Tópicos de Ensino de Matemática, Equações de 2º Grau, vol. 16, 1990.

(1)

VOLUMES

DA SÉRIE

TÓPICOS

DE ENSINO DE MATEMÁTICA

1 -

Números Naturais

2 -

Geometria I

3 -

O Conceito de Fração

<1

-

Operações com Números Fracionários

5 -

O Problema da Medida

6 -

Números Decimais

7 -

Geometria 11

8 -

Números Inteiros

9 -

Cálculo Literal

10 -

Equações de 12 Grau

11 -

Sistemas de Equações de 12 Grau

12 -

Proporcionalidade

13 -

Geometria 111

,

14 -

Areas e Penmetros

15 -

Números Irracionais

16 -

Equações de 2

2

_Grau

~

DELTA XIS

U X

EDITORA L TOA

I~ua: Maria

Luiza Missio Mingone, 184

13100 - Campinas

-

SP.

Tópicos de Ensino de

#

MATEMATICA

16 -

Equações de 22 Grau

Delta Xis

Editora

Ltda

•

ADAIR MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL

MANOEL AMARAL FUNCIA MARIA ÂNGELA MIORIM

(2)

•

I Al'RESEllTAçAo

Desde 1982, um grupo de professores de Matemática de Campi-nas, insatisfeitos com os resultados obtidos na sua prática pedagógi ca, vem se reunindo com o objetivo de elaborar projetos de ensino-a= prendizagem que possam, aos poucos, alterar a situação existente.

Esses projetos são aplicados em escolas das redes pública e particular e avaliados periodicamente. A avaliação dos resultados ob tidos na prática levanta criticas e sugestões que impõem, frequente= mente, aprofundamento teórico e reformulacões dos projetos já

produ-zidos, além da produção de novos projetos. Essa

é

a principal carac-terística desse material: o fato de estar sendo continuamente refei-to. Outra característica dele

é

que, embora englobe o conteúdo de

5'

a 8~ séries,

é

apresentado em fascículos, permitindo ao professor es colher o momento mais adequado para trabalhar um certo tema junto a seus alunos.

Contamos atualmente com 16 projetos que compõem os volumes' da série "Tópicos de Ensino de Matemática". Esses fascíclJlos repre

-sentam a mais recente versão do trabalho mas, certamente, não a últl ma.

Um trabalho dessa natureza, só foi e continua sendo possi -vel, graças à participacão contínua de professores que aplicam os projetos. Queremos registrar, portanto, o nosso agradecimento aos se guintes professores que, durante esses anos, têm contribuído na ela= boração e reformulacão dos projetos, trazendo críticas e sugestões, participando de reuniões e encontros com o propósito de repensar e a

profundar questões referentes ao ensino da Matemática:

-Ana Maria C.Coimbra, -Ana Regina P.B.Angi, Aurora S. Santana, Beatriz V.B.de Carvalho, Carmem Lúcia B.Passos, Cláudia V.C.Miguel,Divina A. de Aquino, Eliza A.Mukai, Elizabeth A.Carrara, Gelson J.Jacobucci,He loisa de Carvalho M.Debiazzi, Jane M.da Silva Vidal, José Amaury Al= ves, Margali A.de Nadai. Maria Aparecida B.Pinheiro, Maria Clélia F. Jacobucci,.Maria Lúcia Negri, Marília B.Pereira, Marisa S.Pinheiro I Travaini, Marta l. de Almeida, Neusa B.Ferraz, Regina Celi Ayres, Ro naIdo Nicolai. Rosana Fávero, Rosemeire M.R.Silva, Sandra T.Cardoso~ Suely M.Gimenis, 'Susy H.Fadel, Teresa Neide G.Guimarães, Vilma H. M. Silva, Yara P.P.Bueno e Zuleide G. Paulino.

(3)

INOICE

Introdução 01

Equações do 22 Grau ••••••••.•.•••...••••••••••••••• o" o •• • • • ••• • • • •• • ••• • 02

Resolução oe Equações Incompletas do 2Q Grau do tipo ax' .. c=Q ••••... ••.••• 02

Resolução de Equações Incompletas do Z!? Grau do tipo ax' +bx=Q .•• •.•••.•.• 03

Limitações do Método •••••••••••••.••••••••••••••••••••• o, • • • • •• • • • • • •••• • 04

fatoração de Trinômios Quadrados Perfeitos I •••••••••••.••••••••.•••••.•• 08

Resolução de uma Equação do 22 Grau pelo Hétodo Geométrico (b_positivo) •• 11

Fatoração de Trinômios Quadrados Perfeitos 11 .••••••••••••••••••••••..•.• 14

Resolução de uma Equação do 22 Grau pelo Hétodo Geométrico (b-negativo) •• 17

(4)

INTRODUÇÃO

O objetivo desta unidade e que voce aprenda a resolver ja tradução mediante linguagem simbólica é uma equação com uma incognita.

problemas cu-do 22

Para atingir esse objetivo e necessario que voce compreenda e que os vários métodos de resolução associados aos diferentes de equações do 22 grau. Aprenderá e aplicará também um método de resolução de equações do 22 grau com uma incógnita.

grau

apli

-tipos geral

A forma de abordagem do tema desta unidade, para seu melhor menta, será, simultaneamente, geómetrica e algébrica.

entendi-Este tema, visto pelo prisma geométrico, foi pela primeira

objeto de estudo dos matemáticos hindus e árabes no per iodo

entre os séculos IX e XII.

vez, situado

Dois deles que se destacaram foram o matematico e astronomo árabe

Mohammed Ibu-Musa AI-Kowarizmi e pelo também matemático hindu chama-• do Bhaskara.

