O método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores

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(1)O método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores. Carlos Henrique Silva Alcântara. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Ciências. Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Cláudio Gorodski Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro FAPESP, processo: 2017/08206-8 Sâo Paulo, julho de 2019.

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(3) O método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores. Esta é a versão corrigida da dissertação elaborada pelo candidato Carlos Henrique Silva Alcântara, contendo as modificações sugeridas pela Comissão Julgadora..

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(5) Agradecimentos. Gostaria de agradecer ao meu orientador Cláudio Gorodski pela atenção e paciência, ao Instituto de Matemática e Estatística como um todo por proporcionar o ambiente fértil para execução desse trabalho e a FAPESP pelo suporte financeiro. Agradeço à minha família pelo suporte e carinho. Agradeço aos meus amigos: Reinaldo, pela parceria em Geometria; Vinícius, pelo exemplo de dedicação; Marcos, por me ajudar a entender as principais ideias desse texto. Agradeço à minha companheira Renata, pelo amor que já perdura por mais de uma década, pela inspiração que sua presença cativa em mim, pela profunda amizade que conquistamos, pelo total suporte nos momentos mais difíceis e a pela oportunidade de trilharmos nossos caminhos de mãos dadas..

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(7) Resumo. Alcântara, C. H. S. O método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores. 2019. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. Nesse trabalho, estudamos o método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores. Estabelecemos resultados de Geometria Riemanniana via referenciais móveis e com essa linguagem introduzimos o Teorema de Gauss-Bonnet-Chern e apresentamos uma adaptação da demonstração original de S.-S. Chern presente no artigo A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. Ao abordar aspectos da teoria de Cartan-Kähler, codificamos as ideias oriundas dos referenciais móveis em sistemas diferenciais exteriores e mostramos algumas aplicações à Geometria Riemanniana. Palavras-chave: referenciais móveis, fórmula de Gauss-Bonnet, teoria de Cartan-Kähler..

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(9) Abstract. Alcântara, C. H. S. Moving frames and exterior differential systtems. 2019. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2019. In this work, we study the method of moving frame and exterior differential systems. We set up results of Riemannian Geometry via moving frames and with this language we introduce the Gauss-Bonnet-Chern Theorem and present an adaptation of the original proof of S.-S. Chern in the article A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. In discussing aspects of Cartan-Kähler’s theory, we encode the ideas from moving frames into exterior differential systems and use this tool in Riemannian Geometry. Keywords: moving frames, Gauss-Bonnet formula, Cartan-Kähler theory..

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(11) Sumário. 0 Introdução. 3. 1 Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. 7. 1.1. Sistemas diferenciais exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. A forma de Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3. Curvas e superfícies via referenciais móveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.4. Geometria intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 2 Fórmula de Gauss-Bonnet-Chern. 33. 2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.2. Transgressão de Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.3. Demonstração da fórmula de Gauss-Bonnet-Chern. 3 Teoria de Cartan-Kähler. . . . . . . . . . . . . . 42 47. 3.1. Cartan-Kähler para tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 3.2. Cartan-Kähler para sistemas Pfaffian lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 52. 3.3. Cartan-Kähler geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. A Característica de Cauchy. 95. A.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A.2 Campos característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Referências Bibliográficas. 103.

(12) 2. Sumário.

(13) Introdução. Nesta dissertação estudamos aspectos da teoria do referencial móvel e também utilizamos essa linguagem para introduzir conceitos da teoria de Cartan-Kähler. Paralelamente apresentamos a demonstração da fórmula de Gauss-Bonnet-Chern devida a S.-S.Chern. A teoria dos referenciais móveis para superfícies, segundo [M. A. Akivis, 1993], começa no final do século XIX com Gaston Darboux e Émile Cotton estudando o problema de construir um referencial móvel adaptado ao longo de superfícies no espaço Euclidiano ao invés de curvas, uma vez que este caso já estava amplamente discutido por Bertls, Serret, Frênet e outros. O método do referencial móvel em superfícies foi apresentado sistematicamente por Darboux em suas notas Leçons sur la théorie générale des surfaces [Darboux, 1887]. Para estudar curvas em superfícies, Darboux considerou um triedro formado por vetores e1 , e2 e e3 , em que e1 e e3 eram paralelos à reta tangente à curva e a reta normal à superfície respectivamente, e para estudar superfícies considerou um novo triedro em que os vetores e1 e e2 eram paralelos às linhas de curvatura e e3 normal à superfície. No segundo caso, Darboux considerou as derivadas do referencial segundo o comprimento de arco das linhas de curvatura, e os coeficientes dessas derivadas em relação à decomposição pelo triedro eram justamente as curvaturas principais da superfície, as curvaturas geodésicas e torção geodésica das linhas de curvatura. Em 1905, Émile Cotton publicou o artigo Generalisation de la theorie du triedre mobile [Émile Cotton, 1905], em que introduziu a generalização do método do referencial móvel para espaços E que possuíam uma ação contínua e transitiva de um grupo G. Apesar da vasta teoria desenvolvida no final do século XIX e começo do século XX, a ideia de referenciais móveis está muito atrelada ao nome de Élie Cartan, responsável por transformar a teoria em um poderoso algoritmo para estudar aspectos geométricos de subvariedades de espaços homogêneos e seus invariantes sob a ação de grupos de transformações. Desenvolvendo as ideias de Darboux e Cotton, em 1910 Cartan publicou os.

(14) 4. Introdução. artigos Sur les développables isotropes et la méthode du trièdre mobile [Élie Cartan, 1955b] e La structure des groupes de transformations continus et la thèorie du trièdre mobile [Élie Cartan, 1955a]. Em especial, no segundo artigo Cartan conecta o método do referencial móvel via triedros com a estrutura de grupos de Lie e a teoria de equações de Pfaff, o que mais tarde ficou conhecido, de fato, como método do referencial móvel. Cartan estudou os espaços homogêneos X n com uma ação de um grupo G em X n , e a esses associou uma família de referenciais com a propriedade que G age simples e transitivamente nessa família, isto é, a cada par de referenciais existe uma transformação R ∈ G que manda um referencial no outro. Por exemplo, no espaço Euclidiano En , a cada ponto x ∈ En podemos associar um referencial de vetores ortonormais {e1 , · · · , en }, ou seja, hei , ej i = δji . Em qualquer sistema de coordenadas, tal referencial está associado n(n − 1) a um elemento de O(n), cuja dimensão é , como a origem de cada referencial 2 depende de n variáveis, o espaço ASO(n) dos referenciais {x, e1 , · · · , en } tem dimensão n(n − 1) n(n + 1) +n= . No espaço de referenciais introduziu as fórmulas de derivação 2 2    dx. = ω i ei.   de. = ωji ej ,. i. e tomando a derivada exterior das fórmulas de derivação obteve as equações de estrutura    dω i. = −ωki ∧ ω k.   dω i. = −ωki ∧ ωjk ,. j. em que as formas de conexão ωji satisfazem ωji = −ωij . Verifica-se que as equações Gauss e Codazzi seguem das equações de estrutura. A partir dessa construção, Cartan provou que se as formas ω 1 , · · · , ω r sob certas condições satisfazem as equações de estrutura de um espaço homogêneo, então elas definem uma única família Σ de referenciais, a menos da ação de G sob esses referenciais. Tal resultado generaliza o Teorema de Frênet, que diz que uma curva em E3 está determinada por sua curvatura e torção, e o Teorema de Bonnet, que estabelece que uma superfície de E3 fica determinada por sua primeira e segunda forma fundamental. Na década de 1970, vários pesquisadores, por exemplo Chern, Green, Griffiths e Jensen, reformularam a construção intuitiva de Cartan para um teoria mais ampla e sólida. Um passo conceitual importante para esse desenvolvimento foi dissociar a teoria de fibrados de.

(15) 5 referenciais e conexões para definir referenciais móveis como uma aplicação equivariante da variedade ou do fibrado de jatos no grupo de transformações. Ao abordar sistemas diferenciais exteriores em uma variedade Σ, trataremos dos aspectos da teoria de Cartan-Kähler via exemplos provenientes dos referenciais móveis. O objetivo da teoria é garantir a existência de variedades integrais de ideais I ⊂ Ω∗ (Σ). Analisaremos alguns casos particulares de ideais, e justamente os ideais que têm a propriedade de serem fechados por derivação são chamados de sistemas diferenciais exteriores. Duas contribuições centrais de Élie Cartan à teoria são o algoritmo para um dos principais exemplos, a saber sistemas lineares de Pfaff, e o teste de Cartan, que traz um critério prático para um dado plano integral E de um sistema diferencial exterior I (isto é, E é tal que para cada α ∈ I, temos α|E = 0) ser plano tangente de uma subvariedade integral de I. Quanto ao teorema de Gauss-Bonnet-Chern, os artigos The Euler number of a Riemann manifold [Allendoerfer, 1940] e On total curvatures of Riemannian manifolds I [Fenchel, 1940], independente um do outro, generalizaram a fórmula de Gauss-Bonnet para variedades mergulhadas no espaço Euclidiano, e o artigo The Gauss-Bonnet Theorem for Riemannian Polyhedra [Carl B. Allendoerfer, 1943] expõe uma generalização para poliedros Riemannianos. Em seu artigo A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Riemannian Manifolds [Chern, 1944] o autor apresenta uma demonstração intrínseca, isto é, independente do ambiente, utilizando-se da teoria de campos vetoriais. Através das formas de conexão e equações de estrutura de uma variedade M n , Chern introduz uma forma Ω ∈ Ωn (M ), que generaliza o conceito de curvatura para superfícies, e no caso de M ser fechada, com dimensão par e orientável, vale Z M. Ω = χ(M ). em que χ(M ) é a característica de Euler de M . A ideia central da prova é observar que a forma Ω quando levada pelo pull-back para o fibrado unitário SM é exata, e o Teorema do Índice de Hopf da teoria de campos garante a igualdade com a característica de Euler. No que diz respeito a dissertação em si, os objetos aqui trabalhados são sempre supostos com máxima diferenciabilidade e é adotada a convenção de Einstein para somatórias..

