ESTIMAÇÃO DO TEMPO DE PRATELEIRA DE UM
PRODUTO PERECÍVEL A PARTIR DE DADOS DE
INSPEÇÃO
CLÁUDIO JOSÉ MONTENEGRO DE ALBUQUERQUE
Departamento de Engenharia de Produção – UFPE
JACIRA GUIRO CARVALHO DA ROCHA
Departamento de Estatística - UFPE
Abstract:
In this work, a problem of estimation of shelf time of food products is studied. A data base coming from a food products industry was used, in which the collected opinions of panelists is used to assess the food product’s quality according the attributes odor, flavor and appearance. A model that can find percents of failure time and, in the same way, with the known failure time to find the percents corresponding to that failure times, was fitted to this data base.
Keywords: reliability, shelf time, logistic regression.
1. Introdução
A análise de confiabilidade tem seu principal foco direcionado para um grupo ou grupos de elementos em que para cada um deles há um evento de interesse chamado falha, o qual ocorre após um determinado intervalo de tempo chamado tempo de falha. A falha ocorre no máximo uma vez em cada elemento.
Para se determinar precisamente o tempo de falha há três exigências: um tempo de origem definido de forma não ambígua, uma escala de medição da passagem do tempo e a definição precisa de falha [Cox and Oakes, 1984].
Muitas vezes o interesse concentra-se apenas na distribuição do tempo de falha de um único grupo. Freqüentemente, deseja-se comparar os tempos de falha de dois ou mais grupos para ver, por exemplo, se os tempos de falha dos elementos são sistematicamente maiores no segundo grupo de que no primeiro. Deforma alternativa, valores de covariáveis podem estar disponíveis para cada indivíduo, as quais podem estar relacionadas com a sobrevivência. Basicamente dois tipos de problemas são enfocados: (a) Estimação da forma e de outras características da distribuição dos tempos de falha; (b) Quantificação do relacionamento entre os tempos de falha e as covariáveis. As covariáveis, ou variáveis explicativas, contribuem fornecendo informação adicional sobre cada elemento, informações essas que, se presume, podem influenciar o valor do tempo de falha.
2. Tempo de Falha de um Produto
A vida de um produto é a duração de tempo durante a qual ele funciona adequadamente. Produtos produzidos de forma similar, mesmo quando usados sob condições idênticas, não falham com a mesma duração de tempo. Supõe-se então que a vida de um item é governada por uma distribuição de probabilidade chamada distribuição de vida. A Análise de confiabilidade usa distribuições de vida nas ciências da engenharia e em pesquisas
pertinentes a alimentos e outros produtos de consumo [Freitas e Colosimo, 1997]. A vida de um produto alimentar ou qualquer produto de consumo é chamada tempo de prateleira ou tempo de estocagem. A distribuição do tempo de vida de um bem de consumo durável é utilizada para se estabelecer seu prazo de garantia. A distribuição do tempo de vida de equipamentos ou de componentes de sistemas mais complexos é utilizada para se estabelecer programas de manutenção desses equipamentos.
3. Dados Resultantes de Inspeções
Em muitos experimentos, sabe-se apenas que o tempo de falha de uma unidade tem lugar antes ou depois de um determinado instante. Cada observação é ou censurada à direita ou censurada à esquerda. Tais dados de tempo de vida ocorrem se cada unidade é inspecionada apenas uma vez para se constatar se já falhou ou não. Esses dados são dados de resposta quantal, ou dados resposta tudo ou nada [Nelson, 1982]. Dados resultantes de inspeções podem ser obtidos a partir de dois procedimentos:
− Dados de resposta quantal (realiza-se exatamente uma inspeção em cada unidade para se verificar se ela falhou ou não);
− Dados intervalares (realiza-se um número qualquer de inspeções numa unidade).
3.1 Dados de Resposta Quantal
Uma unidade é inspecionada apenas uma vez. Se a unidade falhou, sabe-se apenas que seu tempo de falha foi anterior ao tempo da inspeção.
3.2 Dados Intervalares
Para alguns produtos, uma falha é encontrada somente na inspeção, por exemplo, uma peça rachada no interior de uma máquina. Se for constatado que uma unidade falhou, sabe-se apenas que a falha ocorreu entre aquela inspeção e a anterior. Também, se uma unidade não falhou na sua mais recente inspeção, sabe-se apenas que seu tempo de falha é superior ao tempo de inspeção.
4. Modelos de Tempo de Vida
Uma suposição fundamental na análise estatística de experimentos pertinentes a tempo de vida é que a distribuição do tempo de vida do produto pertença a uma família de distribuições de probabilidade. Os parâmetros de uma distribuição de probabilidade relacionam, diretamente ou indiretamente, valores das medidas de locação e escala a aspectos físicos do produto. Os parâmetros de distribuições do tempo de vida são estimados através do uso de dados experimentais. Uma vez estimados os parâmetros de um modelo de tempo de vida, esses podem ser utilizados para a predição de probabilidades relativas a vários eventos, tais como falhas futuras [Gacula and Singh, 1984].