•

• ,

•

• ,

• _•

(5)

TEXTO 8~ 01 - f~~!~2!1 ~~ ~! f!!~·

Você já sabe o que ê uma equaGão e o que e grau de uma equa~ao.

A [i[ul~de recorda~ão vejamos alguns exemplos:

12) 4m-3~m.1 e Uma equaçao do 12 grau COm uma incógnita. 2º) )x-7y.S~O é Uma equa~ão do 12 grau co~ duas incógnitas. )2) 7a'-8a~2a-) é Uma equa~ão do 2~ grau com uma incógnita. 42) 3xy+4x-3~O é uma equa~ão do 22 grau com duas incógnitas.

02

você percebeu que existem equaGoes do 22 grau COm uma ou mais incog-nitas. EstudaremOS apenas as !g~~ do 29 a~!~ ~~~ ~~! 1~~~~!l!' ChamamOS de equaGão do 22 grau COm uma incógnita a tod~ eq~ação

pode ser !!du.!l~!, a forma: axJ _._bx+c:O _o_nde _a, _{b e c SaO numeras}

coeficientes) que pertecem ao conjunto dos numeras reais, sendo a

O (poiS se ! fosse zero a equação deíxaria de ser do 22 grau).

que (

I

Se a equação possuir todos os coeficientes, ou seja, se estiver na

forma axl tbx+c=O, ela-~;;~ chamada de ~~~!i!~ ~~~E!!i! 2~ ~! &!!~.

Se a equação estiver nas formas: ax'+bx=O (não possui coeficiente ~), ax'+c=O (não possui coeficiente ~). ou axz=O (não possui os coefici-entes ~ e ~), dizemos que a equação é uma eguaçao incompleta de ~ grau.

Exemplos:

li) X' 9x + 28 = O é uma equação completa do 2i grau, onde a=l, b=-9 e c=28.

2i) 5x2 ₊_20x

=

O é uma equaçao incompleta do 2Q _grau_, _onde_a=5, b=20 e c=O.

3i )

x'

+ 3 = O é uma equação incompleta do 2i grau, onde a=l, b=O e c= 3.

4i ) 5x2 = O é uma equação incompleta do 2i grau. onde a=5, b=O e c=O.

1~. Acivid~de: Diga quais das equações abaixo são equaGões do 22

grau c~m u~a incógnita. E~ caso afirmatiVO, diga se elas são

comple-tas ou incompletas, escrevendo os valores dos c~eficientes ! ' ~ e ~:

1 ) x~-x-l=O 6 ) (xt3).(x-3).)(x+2) 2 ) SxJ _.13x=O ₇₎ _(x-l)~_=x_(x+4) J) -x' +2xt-7=O 6 ) (X_l)l.XI

.

) 11 Xl aO ') 2X'-7"O 5 ) Ox~+3x-7=O 10)

