Explorando o uso de abstrações na implementação de controladores para sistemas a eventos discretos

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UNIVERSIDADE TECNOL ÓGICA FEDERAL DO PARAN Á DEPARTAMENTO ACAD ÊMICO DE INFORM ÁTICA

CURSO DE ENGENHARIA DE COMPUTAC¸ ˜AO

MARCELO ROSA

EXPLORANDO O USO DE ABSTRAC

¸ ˜

OES NA

IMPLEMENTAC

¸ ˜

AO DE CONTROLADORES PARA

SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

TRABALHO DE CONCLUS ˜AO DE CURSO

PATO BRANCO 2016

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MARCELO ROSA

EXPLORANDO O USO DE ABSTRAC

¸ ˜

OES NA

IMPLEMENTAC

¸ ˜

AO DE CONTROLADORES PARA

SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

Trabalho de Conclus ão de Curso de graduaç ão, apresentado à disciplina de Trabalho de Conclus ão de Curso 2, do Curso de Engenharia de Computaç ão do Departamento Acad êmico de Inform ática - DAINF - da Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á -UTFPR, C âmpus Pato Branco, como requisito parcial para obtenç ão do t´ıtulo de Engenheiro de Computaç ão

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Teixeira Coorientador: Prof. Dr. Gustavo Weber Denardin

PATO BRANCO 2016

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TERMO DE APROVAÇÃO

Às 8 horas e 30 minutos do dia 08 de dezembro de 2016, na sala V103, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Câmpus Pato Branco, reuniu-se a banca examinadora composta pelos professores Marcelo Teixeira (orientador), Gustavo Weber Denardin (coorientador), Cesar Rafael Claure Torrico e Marco Antonio de Castro Barbosa para avaliar o trabalho de conclusão de curso com o título Explorando o uso de abstrações na implementação de controladores para sistemas a eventos discretos, do aluno Marcelo Rosa, matrícula 1436244, do curso de Engenharia de Computação. Após a apresentação o candidato foi arguido pela banca examinadora. Em seguida foi realizada a deliberação pela banca examinadora que considerou o trabalho aprovado.

______________________________ ______________________________

Marcelo Teixeira Gustavo Weber Denardin

Orientador (UTFPR) Coorientador (UTFPR)

______________________________ ______________________________ Cesar Rafael Claure Torrico Marco Antonio de Castro Barbosa

(UTFPR) (UTFPR)

______________________________ ______________________________ Beatriz Terezinha Borsoi Pablo Gauterio Cavalcanti

Coordenador de TCC Coordenador do Curso de

Engenharia de Computação A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso.

Ministério da Educação

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Pato Branco

Departamento Acadêmico de Informática Curso de Engenharia de Computação

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RESUMO

ROSA, Marcelo. Explorando o uso de abstraç ões na implementaç ão de controladores para sistemas a eventos discretos. 2016. 57 f. Trabalho de Conclus ão de Curso 2 - Curso de Engenharia de Computaç ão, Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á, C âmpus Pato Branco. Pato Branco, 2016.

Na Teoria de Controle Supervis ório (TCS) de Sistemas a Eventos Discretos, o refinamento de eventos tem sido explorado para simplificar a tarefa de modelagem. As Aproximaç ões complementam essa abordagem como uma alternativa para reduzir o esforço na s´ıntese. Apesar das vantagens na etapa de modelagem e s´ıntese, refinamentos n ão cobrem diretamente a fase de implementaç ão. Em geral, controladores obtidos com ou sem refinamentos s ão implementados com o mesmo custo de hardware. Este trabalho prop õe uma arquitetura descentralizada que estende os ganhos provenientes dos refinamentos da s´ıntese para implementaç ão. A abordagem proposta separa supervisor e distinguidor em duas estruturas distintas, as quais se comunicam de tal forma que o resultado da aç ão de controle sobre a planta é equivalente a vers ão centralizada, por ém com custo de implementaç ão reduzido. Al ém disso, é apresentada uma alternativa para implementar o comportamento do distinguidor utilizando um modelo gen érico composto por dois estados, o qual espera-se estender para qualquer distinguidor.

Palavras-chave: Sistema a eventos discretos, Controle Supervis ório, Distinguidores, Implementaç ão.

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ABSTRACT

ROSA, Marcelo. Exploring the use of abstractions in the implementation of controllers for discrete event systems. 2016. 57 f. Trabalho de Conclus ão de Curso 2 - Curso de Engenharia de Computaç ão, Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á, C âmpus Pato Branco. Pato Branco,

In the Supervisory Control Theory (SCT) of Discrete Event Systems, the refinement of events has been explored to simplify the modeling task. Approximations complement this approach as an alternative to reduce effort in synthesis. In spite of the advantages in the modeling and synthesis step, refinements do not directly cover the implementation phase. In general, controllers obtained with or without refinements are implemented with the same hardware cost. This paper proposes a decentralized architecture that extends the gains from the refinements of the synthesis to implementation. The proposed approach separates supervisor and distinguisher in two distinct structures, which communicate in such a way that the result of the control action on the plant is equivalent to the centralized version, but with reduced implementation cost. In addition, an alternative to implement the distinguisher behavior is presented using a generic two-state model, which is expected to extend to any distinguisher.

Keywords: Discrete-Event Systems, Supervisory Control, Distinguishers, Implementation.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Exemplo de Aut ˆomato Finito . . . 20

Figura 2: Modelagem da planta de um SED . . . 24

Figura 3: Modelagem de uma especificac¸ ˜ao . . . 25

Figura 4: Fluxo de controle . . . 27

Figura 5: Exemplo de um SED . . . 30

Figura 6: Modelos para os subsistemasM1 eM2 . . . 30

Figura 7: Modelo global do sistema . . . 31

Figura 8: Modelo da especificac¸ ˜ao de controleE . . . 31

Figura 9: Diagrama de blocos interac¸ ˜ao deD e G . . . 34

Figura 10: Arquitetura de controle supervis ´orio com distinguidor predit´ıvel . . . 35

Figura 11: Modelo do distinguidorHy _{= H}1f Hxf_Hn _{. . . .} ₃₈

Figura 12: Modelos deEdU eEdO . . . 39

Figura 13: Modelos para as plantasG1 aeG 2 a . . . 39

Figura 14: Implementac¸ ˜ao descentralizada de controladores . . . . 47

(7)

LISTA DE TABELAS

1 Resultado da s´ıntese para o PCS e PCS-D - estados (transic¸ ˜oes) 40 2 Resultado da s´ıntese para o PCS, PCS-D e PCS-D com

aproximaç ões - estados (transiç ões) . . . 45 3 Comparaç ão do uso de mem ória . . . 46 4 Delay da comunicaç ão mestre-escravo . . . 54

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SUM ´ARIO

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 9

1.1 CONSIDERAC¸ ˜OES INICIAIS . . . 9

1.2 OBJETIVOS . . . 12

1.2.1 Objetivo Geral . . . 12

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 12

1.3 JUSTIFICATIVA . . . 13

2 REFERENCIAL TE ´ORICO . . . 16

2.1 SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS . . . 16

2.2 MODELAGEM DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS . . . 17

2.2.1 Teoria de aut ˆomatos e linguagens . . . 18

2.2.2 Operaç ões sobre aut ômatos e linguagens . . . 20

2.2.3 Modelagem de SED usando aut ˆomatos . . . 23

2.3 TEORIA DE CONTROLE SUPERVIS ´ORIO . . . 26

2.3.1 Exemplo de um sistema a eventos discretos . . . 29

2.4 TEORIA DE CONTROLE SUPERVIS ÓRIO COM DISTINGUIDORES 32 2.4.1 Construç ão de um distinguidor . . . 35

2.4.2 Exemplo de um SED com Distinguidor . . . 37

2.4.3 Aproximac¸ ˜oes no PCS-D . . . 41

2.4.4 Exemplo de aproximac¸ ˜oes em PCS-D . . . 44

3 RESULTADOS . . . 46

3.1 ARQUITETURA PROPOSTA . . . 47

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3.2.1 Implementado um sistema de controle para o exemplo . . . 50 3.2.1.1 Supervisor . . . 50 3.2.1.2 Distinguidor . . . 52 3.3 ASPECTOS DE IMPLEMENTAÇ ÃO . . . 53 4 CONCLUS ÃO . . . 55 REFER ÊNCIAS . . . 56

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9 1 INTRODUC¸ ˜AO

Este de Trabalho de Conclus ão de Curso (TCC) explora um aspecto pertinente em projetos de automaç ão a eventos discretos, que é a complexidade enfrentada na etapa de s´ıntese e implementaç ão de um controlador. A literatura vem abordando v ários aspectos relacionados à simplificaç ão do processo de s´ıntese e, neste trabalho, o objetivo é propagar esses m étodos de simplificaç ão tamb ém para as etapas de implementaç ão.

Este cap´ıtulo apresentar á uma vis ão geral sobre o assunto e a contextualizaç ão em termos de pesquisas e estudos na área, bem como a inserç ão deste trabalho no assunto. Em seguida, s ão apresentados os objetivos e a justificativa da pesquisa

1.1 CONSIDERAC¸ ˜OES INICIAIS

Dentre as v árias metodologias existentes para a obtenç ão de l ógicas de controle para Sistemas a Eventos Discretos (SEDs) (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008), a Teoria do Controle Supervis ório (TCS), proposta por Ramadge e Wonham (1989), ganha destaque. Sua estrutura fundamental é baseada na teoria de Aut ômatos Finitos (AFs) e Linguagens e sua ess ência é fornecer um mecanismo formal capaz de descrever a s´ıntese de controladores ótimos, ou seja, controladores que possuem a propriedade de atuar sobre o modelo de um SED de forma minimamente restritiva, n ão-bloqueante e em conson ância com um conjunto de especificaç ões.

