Aula 7 - Análise de Variância

Análise de Variância

Análise de Regressão

Prof. MSc. Danilo Scorzoni Ré

FMU – Estatística Aplicada

Análise de Variância

Conceitos Gerais

• Em toda a disciplina vimos como relacionar dois fenômenos quantitativos e avaliá-los se possuem relação entre si.

• A ANOVA (análise de variância) é um procedimento estatístico para comparar os efeitos de variáveis preditoras qualitativas.

• Vimos na aula de inferência (Controle de Qualidade) como comparar dois grupos

distintos através do teste t de Student (ou Gosset).

• No entanto, podemos querer comparar mais de dois grupos. Esse é o caso mais comum na indústria.

Conceitos Gerais

Processo Atual Ineficiente

Conceitos Gerais

Processo Atual Ineficiente

Novos Fornecedores de Matéria-Prima

Conceitos Gerais

Processo Atual Ineficiente

Novos Fornecedores de Matéria-Prima

Como saber qual é a melhor

alternativa?

Conceitos Gerais

• A ANOVA é o método estatístico adequado para comparar diferentes

tratamentos em um delineamento experimental corretamente planejado.

• O delineamento experimental é importante para atestar que as fontes de variação são controladas. Sendo assim, as conclusões sobre os efeitos de cada um dos fatores (fornecedores, por exemplo) podem ser tomadas com maior segurança.

• Um experimento bem planejado deve seguir dois princípios muito importantes: 1. Replicação

2. Aleatorização

Conceitos Gerais - Replicação

• É a habilidade de replicar os efeitos dos fatores testados em diversas unidades experimentais. A unidade experimental é a menor entidade cujo tratamento é aplicado.

Conceitos Gerais - Aleatorização

• É a garantia de que os tratamentos foram aplicados nas unidades aleatorizadas. Em termos práticos, cada unidade experimental tem a mesma chance de

receber os diferentes tratamentos testados.

Análise de Variância

Conceitos Gerais – Tipos de Delineamento Experimental

• Os delineamentos experimentais mais comuns são:

• Delineamento Inteiramente Casualizado – neste caso estamos avaliando apenas um fator, que pode ter 2 ou mais níveis testados. Por exemplo: diferentes

fornecedores para uma mesma matéria prima. Neste caso, as unidades experimentais são homogêneas, ou seja, possuem características muito semelhantes.

• Delineamento Casualizado em Blocos – também para avaliar apenas um fator com 2 ou mais níveis testados. Entretanto, assume-se que a unidade experimental é

heterogênea e, portanto, a casualização (ou aleatorização) é realizada dentro de

blocos de unidades experimentais homogêneas.

Análise de Variância

Conceitos Gerais – Tipos de Delineamento Experimental

Delineamento Inteiramente

Casualizado Delineamento Casualizado em Blocos

Bloco 1

Bloco 1

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

• Para testar diferentes tipos de ração no crescimento animal, uma empresa agropecuária tinha 20 animais à disposição para realizar o estudo.

• Os pesquisadores queriam testar 5 diferentes rações. Portanto, foi definido que seriam distribuídos 4 animais para cada tipo de ração.

• Os animais possuíam dimensões muito semelhantes, portanto, foi escolhido o

delineamento inteiramente casualizado.

• Os animais foram marcados com um colar com um número de 1 a 20 e os

tratamentos foram aleatorizados, onde cada animal teve a mesma chance de ser

escolhido para a aplicação de cada um dos tratamentos.

• Os animais foram alimentados somente com a ração testada e após 90 dias tiveram seus pesos medidos para avaliar a efetividade dos tratamentos.

Análise de Variância

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

Tipo de Ração Repetições

1 2 3 4 1 3,31 6,1 8,53 3,84 2 23,62 26,94 20,16 22,18 3 14,75 25,2 17,56 24,8 4 30,58 30,69 18,54 27,56 5 50,25 45,12 37,25 52,15

Análise de Variância

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

Tipo de Ração Repetições

1 2 3 4 1 3,31 6,1 8,53 3,84 2 23,62 26,94 20,16 22,18 3 14,75 25,2 17,56 24,8 4 30,58 30,69 18,54 27,56 5 50,25 45,12 37,25 52,15

Qual tipo de ração garante o melhor ganho

de peso entre os animais?

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

• Visualmente parece ser muito evidente! • Mas existe diferença estatística? • Nível de significância: 5%

Análise de Variância

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

O teste F é o teste estatístico adequado para a

comparação de diferentes tratamentos. Ele é

obtido através do quadro de análise da variância.

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19 Número de tratamentos – 1

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19 Variação Geral

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19

Relação entre variância dos tratamentos e a geral

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

𝐻₀: 𝜇₁ = 𝜇₂ = 𝜇₃ = 𝜇₄ = 𝜇₅ Todos os tratamentos são iguais

𝐻₁: 𝜇_𝑛 ≠ 𝜇_𝑚 Pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 4 3425 856,3 36,2 1,54E-07 Resíduo 15 355 23,7 Total 19 Rejeito 𝑯_𝟎

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

• O teste F me diz que pelo menos um dos

tratamentos é diferente dos demais.

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

• O teste F me diz que pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais. • Mas quem é diferente de quem?

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Inteiramente ao Acaso - Exemplo

• O teste F me diz que pelo menos um dos tratamentos é diferente dos demais. • Mas quem é diferente de quem? • Teste de Tukey!

Concluímos então que o Tratamento 5 é

estatisticamente superior aos demais.

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

• Em uma indústria agropecuária que produz ração para porcos, os clientes tem reclamado que seu principal produto no mercado não tem funcionado da forma desejada.

• O Engenheiro de Qualidade decide então fazer um teste para mudar a composição da ração, priorizando diferentes componentes da ração. Os seguintes tratamentos foram, então, definidos:

• Tratamento A – Ração + Suplemento Proteína • Tratamento B – Ração + Suplemento Carboidratos • Tratamento C – Ração + Suplemento Gorduras

• Para testar a eficácia da ração, a indústria realizou o experimento em uma fazenda que tinha 15 porcos disponíveis. Porém, estes porcos apresentavam pesos

Análise de Relações - ANOVA

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

Análise de Relações - ANOVA

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

Fonte de Variação GL Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 2 3,73 1,865 67,8 1,05E-05 Blocos 4 32,09 8,0225 291,7 1,17E-08 Resíduo 8 0,22 0,0275 Total 14 36,04

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

Fonte de Variação GL Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 2 3,73 1,865 67,8 1,05E-05 Blocos 4 32,09 8,0225 291,7 1,17E-08 Resíduo 8 0,22 0,0275 Total 14 36,04 Rejeito 𝑯_𝟎!

Análise de Relações - ANOVA

Análise de Relações - ANOVA

Delineamento Casualizado em Blocos - Exemplo

Fonte de Variação GL Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor Tratamentos 2 3,73 1,865 67,8 1,05E-05 Blocos 4 32,09 8,0225 291,7 1,17E-08 Resíduo 8 0,22 0,0275 Total 14 36,04 Rejeito 𝑯_𝟎!