_,h

J ... lx_l.~o 5 2

•

- ~~~~-~- -~

..

_..

• .. ..

• til

.. ..

_{.. ..}

(6)

O)

Na aFOstila "Teolem~ de Pit~gora5 e N~mero5 rrracion~is" voce j3 a

-prendeu a resolver eGua<;ões incompletas de.. 22 grau do tipo ax~ .. c=O.

A titulo de recordação vamos resolver <I seguinte equ3<jão: l.x' -16",0

2x'-16+16=0+16 (scITILodo 16 aos 2 membros da equação)

2x' .. 16 (equação eqüivalente à equação dada)

)(',,8 (dividindo 31T,bos 05 ITIE.mbros da equação por 2)

x=,:

V8

(pois tanto

Vã"

corno -

\fã

elevados ao quadra~o resul

t am 8)

Logo, as raiz.es da equação dada são:

\J8

ou -

Ys.

z~. A~lYldade: Determine as raizes d~ c~da equ3çao do 2Q grau incom

pleta abaixo: 1) x'-81 .. 0 4) 6x' =0 7) (x+l).(x-l)=O 2 ) 5 ) a) Jx ' -1S::Ó x' .. 16=0 (X-J)' :-6x ) ) 4x'-2S .. 0 --6 ) Jx ' .. 12",0 9 ) _~_"'o 5

)~_ Aciyidade: Resolva os seguintes problem~s através da mentag~m I • dE um. equação de 2Q grau:

•

1) (luando se subtrai 8 unidades do dobro do quadrado de um numero pc-sitivo obtém-se tero. Qual é esse n~mero?

2) Quanto mede o lad~ de um quadrado c~j~ diago&al mede 4c~?

J} A. diagonal dE;. um retângulo mede

Vi4

ClT, e um de seus lados mEde 5

c~. Detrmine a m~dida do lado do retâng~lo que é perpendicular ac lado dado,

4) Determine a mEdida do raio de u~ disco LP. sabe~do ~~e ele ocupaI

uma ~rea de 706.5cm'.

085. : Considere1j'; ).14.

4!. Aci.idade: Coloque y ou I nas afirmações seguintes: I) Se nurna multiplicação de dois (atores U~ deles ~ )

te ~ zero, entio. o outro fator ~, necessariamEnte, zero.

e o produ

-igual a

2) Se numa multiplicação de dois fatores o produto ~ zero, eotao, Um dc..s fatores é. necessariamente, igual a zero.

) Se numa multiplicação de dois fatores o produto e 5, entao um dos (atores pode sfr igual a 5.

4) Se numa multipllcaçào de dois fatores o produto e 5. eotao um dos (athes é. ofcPSSgrlampnte. igual a S.

5) Se numa multipl\cação de 100 fatores o produto é zero, entao, um des fatores ê. necessariamente, igual a zero.

6) Se numa multlplicação de dois fatores ~ produto e zero, enta~

ambos os (atores sio, necessariamente, iguals a zero

7) Se numa multl?licação de dois fatores o ptoduto e ~ero. enta~

(7)

04

s~. A~i.id~de: Com base na atividade anterior determine 05 de K e~ c&da equaçio-produto abaixo:

valores 1) -).K=O 4) ;.(K-ll=O 7) 1.(2K-l}",a 2) K.2.:0 ;) L(K .. l)=O 8) K.()K.9)=O ) K.K",O 6) 2.K.(K-5)=0 9) K.(K.l).(K-l)DO

TEXTO K2 OJ - !!!~l~~~ de !S~!i~!! !~=~~El!~!! do ~~ Grau do ax' tbx=O

---Você já c~nclulu nas atividades a~telior~s que, numa multipllcaçJo I d~ dois fatores, se o produto for zero, entio, necessariamente, um I dos fatores deve ser zero. Isco é. se m.n=O, então ou ~=o ou 0=0. A!

sim, para o produto: m.(m-2)~O. devemos ter, pelo que dissemos ante-riormente: m=O ou m-2=O.

Atrav~s de um exemplo vamos mostrar como esse fato se aplica na res2 lu~ão de equações incompletas do 22 grau do tipo ax'.bx=O. Seja re -solver a equação; x'-5x=0. Observe que neste caso a incógnita! e c2 mum aos dois termos da equação. ASSim, ~21~!~2 __ 0_1!~~~2~~~~ !:!..!.~ên~.!..!, ternos: x'-5x=0 (equação dada), x.(x-5)=O, Que é urna lIIu1t1

pLlcação de dois fatores cujo produto é zero. Para que isto ocorra

já ~imo~ anteriorrnente, que um dos fatores deve ser zero. Portanto ouT!=ut ou x-5=0 e, resolvendo esta equação, temoS:

x-5+5=O .. 5

B

Logo as raízes da equação dada são: O ou 5.

A regra do produto nulo aprendida nas atlvidadeSanterlores sempre P2 de ser aplicada na resolução de equações deste tipo uma vez que é I sempre possível transform~-las em equações-produto de dois fatores!

traves da colocação do fator comum! em evidência.

6~. AClvidade: Determine as raizes de cada equação do 22 grau inco~ pleta abaixo:

2) _{4x-x '}=0 5) 3xt _.7x₌₀

l~. Atividade; Resolva 05 seguintes problemas:

) 5Xl=2x 6) x.(x- ':)=0

2·

1) A soma do quadrado de um n~mero não nulo com o seu triplo e zero. Qual é esse numér0l- __ __

2) Na figura abaixo, OS

1

AC e m(SC)=4cm. Qual deve ser a medida do lado do quadrado ABOE para que sua ~rea seja i área do triângulol BCO?

E

(8)

-05

J) Uma pessoa pensou emv~~mero. ElevQu-o ~o quadrado e multiplicou I

esse resultado por q. Em seguida. somou a esse resultado seis v

e-zes o n~me[o pensado obtendo ComO total o número dO. Em que n~me [ O essa pessoa pensou?

Ao tentar resolver o ~ltimo problema da atividade anterior vQce deve

ter notado que a equ3íào que traduz o seu enunCiado: uma ~S~~~~~

~~~E!!l! ~~ ~! &!!~. Talvez você tenha tentado, sem extta, determi

-nar as raizes dessa equa~ao atraves dos métodos de resolu~io aplicados a equaíoes

lncompletas. Se não tentou, tente!

Na verdade. esses métodos não são apropriados para resolver equ3íões completas.

Precisaremos, pois. de um novo método para resolver esse problema. As atividades!

que se seguem têm por objetivo fazer você compreender esse novo método.

8!.. At.lviclade: Destaque a figura L (2 quadrados e dois recângulos) da folha

Ane-<a.

D~ ____________ ~C

A B

Com essas 4 peças cubra exatamente o quadra -do ABCD ao Lado de forma que dois retàngulos/

possuam apenas um ~nico ponto comum. ~m se

-gulda, cole essas peças sobre o quadrado

AB-CO.

9!.. AtlYidade: Destaque a figura 2 (2 quadrados e dois retângulos) da folha Ane-<a.

H~ ____________ ~G

E F

Com essas 4 peças cubra exatamente o

quadra-do EFGH, dispondo-as de forma diferente da

-quela utilizaôa na atividade anterior. Lem

-bre ainda que os dois retângulos só podem

ter um unico ponto comum.

lO!.. AtiYi~de: Procedendo da mesma forma que aquela usada nas atividades anteri~

res e obedecendo as mesmas condições, destaque as figuras 3 e 4 da folha Anexa e

cubra com elas os quadrados IJKL e HNOP respectivamente.

