Desenvolvimento de um modelo numérico 2D para estudo de ondas de gravidade na atmosfera

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Geofísica Bacharelado em Geofísica

Desenvolvimento de um modelo numérico 2D

para estudo de ondas de gravidade na

atmosfera

Rafael Alves de Azevedo de Paula

Natal-RN Junho de 2018

Rafael Alves de Azevedo de Paula

Desenvolvimento de um modelo numérico 2D para

estudo de ondas de gravidade na atmosfera

Monograa de Graduação apresentada ao Departamento de Geofísica do Centro de Ci-ências Exatas e da Terra da Universidade Fe-deral do Rio Grande do Norte, sob orientação de Dr. Manilo Soares Marques e Coorienta-ção de Dr. Gilvan Luiz Barbo, como requisito parcial para a obtenção do grau de bacharel em Geofísica.

Natal-RN 2018

Paula, Rafael Alves de Azevedo de.

Desenvolvimento de um modelo numérico 2D para estudo de ondas de gravidade na atmosfera / Rafael Alves de Azevedo de Paula. -2018.

61f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas da Terra, Departamento de Geofísica, Bacharelado em Geofísica. Natal, 2018.

Orientador: Manilo Soares Marques. Coorientador: Gilvan Luiz Borba.

1. Ondas de gravidade Monografia. 2. Simulação numérica -Monografia. 3. Atmosfera - -Monografia. I. Marques, Manilo Soares. II. Borba, Gilvan Luiz. III. Título.

RN/UF/CCET CDU 551.511.31 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Rafael Alves de Azevedo de Paula

Desenvolvimento de um modelo numérico 2D para estudo de ondas de gravidade na atmosfera

Monograa de Graduação apresentada ao Departamento de Geofísica do Centro de Cincias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obtenção do grau de bacharel em Geofísica.

Aprovado em:___ /___ /______

Dr. Manilo Soares Marques

Orientador(a)

Departamento de Geofísica - DGef

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Dr. Milton Morais Xavier Junior

Departamento de Geofísica

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Dr. David Mendes

Departamento de ciências atmosféricas e climáticas - CAC Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

agradecimentos

Agradeço primeiro a Deus, por me conceder a oportunidade de estudar em uma Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN.

Agradeço também a meus pais Zeni Alves de Azevedo de Paula e Raimundo Evange-lista de Paula e as minhas irmãs Delza Ester Alves de Azevedo de Paula e Denize Hellen Alves de Azevedo de Paula, pelo apoio e incentivo.

Agradeço grandemente a Paulo Alves de Azevedo e a Isac Bezerra por me incentiva-rem, quando ainda era adolescente, a estudar e buscar desenvolvimento social e econômico através desse.

Agradeço a Isac Salém e Rachel Jerusa pelas aulas de matemática durante meu ensino fundamental, conhecimento adquirido que até hoje me ajuda.

Agradeço grandemente a família Guimarães e a família Lopes,os quais estavam sempre disponíveis a me receber em seu slares e pelo incentivo a continuar estudando.

Agradeço ao meu professor de Filosoa João Alberto, ao professor de biologia Alex pela desenvolvimento diferenciado de suas respectivas disciplinas durante o ensino médio. Os quais levo como exemplo de professor para a vida.

Agradeço aos amigos, Italo Dantas, Denis Rocha e Hadassa Jácome que me acompa-nharam nessa jornada apoiando e incentivando e compartilhando dos momentos bons e ruins durante a graduação.

Agradeço ao Dr. Manilo Soares Marques e Dr. Gilvan Luiz Borba pela paciência para tirar minhas dúvidas durante todo trabalho, e pelo aprendizado que obtive durante o desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço a Dr. Regia Pereira da Silva, pela disponibilidade para discussão do trabalho para uma melhor organização e desenvolvimento do trabalho.

Agradeço a pró-reitoria de assuntos estudantis - PROAE da Universidade Federal do Rio Grande do Norte pela assistência estudantil, fornecendo moradia e alimentação durante toda minha graduação, sem a qual não seria possível terminá-la.

Agradeço, por m, a todos que de alguma forma zeram parte dessa conquista, espe-rando que Deus possa recompensá-los da melhor maneira possível.

O primeiro gole do copo das ciências naturais pode até torná-lo ateu. Mas, no fundo do mesmo copo, Deus o aguarda.

resumo

A atmosfera terrestre pode ser entendida como um envoltório de gases, que circundam a superfície do planeta terra e essa é aprisionada pela atração gravitacional. Perturbações na região da troposfera (0 - 20km) como, tempestades, ciclones, vulcões e outros, podem causar propagações de ondas, a qual são chamadas de Ondas de Gravidade. O presente trabalho tem como objetivo desenvolver um modelo numérico 2D, que simula a propagação desse tipo de onda nas altitudes entre 0 e 90 km, uma vez que equipamentos que coletam dados nessa região são escassos e consequentemente apresentam um alto custo. Para teste do modelo usou-se as referências (SNIVELY; PASKO, 2008) e (SABATINI et al., 2016), que

simulam uma fonte convectiva e infrassônica, respectivamente. Para o primeiro trabalho esperava se encontrar uma interferência na propagação da onda na região de 20 e 30 km e foi isso que aconteceu. Para a fonte do segundo trabalho fez-se uma análise de velocidade das ondas que resultou em uma velocidade de 334,75 m/s na direção vertical e uma velocidade de 350 m/s para velocidades na direção horizontal, coerente com os mostrados nas referenciais, que indicam uma velocidade de 303- 338 m/s (TAHIRA, 2008). Contudo o modelo não está totalmente completo, uma vez que, após 303s de simulação apresenta erro. Com análise do desenvolvimento do perl de temperatura deniu-se como causador do problema as condições de contorno (esponja entre 90 - 100 km) na parte superior de nosso domínio computacional. A temperatura nessa região (90-100 km) apresenta variações de até 100 kelvin a qual não deveria ocorrer. Apesar disso o modelo pode ser considerado correto até antes desse problema, tomando como parâmetro a velocidade coerente com as referências e a validação do método computacional utilizado.

abstract

The Earth's atmosphere may be dened as an envelope of gas that stays around the planet for its gravitational force. Disturbances in the tropospheric region (0 - 20 km), as storms, cyclones and volcanic explosions, can tigger the propagation of Gravity Waves throughout the atmosphere. The objective of this work is the development of a 2D numerical model able to simulate the propagation of Gravity Waves in the region from the Earth's surface to the altitude of 90 km, since the current equipments used to collect data from this region are scarce and, consequently, expensive. In order to test the numerical model suggested here, the works (SNIVELY; PASKO, 2008) and (SABATINI et al., 2016), which simulate a

convective source and an infrasonic source, respectively, were considered. Using the initial conditions from the rst work, an interference in the wave propagation through the region between the altitudes of 20 and 30 km was noticed, as it was expected. With the data from the second reference, the wave velocities were calculated, resulting in 334,75 m/s in the vertical direction and 350 m/s in the horizontal direction. These values are consistent with the velocities indicated by (TAHIRA, 2008), 303 - 338 m/s. However, the model presented here needs more improvement, since it presents error after 303 seconds of simulation. In the formation of the temperature prole, for example, it was noticed that the source problem was the boundary conditions (absorbing sponge zone between 90 and 100 km) in the top region of the computational domain. The model presented variations of temperature of 100 Kelvin, what cannot happen.