(16) 6. Introdução.

(17) Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. 1.1. Sistemas diferenciais exteriores. Nesta seção estabeleceremos noções básicas sobre sistemas diferenciais exteriores. Desenvolveremos nesse primeiro momento apenas o suficiente para discutir nas próximas seções o método do referencial móvel, e no Capítulo 3 abordaremos o assunto com mais profundidade. No que segue, Σ é variedade diferencial de dimensão n e Ωp (Σ) espaço das p-formas diferenciais de M . Definição 1.1.1. Seja I um ideal em Ω∗ (Σ), dizemos que I é um ideal diferencial se existe um conjunto {ω i }i∈I tal que I é gerado por {ω i , dω i }i∈I . Observe que é imediato o fato de α ∈ I implicar dα ∈ I. Um ideal I no sentido usual será dito ideal algébrico. Um sistema diferencial exterior com condição de independência em uma variedade Σ é o par (I, Ω), em que I ⊂ Ω∗ (Σ) é um ideal diferencial e Ω ∈ Ωn (Σ) é uma n-forma. Dizemos que Ω é a condição de independência. Dizemos que uma subvariedade imersa i : M n ⊂ Σ é uma variedade integral de um sistema diferencial exterior com condição de independência (I, Ω) se i∗ (α) = 0, ∀α ∈ I e i∗ (Ω) 6= 0. ˜ = λΩ para λ não nulo, então M também Observação 1.1.2. Na definição anterior, se Ω ˜ Desse modo, a condição de independência será considerada é variedade integral de (I, Ω). a menos de escalar. Definição 1.1.3. Dizemos que E ∈ Gn (Tx Σ), isto é, E elemento da Grassmanniana de dimensão n em Tx Σ, é um elemento integral de (I, Ω) em x se Ω|E 6= 0 e α|E = 0, ∀α ∈ I. Esse espaço de elementos integrais será denotado Vn (I, Ω)x . Na definição anterior, se denotarmos I n := I ∩ Ωn (Σ), verificamos imediatamente que Vn (I, Ω)x ⊂ {E ∈ Gn (Tx Σ) : Ω|E 6= 0 e α|E = 0, ∀α ∈ I n }; reciprocamente, seja E tal.

(18) 8. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. que α|E = 0, ∀α ∈ I n , e suponha que exista φ ∈ I, com deg(φ) = p < n, tal que φ|E 6= 0. Tome η0 ∈ Ωn−p (E ∗ ) de forma que φ|E ∧ η0 6= 0 e estenda η0 a η ∈ Ωn−p (Σ). Então φ ∧ η tem grau n e está em I, mas (φ ∧ η)|E = φ|E ∧ η0 6= 0 contradição. Concluímos que φ|E = 0 para todo φ ∈ I e obtemos a inclusão no outro sentido. Dizemos que I um ideal diferencial é um sistema diferencial exterior quando não impomos condição inicial. Note que nesse caso as variedades integrais não possuem dimensão especificadas. Analogamente à Definição 3.1.3 temos E ∈ G(k, Tx Σ) elemento integral se α|E = 0, ∀α ∈ I. O conjunto dos elementos integrais de dimensão k nesse caso será denotado Vk (I)x . Notação. Sejam θ1 , · · · , θn ∈ Ω∗ (M ). Um ideal diferencial algébrico gerado por θi será denotado {θ1 , · · · , θn }alg ; quando for fechado por derivação, escreveremos {θ1 , · · · , θn }dif f . Exemplo 1.1.4. Em Σ = R3 , defina o ideal I = {xdy, dz}dif f . Vamos calcular alguns espaços de elementos integrais. Temos: V1 (I)(1,1,1) = {{(u, 0, 0)(1,1,1) : u ∈ R}}, isto é, o conjunto que tem como único elemento o eixo x de T(1,1,1) R3 . De fato, estamos procurando retas r em T(1,1,1) R3 tais que (xdy)(1,1,1) |r = 0 e dz(1,1,1) |r = 0. Da primeira condição temos 1dy|r = dy|r = 0 e da segunda dz|r = 0, ou seja, a reta deve ser o eixo x de T(1,1,1) R3 . Analogamente, V1 (I)(0,0,0) é o conjunto das retas contidas no plano xy em T(0,0,0) R3 e V2 (I)(0,0,0) é o conjunto cujo único elemento é o plano xy de T(0,0,0) R3 . Exemplo 1.1.5. Sejam M , N variedades de dimensão n e s, respectivamente, e considere o espaço dos k−jatos J k (M, N ). Em coordenadas locais (x1 , · · · , xn ) e (u1 , · · · , us ) que temos um elemento de J k (M, N ) é dado por (xi , ua , pai , paij , · · · , pai1 ···ik ), em que I = (i1 · · · ik ) é multi-índice crescente de tamanho k, k ∈ {1, · · · , dim(M )}. Podemos definir Ω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn , e I como sendo ideal gerado por θa := dua − pai dxi θia := dpai − paij dxj .. . k. θia1 ···ik−1 − pai1 ···ik dxi . Tais formas são ditas formas de contato. Usando a abreviação via multi-índices, as formas de contato são θIa = dpaI − paIj dxj . Note que se tivermos outros sistemas de coordenadas.

(19) A forma de Maurer-Cartan. 9. em M e N , as formas de contato nas novas coordenadas serão combinações lineares das anteriores. Logo I não depende da escolha das coordenadas e o sistema diferencial exterior (I, Ω) está definido globalmente. O sistema (I, Ω) é dito sistema de contato canônico em J k (M, N ). Um fato acerca das variedades integrais de (I, Ω) é que, localmente, essas são os levantamentos de gráficos de f : M → N , Γf := {(x, (f (x)) : x ∈ M } para J k (M, N ). Verificando a afirmação anterior: fixadas coordenadas (xi ) e (ua ), temos ! |I| a i k i a i i a i ∂ f o levantamento L : Γf → J (M, N ), dado por L(x , f (x )) = x , f (x ), (x ) . ∂xI Denote X := L(U ), U ⊂ M , e i : X → J k (M, N ) inclusão, e note que i∗ (θIa ) = 0, pois ∂ |I| f a i paI = (x ). Reciprocamente se X é variedade integral, temos x ∈ X é da forma ∂xI (xi , u(xi ), paI (xi )), uma vez que vale a condição de independência dx1 ∧ · · · ∧ dxn 6= 0 em ∂ |I| ua i (x ), I X. Logo ser variedade integral significa i∗ (θIa ) = 0 se, e somente se, paI = ∂xI multi-índice decrescente, tal que 1 ≤ |I| ≤ k, isto é, X é o levantamento do gráfico de u : U → N. Observação 1.1.6. Seja i : M → Σ inclusão. Doravante cometeremos abuso de notação e escreveremos θ = 0 e Ω 6= 0 em M para nos referir a i∗ (θ) = 0 e i∗ (Ω) 6= 0.. 1.2. A forma de Maurer-Cartan. Nesta seção trataremos da forma de Maurer-Cartan e, a partir dela, buscaremos invariantes geométricos de grupos de Lie matriciais. Definição 1.2.1. Seja G subgrupo de Lie, g sua álgebra de Lie, tal que exista g : G → Mn (R) homomorfismo sobre a imagem. Definimos a forma de Maurer-Cartan de G com valores em Mn (R) por ω : G −→ T Mn (R) a 7−→ ωa : Ta G −→ Tg(a) Mn (R) v 7−→ ωa (v) = g(a)−1 dga (v) Observação 1.2.2. Seja v ∈ Ta G, identificando G com sua imagem por g e Tg(a) Mn (R) ∼ = Mn (R), segue dga (v) ∈ Tg(a) G, multiplicando a esquerda por g −1 (a) temos ωa (v) = g −1 (a)dga (v) ∈ Te G ∼ = g..