(9)

-o.

L K p

o

J M N

liA. Acl.id~de: Em quais dos quadrados das tres atividades afiter10res existem 2 retângulos e um ~uadrado dispostos na for~a aproximada de

uma letra "L"?

12A. Acividade: 1) Destaque a figura 5 (2 quadrados e 2 retângulos

da foIna anexa e monte Com essas 4 pe~as um

dois retângulos tenham um único ponto Comum drados uma configuraGio em forma de ·'L".

quadrado de modo que 05

e formem com um dos

qua-2) Calcule a area de cada uma das peGas que compõeml

o quadrado acima. Escreva essa área no interior de ~ada peça

corres-pondente.

)} Qual e a medida do Lado do quadrado formado pelas

4) Qual e a expressa0 que representa a area desse I quadrado?

5) Escreva, na linguagem simbólica a relaGão existe~

te entre a area desse quadrado e as áreas das 4 pe~as que o compõem.

6) Aplicando a propriedade dis~ributiva.

( x .. ) ) • = efetue <11 p~

7) Compare as respostas dos itens 5 e 6 acima.

O que

voce observa?

4

• _ti

• fi

,

• _..

--

_•

..

{iII

,

a

{iII

..

_..

6111 6111 (iII

,

_-.

--..

..

_tiIIi

..

_..

..,

'

..,

(10)

-..-•

• !t

!t

07

13!. Atividade: Para cada potência abaixo, fa~a o seguinte:

lQ) desenvolva-a algebricamente;

1) (x .. 5)'=

3) (a+2)'",

2Q) fa~a a correpondência entre cada um dos ter~os o

btidos no desenvolvimento algébrico e a area de

cada uma das partes da figura. Anote essas áreas

no interior de cada parte.

39) escreva na figura as medidas dos lados de cada I

quadrado e de cada retângulo.

14~_ Atividade: Para cada trinômio abaixo, fa~a o seguinte:

lQ) escreva o trinômio correspondente à Soma das áre

as de cada parte desse quadrado;

29) determine o binômio que representa a medida do I

lado do 4uadrado formado por essas 4 partes;

39) Em fun~ão desse bin~mio. determine a área do qU!

drado formado por 4 partes;

49) verifique se sao iguais as expressões algébricas obtidas nos itens 1 e 3.

(11)

1 ) J) 5 ) 2 X 7. 2

•

Oq 02 \6 4X 49 2 q Oq

Consideremos a figura abaixo:

3 X

o

9

•

X

~

X

..

+ 2 ) 4)

• ..

9,. 2

,.

~o 2 02 3 3X 8\ 9,. 1.1 4 ~O 2

Ix

08 X 3

•

.X

•

= X X

•

_'X X

•

Nesta figura vemos que a 50~a das areas dos dois quadrados e dos do -is retângulos é igual à área do quadrado cujo lado mede ( x . ) , ondel ~ é a medida do lado do quadrado cuja área é Xl e também é a medidal

de um dos lados dos retângulos cuja área é 3x. por outro lado, 1 é a

medida do lado do quadrado cuja área é 9 e também é a medida do ou -tro Lado dos retângulos cuja área é Jx. Dessa forma. a expressão que

representa a área do quadrado assim construido será (X+3)1 t que é

chamada de g~~~E!~~

2!

!~~! ~~ dois termos. E, a SOma das áreas das! partes do quadrado de lado x+3 ~-;'+6~9~-Esta expressão é chamada I

l!!~~~!~ g~!~E!~~ ~~!!~!I~'

3

(12)

Portanto, todo trinômio quadrado perfeito pode ser decomposto num i

produto de 2 binômios iguais. Essa decomposiGio ~ chamada de

FATORA-çÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.

15~. A~lytdade; fatorar caúa t r inômio quadrado perfeito seguinte: I) x'.-12x+36"

2) x' +}(tl"

4

16~. At.{vidade: Considere o trinômio K' ~5)( ... 9. Este é um trinômio qu:!

drado perfeito? Para responder esta pergunta. recorte a figo 6 do A

-nexo e tente montar COm as 4 peças um quadrado perfeito.

lJ~. A~i.idade: Coloque ~ ou I nas afirmações seguintes: t) Todo trinômio é um quadrado perfeito

2) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é suficiente

que dois de seus termos representem as âreas de dois quadra

-dos.

J ) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito e

que um de seus termos represente a soma das ~rea5 retingulos congruentes.

sufic tente

de dois

4) ( Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessario

que dois de seus termos representem as áreas de dois quadra

-dos e que o outro termo represente a soma das áreas de dois

retângulos congruentes.

,

) Para que um trinômio seja um quadrado perfeito é necessario que dois de seus termos representem aS âreas de dois quadra

-dos e que o outro termo represente a soma das áreas de dois

retinguLos congruentes cujos lados tenham medldas iguais aos dos quadrados.