Lista de guras

1 Ilustração surrealista de ondas na atmosfera, nota-se uma variedade de

frequências e comprimentos de ondas. . . p. 19 2 Modo de propagação das ondas. Gráco representando as regiões de

pro-pagação das ondas de gravidade. Na Região evanescente temos o número

de onda vertical igual a zero. . . p. 20 3 Reexão de uma onda de gravidade. Ilustração de uma onda de gravidade

reetida em um nível de reexão. Tem-se o perl de velocidade da onda

a esquerda do gráco. . . p. 22 4 Perl de temperatura potencial (linha preta contínua) e sua respectiva

derivada com a altitude(liha vermelha pontilhada) . . . p. 23 5 Duto de propagação. A imagem a) mostra as consecutivas reexões da

onda, e a imagem b) ilustra um perl vertical de número de onda,

indi-cando a presença de um duto. . . p. 24 6 Absorção de uma onda de gravidade. Ilustração da absorção de uma onda

de gravidade, note o perl de velocidade se aproximando da velocidade

de fase da onda causando sua absorção. . . p. 24 7 Ilustração de fontes. Note as fontes troposféricas como: ciclones,

tempes-tades, vulcões e variações na topograa. . . p. 25 8 Instabilidade de Kelvin-Helmholtz. Fenomeno de Kelvin ilustrado, onde

t0 é o menor valor de tempo e t8 é o maior. . . p. 26

9 Malha computacional estruturada, observe que todas as células tem 4

lados. . . p. 30 10 Malha computacional não estruturada. Nesse caso as células apresentam

3 lados. . . p. 30 11 Célula computacional. A célula apresenta 4 lados com seus respectivos

12 Malha cartesiana com seus respectivos índices da fronteira, do centro da

cédula e dos vetores normais. . . p. 33 13 Célula cartesiana. A malha cartesiana apresenta polígonos com lados

paralelos. . . p. 34 14 Aproximação de LxF. A imagem ilustra a aproximação , feita no método

LxF. . . p. 37 15 Aproximação de NT. A imagem ilustra a aproximação linear feita no

método NT. . . p. 38 16 Evolução na densidade. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no

trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente

t = 0.16s. . . p. 44 17 Evolução na velocidade vertical. O gráco da esquerda mostra a evolução

feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de

aproxima-damente t = 0.16s. . . p. 44 18 Evolução na pressão. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no

trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente

t = 0.16s. . . p. 45 19 Evolução na densidade. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no

trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente

t = 0.16s. . . p. 45 20 Evolução na velocidade vertical. O gráco da esquerda mostra a evolução

feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de

aproxima-damente t = 0.16s. . . p. 46 21 Evolução na pressão. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no

trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente

22 Domínio computacional. Imagem ilustrando o domínio computacional e

condições de contorno. . . p. 47 23 Perl de frequência de BruntVäisälä, o gráco mostra a solução analitica

e a solução do MSISE 90. . . p. 50 24 Parâmetros iniciais. Grácos das condições iniciais: densidade,

tempera-tura, pressão e coeciente de amortecimento. . . p. 51 25 Parâmetros iniciais. Grácos das condições iniciais: gravidade,

viscosi-dade cinética, difusiviviscosi-dade térmica e velociviscosi-dade do som. . . p. 52 26 Difusividade e viscosidade. Perl de difusividade térmica (linha listrada)

e viscosidade cinemática (linha contínua) utilizadas no artigo de estudo

de caso. . . p. 53 27 Perturbação na temperatura (fonte convectiva). Gráco (A) apresenta

perturbação no instante de tempo t = 144s e o (B) no instante de tempo

t = 208s. . . p. 54 28 Perturbação na temperatura (fonte convectiva). Gráco (C) apresenta

perturbação no instante de tempo t = 240s e o (D) no instante de tempo

t = 288s. . . p. 55 29 Perturbação na velocidade vertical (fonte infrassônica). Gráco (A)

apre-senta perturbação no instante de tempo t = 120s e o (B) no instante de

tempo t = 160, 7s. . . p. 56 30 Perturbação na velocidade horizontal (fonte infrassônica). Gráco (C)

apresenta perturbação no instante de tempo t = 120s e o (D) no instante

de tempo t = 160, 7s. . . p. 57 31 Evolução da viscosidade horizontal no tempo. Os grácos apresentam a

velocidade no instante de tempo t = 8s, t = 80s, t = 160s e t = 296s. . p. 58 32 Evolução do perl de temperatura no tempo. Os grácos apresentam a

velocidade no instante de tempo t = 8s, t = 80s, t = 160s e t = 296s. A

Lista de tabelas

1 Classicações das perturbações atmosféricas fundamentais quanto ao

pe-ríodo . . . p. 18 2 Paramêtros da fonte . . . p. 52

Sumário

1 Introdução p. 16

1.1 Organização do trabalho . . . p. 16

2 Ondas de gravidade p. 18

2.1 Frequência de BruntVäisälä . . . p. 19 2.2 Relação de dispersão das ondas de gravidade. . . p. 21 2.3 Reexão das ondas de gravidade . . . p. 21 2.4 Canalização de ondas de gravidade . . . p. 23 2.5 Absorção das ondas de gravidade . . . p. 24 2.6 Fontes geradoras de ondas de gravidade. . . p. 24 2.7 Conjunto de equações básicas . . . p. 26

3 Modelo numérico p. 28

3.1 Volumes nitos . . . p. 28 3.2 Malhas em volumes nitos - (FMV) . . . p. 30 3.3 Informações da célula . . . p. 31 3.4 Discretização da equação . . . p. 31 3.4.1 Discretização espacial . . . p. 32 3.4.2 Discretização no tempo . . . p. 32 3.5 Malha cartesiana . . . p. 33 3.6 Equações de Navier Stokes na forma conservativa. . . p. 34 3.7 Método de integração no espaço . . . p. 36

3.7.1 Método de integração no espaço de Lax-Fredrich - (LxF) . . . . p. 36 3.7.2 Método de integração no espaço de Nyssyahu e Tadmor . . . p. 38 3.7.3 Método de Kurganov e Tadmor . . . p. 39 3.8 Método de interpolação de variáveis . . . p. 40 3.9 Método de integração no tempo . . . p. 41 3.10 Absorbing Sponge Zone . . . p. 42 3.11 Validação do método . . . p. 43 3.12 Parametros iniciais e condições de contorno . . . p. 46

4 Resultados p. 50

4.1 Fonte convectiva . . . p. 50 4.2 Fonte infrassônica . . . p. 53 4.3 Possíveis causas para o problema . . . p. 54

5 Conclusões p. 59

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1 Introdução

Ondas mecânicas que se propagando na atmosfera com períodos variando de 5 a 180 minutos, são chamadas de ondas de gravidade. E esse nome foi designado, pois a prin-cipal força restauradora atuante é a gravitacional. Essas ondas podem se propagar da baixa atmosfera (Troposfera) para alta termosfera (MLT, do Inglês, Mesosphere and Lower Thermosphere). Os causadores dessas perturbações na troposfera estão relaciona-dos a eventos naturais como; tempestades, ciclones, sismicidade e vulcões. O porquê desse estudo, está relacionado ao fato de que essas ondas podem alcançar grandes altitudes che-gando até a ionosfera terrestre, causando variações de sua densidade eletrônica, podendo interferir em transmissão de sinais de satélite. Em vista, isso trabalho é consequentemente o ponta pé inicial para o desenvolvimento de um modelo que acoplaria atmosfera neutra com a ionosfera, a m de descrever essas perturbações. Este trabalho tem como objetivo: • I - O objetivo primário do trabalho foi desenvolver um modelo 2d que descrevesse a propagação de ondas de gravidade na atmosfera até 90 km de altura, aplicando-se dois estudos de caso, um para fonte convectiva e outro para fonte infrassônica. • II - Objetivo secundários é estudar os fenômenos de absorção e reexão dessas ondas

e qual seu papel no transporte de momentum e energia da baixa para alta atmosfera, com as condições iniciais retiradas de pers de balões atmosféricos lançados no estado do Rio Grande do Norte.

1.1 Organização do trabalho

O trabalho está organizado da seguinte forma:

• Capítulo 02: Introduzimos resumidamente os conceitos básicos de ondas de gravi-dade, quais suas fontes gerados e as equações que descrevem seu comportamento em uma atmosfera neutra.

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• Capítulo 3: Introduzimos o método dos volumes nito e um pouco sobre a notação utilizada. Apresentamos técnicas utilizadas nesse método, como o método de evo-lução no espaço Kurganov e Tadmor, método de interpolação de variáveis MUSCL e o método de evolução no tempo Runge Kutta Time Step. Retrata-se também so-bre o domínio computacional, as condições de contorno e os dados utilizados como condição inicial.

• Capítulo 4: Apresenta-se os resultados obtidos e uma discussão sobre as discrepância do programa com relação ao perl de temperatura.

