Uma proposta de FSS fractal com geometria simplificada

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO. UMA PROPOSTA DE FSS FRACTAL COM GEOMETRIA SIMPLIFICADA. EMANUELE DA SILVA RODRIGUES MONTALVÃO. Orientador: Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça Co-Orientador: Prof. Dr. Alfrêdo Gomes Neto. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Mestre em Ciências.. Natal – RN Dezembro – 2010 i.

(2) UMA PROPOSTA DE FSS FRACTAL COM GEOMETRIA SIMPLIFICADA. EMANUELE DA SILVA RODRIGUES MONTALVÃO. Dissertação de Mestrado aprovada em 21 de dezembro de 2010 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:. Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça (orientador) ............ DEE/UFRN. Prof. Dr. Alfrêdo Gomes Neto (co-orientador) ................. GTEMA/IFPB. Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção ................................ DCO/UFRN. Prof. Dr. Paulo Henrique da Fonseca Silva ...................... GTEMA/IFPB. ii.

(3) “O coração do homem traça o seu caminho, mas o Senhor lhe dirige os passos.” (Pv 16: 9) iii.

(4) Dedico este trabalho a Deus, que me abençoou e guiou meus passos para chegar até aqui, à minha maravilhosa mãe, Maria Gomes da Silva, aos meus avós queridos (in memorian) e ao meu esposo amado Augusto César Pereira da Silva Montalvão. iv.

(5) Agradecimentos. Primeiramente agradeço a Deus, que me deu saúde, força, sabedoria, paciência e perseverança para realizar este trabalho. Agradeço também pelo seu enorme amor e sua presença em todos os momentos da minha vida. Agradeço a minha “mainha” que é um exemplo de vida. Uma mulher batalhadora, amiga e companheira, que mesmo sozinha foi o meu sustento, e é a grande responsável por formar a pessoa que sou hoje. Agradeço ao dono do meu coração, meu esposo amado, Augusto, com quem compartilho plenamente os meus dias. Companheiro amoroso, que com toda sua paciência e sabedoria, soube me apoiar e incentivar em todos os momentos desta longa caminhada. Aos meus avós maternos (in memorian), que com toda simplicidade e amor me ensinaram a ter caráter e dignidade. À minha querida família que sempre me dá apoio e se orgulha das minhas conquistas. Ao meu “paizão” querido, grande amigo e padrinho de casamento, Alfrêdo. Seu incentivo, paciência, orientação e dedicação foram indispensáveis para a concretização desta etapa da minha vida. Aos professores e amigos Adaildo e Laércio, pelo apoio, orientação e conhecimentos compartilhados. Aos professores do IFPB, que me incentivaram a iniciar esta caminhada, em especial aos professores Joabson e Paulo Henrique. Aos demais professores e amigos do DEE/UFRN e do GTEMA/IFPB, que contribuíram para minha formação. Ao INCT – CSF/UFRN e ao GTEMA/IFPB pelo suporte técnico. Ao CNPq pelo suporte financeiro.. v.

(6) Resumo. As Superfícies Seletivas de Frequência (FSS) são estruturas periódicas em uma ou duas dimensões que atuam como filtros espaciais, podendo ser formadas por elementos do tipo patches condutores ou aberturas, funcionando como filtros rejeita-faixa ou passa-faixa, respectivamente. O interesse no estudo das FSS tem crescido através dos anos, pois tais estruturas atendem a requisitos específicos como baixo custo, dimensões e pesos reduzidos, além da possibilidade de se integrar com outros circuitos de micro-ondas. As mais variadas aplicações para tais estruturas têm sido investigadas, como por exemplo, radomes, sistemas de antenas para aviões, filtros eletromagnéticos para antenas refletoras, estruturas absorvedoras, etc. Vários métodos têm sido utilizados para a análise de FSS, dentre eles, o Método das Ondas (WCIP). São diversas as formas de elementos que podem ser utilizados em FSS, como por exemplo, os do tipo fractal, que apresenta uma relativa complexidade geométrica. Este trabalho tem como objetivo principal propor um procedimento de simplificação geométrica de uma FSS fractal, a partir da análise da influência dos detalhes (fendas) da geometria da mesma no comportamento da frequência de ressonância. De forma complementar é mostrado um método simples de ajustar a frequência de ressonância através da análise de uma FSS, que utiliza uma célula básica retangular, na qual são inseridas duas reentrâncias e as dimensões dessas reentrâncias são variadas, tornando possível o ajuste da frequência. Para isso, as estruturas são analisadas numericamente, utilizando o WCIP, e posteriormente são caracterizadas experimentalmente, comparando-se os resultados obtidos. Para os dois casos é avaliada, a influência dos campos elétrico e magnético, este último através do vetor densidade de corrente elétrica. É realizado um estudo bibliográfico a cerca do tema e são apresentadas sugestões para a continuidade deste trabalho.. Palavras-chave:. FSS,. geometria simplificada,. frequência de ressonância,. WCIP,. caracterização numérica e experimental.. vi.

(7) Abstract. Frequency Selective Surfaces (FSS) are periodic structures in one or two dimensions that act as spatial filters, can be formed by elements of type conductors patches or apertures, functioning as filters band-stop or band-pass respectively. The interest in the study of FSS has grown through the years, because such structures meet specific requirements as low-cost, reduced dimensions and weighs, beyond the possibility to integrate with other microwave circuits. The most varied applications for such structures have been investigated, as for example, radomes, antennas systems for airplanes, electromagnetic filters for reflective antennas, absorbers structures, etc. Several methods have been used for the analysis of FSS, among them, the Wave Method (WCIP). Are various shapes of elements that can be used in FSS, as for example, fractal type, which presents a relative geometric complexity. This work has as main objective to propose a simplification geometric procedure a fractal FSS, from the analysis of influence of details (gaps) of geometry of the same in behavior of the resonance frequency. Complementarily is shown a simple method to adjust the frequency resonance through analysis of a FSS, which uses a square basic cell, in which are inserted two reentrance and dimensions these reentrance are varied, making it possible to adjust the frequency. For this, the structures are analyzed numerically, using WCIP, and later are characterized experimentally comparing the results obtained. For the two cases is evaluated, the influence of electric and magnetic fields, the latter through the electric current density vector. Is realized a bibliographic study about the theme and are presented suggestions for the continuation of this work.. Keys-words: FSS, simplified geometric, resonance frequency, WCIP, numerical and experimental characterization.. vii.

(8) Sumário. Agradecimentos. v. Resumo. vi. Abstract. vii. Sumário. viii. Lista de Figuras. x. Listas de Tabelas. xiii. Lista de Símbolos e Abreviaturas. xiv. Capítulo 1 – Introdução. 17. Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. 19. 2.1 – Introdução. 19. 2.2 – Arranjos Ativos e Arranjos Passivos. 20. 2.3 – Elementos das FSS. 21. 2.3.1 – Formas de Elementos das FSS. 23. 2.3.2 – Dimensões dos Elementos. 24. 2.4 – Técnicas de Análise de FSS. 25. 2.5 – Técnicas de Medição de FSS. 26. 2.6 – Aplicações. 27. 2.7 – Conclusão. 28. Capítulo 3 – Geometria Fractal. 29. 3.1 – Introdução. 29. 3.2 – Características dos Fractais. 31. 3.2.1 – Dimensão Fractal 3.3 – Geração de Fractal. 32 33. 3.3.1 – Método IFS. 33. 3.3.2 – Sistema-L. 34. 3.4 – Aplicações de Fractal. 36. viii.