18~. A~i.id~d~: Para cada trinÔmio abaixo, faGa o seguinte: a) verifique se é trinômio quadrado perfeito; b) em caso afirmativo, fatore-o:

I) yl+IOy.2S= 2) pJ.64Id6p~ J) a'.20a+100= 4) b' +5b.6-:=

,

) _m1 .6mtlb= 6 ) x' .2 x. t = 4 4 7) l ( ' + -l( + -= J 9 8 ) a'+5a+~4 .., 9 ) m'+2mp+pl= 10) x' +xy+y'=

(13)

10

19~. A~ivid~de: Co~plece cada trinômio quadrado pereito seguinte e fatore-o: 1) )('+14x+ •••• '" 2) m' • 18m ... =

~ ~

) ) pl ... 7p ••••• '" 4) x' +x+ •••• = r - r

-I

I

2oe. Ativi~dc: Resolva os seguintes problemas:

1) o terceiro problema da 71 atividade que foi abandonado tempor! ["lamente.

2) O produto de dois números inteiros e consecutivos é 132. Dete!

mine esses números.

1) Um quadrado e um retângulo ocupam, juntos, uma área de 40cm'.

O lado maior do retângulo tem a mesma medida que o lado do qU!

drado e o lado menor do retângulo mede lem. Determine a medida

do lado do quadrado e as áreas ocupadas pelo quadrado e pelo I

(14)

;

11 21!. Atl.id.acLe: Oestaque a figura 7 da folha anexa e extraia dela 05 retânguLos 2,

J e 4. Observe que a figura resultante é idêntica ao retângulo ASCO abaixo. D,--_ __ _ _ -,C

A!---~B

a) Cole exatamente o retângulo 1 sobre o retângulo ASCO acima: b) Cole o retângulo 2 no exterior do retânguLo ASCO de forma que as condições abaixo sejam satisfeitas:

I} um de seus lados coincida com o lado cn do retângulo ASCO.

2) a figura resultante após a coLagem t.!:.!!ha a forma de um "L". Chame de Ef o lado dessa figura que ~ paralelo ao lado AS.

J) a figura imaginária obtid _{a pe os}1 _pro1 _angament_es_d_os _la_{dos B}_{C e}_Ef_s_e_j_a_um qua-drado perfeito

22!. A~I.tdade: Destaque a figura 8 da folha anexa e extraia dela os retângulos 2, 1 e 4. Observe que a figura resultante é idêntica ao retângulo ASCO abaixo. Em se guida proceda da mesma forma que na atividade anterior.

TEXTO R~ 06 - Resolusão de uma eQuasao do 2~ grau

f!l2

método geometrico (b-po si-tlvo)

Seja por exemplo, resolver pelo método geométrico, a equa~ao:

12) Verificar se o trinômio dado na equação é um trinômio quadrado perfeito. No caso da equação acima é fácil perceber que não é um trinômio quadrado perfei

-to uma ve~ que -7 não representa a área dp. um quadrado.

2~) Neutralita~ o termo independente da equaGão. Para isso, devemos somar 7 a am-bos os membros da equaçao:

Xl +6x-7=O x' +6x-1 ... 7=o ... 7 Xl +6x=7

A expressa0: Xl t6x representa a soma das areas de um quadrado cujo lado mede ~

de dois retângulos cujos lados medem

2

e x. Como nos indica o 2Q membro da equa

-Gão a soma dessas áreas deve ser igual a 1. Representando essas áreas, geometric! mente. temos:

(15)

,

₁₂

,.--3 3 Flg. 1 3 2 _3,

I'

,

J

acima, um quadrado perfeito, devemos completá-la com

3Q) A fim de cornar a figur~ um quadrado cuja área e 9.

,

3

ng. 2 3 3, 9 ₃

,

3

COmo vimos anteriormente, a soma das areas da figura em forma de "L" e 7, isto e,

Xl +6x= 7

Acontece I.jue. ao transformarmos essa figura em forma de "L" num quadrado perfeito, .. crescentamos um quadrado cuja area é 9. Desta forma, a ~rea total do "quadr2d.10"

passa a ser 16, isto é,

xJ _{1-6x ...}_9::_{7 +9}

x1 _'!-6x+9:₁₆

o lado desse 'quaàradão" assim cons"truído mede (x ... 3) e a sua área será (X1-])!.

Lo-go, (x+3)1::16.

Se a área desse '4uadradão" é 16. é 4, pois, 41

=16. Assim:

conc luímos que a medida do lado desse "quadradãó'

x ... 3=4 x+1-J=4-3 x",1 Geometricamente, o a medida de um dos rig. l

valor x==l representa a medida do lado do quadradinho, bem como, lados de cada retângulo da figura 2.

J

J J 9

I 3

J

I

teríamos ainda, para essa equação, uma outra

solução ou ra(z, para a qual não ~ possivell

dar uma interpretação geomécrica. Vamos

cha-m~-la de ra{z algébrica. Essa ra(z surge pe-lo faco de podermos legitimamente supor que na equação (x+3)'::16 o binômio x+) seja igu

-al a -4, valor esse que também satisfaz a

e-quação. Logo, se x+)=-4, temoS: x+3-3:-4-3

I~I _rai_z_algé_b_rica.

í

j

• _•

!j

li

ti

JJ

j;

til

.-...

..

-tiII

..

.-...