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2 Ondas de gravidade

A atmosfera terrestre pode ser entendida como um envoltório de gases, que circundam a superfície do planeta terra, essa é aprisionada pela atração gravitacional. Ela pode ser estraticada segundo o gradiente de temperatura da seguinte forma: troposfera, estratos-fera, mesosfera e termosfera. Por se tratar de um uido e que nela existem fenômenos os quais a perturbam como, tempestades, abalos sísmicos, meteoritos e outros. Devido a esses eventos existem nela propagação de ondas mecânica (NAPPO, 2002). Se fosse

possí-vel possí-velas, encontraríamos uma variedade de tipos de ondas na atmosfera propagando-se em várias direções. Existem vários tipos de perturbações atmosféricas e são classicadas segundo seus períodos, como mostrado na tabela 1:

Tabela 1: Classicações das perturbações atmosféricas fundamentais quanto ao período Ondas Período

Acústica ≤5minutos Gravidade 5min - 3 horas

Marés tmosféricas 24/m horas (m=1,2,3...) Planetária ou Rossby ≥ 12 horas

Kelvin Dias/Semanas

Fonte: Retirado e modicado de (OLIVEIRA, 2016)

Dentre ondas listadas na tabela 1, uma tem chamado atenção de pesquisadores, as Ondas de Gravidade. Esse interesse cresceu quando Hines em 1960, sugeriu que essas ondas poderiam ocasionar transporte de momentum e energia, consequentemente interferindo em fatores climáticos. Trabalhos mais recentes, sugeriram que essas ondas poderiam se propagar na média e alta atmosfera, ocasionando perturbações na ionosfera.

C. O Hines, 160, foi um dos pioneiros no estudo de ondas de gravidade, ele fez uma representação surrealista da propagação das ondas de gravidade na atmosfera, e está representada na gura 1. Podemos observar ondas propagando-se em várias direções com diferentes comprimentos de ondas e frequências, algumas são reetidas outras refratadas, enquanto algumas simplesmente desaparecem.

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Figura 1: Ilustração surrealista de ondas na atmosfera, nota-se uma variedade de frequên-cias e comprimentos de ondas.

Fonte:(HINES, 1960)

2.1 Frequência de BruntVäisälä

Observa-se na tabela 1 que o período das ondas de gravidade varia entre 5 min a 180 min, para determina-lo utilizou-se a frequência de BruntVäisälä. A Frequência de BruntVäisälä é a frequência natural com que a atmosfera oscila, esse fator é importante, pois é o parâmetro utilizado para limitar a frequência máxima das ondas de gravidade. A equação 2.1 descreve o deslocamento δz de uma parcela de massa na altura z, levando em consideração que essa parcela de ar não se mistura com o ar ao seu redor durante o deslocamento, e que esse processo é adiabático, sem transferência de calor através da superfície da parede de ar:

d2_(δz) dt2 = − g θ ∂θ ∂zδz (2.1)

nessa equação g é a gravidade e θ é a temperatura potencial. A equação 2.1 é um exemplo de oscilador harmônico simples e tem solução do tipo:

δz(t) = AeiN t+ Be−iN t (2.2)

20 dado como: N = r g θ ∂θ ∂z, (2.3)

esta pode ser escrita em função da densidade, e obetem a forma: N2 = −g

ρ0

∂ρ0

∂z . (2.4)

A demonstração completa dessa equação está na referência (NAPPO, 2002).Note que

a frequência de Brunt na equação 2.3 depende da temperatura potencial, dessa forma teremos valores desse parâmetro para alturas diferentes. No trabalho de Medeiros, 2004, ele também demonstra essa frequência, admitindo um caso simples da atmosfera considerando pequenas variações de temperatura e pressão, na qual não ocorre perda de energia e a onda é plana. Ele mostra que a solução admite duas frequências distintas, uma relacionada a frequência de BruntVäisälä e a outra relacionada a frequência de corte acústico que é dado por:

ωa=

γg

2C (2.5)

onde C é a velocidade do som e está relacionado a p0 (pressão) e ρ0, já γ é a relação entre

calor especíco a volume constante. A frequência de corte acústica é o limite inferior de frequência das ondas acústicas.

Figura 2: Modo de propagação das ondas. Gráco representando as regiões de propagação das ondas de gravidade. Na Região evanescente temos o número de onda vertical igual a zero.

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Novamente, como a frequência de BruntVäisälä é a frequência máxima de uma Onda de Gravidade, temos então na gura 2 os modos de propagação de onda divididos por frequência em função do número de onda. Note que a região das ondas evanescentes tem propagação de onda somente na horizontal. As ondas de gravidade podem ser denominadas como propagantes ou evanescentes dependendo de sua característica. As ondas que se propagam na horizontal e vertical são as propagantes, já as evanescentes apresentam a característica de propagar-se somente na horizontal. As ondas internas de gravidade estão inseridas na classe de ondas propagantes.

2.2 Relação de dispersão das ondas de gravidade.

Para estudar a relação de dispersão usaremos a equação de dispersão inelástica para propagação livre de ondas de gravidades internas de alta frequência (GOSSARD; HOOKE,

1975), que é da seguinte forma:

m2 ≈ k 2 HN2 ωI − k2 H − 1 H2 (2.6)

nesse caso, foi desconsiderado os termos de difusividade térmica e da viscosidade molecu-lar, onde cada termo está listado abaixo.

• m, k, l - são os números de onda na direção z, x e y, respectivamente. • N2 _{- é a frequência de BruntVäisälä.}

• ωI - é a frequência intrínseca da onda.

• H - é altura escalar local. • kH = k2+ l2.

2.3 Reexão das ondas de gravidade

Para que ocorra a reexão de uma onda de gravidade, é necessário que exista um nível de reexão. Os níveis de reexão ocorrem no contato de uma região evanescente (m2 < 0) e propagante (m2 > 0), ver gura 3. A onda de gravidade é propagante quando a frequência de BruntVäisälä é maior que a frequência intrínseca da onda (N > ωI).

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um nível de reexão, como ilustrado na gura 3, analisando a equação 2.6 de dispersão vemos que quando a frequência intrínseca da onda é aproximadamente igual a frequência de BruntVäisälä, o número de onda tende a zero, consequentemente o comprimento de onda tende ao innito, como resultado ocorre a reexão da onda, caso a camada inferior ao nível de reexão continue fornecendo condições de propagação o número de onda m muda de sinal (PAULINO, 2012).

Figura 3: Reexão de uma onda de gravidade. Ilustração de uma onda de gravidade reetida em um nível de reexão. Tem-se o perl de velocidade da onda a esquerda do gráco.

Fonte:(SANTOS, 2008)

Os níveis de reexão podem ser formados por dois motivos: • I - Ocorrendo o aumento da frequência intrínseca da onda. • II - Ocorrendo a diminuição da frequência de Brunt.

No caso I, isso ocorre devido a variações verticais dos ventos horizontais. Quando o vento horizontal sopra no sentido contrário a propagação horizontal da onda , a frequência intrínseca aumenta proporcionalmente a intensidade do vento (PAULINO, 2012). Com o

au-mento da frequência intrínseca tem-se período intrínseco menor, ou seja, o vento atua bre-cando a propagação da onda. Ocorrendo um grande aumento da frequência intrínseca(ωI),

o número de onda vertical tende a zero e a onda é reetida.

Para o caso II, ocorre quando a frequência de BruntVäisälä diminui aproximando-se do valor da frequência intrínseca da onda. Como essa frequência depende diretamente da temperatura potencial, analisando o perl vertical de temperatura potencial da atmos-fera, ver gura 4. Nota-se uma variação no potencial de temperatura na região abaixo de 120 km, ou seja, abaixo dessa altitude existe uma maior possibilidade de ocorrência de níveis de reexões.

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Figura 4: Perl de temperatura potencial (linha preta contínua) e sua respectiva derivada com a altitude(liha vermelha pontilhada)

Fonte:Retirado e modicado de (PAULINO, 2012)

2.4 Canalização de ondas de gravidade

A canalização de uma onda de gravidade, ocorre quando tem-se dois níveis de reexões como ilustrado na gura 5, e denomina-se duto, em outras palavras um duto é formado por 3 camadas, evanescente, propagante e evanescente, consecutivamente. Nesse caso ocorre consecutivas reexões nos níveis causando o aprisionamento da onda. Se esse duto permanecer formado por um grande intervalo de tempo e possuir um comprimento relativamente maior que o comprimento de onda horizontal, a onda conseguira se propagar por grandes distância horizontais (PAULINO, 2012) .Teremos três tipos de dutos, são eles:

• I - Duto termal: Formado por dois níveis de reexão, causados por variação da temperatura potencial.

• II- Duto de Doppler : Formado por dois níveis de reexão, causados por variação vertical do vento horizontal.

• III- Duto dual: Formado por dois níveis de reexão, um causado por variação vertical do vento horizontal e o outro causados por variação da temperatura potencial.

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Figura 5: Duto de propagação. A imagem a) mostra as consecutivas reexões da onda, e a imagem b) ilustra um perl vertical de número de onda, indicando a presença de um duto.