(20) 10. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. Exemplo 1.2.3. Considere o grupo de Lie G = (R, +), seja g : G → M2 (R) dado por: . cos θ. g(θ) = . . − sin θ. sin θ. cos θ. .. Denotamos g(G) = SO(2), e nesse caso temos . . − sin θdθ − cos θdθ . dg = . cos θdθ. portanto. − sin θdθ . 0. ω = g −1 dg = . dθ. ,. . −dθ 0. .. Definição 1.2.4. Dizemos que uma forma α ∈ Ωk (G) é invariante à esquerda se para cada a ∈ G temos (La )∗ α = α. Em que La : G → G multiplicação à esquerda. Lema 1.2.5. A forma ω da Definição 1.2.1 é invariante à esquerda. Demonstração. Como G é grupo de matrizes, segue d(La )b (v) = av, em que a, b ∈ G e v ∈ Tb G. Do fato que G é homomorfismo temos, para a ∈ G, fixo que g ◦ La = Lg(a) ◦ g; diferenciando em b, temos dgab ◦ d(La )b = d(Lg(a) )g(b) ◦ dgb = g(a)dgb .. (1.1). Calculando L∗a (ω)b explicitamente: L∗a (ω)b (v) = g(ab)−1 dgab (d(La )b (v)) 1.1. = g(b)−1 g(a)−1 g(a)dgb (v). = g(b)dgb (v) = ωb (v), para v ∈ Tb G. Isto é, L∗ ω = ω. Observação 1.2.6. Podemos também definir a forma de Maurer-Cartan para um grupo de Lie qualquer G como a única forma invariante a esquerda com valores em g tal que ωe : Te G → g é identificação usual. Note que ser invariante significa ωab (d(La )b (v)) = ωb (v). Tomando b = e, reduzimos para ωa (d(La )e (v)) = ωe (v). Denotando w = d(La )e (v), temos −1 ωa (w) = ωe (d(La )−1 e (w)), como d(La )e = d(La−1 )a , segue. ωa (w) = ωe (d(La−1 )a (w)). (1.2).

(21) A forma de Maurer-Cartan. 11. isto é, todos os valores de ωa estão determinados por ωe . A Observação 1.2.2 garante que as definições de ω coincidem no caso de grupos de matrizes, já que ω da primeira definição toma valores em g, é invariante pelo Lema 1.2.5 e, identificando G ∼ = g(G), ωe = IdTe G . Definição 1.2.7. Sejam M variedade diferenciável, G grupo de Lie, H ≤ G, e f : M →. G . H. Dizemos que F é levantamento de f se o seguinte diagrama é comutativo: F. M. G. f G H. Observação 1.2.8. Seja A ∈ G, denotamos A a classe de A em G/H. No contexto da definição anterior, se Fe for outro levantamento, então para cada x ∈ M temos f (x) = F (x) = Fe (x), isto é, existe a(x) ∈ H tal que Fe (x) = F (x)a(x). A forma de Maurer-Cartan de um grupo de matrizes satisfaz a seguinte relação: Fe ∗ ω = ((F ∗ ω)a)−1 d((F ∗ ω)a) = a−1 (F ∗ ω)−1 (d(F ∗ ω)a + (F ∗ ω)da) = a−1 (F ∗ ω)a + a−1 da. Para G grupo de Lie qualquer, obtemos a generalização Fe ∗ ω = Ada−1 (F ∗ ω) + a∗ ω. Lema 1.2.9. Sejam G grupo de Lie de matrizes e ω forma de Maurer-Cartan, então dω = −ω ∧ ω.. (1.3). Tal igualdade é dita equação de Maurer-Cartan. Demonstração. Temos que ω = g −1 dg, de onde dω = d(g −1 ) ∧ dg + g −1 ∧ d(dg); o segundo termo é nulo devido a d2 ≡ 0, e basta computar d(g −1 ), isto é, 0 = d(e) = d(g −1 g) = d(g −1 )g + g −1 dg; isolando d(g −1 ), segue dω = −g −1 (dg)g −1 ∧ dg = −g −1 dg ∧ g −1 dg = −ω ∧ ω. Observação 1.2.10. Se ω e θ são 1-formas com valores em g, definimos a 2-forma [ω, θ] com valores em g, por [ω, θ](X, Y ) = [ω(X), θ(Y )] + [ω(Y ), θ(X)]. Com essa definição a equação de Maurer-Cartan para um grupo de Lie qualquer torna-se 1 dω = − [ω, ω]. 2.

(22) 12. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. Teorema 1.2.11. Seja G um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g e forma de Maurer-Cartan ω. Sejam M variedade diferenciável e φ 1-forma com valores em g satisfazendo dφ = −φ ∧ φ. Então, para cada x ∈ M , existem uma vizinhança U e uma aplicação f : U → G tal que f ∗ ω = φ. Além disso, se duas aplicações f1 , f2 satisfazem a condição, então f1 = La ◦ f2 para algum a ∈ G. Demonstração. Defina Σ = M ×G e considere as projeções usuais π : Σ → M e ρ : Σ → G. Considere θ = π ∗ φ − ρ∗ ω. Seja I ⊂ T ∗ Σ subfibrado gerado por θji , em que θ = (θji ). Afirmação I: posto(I) = dim(G). De fato, fixemos (x, g) ∈ Σ, mostremos inicialmente que θ(x,g) é sobrejetora. Seja X ∈ g, X é invariante à esquerda, em particular d(Lg )e (Xe ) = Xg , assim θ(x,g) (0, −Xg ) = (π ∗ φ)(x,g) (0, −Xg ) − (ρ∗ ω)(x,g) (0, −d(Lg )e (Xe )). Podemos escrever o primeiro termo como φx (dπ(x,g) (0, −Xg )). Identificando T(x,g) Σ ∼ = Tx M × Tg G, segue que dπ é projeção na primeira coordenada, logo obtemos o vetor nulo. Para o segundo termo: (ρ∗ ω)(x,g) (0, d(Lg )e (Xe )) = ωg (d(Lg )e (Xe )) = ωe (Xe ), pois ω é invariante à esquerda, e por definição, ωe (Xe ) = X. Pelo teorema do núcleo e da imagem, dim(Σ) = dim(ker(θ(x,g) )) + dim(Im(θ(x,g) )). Como θ(x,g) é sobrejetora, segue dim(Im(θ(x,g) )) = dim(g) = dim(G), isto é, dim(ker(θ(x,g) )) = dim(Σ)−dim(G), como o posto(I) é o complementar da dimensão do núcleo de θ, segue posto(I) = dim(Σ) − dim(ker(θ(x,g) )) = dim(Im(θ(x,g) )) = dim(G). Precisamos para completar a prova a seguinte versão do teorema de Frobenius: Teorema 1.2.12. (Frobenius). Sejam Σm uma variedade diferenciável e J ⊂ T ∗ Σ o ideal diferencial gerado por 1-formas {θ1 , · · · , θm−n }. Se J = {θ1 , · · · , θm−n }alg , então para cada p ∈ Σ existe uma única subvariedade integral de J, de dimensão n. Mais ainda, em uma vizinhança de p existe sistema de coordenadas (x1 , · · · , xm ) tal que J = {dx1 , · · · , dxm−n }alg . Demonstração. [Thomas A. Ivey, 2003, pg. 10] e [Lee, 2012, cap. 19].

(23) A forma de Maurer-Cartan. 13. Afirmação II: I = {(θij )}alg . De fato, dθ = π ∗ (dφ) − ρ∗ (dω) = π ∗ (−φ ∧ φ) − ρ∗ (−ω ∧ ω) = −π ∗ φ ∧ π ∗ φ + ρ∗ ω ∧ ρ∗ ω = −π ∗ φ ∧ π ∗ φ + (π ∗ φ − θ) ∧ (π ∗ φ − θ) = −π ∗ φ ∧ π ∗ φ + π ∗ φ ∧ π ∗ φ − π ∗ φ ∧ θ − θ ∧ π ∗ φ + θ ∧ θ = θ ∧ θ. No computo acima: a 4ª igualdade segue da definição de θ, e na 5ª igualdade, os dois primeiros termos cancelam-se e os dois seguintes cancelam-se devido a π ∗ φ∧θ = −θ ∧π ∗ φ. Portanto I é fechado por derivação, isto é, I = {(θij )}alg . Finalmente, pelo Teorema 1.2.12 e a afirmação anterior, para cada (x, g) ∈ Σ existe S subvariedade integral de I, devido a Afirmação I, dim(S) = dim(Σ) − dim(G) = dim(M ), e podemos tomar S como sendo localmente o gráfico de f : U ⊂ M → G. Defina Φ : U → Σ, Φ(x) = (x, f (x)) e denote i : S → Σ inclusão; temos que S integral implica em i∗ (θ) ≡ 0; logo, em U , 0 = Φ∗ (θ) = Φ∗ (π ∗ φ − ρ∗ ω), ou seja, Φ∗ (π ∗ φ) = Φ∗ (ρ∗ ω). Como π ◦ Φ = Id e ρ ◦ Φ = f , temos φ = f ∗ ω. Resta provar a unicidade: sejam f1 , f2 tais que φ = f1∗ (ω) = f2∗ (ω), e fixe (x, f1 (x)) ∈ Σ. Denote g = f1 (x) e a = g(f2 (x))−1 . Defina f : U → Σ por f (y) = La (f2 (y)). Note que f satisfaz f (x) = af2 (x) = g(f2 (x))−1 f2 (x) = g e f ∗ (ω) = (f2 )∗ (L∗a ω). Novamente usando o fato de ω ser invariante à esquerda, f ∗ (ω) = f2∗ (ω) = φ, pela unicidade do Teorema 1.2.12, segue f = f1 , isto é, f1 = La ◦ f2 . Observação 1.2.13. No contexto anterior, se M é conexa e simplesmente conexa, então f pode ser estendida para toda M . Exemplo 1.2.14. Podemos aplicar o Teorema 1.2.11 para estudar curvas no plano euclidiano. Considere o levantamento de c : R → E2 , c regular e parametrizada pelo comprimento de.