Na TCS, a planta do sistema é modelada por um conjunto de AFs, cuja composiç ão resulta no modelo do comportamento do sistema sem qualquer intervenç ão externa ou aç ão de controle. Esse modelo é denominado como planta em malha aberta.

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1.1 Considerações iniciais 10 um conjunto de AFs, cuja composiç ão é denominada especificaç ão. Da associaç ão entre planta e especificaç ão emerge um modelo que representa o comportamento desejado para o sistema sob controle, isto é, o sistema em malha fechada.

Em alguns casos, o comportamento que se espera do sistema sob controle pode n ão ser consistente com o comportamento que pode ser controlado na pr ática em um SED. Isso porque alguns eventos, como o final de operaç ão de um equipamento pode ser proveniente de um impulso sobre o qual n ão se tem controle, por exemplo, uma queda de energia. Se o controlador n ão é capaz de distinguir a natureza da ocorr ência de tal evento, ent ão ele pode mascarar uma situaç ão de controlabilidade que na verdade é inconsistente em relaç ão ao sistema real. Nesse sentido, a TCS define o particionamento do conjunto de eventos de um SED conforme a natureza como ocorrem na planta. Esse particionamento permite que se calcule, do comportamento esperado, o subcomportamento que mais se aproxima do esperado e, ao mesmo tempo, que respeita o conjunto de especificaç ões. Se esse subcomportamento for ainda n ão bloqueante, ent ão ele é dito ser ótimo.

A entidade da TCS respons ável por aplicar a aç ão de controle sobre a planta, de tal forma que implementa o comportamento control ável do sistema, é denominada supervisor. O supervisor observa os eventos poss´ıveis na planta e define quais devem ser, de fato, habilitados. Desse modo, os eventos poss´ıveis na planta e que n ão pertence ao conjunto de eventos habilitados do supervisor, s ão inibidos pela aç ão de controle.

Apesar das vantagens da TCS no processo de obtenç ão de controladores ótimos, alguns aspectos limitam a aplicaç ão da TCS em escala industrial. Dois desses aspectos ser ão abordados neste trabalho e est ão intimamente relacionados ao conceito de informaç ão. O grau de informaç ão dispon´ıvel no modelo de um SED, quando elevado (TEIXEIRA et al.,

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1.1 Considerações iniciais 11 envolvida no processo de s´ıntese do supervisor enquanto que, por outro lado, um baixo grau de informaç ão (CUNHA; CURY, 2007) tende a aumentar a dificuldade enfrentada na tarefa de modelar as especificaç ões a serem cumpridas pelo sistema em malha fechada (CURY et al., 2015).

Esses aspectos fomentam extens ões da TCS. Uma delas é baseada no refinamento de informaç ões sobre um conjunto de eventos que pertencem ao sistema. Implicitamente, dispor de mais informaç ões acerca de um mesmo evento tende a simplificar a tarefa de modelagem (TEIXEIRA, 2013;

TEIXEIRA et al., 2014;CURY et al., 2015).

No entanto, para utilizar esse conjunto de eventos refinados, é necess ário agregar ao sistema refinado uma estrutura extra denominada distinguidor, proposto inicialmente por Bouzon et al. (2008). O distinguidor é uma entidade capaz de mapear cada cadeia de eventos originais em cadeias compostas por eventos refinados, e dar a elas uma sem ântica particular (TEIXEIRA, 2013).

A literatura (CURY et al., 2015) demonstra que o uso de distinguidores

permite modelar especificaç ões complexas de controle, de uma forma mais simples e, ainda assim, levar a uma soluç ão de controle equivalente a soluç ão do Problema de Controle Supervis ório (PCS) original. Mas, mostrou-se que somente o uso do distinguidor n ão gera diretamente vantagens computacionais na s´ıntese, uma vez que os ganhos obtidos com a simplificaç ão das especificaç ões s ão compensados com a adiç ão do modelo do distinguidor

`a planta.

Indiretamente, contudo, é poss´ıvel simplificar tamb ém o processo de s´ıntese ao utilizar uma aproximaç ão para o modelo distinguido (TEIXEIRA, 2013). O conceito de aproximaç ão se utiliza da ideia de que, em certas condiç ões, o modelo do distinguidor pode ser removido momentaneamente da s´ıntese do controlador, provendo assim ganhos computacionais, e devolvido ao modelo do controlador para fins de implementaç ão (TEIXEIRA, 2013). E imagin ável,´

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1.2 Objetivos 12 ent ˜ao, que poss´ıveis economias computacionais se limitem ao procedimento de s´ıntese, apenas.

1.2 OBJETIVOS

Os objetivos apresentados nessa proposta se dividem em objetivo geral que representa o resultado final desse trabalho, e objetivos espec´ıficos que define os passos necess ´arios para que se alcance a conclus ˜ao do TCC.

1.2.1 OBJETIVO GERAL

Investigar como o refinamento de informaç ões providas por sensores pode beneficiar a modelagem, a s´ıntese e a implementaç ão de controladores para sistemas de automaç ão a eventos discretos.

1.2.2 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

• Fundamentar os conceitos de Sistemas a Eventos Discretos;

• Fundamentar a Teoria de Controle Supervis ´orio de Sistemas a Eventos Discretos;

• Fundamentar o problema de s´ıntese de controladores para SEDs envolvendo o refinamento e a distinc¸ ˜ao de eventos;

• Fundamentar o problema de s´ıntese de controladores para SEDs envolvendo o uso de aproximac¸ ˜oes para modelos refinados;

• Avaliar os aspectos te óricos que se permeiam entre o uso de distinguidores e a vers ão do problema resolvidas por meio de aproximaç ões;

• Aplicar abordagem no contexto de um exemplo de um sistema de controle para um processo industrial;

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1.3 Justificativa 13 • Quantificar teoricamente os ganhos provenientes da abordagem em

termos de esforc¸o de modelagem e complexidade computacional;

• Explorar os aspectos de implementaç ão de um controlador sintetizado atrav és da abordagem investigada;

• Implementar o sistema de controle para o exemplo de modo tal que reflita a economia computacional provida em teoria.

1.3 JUSTIFICATIVA

Pesquisas recentes (TEIXEIRA et al., 2014; CURY et al., 2015) t êm mostrado que a obtenç ão de controladores para alguns tipos de processos industriais esbarra em quesitos de complexidade, tais que tornam o problema intranspon´ıvel (intrat ável) sem o uso de inovaç ões te óricas e tratamento algor´ıtmico avançado. Diante disso, uma alternativa apresentada para simplificar o processo de s´ıntese de controladores para SEDs é o uso de distinguidores aliado ao conceito de aproximaç ão (CURY et al., 2015;

BOUZON et al., 2008).

Por ém, mesmo simplificando o processo de s´ıntese de supervisores, a implementaç ão do sistema de controle ainda requer a interseç ão completa entre o supervisor e o modelo distinguidor. Ou seja, o supervisor é obtido atrav és de um processo simplificado, mas precisa, inevitavelmente, ser associado ao distinguidor para fins de implementaç ão. Isso porque, sem o modelo do distinguidor, a estrutura do supervisor é n ão-determin´ıstica em relaç ão aos eventos (sinais) que ocorrem na planta. Isso implicaria que, ap ós a ocorr ência de determinado evento do sistema, o supervisor n ão saberia qual aç ão de controle tomar perante a inst ância desse evento sem o auxilio do modelo do distinguidor. Diante disso, é sugerido em Teixeira (2013), compor o supervisor com o modelo do distinguidor, o que de fato resolve o problema de implementaç ão de um supervisor determin´ıstico. Contudo, isso acaba gerando

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1.3 Justificativa 14 um novo problema, que é a complexidade computacional da implementaç ão, j á que a composiç ão entre supervisor e distinguidor é um procedimento cuja complexidade é de ordem exponencial, no pior caso. Assim, os benef´ıcios provenientes do uso do distinguidor n ão se propagariam para o processo de implementaç ão.

Dessa forma, esse trabalho investigou alternativas de como supervisor e distinguidor poderiam ser implementados em estruturas distintas.

Se ambos os modelos n ão compartilham da mesma estrutura de implementaç ão, a tend ência é a de que n ão haja necessidade de comp ô-los a priori, o que reduziria substancialmente a complexidade computacional das etapas pr é-implementaç ão, que é evidenciada na literatura (CURY et al., 2015;

TEIXEIRA, 2013).

Entretanto, se beneficiar de duas estruturas distintas para implementar dois modelos que a rigor s ão dependentes, implica em comunicar tais estruturas, a fim de que a depend ência de dados entre eles seja tratada. Por exemplo, dada a ocorr ência de um evento original na planta, a estrutura do supervisor pode habilitar mais de um refinamento desse mesmo evento. Como ele n ão incorpora o mecanismo de distinç ão, necessita consultar a estrutura do distinguidor para definir qual dos refinamentos é de fato eleg´ıvel.