Fonte:(ALENCAR, 2007)

2.5 Absorção das ondas de gravidade

A absorção de uma onda de gravidade ocorre em um nível de reexão ocasionado por variações verticais dos ventos horizontal, quando o vento horizontal é exatamente igual a velocidade de fase horizontal de uma onda de gravidade, a frequência intrínseca da onda tende a zero e o período intrínseco da onda tende ao innito, nesse caso a onda é rapidamente absorvida pela atmosfera, como ilustrado na gura 6.

Figura 6: Absorção de uma onda de gravidade. Ilustração da absorção de uma onda de gravidade, note o perl de velocidade se aproximando da velocidade de fase da onda causando sua absorção.

Fonte:(SANTOS, 2008)

2.6 Fontes geradoras de ondas de gravidade.

Com uma introdução de como as ondas de gravidade se comportam, ver-se agora as fontes geradoras de perturbações na atmosfera, no entanto, iremos no reter somente a

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perturbações troposféricas, ou seja perturbações na baixa atmosfera (troposfera). Quanto às fontes troposféricas geradoras, não se pode armar que todos os tipo de fontes foram descobertos, porém existem as mais evidentes que são: fontes topográcas, convectivas e cisalhamento do vento (wind shear) (FRITTS; ALEXANDER, 2003). Existem também o caso

de ondas geradas por fontes infra sônicas, que estão relacionados a erupção de vulcões, movimento de placas tectônicas (terremotos) ou explosões. Ondas geradas por esses fenô-menos, podem se propagar por grandes distâncias na atmosfera carregando informações importantes sobre os eventos que a gerou (SABATINI et al., 2016).

Figura 7: Ilustração de fontes. Note as fontes troposféricas como: ciclones, tempestades, vulcões e variações na topograa.

Fonte: Arise-project

A gura 7 ilustra algumas das fontes citadas anteriormente, um dos casos desenhados são obstáculos na topograa da superfície terrestre, como cordilheiras, colinas e monta-nhas, essas podem ser geradores de perturbações na atmosfera, entretanto depressões no terreno como cânions, bacias e vales podem também ser geradores desse evento, esses tipos de fonte é denominado Fonte Topográca (Topographic Generation). Essas perturbações, geradas por fonte topográca tem sido estudada mais que qualquer outro tipo de fonte, isso porque, ela tem um papel importante no transporte de momentum e energia da baixa atmosfera, para média e alta atmosfera (NAPPO, 2002).

Outro tipo de fonte são as convectivas como tempestades e ciclones. Vadas et al(2009), estudou, que atividades convectivas na região de Brasília, Brasil, podem ser geradores de ondas de gravidade de média escala (VADAS et al., 2009).

Uma fonte menos estudada, porém, muito comum na atmosfera, é o de Kelvin-Helmholtz (FRITTS; ALEXANDER, 2003). Esse fenômenos ocorre quando o cisalhamento de ventos percorrendo em sentidos oposto (ver gura 8), a interação entre a superfície de contato

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Figura 8: Instabilidade de Kelvin-Helmholtz. Fenomeno de Kelvin ilustrado, onde t0 é o

menor valor de tempo e t8 é o maior.

Fonte:(LEMES; RODRIGUES; ABANS, 2013)

entre os dois ventos pode gerar vortexs, e esses podem vir a gerar ondas de gravidade. A gura 7 também mostra outros fatores que podem gerar perturbações atmosféricas, porém neste trabalho estamos interessados em fatores troposférico.

2.7 Conjunto de equações básicas

Introduziremos as equações básicas que descrevem o comportamento das ondas de gravidade, que são as equações de Navier Stokes. Essas são equações diferenciais que descrevem o escoamento de uidos e são advindas do princípio da conservação.

A primeira equação é nomeada como Equação de Conservação de Massa, dada como: ∂ρ

∂t + ∇ · (ρ~v) = 0 (2.7) Na equação 2.7 temos que , ∇ é o operador gradiente, ρ é a densidade do uido e ~v é a velocidade no uido. Essa equação estabelece que a variação temporal de massa por unidade de volume dentro de um volume de controle innitesimal é igual a variação espacial do uxo de massa por unidade de tempo que cruza a superfície de controle. A segunda equação é conhecida como equação da conservação do momentum, dada como :

∂(ρ~v)

∂t + ∇ · (ρ~v~v + p~I) = ρ~g + ∇ · τ (2.8) onde ~I é o tensor identidade, g é a gravidade e τ representa os componentes do tensor

27

viscosidade. Para uidos newtonianos, em nosso caso de estudo, dado por: τij = µ( ∂vij ∂xi + ∂vj ∂xi −2 3δij ∂vk ∂xk ) (2.9)

A equação 2.8 descreve a taxa de quantidade de movimento que cruza uma superfície de controle. Por último temos a equação 2.10, que é a equação da conservação da energia, onde κ é a condutividade térmica , p a pressão e T a temperatura.

∂E

∂t + ∇ · {(E + p)~v} = ρ~g · ~v + (∇ · τ ) · ~v + κ∇

2_{T. (2.10)}

Sendo que a energia é escrita como:

E = ρ + 1

2ρ(~v~v) (2.11) o termo  é a densidade de energia interna calculada com a equação 2.12, onde γ é o calor especíco.

 = p (γ − 1)ρ =

κBT

28

3 Modelo numérico

Este capítulo tem como objetivo, introduzir o conceitos básicos sobre a técnica de volumes nitos, juntamente com os passos utilizados para construção do modelo. Além de introduzir a fonte dos parâmetros iniciais utilizados para a evolução das equações de Navier Stokes, e apresentar o domínio computacional do modelo e suas condições de contorno.

3.1 Volumes nitos

O método de volumes nitos (nite volume method - FVM) é grandemente utilizado nas soluções de equações diferenciais parciais - EDP's, e esse será o método numérico utilizado no modelo. Para melhor entendimento da teoria desta ferramenta indica-se ler a referência "Introductory Finite Volume Methods for PDE's", pois neste capítulo será feita apenas uma breve introdução, dessa forma, vamos como exemplo, considerar a seguinte equação na forma bidimensional:

∂U ∂t + vx ∂U ∂x + vz ∂U ∂z = 0. (3.1)

As variáveis independentes são t (tempo,[segundo]) , x e z (espaço para x e z,[metros]), a variável dependente é U = U(t, x, z) (densidade,[kg/m3_{]), por m, v}

x e vz são as

veloci-dades do uido na direção x e z, respectivamente. Para resolver uma equação diferencial parcial pelo método dos volumes nitos é necessário que a equação seja escrita na forma conservativa, deste modo tomando as seguintes condições:

~

29

sendo

~

v = vxˆi + vyˆj (3.3)

onde ˆi e ˆj são os vetores unitários da base cartesiana. Tomando agora as condições 3.2, 3.3 e aplicando em 3.1 temos:

∂U

∂t + ∇ · ~H = 0 (3.4) onde ∇ é o operador nabla dado como ∂

∂xˆi+ ∂

∂yˆj. Atentando para as unidades de ~H [ Kg/s

m ]

nota-se que o mesmo é o uxo de densidade. ~H será a quantidade de massa total que passa por uma área A. Integrado a equação 3.4 sobre uma região R do plano x, z tem-se:

Z Z R  ∂U ∂t  dR + Z Z R ∇ · ~HdR = 0 (3.5) no qual o termo RR_R∇ · ~HdR pode ser reescrito da seguinte forma, segundo o teorema de Green: Z Z R ∇ · ~HdR = I S ~ H · ~nds (3.6) onde ds é o deslocamento sobre k, fazendo a substituição encontra-se:

Z Z R ∂U ∂tdR + I S ~ H · ~nds = 0 (3.7) onde ˆn é o vetor normal a superfície S. Já o primeiro termo do lado esquerdo pode ser escrito como valor médio, dado por :

Z Z R ∂U ∂tdR = A ¯ ∂U ∂t (3.8)

em que A é a área sobre a região R. Por m, pode-se escrever a EDP (3.1) da seguinte maneira: ¯ ∂U ∂t = − 1 A I S ~ H · d~s (3.9)

30

A equação 3.9 está na forma semi integral e pode ser aplicada em qualquer região do plano xz.