(24) 14. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. arco. Seja C : R → ASO(2) dada por: .  1 . . 0. 0  . 1 1 . C(t) =  c1 (t) e1 (t) e2 (t). . . c2 (t) e21 (t) e22 (t). . . Podemos esquematizar: C. R. ASO(2) .. c. ∼ = E2. ASO(2) SO(2). Parametrizando ASO(2) por g : R × E2 → ASO(2), . g(θ, x, y) =. 1   x  . 0. . 0. cos θ. y sin θ.    , − sin θ  . cos θ. temos . dg =. 0   dx  . dy. 0 − sin θdθ cos θdθ. . .    − cos θdθ  .      . 0. e ω = g −1 dg =. − sin θdθ. . 0. 0. 0 . cos θdx + sin θdy. 0. . −dθ .  . − sin θdx + cos θdy dθ. 0. . Para cada t ∈ R, c0 (t) = (cos(θ(t)), sin(θ(t))). Assim, computando C ∗ ω: Primeira coluna: . .  ∗ c . . . .  . cos θdx + sin θdy   cos(θ(t)) cos(θ(t)) + sin(θ(t)) sin(θ(t))  1  =   =  . − sin(θ(t)) cos(θ(t)) + cos(θ(t)) sin(θ(t)) 0 − sin θdx + cos θdy t. t. t. Para segunda e terceira coluna, basta observar que, para cada t ∈ R, e1 (t)0 = k(t)e2 , isto é, cos(θ(t))θ0 (t) = k(t) cos(t) e − sin(θ(t))θ0 (t) = −k(t) sin(θ(t)), logo θ0 (t) = k(t), portanto.    e1 (t). ∗. e2 (t). . 0 . dθ. . . . =. −dθ 0. . t. 0. . −k(t)dt 0. k(t)dt. ,. ˜ Seja c˜ : R → E regular e parametrizada pelo comprimento de arco tal que k(t) = k(t), 2. para cada t real. Denote C1 = C e C2 o levantamento de c˜. Segue . C1∗ ω = C2∗ ω =. 0   1  . 0 0. 0 k(t)dt. 0. .    . −k(t)dt  . 0.

(25) Curvas e superfícies via referenciais móveis. 15. Do Teorema 1.2.11 C1 = La ◦ C2 , isto é, a. . z }| {  . . . 0 0  1 1 0   1    ,  = ˜ c˜(t) e˜1 (t) e2 (t) c(t) e1 e2 x R em particular, c(t) = x + R˜ c(t); em outras palavras c e c˜ são congruentes.. 1.3. Curvas e superfícies via referenciais móveis. Nesta seção estudaremos o espaço de referenciais ao longo de curvas e superfícies. Esse espaço está contido em um certo grupo de Lie e podemos considerar a restrição da forma de Maurer-Cartan para buscar invariantes geométricos. No que segue, dedicar-nos-emos a formalizar essa ideia. Seja θ : SO(n) × En → En , dada por θ(R, t) = Rt. Considere o produto semidireto ASO(n) = En oθ SO(n). O espaço ASO(n) é grupo de Lie, com álgebra de Lie aso(n) = so(n) × En . Considere a forma de Maurer-Cartan ω ∈ Ω1 (ASO(n), aso(n)). Como so(n) é o conjunto das matrizes anti-simétricas, temos . ω=. 0. . 0.        ω 1     .   ..        ωn. .  0   −ω21   .  ..  . ω21.    ωn1   ..   . .      ωnn−1    . ··· .. .. 0 .. .. 0. 0. −ωn1 · · · −ωnn−1. Do fato de ω ser invariante à esquerda, temos que ω i e ωji são também invariantes. . . Representando ASO(n) com a aplicação x, e1 · · · en  . . . x, e1 · · · en. 1. 0. . {z. }. g.     e1 · · · en   . . ∈ ASO(n),.  7→   ∈ GLn (R) x e1 · · · en |. temos gω = dg; em blocos:. . 1. ω .. .. ωn.       . = dx. (1.4).

(26) 16. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. .  0   −ω21 e1 · · · en   .  ..  . ω21. ωn1. ··· .. .. 0 .... . ..  .   .   n−1  ωn  . 0. . = d e1 · · · en. . (1.5). 0. −ωn1 · · · −ωnn−1. De (1.4) temos dx = ω i ei e (1.5) implica em dej = ωji ei , com ωji = −ωij . Proposição 1.3.1. No contexto anterior, ω i são formas semi-básicas. Demonstração. Sejam g ∈ ASO(n) e X ∈ Tg ASO(n) vertical. Tome C(t) = (c(t), e1 (t), · · · , en (t)), C(0) = g, C 0 (0) = X e C com imagem contida na fibra passando por g. Do fato que C está contida em uma fibra c ≡ g, c0 (0) =. dx dt. = 0. de (1.4) temos 0 = ω i (C 0 (0))ei (0).. Como ei (0) são linearmente independentes, ω i (X) = 0, para i = 1, · · · n. Exemplo 1.3.2. (Invariantes de uma curva). Seja c : R → En , em que c está parametrizada pelo comprimento de arco e {c(1) (t), · · · , c(n−1) (t)}é um conjunto linearmente independente. Podemos aplicar o processo de Gram-Schmidt definindo e1 (t) = c0 (t), j−1 E XD e˜j (t) c(2) (t) (j) e2 (t) = kc(2) (t)k , e indutivamente, e˜j (t) = c − . c(j) (t), ei (t) ei (t) e ej (t) = k˜ ej (t)k i=1 Fica determinado base positivamente orientada {e1 (t), · · · , en (t)} de Tc(t) En . Usando a forma de Maurer-Cartan: . 0. 0. . d(c(t), e1 (t), · · · , en (t)) = (c(t), e1 (t), · · · , en (t))   c∗ (ω i )t c∗ (ωji )t . . (1.6). Da primeira coluna e1 (t) = c0 (t) = ω i (c0 (t))c(t) ei , logo ω 1 (c0 (t))c(t) = 1 e ω i (c0 (t))c(t) = 0 para i ∈ {1, · · · , n}. Observe que ω 1 (c0 (t)s)c(t) = sω 1 (c0 (t))c(t) = s = dt(s), logo c∗ ω 1 = dt e c∗ ω i = 0 para i ∈ {2, · · · , n}. Para j ≥ 2, temos e0j (t) = ωji (c0 (t))c(t) ei (t) mas por, construção, e0j (t) ∈ span{e1 (t), · · · , ej−1 (t)}, então ωjj (c0 (t))c(t) = ωjj+2 (c0 (t))c(t) = · · · = ωjn (c0 (t))c(t) = 0, por anti-simetria . c∗ (ωji )t =. 0    ∗ 1 −c (ω2 )t    0    ..  .   0. c. ∗. (ω21 )t 0. 0 c. ∗. (ω32 )t. ··· ···. −c∗ (ω32 )t .. .. 0 .. .. ··· .. .. ···. ···. −c∗ (ωnn−1 ). 0 .. . .. .. .       ,    c∗ (ωnn−1 )  . 0.

(27) Curvas e superfícies via referenciais móveis. 17. e (1.6) torna-se     c0 (t) = e1 (t)        0  e1 (t) = −ω21 (c0 (t))c(t) e1 (t)   j−1 0 j 0 0   ej (t) = ωj (c (t))c(t) ej−1 (t) − ωj+1 (c (t))c(t) ej+1 , para       e0 (t) = ω n−1 (c0 (t))en−1 (t). n. j ∈ {2, · · · , n − 1}. n. Defina ki (t) := ωii−1 (c0 (t)). Então .  0 . d(e1 (t), · · · , en (t)) = (e1 (t), · · ·.  −k1   , en (t))   0   ..  .  . k1. 0. ···. 0. k2. ···. −k2 .. .. 0 .. .. ··· .. .. 0. ···. · · · −kn. . 0 ..   .  ..  . .   kn   . 0. Por outro lado, sejam ki : R → R funções dadas. Em R × ASO(n), considere o ideal deferencial I gerado por {ω 1 − dt, ω 2 , · · · , ω n , ωii−1 − ki ω1 , ωji }i<j . De dω = −ω ∧ ω segue facilmente que I é algébrico e, como as formas são linearmente independentes, o n(n + 1) posto de I é . Pelo teorema de Frobenius, para cada (s, g) ∈ R × ASO(n), 2 existe uma subvaridade M de dimensão 1 passando por (s, g). Parametrizando M por C : R → ASO(n), temos C ∗ (ω 1 ) = dt, C ∗ (ωii−1 ) = ki dt e ki são os invariantes de c(t) := πEn (C(t)). Observação 1.3.3. Para dimensões baixas recuperamos os casos clássicos. Se n = 2, denote k = k1 , e1 = T e e2 = N . Então . . . . T  0 k d  = T N  . N −k 0 . . Para n = 3, denote k = k1 , τ = k2 , e1 = T , e2 = N e e3 = B, então . . T     d N     . B.  . = T N. 0.    B  −k . 0. . k 0. 0.   τ  . −τ 0. Exemplo 1.3.4. Superfícies M n em En+s . Seja F 1 → M o subfibrado de ASO(n + s)|M dos referenciais adaptados, isto é, (x, e1 , · · · , en+s ) ∈ F 1 se Tp M = span{e1 , · · · , en }. Para fixar notação, escrevemos 1 ≤ i, j ≤ n e n + 1 ≤ a, b ≤ n + s. Considere i :.

