Sistemas lineares periódicos discretos

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

´Indice

Tabela de S´ımbolos iii

Introdu¸c˜ao v

1 No¸c˜oes e propriedades fundamentais 1

1.1 Modelo de espa¸co de estados . . . 1

1.2 Formula¸c˜ao Invariante . . . 8

1.2.1 Caso particular - Sistemas de per´ıodo trˆes . . . 8

1.2.2 Caso geral - Sistemas de per´ıodo N . . . . 23

1.3 Matrizes de Monodromia . . . 35

2 Atingibilidade e Controlabilidade 37 2.1 Atingibilidade . . . 37

2.1.1 Defini¸c˜oes e consequˆencias imediatas . . . 38

2.1.2 Caracteriza¸c˜ao dos subespa¸cos ating´ıveis . . . 43

2.1.3 Caracteriza¸cão dos subespa¸cos ating´ıveis na formula¸cão invariante 45 2.1.4 Subespa¸cos ating´ıveis versus subespa¸cos ating´ıveis na formula¸cão invariante . . . 46

2.1.5 Caracteriza¸c˜ao de atingibilidade completa usando a matriz de atingibilidade . . . 52

2.1.6 O estudo da atingibilidade atrav´es da an´alise da atingibilidade dos sistemas invariantes associados . . . 56

2.1.7 Matriz Gramian de atingibilidade . . . 65

2.2 Controlabilidade . . . 68

2.2.2 Caracteriza¸c˜ao dos subespa¸cos control´aveis . . . 70 i

(7)

ante . . . 72

2.2.4 Subespa¸cos controláveis versus subespa¸cos controláveis na for-mula¸cão invariante . . . 73

2.2.5 Caracteriza¸c˜ao de controlabilidade completa . . . 76

2.2.6 O estudo da controlabilidade atrav´es da an´alise da controlabili-dade dos sistemas invariantes associados . . . 78

2.3 Rela¸c˜ao entre atingibilidade e controlabilidade . . . 83

3 Observabilidade e Reconstrutibilidade 85 3.1 Observabilidade . . . 86

3.1.2 Caracteriza¸c˜ao dos subespa¸cos observ´aveis . . . 90

3.1.3 Caracteriza¸cão dos subespa¸cos observáveis na formula¸cão invari-ante . . . 92

3.1.4 Subespa¸cos observáveis versus subespa¸cos observáveis na for-mula¸cão invariante . . . 94

3.1.5 Caracteriza¸c˜ao de observabilidade completa usando a matriz de observabilidade . . . 98

3.1.6 Matriz Gramian de observabilidade . . . 102

3.2 Reconstrutibilidade . . . 105

3.2.2 Caracteriza¸c˜ao dos subespa¸cos reconstrut´ıveis . . . 110

3.2.3 Caracteriza¸c˜ao da reconstrutibilidade dos subespa¸cos invariantes associados . . . 111

3.2.4 Subespa¸cos reconstrut´ıveis versus subespa¸cos reconstrut´ıveis na formula¸c˜ao invariante . . . 114

3.3 Rela¸c˜ao entre observabilidade e reconstrutibilidade . . . 116

Conclus˜ao 119

Bibliografia 121

´Indice Remissivo 125

(8)

Tabela de S´ımbolos

(A(.), B(.), C(.), D(.)) Sistema linear discreto na forma de espa¸co de estados.

φA(., .) Matriz de transi¸c˜ao de estados.

ϕ(k; k0, x0, u(.)) Fun¸c˜ao de transi¸c˜ao de estados.

η(k; k0, x0, u(.)) Fun¸c˜ao de sa´ıdas.

Σs = (As, Bs, Cs, Ds) Sistema linear invariante.

Im Matriz identidade de ordem m.

diag{A1, A2, . . . , An}          A1 0 0 . . . 0 0 A2 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... 0 . . . 0 An−1 0 0 . . . 0 0 An          . col{A1, A2, . . . , An}       A1 A2 .. . An      .

rank M Caracter´ıstica da matriz M.

(x(k), u(k), y(k)) Terno solu¸cão do sistema linear N-periódico. (xs(k), us(k), ys(k)) Terno solu¸cão do sistema linear invariante Σs.

σ(A) Espectro da matriz A.

A(s) Subespa¸co ating´ıvel do sistema N-peri´odico no instante s.

As Subespa¸co ating´ıvel do sistema invariante Σs.

R(s, s + pN) Matriz de atingibilidade no instante s em pN passos do sistema

N-peri´odico.

R(s) Matriz de atingibilidade no instante s do sistema N-peri´odico. iii

(9)

Rp(As, Bs) Matriz de atingibilidade em p passos do sistema invariante Σs.

Im A Imagem da matriz A.

dim S Dimens˜ao do subespa¸co vectorial S.

AT _{Transposta da matriz A.}

C(s) Subespa¸co control´avel do sistema N-peri´odico no instante s.

Cs Subespa¸co control´avel do sistema invariante Σs.

A←_{(Im B)} _{Imagem inversa de Im B por A.}

Io_(s) _{Subespa¸co inobserv´avel do sistema N-peri´odico no instante s.}

Io

s Subespa¸co inobserv´avel do sistema invariante Σs.

S⊥ _{Subespa¸co ortogonal de S.}

O(s) Subespa¸co observ´avel do sistema N-peri´odico no instante s.

Os Subespa¸co observ´avel do sistema invariante Σs.

Ker A N´ucleo da matriz A.

O(s, s + pN ) Matriz de observabilidade no instante s em pN passos do sistema

N-peri´odico.

Op(Cs, As) Matriz de observabilidade em p passos do sistema invariante Σs.

Ir_(s) _{Subespa¸co irreconstrut´ıvel do sistema N-peri´odico no instante}

s.

Ir

s Subespa¸co irreconstrut´ıvel do sistema invariante Σs.

R(s) Subespa¸co reconstrut´ıvel do sistema N-peri´odico no instante s.

(10)

Introdu¸c˜

ao

Um sistema dinâmico é um modelo matemático para fenómenos com evolu¸cão temporal. Essa evolu¸cão pode ser cont´ınua, como por exemplo, em fenómenos f´ısicos, ou pode ser discreta, como por exemplo em fenómenos sociais ou económicos. As variáveis usa-das em tal modela¸cão inserem-se em duas categorias fundamentais: as variáveis ditas externas e as variáveis internas (ou auxiliares). Os modelos que estudaremos neste trabalho usam estes dois tipos de variáveis. Nomeadamente, neles intervêm variáveis externas, as entradas e sa´ıdas, e variáveis internas designadas por estados.

No processo de modela¸cão que conduz à obten¸cão de um modelo de espa¸co de esta-dos come¸ca-se por associar ao fenómeno um determinado dom´ınio temporal T ⊆ IR e por identificar as variáveis de entrada, de sa´ıda e de estado. Este processo pressupõe a existência de uma determinada açcão de entrada, modelada pelas variáveis de entrada,

u(k), e uma correspondente sa´ıda, modelada pelas vari´aveis de sa´ıda, y(k).

Adicional-mente recorre-se a variáveis auxiliares, estados x(k), também afectadas pelas entradas, que descrevem a chamada evolu¸cão interna do sistema. Caso T seja um intervalo de IR, o sistema dinâmico é cont´ınuo e caso T seja um subconjunto discreto de IR, o sistema dinâmico é discreto. Quando estamos perante um sistema linear a dinâmica do sistema está caracterizada, no caso cont´ınuo, por um sistema de equa¸cões diferenciais lineares e, no caso discreto, por um sistema de equa¸cões às diferen¸cas lineares. Os sistemas que estudaremos nesta tese são sistemas lineares discretos com dom´ınio temporal T = ZZ e são modelos de espa¸co de estados.

Um sistema linear na forma de espa¸cos de estados, no caso discreto pode descrever--se por um conjunto de equa¸c˜oes `as diferen¸cas lineares de primeira ordem.

(

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) (1)

(11)

para todo o k ∈ ZZ, onde A(k) ∈ IRn×n_{, B(k) ∈ IR}n×m_{, C(k) ∈ IR}p×n _{e D(k) ∈ IR}p×m_.

Uma vez que neste modelo as matrizes dos coeficientes, A(k), B(k), C(k), D(k), variam em fun¸cão do “tempo”, é também comum designar estes sistemas por sistemas lineares discretos com coeficientes variáveis. Se, no entanto, as matrizes referidas forem de facto constantes, ficamos perante um modelo invariante. Neste caso, diz-se tratar-se de um sistema linear invariante discreto. Estes modelos foram e são largamente estudados [Brockett, 1970], [Gohberg et al., 1986], [Kucera, 1991], e por razões óbvias, apresentam maior facilidade ao seu estudo.

Outra situa¸c˜ao ocorre, se no modelo apresentado em (1) existir a periodicidade das matrizes dos coeficientes, isto ´e, se existir N ∈ ZZ+_{, tal que}

A(k + N) = A(k) B(k + N) = B(k) C(k + N) = C(k) D(k + N) = D(k),

para todo o k ∈ ZZ. Neste caso, o sistema passa a designar-se por sistema linear

N-peri´odico discreto.

