RESUMO DE DADOS
1 TIPOS DE VARIÁVEIS
Em estatística, uma variável é um atributo mensurável que tipicamente varia entre indivíduos de uma população. As variáveis podem ser classificadas em quantitativas e qualitativas.
As variáveis quantitativas se caracterizam por ser numericamente mensuráveis, como idade, altura, peso. Estas podem contínuas quando assumem valores pertencentes a um intervalo de números reais como, por exemplo, estatura e peso. Mas podem também ser do tipo discreta, cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números e que resultam frequentemente de uma contagem como, por exemplo, número de filhos, número de cigarros fumados por dia.
As variáveis qualitativas estão associadas a qualidades ou atributos do indivíduo pesquisado e não podem ser mensuráveis numericamente. As variáveis qualitativas podem ser do tipo nominal, para a qual não permite nenhuma ordenação nas possíveis realizações como, por exemplo, cor dos olhos, local de nascimento. Já a variável qualitativa do tipo ordinal caracteriza-se por permitir ordenação, como classe social, grau de escolaridade.
Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma qualitativa. Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa (contínua); mas se considerar-se apenas faixas etárias (0 a 5 anos, 6 a 10 anos, etc.), passa a ser qualitativa (ordinal). Outro exemplo é o peso de lutadores de boxe, considerada originalmente uma variável quantitativa (contínua), mas que pode se tornar qualitativa (ordinal) se for considerado as categorias do boxe (peso-pena, peso-leve, peso-pesado, etc.).
Outro ponto importante é que nem sempre uma variável representada por números é quantitativa. Exemplos disso são as variáveis qualitativas: número de telefone, número da residência, número do RG. Exemplo semelhante de variável qualitativa é o sexo do filhote, que pode ser registrado como 1 para macho e 2 para fêmea, por exemplo.
2 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS
Quando se resume uma grande quantidade de dados, costuma-se frequentemente distribuí-los em classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma das classes, o que se chama freqüência de classe.
Uma distribuição de freqüência ou tabela de freqüência é um arranjo tabular dos dados distribuídos por classes, juntamente com as freqüências correspondentes.
A tabela seguinte contém informações relativas aos 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB.
Os dados da tabela anterior podem ser resumidos de várias formas. A tabela seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável grau de instrução. Observando os resultados da segunda coluna, vê-se que 12 empregados têm o ensino fundamental, 18 o ensino médio e 6 possuem o ensino superior, de um total de 36 empregados.
Outra medida útil na interpretação de tabelas de freqüências é a proporção de cada realização em relação ao total, também chamada de freqüência relativa. Expressa como proporção ou porcentagem (terceira e quarta colunas da tabela, respectivamente), permite comparar resultados de duas pesquisas distintas como, por exemplo, comparar a distribuição de freqüências quanto ao grau de instrução de empregados de diferentes seções de uma empresa, ou ainda, comparar a evolução do grau de instrução em diferentes anos.
A tabela seguinte refere-se à distribuição de freqüências dos salários dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB por faixa de salários. Os dados relativos aos salários foram agrupados por faixas, pois de outro modo não seria possível resumi-los, pois não existem observações iguais.
Nota-se que, ao resumir os dados referentes a uma variável contínua, perde-se alguma informação. Não se sabe, por exemplo, quais os 8 salários da classe de 12 a 16, supondo-se que todos os 8 são iguais ao ponto médio da classe, que é 14.
Quanto à definição das classes, cada classe é definida por um intervalo, chamado intervalo de classe. A escolha dos intervalos é arbitrária. Entretanto, deve-se observar que um número
pequeno de classe perde-se informação, e com um número grande de classes, o objetivo de resumir fica prejudicado. Geralmente, utiliza-se a mesma amplitude para todas as classes, embora possam ser usados intervalos de classes desiguais.
3 GRÁFICOS
A visualização de uma tabela de freqüências fica mais fácil por meio de sua representação gráfica. Existem vários tipos de gráficos que podem ser usados para este fim.