(28) 18. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. F 1 → ASO(n + s) a inclusão. Como Tp M é gerado por {e1 , · · · , en }, então a forma de Maurer-Cartan ω satisfaz i∗ ω a = 0. De (1.3), temos dω a = −ωia ∧ ω i − ωba ∧ ω b e segue 0 = di∗ (ω a ) = i∗ (dω a ) = −i∗ (ωia ∧ ω i − ωba ∧ ω b ) | {z } 0 em F 1. = −i∗ (ωia ∧ ω i ), o conjunto {ω 1 , · · · , ω n } é base de Tp∗ M . Em particular, i∗ (ω i ) é linearmente independente. Então existem haij : F 1 → R, simétricas nos índices inferiores, tais que ωia = haij ω j . Para tal existência, usamos o Lema 1.3.5. (Cartan). Sejam v 1 , · · · , v k linearmente independentes em um espaço vetorial V e w1 , · · · , wk elementos de V quaisquer tais que. k X. v i ∧ wi = 0, então existem. i=1. hij ∈ R tais que wi = hij v k , em que hij = hji . Demonstração. [Sternberg, 1964, p. 18] . 1  . 0. Seja f =  xi ei  . . 0 .  ∈ F 1 . As rotações em Fx1 são dadas por 0 . xa 0 ea. . . R=. 1   0  . 0. 0 gji 0. . 0.   , 0  . uab. em que (gji ) ∈ SO(n) e (uab ) ∈ SO(s). Outro elemento fe ∈ Fx1 é da forma f R, assim. e = fe−1 dfe ω. = R−1 f −1 d(f R) = R−1 f −1 (df R + f dR) = R−1 ωR + R−1 dR..

(29) Curvas e superfícies via referenciais móveis Em particular. 19.    ω e i = (g −1 )ij ω j        ω  e ja = gji (u−1 )ab ωib. (1.7).   e a = (u−1 )a g k g l hb   h  ij b i j kl       eea = ua eb . b f := Defina II. X. ωja ω j ⊗ea =. X. a. haij ω i ω j ⊗ea ∈ Γ(F 1 , π ∗ (S 2 (T ∗ M ⊗N M ))), de (1.7) temos. a. f é constante em F . Tome s : M → F 1 seção local, definimos que II x f ∈ Γ(M, S 2 (T ∗ M ⊗ N M )) é a segunda forma fundamental Definição 1.3.6. II = s∗ (II). de M . f é constante em F , isto é, básica, então II não depende de s. Analogamente Como II x. a II, podemos definir Ie =. X. = ω i ω i ∈ Γ(F 1 , π ∗ (S 2 T ∗ M )). Novamente, de (1.7), Ie é. i. e ∈ constante em Fx1 , logo básica, então, para qualquer seção local s : M → F 1 , I = s∗ (I). Γ(M, S 2 (T ∗ M ) é invariante diferencial. I é dita métrica Riemanniana em M ou primeira forma fundamental de M . Para o caso n = 2 e s = 1, omitindo o pull-back de i : F 1 → ASO(3), segue    ω 3. = h11 ω 1 + h12 ω 2.   ω 3. = h21 ω 1 + h22 ω 2 ,. . . 1. 2. . . ou equivalentemente, . . 3 ω1 . ω23. 1. . h11 h12  ω  =     . h12 h22 ω2 |. {z h. Da terceira linha de (1.7), outro. }. e da fibra F 1 satisfaz h e = g −1 hg, em que g ∈ SO(2), portanto as funelemento h x. ções K = det(h) e H =. 1 tr(h) 2. são constantes em Fx1 . K é dita curvatura Gaussi-. ana de M e H curvatura média de M . Observe também que II = ω13 ω 1 + ω23 ω 2 = h11 (ω 1 )2 + 2h12 ω 1 ω 2 + h22 (ω 2 )2 ..

(30) 20. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. De (1.3), entrada (1, 2), dω21 = − ω11 ∧ ω21 − ω21 ∧ ω22 −ω31 ∧ ω23 |. {z. }. 0. |. {z 0. }. = −ω31 ∧ ω23 = ω13 ∧ ω23 = (h11 ω 1 + h12 ω 2 ) ∧ (h21 ω 1 + h22 ω 2 ) = (h11 h22 − (h12 )2 )ω 1 ∧ ω 2 = Kω 1 ∧ ω 2 . Com o que definimos no exemplos acima podemos demonstrar o seguinte teorema Teorema 1.3.7. (Egregium de Gauss). A curvatura Gaussiana de uma superfície M 2 depende apenas da métrica Riemanniana I. Demonstração. Seja f : U ⊂ R2 → M 2 uma parametrização local, e considere um levantamento de f F : U → F 1 . Tome X i tais que f∗ (X i ) = ei , i = 1, 2 e g = f ∗ (I), de modo que g(X i , X j ) = I(f∗ (X i ), f∗ (X j )) = I(ei , ej ) = δji . Considere η 1 , η 2 duais a X 1 , X 2 ; como são linearmente independentes, η 1 ∧ η 2 é base de Ω2 (U ), logo existem funções a, b : U → R tais que    dη 1. = aη 1 ∧ η 2.   dη 2. = bη 1 ∧ η 2 .. Defina α = −aη 1 − bη 2 . Claramente dη 1 = −α ∧ η 2 e dη 2 = α ∧ η 1 . Como F ∗ (ω i ) = η i , então dη i = F ∗ (dω i ) = F ∗ (−ωji ∧ ω j ) − F ∗ (ωji ) ∧ η j . Se i = 1, então dη 1 = −F ∗ (ω21 ) ∧ η 2 e para i = 2 temos dη 2 = −F ∗ (ω12 ) ∧ η 1 = F ∗ (ω21 ) ∧ η 1 , ˜ i , i = 1, 2, são outros campos g-ortonormais em U , sabemos que assim α = F ∗ (ω21 ). Se X.

(31) Geometria intrínseca. 21. e = R−1 ωR + R−1 dR. Em coordenadas ω   . 0 e 21 −ω.  1 e ω2  . 0. . . . cos θ − sin θ  0 =   −ω21 sin θ cos θ. ω21   0. cos θω21   cos θ. 1  sin θω2. cos θ. sin θ . . . . . − sin θ cos θ. .  +. −dθ.  0.  0. ω21 . = −ω21. 0. . 0. . . . .  0. 0. dθ. = +  −dθ − sin θ cos θ − cos θω21 sin θω21 . dθ. . . . sin θ . 0. . dθ. +. −dθ. 0. ,. e = dα, em e 21 = dω21 , fazendo o pull-back por F , obtemos dα e 21 = ω21 + dθ. Logo dω ou seja, ω fi . Seja k : U → R função definida por dα = kη 1 ∧η 2 ; temos e é a forma induzida por X que α. que k não depende de X i . De fato, sejam ee1 = cos θe1 − sin θe2 e ee2 = sin θe1 + cos θe2 e e ηe1 ∧ ηe2 = kη 1 ∧ η 2 , e avaliando em (ee1 , ee2 ), e = dα implica em k ηei duais de eei . Então dα. ke = kη 1 ∧ η 2 (cos θe1 − sin θe2 , sin θe1 + cos θe2 ) = k(cos θ sin θ η 1 ∧ η 2 (e1 , e1 ) + cos2 θ η 1 ∧ η 2 (e1 , e2 ) |. {z 0. }. |. {z. }. 1. − sin2 θ η 1 ∧ η 2 (e2 , e1 ) − sin θ cos θ η 1 ∧ η 2 (e2 , e2 )) |. {z. −1. }. |. {z 0. }. = k(cos2 θ + sin2 θ) = k. Portanto k depende apenas de g. Além disso, kη 1 ∧ η 2 = dα = dF ∗ (ω21 ) = F ∗ (Kω 1 ∧ ω 2 ) = (K ◦ F )F ∗ (ω 1 ) ∧ F ∗ (ω 2 ) = (K ◦ F )η 1 ∧ η 2 e segue que F ∗ (K) = k, portanto K depende apenas de I.. 1.4. Geometria intrínseca. Na seção anterior consideramos o subfibrado F 1 ⊂ ASO(n)|M sobre uma superfície M n de En e nesse espaço a forma de Maurer-Cartan nos dava certos invariantes de M . Nesta seção vamos procurar invariantes intrínsecos de M de uma variedade Riemanniana..

