Funções e Conceitos de Dinâmica - Parte I

PRINCIPAIS CONTEÚDOS

Dinâmica linear e não-linear em tempo discreto.

Conceito de mapa dinâmico.

Análise da estrutura de mapas não-lineares.

Cálculo dos pontos fixos de mapas não-lineares.

Caos

DINÂMICA

Ramo da matemática que estuda o comportamento de sistemas dinâmicos, quaisquer que estes sejam.

Divide-se em dinâmica linear e não-linear, e trabalha com o estudo e modelação de sistemas dinâmicos em tempo discreto e tempo contínuo.

No caso de não haver nenhuma componente aleatória externa (ruído), trabalha-se com sistemas

CONCEITO DE FUNÇÃO

Uma função pode ser pensada em termos de uma forma fundamental de computação que transforma um input num output, segundo uma regra que define o sistema de correspondências estabelecido.

O conjunto de possíveis inputs para uma função designa-se por domínio da função, o conjunto de outputs corresponde ao contradomínio da função. Uma propriedade característica de uma função é que atribuí a cada elemento do domínio um e um só elemento do contradomínio, de tal modo que não existe incerteza, no sentido em que dado o input (elemento do domínio) existe apenas um output (chamado de imagem no contradomínio).

CONCEITO DE FUNÇÃO

Funções são, em termos matemáticos, formas primitivas/fundamentais de computação, que transformam cada elemento de um domínio num, e apenas um, elemento no contradomínio.

Podemos considerar o domínio como um subconjunto próprio ou impróprio de um conjunto de partida e o contradomínio como um conjunto próprio ou impróprio de um conjunto de partida.

Uma função cujo domínio seja um subconjunto próprio do conjunto de partida é dita parcial (falha num ponto específico da definição de função).

FUNÇÃO COMPOSTA

f g

FUNÇÃO COMPOSTA

𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑧 = 𝑔 𝑦

𝑧 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥

Aplicações sucessivas de uma mesma função (base do conceito de mapa dinâmico e de iteração):

REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS DE FUNÇÕES

COMPOSTAS

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑔 ∙ 𝑑𝑔 𝑑𝑥 𝑓₁ ∘ 𝑓₂ ∘ ⋯ ∘ 𝑓_𝑛: 𝑑𝑓1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓₁ 𝑑𝑓₂ ∙ 𝑑𝑓₂ 𝑑𝑓₃ ∙ ⋯ ⋅ 𝑑𝑓_𝑛 𝑑𝑥

CASO 1: LEI DE MOORE

LEI DE MOORE

Gordon Moore: cofundador da Intel Corporation: a cada 18 meses a capacidade de processamento dos computadores duplica (Lei de Moore, 1965).

A cada ano o número de transístores é 1.416515525 vezes superior ao do ano anterior, logo, a cada dois anos cresce por um factor de 2.833031, que é aproximadamente igual a 3 (um pouco mais rápido do que o previsto na altura por Moore).

PROBLEMA

Como modelar matematicamente este crescimento? Quais as implicações para a gestão aeronáutica?

Passo 1: Necessitamos de definir o domínio de valores apropriado para o modelo de crescimento (definição do espaço de fases (também conhecido por espaço de estados)).

DEFINIÇÃO DO ESPAÇO DE FASES

Dado que o número de transístores não pode ser negativo e é um número inteiro vamos utilizar o espaço ℕ₀.

DEFINIÇÃO DA LEI DINÂMICA (FUNÇÃO DE

TRANSIÇÃO DE ESTADO)

𝑛_𝑡- número de transístores no momento t.

Valores são bienais (intervalo de tempo discreto para as observações). 𝑛_𝑡 = 𝑓 𝑛_𝑡−1

Dado que a cada dois anos o número de transístores por microprocessador aproximadamente triplica, então, a função é dada por: 𝑓 𝑛_𝑡−1 = 3𝑛_𝑡−1, de onde resulta a equação dinâmica:

ESTUDO DA DINÂMICA

𝑛₀ 𝑛₁ = 3𝑛₀ 𝑛₂ = 3𝑛₁ = 3 3𝑛₀ = 32𝑛₀ 𝑛₃ = 3𝑛₂ = 3 3𝑛₁ = 3 3 3𝑛₀ = 33𝑛₀

…

Questão: para cada valor 𝑛_𝑡 qual a relação com 𝑛₀ (função composta)?