3.1 Gráficos para variáveis qualitativas
A partir da tabela de freqüências exemplificada anteriormente, relativa ao grau de instrução, é apresentado o gráfico em barras a seguir.
O gráfico em barras consiste na construção de retângulos ou barras, em que uma das dimensões é proporcional à magnitude a ser representada, sendo a outra arbitrária, porém igual para todas as barras. As barras são dispostas horizontalmente ou verticalmente, paralelamente umas às outras.
A figura seguinte exibe o gráfico de composição em setores para a tabela de freqüências relativas aos salários, apresentada anteriormente. O gráfico de composição em setores consiste num círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido em setores, que correspondem às partes de maneira proporcional.
3.2 Gráficos para variáveis quantitativas
A variedade de representações gráficas para variáveis quantitativas é maior do que para variáveis qualitativas. Além dos gráficos em barras e em setores, é possível utilizar muitas outras formas de representação gráfica. Considere-se a seguinte tabela de freqüências, obtida a partir dos dados dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB.
A figura a seguir exibe o gráfico de dispersão unidimensional para a mesma tabela de freqüências. Nesse tipo de gráfico, os valores são representados por pontos ao longo da reta (provida de uma escala). Valores repetidos são acompanhados por um número que indica as repetições (gráfico (a)). Outra possibilidade é empilhar os valores repetidos, como mostra o gráfico (b). Ou, ainda, apresentar o ponto mais alto da pilha, como em (c).
Considerando a tabela de freqüências relativas às classes de salário, apresentada anteriormente, é possível representá-la graficamente por um gráfico de barras. Todavia, faz-se necessário usar o artifício de aproximar a variável contínua por uma variável discreta, sem perder muita informação. Nesse caso, supôs-se que todos os salários em determinada classe são iguais ao ponto médio dessa classe.
Considerando a tabela de freqüências que considera as classes de salários dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, é possível construir outro tipo de gráfico, denominado histograma.
O histograma é um gráfico em barras contíguas, com as bases proporcionais aos intervalos das classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva freqüência. Pode-se usar tanto a freqüência absoluta (ni) como a relativa (fi). Considerando a amplitude do i-ésimo
intervalo por Δi, para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a fi, a sua altura
deve ser proporcional a fi / Δi (ou a ni / Δi), que é chamada densidade de freqüência da i-ésma
classe. Quanto mais dados se tem em uma classe, mais alto deve ser o retângulo. Com essa convenção, a área total do histograma será igual a 1.
A seguir, é apresentado outro histograma relativo à tabela de freqüências que considera o número de filhos dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, o que mostra a possibilidade de construção de histogramas para variáveis discretas.
EXERCÍCIOS
1) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
8 11 8 12 14 13 11 14 14 15
6 10 14 19 6 12 7 5 8 8
10 16 10 12 12 8 11 6 7 12
7 10 14 5 12 7 9 12 11 9
14 8 14 8 12 10 12 22 7 15
a. Represente os dados graficamente. b. Faça um histograma.
2) Você foi convidado para chefiar uma seção da Companhia MB, podendo escolher entre a seção de orçamentos e a seção técnica. Após analisar o tipo de serviço realizado pelas duas seções, você ficou indeciso e resolveu tomar a decisão baseado em dados fornecidos para as duas seções, exibidos nas tabelas seguintes. Baseado nesses dados, qual seria a sua decisão? Justifique.
SEÇÃO DE ORÇAMENTOS SEÇÃO TÉCNICA
Instrução Frequência Fundamental 12 Médio 18 Superior 6 Total 36 Instrução Frequência Fundamental 15 Médio 30 Superior 5 Total 50 Classe de salários Frequência [4,00; 8,00) 10 [8,00; 12,00) 12 [12,00; 16,00) 8 [16,00; 20,00) 5 [20,00; 24,00) 1 Total 36 Classe de salários Frequência [7,50; 10,50) 14 [10,50; 13,50) 17 [13,50; 16,50) 11 [16,50; 19,50) 8 Total 50
3) Construa os seguintes gráficos, com base nas tabelas de freqüência da questão anterior: a. Gráfico em setores para a variável instrução relativa à seção técnica.
b. Gráfico em barras para a variável classe de salários relativa à seção técnica. 4) As tabelas seguintes exibem a freqüência e a freqüência acumulada dos salários de 70
empregados da empresa P&R. Com base nesses dados, construa o histograma relativo à segunda tabela e o gráfico da freqüência acumulada relativo à última tabela.
