, a

imagem equalizada apresenta uma melhora

sobre a imagem original bastante evidente.

Técnicas de equalização de histogramas também

podem ser aplicadas a trechos de imagens

(

janelas m × n

).

Técnicas locais servem principalmente para

realçar detalhes sutis de pequenas porções da

imagem.

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Exemplo de Equalização

Resultados equivalentes no realce poderiam ser

obtidos no uso da técnica alargamento de

contraste visto antes.

Vantagem da equalização de histograma sobre

técnicas manuais de alteração de contraste ⇒

completamente automática.

A figura a seguir apresenta um exemplo de

aplicação da técnica de equalização de

histograma para aumentar o contraste de uma

imagem 446×297 com 256 tons de cinza.

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Exemplo de Equalização

Aplicação da equalização a imagem com baixo contraste:

Resultado ⇒ aumento da escala dinâmica dos N.C. ⇒ aumento do contraste 28