(32) 22. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. Definição 1.4.1. Seja M n uma variedade, e considere o fibrado dos referenciais em M , FGL (M ) := {(p, fp ) : fp ∈ L(Tp M, Rn ) bijetora}. Em FGL (M ) definimos a forma tautológica η ∈ Ω1 (FGL (M )) ⊗ Rn : η : FGL (M ) −→ T ∗ (FGL (M )) ⊗ Rn f = (p, fp ) 7−→ ηf : Tf FGL (M ). −→ Rn v 7−→ fp (π∗ (v)). em que π : FGL (M ) → M é projeção do fibrado FGL (M ). Observação 1.4.2. No contexto anterior, tome (q 1 , · · · , q n ) coordenadas em torno de p ∈ M e (p11 , · · · , pnn ) coordenadas em torno de algum fp , e denote f = (p, fp ). Então . 11. 1n. . 1. . · · · p  v  p    ∂ ∂ .   .   . ηf (v i i + v ij ij ) =  .. . . . ..   ..     ∂q ∂p    n1 nn vn p ··· p X n. =. 1i i. . p v    i=1   ..   ,  .    X n  ni i  p v. i=1. Portanto cada coordenada de ηf , denotada η i , é localmente η i é igual a. Pn. j=1. pij dq j .. O próximo passo é mostrar que as formas η i generalizam para FGL (M ) o que tínhamos em ASO(n) com ω i , isto é, vamos mostrar a existência de formas αji que, junto com η i , formam um correferencial de FGL (M ) e satisfazem as equações dη i = −αji ∧ η j .. (1.8). Considere {ηe1 , · · · , ηen } correferencial local em U ⊂ M , defina ηe ∈ Ω1 (U )⊗Rn por ηep (v) = n X. ηepi (v)ei , em que ei base canônica do Rn e seja t a trivialização local. i=1. t : GLn (R) × U −→ FGL (M )|U (g, p) 7−→ t(g, p) : Tp U −→ Rn v 7−→ g −1 ηep (v)..

(33) Geometria intrínseca. 23. Observe que π ◦ t = π2 : GLn (R) × U → U , projeção na segunda coordenada, assim t∗ (η)(g,p) (A, v) = ηt(g,p) (dt(g,p)(A,v) ) = t(g, p)(dπt(g,p) (dt(g,p) (A, v))) = g −1 ηep (d(π ◦ t)(g,p) (A, v)) = g −1 ηep (dπ2 )(g,p) (A, v) = g −1 ηep (v), ou seja, t∗ (η) = g −1 ηe. (1.9). e ji satisfazendo dηei = −α e ji ∧ ηej , isto é, dηe = −α e ∧ ηe. De (1.9) Note que para ηei existem α. temos t∗ (dη) = d(g −1 ) ∧ ηe + g −1 dηe = −g −1 dgg −1 ∧ ηe + g −1 dηe = −g −1 dg ∧ t∗ η − g −1 dηe e ∧ ηe) = −g −1 dg ∧ t∗ η − g −1 (α e ∧ t∗ η = −g −1 dg ∧ t∗ η − α e ∧ t∗ η. = −(g −1 dg + α) e ij , da igualdade acima dη = −α ∧ η. Como η toma valores Defina αji = (t∗ (g −1 dg + α)) e ηe) é em Rn , cada η i satisfaz dη i = −αji ∧ η j , o que verifica (1.8). Do fato que (g −1 dg + α,. correferencial em GLn (R) × U segue (η, α) correferencial de FGL (M ). Proposição 1.4.3. Sejam βji formas tais que (η, β) é correferencial de FGL (M ) e βji i satisfazem (1.8), então existem Cjk , simétricos nos índices inferiores, com i k βki = αji + Cjk η .. Reciprocamente, fixados αji tais que (η, α) é correferencial de FGL (M ), e η i e αji sai tisfazendo (1.8), então para quaisquer funções Cjk , simétricas nos índices inferiores, as i k formas βji = αji + Cjk η têm as mesmas propriedades.. Demonstração. Por hipótese, αji ∧η j = βji ∧η j , isto é, (αji −βji )∧η j = 0, com η j linearmente independentes. Do Lema de Cartan segue o afirmado. Para recíproca, basta verificar que.

(34) 24. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. dη i = βji ∧ η j , uma vez que se (η, α) é correferencial, então (η, α + Cη = β) também é correferencial. Desenvolvendo βji ∧ η j , obtemos i k βji ∧ η j = (αji + Cjk η ) ∧ ηj i k η ∧ ηj = αji ∧ η j + Cjk i k = dη i + Cjk η ∧ ηj. = dη i +. X. i i (Cjk − Ckj )η k ∧ η j. j<k. |. {z. i =C i Cjk kj. }. = dη i .. Segue da proposição anterior que não vale a unicidade de αji . Entretanto, sendo (M n , g) uma variedade Riemanniana, o subfibrado FM := {(p, fp ) : fp ∈ L(Tp M, En ) isometria} ⊂ FGL (M ) dos referenciais ortonormais tem a seguinte propriedade: sejam s, s(p) = (p, fp ), uma seção local de FM e η a forma tautológica em FM . Defina η = s∗ (η). Então para p no domínio de s e v, w ∈ Tp M , temos D. E. D. E. η p (v), η p (w) = ηs(p) (s∗ (v)), ηs(p) (s∗ (w)). = hfp (π∗ (s∗ (v))), fp (π∗ (s∗ (w)))i = hfp (v), fp (w)i = gp (v, w), em que a última igualdade segue de fp ser isometria. Por outro lado, η p = D. E. para cada v, w ∈ Tp M vale η p (v), η p (w) =. n X. n X. η ip ei , então. i=1. η ip (v)η ip (w), portanto. i=1. g=. n X. (η i )2 .. (1.10). i=1. Com a estrutura adicional de FM , temos o seguinte resultado Teorema 1.4.4. Sejam (M n , g) variedade Riemanniana e η i as formas tautológicas em FM . Fixada uma seção local s : M → FM , existem e são únicas formas ηji ∈ Ω1 (M ) tais que s∗ (dη i ) = −ηji ∧ s∗ (η j ) e η toma valores em so(n), isto é, ηji = −ηij ..

(35) Geometria intrínseca. 25. Demonstração. Considere η i = s∗ (η i ), vimos que existem, porém não necessariamente únicas, formas αji tais que dη i = −αji ∧ η j , escrevemos 1 1 αji = (αji − αij ) + (αji + αij ), |2 {z } |2 {z } βji. γji. i em que βji é anti-simétrica e γji é simétrica. Primeiro provaremos a existência. Sejam Tjk i i i k i − Tkij )η k . Então + Tkj definido por γji = Tjk = Tikj , e defina ηji = αji − (Tjk η , note que Tjk i i + Tkj − Tkij )η k ) ∧ η j −ηji ∧ η j = −(αji − (Tjk i i = dη i + (Tjk + Tkj − Tkij )η k ∧ η j. = dη i +. X. i i i i ((Tjk + Tkj − Tkij ) − (Tkj + Tjk − Tjik ))η k ∧ η j. j<k. = dη i +. X. (Tjik − Tkij ) η k ∧ η i. j<k |. {z. simetria. }. = dη k . Observe que 1 1 1 i i i i )η k ) (ηj + ηij ) = (αji − (Tjk + Tkj − Tkij )η k ) + (αij − (Tikj + Tkij − Tkj 2 2 2 1 i 1 i j j k = (αj + αi ) − (Tjk + Tik ) η {z } |2 {z } 2| def. γji. simetria. i k η = γji − Tjk. = γji − γji = 0, portanto ηji = −ηij . Resta provar a unicidade, suponha δji nas mesmas condições que ηji . Então (δji − ηji ) ∧ i η j = 0. Pelo Lema de Cartan existem Cjk , simétricas nos índices inferiores, tais que j i k i δji − ηji = Cjk η . Como δ e η são anti-simétricos, temos Cjk = −Cik , portanto j j i i i Cjk = −Cik = −Cki = Cjik = Cijk = −Ckj = −Cjk , i logo Cjk ≡ 0 e segue a unicidade.. Observação 1.4.5. Suponha M n subvariedade Riemanniana de En+s e seja F : M → F 1 qualquer extensão de s : M → FM . Temos que F ∗ (ωji ) satisfazem as equações dη i = −F ∗ (ωji ) ∧ η j e a anti-simetria. Pela unicidade, ηji = F ∗ (ωji )..