Nesse sentido, esse trabalho tamb ém desenvolve um mecanismo de comunicaç ão entre o hardware que implementa os comandos do supervisor e o hardware que implementa o distinguidor. A ideia é a de que, dada a ocorr ência de evento original na planta, o supervisor informa se as m áscaras de tal evento s ão ou n ão eleg´ıveis sob controle, tal como ocorre na TCS convencional. Caso n ão sejam, o evento original é desabilitado. No entanto, caso sejam eleg´ıveis, se faz necess ário saber quais m áscaras sobrevivem à distinç ão. Para isso, um request é disparado ao distinguidor, que ent ão retorna de maneira predit´ıvel qual dos eventos de fato sobrevive.

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1.3 Justificativa 15 distinguidor, pretende-se ainda estender tal abordagem para o contexto da implementaç ão den m ódulos distinguidores. A construç ão de um distinguidor, ao contr ário da representaç ão de especificaç ões complexas, leva a uma estrutura modular. Assim, este trabalho pretende tirar proveito dessa modularidade para reduzir a complexidade de implementaç ão do sistema de controle. A ideia é a de que a coordenaç ão entre o supervisor e cada m ódulo do distinguidor ocorra de maneira an áloga a uma comunicaç ão broadcast. Ou seja, toda a vez que o supervisor requisitar o distinguidor, ele lança um broadcast com eventos a serem distinguidos, o que por sua vez vai acionar todos e somente os m ódulos para os quais tais eventos s ão eleg´ıveis no atual contexto de distinç ão (ap ós o presente prefixo). O m ódulo (que, por construç ão, é único) capaz de distinguir tal evento fornece ent ão a distinç ão necess ária a estrutura do supervisor. Desse modo, espera-se o mesmo efeito do distinguidor sem, contudo, envolver a composiç ão com o supervisor, em nenhum momento. Como resultado estima-se que os benef´ıcios do uso de distinguidores se propaguem, tamb ém, para as etapas de implementaç ão.

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16 2 REFERENCIAL TE ´ORICO

2.1 SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

A definiç ão de sistema é apresentada de diversas maneiras na literatura. Dentre elas, Ogata (2010, p. 3) define que um sistema é a associaç ão de componentes que atuam em conjunto, a fim de realizar um determinado objetivo, n ão sendo limitado a algo f´ısico. Logo o conceito de sistema pode ser estendido a fen ômenos abstratos e din âmicos. J á para HAYKIN e Veen (2001, p. 22), um sistema é uma entidade capaz de manipular um ou mais sinais de forma a realizar uma determinada funç ão, resultando em novos sinais. Alguns exemplos de aplicaç ões que comp õem um sistema s ão: a automaç ão da manufatura, a rob ótica, redes de comunicaç ão e de computadores, sistemas operacionais, entre outros.

De um modo geral, os sistemas t êm em comum a propriedade de serem compostos por um conjunto de estados, denominado de espaço de estados, tal que cada estado representa o status do sistema em determinada circunst ância, e transiç ões de estados respons áveis pela evoluç ão do sistema entre os estados. A distinç ão entre diferentes sistemas recai sobre o fato de como ocorrem essas transiç ões de estados, podendo essas serem dirigidas pelo tempo ou a eventos (TEIXEIRA, 2013).

Os sistemas de interesse deste trabalho t êm a caracter´ıstica de perceberem o ambiente no qual est ão inseridos atrav és de est´ımulos/sinais ass´ıncronos, denominados eventos, e seu comportamento comp õem um conjunto de estados enumer ável. Um evento pode ser identificado como sendo uma aç ão especifica como, por exemplo, o in´ıcio e o fim de uma tarefa, mas n ão o tempo transcorrido. Desta forma, estando em um estado, a ocorr ência de um evento implica na transiç ão para um novo estado ou n ão, no qual o sistema permanece at é a ocorr ência de um novo evento e assim sucessivamente. Estas mudanças de estados se caracterizam por serem abruptas, podendo ser vis´ıvel

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2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 17 ou n ˜ao a um observador externo (CURY, 2001, p. 9). Sistemas que apresentam

essas caracter´ısticas s ˜ao denominados com Sistemas a Eventos Discretos (SEDs) (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008, p. 30).

2.2 MODELAGEM DE SISTEMAS A EVENTOS DISCRETOS

O processo de se realizar experimentos sobre a estrutura real é a maneira mais eficaz de an álise de um sistema, tendo como base o grau de precis ão do resultados obtidos. Contudo, esse processo nem sempre é poss´ıvel, seja devido a complexidade ou mesmo a indisponibilidade da estrutura real do sistema. Desse modo, uma alternativa é a de representar um sistema atrav és de um modelo, que permite a abstraç ão de caracter´ısticas irrelevantes de seu comportamento em determinado contexto, de modo a facilitar a compreens ão e manipulaç ão do mesmo (OGATA, 2010; TEIXEIRA, 2013).

Os sistemas que possuem sua din âmica guiada pelo tempo, geralmente s ão representados por equaç ões diferenciais, enquanto que os SEDs s ão mais naturalmente represent áveis por meio de diagramas de transiç ão de estados, que permitem representar formal e intuitivamente o enlace entre os elementos evento, transiç ão e estado, descritores fundamentais do comportamento de um SED.

Dentre os v ários formalismos existentes para se representar SEDs destacam-se as Redes de Petri, a Teoria de Filas e a Teoria de Aut ômatos e Linguagens. Por ém, nenhum desses formalismos é aceito de forma un ânime ou como padr ão na tarefa de se estabelecer modelos para SEDs, tendo em vista que cada formalismo possui caracter´ısticas e finalidades distintas nessa tarefa (CURY, 2001;TEIXEIRA, 2013).

Este trabalho adota como formalismo de modelagem a Teoria de Aut ômatos e Linguagens, tamb ém usado na s´ıntese de controladores ótimos para SEDs (CURY, 2001, p. 12).

(19)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 18 2.2.1 TEORIA DE AUT ˆOMATOS E LINGUAGENS

Em um SED modelado por um aut ômato, a evoluç ão no modelo mapeia a trajet ória do sistema e é dada pela ocorr ência consecutiva e finita de eventos, o que gera uma cadeia. Desta forma, o conjunto de cadeias geradas descrevem o comportamento do sistema. Com isso, seria l ógico pensar que modelar um SED nada mais é do que descrever tais cadeias, e que por sua vez, processar operaç ões sobre o modelo consiste em manipular suas cadeias (TEIXEIRA, 2013).

O conjunto de todos os eventos que comp õem um SED é denominado alfabeto, denotado por Σ um alfabeto finito e n ão-vazio. E Σ∗

denota o conjunto de todas as cadeias finitas poss´ıveis de serem composta por eventos deΣ, incluindo a cadeia vazia denotada por ε, a qual representa a sequ ˆencia com nenhum evento (RAMADGE; WONHAM, 1989).

Uma linguagemL sobre um alfabeto Σ, ´e um subconjunto de cadeias emΣ∗

, isto ´e,L ⊆ Σ∗

, que determina quais s ˜ao as cadeias poss´ıveis de serem formadas com eventos emΣ (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008).

De modo geral, as classes de linguagens regulares e n ão-regulares, se distinguem de acordo com o grau de recursos necess ário para expressar tais linguagens. Uma linguagem é dita ser regular quando pode ser expressa por um conjunto finito de elementos, mesmo que o n úmero de cadeias que comp õem essa linguagem possa ser infinito. No caso contr ário, uma linguagem é n ão-regular quando nem sempre é poss´ıvel expressa-l á por meio de um conjunto finito de elementos (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008).

Uma vez que a modelagem de um SED geralmente compreende um conjunto finito de elementos, onde o comportamento desses elementos podem ser representados por um conjunto de cadeias finitas, a escolha das linguagens regulares se torna natural (TEIXEIRA, 2013).

(20)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 19 de um Aut ˆomato Finito (AF) (CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008). Um aut ˆomato

finito é um diagrama de transiç ão de estados, que permite modelar diversos problemas, atrav és de um m étodo pr ático e intuitivo (TEIXEIRA, 2013;

CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008). A definic¸ ˜ao formal de um AF se da por meio de uma 5-tuplahΣ, Q, q◦

, Qω_{, →i, tal que:}

• Σ ´e o alfabeto finito;

• Q ´e conjunto finito de estados; • qo _{∈ Q ´e estado inicial;}

• Qw _{⊆ Q ´e o subconjunto de estados marcados;}

• →⊆ Q × Σ × Q é a relaç ão de transiç ão de estados. Denota-se por q1

σ

→ q2, a transic¸ ˜ao do estado q1 para o estado q2,

proveniente a ocorr ˆencia do eventoσ ∈ Σ.

Uma das poss´ıveis maneiras de se representar graficamente um aut ômato é atrav és de um grafo dirigido, onde os n ós representam os estados e as arestas representam as transiç ões entre os estados. A transiç ão de estado é desencadeada diante a ocorr ência de um determinado evento, associado a ela. O estado inicial é identificado por uma seta uniconectada apontando para ele e os estados marcados por c´ırculos duplos, cuja sem ântica define um estado de aceitaç ão. De modo geral, o termo estado de aceitaç ão est á associada a id éia de tarefa completa (TEIXEIRA, 2013). Um exemplo de AF representado por meio de um grafo é mostrado na Figura 1, tal que Σ = {α, β}, Q = {q0, q1}, qo = q0,

Qw _{= {q}

0} e a funç ão de transiç ão de estados é dada por q0 α → q1, q1 α → q1 e q1 β → q0.

A linguagem definida sobre um aut ˆomatoG se divide em linguagem gerada e linguagem marcada, definidas respectivamente por

L(G) = {s ∈ Σ∗

(21)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 20 Lw_{(G) = {s ∈ Σ}∗

|qo _{→ q ∈ Q}s w_}.