O interesse no estudo dos sistemas lineares periódicos é motivado, por um lado, pela grande variedade de processos que podem ser modelados através destes sistemas (sis-temas de amostragem multifrequência, processos qu´ımicos, fenómenos sazonais . . .), bem como pela relevância do controlo periódico num vasto dom´ınio de aplica¸cões, nomeadamente na estabiliza¸cão e controlo de sistemas lineares invariantes e de uma classe de sistemas bilineares, [Grasselli and Longhi, 1991]. Por outro lado, os sistemas lineares periódicos discretos constituem uma classe intermédia entre os sistemas in-variantes e os sistemas com coeficientes variáveis, que apresentam a particularidade de conservar as “boas propriedades” dos sistemas invariantes, [Urbano, 1987].

Assim, os sistemas lineares periódicos têm vindo a ser estudados por vários autores, nomeadamente, [Meyer and Burrus, 1975], num estudo acerca de filtros digitais, [Gras-selli, 1984], [Bittanti and Bolzern, 1985a], [Bittanti and Bolzern, 1985b], no estudo das propriedades estruturais sem recurso a uma formula¸cão invariante, [Kabamba, 1986], [Bolzern et al., 1986], [Urbano, 1987],[Jemaa and Davison, 2003], no estudo da estabi-lidade e controlo óptimo, [Sánchez et al., 1992], [Colaneri and Longhi, 1995], no estudo das realiza¸cões minimais, [Bittanti and Colaneri, 2000] e [Colaneri and Kucera, 1997] onde podemos encontrar uma formula¸cão invariante diferente da que iremos apresentar

(12)

no Cap´ıtulo 1.

Nesta tese estudam-se os sistemas lineares periódicos discretos seguindo, predomi-nantemente, a abordagem feita em [Urbano, 1987]. Nesse trabalho mostra-se que dado um sistema linear N-periódico, associando-lhe N sistemas invariantes, se pode reduzir, o estudo das suas propriedades estruturais como a atingibilidade, controlabilidade, observabilidade e reconstrutibilidade, ao caso invariante. Como a teoria dos sistemas invariantes é sobejamente conhecida, pareceu-nos interessante esta abordagem no caso periódico, dado ser nosso objectivo estudar os alicerces básicos da teoria dos sistemas periódicos.

Apesar de o estudo aqui apresentado ter uma forte influência do trabalho atrás referido procurámos cruzá-lo com outra literatura, incluir os conceitos e as propriedades de forma a tornar o texto o mais claro poss´ıvel. Nesse sentido inclu´ıram-se alguns resultados e algumas provas, reformulando outras, por forma, em alguns casos, corrigir imprecisões do texto original.

No Cap´ıtulo 1 iremos apresentar os sistemas, lineares N-peri´odicos discretos, em estudo, reunindo algumas das suas propriedades fundamentais. Estabeleceremos o que se entende por modelo de espa¸co de estados, definiremos sistema linear peri´odico discreto e incluiremos um exemplo dos sistemas em causa.

Com vista a uma melhor compreensão da dedu¸cão da formula¸cão invariante para o sistema N-periódico na forma de espa¸co de estados, apresentaremos em primeiro lugar, a constru¸cão da referida formula¸cão no caso de um sistema de per´ıodo 3, seguida da constru¸cão no caso geral, sistemas de per´ıodo N. Mais precisamente, iremos demonstrar que um sistema linear N-periódico discreto com n estados, m entradas e p sa´ıdas é equivalente a N sistemas lineares invariantes discretos com n estados, mN entradas e

pN sa´ıdas.

No Cap´ıtulo 2 iremos estudar as propriedades estruturais de atingibilidade e de controlabilidade de um sistema linear N-periódico, reduzindo o seu estudo às cor-respondentes propriedades dos sistemas invariantes que constituem a sua formula¸cão invariante. Enquanto que a atingibilidade diz respeito à possibilidade de o sistema, escolhendo convenientemente as entradas, partindo da origem, atingir um estado qual-quer, num certo instante, a controlabilidade diz respeito à possibilidade de o sistema, escolhendo adequadamente as entradas, partindo de um estado qualquer, atingir a origem num determinado número de passos.

(13)

Na primeira seçcão vamo-nos debru¸car sobre o estudo da atingibilidade. Apresen-taremos a defini¸cão de estado ating´ıvel num intervalo e num instante e construiremos os conjuntos formados por estes estados, os quais têm uma estrutura de subespa¸co vectorial de IRn, a que chamaremos de subespa¸co ating´ıvel num intervalo e subespa¸co ating´ıvel num instante, respectivamente. Caracterizaremos os subespa¸cos ating´ıveis do sistema N-periódico e dos N sistemas invariantes e estudaremos a rela¸cão entre os mesmos. A partir dessa rela¸cão mostraremos que um sistema N-periódico é com-pletamente ating´ıvel se e só se os N sistemas invariantes associados também o são. Estes resultados, juntamente com a teoria dos sistemas invariantes, permitem esta-belecer o correspondente teste da caracter´ıstica para sistemas periódicos referente à atingibilidade: um sistema é completamente ating´ıvel se e só se a matriz de atingibi-lidade tem caracter´ıstica n, sendo n a dimensão do espa¸co de estados, nos instantes

s = 0, 1, . . . , N − 1.

No que concerne ao estudo da atingibilidade do sistema N-periódico, ainda apresen-taremos alguns resultados que nos vão permitir tirar conclusões acerca da atingibilidade completa do sistema N-periódico, analisando apenas alguns dos sistemas invariantes associados.

Para finalizar o estudo da atingibilidade mostraremos como, no contexto desta abor-dagem, se pode deduzir a caracteriza¸cão da atingibilidade à custa da matriz Gramian de atingibilidade. Observe-se que esta caracteriza¸cão é habitualmente usada para o estudo dos sistemas lineares variantes, ver por exemplo [Brockett, 1970]. Constituindo os sistemas periódicos um caso particular de sistemas variantes no tempo, esta carac-teriza¸cão de atingibilidade é também frequentemente encontrada na literatura [Bittanti and Bolzern, 1985a], [Rugh, 1993].

Na segunda seçcão do segundo cap´ıtulo desenvolveremos, de forma análoga à atin-gibilidade, o estudo da propriedade de controlabilidade. Nomeadamente, mostraremos que um sistema N-periódico é completamente controlável se e só se os N sistemas in-variantes da sua formula¸cão invariante são completamente controláveis. Consequente-mente, concluiremos que a análise da controlabilidade de um sistema N-periódico pode ser feita analisando cada um dos N sistemas invariantes associados. Na realidade, como iremos ver, basta analisar apenas um dos referidos sistemas invariantes.

(14)

invariantes e a rela¸cão entre os subespa¸cos ating´ıveis (controláveis) do sistema N-periódico e os subespa¸cos ating´ıveis (controláveis) dos sistemas invariantes que cons-tituem a sua formula¸cão invariante, deduziremos que se um estado é ating´ıvel num instante então também é controlável nesse instante.

No Cap´ıtulo 3 iremos estudar as propriedades estruturais de observabilidade e re-construtibilidade de um sistema N-periódico, usando também aqui uma abordagem que passa pelo estudo das correspondentes propriedades dos sistemas invariantes que fazem parte da sua formula¸cão invariante. Estas propriedades dizem respeito à possi-bilidade de determinar o estado inicial conhecendo as sa´ıdas desde um certo instante inicial e um certo instante final, no caso da observabilidade, ou, determinar o estado final, no caso da reconstrutibilidade, admitindo a evolu¸cão livre do sistema.

A observabilidade de um sistema linear N-periódico assenta, neste trabalho, na defini¸cão de estado inobservável. Na primeira seçcão do terceiro cap´ıtulo incluiremos essa defini¸cão, bem como a descri¸cão dos conjuntos constitu´ıdos pelos estados inob-serváveis num instante e num intervalo, os quais, como seria de esperar são subespa¸cos vectoriais de IRn. Ao considerarmos os ortogonais destes dois subespa¸cos, obtere-mos o subespa¸co observável num instante e num intervalo do sistema N-periódico, respectivamente. Faremos uma caracteriza¸cão dos subespa¸cos observáveis na for-mula¸cão invariante e estudaremos as rela¸cões existentes entre estes e os subespa¸cos observáveis do sistema N-periódico. Tal como no Cap´ıtulo 2 apresentaremos uma caracteriza¸cão de observabilidade completa recorrendo ao estudo da matriz de obser-vabilidade e finalizaremos o estudo desta seçcão com algumas considera¸cões acerca da matriz Gramian de observabilidade. Na segunda seçcão, do terceiro cap´ıtulo trabal-haremos de forma análoga à observabilidade, a propriedade de reconstrutibilidade. Por fim, estudaremos a rela¸cão entre observabilidade e reconstrutibilidade, concluindo-se que a primeira implica a segunda, tal como no caso invariante.

