LISTA 3-4
1) exemplo 2-28, pag 101, Krauss.
Considerar um circuito retangular como na figura. A largura L é constante. O comprimento x é incrementado uniformemente no tempo pelo movimento da barra condutora com velocidade u. O fluxo de campo magnético é normal à superfície do circuito, e varia com o tempo segundo: B= B0cosωt. Achar a Vfem total induzida no circuito.
Solução: Neste caso, devemos usar a expressão completa da lei de Faraday:
Desde que u e B são perpendiculares, o produto vetorial entre ambos será o produto entre os módulos, com isso:
Dai, a Vfem total será:
2)Krauss pag 103. Considerar um circuito retangular (dimensões LxR, ver figura) rotando num campo magnético uniforme e estático B, com velocidade angular ω em torno da linha tracejada. Determinar a Vfem induzida no circuito.
Solução: olhando o sistema com o eixo de rotação perpendicular à linha de visão, temos:
u
x L x
E l B ds u B dl t d Vfemt
B
utL
t
B
xL
d
t
t
B
t
0sin
0sin
0sin
B
s
B
uB dluB0Lcost t L uB t B utLVfem
0sin
0 cos
B
L R
Desde que o campo magnético permanece constante, devemos usar a expressão:
Para efetuar o produto vetorial entre v e B, usamos a definição, i.e., o produto do modulo dos vetores pelo seno do ângulo entre eles. Observar que, o vetor resultante deste produto terá componente apenas nos braços de comprimento L da espira, e de sentidos contrários um respeito do outro, i.e., pode-se calcular a circulação desse vetor:
Onde A é a área do circuito.
3)(Ulaby, ex 7-8, pag 225) Uma onda plana uniforme se propaga para baixo, na direção positiva de z na água do mar. O plano x,y, indica a superfície do mar. Os parâmetros constitutivos da água do mar são: εr = 80, μr = 1 e σ = 4S/m. Observação: εr= εH2O/ ε0
Se o campo magnético em z = 0 é:
mA/m a) obter as expressões para E(z,t) e H(z,t).
b) determinar a profundidade na qual a amplitude do campo E, é 1% do seu valor em z=0. Solução:
Devemos determinar primeiro se a agua é mesmo um condutor nessa frequência. Para
isso, avaliamos a quantidade, a qual é >>1,
logo, a agua se comporta como condutora nessa frequência, daí, a expressão para a cte de propagação vira (μ0 = 410-7Hm):
, dai,
Substituindo valores, fica:
Daí a expressão para o campo magnético:
) 15 10 2 cos( 100 ˆ ) , 0 ( H t y 3t 0 5 10 3 2 10 9 10 08 . 7 10 2 4 O H 2 2 (1 ) 2 j m j 1) 1 ( 10 4 2 m mA z t e y t z, ) ˆ100 zcos(2 10 4 10 15 ) ( H 4102 3 2 0 B v θ R ω
v B dl fem V
2LvBsin RLBsin( t) ABsin( t)Para calcular o campo elétrico, podemos aplicar o conceito de impedância característica, i.e.,
.
A impedância característica neste caso (médio condutor), é:
Substituindo valores, temos:
Pela equação da impedância característica: , devemos aplicar essa equação às amplitudes complexas (fasores), dai, escrevemos o campo magnético em forma complexa:
A amplitude será:
e, a amplitude do campo elétrico:
Desde que a onda se propaga em z, e o campo magnético tem componente y, o campo elétrico estará orientado segundo x, dai, podemos escrever:
Tomando a parte real:
b) s s H E 0 0 450 2 1 j ej 3 7 450 2 450 10 2 4 10 4 10 2 2 j j e e s s H E0 0 m mA e e y t z, ) ˆ100 4 102z j(2 103t 4 102z 150) ( H m mA e H0s 100 j(150) m mV e e e H E0 0 2102 j450100 j150 2 j600
m
mV
e
e
x
t
z
,
)
ˆ
2
4 102z j(2 103t 4 102z 600)(
E
m mV z t e x t z, ) ˆ 2 zcos(2 10 4 10 60 ) ( E 4102 3 2 0 m z e z e z 64 . 36 10 4 ) 01 . 0 ln( ) 01 . 0 ln( ) ln( 10 4 01 . 0 2 2 10 4 2 não magnético (μ=μ0) é dado por:
a) Obter uma expressão para o campo magnético H(x,t). b) Determinar a impedância característica do médio. Solução:
a) Escrevemos o campo elétrico na forma complexa:
Dai, podemos identificar as ctes α, β e também a freq. angular:
Dos dados do problema, temos:
O fasor campo elétrico é:
A lei de Faraday em forma fasorial:
Com isto, podemos determinar o fasor correspondente ao campo magnético, Hs.