A linguagem L(G) representa o conjunto de todas as cadeias poss´ıveis de serem geradas em G, enquanto que Lw_{(G) o conjunto de}

todas as cadeias que alcanc¸am um estado marcado, tal que Lw_{(G) ⊆ L(G)}

(CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008). Para o exemplo apresentado na Figura 1,

a linguagem gerada é o conjunto das cadeias ǫ e todas que iniciam com uma sequ ência de α terminando ou n ão por um β, e a linguagem marcada é o conjunto que cont ém as cadeias da linguagem gerada com exceç ão das cadeias que n ão terminam comβ.

α

β

q0 q1

Figura 1 – Exemplo de Aut ˆomato Finito

2.2.2 OPERAÇ ÕES SOBRE AUT ÔMATOS E LINGUAGENS

Uma vez que linguagens s ão conjuntos, por definiç ão, ent ão todas as operaç ões sobre conjuntos, como por exemplo a uni ão e intersecç ão, est ão definidas. Al ém dessas, outras operaç ões podem ser definidas sobre as linguagens a fim de lidar com os elementos do tipo cadeias de eventos (CURY, 2001;CASSANDRAS; LAFORTUNE, 2008;TEIXEIRA, 2013).

Um aspecto importante definido sobre as cadeias, s ão as operaç ões morfol ógicas, que tem como principio estudar a forma/estrutura de cadeias. Desta forma, seja Σ um alfabeto e s = pqr uma cadeia qualquer, com p, q, r ∈ Σ∗

, ent ˜ao:

(22)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 21 • q ´e uma subcadeia de s;

• r ´e um sufixo de s.

A concatenac¸ ˜ao entre duas linguagens L1 eL2, tal que L1, L2 ⊆ Σ∗,

´e denotada por L1L2, e definida por

L1L2 = {s ∈ Σ ∗

|(s = s1s2) ∧ (s1 ∈ L1) ∧ (s2 ∈ L2)}.

O prefixo-fechamento de uma linguagem L ⊆ Σ∗

, cuja notaç ão éL, tal que

L = {s ∈ Σ∗

|(∃t ∈ Σ∗

), st ∈ L}.

O prefixo-fechamentoL consiste na linguagem que cont ´em todos os prefixos de todas as cadeias contidas emL. De modo geral L ⊆ L.

Logo, se L for prefixo-fechada, ent ão L = L e qualquer prefixo de qualquer cadeia de L, tamb ém é um elemento de L. Por exemplo, seja o alfabetoΣ = {a, b}, e as linguagens L1 = {ε, a, b, ab, aba, ba} e L2 = {ε, a, b, aba}.

Logo,L1 é prefixo-fechada, pois todos os prefixo de L1s ão elementos deL1. J á

L2n ão é prefixo-fechada, uma vez que nem todos prefixos deL2s ão elementos

deL2, exemplo, o prefixoab.

Outra operaç ão útil no contexto de aut ômatos e linguagens é a composiç ão s´ıncrona, cuja notaç ão é k. Essa operaç ão pode ser definida tanto para aut ômatos quanto para linguagens e espera-se que ela preserve a equival ência de resultados nas duas vers ões (WONHAM, 2002). Por praticidade esse trabalho define somente a operaç ão k para aut ômatos.

Dado dois aut ˆomatos A = hΣA, QA, q ◦

A, QωA, →Ai e B = hΣB, QB, q ◦ B,

Qω

B, →Bi, a composiç ão s´ıncrona resulta no aut ômato

A k B = (ΣA∪ ΣB, QA× QB, (qAo, qBo), QwA× QwB, →),

(23)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 22 • (qA, qB) σ → (q′ A, q ′ B), se σ ∈ ΣA∩ ΣB; • (qA, qB) σ → (q′ A, qB), se σ ∈ ΣA\ ΣB; • (qA, qB) σ → (qA, q′B), se σ ∈ ΣB\ ΣA.

Em palavras, dada a ocorr ência de um evento habilitado em ambos aut ômatos, a evoluç ão de estado ocorre de maneira s´ıncrona em ambos os modelos. Caso contr ário, quando o evento est á habilitado em somente um dos aut ômatos a evoluç ão de estado ocorre de maneira ass´ıncrona, ou seja, de maneira independente em cada aut ômato e somente o aut ômato que reconhece o evento evolui de estado (CURY, 2001;TEIXEIRA, 2013).

A definiç ão de produto s´ıncrono pode ser naturalmente estendida a n aut ômatos. Assim, sejam os aut ômatos Gi = hΣi, Qi, q

◦

i, Qωi, →ii, para i =

1, 2, · · · , n, um modelo global G é dado por meio da composiç ão s´ıncrona

G = n n i=1 Gi, tal que Σ = n [ i=1 Σi.

J á os comportamentos gerado e marcado resultantes da operaç ão de composiç ão entren aut ômatos s ão mostrados em Wonham (2002), como

L(G) = n n i=1 L(Gi) e Lw(G) = n n i=1 Lw(Gi).

Dessa forma, a composic¸ ˜ao s´ıncrona permite que se trabalhe com cada modelo Gi separadamente, de modo que esses modelos possam ser

compostos posteriormente, e por consequ ˆencia levando ao modelo global do sistema (G).

Algumas propriedades importantes sobre um dado aut ˆomatos G = hΣG, QG, q

◦ G, Q

ω

G, →Gi, est ˜ao relacionadas ao conceito de acessibilidade. Essas

propriedades s ˜ao definidas como:

• Estado acess´ıvel: Um estadoq ∈ QG ´e dito ser acess´ıvel se ∃s ∈ Σ ∗

(24)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 23 queqo

G s

→ q.

• Aut ômato acess´ıvel: G é dito ser acess´ıvel se q é acess´ıvel, ∀q ∈ QG.

• Aut ômato co-acess´ıvel: G é dito ser co-acess´ıvel se cada cadeia s ∈ L(G) é prefixo de uma cadeia marcada. Ou seja, se cada s ∈ L(G) pode ser completado por algum t ∈ Σ∗

tal que st ∈ Lw_{(G), isto ´e, q}o G

st

→ q tal que q ∈ Qw

G. Ou ainda, seL(G) = Lw(G).

• Aut ômato n ão-bloqueante: G é dito ser n ão-bloqueante se é co-acess´ıvel. • Aut ômato Trim: G é dito ser trim, se ele é acess´ıvel e co-acess´ıvel.

A propriedade de n ão-bloqueio de aut ômatos, esta relacionado ao conceito de acessibilidade, desta forma o comportamento gerado por um aut ômato G, é dito ser n ão-bloqueante se e somente se o aut ômato é co-acess´ıvel.

2.2.3 MODELAGEM DE SED USANDO AUT ˆOMATOS

Tendo em mente a noç ão de sistema, e tomando aut ômatos como forma de modelar SEDs, o primeiro passo a ser realizado é a modelagem dos componentes do sistema, geralmente um conjunto de itens de uma m áquina, resultando em um conjunto de AFs. Logo, a composiç ão s´ıncrona dos elementos desse conjunto leva ao comportamento geral do sistema, sendo este denominado como planta. A planta do sistema est á em malha aberta quando o comportamento do sistema n ão sofre nenhuma aç ão de controle.

Um exemplo simples de um SED modelado por AFs (Figura 2) seria considerar a operaç ão de duas m áquinas, M1 e M2, modeladas

respectivamente porG1 eG2, tal que a composiç ão s´ıncrona entre as m áquinas

resulte no modelo da planta em malha aberta G = G1 k G2. O comportamento

das m ´aquinasM1 eM2 ´e descrito em termos de eventos de in´ıcio (a e c) e final

(25)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 24 d c a b a b d c d b c a G1 G2 G= G1k G2

Figura 2 – Modelagem da planta de um SED

O comportamento de uma planta em malha aberta, em geral, n ão atende ao comportamento que se espera na pr ática, quando em operaç ão, ou seja, L(G) permite cadeias indesej áveis na planta. Uma maneira de resolver isso seria evitar a ocorr ência de tais cadeias, por meio de um conjunto de restriç ões sendo este denominado de especificaç ão. As especificaç ões de controle s ão modeladas de forma an áloga à planta, mas com o intuito de representar uma aç ão proibitiva no sistema, de modo que observa os eventos poss´ıveis na planta e desabilita os eventos que s ão considerados proibidos em determinado contexto.

Nesse sentido, Teixeira et al. (2015) apresentam uma metodologia para auxiliar no processo de modelagem das especificaç ões. Essa metodologia parte da definiç ão de um conjunto de especificaç ões para uma planta G, denotado porE =

n

f

i=1

Ei, onde cada modelo de especificac¸ ˜aoEipode ser obtido

atrav ´es dos seguintes passos:

(i) Interpretar a especificac¸ ˜ao descrita em forma textual;

(ii) identificar o evento σ ∈ Σ a ser desabilitado. Neste caso, σ representa a aç ão que deve ser proibida na planta. Uma boa pr ática, tendo em mente a simplicidade e modularizaç ão, é que cada modelo da especificaç ão desabilite somente um evento;

(iii) identificar o(s) evento(s)σ′

∈ Σ que imediatamente precedem σ; (iv) construir o AF Ei que, somente ap ´osσ′, habiliteσ;

(26)

2.2 Modelagem de Sistemas a Eventos Discretos 25 (v) habilitar σ′ _{em todos os estados}

q ∈ QRi.