(9) 3.5 – Conclusão Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. 36 37. 4.1 – Introdução. 37. 4.2 – Princípio de Funcionamento do WCIP. 37. 4.2.1 – Relação entre Ondas e Campos. 38. 4.2.2 – Incidência/Reflexão da Onda na Superfície S. 40. 4.2.2.1 – Determinação do Parâmetro de Reflexão Sxy 4.2.3 – Propagação/Reflexão da Onda no Meio 4.3 – Conclusão Capítulo 5 – FSS Fractal com Geometria Simplificada. 41 53 55 56. 5.1 – Introdução. 56. 5.2 – Resultados Numéricos e Experimentais. 57. 5.3 – Conclusão. 70. Capítulo 6 – Um Método simples para ajustar a Frequência de Ressonância. 71. de uma FSS 6.1 – Introdução. 71. 6.2 – Resultados Numéricos e Experimentais. 72. 6.3 – Conclusão. 87. Capítulo 7 – Conclusões. 88. Referências Bibliográficas. 90. ix.

(10) Lista de Figuras. Figura 2.1 – Estrutura periódica. 19. Figura 2.2 – Arranjo periódico: a) caso passivo; b) caso ativo. 21. Figura 2.3 – Exemplos de FSS com elementos do tipo patch condutor e abertura. 22. Figura 2.4 – Grupo 1: n-polos conectados pelo centro. 23. Figura 2.5 – Grupo 2: espiras. 23. Figura 2.6 – Grupo 3: interior sólido. 24. Figura 2.7 – Grupo 4: combinações. 24. Figura 2.8 – Sistema de medição de uma FSS. 26. Figura 3.1 – Níveis da curva de Koch triangular. 29. Figura 3.2 – Níveis do triângulo de Sierpinski. 30. Figura 3.3 – Conjunto de Mandelbrot. 31. Figura 3.4 – Exemplos de fractais aleatórios. 31. Figura 3.5 – Regra de formação para a obtenção da curva de Koch triangular. 35. através do Sistema-L Figura 4.1 – Princípio de funcionamento do WCIP. 37. Figura 4.2 – Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética. 39. Figura 4.3 – Discretização da superfície de incidência das ondas. 41. Figura 4.4 – Circuito equivalente para um condutor perfeito. 42. Figura 4.5 – Circuito equivalente para um isolante perfeito. 44. Figura 4.6 – Circuito equivalente para uma interface dielétrico/dielétrico. 45. Figura 4.7 – Circuito equivalente para fonte bilateral. 46. Figura 4.8 – Circuito equivalente para fonte unilateral. 49. Figura 4.9 – Fonte distribuída. 51. Figura 4.10 – Fonte localizada. 51. Figura 4.11 – Fonte distribuída localizada. 52. Figura 4.12 – Estrutura composta por dois meios e uma superfície S. 53. x.

(11) Figura 5.1 – Geometria fractal de Koch (a = 4): a) k = 0; b) k = 1 e c) k = 2. 56. Figura 5.2 – Setup de medição. 58. Figura 5.3 – Célula básica da FSS original. 58. Figura 5.4 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – FSS original (k. 59. = 2 e a = 4) Figura 5.5 – Distribuição do módulo do campo elétrico na FSS original, na. 60. frequência de ressonância simulada, 9 GHz Figura 5.6 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na FSS. 60. original, na frequência de ressonância simulada, 9 GHz Figura 5.7 – Célula básica da FSS com supressão das fendas b e f. 61. Figura 5.8 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – FSS com. 62. supressão das fendas b e f Figura 5.9 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 2ª estrutura, na. 63. frequência de ressonância simulada, 9,25 GHz Figura 5.10 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 2ª. 63. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 9,25 GHz Figura 5.11 – Célula básica da FSS com supressão das fendas e e c. 64. Figura 5.12 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – FSS com. 65. supressão das fendas e e c Figura 5.13 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 3ª estrutura, na. 66. frequência de ressonância simulada, 9,25 GHz Figura 5.14 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 3ª. 66. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 9,25 GHz Figura 5.15 – Célula básica da FSS com supressão das fendas d e a. 67. Figura 5.16 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – FSS com. 68. supressão das fendas d e a Figura 5.17 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 4ª estrutura, na. 69. frequência de ressonância simulada, 10,75 GHz Figura 5.18 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 4ª. 69. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 10,75 GHz Figura 6.1 – Modelo da célula básica da FSS proposta. 71. Figura 6.2 – Célula básica da FSS original. 72. Figura 6.3 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – FSS original. 73. xi.

(12) Figura 6.4 – Distribuição do módulo do campo elétrico na FSS original, na. 74. frequência de ressonância simulada, 11,8 GHz Figura 6.5 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na FSS. 74. original, na frequência de ressonância simulada, 11,8 GHz Figura 6.6 – FSS proposta (w = 2 mm): a) l = 1 mm; b) l = 2 mm; c) l = 3 mm; d) l. 75. = 4 mm e e) l = 5 mm Figura 6.7 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – 2ª estrutura. 76. Figura 6.8 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 2ª estrutura, na. 77. frequência de ressonância simulada, 10,8 GHz Figura 6.9 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 2ª. 77. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 10,8 GHz Figura 6.10 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – 3ª estrutura. 78. Figura 6.11 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – 4ª estrutura. 79. Figura 6.12 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – 5ª estrutura. 80. Figura 6.13 – Coeficiente de transmissão (dB) x frequência (GHz) – 6ª estrutura. 81. Figura 6.14 – Variação da frequência de ressonância (GHz) em função de l (mm). 82. Figura 6.15 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 3ª estrutura, na. 83. frequência de ressonância simulada, 9 GHz Figura 6.16 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 3ª. 83. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 9 GHz Figura 6.17 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 4ª estrutura, na. 84. frequência de ressonância simulada, 7,4 GHz Figura 6.18 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 4ª. 84. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 7,4 GHz Figura 6.19 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 5ª estrutura, na. 85. frequência de ressonância simulada, 6,2 GHz Figura 6.20 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 5ª. 85. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 6,2 GHz Figura 6.21 – Distribuição do módulo do campo elétrico na 6ª estrutura, na. 86. frequência de ressonância simulada, 5 GHz Figura 6.22 – Distribuição do módulo da densidade de corrente elétrica na 6ª. 86. estrutura, na frequência de ressonância simulada, 5 GHz. xii.

(13) Lista de Tabelas. Tabela 3.1 – Valores assumidos por. i,. ei e fi. 34. Tabela 5.1 – Comparação das frequências simuladas e medidas. 70. Tabela 6.1 – Variação da frequência de ressonância (GHz) em função de l (mm). 82. xiii.

(14) Lista de Símbolos e Abreviaturas. A. Onda Incidente. a. Fator de iteração ou fator fractal. B. Onda Refletida. D. Dimensão de Hausdorff-Besicovitch. ∆x. Variação em relação ao eixo x. ∆y. Variação em relação ao eixo y. DT. Dimensão Topológica. E. Vetor Campo Elétrico. Ei. Onda Plana Incidente. Er. Onda Plana Refletida. ε. Permissividade Elétrica. εr. Permissividade Relativa. ERB. Estação Rádio Base. Et. Onda Plana Transmitida. FDTD. Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (Finite Difference Time Domain). FEM. Método dos Elementos Finitos (Finite Elemets Method). FORTRAN Sistema de Tradução de Fórmula Matemática (Mathematical FORmula TRANslation System) FR-4. Substrato de Fibra de vidro. FSS. Superfícies Seletivas de Frequência (Frequency Selective Surface) Coeficiente de reflexão Coeficiente de reflexão do m, n-ésimo modo para o meio i. GTEMA. Grupo de Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado. H. Vetor Campo Magnético. h. Altura do substrato xiv.