SIMULAÇÃO: 𝑛

₀

= 1

1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Simulação de Número de Transístores por Circuito Integrado

GENERALIZAÇÃO DINÂMICA: O MAPA LINEAR

𝑥_𝑡+1 = 𝑟𝑥_𝑡

SIMULAÇÃO

Simular iterações do mapa para:

 r = 0.9  r = 1.416515525  r = 1  r = 0  r = -0.9  r = -1.416515525  r = -1

r=0.9 r=1.416515525

r=-0.9 r=-1.416515525

DINÂMICAS PARA O MAPA LINEAR EM FUNÇÃO

DO PARÂMETRO E CONDIÇÃO INICIAL

Dinâmica de ponto fixo: 𝑟 ∈ 0,1 . Para além do ponto fixo com 𝒙_𝟎 > 𝟎: Crescimento exponencial: 𝑟 > 1.

Decaimento exponencial: 0 < 𝑟 < 1.

Oscilações decrescentes (decaimento alternado): −1 < 𝑟 < 0. Oscilações crescentes (crescimento alternado): 𝑟 < −1.

Ciclo de período 2 (dinâmica periódica): 𝑟 = −1. Exercício: estudar a dinâmica para 𝒙_𝟎 < 𝟎.

EQUAÇÃO GERAL PARA AS ÓRBITAS DO MAPA

LINEAR

Função exponencial: 𝑥_𝑡 = 𝑟𝑡𝑥₀, para 𝑡 ∈ ℕ₀. Se 𝑟 = 0: 𝑥_𝑡 = 0, para 𝑡 = 1,2, …. Se 𝑟 = 1: 𝑥_𝑡 = 𝑥₀, para 𝑡 = 0,1,2, ….

Se 𝑟 = −1, assumindo 𝑠 ∈ ℕ₀ e 𝑥₀ > 0 : 𝑥_𝑡 = 𝑥₀, para 𝑡 = 2𝑠 (números pares), 𝑥_𝑡 = −𝑥₀, para 𝑡 = 2𝑠 + 1 (números ímpares).

FUNÇÃO LOGARITMO E PROPRIEDADES

O logaritmo de um número real 𝑥 > 0 numa base 𝑏 > 0 é o expoente a que essa base tem de ser elevada para gerar o número real, isto é, 𝑦 é o logaritmo na base 𝑏 de 𝑥 (𝑦 = log_𝑏 𝑥) se 𝑏𝑦 = 𝑥. 𝑒 = lim 𝑛→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 𝑒 = ෍ 𝑛=0 ∞ 1 𝑛! ≅ 2.71828182845905

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMO

Fórmulas Principais log_𝑏1 = 0, log_𝑏 𝑏 = 1 log_𝑏 𝑢𝑝 = 𝑝 log_𝑏 𝑢 log_𝑏 𝑏𝑝 = 𝑝 log_𝑏𝑢 = log𝑘 𝑢 log_𝑘 𝑏

log_𝑏 𝑢𝑣 = log_𝑏𝑢 + log_𝑏 𝑣

log_𝑏 1 𝑣 = −log𝑏𝑣 log_𝑏 𝑢 𝑣 = log𝑏𝑢 − log𝑏 𝑣 log_𝑏 𝑝 𝑢 = log𝑏𝑢 𝑝

LINEARIZAÇÃO DA DINÂMICA

Calculando os logaritmos (𝑟 > 0, 𝑥₀ > 0):

log_𝑟 𝑥_𝑡 = log_𝑟 𝑟𝑡𝑥₀ = 𝑡 log_𝑟 𝑟 + log_𝑟 𝑥₀ = 𝑡 + log_𝑟 𝑥₀

Definindo a nova variável dinâmica 𝑦_𝑡 = log_𝑟 𝑥_𝑡, então, temos a dinâmica linearizada em representação duplamente logarítmica:

LEI DE MOORE

R² = 0,9956 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Log Tr a nsi st or s pe r M ic rop rocessor Year Moore's Law

CASO 2: ESCOLA DE AVIAÇÃO

Pretende-se modelar os cash flows das operações de uma escola de aviação desde a fase de lançamento do negócio até à maturidade (ciclo de vida do negócio).

Crescimento logístico: no modelo assume-se que existem limites ao crescimento, ligados à existência de concorrência e tamanho do mercado potencial.

MAPA LOGÍSTICO

𝑐_𝑡: cash flow operacional no período t, 𝑟 > 0. 𝑐_𝑡 = 𝑟𝑐_𝑡−1 1 − 𝑐𝑡−1

𝐾

𝐾: “capacidade de carga” (biologia), “tamanho do mercado potencial” (gestão). 𝑥_𝑡 = 𝑐𝑡

𝐾 (proporção do mercado potencial que está ocupado).