Vale salientar que o processo de modelagem do conjunto de especificac¸ ˜oes para um planta G, denotado por E =

n

f

i=1

Ei, ´e um processo

emp´ırico e est ´a diretamente associado ao grau de experi ˆencia e a familiaridade que o engenheiro/projetista possui do sistema.

Um fato importante a se observar, quando se est ´a modelando Ei,

é que as cadeias que pertencem ao comportamento do sistema n ão t êm que necessariamente ser mapeadas no AF a partir do estado inicial, umas vez que essas, de fato, est ão habilitadas emL(G). Logo, tudo que se deve saber a priori dessas cadeias, é o último evento do prefixo deσ, ou seja, um σ′ _{∈ Σ.}

Desta forma, a associaç ão das especificaç ões ao modelo da planta que pode ser dada por composiç ão s´ıncrona, resulta em um modelo que representa o comportamento esperado do sistema sob controle, isto é, o sistema em malha fechada.

Um exemplo de especificaç ão relacionada a planta G (Figura 2), seria a restriç ão de preced ência de in´ıcio de operaç ão entre as m áquinas (a partir do estado inicial), de forma que M2 s ó possa iniciar ap ós o fim de

operaç ão deM1. Em outras palavras, a especificaç ão deve proibir a ocorr ência

de cadeias que contenham prefixo que iniciam com o evento c. A Figura 3 contextualiza essa especificac¸ ˜ao.

b b

c

E

Figura 3 – Modelagem de uma especificac¸˜ao

No estado inicial, o evento c est á sendo proibido j á que se deseja estabelecer a preced ência de inicio de M1 em relaç ão a M2, e o evento que

(27)

2.3 Teoria de controle supervis ório 26 precedec é o evento b que est á habilitado. Por analogia, b ≡ σ′ _e

c ≡ σ.

2.3 TEORIA DE CONTROLE SUPERVIS ´ORIO

O comportamento esperado de um sistema sob controle, obtido pela composiç ão da planta (G) e suas especificaç ões (E), modela a aç ão de controle de E sobre G, que em alguns casos pode n ão ser consistente com o comportamento control ável de um SED na pr ática. Essa inconsist ência se d á pelo fato de E poder estar desabilitando eventos que n ão podem ser diretamente desabilitados emG.

A falha/quebra de um equipamento em uma linha de produç ão é um exemplo desse tipo de evento, que tem a particularidade de ser espont âneo e n ão depender de qualquer pol´ıtica de controle. Logo, para evitar essa inconsist ência seria necess ário estabelecer uma maneira de distinguir a natureza da ocorr ência dos eventos que comp õem o sistema, de tal forma que a aç ão de controle tenha conhecimento de quais eventos podem ser desabilitados ou n ão na planta.

Nesse sentido, a TCS (RAMADGE; WONHAM, 1989) particiona o conjunto de eventos da planta de um SED, tal que Σ = Σc ∪ Σu, onde Σc

denota o conjunto de eventos control áveis, cuja a ocorr ência pode ser inibida na planta, e Σu denota o conjunto de todos os eventos n ão-control áveis, os

quais n ˜ao podem ser diretamente desabilitados.

A entidade da TCS que efetivamente implementa a aç ão de controle na planta é o supervisor. Formalmente, um supervisorS é um mapa S : L(G) → 2Σ_{, associada a uma linguagem}

LS ⊆ Lw(G) que, ap ´os qualquer cadeia s ∈

L(G), observa eventos eleg´ıveis em G e informa, dentre eles, quais devem ser, de fato, habilitados. Assim, a aç ão de controle deS sobre G, denotada por S/G consiste em habilitar eventos do conjunto S(s) ∈ Σ. A estrutura de supervis ão que interage com a planta de forma a fechar a malha de controle, é ilustrada na Figura 4.

(28)

2.3 Teoria de controle supervis ´orio 27 G S σ∈ Σ S(s) ⊆ Σ Eventos eleg´ıveis Eventos habilitados

Figura 4 – Fluxo de controle

Assume-se que eventosσ ∈ Σ ocorrem espontaneamente na planta. Quando σ é observado, ap ós uma cadeia qualquer s ∈ L(G), o supervisor S atualiza o conjuntoS(s) de eventos habilitados. Os eventos poss´ıveis na planta que n ão pertencem a S(s) s ão justamente aqueles que est ão sendo inibidos pela aç ão de controle.

O conjunto de cadeias de L(G) que sobrevive sob controle representa o comportamento gerado em malha fechada, e ´e dado pela linguagem L(S/G). O comportamento marcado em malha fechada, por sua vez, ´e dado por Lω_{(S/G) = L(S/G) ∩ L}

S. Nesse caso, S ´e definido como

um tipo especial de supervisor, denominado marcador, cuja aç ão de controle sobreG (S/G) al ém de habilitar eventos do conjunto S(s) ⊆ Σ, tamb ém marca cadeiass ∈ LS.

Um supervisor S ´e dito ser n ˜ao-bloqueante quando L(S/G) = Lω_{(S/G). Dessa maneira, sempre que uma cadeia sobrevive sob controle, essa}

cadeia é um prefixo de uma cadeia marcada. Assim, garante-se que a evoluç ão do sistema sob controle sempre leva a completar uma tarefa e, logo, o sistema controlado nunca bloqueia.

Diante a essas definiç ões Ramadge e Wonham (1989) enunciam o Problema de Controle Supervis ório como:

Seja uma plantaG, com eventos em Σ, e uma especificac¸ ˜ao E ⊆ Σ∗

, definindo um comportamento desejado K = E ∩ Lω_{(G), deve-se encontrar um}

(29)

2.3 Teoria de controle supervis ório 28 Encontrar uma soluç ão para o PCS passa, sobretudo, pelo conceito de controlabilidade. Uma linguagem K ⊆ Σ∗

é dita ser control ável em relaç ão aL quando

KΣu∩ L ⊆ K.

Ou seja, ap ós qualquer prefixo deK, se um evento n ão-control ável é observado emL, a cadeia resultante continua sendo um prefixo de K. Garante-se, ent ão, que nenhum evento n ão-control ável, poss´ıvel em L, esteja sendo desabilitado pela aç ão de controle.

A controlabilidade de uma linguagem n ˜ao vazia K ⊆ Lω_{(G) ´e uma}

condiç ão necess ária e suficiente para a exist ência de um supervisor marcador n ão-bloqueanteS, tal que Lω_{(S/G) = K. Nesse caso, S, tal que L}ω_{(S/G) = K,}

pode ser implementado por um aut ˆomato V , tal que K = Lω_{(V ) ∩ L}ω_{(G) e}

K = L(V ) ∩ L(G). A aç ão de controle de S é implementada pela desabilitaç ão de eventos poss´ıveis emL(G), os quais n ão s ão poss´ıveis em L(V ), ap ós uma cadeias ∈ L(S/G). A funç ão de marcaç ão corresponde a marcar cadeias que s ão marcadas em ambosV e G.

Quando K n ão atende à condiç ão de controlabilidade, torna-se necess ário que se calcule a sub-linguagem control ável que mais se aproxima deK, i.e., a m áxima linguagem control ável.

Seja C(K, G) = {L ⊆ K | L é control ável em relaç ão a L(G)}. C(K, G) possui um elemento supremo único, denotado por supC(K, G), o qual representa a m áxima linguagem control ável, i.e., a sub-linguagem control ável que mais se aproxima de K. Assim, supC(K, G) pode ser associado ao comportamento menos restritivo poss´ıvel de ser implementado por um supervisor n ão-bloqueante S sobre G, de maneira a respeitar o conjunto de especificaç ões.

Ent ˜ao S, tal que Lω_{(S/G) = supC(K, G) e L(S/G) = supC(K, G), ´e}

uma soluç ão ótima para o PCS. CasosupC(K, G) n ão possa ser obtido, implica que o PCS n ão possui soluç ão.

(30)

2.3 Teoria de controle supervis ório 29 O c álculo do elemento supremosupC(K, G) é um processo interativo que consiste em basicamente identificar e remover maus estados do aut ômato E que representa a especificaç ão K. Um estado x é dito ser mau estado se, ap ós a ocorr ência de alguma cadeia s ∈ Σ∗

, existeµ ∈ Σu, tal que G s

→ x → eµ E → x. Ou seja, se ap ós a ocorr ência de uma cadeia s, definida tanto na plantas quanto na especificaç ão, resulte em um estado x em ambos os modelos, tal que somente a planta habilite um evento n ão-control ável a partir desse estado, ent ão esse é dito ser um mau estado emE.

O algoritmo que calcula o S = supC(K, G), dado sobre os aut ˆomatos G = hΣG, QG, q

◦

G, QωG, →Gi e E = hΣE, QE, q ◦

E, QωE, →Ei, tal que

Lω_{(E) = K ⊆ L}ω_{(G), ´e definido pelos seguintes passos:}

(i) Identificar maus estados emE. Caso n ˜ao existam, S = E e fim.

(ii) Remover maus estados em E. Caso existam, atualize E, eliminando os maus estados identificados.

(iii) Testar o bloqueio em E. Calcule a componente trim de E. Uma componente ´e trim se ´e acess´ıvel e co-acess´ıvel. Volte ao passo 1.