(15) IFPB. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba. IFS. Sistema de Funções Iteradas (Iterated Function System). INCT-CSF. Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Comunicações Sem Fio. J. Vetor Densidade de Corrente Superficial. k. Ordem do fractal. K. Parte do operador Sxy que atua sobre a fonte Constante de propagação na direção z, meio i. l. Dimensão da reentrância na direção y. λ0. Comprimento de Onda. Lx. Dimensão do elemento da célula básica da FSS na direção x. Ly. Dimensão do elemento da célula básica da FSS na direção y. µ. Permeabilidade Magnética. MoM. Método dos Momentos (Method of Moments). E. Espaço Euclidiano. RAM. Memória de Acesso Aleatório (Random Access Memory). RFID. Identificação por Radiofrequência (Radio Frequency Identification). S. Superfície. |S21|. Módulo Coeficiente de Transmissão. Sxy. Descreve o comportamento da onda ao incidir sobre a superfície (Parâmetro de reflexão) Coeficiente de transmissão. TC. Operador da região das cargas. TE. Modo Transverso Elétrico. TM. Modo Transverso Magnético. TS. Parte do operador Sxy que atua sobre a onda. w. Dimensão da reentrância na direção x. w(u). Transformação matemática qualquer. WCIP. Método das Ondas (Wave Concept Iterative Procedure). Wx. Dimensão da célula básica da FSS na direção x. Wy. Dimensão da célula básica da FSS na direção y Admitância do m, n-ésimo modo para o meio i. Z0. Impedância característica do meio. xv.

(16) ZC. Impedância de Carga. ZS. Impedância da fonte. xvi.

(17) Capítulo 1 Introdução Com o avanço tecnológico ocorrido nos últimos anos e o contínuo aumento da oferta de serviços de comunicações, em especial aplicações de comunicações sem fio, tem sido cada vez maior a demanda por estruturas que operem em diferentes faixas de frequência, e que atendam às características requeridas como largura de banda, seletividade, dimensões e pesos reduzidos, baixo custo, etc. As Superfícies Seletivas de Frequência (Frequency Selective Surfaces), ou simplesmente FSS, tem recebido grande interesse por atender a esses requisitos, bem como pela sua capacidade de se integrar com outros circuitos de micro-ondas. As FSS são estruturas periódicas em uma ou duas dimensões que atuam como filtros espaciais, podendo ser formadas por elementos do tipo patches condutores ou aberturas, funcionando como filtros rejeita-faixa ou passa-faixa, respectivamente [1]. Esse tipo de estrutura tem um grande número de aplicações e vem contribuindo para melhorar o desempenho dos sistemas de comunicações [2]. Para analisar as FSS, vários métodos têm sido utilizados, dentre eles, o Método das Ondas – WCIP (Wave Concept Iterative Procedure), que é um método de onda completa, baseado na incidência da uma onda transversal sobre uma superfície e no espalhamento dessa onda [3]. Encontram-se na literatura, diversas formas de elementos utilizados em FSS, dentre eles, os do tipo fractal. Observando as dimensões dos detalhes nesses elementos, é possível questionar qual a influência dos mesmos nas características desejadas. Neste trabalho é feita a análise de uma FSS, composta por uma célula básica com motivos fractais de Koch, onde é proposta uma simplificação geométrica, a partir da análise da influência dos detalhes (fendas) da geometria da mesma no comportamento da resposta em frequência. De forma complementar é mostrado um método simples de ajustar a frequência de ressonância através da análise de uma segunda FSS, que utiliza uma célula básica retangular, na qual são inseridas duas reentrâncias e as dimensões dessas reentrâncias são variadas, possibilitando o ajuste da frequência.. 17.

(18) Capítulo 1 – Introdução. Para os dois casos é avaliada, a influência dos campos elétrico e magnético, este último através do vetor densidade de corrente elétrica. Na análise numérica é utilizado o Método das Ondas – WCIP. Para validar os resultados obtidos numericamente, as estruturas são caracterizadas experimentalmente. Este trabalho está dividido em sete capítulos, que são resumidos a seguir: No capítulo 2, é apresentada a fundamentação teórica das FSS, onde são mostrados aspectos importantes como: tipos de arranjos, dimensões e formas dos elementos, parâmetros que influenciam no comportamento da estrutura, técnicas de análise e medição, bem como algumas aplicações. No capítulo 3, é apresentada a fundamentação teórica da geometria fractal, abordando aspectos importantes como: características, tipos de fractais, dimensões, principais métodos utilizados para geração de fractais, a utilização desses métodos para gerar a curva de Koch, bem como algumas aplicações. No capítulo 4, é apresentada a fundamentação teórica do Método das Ondas, WCIP, mostrando importantes aspectos como: o princípio de funcionamento e a formulação matemática do método. No capítulo 5, são mostrados os resultados numéricos e experimentais obtidos para a proposta de simplificação geométrica da FSS utilizando uma célula básica com motivos fractais de Koch. No capítulo 6, são mostrados os resultados numéricos e experimentais obtidos para uma FSS, que utiliza uma célula básica retangular, com duas reentrâncias, onde o ajuste da frequência de ressonância é feito a partir do ajuste das dimensões dessas reentrâncias. No capítulo 7, são apresentadas as conclusões gerais do trabalho, bem como algumas sugestões para a sua continuidade.. 18.

(19) Capítulo 2 Superfícies Seletivas de Frequência - FSS 2.1 – Introdução Uma estrutura periódica é basicamente um conjunto de elementos idênticos organizados em um arranjo finito de uma ou duas dimensões, como mostra a Figura 2.1. Esse tipo de estrutura tem um grande número de aplicações e vem contribuindo para melhorar o desempenho dos sistemas de comunicações [2].. Figura 2.1 – Estrutura periódica.. As FSS são estruturas planares compostas de uma camada de metalização sobre um ou mais substratos dielétricos, que atuam como filtros espaciais, podendo operar em diferentes faixas de frequência. Tais estruturas possuem arranjos periódicos descritos por células que podem conter elementos do tipo patches condutores ou elementos do tipo aberturas. Quando expostas à radiação eletromagnética, as características periódicas da camada de metalização. 19.