(15)

(16)

Cap´ıtulo 1

No¸c˜

oes e propriedades

fundamentais

“Os sistemas lineares periódicos constituem uma classe intermédia entre os sistemas invariantes (ou com coeficientes constantes) e os sistemas com coeficientes variáveis” [Urbano, 1987]. De facto, os sistemas lineares periódicos são sistemas com coeficientes variantes no “tempo” com certa periodicidade. Por este motivo, come¸ca-se este cap´ıtulo por introduzir o modelo linear discreto na forma de espa¸co de estados (variante no “tempo”) juntamente com alguma nomenclatura associada. Dentro desse contexto, explica-se o que se entende por sistema linear discreto N-periódico. Por fim, mostra-se que um sistema linear N-periódico discreto com n estados, m entradas e p sa´ıdas pode decompor-se em N sistemas lineares invariantes discretos com n estados, mN entradas e pN sa´ıdas. Esta decomposi¸cão é chamada Formula¸cão Invariante de um sistema linear periódico discreto na forma de espa¸co de estados [Urbano, 1987]. A referida decomposi¸cão permite estender a sistemas periódicos os resultados relativos a sistemas invariantes, nomeadamente no que diz respeito ao estudo das suas propriedades estru-turais, como se irá ver nos Cap´ıtulos 2 e 3.

1.1 Modelo de espa¸co de estados

Com vista a definir sistema linear peri´odico discreto na forma de espa¸co de estados, considere-se o dom´ınio do tempo T = ZZ, o conjunto dos valores de entrada U = IRm, o conjunto de espa¸co de estados X = IRn _{e o conjunto dos valores das sa´ıdas Y = IR}p_.

(17)

Um sistema linear discreto na forma de espa¸co de estados pode representar-se da seguinte forma: ₍

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) (1.1)

onde x(k) ∈ IRn é designado por vector de estados, u(k) ∈ IRm é designado por vector de entradas (ou de controlos) e y(k) ∈ IRp é designado por vector de sa´ıdas, e

A(k) ∈ IRn×n, B(k) ∈ IRn×m, C(k) ∈ IRp×n e D(k) ∈ IRp×m, com k ∈ ZZ. Usualmente denota-se este sistema por (A(.), B(.), C(.), D(.)). Dizemos que o terno de sequências (x(k), u(k), y(k)) é solu¸cão de (A(.), B(.), C(.), D(.)) se satisfizer as equa¸cões descritas em (1.1).

A existência e unicidade da solu¸cão da equa¸cão entrada-estado,

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), (1.2)

para uma dada condi¸c˜ao inicial x(k0) = x0 ´e trivial. Assim, partindo do instante k0 e

fixando uma condi¸c˜ao inicial x(k0) = x0, podemos conseguir os vectores de estados nos

sucessivos instantes. De facto,

x(k0+ 1) = A(k0)x(k0) + B(k0)u(k0)

= A(k0)x0+ B(k0)u(k0)

x(k0+ 2) = A(k0+ 1)x(k0+ 1) + B(k0 + 1)u(k0+ 1)

= A(k0+ 1) [A(k0)x0+ B(k0)u(k0)] + B(k0+ 1)u(k0+ 1)

= A(k0+ 1)A(k0)x0 + A(k0+ 1)B(k0)u(k0) + B(k0 + 1)u(k0+ 1),

e assim sucessivamente, obtendo-se

x(k0+ l) = A(k0+ l − 1)A(k0+ l − 2) . . . A(k0 + 1)A(k0)x0+ A(k0+ l − 1) . . .

. . . A(k0 + 1)B(k0)u(k0) + . . . + B(k0+ l − 1)u(k0+ l − 1).

Definindo a chamada matriz de transi¸c˜ao de estados, denotada por φA(k, k0)

[Grasselli, 1984], da seguinte maneira,

φA(k, k0) =     

A(k − 1)A(k − 2) . . . A(k0+ 1)A(k0) se k > k0

I se k = k0

0 se k < k0,

(1.3)

(18)

x(k) = φA(k, k0)x0+

k−1

X

j=k0

φA(k, j + 1)B(j)u(j). (1.4)

Uma vez encontrada a evolu¸c˜ao do estado do sistema (1.1) podemos, `a custa desta escrever o vector de sa´ıdas y(k) no instante k. Assim,

y(k) = C(k) " φA(k, k0)x0+ k−1 X j=k0 φA(k, j + 1)B(j)u(j) # + D(k)u(k).

Observa¸c˜ao 1.1.1. A partir da matriz de transi¸c˜ao de estados, φA(k, k0), definida em

(1.3), alguns autores [Grasselli, 1984] e [Urbano, 1987] consideram a chamada fun¸c˜ao de transi¸c˜ao de estados, ϕ(k; k0, x0, u(·)), definida por:

ϕ(k; k0, x0, u(·)) = φA(k, k0)x0+

k−1

X

j=k0

φA(k, j + 1)B(j)u(j) (1.5)

e a correspondente fun¸c˜ao de sa´ıdas, η(k; k0, x0, u(·)), definida por:

η(k; k0, x0, u(·)) = C(k)ϕ(k; k0, x0, u(·)) + D(k)u(k). (1.6)

A fun¸cão de transi¸cão de estados determina o estado do sistema no instante k, x(k), quando se parte do estado inicial x0 no instante k0, x(k0) = x0, sob açcão de

uma sequˆencia de entradas u(k0), . . . , u(k − 1).

A fun¸c˜ao de sa´ıdas η(k; k0, x0, u(·)) estabelece como o estado x(k), quando se parte

do estado inicial x(k0) = x0, e a entrada u(k) determinam a sa´ıda no instante k.

Acrescentando mais alguns argumentos às considera¸cões acima tecidas é poss´ıvel demonstrar a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ao 1.1.1. Seja (A(.), B(.), C(.), D(.)) um sistema linear discreto na forma

de espa¸co de estados (1.1).

O terno (x(k), u(k), y(k)) é solu¸cão de (A(.), B(.), C(.), D(.)) se e só se para todo o k0 ∈ ZZ,

(19)

             x(k) = φA(k, k0)x(k0) + k−1 X j=k0 φA(k, j + 1)B(j)u(j) y(k) = C(k) " φA(k, k0)x(k0) + k−1 X j=k0 φA(k, j + 1)B(j)u(j) # + D(k)u(k). (1.7) Demonstra¸c˜ao:

(só se) Esta implica¸cão fica provada atendendo às considera¸cões acima mencionadas. (se) Suponhamos que para todo k0 ∈ ZZ as equa¸cões em (1.7) se verificam, então em

particular para k0+ 1,

x(k0+ 1) = φA(k0+ 1, k0)x(k0) + φA(k0+ 1, k0+ 1)B(k0)u(k0)

= A(k0)x(k0) + B(k0)u(k0)

y(k0) = C(k0) [φA(k0, k0)x(k0) + φA(k0, k0+ 1)B(k0)u(k0)] + D(k0)u(k0)

= C(k0)x(k0) + D(k0)u(k0)

logo, (x(k), u(k), y(k)) ´e uma solu¸c˜ao de (A(.), B(.), C(.), D(.)).

¥ Considere-se, agora, o modelo de espa¸co de estados peri´odico. Vejamos o que se entende por sistema linear N-peri´odico discreto.

Defini¸c˜ao 1.1.1. O sistema linear discreto na forma de espa¸co de estados descrito por (

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) , (1.8)

tal como em (1.1), diz-se N-periódico, se as matrizes A(k), B(k), C(k) e D(k) são N-periódicas. Isto é, se para N ∈ ZZ+

A(k + N) = A(k) B(k + N) = B(k) C(k + N) = C(k) D(k + N) = D(k).

(20)

O sistema linear N-peri´odico (1.8) ´e denotado por (A(·), B(·), C(·), D(·)).

Como já referimos esta classe de modelos de estado N-periódicos constitu´ı o objecto central de estudo deste trabalho. Da defini¸cão anterior, resulta que o processo atrás descrito para a obten¸cão das solu¸cões de um sistema linear discreto na forma de espa¸co de estados também é válido para a obten¸cão das solu¸cões de um sistema N-periódico. A propósito, refira-se que sendo o sistema N-periódico a respectiva matriz de transi¸cão,

φA(k, k0) é também N-periódica, isto é,

φA(k, k0) = φA(k + N, k0+ N).

No exemplo que se segue, apresentamos o processo de constru¸cão das solu¸cões de um sistema 3-periódico, usando a matriz de transi¸cão de estados definida em (1.3). Exemplo 1.1.1. Considere-se o sistema linear 3-periódico discreto na forma de espa¸co

de estados, ₍

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) , k ∈ ZZ

onde definimos, as seguintes matrizes: A(0) = " 1 0 0 0 # , A(1) = " 1 1 0 0 # , A(2) = " 1 2 0 0 # B(0) = " 1 1 # , B(1) = " 1 2 # , B(2) = " 1 3 # C(0) = h 1 0 i , C(1) = h 1 2 i , C(2) = h 1 3 i D(0) = D(1) = D(2) = h 1 i .

Vejamos como ´e dada a matriz de transi¸c˜ao de estados para este sistema, partindo do instante k0 = 0.

Ora,

para k = 1, φA(1, 0) = A(0)

para k = 2, φA(2, 0) = A(1)A(0) = A(0)

(21)

Facilmente, se mostra que, neste caso, φA(k, 0) = A(0), qualquer que seja o k ∈ Z.

