Estabilidade de variações que preservam áreas em formas espaciais.

Texto

(1)Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Disserta¸caõ de Mestrado. Estabilidade de Varia¸co˜es que Preservam ´ Area em Formas Espaciais. Arlyson Alves do Nascimento. Maceió, Brasil 23 de Abril 2009 1.

(2) Arlyson Alves do Nascimento. Estabilidade de Varia¸co˜es que Preservam ´ Area em Formas Espaciais. Disserta¸caõ de Mestrado na a´rea de concentra¸cão de Geometria Diferencial submetida em 23 de Abril de 2009 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários a` obten¸cão do grau de mestre em Matemática.. Orientador: Prof◦ Dr. Fernando Enrique Echaiz Espinoza. Maceió 2009.

(3) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale. N244e. Nascimento, Arlyson Alves do. Estabilidade de variações que preservam área em formas espaciais / Arlyson Alves do Nascimento, 2009. 99 f. : il. Orientador: Fernando Enrique Echaiz Espinoza. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2009. Bibliografia: f. 97-98. 1. R-ésima. 2. Curvatura média. R-estáveis. 4. Variações que preservam área. 5. Imersão isométrica. 6. Geometria diferencial. I. Título. CDU: 514.7.

(4)

(5) ... querer o meu, não é roubar o seu, pois o que eu quero, é só fun¸cão de eu ... (Novo aeon - Raul Seixas).. 4.

(6) A Deus e Aos meus pais.. 5.

(7) Agradecimentos. Primeiramente, a Deus por tudo. Ao professor Fernando Enrique Echaiz Espinoza, meu orientador, por esses anos de orienta¸cão acadêmica, pela confian¸ca depositada em mim, pela grande amizade e, finalmente, por ter me ajudado a crescer como pessoa e como profissional. Aos professores Henrique Fernandes, Marcos Petr´ ucio e Hilario Alencar pelas valiosas corre¸co˜es e sugestões dadas para melhoria desta disserta¸cão. Aos professores do Mestrado Vin´ıcius Mello, Krerley Oliveira, Ediel Azevedo, Adán Corcho e Guadalupe Reis pela pela contribui¸caõ em minha forma¸caõ acadêmica. Aos meus amigos do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFAL, Alex Santana, Borges, Carlos Alberto, Darliton Cezário, Erickson Fonseca, Everson Fernando, Fabio Boia, Isnaldo Barbosa, Leandro Favacho, Leonardo, Priscila Santos. Aos meus amigos e professores Marcius Petr´ ucio e Márcio Henrique, um agradecimento todo especial pelas importantes d´ uvidas esclarecidas, as quais deram firmeza a vários argumentos matemáticos desta disserta¸caõ. Aos meus amigos Askery Alexandre, José Eduardo, André Pizzaia e Daniel Nicolau pela for¸ca dada, assim como também agrade¸co a, Gelsivânio Souza, Daniel lemos, Isaura Maria e Rinaldo. Sou muito grato aos professores Adonai Pereira Seixas e Adroaldo Durvillé pelos cursos ministrados durante a gradua¸cão e as d´ uvidas esclarecidas durante minha forma¸cão matemática. A todos os professores do Instituto de Matemática da UFAL que colaboraram com minha forma¸caõ matemática, em especial aos profesores Francisco Potiguar, Sinvaldo Gama, José Carlos e Arnon Tavares. Agrade¸co a todas as amizades que eu fiz na Ufal, aos companheiros de festa e diversão, agrade¸co também aos meus companheiros de banda (Absurdos) pela paciência e confian¸ca. E, finalmente, aos meus padrinhos Silvio Pimentel e Maria do Amparo de cora¸caõ por todo o carinho e apoio dado até hoje, aos meus irmãos Anderson e Anne e em especial aos meus pais Antônio e Jô. ` Funda¸caõ de Amparo a` pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL - pelo apoio A financeiro. 6.

(8) Resumo. O objetivo desta disserta¸caõ é estudar as hipersuperf´ıcies compactas sem bordo e imersas em formas espaciais com SSr+1 constante, onde Sr+1 é a (r + 1)-ésima fun¸cão simétrica 1 das curvaturas principais. Tais hipersuperf´ıcies são os pontos cr´ıticos de um problema variacional que preserva a´rea. Demonstraremos que tais imersões são r-estáveis se, e somente se, elas forem hipersuperf´ıcies totalmente umb´ılicas.. Palavras-chave: r-ésima curvatura média, r-estáveis, varia¸co˜es que preservam a´rea.. 7.

(9) Abstract. In this dissertation, we deal with compact hypersurfaces without boundary immersed in space forms such that SSr+1 is constant. They are critical points for an area-preserving 1 variational problem. We show that they are r-stable if and only if they are totally umbilical hypersurfaces.. Key Words: rth mean curvatures, r-stability, Area-preserving variation.. 8.

(10) Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao. 9. 2 Preliminares 2.1 Defini¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Aplica¸caõ exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Imersões isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas. 2.5.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 O operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Operadores lineares el´ıpticos de segunda ordem . . . . 3 O operador Lr 3.1 Identidades de Newton . . . . . . . . 3.2 Os polinômios de Newton. . . . . . . 3.3 O operador Lr . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Elipticidade dos operadores Lr ˜r 3.3.2 Elipticidade dos operadores L. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. 10 10 11 12 14 17 17 18 20 21 22. . . . . .. 25 25 26 30 54 58. 4 O problema variacional que preserva ´ area. 65. 5 Estabilidade de hipersuperf´ıcies em M (c). 77. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 96. 8.

(11) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao O trabalho aqui realizado baseia-se no artigo de autoria de Yijun He e Haizhong Li [18]. Considere Mn como sendo uma variedade Riemanniana n dimensional, conexa, orientada, n+1 compacta e sem bordo. Seja M (c) o espa¸co euclidiano Rn+1 , um hemisfério aberto de Sn+1 (1) ou o espa¸co hiperbólico Hn+1 (−1), de acordo com c = 0, 1 ou −1, respectivamente n+1 e x : Mn −→ M (c) uma imersão isométrica. A r-ésima curvatura média Hr é definida por Hr = Sr / nr , onde Sr é a r-ésima fun¸caõ simétrica elementar. Claramente H1 é a curvatura média H. O problema variacional que preserva volume tem sido estudado por muitos autores ´ bem sabido que imersões com curvatura média constante são pontos (consulte [1-8]). E cr´ıticos para o problema variacional de minimizar o funcional área mantendo o balan¸co do volume zero. Uma solu¸caõ local para este problema variacional diz-se estável. Este conceito foi introduzido por Barbosa, do Carmo e Eschenburg em [8]. Para imersões de hipersuperf´ıcies com a (r + 1)-ésima curvatura média constante em formas espaciais, Alencar, do Carmo e Rosenberg estudaram o caso de Rn+1 em [3], Barbosa e Colares estudaram o caso de um hemisfério aberto de Sn+1 (1) e o espa¸co hiperbólico Hn+1 (−1) em [5]. Estas hipersuperf´ıcies são os pontos cr´ıticos de um problema variacional de minimizar um funcional do tipo Z Ar = Fr (S1 , . . . , Sr )dM, M. mantendo o balan¸co do volume zero, onde Fr é uma fun¸caõ adequada. Para o estudo desse problema Y. He e H. Li [18] introduziram o conceito de r-estabilidade de hipersuperf´ıcies o qual generaliza o conceito de estabilidade dado em [8]. Outro problema variacional para hipersuperf´ıcies envolvendo fun¸co˜es de S1 , . . . , Sr pode ser encontrada em [23]. Nesta disserta¸caõ cosideraremos hipersuperf´ıcies orientadas, compactas, conexas e sem n+1 constante. Veremos que a imersão bordo em M (c) com curvatura média positiva e SSr+1 1 é r-estável se, e somente se, é totalmente umbilica; no caso em que c = 0 o resultado vale para qualquer r, enquanto para c 6= 0 o resultado é somente válido para r par (veja [18]). 9.

(12) Cap´ıtulo 2 Preliminares O objetivo deste cap´ıtulo é dar um breve resumo de alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana, que serão utilizados neste trabalho. O conceito de variedade diferenciável serve para estender os métodos do cálculo diferencial a espa¸cos mais gerais que o Rn , baseados nesta no¸cão apresentaremos a no¸caõ de campo de vetores, variedade Riemanniana, conexão afim, aplica¸cão exponencial, curvatura, imersões isométricas, gradiente, divergente, laplaciano, hessiano. Maiores detalhes podem ser encontrados em [16],[15] e [12].. 2.1. Defini¸co ˜es. Defini¸c˜ ao 2.1.1. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ Tp M, onde Tp M é o plano tangente a M no ponto p. O campo é diferenciável se a aplica¸cão X : M −→ T M é diferenciável, onde T M é chamado de fibrado tangente de M que [é a união disjunta dos espa¸cos tangentes a M em todos os pontos de M (isto é, T M = Tp M). p∈M. Defini¸c˜ ao 2.1.2. Uma métrica Riemanniana em uma variedade diferenciável Mn é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h ·, · ip no espa¸co tangente Tp M, tal que: se x : U ⊂ Rn −→ M é um sistema de coordenadas locais em 1 , . . . , 0), então para torno de p, com x(x1 , . . . , xn ) = q ∈ x(U ) e ∂x∂ i (q) = dx(0, . . . , |{z} i D E ∂ ∂ cada i, j ∈ {1, . . . , n}, ∂xi (q), ∂xj (q) é uma fun¸cão diferenciável em U . q. E D Defini¸c˜ ao 2.1.3. As fun¸cões gij := ∂x∂ i , ∂x∂ j são chamadas componentes da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn −→ Mn . Uma variedade diferenciável com uma métrica Riemanniana é chamada variedade Riemanniana. Defini¸c˜ ao 2.1.4. Seja X (M) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞ em M e D(M) o anel das fun¸cões reais de classe C ∞ definidas em M. Uma conexão afim ∇ em 10.