Desde que o campo elétrico tem componente segundo z e depende de x, o rotacional fica:
Passando o numero complexo em forma retangular a polar, e lembrando que [H]=Vs/A:
Multiplicando por ejωt e tomando parte real:
m
V
x
t
e
z
t
x
,
)
ˆ
25
xcos(
2
10
40
)
(
30
9
E
m
V
e
e
z
t
z
,
)
ˆ
25
30xRe
j(2 109t 40x)(
E
m
V
e
z
x
)
ˆ
25
( 30x j40x)(
Es
s s j H E m 1 30 m 1 40 m 1 30 s rad 9 10 2 m H 7 0 4 10
x j x s y j e x Es yˆ ˆ2530 40 30 40 E
x j x
x j x s e m H s rad m V m j y e j y 30 40 7 9 40 30 0 2 10 4 10 1 30 40 25 ˆ 30 40 25 ˆ H m
A
e
e
y
e
Am
Vs
s
rad
m
V
e
m
y
x j x x j x j s ) 86 . 36 40 ( 30 40 30 7 9 86 . 36 0 016
.
0
ˆ
10
4
10
2
1
50
25
ˆ
H
t
x
A
m
e
m
A
e
e
(x,t)
y
ˆ
0
.
16
30xRe
j(40x 36.86 t)y
ˆ
0
.
16
30xcos
2
10
940
36
.
86
0H
0
b) Sabemos que:
e temos para as amplitudes dos fasores dos nossos campos:
5) Os parâmetros constitutivos do cobre são: µ=4x10-7 H/m, =(1/36)x10-9F/m e = 5.8x107S/m. Ao longo de qual faixa de frequências o cobre é um bom condutor?
Solução:
Para um bom condutor, temos que:
Tomando o número 100, como sendo muito maior que 1:
Lembrar que 1 =V/A, e 1A (ampere)= 1 C/s. Observação: C nas unidades representa Coulomb; multiplicar e dividir o denominador por segundo (s), para chegar às unidades do resultado.
Daí, o cobre é bom condutor para f < 1.04x10161/s
6) (Ulaby, ex 7-14, pag226) Ao longo de qual faixa de frequência o solo seco (εr=3, μr = 1
e σ = 10-4
S/m), pode ser considerado um dielétrico de baixa perda? Considerar ε0= 8.85x10-12F/m
Solução:
Para dielétricos, temos a condição: ou
Dai: 1 100 s C V m F m S f f 2 100(1/36 ) 10 / 1.04 10 1.04 10 1/ / 10 8 . 5 100 2 100 2 16 16 9 7 01 . 0 1 2 100 f C Vm m m F m f 1 10 60 10 85 . 8 3 2 1 10 100 6 12 4 s s H E 0 0
m
V
E
0S
25
m
A
e
H
s j 0 86 . 36 00
.
16
0 0 86 . 36 86 . 36 156.25 16 . 0 25 j j e m A e m V Logo, o solo é um dielétrico para f>60MHz.
7) (Cheng, exemplo 7-8, pag.357). Uma onda eletromagnética harmônica de frequência f = 1GHz, cujo campo elétrico tem uma amplitude de 250 V/m, se propaga num dielétrico cuja tangente de perdas é 0.001. Considerar εr= ε/ε0 = 2.5, e ε0= 8.85x10-12F/m. Achar a
densidade de potência média dissipada por efeito joule no médio. Solução:
Determinamos primeiramente a condutividade do dielétrico:
Daí, a condutividade do dielétrico é: σ=1.39x10-4
S/m
Para saber a densidade de potência média dissipada por efeito joule vemos, no teorema de poynting que o termo correspondente é:
Desde que o campo elétrico varia em forma harmônica, o campo elevado ao quadrado será proporcional ao cos2(ωt), (ou sin2(ωt)), daí o valor médio temporal será:
8) Dada uma onda eletromagnética com frequência de 3MHz, se propagando no cobre (µ=4x10-7 H/m, =(1/36)x10-9F/m e = 5.8x107S/m.), calcular:
a) Velocidade de fase (comparar com a velocidade da onda no vácuo) b) comprimento de onda (comparar com o comprimento de onda no vácuo) c) Skin depth.