Atendendo a (1.4), temos que,

x(k) = A(0)x0+ k−1 X j=0 A(0)B(j)u(j), fazendo x0 = " x01 x02 #

e tendo em conta que A(0)B(j) =

" 1 0

#

para todo o j, podemos escrever x(k) = " 1 0 0 0 # " x01 x02 # +     k−1 X j=0 u(j) 0     , isto ´e, x(k) =     x01+ k−1 X j=0 u(j) 0     . (1.9)

A correspondente sa´ıda no instante k ´e dada por y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k). Tendo em conta a forma das matrizes C(k) e (1.9), temos

y(k) = h 1 c12 i     x01+ k−1 X j=0 u(j) 0     + h 1 i u(k), ou seja, y(k) = x01+ k−1 X j=0 u(j) + u(k),

(22)

e portanto, y(k) = x01+ k X j=0 u(j). ¥

Observa¸c˜ao 1.1.2. Consideremos um sistema linear 1-peri´odico, neste caso as

ma-trizes A(k), B(k), C(k) e D(k) s˜ao constantes no tempo e portanto o sistema toma a seguinte forma, ₍

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k) , k ∈ ZZ

isto ´e, converte-se num sistema com coeficientes constantes, ou seja, num sistema linear invariante. Deste modo, um modelo invariante no tempo pode ser visto como um sistema linear 1-peri´odico.

Apliquemos o método de resolu¸cão atrás mencionado, à resolu¸cão deste sistema para uma condi¸cão inicial x(k0) = x0. A matriz de transi¸cão de estados é, neste caso,

φA(k, k0) =      Ak−k0 _{, se k > k} 0 I , se k = k0 0 , se k < k0

as solu¸c˜oes do sistema s˜ao respectivamente, x(k) = Ak−k0_x 0+ k−1 X j=k0 Ak−j−1_Bu(j) e as sa´ıdas, y(k) = C " Ak−k0_x 0+ k−1 X j=k0 Ak−j−1_Bu(j) # + Du(k),

(23)

1.2 Formula¸c˜

ao Invariante

Com o objectivo de reduzir o estudo dos sistemas lineares periódicos discretos ao estudo de sistemas lineares invariantes discretos vamos usar uma formula¸cão invariante asso-ciada aos sistemas periódicos. Essa formula¸cão invariante é proposta por [Urbano, 1987] e pode ser encontrada em trabalhos realizados por [Bru and Hernández, 1989] e [Sánchez

et al., 1992]. Estes autores designam essa formula¸cão por decomposi¸cão dinâmica

in-variante. Nesta seçcão vamos mostrar como se deduz a dita decomposi¸cão. Mais precisamente, vamos mostrar como se pode decompor um sistema linear N-periódico discreto, com n estados, m entradas e p sa´ıdas em N sistemas lineares invariantes com n estados, mN entradas e pN sa´ıdas. Esta decomposi¸cão permite-nos estender a sistemas periódicos os resultados relativos a sistemas invariantes, nomeadamente no que diz respeito ao estudo das suas propriedades estruturais que iremos apresentar nos Cap´ıtulos 2 e 3.

Com o propósito de construir uma formula¸cão invariante para o sistema N-periódico na forma de espa¸co de estados, optámos por apresentar em primeiro lugar, a constru¸cão da referida formula¸cão no caso de um sistema 3-periódico com a inten¸cão de tornarmos mais clara a constru¸cão no caso geral – sistemas N-periódicos – que apresentamos posteriormente. Com o mesmo intuito apresentamos um exemplo concreto para um sistema de per´ıodo 3.

1.2.1 Caso particular - Sistemas de per´ıodo trˆ

es

Consideremos o sistema linear na forma de espa¸cos de estados ( x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) onde, A(k + 3) = A(k) B(k + 3) = B(k) C(k + 3) = C(k) D(k + 3) = D(k).

(24)

x(0) = x0

x(1) = A(0)x0+ B(0)u(0)

x(2) = A(1)x(1) + B(1)u(1) x(3) = A(2)x(2) + B(2)u(2) x(4) = A(3)x(3) + B(3)u(3)

= A(0)x(3) + B(0)u(3), dada a periodicidade das matrizes A(.) e B(.).

x(5) = A(4)x(4) + B(4)u(4)

x(6) = A(5)x(5) + B(5)u(5)

x(7) = A(6)x(6) + B(6)u(6)

E assim sucessivamente, podendo escrever-se

x(3p) = A(2)x(3p − 1) + B(2)u(3p − 1) x(3p + 1) = A(0)x(3p) + B(0)u(3p)

x(3p + 2) = A(1)x(3p + 1) + B(1)u(3p + 1), p = 0, 1, 2, . . . ,

ou seja, obtivemos um conjunto de 3 tipos de equa¸c˜oes cujas matrizes A(.), B(.) s˜ao invariantes no tempo, agrupando-as temos,

(25)

                 x(0) = x0 x(3) = A(2)x(2) + B(2)u(2) x(6) = A(2)x(5) + B(2)u(5) .. . x(3p) = A(2)x(3p − 1) + B(2)u(3p − 1) , p = 0, 1, 2, . . . , (1.10)                  x(1) = A(0)x0+ B(0)u(0) x(4) = A(0)x(3) + B(0)u(3) x(7) = A(0)x(6) + B(0)u(6) .. . x(3p + 1) = A(0)x(3p) + B(0)u(3p) , p = 0, 1, 2, . . . , (1.11) e                  x(2) = A(1)x(1) + B(1)u(1) x(5) = A(1)x(4) + B(1)u(4) x(8) = A(1)x(7) + B(1)u(7) .. . x(3p + 2) = A(1)x(3p + 1) + B(1)u(3p + 1) , p = 0, 1, 2, . . . . (1.12)

Cada um dos grupos de equa¸cões descreve o estado em instantes k para os quais o resto da divisão por 3 é 0, 1, 2, respectivamente. Observe-se que, tal como se encon-tram escritas, as referidas equa¸cões não apresentam, ainda, uma dinâmica consentânea com a dinâmica de um modelo de espa¸co de estados invariante. No entanto, é poss´ıvel através de uma escolha adequada do estado e agrupando adequadamente as entradas conferir a cada grupo de equa¸cões, (1.10)-(1.12), a estrutura de um modelo de espa¸co de estados invariante. Vamos exemplificar isso mesmo num desses grupos. Por con-seguinte, escolhemos o terceiro conjunto de equa¸cões, (1.12), por forma a mostrarmos que é poss´ıvel obter a correspondente evolu¸cão do estado a partir de um determinado sistema invariante.

(26)

x(2) = A(1)x(1) + B(1)u(1) x(5) = A(1)x(4) + B(1)u(4)

= A(1) [A(0)x(3) + B(0)u(3)] + B(1)u(4) = A(1)A(0)x(3) + A(1)B(0)u(3) + B(1)u(4)

= A(1)A(0) [A(2)x(2) + B(2)u(2)] + A(1)B(0)u(3) + B(1)u(4)

= A(1)A(0)A(2)x(2) + A(1)A(0)B(2)u(2) + A(1)B(0)u(3) + B(1)u(4), dada a periodicidade das matrizes A(.) e B(.),

x(5) = A(4)A(3)A(2)x(2) + h B(4) A(4)B(3) A(4)A(3)B(2) i    u(4) u(3) u(2)    , ou seja, x(5) = φA(5, 2)x(2) + h B(4) φA(5, 4)B(3) φA(5, 3)B(2) i    u(4) u(3) u(2)    . (1.13)

Vejamos o que podemos dizer em rela¸cão a x(8), tendo como objectivo escrevê-lo em fun¸cão de x(5).

Ora,

x(8) = A(1)x(7) + B(1)u(7),

procedendo de igual forma como em x(5), temos

x(8) = A(1)A(0)A(2)x(5) + A(1)A(0)B(2)u(5) + A(1)B(0)u(6) + B(1)u(7),

e dada a periodicidade das matrizes A(.) e B(.), vem

x(8) = A(7)A(6)A(5)x(5) + A(7)A(6)B(5)u(5) + A(7)B(6)u(6) + B(7)u(7)

x(8) = φA(8, 5)x(5) + h B(7) φA(8, 7)B(6) φA(8, 6)B(5) i    u(7) u(6) u(5)    .

(27)

x(3p + 5) = φA(3p + 5, 3p + 2)x(3p + 2)+ + h B(1) _B(2) _B(3) i    u(3p + 4) u(3p + 3) u(3p + 2)    , (1.14) para p = 0, 1, 2, . . .. Onde, B(1) _{= B(3p + 4)} B(2) _{= φ} A(3p + 5, 3p + 4)B(3p + 3) B(3) _{= φ} A(3p + 5, 3p + 3)B(3p + 2).

Mas dada a periodicidade das matizes φA(., .) e B(.), podemos escrever, para

p = 0, 1, 2, . . . , φA(3p + 5, 3p + 2) = φA(5, 2) h B(1) _B(2) _B(3) i ₌ h _{B(4) φ} A(5, 4)B(3) φA(5, 3)B(2) i .

Sendo assim, a equa¸c˜ao (1.14) toma a seguinte forma

x(3p + 5) = φA(5, 2)x(3p + 2)+ + h B(4) φA(5, 4)B(3) φA(5, 3)B(2) i    u(3p + 4) u(3p + 3) u(3p + 2)    .