Boa parte dos experimentos para estimar o tempo de falha de um produto resulta em variáveis binárias do tipo falhou, não falhou, pois dificilmente observa-se o tempo exato quando a falha ocorreu. Esses dados resultantes de inspeções são identificados como dados de proporções ou contagens. Modelando proporções, onde o ponto de partida comum é o modelo de regressão binomial, utilizam-se modelos lineares generalizados.
4.1 Modelos de Regressão Logística
Num estudo de resposta binária, a variável aleatória Yi representa o número de
sucessos em amostras de tamanhos mi , i=1,2,...,n.
Se E(Yi)=µi=miπi
um modelo linear generalizado permite modelar as proporções esperadas πi em função das
variáveis explicativas xi por meio de
G(πi)=β’ xi
Onde g é uma função de ligação e β um vetor de p parâmetros desconhecidos. A especificação usual do erro é
Yi∼B(mi , µi) com função de variância dada por
V(Yi)=miµi(1-µi)
A função de ligação canônica para a distribuição binomial é a ligação logito. G(µi)=logito[µi/mi-µi)]=logito[πi/(1-πi)]=ηi.
O modelo logístico é bastante utilizado para modelar tempo de falha de produtos a partir de dados resultantes de inspeções, onde a variável resposta é do tipo zero um [Dalal et al., 1989]. O modelo permite estimar as proporções de falhas em função das variáveis explicativas, dentre as quais inclui-se o tempo.
5. Aplicação
O experimento consistiu em se avaliar as características odor, sabor e aparência de caldo de galinha acondicionado sob três condições: câmara climática, ambiente e estufa. Uma amostra de caldo de galinha de mesmo lote, fórmula, etc., foi selecionada, preparada e avaliada semanalmente. A avaliação das características de interesse – odor, sabor e aparência foi feita por meio de um painel de degustadores. Cada degustador recebeu, a cada semana, uma amostra do produto e atribuiu nota de 0 a 6 a cada uma. As avaliações dessas amostras tiveram início em 11 de julho de 1995 e continuaram, com periodicidade semanal, até 24 de junho de 1996. Como o experimento visava tanto a estimação da degradação do produto através do tempo como também a avaliação da influência das condições de acondicionamento na conservação ou deterioração do produto, cada degustador avaliou, semanalmente, três amostras: uma proveniente do produto armazenado em câmara climática, outra do produto acondicionado sob condições do ambiente e uma terceira do produto mantido em estufa. Por exemplo, para a 44ª semana, sob condição ambiental, os sete degustadores ( d2, d21, d16, d3, d13, d1 e d32) atribuíram as seguintes notas, para os atributos odor, sabor e aparência:
Semana 44ª Condição: Ambiente Atributo d.2 d.21 d.16 d.3 d.13 d.1 d.32 Odor 4 5 4 5 1 0 4 Sabor 5 5 4 4 3 3 5 Aparência 5 4 4 4 2 3 4
De acordo com a empresa fabricante, o produto é adequado ao consumo quando recebe notas superiores ou iguais a quatro. Desta forma, considera-se que o produto falhou, isto é, foi considerado inadequado ao consumo, quando recebeu notas inferiores ou iguais a três em pelo menos um desse atributos.
5.1 Descrição do Banco de Dados
Os dados originais consistiam numa relação de notas em que, para cada semana tinha-se: condição de acondicionamento, número de identificação do degustador e nota de cada degustador para cada uma das características (odor, sabor e aparência). Para a aplicação de procedimentos estatísticos pertinentes a dados categóricos, os dados iniciais foram transformados. Foram registrados, para cada semana, os seguintes resultados: número de ordem da semanas; número de degustadores, que corresponde ao número de avaliações; e, para cada característica observada, o número de avaliações com notas inferiores ou iguais a três, ou seja, o número de amostras rejeitadas. Para as condições ambiente e estufa, também foram observadas a temperatura e a umidade; na condição câmara climática, a temperatura foi mantida constante em 37ºC e umidade em 80%. Na estufa observou-se temperatura média de 37ºC e umidade média de 49%. Sob condições ambientais, esses valores médios foram 25ºC e 51%, respectivamente.
Esses dados são censurados à esquerda e à direita, se formos bastante rigorosos em nossa observação. São censurados à esquerda quando um degustador atribui uma nota menor
ou igual a três, numa determinada semana, quando na realidade a falha (o fato de o produto Ter-se tornado impróprio para o consumo) ocorreu em qualquer instante de tempo anterior àquele, mas que se desconhece. Por outro lado, são censurados à direita quando um degustador atribui uma nota superior ou igual a quatro, numa determinada semana, mas de fato o produto irá falhar num instante de tempo posterior àquele, desconhecido àquela altura. Em termos práticos, podemos tratar os resultados desse experimento como se fossem tempos de falhas exatos, avaliados com freqüência semanal.