(13) M é uma aplica¸cão ∇ : X (M) × X (M) −→ X (M) tal que, ∀ X, Y, Z ∈ X (M) e ∀ f, g ∈ D(M), tem-se (i) ∇f X+gY Z = f ∇X Z + g∇X Z (ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z (iii) ∇X f Y = f ∇X Y + X(f )Y . Defini¸c˜ ao 2.1.5. Dizemos que uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é simétrica se ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], ∀ X, Y ∈ X (M). Dizemos que uma conexão afim ∇ em uma variedade Riemanniana M é compat´ıvel com a métrica se X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi , ∀ X, Y, Z ∈ X (M). O próximo Teorema é fundamental em Geometria Riemanniana. Teorema 2.1.1 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma u ńica conexão afim ∇ em M que é simétrica e compat´ıvel com a métrica Riemanniana. Demonstra¸cão. Ver [16], página 61.. . Tal conexão é denominada conexão de Levi-Civita (ou Riemanniana) de M.. 2.2. Aplica¸c˜ ao exponencial. D 0 α (t) = 0. Uma curva α em M é uma geodésica em t ∈ I se dt Antes de definir a aplica¸caõ exponencial, lembraremos um resultado que é uma consequência direta do Teorema de existência e unicidade de equa¸cões diferenciais ordinárias:. Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Dados p ∈ M e v ∈ Tp M, existe uma u ńica geodésica α : I −→ M tal que α(0) = p e α0 (0) = v, onde I ⊂ R é um intervalo contendo o zero. Se v ∈ Tp M, vamos denotar por γv a u ńica geodésica de M que passa por p ∈ M com vetor velocidade v ∈ Tp M. Seja Σp = {v ∈ Tp M; γv está definida num intervalo contendo [0, 1]}. Defini¸c˜ ao 2.2.1. A aplica¸cão expp : Σp −→ M, definida por expp (v) = γv (1), é denominada aplica¸cão exponencial. Proposi¸c˜ ao 2.2.2. As seguintes propriedades são satisfeitas: 11.

(14) 1. para cada v ∈ Tp M, a geodésica γv é dada por γv (t) = expp (tv), para todo t ∈ R onde os dois lados estão definidos; 2. a aplica¸cão expp é diferenciável. Demonstra¸cão. Ver [16], página 71.. . Proposi¸c˜ ao 2.2.3. Para todo p ∈ M, existem uma vizinhan¸ca V da origem de Tp M e uma vizinhan¸ca U de p, tais que expp : V −→ U é um difeomorfismo. Demonstra¸cão. De fato,

(15) d (expp (tv))

(16) t=0 , dt

(17) d = (γv (t))

(18) t=0 , dt = γv0 (0), = v.. d(expp )0 (v) =. Logo, d(expp )0 é a identidade de Tp M, segue-se então do Teorema da fun¸cão inversa que expp é um difeomorfismo local numa vizinhan¸ca de 0 em Tp M. O aberto U dado pela proposi¸caõ anterior é chamado vizinhan¸ca normal de p.. 2.3. Curvatura. Considere M uma variedade Riemanniana de dimensão n e de classe C ∞ , seja ∇ sua conexão Riemanniana e Tp M o espa¸co tangente a M em p. Defini¸c˜ ao 2.3.1. O tensor de curvatura R de M é a aplica¸cão que a cada par X, Y ∈ X (M) associa a correspondência R(X, Y ) : X (M) −→ X (M) dada por R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, ∀ Z ∈ X (M). Proposi¸c˜ ao 2.3.1. O tensor de curvatura R de uma variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades: (i) R é bilinear em X (M) × X (M). (ii) ∀ X, Y ∈ X (M), o tensor curvatura R(X, Y ) : X (M) −→ X (M) é linear. Proposi¸c˜ ao 2.3.2. O tensor de curvatura R satisfaz as seguintes propriedades para todo X, Y, Z, T ∈ X (M): 12.

(19) (i) hR(X, Y )Z, T i + hR(Y, Z)X, T i + hR(Z, X)Y, T i = 0; (ii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(Y, X)Z, T i; (iii) hR(X, Y )Z, T i = −hR(X, Y )T, Zi; (iv) hR(X, Y )Z, T i = hR(Z, T )X, Y i. Para um espa¸co vetorial V com produto interno h, i, dados dois vetores linearmente independentes x, y ∈ V , q |x ∧ y| = |x|2 |y|2 − hx, yi2 é a área do paralelogramo gerado por {x, y}. Pode-se verificar que, se σ ⊂ Tp M é um subespa¸co de dimensão 2 com base {x, y}, então hR(x, y)x, yi K(x, y) = |x ∧ y|2 só depende de σ. Defini¸c˜ ao 2.3.2. Considere p ∈ M e seja σ ⊂ Tp M um subespa¸co de dimensão 2. K(σ) := K(x, y), é chamada de curvatura seccional de σ em M no ponto p, onde {x, y} é uma base qualquer de σ. Usaremos a nota¸cão Mn (c) para indicar as variedades com curvatura seccional constante c de dimensão n. Uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante que seja completa e simplesmente conexa é chamada de forma espacial. Note que quando multiplicamos uma métrica Riemanniana por uma constante positiva c, então a sua curvatura seccional é multiplicada por 1c . A esfera Sn (r) para r > 0 é definida por . Sn (r) = x ∈ Rn+1 ; hx, xi = r2 , onde h., .i denota o produto interno canônico de Rn+1 , o qual mune Sn (r) como uma métrica 1 Riemanniana. Pode-se provar que Sn (r) tem curvatura 2 . r Antes de dar um modelo para o espa¸co hiperbólico definamos para cada 0 ≤ s ≤ n: ( ) s n X X − − Rn,s := Rn munido com a forma bilinear: bn,s (→ x ,→ y)=− xy + xy , i i. i=1. j j. j=s+1. − − onde → x = (x1 , . . . , xn ) e → y = (y1 , . . . , yn ). Pode-se verificar que bn,s é uma forma bilinear simétrica não degenerada. 13.

(20) O espa¸co hiperbólico Hn (r) para r < 0 é definido por −. − − Hn (r) = → x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn+1,1 ; h→ x ,→ x i = −r2 , x0 > 0 , onde h., .i é a métrica pseudo-Riemannian definida por hv, wi = −v0 w0 +. n X. vi w i .. i=1. 1 Pode-se provar que Hn (r) tem curvatura − 2 . r Seja Mn uma forma espacial com curvatura seccional constante c ∈ R. Então o reco˜ de M, com a métrica do recobrimento é isometrico a brimento universal M  1   para c > 0; Sn √   c  Rn para c = 0;   1   H n √ para c < 0. −c (Cf. Cap. 8, página 181 do [16]).. 2.4. Imers˜ oes isom´ etricas n+k. Seja x : Mn −→ M uma imersão, isto é, x é uma aplica¸cão diferenciável e dxp : Tp M −→ Tx(p) M é injetiva para todo p ∈ M. Se M tem uma métrica Riemanniana, x induz uma métrica Riemanniana em M, dada por hu, vip := hdxp (u), dxp (v)ix(p) , u, v ∈ Tp M. Com efeito, como dxp é injetiva, h·, ·i é positivo definido. As demais condi¸co˜es da defini¸caõ de métrica Riemanniana podem ser facilmente verificadas. A métrica de M é então chamada a métrica induzida por x e a aplica¸caõ x é dita uma imersão isométrica. Pelo teorema da forma local das imersões, dado p ∈ M existe um aberto U 3 p de M tal que x|U : U −→ M é um mergulho, ou seja, x(U) é uma subvariedade de M; por este resultado é natural identificar os pontos de U com os pontos de x(U) pensando x como uma inclusão. Com está identifica¸caõ, o Tp M é identificado com dxp (Tp M), ou seja, identificamos v ∈ Tp M com dxp (v). Tomando a métrica induzida em M, x torna-se uma isometria local e x|U torna-se isometria sobre x(U). Com isto a aplica¸cão dxp pode ser considerada como a inclusão ou Tp M ser considerado como subespa¸co vetorial do espa¸co vetorial Tx(p) M. Para cada p ∈ M tem-se, Tp M = Tp M ⊕ (Tp M)⊥ , 14.

(21) onde (Tp M)⊥ é o complemento ortogonal de Tp M em Tp M. Com isto, para cada X ∈ Tp M, existem unicos v ∈ Tp M e w ∈ (Tp M)⊥ tal que X = v + w. Chamaremos v a componente tangencial de X e w a componente normal de X. Consideremos ∇ como sendo a conexão Riemanniana de M. Denotemos por ∇ a conexão Riemanniana em M induzida pela sua métrica. Prova-se que ∇X Y = (∇X Y )> ,. ∀X, Y ∈ X (M),. onde X e Y são extensões locais em M. Verifica-se que está é a conexão Riemanniana relativa a métrica induzida em M. Por outro lado, para X, Y campos vetoriais locais em M definimos a aplica¸cão α(X, Y ) = ∇X Y − ∇X Y, onde X e Y são extensões locais de X e Y , respectivamente, em M. A aplica¸caõ α está bem definida e independe da extensão escolhida(veja [16], pag. 126), também prova-se que α é bilinear e simétrica. Se ξ é campo normal unitário num aberto U ⊂ M e X, Y ∈ X (U), definimos uma forma bilinear e simétrica Hξ : Tp M × Tp M −→ R por Hξ (X, Y ) = hα(X, Y ), ξi. A forma quadrática IIξ , definida em Tp M por IIξ (X) = Hξ (X, X), é chamada segunda forma fundamental da imersão x segundo o vetor normal ξ; a` forma Hξ está associada a um operador linear auto-adjunto Aξ : Tp M −→ Tp M por hAξ (X), Y i = Hξ (X, Y ). Dados p ∈ M, X ∈ Tp M e ξ ∈ (Tp M)⊥ , vale a seguinte igualdade: Aξ (X) = −(∇X ξ)> . Além disso, a componente normal de ∇X ξ é chamada a conexão normal ∇⊥ da imersão, de modo que temos a seguinte igualdade: N > ∇⊥ X ξ = (∇X ξ) = ∇X ξ − (∇X ξ) = ∇X ξ + Aξ (X).. Observa¸c˜ ao 2.4.1. Se a codimensão for 1 podemos dispensar o ´ındice ξ. Então, A(X) = −(∇X ξ)> , onde A é chamado operador forma.. 15.