(28)

A2 := φA(5, 2) B2 := h B(4) φA(5, 4)B(3) φA(5, 3)B(2) i u2(p) :=    u(3p + 4) u(3p + 3) u(3p + 2)    x2(p) := x(3p + 2)

a equa¸c˜ao (1.14) pode escrever-se da seguinte forma

x2(p + 1) = A2x2(p) + B2u2(p), p = 0, 1, . . . ,

com x2(0) = x(2).

Conclu´ımos, portanto, que a partir da evolu¸c˜ao do estado do sistema invariante

x2(p + 1) = A2x2(p) + B2u2(p) (1.15)

podemos obter a evolu¸c˜ao do sistema 3-peri´odico nos instantes da forma 3p + 2, com

p = 0, 1, 2, . . ., sendo x2(0) = x(2).

Usando o mesmo tipo de argumenta¸cão pode concluir-se que, analogamente, à evolu¸cão do estado descrita por (1.10) e (1.11), podemos associar, respectivamente, as seguintes equa¸cões cujas matrizes A0, A1, B0 e B1 são invariantes no tempo,

x0(p + 1) = A0x0(p) + B0u0(p),

(29)

A0 := φA(3, 0) B0 := h B(2) φA(3, 2)B(1) φA(3, 1)B(0) i u0(p) :=    u(3p + 2) u(3p + 1) u(3p)    x0(p) := x(3p) e x1(p + 1) = A1x1(p) + B1u1(p), onde A1 := φA(4, 1) B1 := h B(3) φA(4, 3)B(2) φA(4, 2)B(1) i u1(p) :=    u(3p + 3) u(3p + 2) u(3p + 1)    x1(p) := x(3p + 1).

Consequentemente, podemos estudar a evolu¸cão do estado do sistema 3-periódico, através da evolu¸cão do estado dos três sistemas invariantes seguintes:

xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k), com s = 0, 1, 2 e k ∈ ZZ+0,

(30)

As = φA(s + 3, s) Bs = h B(s + 2) φA(s + 3, s + 2)B(s + 1) φA(s + 3, s + 1)B(s) i ,

e as rela¸c˜oes entre os estados e as respectivas entradas, s˜ao dadas por,

xs(k) = x(3k + s) us(k) =    u(3k + s + 2) u(3k + s + 1) u(3k + s)    .

Analisemos, agora, as sa´ıdas, do sistema 3-peri´odico em causa, agrupando-as analoga-mente, de 3 em 3,            y(0) = C(0)x(0) + D(0)u(0) y(3) = C(0)x(3) + D(0)u(3) .. . y(3p) = C(0)x(3p) + D(0)u(3p), p = 0, 1, 2, . . . , (1.16)                  y(1) = C(1)x(1) + D(1)u(1) y(4) = C(1)x(4) + D(1)u(4) y(7) = C(1)x(7) + D(1)u(7) .. . y(3p + 1) = C(1)x(3p + 1) + D(1)u(3p + 1), p = 0, 1, 2, . . . , (1.17) e

(31)

           y(2) = C(2)x(2) + D(2)u(2) y(5) = C(2)x(5) + D(2)u(5) .. . y(3p + 2) = C(2)x(3p + 2) + D(2)u(3p + 2), p = 0, 1, 2, . . . . (1.18)

De seguida escolhemos o segundo conjunto de equa¸cões, (1.17), por forma a mostrar--mos que é poss´ıvel obter a correspondente evolu¸cão da sa´ıda a partir da evolu¸cão da sa´ıda de um sistema invariante cuja equa¸cão entrada-estado é dada por (1.15).

De facto, note-se que ( x(2) = A(1)x(1) + B(1)u(1) y(1) = C(1)x(1) + D(1)u(1) ( x(5) = A(1)x(4) + B(1)u(4) y(4) = C(1)x(4) + D(1)u(4)

e assim sucessivamente tendo-se (

x(3p + 2) = A(1)x(3p + 1) + B(1)u(3p + 1)

y(3p + 1) = C(1)x(3p + 1) + D(1)u(3p + 1), com p = 0, 1, . . . .

Já vimos em (1.13) que se pode escrever x(5) em fun¸cão de x(2). Vejamos agora como podemos escrever y(4), também em fun¸cão de x(2),

y(4) = C(4)A(3)A(2)x(2) + C(4)A(3)B(2)u(2) + C(4)B(3)u(3) + D(4)u(4)

e portanto,                          x(5) = A(4)A(3)A(2)x(2) + h B(4) A(4)B(3) A(4)A(3)B(2) i    u(4) u(3) u(2)    y(4) = C(4)φA(4, 2)x(2) + h D(4) C(4)B(3) C(4)A(3)B(2) i    u(4) u(3) u(2)    .

(32)

De seguida, tomemos as equa¸c˜oes das sa´ıdas, em trˆes instantes consecutivos y(2),

y(3), y(4) as quais iremos escrever em fun¸c˜ao de x(2) e das entradas u(2), u(3), u(4).

Isto ´e, consideremos

y(2) = C(2)x(2) + D(2)u(2)

y(3) = C(3)A(2)x(2) + C(3)B(2)u(2) + D(3)u(3)

y(4) = C(4)A(3)A(2)x(2) + C(4)A(3)B(2)u(2) + C(4)B(3)u(3) + D(4)u(4).

Escrevendo as equa¸c˜oes anteriores na sua forma matricial, obtemos    y(2) y(3) y(4)    =    C(2) C(3)A(2) C(4)A(3)A(2)    x(2)+    0 0 D(2) 0 D(3) C(3)B(2) D(4) C(4)B(3) C(4)A(3)B(2)       u(4) u(3) u(2)    .

Executando os mesmos procedimentos obteremos sucessivamente, para p = 0, 1, 2, . . .,

   y(3p + 2) y(3p + 3) y(3p + 4)    =    C(1) C(2) C(3)    x(3p + 2) +    0 0 D(3p + 2) 0 D(3p + 3) C(3p + 3)B(3p + 2) D(1) _D(2) _D(3)       u(3p + 4) u(3p + 3) u(3p + 2)    (1.19) onde, C(1) _{= C(3p + 2)} C(2) _{= C(3p + 3)A(3p + 2)} C(3) _{= C(3p + 4)A(3p + 3)A(3p + 2),} e D(1) _{= D(3p + 4)} D(2) _{= C(3p + 4)B(3p + 3)} D(3) _{= C(3p + 4)φ} A(3p + 4, 3p + 3)B(3p + 2).

Mas dada a periodicidade das matrizes φA(., .), B(.), C(.) e D(.), para p = 0, 1, 2, . . . ,

   C(3p + 2) C(3p + 3)A(3p + 2) C(3p + 4)A(3p + 3)A(3p + 2)    =    C(2) C(3)A(2) C(4)A(3)A(2)       0 0 D(3p + 2) 0 D(3p + 3) C(3p + 3)B(3p + 2) D(1) _D(2) _D(3)    =    0 0 D(2) 0 D(3) C(3)B(2) D(4) C(4)B(3) C(4)A(3)B(2)    .

(33)

Sejam, C2 :=    C(2) C(3)A(2) C(4)A(3)A(2)    D2 :=    0 0 D(2) 0 D(3) C(3)B(2) D(4) C(4)B(3) C(4)A(3)B(2)    y2(p) :=    y(3p + 2) y(3p + 3) y(3p + 4)    x2(p) := x(3p + 2) u2(p) :=    u(3p + 4) u(3p + 3) u(3p + 2)    .

Consequentemente, as equa¸c˜oes (1.19) tomam a seguinte forma

y2(p) = C2x2(p) + D2u2(p), p = 0, 1, 2, . . . .

Conclu´ımos, deste modo, e atendendo a (1.15), que a partir da sa´ıda do sistema

invariante ₍

x2(p + 1) = A2x2(p) + B2u2(p)

y2(p) = C2x2(p) + D2u2(p)

podemos obter as sa´ıdas do sistema 3-peri´odico em 3 instantes consecutivos da forma 3p + 2, 3p + 3 e 3p + 4, com p = 0, 1, 2, . . ..

Usando o mesmo tipo de argumenta¸cão pode concluir-se que, às sa´ıdas descritas por (1.18) e (1.16) podemos associar, descri¸cões invariantes no tempo, com a seguinte forma, respectivamente

(34)

onde C0 :=    C(0) C(1)A(0) C(2)A(1)A(0)    D0 :=    0 0 D(0) 0 D(1) C(1)B(0) D(2) C(2)B(1) C(2)A(1)B(0)    y0(p) :=    y(3p) y(3p + 1) y(3p + 2)    x0(p) := x(3p) u0(p) :=    u(3p + 2) u(3p + 1) u(3p)    , e y1(p) = C1x1(p) + D1u1(p), onde C1 :=    C(1) C(2)A(1) C(3)A(2)A(1)    D1 :=    0 0 D(1) 0 D(2) C(2)B(1) D(3) C(3)B(2) C(3)A(2)B(1)    y1(p) :=    y(3p + 1) y(3p + 2) y(3p + 3)   

(35)

x1(p) := x(3p + 1) u1(p) :=    u(3p + 3) u(3p + 2) u(3p + 1)    .