Salários Frequência [5.000,00; 6.000,00) 8 [6.000,00; 7.000,00) 10 [7.000,00; 8.000,00) 16 [8.000,00; 9.000,00) 15 [9.000,00; 10.000,00) 10 [10.000,00; 11.000,00) 5 [11.000,00; 12.000,00) 3 [12.000,00; 13.000,00) 0 [13.000,00; 14.000,00) 1 [14.000,00; 15.000,00) 0 [15.000,00; 16.000,00) 1 [16.000,00; 17.000,00) 0 [17.000,00; 18.000,00) 1 Total 70 Salários Frequência [5.000,00; 6.000,00) 8 [6.000,00; 7.000,00) 10 [7.000,00; 8.000,00) 16 [8.000,00; 9.000,00) 15 [9.000,00; 10.000,00) 10 [10.000,00; 11.000,00) 5 [11.000,00; 12.000,00) 3 [12.000,00; 18.000,00) 3 Total 70 Salários Frequência [5.000,00; 6.000,00) 8 [6.000,00; 7.000,00) 18 [7.000,00; 8.000,00) 34 [8.000,00; 9.000,00) 49 [9.000,00; 10.000,00) 59 [10.000,00; 11.000,00) 64 [11.000,00; 12.000,00) 67 [12.000,00; 18.000,00) 70
5) A MB Indústria e Comércio, desejando melhorar o nível de seus funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, a notas e graus obtidos no curso estão na tabela a seguir. Como havia dúvidas quanto à adoção de um único critério de avaliação, cada instrutor adotou seu próprio sistema de aferição. Usando dados da tabela, responda a seguir:
a. Após observar atentamente cada variável, e com o intuito de resumi-las, como você identificaria (qualitativa ordinal ou nominal e quantitativa discreta ou contínua) cada uma das nove variáveis listadas?
b. Sugira um agrupamento por classes de notas para resumir os dados de cada uma das variáveis: administração, direito e política.
c. Construa o histograma para as notas da variável redação.
d. Construa a distribuição de freqüências da variável metodologia e faça um gráfico para indicar essa distribuição.
6) A tabela seguinte fornece a distribuição de 250 empresas classificadas segundo o número de empregados. Nessa tabela, observa-se que são utilizados intervalos de classes
desiguais devido às diferenças de concentração de indivíduos nas classes. Para construir o histograma, basta lembrar que a área total deve ser igual a 1 (ou 100%), o que sugere usar no eixo das ordenadas os valores de fi/Δi.
7) Uma medida muito usada para descrever dados quantitativos é a frequência acumulada, que indica quantos elementos, ou que porcentagem deles, está abaixo de certo valor. Na tabela a seguir, a terceira e a quinta colunas indicam, respectivamente, a freqüência absoluta acumulada e a proporção (porcentagem) acumulada. Desta forma, observando a tabela, podemos afirmar que 27,78% dos indivíduos ganham até oito salários mínimos; 61,11% ganham até 12 salários mínimos, e assim por diante. Com base na tabela, construa o gráfico para as porcentagens acumuladas.
A figura seguinte exibe o diagrama ramo-e-folhas para os dados de dureza apresentados anteriormente, no qual se optou por truncar cada valor, omitindo os décimos. Esta forma de resumo de dados apresenta como vantagem em relação ao histograma a menor perda (ou perda nenhuma) de informação sobre os dados em si.
Agora considere as taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil, exibidos na tabela a seguir, e construa os gráficos e/ou diagramas solicitados.
a. Histograma.
b. Dispersão unidimensional. c. Ramo-e-folhas.