Solução:
Como f=3x1061/s, pelo exercício anterior, o cobre é excelente condutor nessa frequência, logo, usamos as expressões deduzidas para bons condutores:
a)
m s m Am Vs s m m H s m m H s v / 720 / 1 ) / ( 2 . 23 / 1 10 12 / 1 10 8 . 5 / 10 4 / 1 10 3 2 2 / 1 10 8 . 5 / 10 4 / 1 10 3 2 2 2 6 7 7 6 7 7 6 m
F
s
12 910
85
.
8
5
.
2
1
10
1
2
001
.
0
tan
2E
P
3 2 2 2 4 2 01
.
39
10
250
4
.
34
2
1
2
1
m
W
m
V
m
S
E
P
Vemos que é muito menor que a velocidade da onda eletromagnética no vácuo, i.e., 3x108m/s
b)
i.e. ~ 0.24 mm, comparando com o comprimento de onda no vácuo: 0=c/f=3x108m/s/3x1061/s=100 m.
c)
O skin depth (profundidade à qual o modulo do campo elétrico decresce a 1/e do seu valor na entrada nesse médio), ~ 0.038 mm. i.e., o médio atenua fortemente uma onda EM nessa frequência.
9) (Exemplo weinthworth, pag 137)
Considerar uma corrente continua I atravessando um condutor cilíndrico de comprimento “L” e rádio “a” e condutividade σ.
a) calcular os campos elétricos e magnéticos num ponto da superfície desse condutor, b) calcular o vetor de poynting, verificar o teorema de poynting e interpretar o resultado. Solução:
a) Primeiro, observamos que a situação é estática, logo, o teorema de poynting fica reduzido a:
A densidade de corrente no condutor será: . Pela simetria do problema, tanto E Quanto J são vetores unidimensionais, escolhemos z como eixo de simetria do condutor (segundo o seu comprimento)
Pelo fato da corrente ser uniformemente distribuída, teremos:
s Vs A
m
m
m m m H s f 4 7 7 7 6 10 39 . 2 / 1 / 1 / / 1 10 96 . 6 1 2 / 1 10 8 . 5 / 10 4 / 1 10 3 2 2
s Vs A
m
m
m m m H s f ZSk 5 7 7 7 6 10 81 . 3 / 1 / 1 / / 1 10 96 . 6 1 / 1 10 8 . 5 / 10 4 / 1 10 3 1 1
d
E
dv
Scie
2s
H
E
E Jz
a
I
ˆ
2
J
Dai:
Para calcular H, utilizamos a lei de Ampere:
b) calculando o vetor de Poynting, temos:
Claramente, o vetor aponta para dentro do condutor. Vamos calcular o fluxo dele na superfície fechada. Desde que consideramos as normais à superfície apontando para fora do volume, i.e., na direção –r, e nas “tampas” superior e inferior do condutor o vetor de poynting é perpendicular às normais, o fluxo de S fica (desde que S é constante na superfície do condutor, a integral de superfície se obtém simplesmente multiplicando o integrando pela superfície do cilindro, sem considerar as “tampas”):
Para verificar o teorema, calculamos σE2
e fazemos a integral de volume (vezes -1).
z
a
I
ˆ
2
J
E
ˆ
2
2
.
d
.
a
I
I
a
H
d
H
l
J
S
H
z
J
H EL
a φr
a
I
z
a
I
a
I
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
2 3 2 2
E
H
S
2 2 3 2 2ˆ
ˆ
2
2
a
L
I
r
r
a
aL
I
d
d
Scie Scie
S
s
E
H
s
Volumea
L
I
a
L
a
I
dv
a
I
a
I
E
2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
Com o qual o teorema se verifica (desde que E é constante no condutor, a integral de volume se obtém simplesmente pela multiplicação do integrando vezes o volume do cilindro)
Interpretação; o resultado nos diz que o fluxo de energia, ou energia por unidade de tempo fluindo para dentro do resistor, é:
Onde foi utilizada a expressão para resistência ôhmica do condutor. Obtemos assim a lei de joule de dissipação de potência.