(16)

•

Se quisessemos ~esolver a equa~ao de forma puramente algébrica teríamos: xl

+6x_7=O (equação dada)

xl _{+6x_7.7;O.7 (somando 7 aos}_d_{OLS membros da equação)} x'.6x=7 (equação eqüivalence ~ ~quação dada)

13

xJ_.6x+9:7.9_{(somando 9 a ambos os membros d}_a_{equação a fim de}_completar_o

quadra-do ou a fim de tornar a expressão do le membro um trinômio quadradol

perfeito)

x_{' +}6x+9=16 (equação eqüivalente à equação dada)

<x+)1:16 (fatorando o trinômio quadrado perfeito do le membro da equação)

x+]=4 ou x+)=-4 (pois tanto 4 quanto -4 elevados ao quadrado resulta 16)

x+3-3;4-3~J-J=-4-3 (subtraindo) de ambos os membros da equação)

l!!!1

ou !~:_71 (raízes da equação dada}

23-. Actyt~de: Resolva. utiLizando o métOdO ~eométrico, as seguintes equ3Gões:

1) xl+4x_5~O

,

(17)

14 4) x' +8x:0

tEZTO ~~ 07 - fatorasão de Trinômios Quadrados Perfeitos !!

o trinômio: xJ_{_}_6x+9_é_um_trin_ô_{mio quadrado perfe}_i_{to? Para}_resp_onder_{esta perg}_unt_a_,

tom~mos inicialmente um quadrado de lado x. conforme indica a figo 1.

FIS_ 1

Deste quadrado. cuja area e x'. retiremos 6x, isto é, )x+)x, que representa a

so-ma das áreas de dois retâniulos cujos lados medem ) ~ x, conforme indica a rig.2. FtS- 2

• -6 • - 6

---.-.

-

---

-J J

(18)

•

It

,

•

• l

• _•

•

• ;

•

Obse.ve Fig. 1

que a figura resultante e um retângulo cujos lados medem x e (x-6).

A B

. -6 ! ; - - - 1

----!

!.-6

O C

15

Da mesma forma que já fizemos anteriormence, o nosso objetivo e transformar esse

retângulo em quadrado. Para isso. vamos marcar' nos lados BA e CD...!!o r~ângulo, d~ 15 pontos E e F, respectivamente, de tal forma que os segmentos SE e CF tenham a mesma medida num~rico que o lado de um dos retângulos que foi retirado da figuraI 2. No caso que estamos focalizando esta medida é 3. Ligando os pontos E e f. te -mos:

A x -3 E 3 13

,-6/

:

/.

__

D=---·~-~3~--~F~-3~~·C

Recortando o retângulo ABCO sobre a linha tracejada EF obtemos dois retângulos c~ mo mostra a figura 5 abaixo:

Fia_

5

··D

o

1;·3 F

·

I

· O··

F J C

Dispondo o !!tângulo EBCF sobre ü outro retingulo~e modo que o lado EF coincidal

com o lado AE' e o lado BC seja paralelo ao lado DF', obtemos uma figura em forma de "L". Fig. 6 B 1-6 C 3 3 .-6 ~D---'--~3'---" '

Note que para transforma.rmos a figura em forma de "L" acima em um quadrado perfei, to precisamos complet~-la com um quadradinho cuja ~rea deve ser igual a 9.

(19)

16 Flg. 1 ,

_-

& 3 3 9 3

,-

6 ' - 6 ,

_-

3

Concluímos que a figura 7 é um Quadrado perfeito cujo lado mede x-] pois, x-6~3

x-3 e, a sua jrea , (x_3)J.

Assim, o trinômio xl-6x~9 é um trinômio quadrado perfeito.

Logo, x'-6x~9=(x-)I . que ~epresenta a forma fatorada do trinômio dado.

2~. A~ividade~ Fatore cada trinômio quadrado perfeito abaixo, utilizando para i! 50, as figura 9, 10, 11 e 12 do Anexo. Em seguida, cole-as nos espaGos correspon-tes: 1) x'-lOx+25= 3) m'-14m-+49,;, 2S!.. At:ividade: 1) x'-2x+l= ]) yl +10y+16 5) 2x· +lôx+]2= 7) m' .. 6m+15= 9) 9x' +4 .. t2x= 2) x' -8xd6=

Fatore, se possível, cada trinômio a seguir: 2) 11I'+24m .. 144= 4) a' -I ].)+]6 ..

6) 4x ' .. 12xt9= 8) 9a'-]Oa .. 25= 10) lS+y' .. IOy=

(20)

..

"..

..

,.

it

•

• _..

ít

.. ..

il

it

t

• _i

i

t

i

• t

• »

• J

J

•

• ,

~

,

•

17

TE%TO ~~ oa - Resolusão de ~ equaçao do 22 grau ~ método ~eometrico

ib-nega-t ivo).

Seja por exemplo, resolver pelo método geomctrico. a equa,ao: )(1-8)(-20=0. Para l!

50 d!vemos:

12) Verificar se o trinômio ~ ~ eQuasão é um trinômio quadrado perfeito. ~o

caso da equação acima é fácil perceber que não é um trinômio quadrado

perfei-to uma vez que -20 não representa a área de um quadrado.