ANÁLISE DE EXTREMOS

Função derivada de primeira ordem:

𝑑𝑥_𝑡 𝑑𝑥_𝑡−1 = 𝑓 ′ _𝑥 𝑡−1 = 𝑑 𝑟𝑥_𝑡−1 1−𝑥_𝑡−1 𝑑𝑥_𝑡−1 = 𝑑 𝑟𝑥_𝑡−1−𝑟𝑥_𝑡−12 𝑑𝑥_𝑡−1 = 𝑟 − 2𝑟𝑥𝑡−1 𝑑𝑥_𝑡 𝑑𝑥_𝑡−1 = 0 ⇔ 𝑟 − 2𝑟𝑥𝑡−1 = 0 ⟺ 𝑥𝑡−1 = 1 2

(o último passo pode ser realizado para todos os valores de 𝑟, face ao intervalo de valores para o parâmetro).

Função derivada de segunda ordem:

𝑑2𝑥_𝑡

𝑑𝑥_𝑡−12 = 𝑓

′′ _𝑥

𝑡−1 = −2𝑟

A segunda derivada é negativa (porquê?) e independente de 𝑥_𝑡−1. Quando 𝑥_𝑡−1 = 1

EXTREMOS

𝑓′ 𝑤 = 0 (𝑥 = 𝑤 é um extremo local). 𝑓′′ 𝑤 < 0 o extremo é um máximo local. 𝑓′′ 𝑤 > 0 o extremo é um mínimo local.

𝑓′′ 𝑤 = 0 não determinado (pode admitir máximo, mínimo ou não ter extremo nesse ponto).

PONTOS FIXOS

O mapa logístico tem um máximo em 𝑥_𝑡−1 = 0.5. Será este também um ponto fixo do mapa?

Um ponto fixo é um invariante dinâmico tal que 𝑥_𝑡 = 𝑓 𝑥_𝑡−1 = 𝑥_𝑡−1

Logo, para o cálculo dos pontos fixos temos de resolver a equação no espaço de fases relevante:

CÁLCULO DOS PONTOS FIXOS DO MAPA

LOGÍSTICO

Substituindo para o caso do mapa logístico e tomando 𝑟 > 0:

𝑟𝑥 1 − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 𝑟𝑥 − 𝑟𝑥2 = 𝑥 ⟺ ⟺ 𝑟 − 1 𝑥 − 𝑟𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 − 𝑟 − 1

𝑟 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 𝑥 −

𝑟 − 1

𝑟 = 0

Existem dois pontos fixos:

𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑟 − 1 𝑟

PONTOS FIXOS

Logo, 𝑥 = 0.5 não é sempre um ponto fixo.

ESTABILIDADE LOCAL DE PONTOS FIXOS

Um ponto fixo é localmente estável se, dada uma condição inicial suficientemente próxima do ponto fixo (conceito de vizinhança), as órbitas subsequentes eventualmente aproximam-se do ponto fixo.

CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE LOCAL PARA MAPAS

UNIDIMENSIONAIS

Seja 𝑥 um ponto fixo do mapa 𝑓 (ou seja, 𝑓 𝑥∗ _{= 𝑥}∗_{), e denote-se a função}

derivada por 𝑓′, então:

Se 𝑓′ 𝑥∗ < 1, o ponto fixo é estável tal que as órbitas numa vizinhança próxima do ponto fixo aproximam-se deste.

Se 𝑓′ _𝑥∗ _{> 1, o ponto fixo é instável tal que as órbitas numa vizinhança próxima}

do ponto fixo afastam-se deste.

Se 𝑓′ _𝑥∗ _{> 0, os pontos aproximam-se ou afastam-se do ponto fixo de modo}

monotónico.

Se 𝑓′ 𝑥∗ < 0, os pontos aproximam-se ou afastam-se do ponto fixo de modo oscilatório.

COMPORTAMENTO TRANSIENTE E ASSIMPTÓTICO

Dinâmica assimptótica é aquela que ocorre à medida que o tempo (neste caso, o número de iterações) tende para infinito.

Dinâmica transiente é aquela que ocorre durante um período finito de tempo antes de atingir a dinâmica assimptótica.

Exemplo: rever gráfico da dinâmica logística para r = 2, apresentada no diapositivo 28.