(20) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. ressoam em determinadas frequências que dependem das propriedades do dielétrico, da geometria e do espaçamento utilizado nas células condutoras [4] – [6]. Em meados dos anos 60, as FSS passaram a ser extensivamente estudadas com êxito e implementadas para uso em aplicações de radiofrequência, uma vez que transmitem energia eletromagnética para algumas frequências e refletem para outras. Embora seja verdade que devido o grande potencial de aplicações militares, esse estudo intenso sobre tais superfícies periódicas teve início nessa década, o princípio geral de funcionamento já era conhecido [2]. Mais recentemente, a capacidade de uma FSS tem sido aumentada pela adição de dispositivos ativos na célula unitária da estrutura periódica. A incorporação de dispositivos que forneçam ganho ou a não linearidade em uma FSS permite o desenvolvimento de arranjos com numerosas capacidades adicionais, como oscilação, amplificação e multiplexação. Muitos parâmetros e princípios são associados às estruturas periódicas, tais como: tipo e forma do elemento, dimensões da célula unitária (periodicidade), tipo de material dielétrico e espessura do substrato [7], [8]. O interesse no estudo das FSS tem crescido através dos anos. Consequentemente as mais variadas aplicações para tais estruturas tem sido investigadas. Essas estruturas vêm sendo largamente utilizadas devido a sua capacidade de se integrar com outros circuitos de microondas, [4], [9], além disso, são de fácil fabricação, de baixo custo e possuem dimensões e pesos cada vez menores [10]. Recentemente, principalmente com a expansão dos serviços de comunicações sem fio, aumentou consideravelmente a demanda por estruturas multifuncionais, cada vez mais compactas e com requisitos específicos de banda passante [11], [12], o que tem motivado diversos grupos de pesquisa a estudar novas estruturas.. 2.2 – Arranjos Ativos e Arranjos Passivos Fundamentalmente, qualquer estrutura periódica pode ser ativada de duas maneiras: por uma onda plana incidente Ei (arranjo passivo), ou por geradores individuais conectados a cada elemento (arranjo ativo). No caso dos arranjos passivos, uma onda incidente é parcialmente transmitida através da estrutura, Et, e o restante é refletida, Er. No caso dos arranjos ativos, os geradores de tensão devem possuir a mesma amplitude e variações lineares de fase ao longo do todo o arranjo, de forma a caracterizar a estrutura como uma superfície periódica [2], [4]. A Figura 2.2 ilustra os dois casos. 20.

(21) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. Figura 2.2 – Arranjo periódico: a) caso passivo; b) caso ativo.. Sob condições de ressonância, a amplitude do sinal refletido pode ser igual à amplitude do sinal incidente quando a amplitude do sinal transmitido for igual a zero. Usualmente define-se o coeficiente de reflexão como:. (2.1). Onde Er e Ei em geral estão referenciados ao plano do arranjo. De forma similar o coeficiente de transmissão é definido por:. (2.2). 2.3 – Elementos das FSS Uma FSS com elementos do tipo abertura funciona como um filtro passa-faixa, onde o funcionamento ocorre da seguinte forma: à medida que os elementos entram em ressonância,. 21.

(22) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. a estrutura torna-se “transparente” para a onda incidente, até que na frequência de ressonância da estrutura, ocorre a transmissão total da onda. Analogamente, uma FSS com elementos do tipo patch condutor se comporta como um filtro rejeita-faixa. Os elementos entram em ressonância e, dessa forma, eles radiam a potência incidente na direção de reflexão, até que na frequência de ressonância da estrutura, ela se comporta como um condutor perfeito refletindo totalmente a onda incidente [9], [13]. A Figura 2.3 mostra exemplos de FSS, seus circuitos equivalentes e seus comportamentos de resposta em frequência.. Figura 2.3 – Exemplos de FSS com elementos do tipo patch condutor e abertura.. Uma FSS pode ainda ser classificada em relação à espessura dos elementos como um anteparo fino ou anteparo espesso. A FSS anteparo fino usualmente se refere a um anteparo com elementos de circuitos impressos (patches condutores ou aberturas) com espessura menor que 0,001λ0, onde λ0 é o comprimento de onda da FSS na frequência de ressonância. Em geral, a FSS anteparo fino é leve, de pequeno volume e pode ser fabricada com baixo custo, através da tecnologia convencional de circuitos impressos. Por outro lado, uma FSS anteparo espesso é mais usada para aplicações passa-faixa. Sua fabricação requer uma maior precisão, portanto, o custo é mais elevado [14], [15]. A vantagem da FSS anteparo espesso é que a banda de separação (razão entre a frequência. 22.

(23) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. transmitida e a frequência refletida) pode ser reduzida para 1,15, o que é necessário, por exemplo, em antenas de satélites para comunicações multifrequenciais avançadas [7]. 2.3.1 – Formas de Elementos das FSS. A forma do elemento utilizado em uma FSS está diretamente relacionada com sua frequência de operação. O elemento ressoará e irá espalhar energia quando suas dimensões forem múltiplas do comprimento de onda que incide sobre ele [16]. São vários os fatores que influenciam na resposta da FSS, dentre eles: o tipo de elemento, a geometria, os parâmetros de substrato, o espaçamento entre os elementos, e a dependência entre o ângulo de incidência e a polarização da onda incidente [17]. Existe uma grande variedade de pesquisas que utilizam as mais diversas formas de elementos. Os elementos estão divididos em quatro grupos [2]. O Grupo 1 corresponde aos n-polos conectados pelo centro. As formas mais conhecidas são o dipolo fino, dipolo cruzado, cruz de Jerusalém e o tripolo. Na Figura 2.4 são mostrados exemplos de elementos pertencentes ao Grupo 1.. Figura 2.4 – Grupo 1: n-polos conectados pelo centro.. O Grupo 2 corresponde aos elementos do tipo Espira. Os tipos mais conhecidos são: as espiras quadradas, as quadradas duplas, quadradas com grades e anéis circulares concêntricos. Na Figura 2.5 são apresentados exemplos de elementos pertencentes a esse grupo.. Figura 2.5 – Grupo 2: espiras. 23.

(24) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. O Grupo 3 é formado pelos elementos de interior sólido. As formas mais conhecidas são os patches quadrados, retangulares, hexagonais e circulares. A Figura 2.6 mostra exemplos de elementos pertencentes ao grupo 3.. Figura 2.6 – Grupo 3: interior sólido.. O Grupo 4 é composto por elementos formados a partir da modificação e combinação de elementos típicos. A lista de elementos que compõem esse grupo é interminável [2], [9]. Na Figura 2.7 são apresentados exemplos de elementos pertencentes a esse grupo.. Figura 2.7 – Grupo 4: combinações.. 2.3.2 – Dimensões dos Elementos. Para a análise das dimensões dos elementos, considera-se uma FSS com arranjo periódico de elementos do tipo dipolo. Quando o dipolo é alimentado por uma fonte de radiofrequência, e seu comprimento é múltiplo de meio comprimento de onda, o dipolo ressoará e irá espalhar energia. Como muitos desses dipolos são dispostos como um arranjo, a energia radiada por todos os elementos será coerente com a direção de reflexão, onde o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Isto ocorre devido ao atraso de fase na corrente de indução entre cada elemento e o elemento posterior. Quando a dimensão do elemento é muito diferente das dimensões de ressonância, a onda incidente irá percorrer a FSS como se fosse transparente, entretanto, ocorrendo uma pequena. 24.

(25) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. perda devido às propriedades do dielétrico, ao espalhamento e à condutividade do metal [1], [2], [8].. 2.4 – Técnicas de Análise de FSS Vários métodos têm sido usados para análise de FSS. Diversas fórmulas aproximadas foram desenvolvidas para verificar as características de transmissão e de reflexão das FSS. Um dos primeiros métodos utilizados neste tipo de análise foi o casamento modal. Associado ao casamento modal surgiu o método dos circuitos equivalentes, possibilitando a avaliação inicial do comportamento de uma FSS [18]. Nesta análise, os vários segmentos de fita que formam o elemento patch em um arranjo periódico são modelados como componentes indutivos e capacitivos em uma linha de transmissão. Da solução do circuito resultante são fornecidas as características de reflexão e transmissão da FSS. Esta técnica é bastante eficiente, porém é limitado em precisão, pois o método utiliza a aproximação quaseestática para calcular as componentes do circuito [1], [19]. Com o avanço dos recursos computacionais, outros métodos passaram a ser utilizados, citando-se o método das diferenças finitas no domínio do tempo, FDTD, que possibilita a análise de qualquer tipo de elemento, assim como a análise das perdas dielétricas e/ou magnéticas e a análise de estruturas não homogêneas [20], o método dos elementos finitos, FEM, o método do vetor potencial de Hertz e o método dos momentos, MoM [18], [21], que é usado para resolver a equação integral, reduzindo o número infinito de coeficientes desconhecidos a um número finito de equações contendo o mesmo número de coeficientes desconhecidos [1]. O FDTD e o FEM apresentam a vantagem da flexibilidade na forma da FSS, entretanto, requerem um esforço computacional elevado. Por outro lado, métodos como o MoM e o do vetor potencial de Hertz, que não requerem tanto esforço computacional, apresentam limitações quanto à forma das FSS. A partir de meados dos anos 90 foi desenvolvido o Método das Ondas, um processo iterativo, mais conhecido na literatura por Wave Concept Iterative Procedure, WCIP, baseado em princípios relativamente simples e com diversas aplicações [22], [23]. Este método tem como características a necessidade relativamente reduzida de recursos computacionais e a flexibilidade quanto à forma da estrutura planar.. 25.