(22) n+k. Por outro lado, consideremos x : Mn −→ M uma imersão isométrica e seja {e1 , . . . , en , en+1 , . . . , en+k }, um referencial ortogonal tangente a M numa vizinhan¸ca de p ∈ Mn , adaptado a M, ou seja, com {e1 , . . . , en } tangente a Mn e {en+1 , . . . , en+k } normal a` M. Certamente, para cada campo normal N sobre Mn tem-se hAN (X), Y i = HN (X, Y ) = hα(X, Y ), N i. Podemos expressar α(X, Y ) da seguinte forma α(X, Y ) =. n+k X. hθ (X, Y ) eθ .. θ=n+1. Denotemos por hθij = hθ (ei , ej ),. i, j = 1, . . . , n,. isto é, hθij = hα(ei , ej ), eθ i = hAeθ (ei ), ej i, com i, j = 1, . . . , n e θ = n + 1, . . . , n + k. Podemos notar que sendo Aeθ auto-adjunta, segue-se que hθij = hθji . Para cada θ fixado, θ = n + 1, . . . , n + k e p ∈ M, a matriz (hθij (p)) é chamada Matriz da Segunda Forma Fundamental relativa a eθ em rela¸cão a base {ei }, i = 1, . . . , n, no ponto p. No caso em que k = 1, temos a seguinte igualdade:. ∇ei ej , ξ = hij . Com efeito, hej , ξi = ei hej , ξi =. . ∇ei ej , ξ + ej , ∇ei ξ =. ∇ei ej , ξ =. 0, ∀ i, j = 1, 2, . . . , n 0, 0. − ej , ∇ei ξ D E > ⊥ = − ej , ∇ei ξ + ∇ei ξ D E D E > ⊥ = − ej , ∇ei ξ − ej , ∇ei ξ D E > = ej , −∇ei ξ = hej , Aei i. ∇ei ej , ξ = hij . As equa¸co˜es básicas para subvariedades são: a equa¸caõ de Gauss, de Codazzi e Ricci. A seguir enunciaremos as equa¸cões de Gauss e Codazzi, dando como referência o texto [14]. 16.

(23) Proposi¸c˜ ao 2.4.1. ( Equa¸cão de Gauss). hR (X, Y ) Z, W i = R (X, Y ) Z, W + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i , onde R e R são os tensores de curvatura de M e M, respectivamente. Em particular,. se K(X, Y ) = hR (X, Y ) Y, Xi e K(X, Y ) = R (X, Y ) Y, X denotam as curvaturas seccionais em M e M do plano gerado pelos vetores ortonormais X, Y ∈ Tp M, a equa¸cão de Gauss toma a forma K(X, Y ) = K(X, Y ) + hα(X, X), α(Y, Y )i − kα(X, Y )k2 . No caso em que M é uma forma espacial , isto é, M(c), a equa¸caõ de Gauss toma a forma: hR (X, Y ) Z, W i = c h(X ∧ Y ) Z, W i + hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i . Proposi¸c˜ ao 2.4.2. (Equa¸cão de Codazzi) ⊥ ⊥ R (X, Y ) Z = ∇⊥ α (Y, Z) − ∇ α (X, Z), X Y onde por defini¸cão ∇⊥ α (Y, Z) = ∇⊥ X X α(Y, Z) − α(∇X Y, Z) − α(Y, ∇X Z). No caso em que M é uma forma espacial , isto é, M(c), a equa¸cão de Codazzi toma a seguinte forma: ∇X A (Y, ξ) = ∇Y A (X, ξ) .. 2.5. Operadores diferenciais sobre variedades Riemannianas.. 2.5.1. Gradiente. Defini¸c˜ ao 2.5.1. Seja f ∈ D(M). O gradiente de f , denotado por grad f , é o u ńico campo vetorial em M dado pela seguinte condi¸cão: hgrad f, Xi := X(f ) = df (X), ∀ X ∈ X (M). Da defini¸cão tem-se (i) grad (f + g) = grad f + grad g ∀ f, g ∈ D(M). Com efeito, hgrad (f + g), Xi = X(f + g), = X(f ) + X(g), = hgrad f, Xi + hgrad g, Xi, = hgrad f + grad g, Xi. 17.

(24) (ii) grad (f g) = f grad g + g grad f ∀ f, g ∈ D(M). De fato, hgrad (f g), Xi = X(f g), = f X(g) + g X(f ), = f hgrad g, Xi + ghgrad f, Xi, = hf grad g, Xi + hg grad f, Xi, = hf grad g + g grad f, Xi. Observa¸c˜ ao 2.5.1. (Referencial móvel) Sejam Mn uma variedade Riemanniana de dimensão n, e p ∈ M. Então existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p e n campos de vetores e1 , · · · , en ∈ X (U ), tais que hei , ej i = δij , ∀ i, j = 1, · · · , n. O conjunto {e1 , · · · , en } é chamado de referencial ortonormal local, se além de disso (∇ei ej )(p) = 0, ∀ i, j = 1, · · · , n, então dizemos que {e1 , · · · , en } é um referencial geodésico em p. Proposi¸c˜ ao 2.5.1. Se {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local em M, então grad f =. n X. ei (f )ei .. (2.1). i=1. Demonstra¸cão. Escrevendo grad f =. n X. αi ei , temos que. i=1. ej (f ) = hgrad f, ej i = h. n X. αi ei , ej i = αj .. i=1. Logo, grad f =. n X. ei (f )ei .. i=1. . 2.5.2. Divergente. Defini¸c˜ ao 2.5.2. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. Para cada X ∈ X (M ) definimos o divergente de X, denotado por div X, dada por div : X (M) −→ C ∞ (M, R) X 7−→ (div X)(p) := tra¸co (Y 7−→ ∇Y X), onde Y ∈ Tp M. Decorre da defini¸cão que, para quaisquer X, Z ∈ X (M) e qualquer f ∈ D(M):. 18.

(25) (i) div (X + Z) = div (X) + div (Z). Com efeito, div (X + Z) = tra¸co (Y 7−→ ∇Y (X + Z)), = tra¸co (Y 7−→ ∇Y X + ∇Y Z), = tra¸co (Y 7−→ ∇Y X) + tra¸co (Y 7−→ ∇Y Z), = div (X) + div (Z). (ii) div (f X) = f div (X) + hgrad f, Xi. De fato, pois div (f X) = tra¸co (Y 7−→ ∇Y (f X)), n X = hei , ∇ei (f X)i , i=1. =. n X. hei , f ∇ei X + ei (f )Xi ,. i=1. =. n X. n X. hei , f ∇ei Xi +. i=1 n X. =f. hei , ∇ei Xi +. i=1. hei , ei (f )Xi ,. i=1 n X. hei (f )ei , Xi ,. i=1. = f [tra¸co (Y 7−→ ∇Y X)] +. * n X. + ei (f )ei , X. ,. i=1. = f div (X) + hgrad f, Xi . Proposi¸c˜ ao 2.5.2. Se X =. n X. Xi ei , onde {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local. i=1. em M, então div X =. n X. (ei (Xi ) − h∇ei ei , Xi).. i=1. Demonstra¸cão. Temos, n n n X X X div X = h∇ei X, ei i = h∇ei ( Xj ej ), ei i, i=1. =. n X. i=1. hei (Xj )ej , ei i +. i,j=1. j=1 n X i,j=1. 19. Xj h∇ei ej , ei i.. (2.2).

(26) Como hei , ej i = δij , tem-se que 0 = ei hei , ej i = h∇ei ei , ej i + hei , ∇ei ej i, ou seja, h∇ei ei , ej i = −hei , ∇ei ej i. Da´ı, div X = =. n X i=1 n X. ei (Xi ) − ei (Xi ) −. i=1. n X. Xj h∇ei ei , ej i,. i,j=1 n X. n X. i=1. i=1. h∇ei ei ,. Xj ej i.. Logo, div X =. n X. (ei (Xi ) − h∇ei ei , Xi).. i=1. Teorema 2.5.1. (Da divergência I) Seja X um campo vetorial C 1 (M) em M com suporte compacto, sem nenhuma condi¸cão sobre a orientabilidade de M temos: Z div (X)dV = 0. M. Demonstra¸cão. Ver [12], página 149.. 2.5.3. . O operador de Laplace. Defini¸c˜ ao 2.5.3. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇. O operador de Laplace, define-se por ∆ : D(M) −→ D(M) f 7−→ ∆f := div (grad f ). Decorre das propriedades do gradiente e do divergente que: (i) ∆(f + g) = ∆f + ∆g. Com efeito, ∆(f + g) = div = div = div = ∆f. (grad (f + g)), (grad f + grad g), (grad f ) + div (grad g), + ∆g. 20.

(27) (ii) ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi, para quaisquer f, g ∈ D(M). De fato, pois ∆(f g) = div ( grad (f g)), = div (f grad g + g grad f ), = div (f grad g) + div (g grad f ), = f div ( grad g) + h grad f, grad gi + gdiv ( grad f ) + h grad g, grad f i , = f ∆g + g∆f + 2h grad f, grad gi. Proposi¸c˜ ao 2.5.3. Se {e1 , · · · , en } é um referencial ortonormal local em M, então ∆f =. n X. (ei (ei (f )) − (∇ei ei )(f )).. i=1. Demonstra¸cão. Por defini¸caõ ∆f = div ( grad f ), por (2.2) e usando 2.1: ∆f =. n X. (ei (ei (f )) − h∇ei ei , grad f i). i=1. da defini¸caõ de gradiente ∆f =. n X. (ei (ei (f )) − (∇ei ei )(f )).. i=1. . 2.5.4. Hessiano. Defini¸c˜ ao 2.5.4. Seja M uma variedade Riemanniana munida da conexão ∇ e f ∈ D(M). Definimos o Hessiano de f em p ∈ M, denotado por (Hessf )p como o operador linear (Hessf )p : Tp M −→ Tp M, dado por: (Hessf )X = ∇X grad f, ∀ X ∈ Tp M. Verifica-se que h(Hessf )p X, Y i = hX, (Hessf )p Y i, mostrando que o (Hessf )p é autoadjunto e portanto determina uma forma bilinear simétrica em Tp M. Hess fp (X, Y ) = h∇X grad fp , Y i. 21.