ESTABILIDADE GLOBAL DE PONTOS FIXOS

Estabilidade global significa que todas as órbitas tendem para o ponto fixo. Em caso de dinâmica linear (mapas lineares) um ponto fixo localmente estável é

também globalmente estável dado que, para todas as condições iniciais a dinâmica assimptótica das órbitas tende para o ponto fixo.

Em caso de dinâmica não-linear podem existir mais do que um ponto fixo, quando assim ocorre os pontos fixos não podem todos ser globalmente estáveis.

Ao conjunto de condições iniciais cuja dinâmica tende para um ponto fixo, diz-se a bacia de atracção desse ponto fixo.

(NOTA: as afirmações acima também valem para a análise da estabilidade de ciclos).

FUNÇÃO PARA AS K-ITERAÇÕES E ESTUDO DOS

CICLOS

𝑥_𝑡 = 𝑓 𝑥_𝑡−1

𝑥_𝑡+1 = 𝑓[2] 𝑥_𝑡−1 = 𝑓 𝑓 𝑥_𝑡−1 𝑥_𝑡+𝑘 = 𝑓[𝑘] 𝑥_𝑡−1

Ciclo de período 𝑘 é um ponto fixo da função 𝑓 𝑘 . 𝑓 𝑘 𝑥 = 𝑥

ESTUDO DOS CICLOS DE PERÍODO 2

𝑓 2 𝑥 = 𝑓 𝑟𝑥 − 𝑟𝑥2 = 𝑟 𝑟𝑥 − 𝑟𝑥2 − 𝑟 𝑟𝑥 − 𝑟𝑥2 2 = 𝑟2𝑥 − 𝑟2𝑥2 − 𝑟3𝑥2 + 2𝑟3𝑥3 − 𝑟3𝑥4 = 𝑟2𝑥 − 𝑟2 + 𝑟3 𝑥2 + 2𝑟3𝑥3 − 𝑟3𝑥4 𝑟2𝑥 − 𝑟2 + 𝑟3 𝑥2 + 2𝑟3𝑥3 − 𝑟3𝑥4 = 𝑥 ⟺ 𝑟2𝑥 − 𝑟2 + 𝑟3 𝑥2 + 2𝑟3𝑥3 − 𝑟3𝑥4 − 𝑥 = 0 ⟺ ⟺ 𝑟2 − 1 𝑥 − 𝑟2 + 𝑟3 𝑥2 + 2𝑟3𝑥3 − 𝑟3𝑥4 = 0 ⟺ ⟺ 𝑥 = 0 ∨ 𝑟2 − 1 − 𝑟2 + 𝑟3 𝑥 + 2𝑟3𝑥2 − 𝑟3𝑥3 = 0

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÃO CÚBICA

(MICROSOFT MATHEMATICS)

ESTABILIDADE DE CICLOS

Um ciclo é localmente estável quando órbitas locais próximas do ciclo tendem a aproximar-se do ciclo.

A análise é semelhante à dos pontos fixos, dado que um ciclo de período k é um ponto fixo da função 𝑓 𝑘 _{, assim, aplicamos a mesma regra das derivadas e a}

mesma tabela.

Exemplo, para ciclos de período 2: ቚ 𝑑𝑓 𝑓(𝑥_𝑡−1 ) 𝑑𝑥_{𝑡−1 𝑥}∗ = ቚ 𝑑𝑓 𝑑𝑥_{𝑡−1 𝑓 𝑥}∗ ቚ 𝑑𝑓 𝑑𝑥_{𝑡−1 𝑥}∗

Logo, a estabilidade de um ciclo de período 2 depende do declive do mapa tanto no ponto 𝑥∗ como no ponto 𝑓 𝑥∗ .

ESTABILIDADE E ITERAÇÃO NUMÉRICA

Estabilidade de pontos fixos e de ciclos pode ser aferida a partir de simulações do mapa realizando um elevado número de iterações e deixando de fora um número inicial de iterações não considerando a dinâmica transiente.

SIMULAR O MAPA LOGÍSTICO

Utilizar o ficheiro Excel “Mapa Logístico.xlsx”, para simular o mapa com os seguintes valores para o parâmetro:

𝑟 = 1.5 𝑟 = 2.74 𝑟 = 3.4 𝑟 = 3.52 𝑟 = 4

CAOS

Dinâmica aperiódica, limitada, determinista com dependência sensível das condições iniciais.

EFEITO BORBOLETA (DEPENDÊNCIA SENSÍVEL DAS

CONDIÇÕES INICIAIS)