(26) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. Em conjunto com esses métodos, podem ser utilizadas técnicas de inteligência artificial para análise e/ou síntese de FSS, como por exemplo, as redes neurais e os algoritmos genéticos [4].. 2.5 – Técnicas de Medição de FSS Vários métodos têm sido usados para medir as propriedades de transmissão e de reflexão de uma FSS. Para testar o comportamento da potência transmitida em uma medição de uma FSS pode-se utilizar uma câmera anecóica. O sistema de medição utiliza antenas cornetas direcionais de ganhos padrões como elementos de transmissão e recepção, como pode ser visto na Figura 2.8. Para medir as características de transmissão nos modos TE e TM da FSS em teste, posicionada entre as duas antenas cornetas, altera-se a polarização das antenas de vertical para horizontal [7]. Em relação às características de reflexão das FSS, podem ser obtidos dados errados devido às difrações, que podem ser atribuídas à grande largura de feixe das antenas e ao pequeno tamanho da FSS [24].. Figura 2.8 – Sistema de medição de uma FSS.. Outro procedimento utilizado para uma medição onde se necessita de uma maior precisão é o que utiliza antenas cornetas e lentes, no qual é possível medir os coeficientes de 26.

(27) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. transmissão e de reflexão em ambas as polarizações. O efeito de difração nas extremidades é reduzido significativamente, desde que um feixe estreito Gaussiano das lentes incida sobre a FSS [7].. 2.6 – Aplicações As FSS possuem inúmeras aplicações. Inicialmente, as aplicações estavam concentradas no uso em sub-refletores do tipo Cassegrain de antenas parabólicas. Atualmente as aplicações envolvem, entre outras, radomes, sistemas de antenas para aviões, foguetes e mísseis, filtros eletromagnéticos para antenas refletoras e estruturas absorvedoras [18], [25], [26]. A aplicação mais conhecida é o anteparo da porta do forno de micro-ondas que possui a característica de um filtro passa-faixa, deixando passar a faixa de frequência de luz visível e rejeitando a faixa de micro-ondas. Este anteparo consiste de um arranjo periódico de orifícios metálicos, projetado para refletir energia na faixa de frequência em torno de 2,45 GHz e permitir a passagem da luz [4], [7], [8], [12], [14], [18]. Em um sistema com duplo refletor, uma FSS pode ser usada como sub-refletor. Em sistemas como este, são utilizados diferentes alimentadores independentemente colocados no foco real e virtual do sub-refletor. Consequentemente, apenas um refletor principal é necessário para a operação multifrequencial. Desta forma são conseguidas significativas reduções na massa, no volume e no custo da antena com a FSS utilizada como sub-refletor. Para uma antena refletora multifuncional são necessárias FSS de alto desempenho para demultiplexar duas faixas separadas ou multiplexar três ou quatro faixas [7]. Os radomes de FSS com elementos do tipo abertura podem ser projetados para produzir características passa-faixa. O radome pode ser projetado, por exemplo, para uso acoplado a superfícies de automóveis ou aeronaves, para garantir um espalhamento mínimo do sinal [1], [27]. Na literatura tem sido encontrada a aplicação de FSS multicamadas, como por exemplo, o cascateamento dessas estruturas para bloquear sinais de comunicação [28]. Um exemplo bem simples é caso de FSS utilizada como painel que bloqueia o sinal de redes sem fio. Os painéis podem ser usados como papéis de paredes em locais como escritórios (cobrindo inclusive janelas), impedindo o acesso não autorizado à rede sem fio de empresas. Esses painéis podem atuar nas versões passiva ou ativa. Na versão passiva, a barreira torna-se permanente, impedindo o acesso em uma determinada área. Já na versão ativa, é possível que o acesso a 27.

(28) Capítulo 2 – Superfícies Seletivas de Frequência – FSS. uma determinada área seja ligado ou desligado, possibilitando, caso necessário, o aumento ou diminuição do alcance de uma rede. Estes painéis filtram o sinal da rede sem fio, e permitem que outros sinais como, por exemplo, as ondas de rádio e redes celulares continuem a ser recebidos normalmente [29], [30]. Nos últimos anos, com o uso difundido de celulares, o ruído gerado pelo uso desses aparelhos em locais públicos, por exemplo, tornou-se cada vez maior. Para solucionar este problema, ondas eletromagnéticas ou sinais podem ser bloqueados entre a ERB e o telefone celular, através do uso de FSS, funcionando como filtro rejeita-faixa, colocados em paredes, janelas e outras localidades [31].. 2.7 – Conclusão Neste capítulo foi apresentada a fundamentação teórica das Superfícies Seletivas de Frequência. Foram mostrados aspectos importantes como: tipos de arranjos, dimensões e formas dos elementos, parâmetros que influenciam no comportamento da estrutura, técnicas de análise, técnicas de medição, bem como algumas aplicações desse tipo de estrutura.. 28.

(29) Capítulo 3 Geometria Fractal 3.1 – Introdução O termo fractal foi introduzido em 1975 por Benoit Mandelbrot [32], [33]. A palavra fractal foi originada do radical fractus, derivado do verbo frangere, que quer dizer quebrar, fragmentar. Segundo o próprio Mandelbrot, fractais são conjuntos onde a dimensão de Hausdorff-Besicovitch (dimensão fractal) excede a dimensão topológica [34], [35]. Os métodos que envolvem o conceito de dimensão fractal referem-se ao espaço ocupado ou preenchido por uma figura [1]. Um fractal é uma forma geométrica fragmentada, que pode ser subdividida em partes, onde cada parte menor do objeto ou processo fractal se assemelha ao todo, ou seja, possui uma relação de auto-similaridade ou auto-semelhança [36]. Quando um objeto geometricamente auto-similar é examinado com maior resolução, pequenas réplicas do todo são distinguidas. A dimensão de auto-similaridade descreve quantas vezes as partes do objeto similares ao todo são distinguidas, na medida em que a resolução aumenta [34]. Para exemplificar, considere-se um fractal bastante conhecido, a curva de Koch triangular, mostrada na Figura 3.1, que para um fator fractal a = 3, esta curva é criada pela substituição de um segmento de reta por três outros segmentos com um terço do comprimento original. O fractal é o resultado da repetição infinita desse processo.. Figura 3.1 – Níveis da curva de Koch triangular. 29.