(28) Observemos que Hess fp (X, Y ) = h∇X grad fp , Y i; por ser a conexão compat´ıvel com a métrica, num ponto p ∈ M, temos: Hess f (X, Y ) = Xhgrad f, Y i − hgrad f, ∇X Y i; mas sabemos que hgrad f, Zi = Z(f ),. ∀Z ∈ X (M), de onde:. Hess f (X, Y ) = X(Y (f )) − (∇X Y ) (f ). Em particular se {e1 , . . . , en } é um referencial geodésico num ponto p ∈ M, Hess f (ei , ej ) = ei (ej (f )) − (∇ei ej ) (f ). Portanto, Hess fp (ei , ej ) = ei (ej (f ))p , denotando Hess fp (ei , ej ) por fij , segue-se que fij (p) = Hess fp (ei , ej ) = ei (ej (f ))p .. 2.6. Operadores lineares el´ıpticos de segunda ordem. Um multi-indice é um vetor α = (α1 , α2 , . . . , αn ) satisfazendo αi ∈ Z+ . Quando α e β denotam multi-indices usaremos a nota¸caõ α ≥ β para indicar que αi ≥ βi para cada i. Para qualquer multi-indice α define-se: |α| =α1 + α2 + · · · + αn ; α! =α1 ! α2 ! . . . αn !. Por outro lado, para qualquer x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , define-se xα =xα1 1 xα2 2 . . . xαnn . Usaremos a seguinte nota¸cão para escrever equa¸cões diferenciais parciais Dα =. ∂xα1 1. ∂ |α| . ∂xα2 2 . . . ∂xαnn. 22.

(29) Por exemplo quando α = (1, 2), temos Dα u =. ∂ 3u , ∂x1 ∂x22. onde u : Rn → R é uma fun¸caõ. Considere agora um operador diferencial linear X L(x, D)u = aα (x) Dα u,. (2.3). |α|≤m. onde u : Rn → R. Com este operador agindo em fun¸co˜es vamos associar-lhe um operador algebrico, chamado de o simbolo. Defini¸c˜ ao 2.6.1. O simbolo da expressão L(x, D), definida em (2.3) é X L(x, iξ) := aα (x) (iξ)α . |α|=m. A parte principal do simbolo define-se por X. Lp (x, iξ) :=. aα (x) (iξ)α .. |α|≤m. O simbolo nos diz como um operador diferencial age nas fun¸cões que tem seu suporte contido numa pequena vizinhan¸ca do ponto x. Se os coeficientes são suaves, então eles são aproximadamente constantes naquela pequena vizinhan¸ca. Por outro lado, se a fun¸caõ u varia rapidamente, então suas derivadas de maior ordem dominam sobre as derivadas de menor ordem, logo a parte principal contem os termos mais importantes. A classifica¸cão das equa¸co˜es diferenciais parciais em classes baseia-se na parte principal do simbolo. Agora, seja Ω um conjunto aberto e não vazio de Rn . Diz-se que um operador linear em derivadas parciais é de ordem dois, se é da forma: L u(z) :=. n X. . aij (z) ∂j aij (z) ∂i u(z) +. i,j=1. n X. bi (z) ∂i u(z) + c(z) u(z). (2.4). i=1. ou L u(z) :=. n X i,j=1. aij (z) ∂i ∂j u(z) +. n X. bi (z) ∂i u(z) + c(z) u(z),. (2.5). i=1. onde aij , bi , c : Ω → R são fun¸cões mensuráveis u ∈ C 2 (Ω) e z ∈ Ω. O operador que é da forma (2.4) chama-se de operador na forma ”divergente” e o operador que é da forma (2.5) chama-se de operador na forma ”não divergente”. Observamos ainda que se as fun¸co˜es aij são fun¸cões C 1 (Ω), então um operador dado na forma divergente pode ser expressado na forma de não divergente, e reciprocamente. 23.

(30) Sem perda de generalidade, podemos supor que aij (z) = aji (z), de forma que a matriz A(z) := aij i,j=1,··· ,n. Pn. é simétrica. L diz-se el´ıptico em Ω se 0 6= ξ ∈ Rn . Para qualquer z ∈ Ω existe. i,j=1. aij (z) ξi ξj > 0 para todo z ∈ Ω e para todo. λ(z) := min{aij (z) ξi ξj ; |ξ| = 1}, λ(z) deve ser positivo (na verdade é o menor auto-valor de A(z)). De modo que podemos expressar a elipticidade, na seguinte forma: o operador L é el´ıptico em z ∈ Ω se existe um n´ umero λ(z) > 0 tal que n X. aij (z) ξi ξj ≥ λ(z) |ξ|2 ,. ∀ξ ∈ Rn .. i,j=1. Diremos que L é el´ıptico em Ω, se é el´ıptico em cada z ∈ Ω e diremos que o operador L é uniformemente el´ıptico em Ω, se existe uma constante λ0 > 0 tal que λ(z) ≥ λ0 para cada z ∈ Ω. ´ possivel demonstrar que ∆ é auto–adjunto relativo a C 2 (M, g) e Observa¸c˜ ao 2.6.1. E que é eliptico. Seja M uma variedade conexa, com fecho compacto e fronteira suave. O problema de Dirichlet de auto-valores consiste em todos os n´ umeros reais λ tais que exista T encontrar 2 0 uma solu¸caõ não trivial ϕ ∈ C (M) C (M) satisfazendo ( ∆ϕ + λϕ = 0 (2.6) ϕ|∂M =0 O Espetro de uma variedade Riemanniana (M, g) para o problema 2.6 é o conjunto Spec(M) = {λ ∈ R; ∃ϕ ∈ C 2 (M) ∩ C 0 (M) satisfazendo 2.6} Os n´ umeros λ ∈ Spec(M) são chamados de auto-valores e as solu¸co˜es associadas aos λ são as auto-fun¸co˜es. Proposi¸c˜ ao 2.6.1. O espectro de uma variedade Riemanniana é discreto iniciando-se com o valor 0 e tendo +∞ como seu u ńico ponto de acumula¸cão, será conveniente listar os auto-valores da seguinte forma 0 = λ0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . com repeti¸cões apropriadas para os casos degenerados, cada auto–valor neste espectro tem multiplicidade finita. As auto–fun¸cões associadas a estes auto–valores são fun¸cões C ∞ . Seja Ej o auto–espa¸co correspondente ao auto–valor λj , então dim Ej < +∞ e Ej é subspa¸co de C ∞ (M). Podemos escolher os auto–espa¸cos Ej de modo que formem uma base ortonormal para C 2 (M, g) e a soma direta destes espa¸cos é todo C 2 (M, g). Demonstra¸cão: Veja [9].. 24.

(31) Cap´ıtulo 3 O operador Lr 3.1. Identidades de Newton. Defini¸c˜ ao 3.1.1. As somas de potências wr : Rn → R, são definidas por n X wr (X) = wr (x1 , . . . , xn ) := (xi )r , i=1. e observe que w0 (X) = n. A próxima proposi¸caõ relacionará as fun¸cões wr (X) com as fun¸co˜es simétricas Sk (X). Proposi¸c˜ ao 3.1.1 (Identidades de Newton). Dado X ∈ Rn , então: w1 (X) = S1 (X), w2 (X) = S1 (X)w1 (X) − 2S2 (X), w3 (X) = S1 (X)w2 (X) − S2 (X)w1 (X) + 3S3 (X), .. .. . . em geral,  r−1 P    (−1)k Sk (X)wr−k (X) + (−1)r rSr (X) = 0   . k=0 n P. (−1)k Sk (X)wr−k (X) = 0. , se 1 ≤ r ≤ n, , se r > n.. k=0. Demonstra¸cão. Seja g : R → R definida por g(t) =. n Y. (1 + txj ) = 1 + S1 (X)t + S2 (X)t2 + · · · + Sn (X)tn ,. j=1. 25.

(32) onde X = (x1 , . . . , xn ). n. n. X d X xj g 0 (t) d = log g(t) = log(1 + txj ) = g(t) dt dt 1 + txj j=1 j=1 usando que. ∞ P xj = (−1)k (xj )k+1 tk , temos 1 + txj k=0 ∞. n. g 0 (t) X X = (−1)k (xj )k+1 tk g(t) j=1 k=0 =. ∞ X (−1)k wk+1 (X) tk . k=0. Donde, g 0 (t) =. ∞ X. ! (−1)k wk+1 (X) tk. g(t).. k=0. Também temos, g 0 (t) = S1 (X) + 2S2 (X)t + · · · + nSn (X)tn−1 . Comparando os coeficientes das potências de tk obtemos as identidades de Newton.. 3.2. . Os polinˆ omios de Newton.. Defini¸c˜ ao 3.2.1. Seja A um operador auto-adjunto. O r-ésimo polinômio simétrico associado a A, é a fun¸cão Sr : Rn −→ R definida por. Sr =.       . 1, se r = 0 X. ki1 . . . kin , se r ∈ {1, · · · , n}. 1≤i1 <···<ir ≤n. 0, se r ∈ Z − {0, · · · , n},. onde k1 , · · · , kn são os auto-valores do operador auto-adjunto A. Seja A um operador auto-adjunto e considere {e1 , · · · , en } uma base ortonormal de A, isto é, Aei = ki ei . Define-se

(33) Ai := A

(34) span{ei }⊥ , isto é, Ai é a restri¸caõ de A ao subespa¸co normal a ei . Denotamos por Sr (Ai ) a r-ésima fun¸caõ simétrica associada a Ai . Pode-se verificar que Sr+1 (Ai ) = Sr+1 − ki Sr (Ai ). 26. (3.1).