Como resultado obt ´em-se o comportamento em malha fechada minimamente restritivo e n ˜ao-bloqueante, tal que Lω_{(S) =} _{supC(E) e}

L(S) = Lω_{(S), logo, essa é uma soluç ão ótima para o PCS.}

2.3.1 EXEMPLO DE UM SISTEMA A EVENTOS DISCRETOS

Considere como exemplo de um SED uma pequena f ´abrica (Figura 5) composta por duas m ´aquinas, M1 e M2, operando de maneira

sequencial, tal que as duas m áquinas s ão interligadas por um buffer B capaz de suportar a estocagem de at é n peças empilhadas, adotando a pol´ıtica Last In, First Out (LIFO) de empilhamento.

(31)

2.3 Teoria de controle supervis ´orio 30 1 2 3 4 M1 M2 a b c d B n

Figura 5 – Exemplo de um SED

O principio b ásico de funcionamento de cada m áquina é que dada a ocorr ência de um eventoσi ∈ {a, c}, a m áquina Mi carrega uma peça e realiza

uma operaç ão sobre a mesma, ao finalizar a operaç ão a m áquina descarrega automaticamente a peça e essa aç ão est á associada a um eventoβi ∈ {b, d}.

A Figura 6 apresenta os aut ˆomatosG1 eG2, modelando respectivamente M1 e

M2.

G1 a G2

b

c

d

Figura 6 – Modelos para os subsistemas M1e M2

Os eventos a e c modelam o in´ıcio de operac¸ ˜ao de M1 e M2,

respectivamente, enquanto b e d, o final. O modelo global do sistema, apresentado na Figura 7, é obtido pela composiç ão s´ıncrona G = G1 k G2,

com o conjunto de eventosΣ = {a, b, c, d}, onde ´e assumido que Σc = {a, c} e

Σu = {b, d}.

O objetivo de controle para esse exemplo, consiste em evitar o underflow e overflow no buffer, ou seja, que M1 descarregue pec¸as no buffer

quando estiver cheio, eM2 retire pec¸as quando o buffer estiver vazio. Para isso

obt ém-se o modelo da especificaç ãoE com n+1 estados (Figura 8), onde cada estado marcado, exceto o inicial, representa a ocupaç ão de uma posiç ão deB. No estado inicial, um eventoc é proibido, j á que a ocorr ência desse antes de um eventob resultaria no underflow. Ap ós o empilhamento de n peças, um evento b é desabilitado, pois a ocorr ência de mais um evento b levaria à

(32)

2.3 Teoria de controle supervis ´orio 31 G a a b _b c c d d

Figura 7 – Modelo global do sistema

E 0 1 2

...

n_’ n

b b _b

c c

c

Figura 8 – Modelo da especificac¸˜ao de controle E

condic¸ ˜ao de overflow.

Diante ao modelo da planta G e do modelo da especificaç ão E, o pr óximo passo é obter o comportamento desejado para o sistema sob controle, ou seja, K = G k E. Contudo, o comportamento desejado nesse caso é inconsistente com o comportamento control ável do sistema na pr ática, uma vez que E esta desabilitando b, um evento n ão-control ável, no estado que representa a n- ésima posiç ão do buffer. Para resolver tal inconsist ência, o supervisor obtido pelo c álculo de supC(K, G), desabilita a n- ésima primeira inst ância (contida em uma cadeia) do evento a na planta de forma a evitar os maus estados contido em K. Em outras palavras, como n ão é poss´ıvel desabilitar diretamente a ocorr ência de b que leva ao overflow, o supervisor desabilita o evento imediatamente anterior, que levaria à ocorr ência deb, nesse caso, o a. Ainda em outras palavras: se n ão é poss´ıvel evitar que uma aç ão termine, ent ão nem a inicie.

(33)

2.4 Teoria de controle supervis ´orio com distinguidores 32 2.4 TEORIA DE CONTROLE SUPERVIS ´ORIO COM DISTINGUIDORES

O uso de distinguidores na TCS tem como objetivo facilitar a tarefa de modelagem de especificaç ões de controle, podendo ainda, em certos casos diminuir a complexidade da s´ıntese de uma soluç ão para o PCS. Os distinguidores foram inicialmente propostos por Bouzon et al. (2008), os quais foram pensados como tipos especiais de sensores que ao serem associados ao modelo de um SED, permitem prover mais informaç ões sobre certos eventos que pertencem ao sistema. J á Teixeira (2013), apresentou uma vers ão estendida da abordagem de distinguidores na TCS.

Considere um SED modelado com eventos em Σ, refinar tais eventos na abordagem com distinguidores, em geral, é considerar que cada evento σ ∈ Σ torna-se uma m áscara para um conjunto n ão-vazio de eventos refinados, denotado por∆σ_{. Os eventos refinados que comp õem esse conjunto}

s ão escolhidos de forma a identificar diferentes inst âncias que a m áscara (σ) pode ocorrer na planta. Ent ão, Σ é um conjunto de m áscara para o alfabeto refinado∆ = ∆c∪ ∆u, onde∆c = S σ∈Σc ∆σ _e _∆ u = S σ∈Σu ∆σ ₍ TEIXEIRA, 2013; CURY et al., 2015).

A relaç ão entre os alfabetos Σ e ∆ é definida por um mapa mascarador Π : ∆∗

→ Σ∗

, definido indutivamente por Π(ǫ) = ǫ,

Π(tδ) = Π(t)σ, para t ∈ ∆∗

, δ ∈ ∆σ e σ ∈ Σ.

Ou seja, Π ´e um mapa que relaciona cada cadeia de eventos refinados em∆∗

, `a respectiva cadeia m ´ascaras emΣ∗

. A definic¸ ˜ao deΠ, pode ser naturalmente estendida para qualquer linguagemLd⊆ ∆∗ por

Π(Ld) = {s ∈ Σ ∗

|∃t ∈ Ld, Π(t) = s}.

(34)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 33 s ≤ t, ent ão Π(s) ≤ Π(t). Isto é, se s é um prefixo de t, ap ós aplicar o mapa Π em ambas as cadeias de eventos refinados, a relaç ão de prefixo entre as cadeias ainda permanece no dom´ınio do alfabeto Σ. Al ém disso, Π comuta com o prefixo-fechamento, ou seja, paraLd ⊆ ∆

∗

, Π(Ld) = Π(Ld).

O mapa mascarador inverso Π−1

: Σ∗

→ 2∆∗

´e definido por Π−1(s) = {t ∈ ∆∗

|Π(t) = s}.

An ´alogo ao mapa mascarador, o Π−1 _{tamb ´em pode ser estendido}

para qualquer linguagemL ⊆ Σ∗

por Π−1(L) = {t ∈ ∆∗

|Π(t) ∈ L}.

Definidos os mapeamentos, o efeito de um distinguidorD : Σ∗

→ 2∆∗ sobre uma linguagemL ⊂ Σ∗

pode ser ilustrado por: D(L) = Π−1(L) ∩ Ld.

O distinguidor D leva as cadeias do dom´ınio de Σ∗

para cadeias refinadas no dom´ınio de∆∗

, atrav ´es do mapaΠ−1_{, e distingue a ocorr ˆencia das}

cadeias refinadas por meio de uma linguagem Ld.

Nesse caso, Ld ´e uma linguagem distinguidora, definida por Ld =

Ld ⊆ ∆ ∗

. Uma vez que Ld é prefixo-fechada, por definiç ão, e o mapa Π −1

´e um caso particular deD, ent ˜ao LdeΠ

−1

(L) s ˜ao n ˜ao-conflitantes, para qualquer linguagem L ⊆ Σ∗

. Essa propriedade é formalizada pela condiç ão necess ária e suficiente, definida porΠ−1_{(L) ∩ L}

d= Π−1(L) ∩ Ld (TEIXEIRA, 2013).

Note queLd pode estar associada, por exemplo, à distinç ão de cada

cadeia em Σ∗

por todas as poss´ıveis cadeias em ∆∗

; ou à distinç ão de cada cadeia emΣ∗

por exatamente uma cadeia em∆∗

.

Isso leva à classificaç ão de distinguidores, que est á relacionada com a cardinalidade do conjunto de cadeias geradas em ∆∗

(35)

2.4 Teoria de controle supervis ´orio com distinguidores 34 Σ∗

. Essa classificaç ão se divide em predit´ıvel e n ão-predit´ıvel. Dizer que um distinguidor D : Σ∗

→ ∆∗

´e predit´ıvel, significa que para todo s ∈ Σ∗

é sempre verdade que |D(s)| = 1, ou seja, se ap ós a ocorr ência de uma cadeia r ∈ Ld

exista um, e apenas um evento refinado habilitado para cada m áscaraσ ∈ Σ, de modo a permitir queLdpossa sempre predizer a pr óxima distinç ão de qualquer

m áscara. Quando D é n ão-predit´ıvel implica em |D(s)| > 1 para algum s ∈ Σ∗

(TEIXEIRA, 2013).

Considerando um SED, cujo comportamento é modelado por aut ômatoG, o efeito de um distinguidor D sobre G é dado por

D(L(G)) = Π−1

(L(G)) ∩ Ld;

D(Lω_{(G)) = Π}−1

(Lω_{(G)) ∩ L} d.

Um diagrama de blocos que contextualiza a interaç ão entre o distinguidor e a planta (G) é apresentada na Figura 9.

σ∈ Σ G Π−1 Distinguidor ∆σ⊆ ∆ Ld δ∈ ∆′_{⊆ ∆}σ

Figura 9 – Diagrama de blocos interac¸ ˜ao de D e G

Nesse diagrama, assume-se que a cada ocorr ˆencia deσ ∈ Σ em G, esse evento ´e mapeado em um subconjunto∆σ _{de refinamentos, por meio do}

mapa Π−1_{, que por sua vez s ˜ao filtrados pela linguagem}

Ld, a qual define de

fato quais deles s ˜ao habilitados na planta.