(30) Capítulo 3 – Geometria Fractal. Os fractais são um desenvolvimento de geometria moderna que encontra aplicações em muitos ramos da ciência e da tecnologia, desde a biologia até a engenharia [36]. O fractal é gerado através de fórmulas matemáticas, a partir de funções reais ou complexas, muitas vezes simples, que quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas geométricas abstratas, com padrões complexos, que se repetem infinitamente [37]. Existem três categorias principais de fractais: os fractais geométricos, que possuem uma regra fixa de substituição geométrica, como por exemplo, o triângulo de Sierpinski, mostrado na Figura 3.2; os fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço, também chamados de fractais de fuga do tempo, como por exemplo, o conjunto de Mandelbrot, mostrado na Figura 3.3; e os fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos, como por exemplo, terrenos fractais [1]. A Figura 3.4 mostra exemplos de fractais aleatórios. Os fractais geométricos podem ser utilizados em FSS para que seja investigado, por exemplo, o efeito destes elementos no ajuste da frequência de ressonância da estrutura.. Figura 3.2 – Níveis do triângulo de Sierpinski.. 30.

(31) Capítulo 3 – Geometria Fractal. Figura 3.3 – Conjunto de Mandelbrot.. Figura 3.4 – Exemplos de fractais aleatórios.. 3.2 – Características dos Fractais A principal característica de um fractal é a auto-similaridade ou a auto-semelhança. Existem três tipos de auto-similaridade: auto-similaridade exata, onde o fractal é idêntico em diferentes escalas; a quase auto-similaridade, onde o fractal apresenta pequenas cópias do fractal inteiro de forma distorcida ou degenerada; e a auto-similaridade estatística, onde o fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas [1].. 31.

(32) Capítulo 3 – Geometria Fractal. 3.2.1 – Dimensão Fractal. A dimensão da geometria fractal pode ser definida de várias maneiras, como por exemplo, a dimensão topológica, a dimensão Euclidiana, a dimensão auto-similar e a dimensão de Hausdorff-Besicovitch [36]. Pela definição de Euclides, um ponto tem dimensão (0), uma curva tem dimensão (1), uma superfície tem dimensão (2) e uma porção qualquer do espaço tem dimensão (3). Para determinar a dimensão topológica de um objeto, recorre-se ao estabelecimento de uma correspondência unívoca desse objeto com um desses entes geométricos fundamentais, ou seja, à medida que vão se formando objetos decorrentes de várias iterações, o objeto geométrico criado sempre é semelhante àquele que lhe deu origem. Ao se utilizar esses métodos para o cálculo da dimensão, estará sendo expresso algo diferente da dimensão topológica. Os métodos que envolvem o conceito de dimensão fractal referem-se ao espaço ocupado ou preenchido por uma figura. No cálculo efetivo da dimensão de alguns objetos, tais métodos permitem que o resultado seja um número fracionário. Nem sempre a dimensão fractal é fracionária, porém a dimensão fracionária é uma característica que as figuras tradicionais não possuem [38]. Como sempre se utiliza o espaço Euclidiano (. E. ), a dimensão de Hausdorff-Besicovitch. (D) e a dimensão topológica (DT), possuem um valor mínimo igual a zero e um valor máximo igual a E. A dimensão topológica é sempre representada por números inteiros, porém a dimensão de Hausdorff-Besicovitch pode ser representada por números fracionários. As duas dimensões devem satisfazer a desigualdade de Szpilrajn [39]:. (3.1) onde D é dado por:. (3.2). onde n representa o número de segmentos da figura e r é a razão de similaridade. No limite quando n tende ao infinito, obtém-se um fractal ideal.. 32.

(33) Capítulo 3 – Geometria Fractal. 3.3 – Geração de Fractal Os métodos utilizados para calcular a dimensão fractal de um conjunto, fazem uso da característica de auto-similaridade para a obtenção de réplicas menores do objeto, decorrentes de sua divisão [40]. O Sistema de funções Iteradas (IFS – Iterated Function System) e o Sistema de Lindenmayer (Sistema-L) estão entre os métodos mais usados para geração de fractais geométricos [41]. 3.3.1 – Método IFS. O Sistema de Funções Iteradas, IFS, foi desenvolvido em 1986, pelo matemático inglês Michael Barnsley. Este método é baseado em transformações matemáticas, tais como: contração, reflexão, rotação e translação. Os fractais são definidos como o limite do processo iterativo de um conjunto finito de transformações afins w(u), que são aplicadas em uma figura inicial arbitrária [32], [42], [43]. Pode-se definir a transformação afim no plano w(u) =. 2. →. 2. , através de:. (3.3). Onde T é a uma transformação linear não-singular, uT = (x y) e v são vetores pertencentes a. 2. . A mesma transformação afim pode ser escrita da forma matricial, como mostra a. equação (3.4).. (3.4). Onde a, b, c, d, e e f são escalares. Para exemplificar a geração de fractais através do método IFS, considere-se a curva de Koch. Esta curva é obtida a partir de uma reta, através de quatro transformações wi =. 2. →. 2. , de acordo com a equação (3.5):. (3.5). 33.

(34) Capítulo 3 – Geometria Fractal. Onde. i,. ei e fi assumem os valores da Tabela 3.1. As quatro transformações fazem a. contração de 1/3; w2 faz uma rotação de π/3 rad e uma translação de uma unidade para a direita; w3 faz uma rotação de –π/3 rad e uma translação de 3/2 unidades para a direita e unidades para cima; e w4 faz uma translação de 3/2 unidades para a direita. Tabela 3.1 – Valores assumidos por i. i. ei. fi. 1. 0. 0. 0. 2. π/3. 1. 0. 3. -π/3. 3/2. 4. 0. 2. i,. ei e fi.. 0. 3.3.2 – Sistema-L. O Sistema de Lindenmayer, Sistema-L, foi desenvolvido em 1968 pelo biólogo Aristid Lindenmayer. Este sistema também é conhecido como um sistema gerador de fractais por cadeias de caracteres [36]. Inicialmente ele foi usado para modelar o processo de crescimento de plantas e descrever o desenvolvimento de organismos multicelulares. Para construir os fractais no Sistema-L são utilizados elementos gráficos representados por letras do alfabeto. As regras formativas podem ser representadas por cadeias de caracteres. Essas cadeias irão armazenar toda a informação necessária para a construção do fractal. São adotadas algumas convenções para a representação dos comandos gráficos nas cadeias de caracteres [1], sendo eles: Segmentos são denotados por letras maiúsculas e minúsculas; Um incremento positivo no ângulo, denotado por (+), significa uma mudança de direção no sentido horário; Um incremento negativo no ângulo, denotado por (–), significa uma mudança de direção no sentido anti-horário. Para exemplificar a geração de fractais gerados através do Sistema-L, considere-se a curva de Koch triangular. Para iniciar a construção do fractal, são definidas a célula matriz e a. 34.

(35) Capítulo 3 – Geometria Fractal. regra de formação, determinando como a cadeia de caracteres irá se proliferar. É necessário estabelecer um limite n para o número de iterações utilizadas na construção do fractal [1]. O passo seguinte é estabelecer um segmento que representa a célula matriz, aqui representado por K. Divide-se o segmento de reta em três partes iguais. O segmento do meio é substituído por um triângulo equilátero sem a base, obtendo-se assim uma poligonal, como mostra a Figura 3.5. Observando o processo de construção da esquerda para a direita, temos: Um segmento de reta K; Um incremento no ângulo no sentido anti-horário (–); Um segmento K seguido de dois incrementos no ângulo no sentido horário (++); Um segmento K seguido de um incremento no ângulo no sentido anti-horário (–); Um segmento K.. Então a regra geral utilizada é K–K++K–K, ou seja, a cada nova etapa, substitui-se o K da etapa anterior pelo conjunto K–K++K–K, mantendo os caracteres (+) ou (–). Dessa forma temos: n = 0: K; n = 1: K–K++K–K; n = n: K–K++K–K.... Figura 3.5 – Regra de formação para a obtenção da curva de Koch triangular através do Sistema-L.. 35.