(35) n+1. Defini¸c˜ ao 3.2.2. Seja x : Mn → M uma imersão isométrica e A a segunda forma fundamental de x. Para cada r ∈ {0, 1, 2, · · · , n − 1} definimos de forma recursiva os polinômios de Newton Pr : Tp M → Tp M, por: P0 = I P1 = S1 I − A .. . Pr = Sr I − APr−1 , r > 1. Segue-se da fórmula de recorrêcia dada acima que Pr =. r X. (−1)j Sr−j Aj .. j=0 n+1. Proposi¸c˜ ao 3.2.1. Seja x : Mn → M uma imersão isométrica entre duas variedades Riemannianas e seja A o operador linear associado à segunda forma fundamental. Os polinômios de Newton associado a A satisfazem: (a) Pr (ei ) = Sr (Ai ) ei ; para cada 1 ≤ i ≤ n; (b) tra¸co(Pr ) = (n − r)Sr ; (c) tra¸co(APr ) = (r + 1)Sr+1 ; (d) tra¸co(APr ) =. n X. λk Sr (Ak );. k=1. (e) tra¸co(A2 Pr ) = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ; (f ) tra¸co(A2 Pr ) =. n X. λ2 k Sr (Ak ).. k=1. Demonstra¸cão. a) Faremos a prova por indu¸cão sobre r. Para r = 1, temos P1 = S1 I − A. Portanto, P1 (ei ) = S1 ei − Aei , = S1 ei − ki ei , = (S1 − ki )ei , = (k1 + · · · + b ki + · · · + kn ), = S1 (Ai )ei . 27.

(36) Suponhamos que vale para r − 1, isto é, Pr−1 (ei ) = Sr−1 (Ai )ei . Então Pr (ei ) = Sr ei − APr−1 ei , = Sr ei − A(Sr−1 (Ai )ei ), = (Sr − Sr−1 (Ai )ki )ei , = Sr (Ai )ei . b) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela defini¸caõ do tra¸co de um operador temos: tra¸co (Pr ) = =. n X. r n X X h (−1)j Sr−j Aj vk , vk i hPr vk , vk i =. k=1 r n X X. k=1 j=0. (−1)j Sr−j λjk hvk , vk i. k=1 j=0. =. r X. j. (−1) Sr−j. j=0. = nSr +. n X. ! j. (λk ). k=1. =. r X. (−1)j Sr−j wj (A). j=0. r X. (−1)j Sr−j wj (A). j=1. = nSr +. r−1 X. (−1)r−k Sk wr−k (A) (fizemos k = r − j). k=0 r. = nSr + (−1). r−1 X. (−1)k Sk wr−k (A).. k=0. Usando as identidades de Newton r−1 X (−1)k Sk wr−k (A) = −(−1)r rSr k=0. temos: tra¸co (Pr ) = nSr + (−1)r (−1)(−1)r rSr = (n − r)Sr . c) Da identidade Pr+1 = Sr+1 I − APr , segue-se que APr = Sr+1 I − Pr+1 . Tomando o tra¸co, temos que tra¸co(APr ) = Sr+1 tra¸co(I) − tra¸co(Pr+1 ), = nSr+1 − tra¸co(Pr+1 ). 28.

(37) Usando a parte (b) obtemos tra¸co(APr ) = nSr+1 − (n − (r + 1))Sr+1 , = (n − n + r + 1)Sr+1 , = (r + 1)Sr+1 . d) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela defini¸caõ do tra¸co de um operador temos: tra¸co(APr ) =. n X. hAPr vk , vk i ,. k=1. =. n X. hPr vk , Avk i ,. k=1. = = =. n X k=1 n X k=1 n X. hSr (Ak )vk , λk vk i , λk Sr (Ak ) hvk , vk i , λk Sr (Ak ).. k=1. e) Da identidade Pr+1 = Sr+1 I − APr , segue-se que APr+1 = Sr+1 A − A2 Pr . Assim, temos que A2 Pr = Sr+1 A − APr+1 . Tomando o tra¸co, temos que tra¸co(A2 Pr ) = Sr+1 tra¸co(A) − tra¸co(APr+1 ), = Sr+1 S1 − [(r + 1) + 1]S(r+1)+1 , = S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 . f) Seja λk um auto-valor e vk seu correspondente auto-vetor associado a segunda forma fundamental A (isto é, Avk = λk vk , com hvi , vj i = δij ); pela defini¸caõ do tra¸co de um operador temos: n X. 2. tra¸co(A Pr ) = A Pr vk , vk , 2. k=1 n X. = Pr vk , A2 vk ,. =. k=1 n X. Sr (Ak )vk , λ2 k vk ,. k=1. 29.

(38) =. n X. λ2 k Sr (Ak ) hvk , vk i ,. k=1. =. n X. λ2 k Sr (Ak ).. k=1. o que completa a demonstra¸caõ.. 3.3. . O operador Lr. Defini¸c˜ ao 3.3.1. Considere Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x : n+1 uma imersão isométrica. Define-se o operador diferencial de segunda ordem Mn → M Lr : C ∞ (M, R) → C ∞ (M, R) em cada ponto p ∈ Mn , como sendo:  tra¸co P Hess(f ) r (p) Lr (f )(p) =  0. , r ∈ {0, · · · , n − 1}; , r ∈ Z \ {0, · · · , n − 1};. onde A é a segunda forma fundamental associada a um campo vetorial normal unitário N globalmente definido. Esse operador foi introduzido por Cheng e Yau (Veja [13]). Na literatura este operador é chamado o operador Lr . (Veja [5], [22]) Lema 3.3.1. Seja x : Mn −→ M. n+1. (c) uma imersão isométrica, então temos que. tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ei ), onde {ei } para i = 1, 2, . . . , n é um referencial ortonormal numa vizinhan¸ca de um ponto p fixado. Demonstra¸cão. Para todo u ∈ Tp M, temos ∇Pr u ek = ∇Prj=0 (−1)j Sr−j Aj u ek , r X = (−1)j Sr−j ∇(Aj u) ek , j=0. como u ∈ Tp M, então u =. n X. ai ei , assim. i=1. 30.

(39) ∇Pr u ek = =. r X j=0 r X. (−1)j Sr−j ∇(Aj Pni=1 ai ei ) ek , (−1)j Sr−j ∇(Pni=1 ai Aj ei ) ek ,. j=0. mas Aj ei = λi j ei , então ∇Pr u ek =. r X. (−1)j Sr−j ∇(Pni=1 ai λi j ei ) ek ,. j=0. =. r X. j. (−1) Sr−j. j=0. n X. ai λi j ∇ei ek ,. i=1. como ∇ei ek = 0, então ∇Pr u ek = 0. Portanto, tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ei ) = 0. Logo nossa Proposi¸caõ é equivalente a mostrar que tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0. Portanto, tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ei ) m tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0. Por outro lado Pr = Sr I − Pr−1 A, então tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0 m tra¸co (u 7−→ ∇u (Sr I − Pr−1 A)ei ) = 0 m tra¸co (u 7−→ ∇u Sr ei ) = tra¸co (u 7−→ ∇u Pr−1 Aei ). De onde temos as seguintes equivalências: tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ei ) m 31. (I).

(40) tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ei ) = 0. (II). m tra¸co (u 7−→ ∇u Sr ei ) = tra¸co (u 7−→ ∇u Pr−1 Aei ).. (III). A prova do nosso Lema será feita por indu¸cão. (i) Vejamos o caso r = 1 e para esté caso provaremos a identidade (III). Para r = 1, devemos mostrar que tra¸co (u 7−→ ∇u S1 ek = tra¸co (u 7−→ ∇u Aek ) =. n X. hei , ∇ei Aek i. i=1. Como ei diagonaliza a segunda forma fundamental (isto é, Aei = λi ei ), o fato do referencial ser geodésico e usando a equa¸caõ de codazzi, temos que: tra¸co (u 7−→ ∇u Aek ) =. n X. hei , ∇ei Aek i ,. i=1. = = =. n X i=1 n X i=1 n X. hei , ∇ek Aei i , hei , ∇ek λi ei i , hei , λi ∇ek ei + ek (λi )ei i ,. i=1. =. n X. hei , λi ∇ek ei i +. i=1. = 0+. i=1 n X. hei , ek (λi )ei i ,. i=1. =. n X. ek (λi ) hei , ei i ,. i=1. = =. n X i=1 n X. n X. ek (λi ), hgrad λi , ek i ,. i=1. 32. hei , ek (λi )ei i ,.

(41) * tra¸co (u 7−→ ∇u Aek ) =. grad (. n X. + λi ), ek. ,. i=1. = hgrad (S1 ), ek i , = ek (S1 ). Por outro lado, tra¸co (u 7−→ ∇u S1 ek ) = =. n X i=1 n X. hei , ∇ei S1 ek i , hei , S1 ∇ei ek + ei (S1 )ek i ,. i=1. =. n X. hei , S1 ∇ei ek i +. hei , ei (S1 )ek i ,. i=1. i=1. = 0+. n X. n X. hei , ei (S1 )ek i ,. i=1. =. n X. ei (S1 ) hei , ek i ,. i=1. = ek (S1 ) hek , ek i , = ek (S1 ). Isto mostra que tra¸co (u 7−→ ∇u S1 ek = tra¸co (u 7−→ ∇u Aek ). (ii) vamos supor que vale para r − 1, isto significa que as identidades (I), (II) e (III) são todas validas para r − 1. (iii) Vamos mostrar que vale para r. Vamos verificar que vale para a identidade (III). Por um lado, tra¸co (u 7−→ ∇u Sr ek ) =. n X. hei , ∇ei Sr ek i ,. i=1. mas (∇ei Sr )ek = ∇ei Sr ek − Sr ∇ei ek . Por ser referencial gedésico ∇ei ek = 0, então (∇ei Sr )ek = ∇ei Sr ek . 33.

(42) Da´ı, tra¸co (u 7−→ ∇u Sr ek ) =. n X. hei , (∇ei Sr )ek i ,. i=1 n X = (∇ei Sr ) hei , ek i , i=1. = ∇ek Sr hek , ek i , = ∇ek Sr . Falta mostrar que tra¸co (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) = ∇ek Sr . Mas, tra¸co (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) =. n X. hei , ∇ei Pr−1 Aek i ,. i=1. como nossa identidade (I) é valida para r − 1, temos que n X. hei , ∇ei Pr−1 Aek i =. i=1. n X. n X ei , ∇Pr−1 ei Aek = hei , Pr−1 ∇ei Aek i .. i=1. i=1. Por ser um referencial geodésico e usando codazzi temos que n X. hei , Pr−1 ∇ei Aek i =. n X. hei , Pr−1 ∇ek Aei i .. i=1. i=1. Assim, tra¸co (u 7−→ ∇u Pr−1 Aek ) =. n X. hei , Pr−1 ∇ek Aei i ,. i=1. onde nos resta mostrar que n X. hei , Pr−1 ∇ek Aei i = ∇ek Sr ,. i=1. como Pr−1 é auto-adjunto, então n X. hei , Pr−1 ∇ek Aei i =. i=1. n X i=1. 34. hPr−1 ei , ∇ek Aei i ,.