Resumindo, podemos estabelecer a evolu¸cão dos estados e a evolu¸cão das sa´ıdas de um sistema 3-periódico (A(.), B(.), C(.), D(.)) à custa dos três sistemas invariantes Σ1,

Σ2, Σ3, que, de seguida se descrevem.

Para s = 0, 1, 2, Σs: ( xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k) ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k) (1.20) onde As = φA(s + 3, s) Bs = h B(s + 2) φA(s + 3, s + 2)B(s + 1) φA(s + 3, s + 1)B(s) i Cs =    C(s) C(s + 1)A(s) C(s + 2)A(s + 1)A(s)    Ds =    0 0 D(s) 0 D(s + 1) C(s + 1)B(s) D(s + 2) C(s + 2)B(s + 1) C(s + 2)A(s + 1)B(s)    .

Mais ainda, as rela¸cões entre os estados, entradas e sa´ıdas dos sistemas invariantes e do sistema inicial 3-periódico são dados por

(36)

xs(k) = x(3k + s)

us(k) = col{u(3k + s + 2), u(3k + s + 1), u(3k + s)}

ys(k) =    y(3k + s) y(3k + s + 1) y(3k + s + 2)    , com s = 0, 1, 2.

De seguida apresentamos um exemplo, onde para um determinado sistema 3-peri´odico indicamos a respectiva formula¸c˜ao invariante.

Exemplo 1.2.1. Considere-se o sistema linear 3-peri´odico discreto na forma de espa¸co

de estados, ₍ x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) , k ∈ ZZ onde A(0) = " 1 1 1 0 # , A(1) = " 1 1 0 1 # , A(2) = " 1 0 1 1 # B(0) = " 1 1 # , B(1) = " 1 2 # , B(2) = " 1 3 # C(0) = h 1 0 i , C(1) = h 1 2 i , C(2) = h 1 3 i D(0) = D(1) = D(2) = h 1 i .

J´a vimos que podemos associar a este sistema trˆes sistemas invariantes dados por:

( xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k) ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k), com s = 0, 1, 2 e k ∈ ZZ+0. Assim para s = 0, ( x0(k + 1) = A0x0(k) + B0u0(k) y0(k) = C0x0(k) + D0u0(k), k ∈ ZZ+0.

(37)

Após alguma manipula¸cão algébrica, atendendo a (1.20) obtemos o primeiro dos sistemas invariantes, Σ0 :                      x0(k + 1) = " 2 1 3 1 # x0(k) + " 1 1 2 3 3 3 # u0(k) y0(k) =    1 0 3 1 5 1    x0(k) +    0 0 1 0 1 3 1 7 5    u0(k). Para s = 1, temos ( x1(k + 1) = A1x1(k) + B1u1(k) y1(k) = C1x1(k) + D1u1(k), k ∈ ZZ+0

e, consequentemente o segundo sistema invariante, ´e dado por

Σ1 :                      x1(k + 1) = " 2 3 1 1 # x1(k) + " 1 4 4 1 1 1 # u1(k) y1(k) =    1 2 1 4 1 1    x1(k) +    0 0 1 0 1 7 1 1 1    u1(k). Para s = 2, temos ( x2(k + 1) = A2x2(k) + B2u2(k) y2(k) = C2x2(k) + D2u2(k), k ∈ ZZ+0

(38)

Σ2 :                      x2(k + 1) = " 3 1 1 0 # x2(k) + " 1 2 5 2 1 1 # u2(k) y2(k) =    1 3 1 0 4 1    x2(k) +    0 0 1 0 1 1 1 3 6    u2(k) .

Os sistemas Σ0, Σ1 e Σ2 constituem a chamada formula¸c˜ao invariante associada

ao sistema 3-peri´odico considerado.

¥

1.2.2 Caso geral - Sistemas de per´ıodo N

Nesta seçcão estudamos a dedu¸cão da formula¸cão invariante para o caso geral, isto é, iremos mostrar como associar a um sistema linear N-periódico na forma de espa¸co de estados um determinado conjunto formado por N sistemas invariantes.

Consideremos o sistema linear N-peri´odico na forma de espa¸co de estados (

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) , k ∈ ZZ (1.21) tal como na Defini¸c˜ao (1.1.1), e definam-se os seguintes N sistemas invariantes,

Σs: ( xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k) ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k) , s = 0, . . . ,N−1 (1.22) onde, As = φA(s + N, s) (1.23) Bs = [φA(s + N, s + N)B(s + N − 1) . . . φA(s + N, s + 1)B(s)] (1.24) Cs = col{C(s), C(s + 1)φA(s + 1, s), . . . , C(s + N − 1)φA(s + N − 1, s)} (1.25) Ds = EsφsFs+ Gs, (1.26) onde,

(39)

Es = diag{C(s), C(s + 1), . . . , C(s + N − 1)} φs=            0 0 0 . . . . . . 0 0 0 0 . . . . . . Im 0 0 0 . . . . . . φA(s + 2, s + 1) .. . ... ... ... . .. ... 0 0 0 Im . . . φA(s + N − 3, s + 1) 0 0 Im φA(s + N − 2, s + N − 3) . . . φA(s + N − 2, s + 1) 0 Im φA(s + N − 1, s + N − 2) φA(s + N − 1, s + N − 3) . . . φA(s + N − 1, s + 1)            Fs = diag{B(s + N − 1), B(s + N − 2), . . . , B(s)} e Gs =          0 0 . . . 0 D(s) 0 0 . . . D(s + 1) 0 .. . ... . .. ... ... 0 D(s + N − 2) . . . 0 0 D(s + N − 1) 0 . . . 0 0          .

Observe-se que os N sistemas invariantes, (As, Bs, Cs, Ds), assim obtidos, s˜ao tais

que As ∈ IRn×n, Bs ∈ IRn×mN, Cs ∈ IRpN ×n e Ds ∈ IRpN ×mN. Comparem-se os

sistemas Σs, aqui definidos, com os obtidos em (1.20) e verifique-se que, de facto, tˆem a

mesma constru¸cão. Tal como na seçcão anterior, onde tentámos motivar o aparecimento desta formula¸cão, prova-se que é poss´ıvel a partir das solu¸cões (xs(k), ys(k), us(k))

dos N sistemas invariantes (As, Bs, Cs, Ds) encontrar as solu¸c˜oes do sistema (1.21)

e vice-versa. Em virtude de tal equivalência a fam´ılia constitu´ıda pelos N sistemas invariantes (1.22) é designada, [Urbano, 1987], formula¸cão invariante do sistema N-periódico (1.21).

No que se segue considere-se que os sistemas invariantes (As, Bs, Cs, Ds) est˜ao

definidos em (1.22) – (1.26) e que o sistema N-peri´odico (A(.), B(.), C(.), D(.)) ´e dado por (1.8).

Com o próximo teorema, e respectiva prova, explicitamos precisamente a rela¸cão entre as solu¸cões dos N-sistemas invariantes (As, Bs, Cs, Ds) e as solu¸cões do sistema

(40)

Teorema 1.2.1.

i) Se o terno (x(k), u(k), y(k)) é uma solu¸cão de (A(.), B(.), C(.), D(.)) então para cada s = 0, 1, . . . , N − 1, o terno (xs(k), us(k), ys(k)) definido por,

xs(k) = x(kN + s) (1.27)

us(k) = col{u(kN + s + N − 1), u(kN + s + N − 2), . . . , u(kN + s)} (1.28)

ys(k) = col{y(kN + s), y(kN + s + 1), . . . , y(kN + s + N − 1)} (1.29)

´e solu¸c˜ao do sistema invariante (As, Bs, Cs, Ds).

ii) Se, para cada s = 0, 1, . . . , N − 1 o terno (xs(k), us(k), ys(k)) ´e uma solu¸c˜ao do

sistema invariante (As, Bs, Cs, Ds) com

us(k) = col{u(kN + s + N − 1), u(kN + s + N − 2), . . . , u(kN + s)} (1.30)

ent˜ao o terno (x(k), u(k), y(k)) definido por

x(k) = xs(p) (1.31) u(k) = h 0 0 . . . 0 I i us(p) (1.32) y(k) = h I 0 . . . 0 0 i ys(p), (1.33)

onde p ∈ ZZ é tal que k =pN+s, é solu¸cão do sistema N-periódico (A(.), B(.), C(.), D(.)).

Demonstra¸c˜ao:

i) Por hipótese o par (x(k), u(k)) é solu¸cão do sistema

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k),

logo, o estado do sistema num instante k, arbitr´ario, ´e dado por,

x(k) = φA(k, k0)x(k0) +

k−1

X

j=k0

φA(k, j + 1)B(j)u(j), com k > k0.

(41)

xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsu(k).

Atendendo a essas defini¸c˜oes,

xs(k + 1) = x((k + 1)N + s) = φA((k + 1)N + s, kN + s)x(kN + s)+ + (k+1)N +s−1_X j=kN +s φA((k + 1)N + s, j + 1)B(j)u(j)

fazendo h = j − kN , ou seja, j = h + kN , vem

xs(k + 1) = φA((k + 1)N + s, kN + s)x(kN + s)+

+

N +s−1_X h=s

φA((k + 1)N + s, kN + h + 1)B(kN + h)u(kN + h).