(36) Capítulo 3 – Geometria Fractal. 3.4 – Aplicações de Fractal Encontra-se na literatura, aplicações de fractais em diferentes áreas como: ciências humanas, ciências exatas e biológicas. Na medicina, são reconhecidas características fractais em fenômenos cardíacos, pulmonares e na atividade cerebral. Descobertas recentes mostram que o coração bate a um ritmo fractal. Recentemente, alguns trabalhos têm proposto explícita ou implicitamente que, sendo a vasculatura retínica um fractal, é possível prevenir ou diagnosticar doenças retínicas. Para o diagnóstico automatizado desse tipo de doença e também para a análise fractal da sua árvore vascular, é necessário filtrar da imagem retinográfica, apenas aquilo que corresponde aos vasos, processo denominado segmentação vascular, feita a partir de softwares especializados [34]. Na biologia, utilizam-se características fractais como base para a identificação de processos evolutivos de plantas e para descrever o desenvolvimento de organismos multicelulares [1]. Na economia, a análise das bolsas indica que a curto prazo, os valores de ações apresentam comportamento aparentemente aleatório, mas se comportam com um certo padrão a médio e longo prazo. Na computação gráfica, os fractais estão sendo muito utilizados para efeitos especiais em filmes [36]. Na engenharia, as aplicações são as mais variadas. Por apresentar comportamento multibanda e a capacidade de miniaturização, vários tipos de geometria fractal estão sendo utilizados em filtros de linha acoplada, arranjos de FSS e em projetos de antenas como, por exemplo, para aplicações em redes sem fio e para leitores da Tecnologia de Identificação por Radiofrequência – RFID.. 3.5 – Conclusão Neste capítulo foi apresentada a fundamentação teórica da geometria fractal. Foram abordados aspectos importantes como: características, tipos de fractais, dimensões, principais métodos utilizados para geração de fractais, mostrando a utilização desses métodos para gerar a curva de Koch, bem como algumas aplicações da geometria fractal.. 36.

(37) Capítulo 4 Método das Ondas – WCIP 4.1 – Introdução A partir de meados dos anos 90 foi desenvolvido o Método das Ondas, um processo iterativo, mais conhecido na literatura por Wave Concept Iterative Procedure, ou simplesmente WCIP, baseado em princípios relativamente simples e com diversas aplicações [22], [23]. A necessidade relativamente reduzida de recursos computacionais e a flexibilidade quanto à forma da estrutura planar são características do WCIP, o que torna a sua aplicação particularmente interessante na análise de FSS.. 4.2 – Princípio de Funcionamento do WCIP O método das Ondas, WCIP baseia-se em um princípio relativamente simples que pode ser ilustrado a partir da Figura 4.1, onde: Os dois meios, I e II, em uma região limitada do espaço, estão separados por uma superfície S; Uma onda A0 incide perpendicularmente na superfície S, a partir do meio I, na direção n, no sentido positivo.. Figura 4.1 – Princípio de funcionamento do WCIP. 37.

(38) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Ao incidir sobre a superfície, a onda A0,I sofre dois processos: uma parte passa para o meio II, B1,II, na direção n, no sentido positivo e; outra parte é refletida, B1,I, retornando ao meio I, na direção n, no sentido negativo. Em função dos limites e das condições de propagação na região I a onda B1,I sofre uma nova reflexão, dando origem a onda A1,I. A onda A1,I incide perpendicularmente na superfície S e o processo se repete. Analogamente, a onda B1,II sofre uma reflexão no meio II, dando origem a onda A1,II. Após a k-ésima repetição do processo, a onda resultante sobre a superfície S será a soma de todas as ondas incidentes e refletidas. Se parte da potência é absorvida a cada iteração, seja pelas características da superfície S, ou pelas condições de propagação nos meios I e II, o processo converge e os somatórios das ondas incidentes, A, e refletidas, B, podem ser determinados. Matematicamente têm-se [21], [44]:. (4.1). (4.2). onde: Sxy descreve o comportamento da onda ao incidir sobre a superfície (domínio espacial); descreve o comportamento da onda ao se propagar no meio (domínio espectral/modal). Portanto, são dois pontos a serem analisados: a incidência ou reflexão da onda na superfície S e a propagação ou reflexão da onda no meio. 4.2.1 – Relação entre Ondas e Campos. Uma onda eletromagnética pode ser descrita através das suas componentes de campo elétrico, E, e magnético, H. As ondas incidentes e refletidas se relacionam com as amplitudes de campo transversais através das equações (4.3) e (4.4):. 38.

(39) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. (4.3). (4.4). Sendo Z0 a impedância característica do meio, dada por:. (4.5). Entretanto, ao invés do vetor campo magnético, H, em geral é utilizado o vetor densidade de corrente superficial, J, definido por:. (4.6). A utilização do vetor densidade de corrente superficial decorre de vantagens tal como: o vetor J apresenta a mesma natureza do vetor H. Para uma estrutura propagando modos TE e TM os vetores E e J são colineares, como mostra a Figura 4.2.. Figura 4.2 – Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.. Substituindo (4.6) em (4.3) e em (4.4), temos:. 39.

(40) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. (4.7). (4.8). De (4.7) e (4.8) obtém-se as expressões para os vetores E e J em função das ondas incidentes e refletidas. Desta forma:. (4.9). (4.10). A partir dos valores de E e J, determinados sobre a superfície do circuito, parâmetros tais como impedância e frequências de ressonância, podem ser calculados e, dessa forma, o circuito é caracterizado. No WCIP essa caracterização é realizada em diferentes domínios, sejam eles, espacial, espectral e modal, o que não é aqui detalhado. 4.2.2 – Incidência/Reflexão da Onda na Superfície S. A análise da incidência/reflexão da onda na superfície S é realizada no domínio espacial. A superfície é discretizada em pixels de dimensão ∆x x ∆y, mostrada na Figura 4.3, e a região delimitada por cada pixel é caracterizada como sendo uma interface do tipo: condutor perfeito, isolante perfeito e dielétrico/dielétrico. Além das interfaces já citadas, existem ainda os pixels que delimitam regiões de: fontes e cargas.. 40.

(41) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Figura 4.3 – Discretização da superfície de incidência das ondas.. Dessa forma, a cada pixel corresponde um parâmetro de reflexão Sxy. Destaque-se que a princípio, cada ponto Sxy pode corresponder ao centro geométrico do pixel ou simplesmente a um ponto da superfície. 4.2.2.1 – Determinação do Parâmetro de Reflexão Sxy A determinação do parâmetro de reflexão para cada uma das regiões citadas encontra-se detalhada em [22], [45] – [48]. Basicamente consiste em impor as condições de contorno às componentes transversais de campo elétrico e/ou do vetor densidade de corrente superficial. A seguir serão apresentados alguns casos. Fica subentendido que as componentes E e J citadas são as componentes tangenciais.. a) Condutor perfeito Para um condutor perfeito as componentes de campo elétrico se anulam na superfície, como mostrado na Figura 4.4.. 41.