(43) mas Pr−1 ei = Sr−1 (Ai )ei e Ai = λi ei , então n X. hPr−1 ei , ∇ek Aei i =. i=1. n X. hSr−1 (Ai )ei , ∇ek λi ei i =. i=1. n X. Sr−1 (Ai ) hei , ∇ek λi ei i ,. i=1. mas (∇ek λi )ei = ∇ek λi ei − λi ∇ek ei . Por ser referencial geodésico ∇ek ei = 0, então (∇ek λi )ei = ∇ek λi ei . Da´ı, n X. hei , Pr−1 ∇ek Aei i =. n X. Sr−1 (Ai ) hei , (∇ek λi )ei i ,. i=1. i=1. = =. n X i=1 n X. Sr−1 (Ai )(∇ek λi ) hei , ei i , Sr−1 (Ai )(∇ek λi ),. i=1. = ∇ek Sr . Assim, fica provado o nosso Lema. n+1. Proposi¸c˜ ao 3.3.1. Seja x : Mn −→ M. (c) uma imersão isométrica, então temos que. tra¸co (u 7−→ ∇u Pr v) = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u v), onde u e v são campos diferenciais em M. Demonstra¸cão. Já que nosso Lema é verdadeiro para um ek vejamos que ele é válido para um λek , assim pela propriedade das conexões, ∇Pr u λek = λ∇Pr u ek + (Pr u)(λ)ek , de onde, tra¸co (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) = tra¸co (u 7−→ λ∇Pr u ek + (Pr u)(λ)ek ), = tra¸co (u 7−→ λ∇Pr u ek ) + tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ), = λ tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ek ) + tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ), pelo Lema anterior, temos 35.

(44) tra¸co (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) =λ tra¸co (u 7−→ ∇u Pr ek ) + tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ), = tra¸co (u 7−→ λ∇u Pr ek ) + tra¸co (u − 7 → (Pr u)(λ)ek ), mas por defini¸caõ, tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) = =. n X i=1 n X. hei , (Pr ei )(λ)ek i , hei , hgrad λ, Pr ei i ek i .. i=1. Mas Pr ei = Sr (Ai )ei , então tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) = =. n X i=1 n X. hei , hgrad λ, Sr (Ai )ei i ek i , hei , Sr (Ai ) hgrad λ, ei i ek i ,. i=1. = =. n X i=1 n X. hSr (Ai )ei , hgrad λ, ei i ek i , hPr ei , hgrad λ, ei i ek i ,. i=1. por ser Pr auto-adjunto, temos tra¸co (u 7−→ (Pr u)(λ)ek ) =. n X. hei , hgrad λ, ei i Pr ek i ,. i=1. =. n X. hei , ei (λ)Pr ek i ,. i=1. = tra¸co (u 7−→ u(λ)Pr ek ). Assim, temos que tra¸co (u 7−→ ∇Pr (u) λek ) = tra¸co (u 7−→ λ∇u Pr ek ) + tra¸co (u 7−→ u(λ)Pr ek ), = tra¸co (u 7−→ ∇u λPr ek ), = tra¸co (u − 7 → ∇u Pr (λek )). Finalmente para cada v ∈ Tp M temos que v =. n X i=1. 36. ai ei , assim.

(45) tra¸co (u 7−→ ∇Pr u v) = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u. n X. ai ei ),. i=1. = =. n X i=1 n X. tra¸co (u 7−→ ∇Pr u ai ei ), tra¸co (u 7−→ ∇u Pr (ai ei )),. i=1. = tra¸co (u 7−→ ∇u. n X. Pr (ai ei )),. i=1. = tra¸co (u 7−→ ∇u Pr (. n X. ai ei )),. i=1. = tra¸co (u 7−→ ∇u Pr v). Quando a variedade ambiente é uma forma espacial M(c) simplesmente conexa com curvatura seccional constante c, provaremos que Lr (f ) = div (Pr grad f ): Teorema 3.3.1. Sejam Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x : Mn → n+1 M (c) uma imersão isométrica. Para qualquer n´ umero inteiro r ∈ [0, n − 1] e qualquer fun¸cão f ∈ D(M), tem-se Lr (f )(p) = divM Pr gradM (f ) ∀p ∈ M, (p). onde A é a segunda forma fundamental associada a um campo vetorial normal unitário N globalmente definido. Demonstra¸cão. Lr (f ) = tra¸co (Pr Hessf ) n X = hei , Pr Hessf ei i i=1. =. n X. hei , Pr (∇ei grad f )i. i=1. = =. n X i=1 n X. hPr ei , ∇ei grad f i hSr (Ai )ei , ∇ei grad f i. i=1. 37.

(46) = =. n X i=1 n X. hei , Sr (Ai )∇ei grad f i. ei , ∇Sr (Ai )ei grad f. i=1. =. n X. hei , ∇Pr ei grad f i. i=1. = tra¸co (u 7−→ ∇Pr u grad f ) pela Proposi¸cão 3.3.1, temos que = tra¸co (u 7−→ ∇u Pr grad f ) = div (Pr grad f ). Observamos que L0 (f ) = tra¸co (P0 Hessf ) = tra¸co (Hessf ) = ∆f. Podemos considerar Lr como uma extensão do Laplaciano. Lema 3.3.2. ([5]) Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão n, compacta e sem n+1 bordo. Considere x : Mn −→ M (c) uma imersão isométrica de M em uma forma espacial de dimensão n + 1 e curvatura seccional c, então Z Lr (f )dM = 0, ∀f ∈ D(M); (3.2) M. e Z. Z f Lr (g)dM = −. M. Demonstra¸cão. Z. ∀f, g ∈ D(M).. M. Z Lr (f )dM =. M. hPr grad f, grad gidM,. div (Pr grad f )dM, M. a igualdade (3.2) segue-se diretamente do Teorema da Divergência. Z Z f Lr (g)dM = f div (Pr grad g)dM M. M. 38. (3.3).

(47) de f div (X) = div (f X) − hgrad f, Xi segue-se que Z Z f Lr (g)dM = { div (f Pr grad g) − hgrad f, Pr grad gi} dM, M. M. pelo Teorema da Divergência Z Z f Lr (g)dM = − hgrad f, Pr grad gi dM M. M. como Pr é auto-adjunto Z Z f Lr (g)dM = − hPr grad f, grad gi dM. M. M. Observa¸c˜ ao 3.3.1. O Lema 3.3.2 também é válido quando M não for compacta, porém f tem suporte compacto. Proposi¸c˜ ao 3.3.2. Considere Mn uma variedade orientável conexa e diferenciável e x : n+1 Mn → M uma imersão isométrica, se {e1 , e2 , · · · , en } é um referencial geodésico num ponto p ∈ M, então X Lr (f )(p) = (Hessf )(p) (ei , ej ) hPr ei , ej ip i,j. Demonstra¸cão. Por defini¸caõ Lr (f )(p) = tra¸co (Pr Hessf )(p) X = hPr Hessf ei , ei ip i. =. X. hHessf ei , Pr ei ip. i. =. X. h∇ei grad f, Pr ei ip. i. mas grad f =. X. ej (f )ej. j. * =. X. =. X. i. ∇ei. + X. ej (f )ej , Pr ei. j. p. h∇ei ej (f )ej , Pr ei ip. i,j. =. X. hej (f )∇ei ej + ei (ej (f ))ej , Pr ei ip. i,j. 39.

(48) mas como o referencial é geodésico ∇ei ej = 0, assim =. X. ei (ej (f ))hej , Pr ei ip. i,j. mas sabemos que Hessf p (ei , ej ) = ei (ej (f )) =. X. (Hessf )(p) (ei , ej ) hPr ei , ej ip .. i,j. Temos o seguinte Teorema: Teorema 3.3.2. Seja x : Mn −→ M unitário N . Assim, temos que. n+1. (c) uma hipersuperf´ıcie com campo vetorial normal. Lr (x) =(r + 1)Sr+1 N − c(n − r)Sr x, e Lr (N ) = − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N + c(r + 1)Sr+1 x.. (3.4). Demonstra¸cão. Vejamos o caso c = 0, neste caso x : Mn −→ Rn+1 é uma imersão isométrica com campo vetorial normal unitário N . Seja {e1 , e2 , . . . , en+1 } uma base ortonormal em Rn+1 tangente a M numa vizinhan¸ca de um ponto p ∈ M. X Dado p ∈ M, podemos observar que x(p) ∈ Rn+1 , então x(p) = αk ek . k X X αk hek , ei i = αk δki = αi . Assim, hx(p), ei i = k. k. Logo, αi = hx(p), ei i. Desse modo, x(p) fica escrito em coordenas na base {e1 , e2 , . . . , en+1 } como: x(p) = (hx(p), e1 i , hx(p), e2 i , . . . , hx(p), en+1 i) , isto é, x = (hx, e1 i , hx, e2 i , . . . , hx, en+1 i) . Para cada 1 ≤ i ≤ n + 1, definamos fi := hx, ei i. Assim, hgrad fi , Xi =X(fi ),. = hei , Xi + ∇X ei , X , ∀ X ∈ T M,. 40.

(49) mas ∇X ei = 0, então hgrad fi , Xi = hei , Xi. = ei > + ei ⊥ , X. . = ei > , X + ei ⊥ , X. mas ei ⊥ , X = 0, então. hgrad fi , Xi = ei > , X , ∀ X ∈ T M. Portanto, grad fi = ei > . Como Mn −→ Rn+1 . Temos, Rn+1 = Tp M ⊕ [N ] . Sendo ei = ei > + µi N e ei = ei > + ei ⊥ , temos que ei ⊥ = µi N. Desse modo,. hei , N i = ei > , N + µi hN, N i . Logo, µi = hei , N i . Portanto, ei ⊥ = hei , N i N. De modo que ei = ei > + hei , N i N. Assim, grad fi = ei − hei , N i N. Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M. Hess fi (X, Y ) = ∇X grad fi , Y . 41. (3.5). (3.6).