Atendendo ao facto da matriz de transi¸c˜ao φA(., .) e da matriz B(.) serem

N-peri´odicas, e como, por defini¸c˜ao, xs(k) = x(kN + s), temos que,

xs(k + 1) = φA(s + N, s)xs(k) + N +s−1_X

h=s

φA(N + s, h + 1)B(h)u(kN + h) .

Recorrendo `as defini¸c˜oes de As, Bs e us(k), igualdades (1.23), (1.24) e (1.28), a

equa¸c˜ao anterior pode ser escrita da seguinte forma,

xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k).

Resta provar que

ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k).

Ora, por hip´otese, temos que,

(42)

ou seja, ys(k) =       C(kN + s)x(kN + s) + D(kN + s)u(kN + s) C(kN + s + 1)x(kN + s + 1) + D(kN + s + 1)u(kN + s + 1) .. . C(kN + s + N − 1)x(kN + s + N − 1) + D(kN + s + N − 1)u(kN + s + N − 1)      .

Uma vez que, C(.) e D(.) s˜ao N-peri´odicas, temos

ys(k) = col{ys(1), ys(2), . . . , ys(j+1), . . . , ys(N )} (1.34) onde ys(1) = C(s)x(kN + s) + D(s)u(kN + s) ys(2) = C(s + 1)x(kN + s + 1) + D(s + 1)u(kN + s + 1) .. . ys(j+1) = C(s + j)x(kN + s + j) + D(s + j)u(kN + s + j) .. . ys(N ) = C(s + N − 1)x(kN + s + N − 1) + D(s + N − 1)u(kN + s + N − 1).

Por outro lado, para j = 0, . . . , N − 1,

x(kN + s + j) = φA(kN + s + j, kN + s)x(kN + s)+ + kN +s+j−1_X h=kN +s φA(kN + s + j, h + 1)B(h)u(h) = φA(kN + s + j, kN + s)x(kN + s)+ + s+j−1_X h=s φA(kN + s + j, kN + h + 1)B(kN + h)u(kN + h).

Atendendo `a periodicidade das matrizes φA(., .) e B(.),

x(kN + s + j) = φA(s + j, s)xs(k) + s+j−1_X h=s φA(s + j, h + 1)B(h)u(kN + h), para j = 0, . . . , N − 1. Retomando a igualdade (1.34),

(43)

ys(j+1) = C(s + j)φA(s + j, s)xs(k)+ +C(s + j) s+j−1_X h=s φA(s + j, h + 1)B(h)u(kN + h) + D(s + j)u(kN + s + j). (1.35)

Note-se que, tomando

µ(j+1)s = C(s + j) s+j−1_X

h=s

φA(s + j, h + 1)B(h)u(kN + h) + D(s + j)u(kN + s + j),

podemos afirmar que

µ(j+1) s = D(j+1)s us(k) onde, D(j+1)s = " N −j−1 z }| { 0 · · · 0 D(s + j) C(s + j)B(s + j − 1) C(s + j)φA(s + j, s + j − 1)B(s + j − 2) . . . C(s + j)φA(s + j, s + 1)B(s) i , e us(k) =                u(kN + s + N − 1) u(kN + s + N − 2) .. . u(kN + s + j) u(kN + s + j − 1) .. . u(kN + s)                , para j = 0, 1, . . . , N − 1.

Deste modo, atendendo a (1.34) e (1.35),

ys(k) =             C(s) C(s + 1)φA(s + 1, s) .. . C(s + j)φA(s + j, s) .. . C(s + N − 1)φA(s + N − 1, s)             xs(k) +             D(1)s D(2)s .. . D(j+1)s .. . Ds(N )             us(k).

(44)

Mas, Cs =             C(s) C(s + 1)φA(s + 1, s) .. . C(s + j)φA(s + j, s) .. . C(s + N − 1)φA(s + N − 1, s)             ,

e facilmente se constata que:

Ds =             Ds(1) Ds(2) .. . Ds(j+1) .. . D(N )s             .

Deste modo mostr´amos que, tal como se pretendia,

ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k).

ii) Por hipótese, para cada s = 0, 1, . . . , N − 1, o terno (xs(k), us(k), ys(k)) é solu¸cão

de

(

xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k)

ys(k) = Csxs(k) + Dsus(k).

Pretende-se provar que o terno (x(k), u(k), y(k)), definido em (1.31), (1.32) e (1.33), ´e solu¸c˜ao de,

(

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

(45)

Comecemos por provar que

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), para todo o k ∈ ZZ.

Para cada s ∈ {0, 1, . . . , N − 1}, seja p ∈ ZZ tal que k = pN + s. Nestas condi¸c˜oes,

x(k + 1) = x(pN + s + 1) = x(pN + (s + 1)) = xs+1(p) .

Por hip´otese, temos que,

xs+1(p) = As+1xs+1(p − 1) + Bs+1us+1(p − 1) (1.36)

e portanto, podemos escrever,

x(k + 1) = As+1xs+1(p − 1) + Bs+1us+1(p − 1) .

Por defini¸c˜ao de Bs, temos

Bs+1 = h φA(s + N + 1, s + N + 1)B(s + N ) φA(s + N + 1, s + N )B(s + N − 1) . . . . . . φA(s + N + 1, s + 2)B(s + 1) i .

Dada a periodicidade de φA(., .) e B(.), resulta que

Bs+1 = h φA((p − 1)N + s + N + 1, (p − 1)N + s + N + 1)B((p − 1)N + s + N ) φA((p − 1)N + s + N + 1, (p − 1)N + s + N )B((p − 1)N + s + N − 1) . . . . . . φA((p − 1)N + s + N + 1, (p − 1)N + s + 2)B((p − 1)N + s + 1) i . Fazendo α = (p − 1)N + s + N + 1, vem Bs+1 = h φA(α, α)B(α − 1) φA(α, α − 1)B(α − 2) . . . . . . φA(α, α − (N − 1))B(α − N) i .

Por hip´otese, sabemos que,

us+1(p − 1) = col{u((p − 1)N + s + N), u((p − 1)N + s + N − 1), . . .

(46)

Por forma a simplificar a escrita, vamos recorrer mais uma vez `a substitui¸c˜ao anterior,

us+1(p − 1) = col{u(α − 1), u(α − 2), . . . , u(α − N)}.

Assim, Bs+1us+1(p − 1) = φA(α, α)B(α − 1)u(α − 1) + φA(α, α − 1)B(α − 2)u(α − 2)+ + . . . + φA(α, α − (N − 1))B(α − N)u(α − N), isto ´e, Bs+1us+1(p − 1) = α−1 X j=α−N φA(α, j + 1)B(j)u(j). (1.37) Por defini¸c˜ao de As, As+1 = φA(s + 1 + N, s + 1),

mas dada a periodicidade de φA(., .) podemos escrever

As+1 = φA((p − 1)N + s + N + 1, (p − 1)N + s + 1), ou seja, As+1= φA(α, α − N). (1.38) Finalmente, xs+1(p − 1) = x((p − 1)N + s + 1), portanto, xs+1(p − 1) = x(α − N). (1.39)

Posto isto, atendendo a (1.37)-(1.39), podemos reescrever (1.36) da seguinte maneira,

(47)

x(k + 1) = φA(α, α − N)x(α − N) + α−1 X j=α−N φA(α, j + 1)B(j)u(j) = A(α − 1)φA(α − 1, α − N)x(α − N) + B(α − 1)u(α − 1)+ + α−2 X j=α−N A(α − 1)φA(α − 1, j + 1)B(j)u(j) = A(α − 1)[φA(α − 1, α − N)x(α − N)+ + α−2 X j=α−N φA(α − 1, j + 1)B(j)u(j)] + B(α − 1)u(α − 1) = A(α − 1)x(α − 1) + B(α − 1)u(α − 1). Uma vez que α = (p − 1)N + s + N + 1, vem

x(k + 1) = A(pN + s)x(pN + s) + B(pN + s)u(pN + s),

e como por hip´otese k = pN + s, temos o que pretend´ıamos, isto ´e,

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k).

Resta provar que

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k).

Dado que y(k) est´a definido da seguinte forma,

y(k) = h I 0 . . . 0 i ys(p), e como, por (1.29) ys(p) = Csxs(p) + Dsus(p) vem, y(k) = h I 0 . . . 0 i (Csxs(p) + Dsus(p)).

(48)

Atendendo `as defini¸c˜oes de Cs e Ds dadas em (1.25) e (1.26), y(k) = h I 0 . . . 0 i  C(s) .. .   xs(p)+ +h I 0 . . . 0 i  0 . . . 0 D(s) .. . . . . ... ...   us(p) y(k) = C(s)xs(p) + h 0 . . . 0 D(s) i us(p) y(k) = C(s)xs(p) + D(s) h 0 . . . I i us(p).

Tendo em conta a rela¸c˜ao entre us(.) e u(.),

y(k) = C(s)xs(p) + D(s) h 0 . . . I i     u(pN + s + N − 1) .. . u(pN + s)     . Ou seja, y(k) = C(s)xs(p) + D(s)u(pN + s) .

Dada a periodicidade de C(.) e D(.) podemos ainda escrever,

y(k) = C(pN + s)xs(p) + D(pN + s)u(pN + s).

Uma vez que xs(p) = x(pN + s) e que k = pN + s, mostr´amos que

y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k).