Nesse contexto, Gd ´e aut ˆomato tal que L(Gd) = D(L(G)) e

Lω_(G

d) = D(Lω(G)), e Ed denota uma especificac¸ ˜ao definida em ∆. Os

requisitos expressos por Ed usando as informac¸ ˜oes adicionais providas pelo

distinguidor devem se referir aos mesmos requisitos expressos por E em Σ, tal que Ed ∩ Lω(Gd) = Kd = D(K), onde K = E ∩ Lω(G). Nesse caso, a

especificac¸ ˜aoK ⊆ Lω_{(G) seria dada por K = Π(E} d∩ Π

−1

(Lω_{(G)) ∩ L} d).

(36)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 35 Ent ão, o problema de controle com distinguidor (PCS-D) consiste em encontrar um supervisor n ão-bloqueante Sd : ∆∗ → 2∆, tal que Lω(Sd/Gd) ⊆

Kd. Pode ser demonstrado (TEIXEIRA, 2013) que, se um distinguidor D ´e

predit´ıvel, ent ˜ao

Π(supC(Kd, Gd)) = supC(K, G);

supC(Kd, Gd) = D(supC(K, G)).

A Figura 10 contextualiza a arquitetura do problema de controle supervis ório com distinç ão predit´ıvel de eventos.

s G Π D Π(Sd) Sd Π(Sd)(s) Sd(t) t

Figura 10 – Arquitetura de controle supervis ´orio com distinguidor predit´ıvel

Ap ´os uma cadeias ∈ L(G) ser observada na planta G, o distinguidor predit´ıvel D identifica a cadeia t ∈ L(Gd) correspondente a s, tal que D(s) = t.

Ent ˜ao, o supervisor Sd define o conjunto Sd(t) de eventos habilitados ap ´os a

cadeia t. Por fim, Π(Sd) mapeia esse conjunto de eventos refinados para os

eventos originais correspondentes, o que permite que a ac¸ ˜ao de controle para o alfabeto original seja implementada sobreG.

2.4.1 CONSTRUC¸ ˜AO DE UM DISTINGUIDOR

Resta saber como representar um distinguidor D. Essa ´e uma tarefa de modelagem que, portanto, depende da capacidade do engenheiro, o que torna inconveniente esquematiz ´a-las por completo. Ainda assim Teixeira

(37)

2.4 Teoria de controle supervis ´orio com distinguidores 36 (2013), prop ˜oem um guia para o desenvolvimento de um distinguidor. Esse guia descreve os seguintes passos:

(i) Identificaç ão de um conjunto inicial de eventos σ ∈ Σ a serem refinados: identificar quais eventos em Σ, quando refinados, poderiam simplificar a modelagem de uma especificaç ão de controle;

(ii) Definiç ão das inst âncias de refinamentos δ ∈ ∆σ_{: a partir do passo}

anterior, deve-se determinar quais inst âncias devem ser associadas a cada um dos eventos selecionados para o refinamento. Tais inst âncias representam diferentes circunst âncias que o evento original pode ocorrer. Assim, cada inst ância tamb ém carrega uma sem ântica particular, a qual deve ser implementado pelo modelo do distinguidor;

(iii) Complementaç ão do conjunto∆: a partir de um dado conjunto de eventos a serem refinados (m áscaras) e seus respectivos conjuntos de inst âncias (refinamentos), a construç ão de um modelo que distingue a ocorr ência de tais inst âncias pode depender de outros refinamentos. De fato, o significado de uma certa inst ância de um evento pode se concretizar somente quando o sentido de outro evento é conhecido. Ent ão, tal evento deve ser refinado e suas inst âncias serem distinguidas. Logo, é necess ário revisitar os passos (i) e (ii), e assim definir corretamente o alfabeto∆;

(iv) Modelagem do distinguidor : neste passo, se constr ói um modelo que estabelece as interdepend ências entre as inst âncias de refinamentos em ∆. Esse processo consiste na definiç ão de um aut ômato Hd, tal que

a linguagem associada desse descreve a linguagem distinguidora, isto ´e, L(Hd) = Ld. O modelo Hd, ´e naturalmente simples no aspecto de

(38)

2.4 Teoria de controle supervis ´orio com distinguidores 37 2.4.2 EXEMPLO DE UM SED COM DISTINGUIDOR

Para fins de comparaç ão é utilizado o mesmo sistema apresentado na Figura 6. Abordar esse exemplo com o uso de distinguidor, consiste em primeira inst ância construir o modelo do distinguidor. Para essa tarefa é utilizado o guia supracitado, que resulta em:

(i) Identificaç ão de um conjunto inicial de eventos a serem refinados: Definir um modelo para a especificaç ãoE, de modo que venha evitar o underflow e overflow consiste em saber quando o buffer est á vazio ou cheio, ou seja, ter o conhecimento de quantas peças est ão presentes no buffer. Diante disso, é natural a escolha dos eventosb e c, que respectivamente inserem e removem peças no buffer (B), para serem refinados, uma vez que isso permite a simplificaç ão da especificaç ãoE.

(ii) Definiç ão das inst âncias de refinamentos: Baseado no passo anterior é essencial refinar os eventos b e c, de forma que cada inst ância refinada de b passe a identificar a aç ão de inserir uma peça em uma posiç ão de B, enquanto que cada inst ância refinada de c passe identificar a aç ão de remover uma peça de determinada posiç ão deB.

Desse modo, considere∆b = {b1, bx, bn, bn+1} e ∆c = {c0, c1, cx, cn} tal que

c0 e bn+1 expressam o underflow e overflow, respectivamente. Os outros

refinamentos representam as posiç ões intermedi árias.

(iii) Complementaç ão de ∆: Os eventos a e d n ão requerem refinamentos, ent ão ∆a = {a} e ∆d = {d}. Logo, o alfabeto refinado de Σ é dado por ∆ = ∆a∪ ∆b_{∪ ∆}c _{∪ ∆}d_.

(iv) Modelagem do distinguidor : Um distinguidor que implementa a relaç ão entre os refinamentos em∆ é apresentado na Figura 11.

O modelo Hy _{distingue os eventos refinados dos conjuntos} _∆b _e

∆c, no estado inicial o modelo distingue o eventoc0 dos demais refinamentos da

(39)

2.4 Teoria de controle supervis ´orio com distinguidores 38 H1 : Hx : Hn_: b1 bx bx bx bx bx bn bn bn+1 c0 c1 c1 c cx x cx cx cx cn · · ·

Figura 11 – Modelo do distinguidor Hy

= H1fHxfHn

m ´ascara c, ainda nesse estado, distingue b1 dos outros refinamentos de

b. No pr ´oximo estado, distingue o evento c1, dos demais refinamentos de

c, e bx dos demais refinamentos deb. Este comportamento ´e estendido

de maneira an ´aloga, para os outros refinamentos de b e c nos demais estados deHy_.

Observe que a única restriç ão que o modelo proposto imp õe é a preced ência entre os eventos do conjunto de refinamentos associado a m áscara, por ém isso n ão altera a equival ência do comportamento do sistema refinado em relaç ão ao definido em Σ. Essa equival ência é mantida pelo fato de que, em cada estado do modelo ao menos uma inst ância dos eventos que se deseja distinguir est á habilitada. Mais que isso, nesse exemplo, o modelo Hy _{habilita exatamente uma única}

inst ˆancia dos eventos que se deseja distinguir em cada estado.

Ap ´os construir os modelos que implementam a sem ˆantica dos conjuntos ∆b _e _∆c_{, resta obter o modelo do distinguidor} _{D, denotado por H}

d = Hy _{k H}∆_{, onde} Lω_(H∆ ) = ∆∗ e L(Hd) = Ld. O modelo H ∆ é um aut ômato composto por um único estado, sendo esse um estado marcado, contendo uma transiç ão em autolaço, rotulada com os eventos de ∆, complementando o alfabeto em Hd. Para este exemplo em

particular, o modelo de Hd possui n + 1 estados. Como esse modelo

preserva, em cada estado, um único refinamento habilitado para cada m áscara, ent ão esse modelo representa um distinguidor pred´ıtivel.

Fazendo uso dos eventos refinados em ∆, a especificaç ão E (Figura 8 da p ág.31) pode ser representada por dois aut ômatos Eu

d e EdO

(Figura 12), cujos comportamentos preservam o mesmo requisito de controle, ou seja, underflow e overflow, tal que Ed = EdU k EdO corresponde a

(40)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 39 especificaç ãoE em ∆. O fato de Edpreservar a mesma sem ântica de requisito

de controle que E, resulta que, caso n ão se conheça o modelo E, uma forma de obt ê-lo é atrav és deE = Π(Ed k Hd).

EU d EdO c0 c1 c1 cn cn b1 b1 bn bn bn+1 Figura 12 – Modelos de EdU e EdO O modelo EU

d desabilita no estado inicial um evento c0, j ´a que sua

sem ântica est á associada a remover uma peça deB quando seu status é vazio, portanto a ocorr ência desse evento resultaria no underflow. J á o modelo EO d

ap ´os um eventobn(buffer cheio), desabilita o eventobn+1cujo o significado est ´a

associada a inserç ão de uma peça quandoB est á cheio.