(50) Substituindo (3.5) em (3.6), temos que. Hess fi (X, Y ) = ∇X (ei − hei , N i N ), Y. . = ∇X ei , Y − ∇X hei , N i N, Y mas ∇X ei = 0, então. = − ∇X hei , N i N, Y Definamos gi := hei , N i , ∀ i = 1, 2, . . . , n + 1, então. Hess fi (X, Y ) = − ∇X gi N, Y. = − gi ∇X N + X(gi )N, Y. = − gi ∇X N, Y − X(gi ) hN, Y i mas hN, Y i = 0, então. = − gi ∇X N, Y D > ⊥ E = − gi ∇X N + ∇X N , Y nD > E D ⊥ Eo = − gi ∇X N , Y + ∇X N , Y mas. D. ∇X N. ⊥. ,Y. E. = 0, então D > E = gi − ∇X N , Y = gi hAX, Y i ,. onde A é a segunda forma fundamental da imersão x. Logo, Hess fi (X, Y ) = gi hAX, Y i , ∀ X, Y ∈ T M. Agora seja {E1 , E2 , . . . , En } um referencial geodésico no ponto p ∈ M que diagonaliza o operador A. Portanto, Hess fi (Ek , El ) = gi hAEk , El i . Pela Proposi¸caõ 3.3.2, temos que X Lr (fi )(p) = (Hess fi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip k,l. =. X. gi hAEk , El i hPr Ek , El ip. k,l. 42.

(51) como AEk = λk Ek e pelo item (a) da Proposi¸caõ 3.2.1, segue-se que X =gi hλk Ek , El i hSr (Ak )Ek , El ip k,l. = gi. X. = gi. X. = gi. X. λk Sr (Ak )hEk , El i2 p. k,l. λk Sr (Ak )δkl 2. k,l. λk Sr (Ak ). k. pelo item (d) da Proposi¸cão 3.2.1, segue-se que = gi tra¸co(APr ) mas do item (c) da Proposi¸caõ 3.2.1, temos que = gi (r + 1)Sr+1 onde gi := hei , N i, então Lr (fi )(p) =(r + 1)Sr+1 hei , N i . Observe que x =f1 e1 + f2 e2 + · · · + fn+1 en+1 . Assim, Lr (x) := = = =. Lr (f1 )e1 + Lr (f2 )e2 + · · · + Lr (fn+1 )en+1 (r + 1)Sr+1 he1 , N i e1 + (r + 1)Sr+1 he2 , N i e2 + · · · + (r + 1)Sr+1 en+1 hen+1 , N i (r + 1)Sr+1 {he1 , N i e1 + he2 , N i e2 + · · · + hen+1 , N i en+1 } (r + 1)Sr+1 N.. Analogamente, hgrad gi , Xi =X(gi ), =X(hei , N i) . = ∇X ei , N + ei , ∇X N , ∀ X ∈ T M, mas ∇X ei = 0, então. = ei , ∇X N D > ⊥ E = ei , ∇X N + ∇X N D > E D ⊥ E = ei , ∇X N + ei , ∇X N 43.

(52) D ⊥ E mas ei , ∇X N = 0, então = hei , −AXi. = − ei > + ei ⊥ , AX. . = − ei > , AX − ei ⊥ , AX. mas ei ⊥ , AX = 0, então. = − ei > , AX. = −Aei > , X. hgrad gi , Xi = −Aei > , X , ∀ X ∈ T M. Portanto, grad gi = − Aei > . Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M. Hess gi (X, Y ) = ∇X grad gi , Y .. (3.7). (3.8). Substituindo (3.7) em (3.8), temos que. Hess gi (X, Y ) = ∇X (−Aei > ), Y. = − ∇X (Aei > ), Y . Assim, Hess gi (X, Y ) = −. ∇X A ei > + A ∇X ei > , Y ,. usando codazzi, temos que ∇ei > A X + A ∇X ei > , Y. . = − ∇ei > A X, Y − A ∇X ei > , Y. =−. mas ei = ei > + hei , N i N , então Hess gi (X, Y ) = −. =−. =−. =−. =−. . ∇ei > A X, Y − A∇X (ei − hei , N i N ) , Y . ∇ei > A X, Y − A∇X ei − A∇X hei , N i N, Y . . ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + A∇X (gi N ), Y . . ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + gi ∇X N + X(gi )N, AY . ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + gi ∇X N, AY + X(gi ) hN, AY i 44.

(53) como hN, AY i = 0 e ∇X ei = 0, então =− mas ∇X N = ∇X N. >. . ∇ei > A X, Y + gi ∇X N, AY. + ∇X N. ⊥. , então. D E . > ⊥ = − ∇ei > A X, Y + gi ∇X N + ∇X N , AY D E D E. . > ⊥ = − ∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + gi ∇X N , AY. como. D. ∇X N. ⊥. , AY. E. = 0, então. D E . > ∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY. =− mas ∇X N. >. = −AX, então. Hess gi (X, Y ) = −. . ∇ei > A X, Y − gi hAX, AY i .. Pela Proposi¸caõ 3.3.2, temos que X Lr (gi )(p) = (Hess gi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip k,l. =. X. −. . ∇ei > A Ek , El − gi hAEk , AEl i hPr Ek , El ip. k,l. =−. X. =−. X. =−. X. =−. X. X. . ∇ei > A Ek , El hPr Ek , El ip − gi A2 Ek , El hPr Ek , El ip k,l. k,l. X . ∇ei > A Ek , El Sr (Ak )hEk , El ip − gi λk 2 Sr (Ak )hEk , El ip 2 k,l. k,l. X . ∇ei > A Ek , El Sr (Ak )δkl − gi λk 2 Sr (Ak )δkl 2 k,l. k,l. X . ∇ei > A Ek , Ek Sr (Ak ) − gi λk 2 Sr (Ak ). k. k. pelo item (f) da Proposi¸caõ 3.2.1, segue-se que =−. X. =−. X. . ∇ei > A Sr (Ak )Ek , Ek − gi tra¸co(A2 Pr ). k. . ∇ei > A Pr Ek , Ek − gi tra¸co(A2 Pr ). k. = − tra¸co Pr ∇ei > A − gi tra¸co(A2 Pr ) 45.

(54) mas do item (e) da Proposi¸caõ 3.2.1, temos que Lr (gi )(p) = − hgrad (Sr+1 ), ei i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hei , N i . Observe que N =g1 e1 + g2 e2 + · · · + gn+1 en+1 . Assim, Lr (N ) := Lr (g1 )e1 + Lr (g2 )e2 + · · · + Lr (gn+1 )en+1 = (− hgrad (Sr+1 ), e1 i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i) e1 + · · · + (− hgrad (Sr+1 ), en+1 i −(S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+1 , N i) en+1 = − hgrad (Sr+1 ), e1 i e1 − · · · − hgrad (Sr+1 ), en+1 i en+1 − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i e1 − · · · − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+1 , N i en+1 = − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) {he1 , N i e1 + · · · + hen+1 , N i en+1 } = − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N. n+1. Vejamos o caso c 6= 0, neste caso x : Mn −→ M (c) é uma imersão isométrica n+1 com campo vetorial normal unitário N , onde M (c) = hemisfério de Sn+1 (1) ⊂ Rn+2 n+1 ou M (c) = Hn+1 (−1) ⊂ R1 n+2 . Seja {e1 , e2 , . . . , en+2 } uma base ortonormal em Rn+2 tangente a M numa vizinhan¸ca de um ponto p ∈ M. Analogamente ao que foi feito no caso c = 0, temos que hgrad fi , Xi =X(fi ),. = hei , Xi + ∇X ei , X , ∀ X ∈ T M, mas ∇X ei = 0, então hgrad fi , Xi = hei , Xi. = ei > + ei ⊥ , X. . = ei > , X + ei ⊥ , X. mas ei ⊥ , X = 0, então. hgrad fi , Xi = ei > , X , ∀ X ∈ T M. Portanto, grad fi = ei > . Como Mn −→ M. n+1. (c) −→ Rn+2 .. 46.

(55) Temos, Rn+2 = Tp M ⊕ [N ] ⊕ [x] . Sendo ei = ei > + γi N + βi x e ei = ei > + ei ⊥ , temos que ei ⊥ = γi N + βi x. Desse modo,. hei , N i = ei > , N + γi hN, N i + βi hx, N i . Logo, γi = hei , N i . De modo analogo,. hei , xi = ei > , x + γi hN, xi + βi hx, xi . Logo, βi = c. hei , xi . Portanto, ei ⊥ = hei , N i N + c. hei , xi x. De modo que ei = ei > + hei , N i N + c. hei , xi x. Assim, grad fi = ei − hei , N i N − c. hei , xi x. Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M. Hess fi (X, Y ) = ∇X grad fi , Y . Substituindo (3.9) em (3.10), temos que. Hess fi (X, Y ) = ∇X (ei − hei , N i N − c. hei , xi x), Y. . = ∇X ei , Y − ∇X hei , N i N, Y − c. ∇X hei , xi x, Y mas ∇X ei = 0, então. = − ∇X hei , N i N, Y − c. ∇X hei , xi x, Y . 47. (3.9). (3.10).

(56) Como gi := hei , N i e fi := hei , xi , ∀ i = 1, 2, . . . , n + 2, então. Hess fi (X, Y ) = − ∇X gi N, Y − c. ∇X fi x, Y. = − gi ∇X N + X(gi )N, Y − c. fi ∇X x + X(fi )x, Y. = − gi ∇X N, Y − X(gi ) hN, Y i − c.fi ∇X x, Y − c.X(fi ) hx, Y i mas hN, Y i = 0 = hx, Y i, então. = − gi ∇X N, Y − c.fi hX, Y i D > ⊥ E = − gi ∇X N + ∇X N , Y − c.fi hX, Y i nD > E D ⊥ Eo ∇X N , Y + ∇X N , Y − c.fi hX, Y i = − gi D ⊥ E mas ∇X N , Y = 0, então D > E = − gi ∇X N , Y − c.fi hX, Y i = gi hAX, Y i − c.fi hX, Y i , onde A é a segunda forma fundamental da imersão x. Logo, Hess fi (X, Y ) = gi hAX, Y i − c.fi hX, Y i , ∀ X, Y ∈ T M. Agora seja {E1 , E2 , . . . , En , En+1 = N, En+2 = x} um referencial geodésico no ponto p ∈ M que diagonaliza o operador A. Portanto, Hess fi (Ek , El ) = gi hAEk , El i − c.fi hEk , El i . Pela Proposi¸caõ 3.3.2, temos que X Lr (fi )(p) = (Hess fi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip k,l. =. X. (gi hAEk , El i − c.fi hEk , El i) hPr Ek , El ip. k,l. como AEk = λk Ek e pelo item (a) da Proposi¸caõ 3.2.1, segue-se que X X hλk Ek , El i hSr (Ak )Ek , El ip − c.fi hEk , El i hSr (Ak )Ek , El ip =gi k,l. = gi. X. = gi. X. = gi. X. k,l 2. λk Sr (Ak )hEk , El i. p. − c.fi. k,l. Sr (Ak )hEk , El i2 p. k,l. λk Sr (Ak )δkl 2 − c.fi. k,l. k. X. X. Sr (Ak )δkl 2. k,l. λk Sr (Ak ) − c.fi. X. Sr (Ak ). k. 48.