(36) 26. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. É verdade uma versão mais sofisticada do teorema acima, Teorema 1.4.6. Sejam (M n , g) variedade Riemanniana e η i formas tautológicas em FM , então existem ηji ∈ Ω1 (FM ) tais que (η i , ηji ) é correferencial de FM dη i = −ηji ∧ η j. (1.11). e η toma valores em so(n), isto é, ηji = −ηij . As formas ηji são ditas formas de conexão de M . Demonstração. [Morita, 2001, p. 264]. Derivando (1.11) obtemos 0 = dηji ∧ η j − ηji ∧ dη j , mas dη j = −ηkj ∧ η k , então 0 = dηji ∧ η j + ηji ∧ ηkj ∧ η k = (dηji + ηki ∧ ηjk ) ∧ η j , defina Θij := dηji + ηki ∧ ηjk , então Proposição 1.4.7. Θ := Θij ⊗ η j ⊗ ei ∈ Ω2 (FM , T ∗ M ⊗ T M ) é básica, em que ei é dual a ηi. Demonstração. Seja (p, g) ∈ FM , isto é, g : Tp M → En uma isometria. Identificando as isometrias com O(n), outro elemento na mesma fibra é da forma (p, gR), em que e = dη + η ∧ η ∈ Ω2 (F ) ⊗ M (R), ou seja Θ e é matriz com R ∈ O(n). Escreva Θ M n. coeficientes Θij . Novamente usando a trivialização t : O(n) × U → FM , temos t∗ η(p,gR) = (gR)−1 d(gR) + (gR)−1 η(gR) = R−1 (g −1 dg + g −1 ηg)R + R−1 dR = R−1 t∗ η(p,g) R + R−1 dR, então dt∗ η(p,gR) = −R−1 dRR−1 ∧ t∗ η(p,g) R + R−1 dt∗ η(p,g) R − R−1 t∗ η(p,g) ∧ dR − R−1 dRR−1 ∧ dR Explicitando t∗ η(p,gR) ∧ t∗ η(p,gR) , t∗ (η)(p,gR) ∧ t∗ (η)(p,gR) = (R−1 t∗ η(p,g) R + R−1 dR) ∧ (R−1 t∗ η(p,g) R + R−1 dR) = R−1 t∗ η(p,g) ∧ t∗ η(p,g) R + R−1 t∗ η(p,g) ∧ dR + R−1 dRR−1 ∧ t∗ η(p,g) R + R−1 dR ∧ R−1 dR,.

(37) Geometria intrínseca. 27. somando dt∗ η(p,gR) + t∗ η(p,gR) ∧ t∗ η(p,gR) , temos ∗ ∗ ∗ e t∗ Θ (p,gR) = dt η(p,gR) + t η(p,gR) ∧ t η(p,gR). = R−1 (dt∗ η(p,g) + t∗ η(p,g) ∧ t∗ η(p,g) )R e = R−1 t∗ Θ (p,g) R,. usando o fato que R−1 = Rt , em cada coeficiente Θij |(p,gR) = Rki Θkl |(p,g) Rjl , analogamente j s η(p,gR) = Rsj η(p,g) e ei |(p,gR) = Rit et |(p,g) , logo j Θ(p,gR) = Θij |(p,gR) ⊗ η(p,gR) ⊗ ei |(p,gR) s ⊗ Rit et |(p,g) = Rki Θkl |(p,g) Rjl ⊗ Rsj η(p,g) s = Rki Rit Θkl |(p,g) Rjl Rsj ⊗ η(p,g) ⊗ et |(p,g) s = δtk δsl Θkl |(p,g) ⊗ η(p,g) ⊗ et |(p,g) s ⊗ et |(p,g) = Θts |(p,g) ⊗ η(p,g). = Θ(p,g) , isto é, Θ é constante nas fibras de FM , logo básica. Definição 1.4.8. Para qualquer seção local s : M → FM defina Ω := s∗ (Θ). Como Θ é básica, Ω ∈ Ω1 (M, T ∗ M ⊗ T M ) está bem definida. Dizemos que Ω é o forma de curvatura de M . Observação 1.4.9. Note que Ω toma valores em T ∗ M ⊗ T M ∼ = End(T M ). Quando fixado um referencial, podemos identifica-lo com um espaço de matrizes. Como Θij = −Θji , segue da definição de Ω que Ωij = −Ωji , isto é, Ω ∈ Ω2 (M, so(T M )). Definição 1.4.10. Uma variedade Riemanniana (M n , g) é dita flat se para cada ponto existe um sistema de coordenadas (x1 , · · · , xn ) em torno desse ponto tal que g = (dx1 )2 + · · · + (dxn )2 . Teorema 1.4.11. Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana cuja forma de curvatura Ω ≡ 0, então M é flat. Demonstração. Por hipótese, dη = Ω − η ∧ η = −η ∧ η. Aplicando o Teorema 1.2.11 para G = SO(n), em torno de cada p ∈ M existe g : U → SO(n) tal que ηji = (g −1 dg)ij , logo.

(38) 28. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. dη j = −(g −1 dg)jk ∧ η k . Defina η i = gji η j . Então dη i = dgji ∧ η j + gji dη j = dgji ∧ η j + gji (−(g −1 dg)jk ∧ η k ) = dgji ∧ η j − dgki ∧ η k = 0. De (1.10) temos g =. n X. n X. n X. i=1. i=1. i=1. (η i )2 . Como η = gη e g ∈ O(n), segue que. (η i )2 =. (η i )2 . Do. fato que dη = 0, existem funções localmente definidas (xi , · · · , xn ) tais que dxi = η i , logo g=. n X. (dxi )2 , portanto M é flat.. i=1. 1 i k R η ∧ 2 jkl é anti-simétrica em ij e kl. De. i Observação 1.4.12. Ωij ∈ Ω2 (M ), então existem funções Rjkl tais que Ωij =. ηl =. X. i i Rjkl η k ∧ η l , e verifica-se imediatamente que Rjkl. k<l. (1.11) e da definição de Ω,    dη i. = −ηji ∧ η j.   dη i. 1 i k = −ηki ∧ ηjk + Rjkl η ∧ ηl . 2. j. (1.12). As equações acima são ditas equações de estrutura de M . Observação 1.4.13. No Teorema 1.4.6, definimos as formas de conexão ηji . No que segue vamos justificar esse nome. Sejam X ∈ Γ(T M ) e s : M → FM uma seção local. Definimos a conexão de M como ∇X = (dX i + X j ηji ) ⊗ ei , em que ei é referencial ortonormal dado por s e X = X i ei . Afirmação: ∇X não depende de s. Seja s : M → FM uma outra seção. Então existe uma função R : M → O(n) tal que     ei = Riu eu        j  X = (R−1 )jk X k     η ij = (R−1 )is ηts Rjt + (R−1 )iv dRjv        d(R−1 )i = −(R−1 )i dRw (R−1 )z . l. w. z. l.

(39) Geometria intrínseca. 29. Assim i. j. ∇X = (dX + X η ij ) ⊗ ei = (d((R−1 )il X l ) + (R−1 )jk X k ((R−1 )is ηts Rjt + (R−1 )iv dRjv )) ⊗ Riu eu = d(R−1 )il Riu X l ⊗ eu + (R−1 )il Riu dX l ⊗ eu + (R−1 )jk (R−1 )is Rjt Riu X k ηts ⊗ eu + (R−1 )jk (R−1 )iv Riu X k dRjv ⊗ eu = − (R−1 )iw Riu (R−1 )zl X l dRzw ⊗ eu + (R−1 )il Riu dX l ⊗ eu |. {z. }. u δw. |. {z. }. δlu. + (R−1 )jk (R−1 )is Rjt Riu X k ηts ⊗ eu + (R−1 )jk (R−1 )iv Riu X k dRjv ⊗ eu |. {z. δkt δsu. |. }. {z δvu. }. = −(R−1 )zl X l dRzu ⊗ eu + (R−1 )jk X k dRju ⊗ eu +dX u ⊗ eu + X k ηku ⊗ eu |. {z. }. 0. = (dX u + X k ηku ) ⊗ eu = ∇X, portanto ∇X está bem definida e definida em toda M . Defina ∇Y Z := Y ¬ ∇X ∈ Γ(T M ), então ∇Y (f X) = f ∇Y X + Y (f )X; de fato, ∇Y f X = (d(f X i )(Y ) + f X j ηji (Y ))ei = df (Y )X i ei + (f dX i (Y ) + f X j ηji (Y ))ei = Y (f )X + f ∇Y X. A aplicação ∇ : Γ(T M )2 → Γ(T M ) também satisfaz ∇Y X − ∇X Y = [X, Y ], para cada X, Y ∈ Γ(T M ). Observe que se (xi , · · · , xn ) são coordenadas locais e {∂1 , · · · , ∂n } o referencial dado pelas coordenadas, temos ∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i = [∂i , ∂j ] = 0. Devido a esse fato, dizemos que ∇ é simétrica. A simetria de ∇ deve-se essencialmente ao seguinte resultado Proposição 1.4.14. Sejam ω ∈ Ω1 (M ) e X, Y ∈ Γ(T M ). Então dω(X, Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X, Y ]). (1.13). Demonstração. [Lee, 2012, p. 369] Verificando a simetria. Seja s : M → FM . Dados X, Y ∈ Γ(T M ), escreva X = X i ei e Y = Y ej . Então ∇X Y − ∇Y X = dY (X)ei − dX (Y )ei + j. i. i. n X. i,j=1. X i Y j (∇ei ej − ∇ej ei ), então.