22) Neutralizar 2 ~ independente da equação. Para 1sso, devemos Somar 20 a a~

b05 os membros da equação:

x~-8)(-20=O

xl-8x-20~20=O+20

)(1_8)(=20

A equação )('-8)(=20 representa a diferença ~ntre a área de um quadrado, cujo I lado mede x, e, de dois retângulos cujos lados medem 4 e x •

Para representarmos esse faca geometricamente, tomemos um quad~ado cujo lado

mede x e ~etiremos dele dois retângulos cujos lados medem 4 e x, conforme in-dica as figuras 1 e 2 a seguir:

,-

.

1.2.8)[ , -8

•

4,

x

4, 4

Observe que a figura resultante é um retângulo cujos lados medrm x e x-B e

cuja área deve ser 20 Como indica o 22 membro da equação x)-8~~20.

"a.

J

,

,-

·1'--

__

2.,-0 _ _

-l

I'

-

8

3i) Transformar ~ !! ~ ~ equação ~ trinômio quadrado perfeito. Já vimos I

que o 12 membro da equação xJ_{_8}_x:20_{representa um}_{retângulo. Vamos} _pois_. _tra~

formar esse retângulo num quadrado perfeito. Para isso, retiremos do retângu

-lo da figo ), u~ outro recângulo cujos lados medem 4 e x-8 e, formemos com

e-les, uma figura em forma de "L" (conforme foi. visto no tesco nQ 2).

(21)

18

, -8

4 4

,- 8 , - I

---:--:---L--;---lJ

'

-

8

x -4 4 , -8 , -8

Observe que, para transformarmos a figura 5 num quadrado perfeito. basta com-pletá-la com um quadradinho de lado 4 e área igual a 16.

Ftl~ 6

,-

8 4

4 18 4

,-

8

,

.

' · 4

A figura 5 tinha área igual a: x'-8x=20. Ao trasformarmos essa figura num quadra-do perfeito acrescentamos um quadradinho cuja área mede 16. Conseqüentemente. a

!

rea do quadrado assim construído passa a ser 36. ou seja:

Xl -8x",20

Xl -8x+16=20+16

x'-8x+16.,.J6

Observe que, agora, o 19 membro desta equação é um trinômio quadrado perfeito. F~

corando esse trinômio temos: (x-4)'=36

Para que essa área desse quadrado seja ]6, é necessário que a medida de seu lado

seja 6, isca é: x-4=6

Somando 4 a ambos os membros da igualdade:

x-4+4=6+4

x=10 ra1% geométrica da equação pois representa a

medida do lado do quadrado da figura 1.

A raiz algébrica desta mesma equasão é

ser x-4~-6. Logo; x=6+4, isto é !x=-l!

obtida através da suposição legítima

raiz algébrica da equação.

Se quiséssimos resolver a equação de forma puramente algébrica teríamos: x'-8x-20=0 (equação dada)

d.

x'-8x-10+20=0+20 (somando 20 aos dois membros da e

-qU3<;ão)

x'-8x=20 (equação eqüivalente à equação dada)

x'-8x+16=20+16 (somando 16 aos dois membros da

equa-ção a fim de formar o l~ memb~ um

tr1nômio ~uadrado perfeito).

(x-4)'=36 (fatorando o trinômio quadrado perfeito do

i

ii

,

.

(22)

•

• t

j

i

j j

i

j

i

;

j j

,

;

,

• ;

~ ~

,

19 do 1.2 membro).

x-4=6 ou x-4=-6 (pois tanto 6 quanto -6 elevados ao

quadrado resulta 36).

Ixo:lOI ou raiz

ou x-4=-6.4 (somando 4 aos dois membros de

_ __ ambas as equações).

!x=-2! (raízes da equação dada).

raiz

geométrica algébrica

26t. ALlyt~de: Determine as soluções das equações abaixo, recortando as figurasl

11. 14. 15 e 16 do Anexo.

I) Xl -6x-16:o 2) ra'-5m-6::0

J) x'-14x-15=O 4) 4x'-12x-91=O

21!. ALiwi~de; Observe novamente a forma como você obteve a medida do lado do

quadrado que torna o trinômio um quadrado perfeito nas equações da 221 e 26!

ati-vidades. Como você faria para obter diretamente essa medida sem recortar ou

dese-nhar figuras. analisando apenas os coeficientes dos termos presentes no \2 membro

da equação?

2ft!. AciYi~de: Resolva as seguintes

1) x' i"8xi" 7",0

3) x' i"3Xi"2=0

5) )X' i"2x-l=O 7) h,' i" 1 0)(1" 7=0 9) p'-11p-13=0

11) ax'.bx+c_O (a, b, ~, E R e a~O)

equao;ões sem .r.ecortar ou desenhar figuras.

2) x'-lx+l=O 4) 4ra'-ZOm+15=0 6) x'-x-IZ.O 8) 4f"Q'_ZOm_24=0 10) 4y'-IZy-1=0 ttnO . . . . cógnita.

fórmula Geral par-a Resolução

!!

~ Equasão do 22 ~ ~ ~ 12

-AO resolver a equaçao n2 11 da atividade anterior, voce deve ter concluido que as

raizes da equaçao sao dadas pela seguinte fórmula:

L - -_ _

--I

1 ..

1

"-

1-.======

=

onde Â ;;b~ -4ac

~ = discriminante da equaçao

Esta e ~ois a fórmula geral que permite resolver qualquer equao;ão do 29 grau, com

uma !ncognita. Esta fórmula foi deduzida pela prim~ira vez por um matemático

hin-du chamado Bhaskara <séc. XII). Por isso, ela é conhecida como fórmula de

Bhaska-!!.