3.2 Malhas em volumes nitos - (FMV)

Para aplicarmos o FVM na equação 3.9 deve-se discretizar o espaço em nitos polígo-nos, que também são chamados de células. As células têm uma forma arbitrária que pode ser escolhida pelo utilizador do método e existem dois tipos básicos de formas de polígo-nos: estruturados e não estruturados. No caso estruturado 2D as células são indicadas por um par de índices, normalmente (i, j), e as células necessariamente precisam de quatro lados. As vantagens de usar o método estruturado é que os índices (i, j) de cada célula é identicado facilmente e podem ser escritos como uma matriz de duas dimensões. Por outro lado o método não estruturado não é fácil identicar os índices (i, j) de cada celular, e essas não precisam ter quatro lados. As guras 10 e 11 mostram alguns exemplos de malhas.

Figura 9: Malha computacional estruturada, observe que todas as células tem 4 lados.

Fonte:(CAUSON; MINGHAM; QIAN, 2011)

Figura 10: Malha computacional não estruturada. Nesse caso as células apresentam 3 lados.

31

3.3 Informações da célula

O método dos volumes nitos é formado discretizando a equação 3.9 sobre cada célula de nossa malha computacional. Utilizaremos a seguinte notação: o índice n indica o passo no tempo, e o índice k representa a posição da célula.

• Ak é a área da célula, e k é normalmente escrito como i no caso 1D e (i, j) no caso

2D • Un

k é o valor médio da grandeza da célula k no passo de tempo n e esta exatamento no

centro de cada polígono. Nota-se que o tempo de evolução n ca acima da incógnita como um expoente.

• Sk é o vetor normal em cada lado da célula, que no caso estruturado são quatro.

Figura 11: Célula computacional. A célula apresenta 4 lados com seus respectivos vetores normais a cada lado.

Fonte:(CAUSON; MINGHAM; QIAN, 2011)

Um exemplo de uma célula genérica do tipo estruturada juntamente com os índices citados anteriormente, é mostrado na gura 11.

3.4 Discretização da equação

Vamos agora discretizar a equação 3.9 para aplicar o método, para isso é necessário discretizar no espaço e no tempo.

32

3.4.1 Discretização espacial

A integral da equação 3.9 é uma integral de linha ao redor do perímetro da célula k. H

SH · d~~ sserá o uxo total, o que é aproximado ao somatório do uxo nos 4 lados da célula

k, considerando um malha estruturada. ~H depende de U o qual é uma aproximação do valor médio no centro da célula no tempo n∆t dado Un

k. Deixando H

n _{como o uxo no}

tempo n da célula k. Dadas as condições, pode-se fazer uma aproximação da integral de linha da seguinte forma:

I S ~ H · d~s ≈ X lados ~ Hn· ~s (3.10)

então a equação 3.9 torna-se a forma discretizada da célula k. ∂U ∂t = − 1 Ak X lados ~ H_kn· ~sk (3.11)

3.4.2 Discretização no tempo

A discretização do tempo na equação 3.11 pode ter muitas formas, porém por simpli-cidade, nesta breve descrição, iremos usar uma aproximação por diferenças nitas do tipo forward (pra frente) que é:

∂U ∂t =

U_kn+1− Un k

∆t . (3.12)

Substituindo 3.12 na equação 3.11 e isolando o termo Un+1

k , obtem-se a equação

discreti-zada no tempo e no espaço, resultando em: U_kn+1= U_kn− ∆t Ak X lados ~ Hn_{· ~s} (3.13)

Com a equação discretizada, iremos introduzir a malha cartesiana. Estamos usando so-mente o uxo de densidade, como forma de simplicação, porém no modelo, que será descrito posteriormente, consideramos o uxo de outros parâmetros também.

33

3.5 Malha cartesiana

A gura 12 representa nossa malha cartesiana, nela observa-se vários polígonos com seus respectivos índices, os comprimento ∆x e ∆z são constante ao longo de toda malha. Nota-se os índices inteiros e fracionários na lateral da gura 12, por se tratar de um método semi-discreto os valores de U nas fronteiras, serão aproximações calculadas através de funções interpoladas, que dependem dos valores de U nos índices inteiros.

Figura 12: Malha cartesiana com seus respectivos índices da fronteira, do centro da cédula e dos vetores normais.

Fonte:Próprio autor.

Vamos analisar agora o uxo de densidade através desses retângulos. Considerando agora um único polígono da malha, como ilustrado na imagem 13.

Analisando a imagem ca claro que os vetores normais aos lados são paralelos, dessa maneira usando álgebra simples tem-se a forma reescrita da equação 3.13.

U_kn+1 = U_kn− ∆t ∆x∆y ~H n i+1 2,j · (∆yˆi) + ~H_i,j+n 1 2 · (∆xˆj) + ~H_i−n 1 2,j · (−∆yˆi) + ~H_i,j−n 1 2 · (−∆xˆj) (3.14) escrevendo ~H em termos de suas componentes:

~

34

Figura 13: Célula cartesiana. A malha cartesiana apresenta polígonos com lados paralelos.

Fonte: Próprio autor.

assim a equação 3.14 torna-se: U_kn+1 = U_kn− ∆t " Fn i+1₂,j− F n i−1₂,j ∆x # + " Gn i,j+1₂ − G n i,j−1₂ ∆y #! . (3.16) Note, os termos que F e G estão localizados na fronteira da célula, devido seu índice ser fracionado, veremos que esses dependem de U nos pontos conhecidos. Com os conceitos básicos sobre o método podemos considerar as equações que descrevem nosso problema.

3.6 Equações de Navier Stokes na forma conservativa.

Com a breve introdução de volumes nitos podemos agora considerar as equações citadas no nal do capítulo anterior, dessa forma reescrevendo as equações de Navier Stokes na forma conservativa, para aplicarmos o FMV,tem-se:

∂Q

∂t + ∇ · ~H(Q) = S(Q) (3.17) nesse caso,acoplamos nossos parâmetros em um sistema de equações e reescrevemos na

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forma matricial, onde obtém-se que:

Q =              ρ ρu ρw E              (3.18) S =              0 0 −ρg −ρw              (3.19)

onde S é o termo fonte e Q são os parâmetros independentes. H por se tratar de um vetor pode ser escrito como a soma das componentes vetoriais, o que retorna:

~ H = F (Q)ˆi + G(Q)ˆj (3.20) F = Fh− Fv ₌              ρu ρu2+ p ρuw (E + p)u              −              0 τxx τxz uτxx+ wτxz+ κ∂T_∂x              (3.21) G = Gh− Gv =              ρw ρuw ρw2+ p (E + p)w              −              0 τxz τzz uτxz+ wτzz + κ∂T_∂x              (3.22)

onde Fh _{e G}h _{são os termos conservativos do sistema, por sua vez F}v _{e G}v _{são os termos}

difusivos. Denindo nossos parâmetros e integrando a equação podemos fazer as substi-tuições executadas anteriormente na equação 3.9:

Z Z R ∂Q ∂tdA + Z Z R ∇ · ~H(Q)dA = Z Z R S(Q)dA (3.23) reescrevendo os termos RRR ∂Q

36

~

H(Q)dAsegundo Teorema de Green, encontramos: A∂Q ∂t + I R ~ H(Q) · ˆnds = AS(Q) (3.24) fazendo a discretização no espaço e no tempo, e fazendo a aproximação da integral de linha como o somatório de uxos dos lados do polígono da malha cartesiana e estruturada, temos: ¯ ∂Uk ∂t = − ∆t Ak 4 X s=1 ~ Hk(Q) · d~s +Sk¯(Q) (3.25)

3.7 Método de integração no espaço

O método de integração no espaço utilizado é o de Kurganov and tadmor - KT ( KUR-GANOV; TADMOR, 2000), porém para melhor entendimento da técnica será feita uma breve

introdução dos métodos que o precederam. Estes são os métodos Lax-Friedrich e Nessyahu e Tadmor, que é baseados no algoritmo REA: Reconstruction, Evolve, Average.

• 01- Reconstrução - É aproximar (interpolar) nossa solução de uma função. • 02- Evolução - Evoluir nossa solução no tempo n para n+1

• 03 - Média - Obter a solução na malha original para efetuar a média.

para cada passo existem técnicas especícas, mais a frente iremos descrever as utilizadas no modelo.

3.7.1 Método de integração no espaço de Lax-Fredrich - (LxF)

O método de Lax-Fredrich (LAX, 1990);(FRIEDRICHS, 1954) realiza uma aproximação

constante da solução, dessa forma, considerando a equação unidimensional a seguir: ∂U

∂t + ∂f

∂x = 0. (3.26)

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vermelho representam a solução real, e as linhas em azul a solução deslocada de nosso problema. A solução deslocada é calculada através de interpolações, com o objetivo de evitar o problema de Riemann. Mostra-se também na gura o que seria um volume de controle e um volume de controle dual.

