PROFESSOR: Ricardo César.
“Concordo com Dom Quixote: o meu repouso é a batalha.” Pablo Picasso.
MANIA DE PITÁGORAS
Um pouco de História...
No século VI antes de Cristo (a.C.), Pitágoras de Samos (perto de Mileto onde 50 anos antes tinha nascido Tales) foi uma das figuras mais influentes e, no entanto, misteriosas da Matemática. Como não existem relatos de sua vida e de seus trabalhos, Pitágoras está envolto em mito e na lenda, tornando difícil para os historiadores separar o fato da ficção. O que parece certo é que Pitágoras desenvolveu a ideia da lógica numérica e foi responsável pela primeira idade de ouro da Matemática. Graças ao seu gênio, os números deixaram de ser apenas coisas usadas meramente para contar e calcular e passaram a ser apreciados por suas próprias características. Ele estudou as propriedades de certos números, o relacionamento entre eles e os padrões que formavam. Ele percebeu que os números existem independente do mundo palpável e, portanto, seu estudo não é prejudicado pelas incertezas da percepção. Isso significa que ele poderia descobrir verdades que eram independentes de preconceitos ou de opiniões, sendo mais absolutas do que qualquer conhecimento prévio.
Pitágoras adquiriu suas habilidades Matemáticas em suas viagens pelo mundo antigo. Algumas histórias tentam nos fazer crer que Pitágoras teria ido até a Índia e a Inglaterra, mais o mais certo é que ele aprendeu muitas técnicas Matemáticas com os egípcios e os babilônios. Esses povos antigos tinham ido além da simples contagem e eram capazes de cálculos complexos que lhes permitiam criar sistemas de contabilidades sofisticados e construir prédios elaborados. De fato, os dois povos viam a matemática como uma ferramenta para resolver problemas práticos. A motivação que conduziu à descoberta de algumas das leis básicas da geometria era a necessidade de refazer a demarcação dos campos, perdida durante as enchentes anuais do rio Nilo. Antes de resolvermos a nossa
Lista de Problemas(
OBÁ!
)
01.(PARA REFLETIR!) Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio
(Estados Unidos) era realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou “The Pythagorean Proposition” (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, este número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo “National Council of Teachers of Mathematics” daquele país.
02.Demonstre o Teorema de Pitágoras de, pelo menos, cinco maneiras diferentes. 04.O triângulo de lados e é:
a)isósceles b)equilátero c)acutângulo d)retângulo
05.Considere o quadrilátero ABCD da figura abaixo, em que as diagonais Ac e BD são
perpendiculares. Conhecendo-se as medidas e , a medida pode ser calculada através da seguinte relação:
a) b) c)
d) e)
06.(PARA REFLETIR!)Veja algumas aplicações do Teorema de Pitágoras:
07.(OBM)Observe as igualdades a seguir:
Considere a igualdade com base nos exemplos anteriores procure determinar os números naturais e . Podemos concluir que é igual a:
a)289 b)121 c)81 d)144 e)196
08.O que são ternos pitagóricos? Quantos ternos desse tipo existem?
09.Determine todos os triângulos retângulos cujos lados são dados por e .
10.Em um triângulo as medianas que partem de e B são perpendiculares. Se e , calcule .
11.(OBM-2007)Seja um triângulo retângulo isósceles. e são pontos sobre a hipotenusa , com entre e , e o ângulo Prove que
12.Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo cujos lados medem
e
13.O ponto é interior ao retângulo e tal que , e . Calcule .
14.(OCM-1982)Duas torres, uma com 30 passos e a outra 40 passos de altura, estão à distância
de 50 passos uma da outra. Entre ambas se acha uma fonte, para qual dois pássaros no mesmo momento do alto das torres com a mesma velocidade e chegam ao mesmo tempo. Quais as distâncias horizontais da fonte às duas torres? (Leonardo de Pisa, Liber Abaci, 1202).
15.(PARA REFLETIR!)Quando assistia aos jogos olímpicos, Leon, príncipe de Pilos, perguntou à
cura de lucros, outros foram trazidos pelas esperanças e ambições da fama e da glória. Mas entre eles existem uns poucos que vieram para observar e entender tudo o que se passa aqui.
Com a vida acontece a mesma coisa. Alguns são influenciados pela busca de riquezas, enquanto outros são dominados pela febre de poder e da dominação. Mas os melhores entre os homens se dedicam à desco- berta do significado e dos propósitos da vida. Eles tentam descobrir os segredos da natureza. Este tipo de homem eu chamo de filósofo, pois embora nenhum homem seja completamente sábio, em todos os assuntos, ele pode amar a sabedoria como a chave para os segredos da natureza.
16.Duas circunferências de raios e são tangentes exteriormente e são tangentes a uma reta nos pontos e .
a) determine a media do segmento .
b) Determine a seguir o raio de uma circunferência que é tangente à reta e às duas circunferências dadas.
17.Sabendo que A, B e C são figuras semelhantes, generalize o Teorema de Pitágoras.
18.(AS LÚNULAS DE HIPÓCRATES)A figura a seguir mostra um triângulo retângulo e três
semicircunferências tendo os lados como diâmetros. Mostre que a soma das áreas das duas “lúnulas” sombreadas é igual à área do triângulo.
19.(OBM)No triângulo ABC, Os pontos e sobre o lado BC são tais que e A medida do ângulo , em graus, é igual a:
a)30 b)40 c)45 d)60 e)75
20.(PARA REFLETIR!)Os pitagóricos, tendo uma forte ligação mística com os números, os
números perfeitos, números amigos, etc. e números poligonais, que apresentaremos a seguir.
Os números poligonais surgem da contagem de certos pontos harmonicamente dispostos nas arestas e vértices de polígonos regulares. Assim é possível usar propriedades geométricas conhecidas para descobrir e provar propriedades relativas aos números. Uma mistura de Geometria e Aritmética. Vejamos:
Números triangulares: O n-ésimo número triangular é dado por .
Números quadrados: O n-ésimo número quadrado é dado por .
Números pentagonais: O n-ésimo número pentagonal é dado por .
Números hexagonais: O n-ésimo número hexagonal é dado por .
21.(OCM-1984)Se as diagonais de um quadrilátero(convexo) são perpendiculares, prove que as
somas dos quadrados dos lados opostos são iguais.
22.É dado um quadrado de lado . Determine o raio da circunferência que contém os vértices e e é tangente ao lado .
23.Em um triângulo retângulo de perímetro , a altura relativa à hipotenusa é Calcule o
comprimento da hipotenusa em função dos elementos dados.
24.Sendo e os catetos e a altura de um triângulo retângulo, mostre que:
semicircunferência de diâmetro , sendo e perpendiculares a . Quanto mede o segmento ?
a) b) c) d) e)
27.(OBM-2003)A figura abaixo mostra duas retas paralelas e .A reta é tangente às
circunferências e , a reta é tangente às circunferências e e as circunferências tocam-se como mostra a figura.
As circunferências e têm raios e , respectivamente. Qual é o raio da circunferência ?
a) 2 b) c) d) e)
28.Demonstre as identidades abaixo envolvendo os números poligonais.
a) b)
c)
29.(PARA REFLETIR!)O Teorema de Pitágoras pode ser usado para visualizar geometricamente
três médias estatísticas: a média aritmética(M.A.), a média geométrica(M.G.) e a média harmônica(M.H.). Sendo e dois números positivos, temos que:
Onde , e .
“Quando vejo uma criança dois sentimentos me afloram: ternura pelo
que ela é; e respeito pelo que ela pode ser.”