¥

(49)

de um sistema N-periódico e a evolu¸cão dos N sistemas invariantes que lhe estão associados.

Corol´ario 1.2.1. Se o par (x(k), u(k)) é uma solu¸cão da equa¸cão

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k),

ent˜ao, para cada s = 0, 1, . . . , N − 1, o par (xs(k), us(k)) dado por (1.27), (1.28) ´e

solu¸cão da equa¸cão xs(k + 1) = Asxs(k) + Bsus(k), definida em (1.23) e (1.24), e xs(k) = φA(s, 0)x0(k) + s−1 X j=0 φA(s, j + 1)B(j)u(kN + j). Demonstra¸cão:

Uma vez que,

xs(k) = x(kN + s) = φA(kN + s, kN )x(kN ) + kN +s−1_X h=kN φA(kN + s, h + 1)B(h)u(h), e fazendo j = h − kN , vem xs(k) = φA(kN + s, kN )x(kN )+ + s−1 X j=0 φA(kN + s, kN + j + 1)B(j + kN )u(j + kN ).

Dada a N-periodicidade da matriz de transi¸c˜ao φA(., .) e de B(.) temos o pretendido,

ou seja xs(k) = φA(s, 0)x0(k) + s−1 X j=0 φA(s, j + 1)B(j)u(j + kN). ¥

(50)

Ao finalizarmos este primeiro cap´ıtulo resta observar que, o enunciado do Teorema 1.2.1, al´ınea ii), difere do enunciado correspondente que pode ser encontrado em [Ur-bano, 1987, p.16]. Na verdade a autora não inclui no enunciado a hipótese de haver nos ternos-solu¸cão, (xs(k), us(k), ys(k)), o “entrela¸camento” das entradas por nós

im-posto em (1.30). No entanto, tal hipótese é necessária. Aliás, na prova apresentada em [Urbano, 1987, p.17] essa imposi¸cão nas entradas é usada, sem que contudo apare¸ca no enunciado do respectivo resultado.

1.3 Matrizes de Monodromia

Observe-se que as matrizes As, usadas na formula¸c˜ao invariante, s˜ao definidas por

As = φA(s + N, s).

De acordo com a literatura [Bittanti and Bolzern, 1985a], [Bittanti and Bolzern, 1985b], [Kabamba, 1986], [Bolzern et al., 1986] e [Bittanti and Colaneri, 2000], estas matrizes s˜ao designadas por matrizes de monodromia.

Defini¸c˜ao 1.3.1.

i) A matriz φA(s+N, s) ´e chamada a matriz de monodromia do sistema N-peri´odico

(A(.), B(.), C(.), D(.)) no instante s, com s ∈ [0, N − 1].

ii) A matriz φA(N, 0) ´e simplesmente designada por matriz de monodromia do

sis-tema N-peri´odico (A(.), B(.), C(.), D(.)).

A importância do estudo destas matrizes de monodromia no contexto deste trabalho é residual. No entanto, se tivéssemos inclu´ıdo resultados acerca da estabilidade de um sistema periódico então, o seu papel seria de especial importância. Todavia, inclu´ımos a seguinte proposi¸cão que afirma que, os sistemas, que constituem a formula¸cão invariante têm matrizes de transi¸cão de estados com o mesmo espectro.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. As matrizes de monodromia de um sistema N-peri´odico (A(.), B(.), C(.), D(.)) tˆem o mesmo espectro.

(51)

Demonstra¸c˜ao:

Vamos provar que, para k ∈ ZZ,

σ(φA(k + N, k)) = σ(φA(k + 1 + N, k + 1)).

Ora,

φA(k + 1 + N, k + 1) = A(k + N)A(k + N − 1) . . . A(k + 1)

= A(k)A(k + N − 1) . . . A(k + 1) e

φA(k + N, k) = A(k + N − 1) . . . A(k + 1)A(k).

Designando por P := A(k) Q := A(k + N − 1) . . . A(k + 1) temos, que φA(k + 1 + N, k + 1) = P Q φA(k + N, k) = QP

Como para quaisquer matrizes quadradas P e Q, [Roger and Johnson, 1985]

σ(P Q) = σ(QP ),

ent˜ao

σ(φA(k + N, k)) = σ(φA(k + 1 + N, k + 1)).

Provando-se assim que,

σ(φA(k + N, k)) = σ(φA(N, 0)), para todo o k ∈ ZZ.

(52)

Cap´ıtulo 2

Atingibilidade e Controlabilidade

Neste cap´ıtulo vamos estudar as propriedades estruturais de atingibilidade e contro-labilidade de um sistema linear N-periódico usando a formula¸cão dinâmica invariante apresentada no Cap´ıtulo 1.

Na primeira seçcão consideraremos a atingibilidade, come¸cando por definir estado ating´ıvel e os conjuntos formados pelos estados ating´ıveis, os quais têm uma estrutura de subespa¸co vectorial de IRn_{. Caracterizaremos os subespa¸cos ating´ıveis do sistema}

N-peri´odico e dos N sistemas invariantes associados, e estudaremos as rela¸c˜oes

existen-tes entre ambos, que nos conduzem a uma caracteriza¸cão de atingibilidade completa à custa dos N sistemas invariantes. Incluiremos, também uma caracteriza¸cão de atingibi-lidade completa usando a matriz de atingibiatingibi-lidade. Para finalizar a seçcão referiremos alguns resultados que nos vão permitir tirar conclusões acerca da atingibilidade com-pleta do sistema N-periódico, analisando apenas alguns dos sistemas invariantes Σs.

Na segunda sec¸c˜ao trabalharemos a propriedade de controlabilidade seguindo a abordagem usada na atingibilidade.

Na terceira e última seçcão relacionaremos os dois conceitos.

2.1 Atingibilidade

Nesta seçcão iremos caracterizar os sistemas N-periódicos ating´ıveis. Esta propriedade estrutural de atingibilidade diz respeito à possibilidade de partindo da origem, num certo instante, atingir um qualquer estado do sistema num determinado número de passos, desde que sejam tomadas entradas adequadas.

(53)

2.1.1 Defini¸c˜

oes e consequˆ

encias imediatas

Para k0, k1 ∈ ZZ, designamos por intervalo [k0, k1] o conjunto dos inteiros maiores ou

iguais a k0 e menores ou iguais a k1.

O estudo da atingibilidade de um sistema N-periódico assenta na defini¸cão, tal como para sistemas invariantes, de estado ating´ıvel. Mais, essa defini¸cão de estado ating´ıvel estende-se ao estudo dos sistemas N-periódicos sem altera¸cões no conceito. Tal facto é evidente na defini¸cão seguinte.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Considere-se um sistema linear N-peri´odico (A(.), B(.), C(.), D(.)).

i) O estado x1 ∈ IRn diz-se ating´ıvel no intervalo [k0, k], k0, k ∈ ZZ, k0 < k, se

existe uma entrada u(.) ∈ U, tal que,

ϕ(k; k0, 0, u(.)) = x1.

ii) O estado x1 ∈ IRn diz-se ating´ıvel no instante k ∈ ZZ, se existe k0 ∈ ZZ, k0 < k,

tal que x1 ´e ating´ıvel no intervalo [k0, k].

No que se segue denotamos por A(k0, k), o conjunto formado por todos os estados

ating´ıveis em [k0, k] e por A(k) o conjunto formado por todos os estados ating´ıveis em

k. Isto ´e, consideramos

A(k0, k) = {x ∈ IRn: ∃u(.) ∈ U, x = ϕ(k; k0, 0, u(.))} (2.1)

e

A(k) = [

k0<k

A(k0, k)

= {x ∈ IRn _{: ∃k}

0 ∈ ZZ, ∃u(.) ∈ U, x = ϕ(k; k0, 0, u(.)) com k0 < k} .

(2.2)

Os conjuntos A(k0, k) e A(k), para k0, k ∈ ZZ tˆem uma estrutura de subespa¸co

(54)

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Sejam k0, k ∈ ZZ, A(k0, k) e A(k) definidos em (2.1) e (2.2).

i) O conjunto A(k0, k) ´e um subespa¸co vectorial de IRn.

ii) O conjunto A(k) ´e um subespa¸co vectorial de IRn_.

Demonstra¸c˜ao:

i) Para provarmos que A(k0, k) ´e um subespa¸co vectorial de IRn consideramos os

seguintes argumentos:

(a) A(k0, k) 6= ∅, pois 0 ∈ A(k0, k), basta tomar u(k) ≡ 0.

(b) Quaisquer que sejam x1 ∈ A(k0, k) e x2 ∈ A(k0, k), pretende-se provar que

x1+ x2 ∈ A(k0, k).

Uma vez que x1 ∈ A(k0, k), podemos dizer que existe um u1(.) ∈ U, tal que

ϕ(k; k0, 0, u1(.)) = x1, (2.3)

analogamente, como x2 ∈ A(k0, k), podemos dizer que existe um u2(.) ∈ U,

tal que

ϕ(k; k0, 0, u2(.)) = x2. (2.4)

Mostremos que x1+ x2 ∈ A(k0, k), isto ´e, existe u(.) ∈ U, tal que

ϕ(k; k0, 0, u(.)) = x1+ x2.