Figura 14: Aproximação de LxF. A imagem ilustra a aproximação , feita no método LxF.

Fonte: Adapitado de (KURGANOV; TADMOR, 2000)

Integrando a equação 3.26 no volume de controle dual tem se: Z i+1 i Z n+1 n ∂U ∂tdtdx + Z n+1 n Z i+1 i ∂f ∂xdxdt = 0 (3.27) desenvolvendo a equação e usando a aproximação 3.28, obtem-se:

Ui+ 1 2 n = 1 ∆x Z i+1 i Un(x)dx (3.28) Un+ 1 2 i+1 = 1 2(U i+1 n + U i n) − ∆t ∆x[F (U n+1₂ i+1 ) − F (U n−1₂ i+1 )] (3.29)

fazendo aproximações por série de Taylor para os termos F (Un+1₂

i+1 )e F (U n−1₂ i+1 ), obtemos: Ui(t + ∆t 2 ) = U t i + ∆t 2 dUi dt ≈ U t i = U n i (3.30)

38 logo: U_i+n+11 2 = 1 2(U n i+1+ U n i ) − ∆t ∆x[F (U n i+1) − F (U n i )] (3.31) U_i−n+11 2 = 1 2(U n i + U n i−1) − ∆t ∆x[F (U n i ) − F (U n i−1)] (3.32)

dessa forma, a solução média na malha real é dado na forma: U_in+1 = 1 4(U n i+1+ 2Uin+ Ui−1n ) − ∆t ∆x[F (U n i+1) − F (Ui−1n )] (3.33)

3.7.2 Método de integração no espaço de Nyssyahu e Tadmor

Para o método NT (NESSYAHU; TADMOR, 1990) utilizaremos os mesmo passos usados

no método LxF, porém consideraremos aproximações lineares dentro de cada volume dual e de controle, como ilustrado na gura 15.

Figura 15: Aproximação de NT. A imagem ilustra a aproximação linear feita no método NT.

Fonte:Adapitado de (KURGANOV; TADMOR, 2000)

Utilizando a mesma equação e fazendo passos semelhantes aos que foram aplicados no método LxF chega-se ao seguinte resultado:

39 ¯ U_in+1 = 1 4( ¯U n i+1+ 2 ¯U n i + ¯U n i−1) − ∆x 16[(Ux) n i−1) − (Ux)ni+1]+ ∆x 8 [(Ux) n i−1₂) − (Ux) n i+1₂] − ∆t 2φ∆x[f ( ¯U n+1₂ i+1 − f ( ¯U n+1₂ i−1 )] (3.34) para os termos Un+1₂

i faz-se uma aproximação por série de taylor

¯ Un+ 1 2 i = ¯U − ∆t 2 dF ( ¯U_in) dx (3.35)

3.7.3 Método de Kurganov e Tadmor

Em ambos os métodos vistos anteriormente utilizou-se uma velocidade global, em am-bos os casos. Já o método KT (KURGANOV; TADMOR, 2000) utiliza-se de uma velocidade

local, calculada em cada célula da malha, dessa forma o volume de controle se ajusta para cada velocidade encontrada. Pode-se dizer, então que, o método NT é um caso particular do método KT. Usando as variáveis de nosso problema temos:

F_i−h 1 2,j = 1 2 nh F (QR_i−1 2,j ) + F (QL_i−1 2,j ) i − a_i−1 2,j h QR_i−1 2,j − QL_i−1 2,j io (3.36) F_i+h 1 2,j = 1 2 nh F (QR_i+1 2,j ) + F (QL_i+1 2,j )i− a_i+1 2,j h QR_i+1 2,j − QL i+1₂,j io (3.37) F_i+v 1 2,j = 1 2  Fv  Qi,j, ui+1,j− ui,j ∆xi,j  + Fv  Qi+1,j, Qi+1,j− ui,j ∆xi,j  (3.38) F_i−v 1 2,j = 1 2  Fv  Qi−1,j, Qi,j− Qi−1,j ∆xi−1,j  + Fv  Qi,j, Qi,j − Qi−1,j ∆xi−1,j  (3.39) Esses são os termos associados a F (Q)ˆi, da mesma forma deve ser feito para os termos associados a G(Q)ˆj, diferindo somente de que o índice i permanece constante e j varia. Note o termo novo a, que é a função qual retornará a maior velocidade localmente. Esse é obtido calculando os autovalores da matriz jacobiana, dessa forma devemos utilizar o

40

maior auto valor, denota-se então: a_i+1 2,j = max " ρ ∂F (QL i+1 2,j (t)) ∂Q ! , ρ ∂F (QR i+1 2,j (t)) ∂Q !# . (3.40) Para o caso unidimensional, tomando as seguintes condições:

M = m 2 ρ + (γ − 1)( − m2 2ρ) (3.41) N = m ρ +   + (γ − 1)( − m 2 2ρ)  (3.42) onde m é o momentum em x, teremos uma matriz jacobiana quadrada três por três, resul-tando em um polinômio de terceiro grau. Dessa forma teremos os seguintes autovalores:

λ1 = u (3.43)

λ2 = u + c (3.44)

λ3 = u − c (3.45)

onde c = qγP

ρ , e é a velocidade do som. Para a demonstração completa desses termos,

indica-se a referência  Computational uid dynamics (ANDERSON; WENDT, 1995).

3.8 Método de interpolação de variáveis

No presente modelo usaremos o interpolador Monotonic Upwind Scheme for Conser-vation Laws - MUSCL (LEER, 1979). Com esse método podemos extrapolar valores nas

fronteiras de cada célula a partir dos valores nos nós. Assim teremos dois novos índices que indicando interpolação a direita (índice R) e a esquerda (índice L) do polígono. Dessa forma usaremos a notação de Kermani (KERMANI A. G. GERBER, 2003) escrito da seguinte

forma: QL_i+1 2,j = Qi,j+ φi,j 4 h (1 − κ)δQ_i−1 2,j+ (1 + κ)δui+ 1 2,j i (3.46)

41 QR_i+1 2,j = Qi+1,j− φi+1,j 4 h (1 − κ)δQ_i+3 2,j + (1 + κ)δQi+ 1 2,j i (3.47) QL_i−11 2,j = Qi−1,j + φi−1,j 4 h (1 − κ)δQ_i−3 2,j + (1 + κ)δQi− 1 2,j i (3.48) QR_i−1 2,j = Qi,j− φi,j 4 h (1 − κ)δQ_i+1 2,j+ (1 + κ)δQi− 1 2,j i (3.49) onde κ = 1

3 para terceira ordem, e:

δQ_i+1 2,j = (Qi+1,j − Qi,j) (3.50) δQ_i−1 2,j = (Qi,j− Qi−1,j) (3.51) δQ_i+3 2,j = (Qi+2,j− Qi+1,j) (3.52) δQ_i−3 2,j = (Qi−1,j − Qi−2,j). (3.53)

Oscilações podem ocorrer, dessa forma podemos preveni las usando o limitador de uxo van Albada(φ) (ALBADA; LEER; ROBERTS, 1982). Esse limitador pode ser escrito de

várias formas, o utilizado no modelo é escrito da seguinte maneira: φi,j =

2(Qi,j− Qi−1,j)(Qi+1,j − Qi,j) + e

(Qi,j − Qi−1,j)2+ (Qi+1,j− Qi,j)2+ e

(3.54) Onde e é um valor muito pequeno, utilizado para prevenir indeterminações em regiões com gradiente igual a zero. Aqui foi mostrado apenas a evolução na direção i, o mesmo deve ser feito para a direção j, mantendo i xo.

3.9 Método de integração no tempo

Por m para evolução no tempo usaremos o Runge-Kutta Time Step Schemes de terceira ordem que consiste na evolução do tempo em três passos da seguinte forma:

42 Q(0) = Qn (3.55) Q(1) = Q(0)− ∆tP Q(0) _(3.56) Q(2) = Q(0)−∆t 2 (P Q (0)_{+ P Q}(1)_{) (3.57)} Q(2) = Q(0)−∆t 2 (P Q (0)_{+ P Q}(2)_{) (3.58)} Q(n+1) = Q(3) (3.59)

onde n é o tempo e ∆t é o passo de tempo, e P é: P = −1 A 4 X k=1 ~ Hk(Q) · ~dlk+ ~S(Q) (3.60)

O passo de tempo é sujeito a um criterio de estabilidade. Para determinar o ∆t usaremos uma versão da condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) dado como:

(∆tCF L) =  |u|i,j ∆x + |w|i,j ∆y + ai,j r 1 ∆x2 + 1 ∆y2 + 2ν 0 i,j  1 ∆x2 + 1 ∆y2  (3.61) onde: ν_i,j0 = max 4 3µi,j(γµi,j/P r) ρi,j  (3.62) para 0.5 ≤ K ≥ 0.8, onde K é o numero de Courant.