(42) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Figura 4.4 – Circuito equivalente para um condutor perfeito.. Detalhando (4.9) e (4.10) tem-se:. (4.11). (4.12). (4.13). (4.14). De (4.11) e (4.13) tem-se:. (4.15) (4.16). Adotando a seguinte notação:. 42.

(43) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. (4.17). Tem-se que: (4.18) (4.19) (4.20) (4.21) (4.22). Analogamente: (4.23). Finalmente, o operador Sxy para uma incidência sobre um metal perfeito, pode ser dado por:. (4.24). b) Isolante perfeito. Para um isolante perfeito, as componentes do vetor densidade de corrente superficial são nulas na superfície, como ilustra a Figura 4.5.. 43.

(44) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Figura 4.5 – Circuito equivalente para um isolante perfeito.. Aplicando as condições de contorno e suprimindo os índices x e y, temos:. (4.25). (4.26). Analogamente, o operador Sxy para uma incidência sobre um isolante perfeito é:. (4.27). c) Dielétrico/dielétrico. Para uma interface do tipo dielétrico/dielétrico as componentes de campo elétrico são iguais e diferentes de zero. A soma das componentes do vetor densidade de corrente superficial se anula na superfície, como pode ser visto na Figura 4.6.. 44.

(45) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Figura 4.6 – Circuito equivalente para uma interface dielétrico/dielétrico.. Aplicando as condições de contorno, temos:. (4.28). (4.29). De onde se obtém: (4.30). Sendo. .. d) Fontes. Para as fontes, assim como as cargas, são considerados dois casos: unilateral e bilateral.. 45.

(46) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. i – Fonte bilateral. Para este caso uma fonte de campo elétrico E0 e uma impedância dessa fonte ZS estão associadas a uma determinada região da superfície S, conectando-se os dois meios, como mostrado na Figura 4.7. Aplicando a Lei de Ohm:. (4.31). Figura 4.7 – Circuito equivalente para fonte bilateral.. Substituindo (4.9) e (4.10) em (4.31), temos:. (4.32). (4.33). Dividindo (4.32) por. e (4.33) por. , temos:. 46.

(47) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. (4.34). (4.35). De onde se obtém, após as devidas simplificações:. (4.36). (4.37). Denominando: (4.38). (4.39). (4.40). (4.41). 47.

(48) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. (4.42). (4.43). Portanto, na região da fonte bilateral, o operador Sxy passa a ser composto por duas partes, uma denominada TS que atua sobre a onda e a outra denominada K, que atua sobre a fonte, mostrado na equação (4.44).. (4.44). Ou ainda,. (4.45). 48.

(49) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. ii – Fonte unilateral. Para este caso, uma fonte de campo elétrico E0 e uma impedância dessa fonte ZS, estão associadas a uma determinada região da superfície S, conectando-se apenas a um dos meios, como mostra a Figura 4.8. Arbitrariamente aqui foi escolhido o meio I.. Figura 4.8 – Circuito equivalente para fonte unilateral.. Aplicando a Lei de Ohm:. (4.46). Substituindo (4.9) e (4.10) em (4.46), temos:. (4.47). Reescrevendo (4.47),. (4.48). 49.

(50) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Concluindo, (4.49). Para o meio II temos: (4.50). Portanto, na região da fonte unilateral, tem-se que:. (4.51). (4.52). (4.53). (4.54). (4.55). (4.56). Ou ainda, (4.57). 50.

(51) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. É importante destacar que o termo [K]E0 nas equações (4.45) e (4.57) corresponde a uma fonte localizada, A0, ou seja, uma fonte definida em apenas uma região limitada do espaço. Além disso, destaque-se ainda que, inicialmente foram consideradas apenas duas possibilidades para a configuração das fontes: fontes distribuídas e fontes localizadas. As fontes distribuídas são definidas em todas as regiões acima da superfície e em toda a região, como ilustra a Figura 4.9, não ocorrendo modificação dos parâmetros de espalhamento, Sxy.. Figura 4.9 – Fonte distribuída.. As fontes localizadas são definidas na superfície, em uma determinada região, como pode ser visto na Figura 4.10, e alteram o espalhamento na região onde a fonte é definida.. Figura 4.10 – Fonte localizada.. 51.

(52) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. Entretanto, existe ainda uma terceira possibilidade, onde a fonte está localizada acima da superfície, porém em uma região limitada, como mostrado na Figura 4.11. Neste caso, os parâmetros de espalhamento não são modificados.. Figura 4.11 – Fonte distribuída localizada.. e) Cargas. Na região de cargas, o operador Sxy, passa a ser denominado TC e as suas expressões podem ser obtidas diretamente das expressões do operador na região das fontes, fazendo a fonte de campo elétrico igual a zero, E0 = 0, tanto para o caso unilateral quanto para o bilateral. Assim sendo, nas regiões das cargas, o operador TC corresponde ao operador da região das fontes com o termo [K] = [0], equação (4.58). Naturalmente, a impedância da fonte ZS é substituída pela impedância de carga, ZC.. (4.58). i – Carga bilateral. De (4.45), temos:. (4.59). 52.

(53) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. ii – Carga unilateral. De (4.57), temos: (4.60). 4.2.3 – Propagação/Reflexão da Onda no Meio. A análise da propagação/reflexão da onda no meio é realizada no domínio modal, ou seja, a onda é decomposta em seus modos TE e TM. Para cada modo é calculado o respectivo coeficiente de reflexão, considerando as características do meio e a frequência de operação, como ilustra a Figura 4.12.. Figura 4.12 – Estrutura composta por dois meios e uma superfície S.. O coeficiente de reflexão é dado por:. (4.61). 53.

(54) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. α = modos (TE, TM).. Onde: (4.62). = Admitância do m, n-ésimo modo para o meio i com espessura infinita.. (4.63). = Admitância do m, n-ésimo modo para o meio i terminado em parede elétrica.. (4.64). = Admitância do m, n-ésimo modo para o meio i terminado em parede magnética. (4.65). = Impedância característica do meio i.. (4.66). = Constante de propagação na direção z, meio i.. (4.67). 54.

(55) Capítulo 4 – Método das Ondas – WCIP. = Admitância do m, n-ésimo modo TE para o meio i.. (4.68). = Admitância do m, n-ésimo modo TM para o meio i.. 4.3 – Conclusão Neste capítulo foi apresentada a fundamentação teórica do Método das Ondas, WCIP. Foram apresentados importantes aspectos como: o princípio de funcionamento e a formulação matemática do método, com a finalidade de possibilitar uma maior compreensão desta técnica de análise. Este método será utilizado para a análise numérica das estruturas que serão apresentadas nos capítulos 5 e 6.. 55.

(56) Capítulo 5 FSS Fractal com Geometria Simplificada 5.1 – Introdução Neste capítulo é analisada uma FSS com célula básica utilizando como elemento os motivos fractais de Koch. A geometria fractal de Koch é caracterizada por dois fatores: o fator de iteração (fator de escala) ou fator fractal a e a ordem do fractal k [3], como mostra a equação (5.1). O fator fractal representa a lei de construção dos fractais, e a ordem do fractal indica quantos processos iterativos serão executados [1]. A Figura 5.1 ilustra a geometria fractal de Koch, com a = 4 e k = 0, 1 e 2.. (5.1). Figura 5.1 – Geometria fractal de Koch (a = 4): a) k = 0; b) k = 1 e c) k = 2.. Para este trabalho, inicialmente a célula unitária com geometria fractal original é caracterizada numericamente utilizando o WCIP. A partir dessa célula original e da análise do 56.