Note que, para estabelecer um modelo de especificaç ão equivalente com uso de distinguidor, o esforço da modelagem diminui significativamente, uma vez que cada modelo que comp õem Ed é composto de dois estados

(valor constante, independente do n úmero de posiç ões de B), enquanto que no dom´ınio de Σ o n úmero de estados do modelo da especificaç ão E é dado porn + 1, onde n é n úmero de posiç ão de B.

Para obter os modelos equivalentes deG1 eG2 em∆, basta aplicar

o mapa Π−1_{, tal que} _G1

a = Π−1(G1) e G2a = Π−1(G2). Esses modelos s ˜ao

apresentados na Figura 13. G1 a G 2 a a b1, bx, bn, bn+1 c0, c1, cx, cn d

Figura 13 – Modelos para as plantas G1 ae G

2 a

(41)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 40 simples fato de substituir cada m áscara, em cada transiç ão, pelo seu respectivo conjunto de refinamentos.

O modelo global refinado é dado pela composiç ão Ga = G1a k

G2

a, ou ainda, Ga = Π−1(G). Por ´em, Ga ´e dito ser um modelo amb´ıguo,

ou n ão-determin´ıstico, em relaç ão a escolha de qual evento refinado deve ser habilitado dada a ocorr ência de sua m áscara. Tal inconveniente pode ser solucionado associando-se o modelo Ga a Hd a fim de eliminar o

n ˜ao-determinismo de Ga. Assim, resultando no modelo da planta distinguida,

denotada porGd = Π−1(G) k Hd.

Agora, resta sintetizar uma soluç ão ótima para o PCS-D para o exemplo proposto. Essa soluç ão pode ser obtida usando o mesmo o algoritmo apresentado na seç ão 2.3, considerando os seguintes modelos:

(i) a planta distinguidaGd= Gak Hd, tal queL(Gd) = Π−1(L(G)) ∩ Ld;

(ii) a especificac¸ ˜aoEd = EdU k EdO;

(iii) o comportamento desejado Kd= Ed∩ Lω(Gd).

Como resultado, a soluç ão ótima é o supervisorSd = supC(Kd, Gd),

modelado por um aut ˆomato Vd tal que Lω(Vd) = Sd. A Tabela 1 apresenta

uma comparaç ão entre os modelos usados para s´ıntese do PCS e PCS-D, e suas respectivas soluç ões. Essa comparaç ão é contextualizada em n úmero de estados e transiç ões que comp õem cada modelo.

Tabela 1 – Resultado da s´ıntese para o PCS e PCS-D - estados (transic¸ ˜oes)

G E K V

4 (8) n + 1 (2n) 4n + 4 (8n + 4) 4n + 2 (8n)

Gd Ed Kd Vd

4n + 4 (8n + 8) 4 (20) 4n + 4 (8n + 4) 4n + 2 (8n) Como pode ser analisado, as especificaç ões s ão modeladas em ∆ por um n úmero de estados constante, independente do tamanho do buffer,

(42)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 41 enquanto que, em Σ, essa complexidade cresce em funç ão da capacidade do buffer. Por outro lado, observe que tal simplificaç ão n ão se propaga para a etapa de s´ıntese. De fato, os modelos K e Kd, bem como os supervisores

(V e Vd), possuem o mesmo n ´umero de estados. Isso se deve ao fato de

que, na abordagem com distinguidores, os ganhos obtidos na simplificaç ão da especificaç ão s ão compensados pela adiç ão do modelo do distinguidor na planta. Em geral, é esperado que a complexidade de s´ıntese seja equivalente.

Sumarizando, pode-se dizer que as vantagens do uso de distinguidores, como apresentados at é aqui, se resumem a simplificar a modelagem de especificaç ões complexas sem alterar o resultado de s´ıntese. Tal simplificaç ão pode ser decisiva para viabilizar a soluç ão de problemas complexos de controle. No entanto, tamb ém é verdade que o uso direto de distinguidores n ão prov ê economias computacionais no processo de s´ıntese, o que seria esperado de uma abordagem focada em simplificaç ão de modelos. Uma alternativa para explorar vantagens computacionais de modelos distinguidos é apresentada a seguir e sustenta a principal proposta deste trabalho.

2.4.3 APROXIMAC¸ ˜OES NO PCS-D

No sentido de propagar os benef´ıcios providos pelo uso de um distinguidor para o processo de s´ıntese, o conceito de aproximaç ão é proposto em Cury et al. (2015). Em determinados casos, uma aproximaç ão pode levar a uma soluç ão de controle computada com menos ônus computacional preservando, ao mesmo tempo, os benef´ıcios de um distinguidor.

A ideia b ásica por tr ás de uma aproximaç ão é fazer o uso de especificaç ões modeladas em ∆, mas substituir a planta distinguida Gd por

uma aproximaç ãoGa, com menor n úmero de estados. A construç ão de um Ga

mais simples do queGdimplica, inevitavelmente, em usar um modelo de planta

(43)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 42 e requer uma sistem ática pr ópria.

Em Cury et al. (2015) os autores sistematizam a construc¸ ˜ao de Ga

como se segue. Sejam Da e D dois distinguidores tais que Ld ⊆ Lda ⊆ ∆ ∗

e tal que D ´e predit´ıvel. Por inclus ˜ao, todas as cadeias que sobrevivem em Ld

tamb ém sobrevivem em Lda. A diferença é que Lda pode talvez habilitar mais

cadeias do que aquelas emLd. ´E imagin ´avel que, tendo que distinguir menos,

um aut ˆomato Hda modelando Lda seja mais simples do que Hd modelando Ld,

em termos de n ´umero de estados.

Assim, quando aplicado a uma planta G, Da produz uma

aproximac¸ ˜aoGa = Da(G) para Gd = D(G), com L(Ga) = Da(L(G)) e Lω(Ga) =

Da(Lω(G)).

Resta definir, ent ˜ao, como modelar um distinguidor Hda que modele

Lda de maneira tal que possa ser associado `a planta G para produzir

uma aproximaç ão que leve a um processo de s´ıntese computacionalmente vantajoso, preservando-se a otimidade do controlador. Nesse sentido, observe queHd é modular, por construç ão, como ilustrado no exemplo anterior. Ent ão,

qualquer composic¸ ˜ao de sub-modelos deHd leva a um modelo de distinguidor

Hda que modelaDa, uma vez queLd ⊆ Lda. Ou seja, a construc¸ ˜ao deHda pode

se dar simplesmente desconsiderando partes do modeloHd.

Um caso particular que respeita a inclus ˜ao Ld ⊆ Lda e que define

um limite da aproximaç ão é quando Hda = Hd, o que implica na igualdade Ld

e Lda. Naturalmente, esse caso remete a uma aproximaç ão que n ão prov ê

simplificaç ão na s´ıntese, ainda que preserve os benef´ıcios de modelagem. Nesse caso, Ga é um modelo com o mesmo n úmero de estados de Gd. No

limite oposto,Hda = H

∆_{implica que}

Lda = ∆ ∗

, o que remete a uma aproximaç ão possivelmente vantajosa em s´ıntese. Nesse caso, Ga = Π−1(G) é um modelo

com o mesmo n ´umero de estados deG.

Na pr ática, o processo de s´ıntese envolvendo aproximaç ões parte do caso em queGa = Π−1(G) uma vez que esse tende a ser mais vantajoso, i.e.,

(44)

2.4 Teoria de controle supervis ório com distinguidores 43 a aproximaç ão é a vers ão mais ``relaxada´´ poss´ıvel de Gd. No entanto, pode

ser mostrado (CURY et al., 2015) que, em certos casos, tal aproximaç ão pode n ão levar a uma soluç ão ótima de controle. Para esses casos, aproximaç ões intermedi árias podem ser obtidas atrav és da composiç ão incremental de qualquer m ódulo de Hd, at é que resulte na soluç ão ótima. Em (AGUIAR et al.,

2013) é apresentada uma heur´ıstica que sugere quais partes do distinguidor s ão necess árias à s´ıntese.

Mostra-se agora como uma soluç ão para PCS-D pode ser encontrada usando uma aproximaç ãoGaparaGd.

Dados Gd eEd, como no PCS-D, sejaGa uma D-aproximac¸ ˜ao para

Gd. ParaKa = Ed∩ Lω(Ga), se supC(Ka, Ga) e Ld forem n ˜ao-conflitantes, ent ˜ao

um supervisor Sa, implementando supC(Ka, Ga) ∩ Ld, é uma soluç ão para o

PCS-D, tal que

supC(Ka, Ga) ∩ Ld ⊆ supC(Kd, Gd).

Embora Sa seja uma soluç ão control ável e n ão-bloqueante para o

PCS-D, essa soluç ão pode ser mais restritiva do que a soluç ão supC(Kd, Gd)

(caso da inigualdade). Essa restriç ão é derivada do fato de que, com a aproximaç ão, o processo de s´ıntese disp õe de menos informaç ões sobre a planta, i.e., as informaç ões contidas nos eventos podem em geral ser amb´ıguas, o que leva o supervisor a se precaver de sequ ências que possam interferir na controlabilidade e/ou no n ão-bloqueio.

Para estimar quando uma soluç ão é mais restritiva, basta comparar o n úmero de estados dos modelos que implementam supC(Ka, Ga) ∩ Ld e

supC(Kd, Gd). No entanto, para isso, ´e necess ´ario que se calcule efetivamente

supC(Kd, Gd), o que pode n ão ser vi ável computacionalmente. Ali ás, uma das

finalidades das aproximaç ões é justamente evitar tal c álculo. Assim, uma forma de verificar se a soluç ão implementada porSa é ótima, sem a necessidade de