∆t = min[K(∆tCF L)] (3.63)

3.10 Absorbing Sponge Zone

A velocidade de propagação das ondas aumentam bruscamente, conforme atingem altitudes mais elevadas, mas precisamente após 100 km de altura. Isso ocorre devido ao decréscimo de densidade, dessa forma é necessário usarmos uma esponja (absorbing sponge zone). O ASZ(absorbing sponge zone) é uma técnica muito utilizada para ab-sorção nas condições de contorno am de evitar reexões geradores de instabilidades numéricas(ZHOU; WANG, 2010a). Onde se acopla a esponja (ASZ) é denominado domínio

43

ASZ, aplicando essa técnica nas equações de Navier Stokes, o termo fonte nesse domínio passar a ser escrito da seguinte forma.

S = σQ        ρ − ¯ρ ρu − ¯ρu ρw − ¯ρw E − ¯E        +        0 0 −ρg −ρw        (3.64)

onde σ é o coeciente de absorção. O termo fonte S = σ(Q − ¯Q) ajusta os valores de Q a m de obter Q − ¯Q = 0 e σ é zero no domínio físico (domínio sem esponja) e cresce gradualmente no domínio ASZ.

3.11 Validação do método

Para validação do método será reproduzido dois problemas de Riemann, como feito na referência (KURGANOV; TADMOR, 2000). Diferenciando de que usou-se o limitador de

uxo van Albada no lugar do minmod. Desconsiderando os termos difusivos para o caso 1D das equações de Navier Stokes temos:

∂ ∂t     ρ m E     + ∂ ∂x     m ρu2+ p u(E + p)     = 0 (3.65) p = (γ − 1)(E −ρu 2 2 ) (3.66)

fazendo com que ~u = [ρ, m, e]T _{e o vetor de uxo seja f(~u) = [m, ρu}2 _{+ p, u(E + p)]}T_,

temos que resolver o problema de Riemann dado genericamente como: ~

u(x, 0) = ~uL se x < 0 (3.67)

~

u(x, 0) = ~uR se x > 0. (3.68)

Primeiro reproduziu-se o problema de Riemann proposto por Sod (SOD, 1978), dado

como:

~

44

que apresentou os resultados da gura 16 a 18.

Figura 16: Evolução na densidade. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

Figura 17: Evolução na velocidade vertical. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

Reproduzimos também o problema de Riemann proposto por Lax (LAX, 1990), dado

como:

~

45

Figura 18: Evolução na pressão. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

que apresentou os resultados ilustrados nas guras 19 a 21.

Figura 19: Evolução na densidade. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

Com esses testes podemos dizer que nosso modelo está funcionando corretamente, feito isso podemos introduzir nossas condições de contorno e parâmetros iniciais.

46

Figura 20: Evolução na velocidade vertical. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

Figura 21: Evolução na pressão. O gráco da esquerda mostra a evolução feita no trabalho de Kurganov e Tadmor, 2000, e o gráco da direita a evolução feita pelo nosso modelo. Ambos para um tempo de aproximadamente t = 0.16s.

Fonte:(KURGANOV; TADMOR, 2000)

3.12 Parametros iniciais e condições de contorno

Na gura 22 tem-se uma ilustração do que seria nosso domínio computacional, nas fronteiras laterais (direita e esquerda), tem-se um uxo aberto, ou seja, a energia passa diretamente e se perde.

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Figura 22: Domínio computacional. Imagem ilustrando o domínio computacional e con-dições de contorno.

Já nas fronteiras horizontais, tem-se uma parede na parte inferrior, e na parte superior aplicou-se uma esponja. Nas direções de x tem-se um espaçamento entre os nós de 200 metros, e na direção de z temos um espaçamento de 200 metros.

Para iniciarmos o processo de evolução é necessário inserirmos os parâmetros iniciais (ou condições inicial da EDP), para isso utilizou-se dados retirados do modelo "MSIS-E-90 Atmosphere Model"(HEDIN, 1991)(https://ccmc.gsfc.nasa.gov/modelweb/models/msis_

vitmo.php), nesse é possível obter um perl vertical de valores de Temperatura, densidade, volume de [O], [O2]e [N2] além de outros parâmetros. Os valores de velocidade de vento

são calculados no próprio modelo, a partir dos parametros iniciais, realizando evolução das quações no tempo a m de estabilizar a atmosfera e obter valores dessas velocidades na direção x e z. Os valores de gravidade foram calculados através de equação da gravitação universal de Newton. Para que o modelo numérico seja estável é necessário compensar as mudanças da composição química conforme a altura (SNIVELY; PASKO, 2008). Usando o perl de volume de [O], [O2] e [N2], pode-se estimar γ usando uma média ponderada,

dada:

γ = 1.4([M ] + [O]) + 1.67[O]

[M ] (3.71)

juntamente com a massa molecular média: ¯

M = 28[N2] + 32[O2] + 16[O]

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Usando o perl de temperatura e densidade cria-se uma atmosfera estável. Por m usamos a equação dos gases ideiais para calcular a pressão:

p = ρRT_¯

M (3.73)

onde R é a constante universal dos gases, que é aproximadamente 8.314kJK−1_mol−1_{. A}

viscosidade dinâmica é calculada usando a lei de Sutherland:

µ(T ) = µref  T Tref 3/2 TrefTs T + TS (3.74) onde Tref é a temperatura de referência, µref é a viscosidade dinâmica de referência e Ts é

a temperatura de Sutherland. Para o perl de difusividade térmica, basta multiplicarmos a viscosidade cinética por um fator de 1.5. Para o coeciente de amortecimento usamos a equação:

σ = σ(x, z, t) = σ0 2

1+cos[πA(x)C(z)]

(3.75) onde x ∈ [xmin, xmax], x ∈ [zmin, zmax] e x ∈ [zmin, zmax], e:

A(x) = 1 − max[1 − (x − xmin)/Lx, 0] − max[1 − (xmax− x)/Lx, 0] (3.76)

C(z) = 1 − max[1 − (z − zmin)/Lz, 0] − max[1 − (zmax− z)/Lz, 0] (3.77)

onde Lx e Lz são os comprimentos do domínio ASZ nas direções x e z, respectivamente

(ZHOU; WANG, 2010b). Sintetizando, os parametros foram obtidos da seguinte maneira:

• Temperatura - MSIS-E-90. • Densidade - MSIS-E-90

• Gravidade - Calculado com a equação da gravitação universal de Newton. • Velocidade de vento - Calculado pelo modelo.

• Viscosidade dinâmica - Calculado com a equação 3.74 . • Difusividade térmica - 1.5 vezes µ.

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• Pressão - Calculado pela equação dos gases ideiais, p = ρRT_M . • Coeciente de amortecimento - Calculado pela equação 3.75. • Velocidade do som - Calculado pela equação c =qγP_ρ .

com as condições iniciais da atmosfera bem denida, pode-se dar início ao processo de evolução das equação.

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4 Resultados

4.1 Fonte convectiva

O artigo Excitation of ducted gravity waves in the lower thermosphere by troposphe-ric sources, (SNIVELY; PASKO, 2008), apresenta três casos de estudo de perturbações

atmosféricas, nosso objetivo será refazer o primeiro caso de estudo, com o modelo feito. A gura 23 mostra o perl de frequência de Brunt. Note que na região de 20 - 30 km tem-se uma transição de sinal do gradiente, esperasse então que exista um nível de reexão nesses lugares.

Figura 23: Perl de frequência de BruntVäisälä, o gráco mostra a solução analitica e a solução do MSISE 90.