(40) 30. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis. basta verificar a propriedade para ei e ej . Por definição, ∇ei ej = ηjs (ei )es , logo ∇ei ej − ∇ej ei = (ηjs (ei ) − ηis (ej ))es .. (1.14). Usando a primeira equação (1.12), e (1.13) para η s , ei e ej , dη s (ei , ej ) = −ηks ∧ η k (ei , ej ) = −ηjs (ei ) + ηis (ej ), dη s (ei , ej ) = ei (η s (ej )) − ej (η s (ei )) − η s ([ei , ej ]) = ei (δjs ) − ej (δis ) −η s ([ei , ej ]) | {z } 0. | {z } 0. = −η s ([ei , ej ]), ou seja η s ([ei , ej ]) = ηjs (ei ) − ηis (ej ), e substituindo em (1.14) obtemos ∇ei ej − ∇ej ei = η s ([ei , ej ])es = [ei , ej ]. Podemos relacionar ∇ com g da seguinte forma: para cada X, Y, Z ∈ Γ(T M ) vale Z(g(X, Y )) = g(∇Z X, Y ) + g(X, ∇Z Y ). De fato, por linearidade podemos supor Z = ek , e temos g(∇ek X, Y ) + g(X, ∇ek Y ) = g((dX i (ek ) + X t ηti (ek ))ei , Y j ej ) + g(X s es , (dY u (ek ) + Y v ηvu (ek ))eu ) =. n X. dX i (ek )Y i + X t Y i ηti (ek ). i=1. + =. n X. X s dY s (ek ) + X s Y v ηvs (ek ). s=1 n X. (Y i dX i (ek ) + X i dY i (ek )) +. i=1. |. Basta agora mostrar que. n X i=1. n X. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ).. i=1. {z. }. ek (g(X,Y )). (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ) =. n X n X. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ) = 0. Para. i=1 t=1.

(41) Geometria intrínseca. 31. i = t temos ηii ≡ 0, assim n X n X. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ) =. X. =. X. i=1 t=1. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ) +. i<t. X. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ). i>t. (X Y + X Y t. i. i. t. )ηti (ek ). −. i<t. (X t Y i + X i Y t )ηit (ek ). X i>t. {z. |. =. (X t Y i + X i Y t )ηti (ek ) −. trocando i↔t. }. (X i Y t + X t Y i )ηti (ek ). X. X. i<t. i<t. = 0, como desejado. A conexão acima é dita conexão de Levi-Civita. Um resultado clássico é a unicidade dessa conexão segundo as propriedades apresentas. A relação de Ω com a curvatura clássica é também imediata. Definição 1.4.15. Para cada X, Y, Z ∈ Γ(T M ) defina R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z. Proposição 1.4.16. R é o tensor curvatura de M . Demonstração. Sejam s : M → FM e {e1 , · · · , en } referencial ortonormal dado por s. j. Para cada X, Y ∈ Γ(T M ), escreva R(X, Y )ei = Ri (X, Y )ej , considere a forma, com valores em Mn (R), determinada por R i. R = R j ⊗ η i ⊗ ej . De [Morita, 2001, p. 188-189], temos R ∈ so(T M ) e também dη = −η ∧ η + R, cuja demonstração é uma aplicação simples da Proposição 1.4.14. Da segunda equação de (1.12) temos dη = −η ∧ η + Ω = −η ∧ η + R, portanto Ω = R. 1 Observação 1.4.17. Para (M 2 , g) temos R212 = K. De fato, vimos que dω21 = Kω 1 ∧ ω 2 , 1. e da definição de Ω temos dω21 = − ω11 ∧ ω21 − ω21 ∧ ω22 +Ω12 , como Ω12 = R212 ω 1 ∧ ω 2 , segue | 1. K = R212 .. {z 0. }. |. {z 0. }.

(42) 32. Geometria Riemanniana via Referenciais Móveis.

(43) Fórmula de Gauss-Bonnet-Chern. 2.1. Preliminares. Neste capítulo estabeleceremos a celébre fórmula de Gauss-Bonnet-Chern para variedades fechadas e orientadas de dimensão par. Vamos nos guiar pela demonstração original desse fato, contida em [Chern, 1944]. No que segue, (M, g) é uma variedade Riemanniana, dim(M ) = n, FM é fibrado de referenciais de M e SM é o fibrado unitário de M . Sejam s : M → FM seção local. Mantendo a notação do artigo original, denote (1.12) por    dω i. = −ωji ∧ ω j.   dω i. = −ωki ∧ ωjk + Ωij .. j. (2.1). Escreva s(p) = (x, e1 (p), · · · , en (p)) e considere outra seção local, cuja domínio tem intersecção não vazia com o domínio de s, t : M → FM , t(x) = (p, f1 (p), · · · , fn (p)). Existem funções aij : M → R tais que ei =. n X. aij fj , em que (aij ) é matriz ortogonal, por. j=1. [Morita, 2001, p. 190],. (Ωij )t. =. aik (Ωkl )s alj .. Seja n ∈ N par. P f : Mn (Ω∗ (M )) = Ω∗ (M ) ⊗ Mn (R) −→ Ω∗ (M ), é definida por P f (A) =. 1 2. n 2. X. n 2. ! σ∈Sn. sgn(σ)Aσ(1)σ(2) ∧ · · · ∧ Aσ(n−1)σ(n) .. P f satisfaz 1. Se A ∈ Mn (Ω∗ (M )) é anti-simétrica, então P f (A)2 = det(A) e 2. Se A ∈ Mn (Ω∗ (M )) é anti-simétrica e B ∈ Mn (Ω∗ (M )) é qualquer, então P f (B ∧ A ∧ B T ) = P f (A). n. −1 2 Do capítulo anterior temos = Defina Ω = P f (Ωij ). Da segunda propri2π edade de P f segue que Ω está definida em toda M . Observe que deg(Ωij ) = 2 implica Ωij. −Ωji .. .

(44) 34. Fórmula de Gauss-Bonnet-Chern. deg(Ω) = n. Logo se M é fechada e orientável, então. Z M. Ω é um número que a priori. depende da métrica g. Definição 2.1.1. Seja M variedade Riemanniana fechada e orientada, considere o p-ésimo p espaço de cohomologia de De Rham HdR (M ). Definimos a característica de Euler de M. por χ(M ) =. n X. p (−1)p dim(HdR (M )).. p=0. Observação 2.1.2. O Teorema de De Rham [Lee, 2012, p. 484] garante que χ(M ) é um invariante topológico, e o Teorema da Dualidade de Poincaré [Morita, 2001, p. 163] diz p n−p que HdR (M ) ∼ = HdR (M ). Portanto, se n é impar, n−1. χ(M ) =. 2 X. p=0. =. p (−1)p dim(HdR (M )). p= n−1 +1 2 n−1. n−1 2 X. n X. p (−1)p dim(HdR (M )) +. (−1). p. p (M )) dim(HdR. +. p=0. 2 X. (−1)q+. n−1 +1 2. q+ n−1 +1 2. dim(HdR. (M )). q=0 dualidade. =. n−1 2. X. z p (M )) + (−1)p dim(HdR. p=0. =. X. −(−1). n−1 −q 2. { n−q− n−1 −1 2. dim(HdR. (M )). q=0 n−1. n−1 2 X. }|. n−1 2. (−1). p. p (M )) dim(HdR. −. p=0. 2 X. (−1). n−1 −q 2. n−1. dim(HdR2. −q. (M )). q=0 p= n−1 −q 2. =. n−1 2. X. z p (M )) − (−1)p dim(HdR. p=0. n−1 2. X. }|. {. p (M )) (−1)p dim(HdR. p=0. = 0. Será fundamental para estabelecermos a fórmula de Guass-Bonnet-Chern o seguinte teorema. Teorema 2.1.3. (Índice de Poincaré-Hopf). Seja V ∈ Γ(M ) com um númuero finitos zeros, digamos {x1 , · · · , xs }. Então χ(M ) =. s X. indV (xi ).. i=1. Observação 2.1.4. Vide [Guillemin, 1974]. A relação entre. Z M. Ω e o invariante apresentado acima é conhecida como fórmula de. Gauss-Bonnet-Chern, cujo enunciado é:.

(45) Transgressão de Ω. 35. Teorema 2.1.5. (Gauss-Bonnet-Chern). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana fechada, orientada e de dimensão par. Então Z M. 2.2. Ω = χ(M ).. Transgressão de Ω. O objetivo dessa seção é apresentar a ideia, devida a S.-S. Chern [Chern, 1944], de que π ∗ (Ω) é sempre exata no fibrado unitário π : SM → M . Vamos primeiro estabelecer algumas relações que serão usadas posteriormente. Derivando primeira a equação de (2.1), 0 = d(dω i ) = −dωji ∧ ω j + ωji ∧ dω j = −(−ωki ∧ ωjk + Ωij ) ∧ ω j + ωji ∧ (−ωkj ∧ ω k ) = ωki ∧ ωjk ∧ ω j − ωji ∧ ωkj ∧ ω k −Ωij ∧ ω j |. {z. }. 0. = −Ωij ∧ ω j isto é, Ωij ∧ ω j = 0.. (2.2). Analogamente para a segunda equação de (2.1), 0 = −dωki ∧ ωjk + ωki ∧ dωjk + dΩij = −(−ωli ∧ ωkl + Ωik ) ∧ ωjk + ωki ∧ (−ωlk ∧ ωjl + Ωkj ) + dΩij = ωli ∧ ωkl ∧ ωjk − ωki ∧ ωlk ∧ ωjl +Ωik ∧ ωjk + ωki ∧ Ωkj + dΩij |. {z. }. 0. = Ωik ∧ ωjk + ωki ∧ Ωkj + dΩij ou seja, Ωik ∧ ωjk + ωki ∧ Ωkj + dΩij = 0.. (2.3). Sejam x ∈ M , uma U vizinhança de x, uma V seção local de SM e uma s seção local de FM ambas definidas em U . Podemos escrever V no referencial {e1 , · · · , en } dado por s, ou seja, V = v i ei . Como g(V, V ) = 1,. (2.4).