(23)

29~. Atl.,.idade: 1) x '_8x ... 15 .. 0 J) x' +3x .. 4::0 5) xl _-6xt5::0 1) x' -llx+28=O 9) x' +t4X-t49=0 11) 5y' -9y-2::0

Resolva as equaçoes seguintes. aplicando a f~rmula de Bhaskara.

2) 4x' _12x ... 9:0 4) x'+8x+15=0 6) x' -x-6=O 8) 4_{x' -4x-3=O} -x1 +11x-28::0 4t'-20t+25=O 13) (X-5)'::2x(x_5) 10) 12) 14) (2x+l)' =Ox-t). (6x-l) 15)

.i. -

! =0 25 9 16 ) 20

lO-. Ati.,.t~de: Com base na atividade anterior, coloque V ou F nas afirmações

se-guintes:

1) ) Qualquer equação do 22 grau Com uma incógnita sempre possui duas raízes d! ferentes.

2) Existem equações do 22 grau com uma incógnita que possuem uma única raíz.

J) Existem equações do 22 grau com uma incógnita que não possuem raízes reai~

4) Existem equações do 22 grau Com uma incógnita que possuem mais de duas rai zes diferentes.

S} Toda vez que o discriminante (~) de uma equação do 29 grau com uma incóg-nita for igual a zero a equação possui uma única raiz real.

6) ( ) Toda vez que o discriminante (~) de uma equação do 29 grau com uma incóg-nita for maior que zero (isto é, u~ número positivo) a equação possui duas

raízes diferentes.

1) ( ) Toda vez que o discriminante (~) de uma equação do 29 grau com uma incó

g-nita for menor que zero (isto é, um número negativo) a equação não possui! ra{zes reais.

11~. ~Yl~de: Resolva as seguintes equa~oes fracionárias, utilizando a fórmula!

de Bhaskara. 1) _Jx_"_~ 2)

_K

= 2-x 2 Jx . . 2 J) _2.!2. _2.=l

.

5 4)

_-

2 _>_1_ 6 . . 2 x-2 x x-J ~ 5) _ _ l _ _ x _~ 6) _x_>_1_ = 5 2(x+1) 2(x-l) Xl -1 x-J 7) Xl +1 - - - > 1 =0 8) __ 2_x _ _ 2 = __ x_ x

-

x'

-

x -1 9) x > __ x_ =1 10) !!..L ~ 7 .. 1 .. 4 x-I 2x J

12~. Ati.t~de: Resolva as seguintes equações literais, aplicando a fórmula Shaskara:

1) x'-8mx+121'Q~=O 2) xl-2abx-Ja' bl=O

J) 6x_'-1Jmx+6ml",O 4) 4x'_Jax_a '",O

5 ) x'_{a ... b>x.ab",O 6) ax'-mx=O

7) ₍_{x_a)'}_... _~'_=4a 8) _{ax ' +}2x .. O

•

9) x'_2mx+m'_9::0 10) x1

... bx ... c::O

de

l)~. AtiYi~de: Resolva os seguintes problemas através da montagem de uma equação do 22 grau:

•

J

•

• ti

,f

«

(24)

1) A soma do quadrado com o dobro de um mesmo número é igual a 48. Calcular esse'

numero.

2) Dados dois numeras naturais, o maior supera o menor em S unidades. Sabendo-seI

que o produto deles é 14, determinar os dois números.

) Determine o número tal que o seu quadrado é igual ao seu dobro.

4) Determine um nÚmero tal que o dobro do seu quadrado seja igual a 200.

5) O produto de números inteiros e consecutivos é 156. Quais são esses números.

6) A representa~ão geral de um numero par e 2n. Calcule. então, dois números pa

-res naturais e consecutivos cujo produto e igual a 80.

7) A representaGão geral de um numero impar e 2n~1. Calcule enrao, dois numeros

(mpares naturais e consecutivos cujo produto é 32J.

8) Um terreno de forma retangular tem 300m). Sabendo que a dlferen~a entre o co

m-primento e a largura desse terreno é 5m, calcule as medidas desse terreno.

9) As medidas dos lados de triângulo retângulo são expressas por 3 números

intei-roS positivos e consecutivos. Determine as medidas dos lados desse triângulo.

10) Num triingulo retângulo a hipotenusa mede 13cm. Sabendo-se que a medida de um cateto supera a do out~o em 7cm, determine as medidas dos catetos desse trian-gula.

• • n( n-J).

11) A fórmula para determinar o nu~ero de diagonais de po~igono e: d~---2

---~ representa o n~mero de diagonais e ~ representa o numero de lados.

onde

a) Qual é o pOlígono cujo n~Qero de diagonais e 5? b) Qual é o polígono cujo número de diagonais é 35?

12) Determine as medidas dos catetos de um triângulo retângulo isósceles cuja area

mede 169cm).

(OBS.: Um triângulo retângulo e isósceles quando as medidas dos catetos sao igu

(25)

_ _ _ _ - - - - _ _ - o _ _ _ _ _ _ _ _ __ 0 0 _ _ O _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ • - . -- - -- - - - -- - - . -- - - -- - - - -- -- _ .