Fonte:(SNIVELY; PASKO, 2008)

A fonte utilizada é convectiva e simula uma tempestade, a equação que a descreve é dada como:

51 Fs(x, z, t) = F0exp  −(x − x0) 2 2σ2 x −(z − z0) 2 2σ2 z − (t − t0) 2 2σ2 t  cos(kxx) cos(ωt) (4.1)

onde x0 e z0 indicam a posição da fonte, t0é quando a fonte é acionada e F0 é a magnitude

da fonte (SNIVELY; PASKO, 2008). Os parâmetros atmosféricos, como foi mencionado,

foram extraídos do MSIS-E-90 e a partir deles foi possível calcular os demais parâmetros, os gracos 24 e 25 mostram o perl desses parâmetros.

Figura 24: Parâmetros iniciais. Grácos das condições iniciais: densidade, temperatura, pressão e coeciente de amortecimento.

Fonte:Própio autor

Os parâmetros são das 12:00h do dia 15 de junho de 2001, horário local, com lo-calização −11◦ _{latitude, 131}◦ _{longitude. Em nosso modelo tomaremos algumas medidas}

diferentes com relação aos parâmetros, por exemplo, a difusividade térmica e viscosidade cinética. O gráco 24 mostra que consideramos um acréscimo com relação a altitude, já o trabalho considera ela constante até 100km como mostra a gura 26.

A tabela 2 mostra os parâmetros utilizados na equação da fonte. No trabalho de Snively, 2008 a fonte foi acionada no tempo t0 = 600s e em nosso modelo no tempo

t0 = 20s. O motivo foi que em nosso modelo ocorre um erro após 303s de simulação. Esse

problema será mais explorado posteriormente. Outro parâmetro diferente foi a magnitude da fonte, na qual usamos 1.5 · 10−7_.

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Figura 25: Parâmetros iniciais. Grácos das condições iniciais: gravidade, viscosidade ci-nética, difusividade térmica e velocidade do som.

Fonte:Própio autor Tabela 2: Paramêtros da fonte

τ (min) λx(km) σx(km) σz(km) σz(km) artigo 6.05 31.4 30 3 2000 modelo 6.05 31.4 30 3 2000 x0(km) z0(km) t0(s) F/ρ(m4s−2) artigo 600 12 600 ρ−110−7 modelo 600 12 20 1.5 · 10−7

Com isso obtivemos os resultados apresentados nas guras 27 e 28. Cada gura apre-senta dois grácos de perturbação em dois instantes de tempo diferentes. Os grácos mostram somente a perturbação, foi feita a diferença com um perl não perturbado para que restasse somente as variações associada às perturbações da fonte. Analisando o gráco 27B que são perturbações na temperatura, nota-se uma interferência na propagação de energia térmica na região de 20 e 30 km, o que é coerente, uma vez que, a relação de dispersão dessa onda está associada a variações na frequência de BruntVäisälä. A gura 23 que mostra o perl da frequência que apresenta variação na mesma região em que ocorre a interferência da onda, dessa forma esperava-se esse tipo de ocorrência na região. A esponja de nosso modelo começa a atuar em 90 km de altura e termina em 100km. O gráco 27D tem-se um grande acúmulo energia nessa região (início da esponja), a esponja deveria amortecer isso, porém por algum motivo o modelo explode. Apesar disso podemos considerar a simulação válida, uma vez que avaliamos o método no tópico 3.11.

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Figura 26: Difusividade e viscosidade. Perl de difusividade térmica (linha listrada) e viscosidade cinemática (linha contínua) utilizadas no artigo de estudo de caso.

Fonte:(SNIVELY; PASKO, 2008)

4.2 Fonte infrassônica

Apesar de nao apresentar interferências na propagação de ondas relacionado a essa fonte, podemos usá la como parâmetro para uma análise de velocidade de propagação das ondas. A equação que descreve essa fonte é dada, (SABATINI et al., 2016):

Λs(x, z, t) =

As

2 sin(ωst)[1 − cos(ωs)]exp(−log(2)(x

2_{+ z}2_)/b2

s (4.2)

onde As é a magnitude da fonte expressa em _mJ3_s. A meia largura da fonte gaussiana é

dada por bs = 600m e a frequência central é fs = ω_2πs = _T1_s, e a duração de emissão da

fonte é Ts=10s.

As guras 29 e 30 apresentam os grácos relacionada a variação de velocidade ho-rizontal e vertical, através na análise do espaço percorrido e o tempo de cada um dos grácos, calculou-se a velocidade média da velocidade, que foi de 334,75 m/s para ve-locidade vertical e de 350m/s para veve-locidade horizontal. Isso nos dá mais um indício de que o modelo funciona corretamente, uma vez que a literatura dá uma velocidade de 303 − 338m/s(TAHIRA, 2008). As condições iniciais foram as mesmas utilizadas na fonte

convectiva, porém por algum motivo não houve uma interferência na propagação de ondas na região de 20 e 30 km de altura.

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Figura 27: Perturbação na temperatura (fonte convectiva). Gráco (A) apresenta pertur-bação no instante de tempo t = 144s e o (B) no instante de tempo t = 208s.

Fonte:Própio autor

4.3 Possíveis causas para o problema

Não se sabe ao certo as causas do problema no modelo após 303s de simulação, porém pode-se considerar duas possibilidade. Um relacionado a evolução do vento vertical com o tempo e o segundo seria a evolução da temperatura. Analisando os gracos 31 e 32, pode-se acompanhar a evolução despode-ses parametros. Nota-pode-se no perl de velocidade vertical um salto inicial (gráco 31 A e B) que não deveria existir, a principio acreditou-se que esse seria a causa do problema, porém esse salto inicial foi corrigido considerando que a superfície da terra estaria 1000m acima do nível do mar. No entanto a evolução desse parâmetro permaneceu a mesma, o que leva a acreditar que essa oscilação numérica não interfere na evolução do método.

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Figura 28: Perturbação na temperatura (fonte convectiva). Gráco (C) apresenta pertur-bação no instante de tempo t = 240s e o (D) no instante de tempo t = 288s.

Fonte:Própio autor

abrupta na região de 90-100km de altura no tempo t = 296s, com relação a temperatura inicial, exatamente onde se encontra a esponja. Isso não é um resultado esperado, uma vez que não existe literatura que mostra um perl de temperatura da atmosfera dessa forma. Analisando também a gura 32D, vemos pequenas variações na parte superior do gráco. São ondas adentrando no domínio computacional, essas pequenas perturbações são causadas pela condição de contorno superior. Isso causa um acúmulo de energia na região entre 90 e 100 km, que toma maiores proporções após t = 296, com um acréscimo de temperatura de até aproximadamente 100k. com isso dá-se como causa do problema a condição de contorno superior mal posta.

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Figura 29: Perturbação na velocidade vertical (fonte infrassônica). Gráco (A) apresenta perturbação no instante de tempo t = 120s e o (B) no instante de tempo t = 160, 7s.

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Figura 30: Perturbação na velocidade horizontal (fonte infrassônica). Gráco (C) apre-senta perturbação no instante de tempo t = 120s e o (D) no instante de tempo t = 160, 7s.

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Figura 31: Evolução da viscosidade horizontal no tempo. Os grácos apresentam a velo-cidade no instante de tempo t = 8s, t = 80s, t = 160s e t = 296s.

Fonte:Própio autor

Figura 32: Evolução do perl de temperatura no tempo. Os grácos apresentam a velo-cidade no instante de tempo t = 8s, t = 80s, t = 160s e t = 296s. A linha listrada é a temperatura no tempo t = 0.

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5 Conclusões

O modelo é coerente, uma vez que apresenta velocidade de ondas na atmosfera con-dizente com as literaturas e o método utilizado foi validado no tópico 3.11. No entanto se faz necessário a correção desse problema para análise do desenvolvimento das ondas após esse tempo. Tanto no caso de fonte convectiva e infrassônica, a média de tempo para desenvolver as equação, até antes de ocorrer o problema nas bordas(303s), é de 12 horas, usando um computador de processador core i7 com 16Gb de memória ram. Nos traba-lhos como base utilizados (SNIVELY; PASKO, 2008),(SABATINI et al., 2016) simulam tempos

maiores que 2400s, o que daria aproximadamente 4 dias de processamento, concluindo-se então que é necessário um computador mais robusto quanto ao processamento de dados, ressaltando também a necessidade de um disco rígido com maior capacidade, para arma-zenamento do dado em cada passo de tempo. O objetivo primário não foi completamente desenvolvido, e no objetivo secundário nem sequer demos início, isso devido ao problema na borda do modelo e pelo escasso período de tempo para o desenvolvimento do traba-lho. No entanto pode-se tirar conclusões signicativas quanto as ferramentas e técnicas utilizadas no trabalho.

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