(57) pelo item (d) da Proposi¸cão 3.2.1, segue-se que = gi tra¸co(APr ) − c.fi tra¸co(Pr ) mas do item (b) e (c) da Proposi¸cão 3.2.1, temos que = gi (r + 1)Sr+1 − c.fi (n − r)Sr onde gi := hei , N i e e fi := hei , xi, então Lr (fi )(p) =(r + 1)Sr+1 hei , N i − c(n − r)Sr hei , xi . Observe que x =f1 e1 + f2 e2 + · · · + fn+2 en+2 . Assim, Lr (x) := Lr (f1 )e1 + Lr (f2 )e2 + · · · + Lr (fn+2 )en+2 = (r + 1)Sr+1 he1 , N i e1 + · · · + (r + 1)Sr+1 hen+2 , N i en+2 − c(n − r)Sr he1 , xi e1 − · · · − c(n − r)Sr hen+2 , xi en+2 = (r + 1)Sr+1 {he1 , N i e1 + · · · + hen+2 , N i en+2 } − c(n − r)Sr {he1 , xi e1 − · · · − hen+2 , xi en+2 } = (r + 1)Sr+1 N − c(n − r)Srx. Analogamente, hgrad gi , Xi =X(gi ), =X(hei , N i). . = ∇X ei , N + ei , ∇X N , ∀ X ∈ T M, mas ∇X ei = 0, então. = ei , ∇X N D > ⊥ E = ei , ∇X N + ∇X N D > E D ⊥ E = ei , ∇X N + ei , ∇X N D ⊥ E mas ei , ∇X N = 0, então = hei , −AXi. = − ei > + ei ⊥ , AX. . = − ei > , AX − ei ⊥ , AX 49.

(58). mas ei ⊥ , AX = 0, então. = − ei > , AX. = −Aei > , X. hgrad gi , Xi = −Aei > , X , ∀ X ∈ T M. Portanto, grad gi = − Aei > . Por outro lado, sabemos que ∀ X, Y ∈ T M. Hess gi (X, Y ) = ∇X grad gi , Y .. (3.11). (3.12). Substituindo (3.11) em (3.12), temos que. Hess gi (X, Y ) = ∇X (−Aei > ), Y. = − ∇X (Aei > ), Y . Assim, Hess gi (X, Y ) = −. ∇X A ei > + A ∇X ei > , Y ,. usando codazzi, temos que ∇ei > A X + A ∇X ei > , Y. . = − ∇ei > A X, Y − A ∇X ei > , Y =−. mas ei = ei > + hei , N i N + c. hei , xi x, então . ∇ei > A X, Y − A∇X (ei − hei , N i N − c. hei , xi x) , Y. . = − ∇ei > A X, Y − A∇X ei − A∇X hei , N i N − A∇X c. hei , xi x, Y. . . = − ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + A∇X (gi N ), Y + c. A∇X (fi x), Y. . . = − ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + gi ∇X N + X(gi )N, AY. + c. fi ∇X x + X(fi )x, AY. . = − ∇ei > A X, Y − A∇X ei , Y + gi ∇X N, AY + X(gi ) hN, AY i + c.fi hX, AY i + c.X(fi ) hx, AY i. Hess gi (X, Y ) = −. como hN, AY i = 0 = hx, AY i e ∇X ei = 0, então Hess gi (X, Y ) = −. . ∇ei > A X, Y + gi ∇X N, AY + c.fi hX, AY i 50.

(59) mas ∇X N = ∇X N. >. + ∇X N. ⊥. , então D E. . > ⊥ = − ∇ei > A X, Y + gi ∇X N + ∇X N , AY + c.fi hX, AY i D E D E. . > ⊥ = − ∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + gi ∇X N , AY + c.fi hX, AY i. como. D. ∇X N. ⊥. , AY. =− mas ∇X N. E. = 0, então. D E . > ∇ei > A X, Y + gi ∇X N , AY + c.fi hX, AY i. >. = −AX, então. . Hess gi (X, Y ) = − ∇ei > A X, Y − gi hAX, AY i + c.fi hX, AY i . Pela Proposi¸caõ 3.3.2, temos que X Lr (gi )(p) = (Hess gi )(p) (Ek , El ) hPr Ek , El ip k,l. =. X. −. . ∇ei > A Ek , El − gi hAEk , AEl i + c.fi hEk , AEl i hPr Ek , El ip. k,l. =−. X. X. . ∇ei > A Ek , El hPr Ek , El ip − gi A2 Ek , El hPr Ek , El ip k,l. k,l. + c.fi. X. hAEk , El i hPr Ek , El ip. k,l. =−. X. X . ∇ei > A Ek , El Sr (Ak )hEk , El ip − gi λk 2 Sr (Ak )hEk , El ip 2 k,l. k,l. + c.fi. X. λk Sr (Ak )hEk , El ip 2. k,l. =−. X. X . ∇ei > A Ek , El Sr (Ak )δkl − gi λk 2 Sr (Ak )δkl 2 k,l. k,l. + c.fi. X. λk Sr (Ak )δkl. 2. k,l. =−. X. X X . ∇ei > A Ek , Ek Sr (Ak ) − gi λk 2 Sr (Ak ) + c.fi λk Sr (Ak ) k. k. k. pelo item (d) e (f) da Proposi¸caõ 3.2.1, segue-se que X. . =− ∇ei > A Sr (Ak )Ek , Ek − gi tra¸co(A2 Pr ) + c.fi tra¸co(APr ) k. =−. X. . ∇ei > A Pr Ek , Ek − gi tra¸co(A2 Pr ) + c.fi tra¸co(APr ). k. = − tra¸co Pr ∇ei > A − gi tra¸co(A2 Pr ) + c.fi tra¸co(APr ) 51.

(60) mas do item (c) e (e) da Proposi¸cão 3.2.1, temos que = − hgrad (Sr+1 ), ei i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hei , N i + c.(r + 1)Sr+1 hei , xi . Observe que N =g1 e1 + g2 e2 + · · · + gn+2 en+2 . Assim, Lr (N ) := Lr (g1 )e1 + Lr (g2 )e2 + · · · + Lr (gn+2 )en+2 = (− hgrad (Sr+1 ), e1 i − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) he1 , N i +c.(r + 1)Sr+1 he1 , xi) e1 + · · · + (− hgrad (Sr+1 ), en+2 i −(S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) hen+2 , N i + c.(r + 1)Sr+1 he1 , xi) en+2 = − hgrad (Sr+1 ), e1 i e1 − · · · − hgrad (Sr+1 ), en+2 i en+2 − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 ) {he1 , N i e1 + · · · + hen+2 , N i en+2 } + c.(r + 1)Sr+1 {he1 , xi e1 + · · · + hen+2 , xi en+2 } = − grad (Sr+1 ) − (S1 Sr+1 − (r + 2)Sr+2 )N + c.(r + 1)Sr+1 x. Para uma hipersuperf´ıcie M em Rn+1 , tomando f = hx, N i e g = 21 |x|2 no Lema 3.3.2, obtemos a seguinte Proposi¸caõ: Proposi¸c˜ ao 3.3.3. Seja x : Mn −→ Rn+1 uma hipersuperf´ıcie com campo vetorial normal unitário N . Assim, temos que Z Z. hx, N i {(n − r)Sr + (r + 1)Sr+1 hx, N i} dM = Pr Ax> , x> dM, M. M. onde x> denota a componente tangente de x. Demonstra¸cão. Consideremos {e1 , . . . , en } como sendo um referencial geodésico num ponto p ∈ M. Definamos f = hx, N i e g = 21 |x|2 . Então . 1 1. ei (g) = ei ( hx, xi) = ( ∇ei x, x + x, ∇ei x ) 2. 2 = ∇ei x, x = hdx(ei ), xi = hei , xi . Por outro lado,. . gij = ej (ei (g)) = ej (hei , xi) = ∇ej ei , x + ei , ∇ej x ,. = ∇ej ei , x + hei , dx(ej )i = ∇ej ei , x + hei , ej i ; 52.

(61). mas ∇ej ei = ∇ej ei + ∇ej ei , N N . De onde,. gij = ∇ej ei + ∇ej ei , N N, x + δij ; por ser o referencial geodésico, segue-se que:. ∇ej ei , N N, x + δij ,. = ∇ej ei , N hN, xi + δij , gij = hij f + δij . =. Por outro lado, da defini¸caõ de f = hx, N i temos que: hgrad f, ei i =ei (f ) = ei (hx, N i);. . = ∇ei x, N + x, ∇ei N ,. = hdx(ei ), N i + x, ∇ei N ,. = x, ∇ei N ; ao, mas ∇ei N = −Aei + ∇⊥ ei N = −Aei . Ent˜ hgrad f, ei i = − hx, Aei i ; decompondo x, restrito a M, em uma componente x> tangente a M e uma componente x⊥ normal a M temos. . hgrad f, ei i = − x> , Aei − x⊥ , Aei = − x> , Aei ; por ser A auto adjunta. hgrad f, ei i = −Ax> , ei . Portanto, grad f = − Ax> . De forma análoga, hgrad g, ei i = ei (g); mas demostramos que ei (g) = hei , xi. Assim,. . hgrad g, ei i = x> + x⊥ , ei = x> , ei . 53.