5.2 Modelagem
Depois de várias tentativas, na busca de um modelo que descrevesse adequadamente o comportamento da proporção de itens rejeitados em função do tempo (em semanas) e da condição de armazenamento, foi ajustado um modelo de regressão logística. O modelo de regressão logística adotado concluiu que as covariáveis temperatura e umidade não se mostraram significativas, para explicar o comportamento do número de notas inferiores ou iguais a três. O modelo que melhor se ajustou aos dados identificou uma interação entre o valor do fator correspondente à condição de acondicionamento e o tempo, expresso em semanas. É bom lembrar que a condição de acondicionamento traz embutidos os valores da temperatura e da umidade, covariáveis que contribuem, de forma preponderante, para caracterizar a condição de acondicionamento.
A variável resposta é o número de itens rejeitados (com notas, na característica considerada, inferiores ou iguais a três). Para a realização dos cálculos, foi utilizado o pacote estatístico GLIM [Aitkin et al., 1989].
Para o armazenamento na condição câmara climática, foram obtidos os seguintes resultados: sem sem sem câmara geral sem sem sem câmara aparência sem sem sem câmara sabor sem sem sem câmara odor e e p e e p e e p e e p 1023 , 0 289 , 2 1023 , 0 289 , 2 , , 09575 , 0 405 , 3 09575 , 0 405 , 3 , , 1036 , 0 337 , 2 1036 , 0 337 , 2 , , 08882 , 0 446 , 2 08882 , 0 446 , 2 , , 1 1 1 1 + − + − + − + − + − + − + − + − + = + = + = + =
sem sem sem ambiente geral sem sem sem ambiente aparência sem sem sem ambiente sabor sem sem sem ambiente odor e e p e e p e e p e e p 08384 , 0 0714 , 2 08384 , 0 0714 , 2 , , 08384 , 0 49558 , 3 08384 , 0 49558 , 3 , , 06516 , 0 5938 , 2 06516 , 0 5938 , 2 , , 06785 , 0 6743 , 2 06785 , 0 6743 , 2 , , 1 1 1 1 + − + − + − + − + − + − + − + − + = + = + = + =
Para a condição de estufa, foram obtidos os resultados:
Conclusões: sem sem sem estufa geral sem sem sem estufa aparência sem sem sem estufa sabor sem sem sem estufa odor e e p e e p e e p e e p 2703 , 0 943 , 2 2703 , 0 943 , 2 , , 29935 , 0 138 , 4 29935 , 0 138 , 4 , , 2388 , 0 9168 , 2 2388 , 0 9168 , 2 , , 35912 , 0 76 , 4 35912 , 0 76 , 4 , , 1 1 1 1 + − + − + − + − + − + − + − + − + = + = + = + =
A estocagem na condição ambiente é aquela em que o caldo de galinha sofre um processo de deterioração mais lento; em seguida vem a estocagem em câmara climática; por último vem a estocagem em estufa, que acelera a deterioração do produto.
Os modelos de regressão logística ajustados permitem estimar os percentis dos tempos de falha do caldo de galinha para cada uma das três condições de acondicionamento, como também possibilitam avaliar, para um determinado tempo, a proporção de produtos que se tornou imprópria para o consumo [Agresti, 1996].
Referências Bibliográficas
[Agresti, 1996] Agresti, A (1996). Na Introduction to Categorical Data Analysis. John Wiley and Sons, New York – NY.
[Aitkin et al., 1989] Aitkin, M., anderson, d., Francis, B., and Hide, J. (1989). Statistical
Modelling in GLIM. Clarendon Press, Oxford.
[Cox and Oakes, 1984] Cox, D.R. and Oakes, D. (1984). Statistical Analysis of Survival Data. Chapman and Hall, London.
[Dalal et al., 1989] Dalal, S.R., Fowlkes, E.B., and Hoadley, B. (1989). Risk Analysis of the
Space Shuttle:Pre-Challenger Prediction of Failure. JASA 84, 945-957.
[Freitas e Colosimo, 1997] Freitas, M. A e Colosimo, E. (1997). Confiabilidade: Análise de
Tempo de Falha e Testes de Vida Acelerados. Fundação Cristiano Ottoni, Escola de
Engenharia da UFMG, Belo Horizonte-MG – Brasil.
[Gacula and Singh, 1984] Gacula, M. C. and Singh, J. (1984). Statistical Methods in Food
and Consumer Research. Academic Press Inc., Orlando, Florida – USA.
[Nelson, 1982] Nelson, W. (1982). Applied Life Data Analysis. John Wiley and Sons, New York – NY.
